Εό ξά Εαρινό εξάμηνο 2011...

Ε ό ξά Εαρινό εξάμηνο 201123.03.11

Χ. ΧαραλάμπουςΑΠΘ

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

l Kh ā i īal‐Khwārizmī (780‐ 850) Ιράκ



Kitāb al Jam wa l tafrīq bi ḥisāb al Hind (λατινικά Dixit algorizm)Kitāb al‐Jam wa‐l‐tafrīq bi‐ḥisāb al‐Hind (λατινικά Dixit algorizm)~825



al‐Kitab al‐mukhtasar fi hisab al‐jabr wa'l‐muqabalaالكتاباملختصر يف حساب اجلرب واملقابلة ~830

al-jabr: αποκατάσταση—συμπλήρωση

Mugabala: ελάττωση---εξισορρόπηση



Χάρτης τουal-Kwarizmi(και γεωγράφος)



Ποιό πρέπει να είναι το τετράγωνο που όταν το προσθέσεις σε 10 από τις ρίζες του θα γίνει 39?10 από τις ρίζες του θα γίνει 39?

∆ιαιρείς τον αριθμό των ριζών και παίρνεις 5αυτό το πολλαπλασιάζεις με τον εαυτό του και το γινόμενο είναι 25προσθέτεις σε αυτό 39το αποτέλεσμα είναι 64παίρνεις της ρίζα του που είναι 8αφαιρείς το μισό του αριθμού των ριζών που είναιαφαιρείς το μισό του αριθμού των ριζών που είναι 5, το υπόλοιπο είναι 3.Αυτή είναι η ρίζα που ζητούσες.



(Ρητορική προσέγγιση.)Πλήρωση του τετραγώνου: (απόδειξη )Πλήρωση του τετραγώνου: (απόδειξη )

1 Φτιάχνουμε τετράγωνο με ακμή x1. Φτιάχνουμε τετράγωνο με ακμή x

2. Προσθέτουμε τα ορθογώνια παραλληλόγραμμο, με μήκος x και πλάτος 5/2. Συνολικό εμβαδό

3. Ολοκληρώνουμε σε τετράγωνο προσθέτοντας 4τετραγωνάκια με ακμή 5/2.Το μεγάλο τετράγωνο έχει εμβαδόν μ γ ρ γ χ μβ

Άρα το μεγάλο τετράγωνο έχει ακμή 8.Αφαιρούμε τις ακμές των δύο μικρών τετραγώνων, δηλ. 5 και βρίσκουμε x=3 .



2. Προσθέτουμε τα ορθογώνια παραλληλόγραμμο, ρ μ ρ γ ρ η γρ μμμε μήκος x και πλάτος b/4. Συνολικό εμβαδό

3. Ολοκληρώνουμε σε τετράγωνο προσθέτοντας 4τετραγωνάκια με ακμή b/4.Το μεγάλο τετράγωνο έχει εμβαδόν

άρα

και η λύση που ψάχνουμε είναικαι η λύση που ψάχνουμε είναι



είναι ειδική μορφή πολυωνυμικής εξίσωσης βαθμού 2.

Για κάθε άλλη μορφή δίνεται διαφορετική λύση και απόδειξη.Στις μορφές αυτές ο al-Kwarizmi δεν δέχεται αρνητικούς συντελεστές.

Επίσης οι λύσεις πρέπει να είναι θετικές, ενώ το 0 δεν είναι λύση.

Για τη λύση δευτεροβάθμιας εξίσωσης της μορφής χρησιμοποιεί την παρακάτω γεωμετρική κατασκευή.

ABNH=c, ΗC=b, ΗG=b/2, KT=b/2



Ινδο-Αραβικό αριθμητικό σύστημαΙνδο Αραβικό αριθμητικό σύστημα



Adam Riez (1525)

Τυπωμένη έκδοση για εμπόρουςμ ρ ς



Aryabhata (476–550 μ.Χ.)((μικρό απόσπασμα από τα Μαθηματικά στην Ινδία»

Το βιβλίο του «Aryabhatiya» είναι σε μαθηματικά (αριθμητική, άλγεβρα,

ί φ ή τριγωνομετρία, σφαιρική τριγωνομετρία, δευτεροβάθμιες εξισώσεις δευτεροβάθμιες εξισώσεις, συνεχή κλάσματα, αριθμητικές σειρές πίνακες ημιτόνων ) και σειρές, πίνακες ημιτόνων ) και αστρονομία.



Το μηδέν και η ιστορία τουΤο μηδέν ως ψηφίο και ως αριθμός:

κεντρική Αμερική ~ 36 π.Χ. (ψηφίο)Πτολεμαίος 130 μ Χ (ψηφίο +αριθμός)Πτολεμαίος ~130 μ.Χ. (ψηφίο +αριθμός)Ινδία ~ 460 μ.Χ. (δεκαδική βάση+ σύστημα θέσης+κωδικοποιημένη μορφή 10 ψηφίων)θέσης+κωδικοποιημένη μορφή 10 ψηφίων)al‐Κwarizmi ~825

ώ ώ (ό άλλ δ β ά Ευρώπη 12ο αιώνα (όπως και τα άλλα Ινδο‐ αραβικά σύμβολα με το Liber abaci

( )(δεν υπάρχει χρόνος 0)ερώτηση: ποια είναι η ημερομηνία της πρώτης μέρας της τρίτης χιλιετίας? (1η Ιανουαρίου του 2000 ή του 2001?)



(1η Ιανουαρίου του 2000 ή του 2001?)

Κλαύδιος Πτολεμαίος (85‐165)Αλεξάνδρεια

«Η μεγάλη σύνταξις της Αστρονομίαςγνωστή ως η «Μεγίστη» και από τα Αραβικά ως «almagest».ς g

(τριγωνομετρικοί πίνακες+Ιππαρχος)360ο μοίρες για τον κύκλο

«Γεωγραφία» (μήκος και πλάτος)και ο Κολόμβος



L d Fib i 1170 1250Leonardo Fibonacci 1170-1250

Γιός του ΒonaccioΓιός του Βonaccio

Ινδοαραβικά ψηφία και∆ύση∆ύση



Liber abaci (1202)Liber abaci (1202)



Liber abaci (το βιβλίο των υπολογισμών) (0‐9 + σύστημα θέσης)



Η ακολουθία του Fibonacci σχηματίζεται από το εξής πρόβλημα, (Liber Abaci) : Abaci) :

«πόσα ζευγάρια κουνέλια θα έχουμε σε ένα χρόνο, αν ξεκινήσουμε με ένα ζευγάρι, και αν κάθε μήνα το κάθε ζευγάρι γεννά ένα καινούριο, που αρχίζει

δ δνα αποκτά δικούς του απογόνους από το δεύτερο μήνα και μετά?»

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

Τ ί P l λ θί Fib i



Τρίγωνο του Pascal+ ακολουθία Fibonacci

Ακολουθία του Fibonacci και η χρυσή τομή



Ηλιοτρόπιο + ακολουθίες Fibonacci: σπείρες13 και 21Ηλιοτρόπιο + ακολουθίες Fibonacci: σπείρες13 και 21



Omar Khayyam (Περσία)Omar Khayyam (Περσία)

(1048‐1131)( )



Αν D είναι το σημείο τομής του ημικυκλίου

β λή ( ή Bκαι της παραβολής (με κορυφή B, άξονα BZ και παράμετρο ΑΒ) τότε ΒΕ είναι λύση

ξίτης εξίσωσης.

Αρχή των αξόνων είναι το B τότε η εξίσωση της παραβολής είναι



παραβολής είναι

Π β λέΠαραβολές

(Ο Ιπποκράτης ο Χίος (περ. 430 π.Χ.) )( ρ ης ς ( ρ 43 ) )

Μεναίχμου (περ 350 π Χ ) για τον διπλασιασμό του κύβουΜεναίχμου (περ. 350 π.Χ.) για τον διπλασιασμό του κύβου

Α ήδ ( 8 Χ ) ( έ έ β δό Αρχιμήδη (287‐212 π.Χ.) (κωνικές τομές‐‐‐εμβαδό παραβολικού τμήματος)

«Κωνικά» του Απολλώνιου (περ. 250 π.Χ.)(όροι β λή έλλ ψ β λή)παραβολή, έλλειψη, υπερβολή)



Gi l C d (1501 1576)Girolamo Cardano (1501 – 1576)



Cardano, Η Μεγάλη Τέχνη, Για τους Κανόνες της Άλγεβρας (1545)

Περιλαμβάνει την επίλυση της κυβικής και τεταρτοβάθμιας εξίσωσης.ρ β μ ς ξ ης



Διαμάχη Cardano‐Tartaglia

Ο Cardano παραδέχεται ότι την υπόδειξη για την λύση της τριτοβάθμιας της πήρε από τον Tartaglia (1500‐1557)

ενώ η λύση της τεταρτοβάθμιας οφείλεται στον γραμματέα του τον Ferrari(1522‐ενώ η λύση της τεταρτοβάθμιας οφείλεται στον γραμματέα του τον Ferrari(15221565)

Τ λύ βάθ ί λύψ d l F ( 6) ί Την λύση στην τριτοβάθμια την είχε ανακαλύψει ο del Ferro (1425‐1526) χωρίς να την δημοσιεύσει, και την εκμυστηρεύθηκε στον μαθητή του τον Fior.

Στη μαθηματική μονομαχία τo 1535 των Fior‐Tartaglia νίκησε συντριπτικά ο Tartaglia. Έτσι κίνησε το ενδιαφέρον του Cardano. Το 1539 έπεισε τον Tartaglia να του πει τον τρόπο και ορκίστηκε να μην το φανερώσει.ρ ρ η μη φ ρ



Tartaglia(1500 1557)

O τύπος των εξισώσεων που μπορούσε να λύσει ο Fior(1500-1557) μπορούσε να λύσει ο Fior

O Tartaglia μπορούσε να λύσειO Tartaglia μπορούσε να λύσει επιπρόσθετα και αυτές



«Κύβος και πρώτη δύναμη ισούνται αριθμό»



Εφαρμογή όταν το c=6, d=20φ ρμ γή ,

Όμως σημειώνει ο Cardano, η παραπάνω ποσότητα πρέπει να μ ς ημ , η ρ η ρείναι ίση με 2 αφού το 2 είναι λύση του παραπάνω πολυωνύμου.

ΠαρατήρησηΠόσες πραγματικές ρίζεςέχει το πολυώνυμο?



Έστω u,v έτσι ώστεu,v έτσι ώστε

Τότε μία ρίζα του πολυωνύμου δίνεται από τη διαφορά

Πράγματι και



Οι σχέσειςΟι σχέσεις

δίνουν το δευτεροβάθμιο πολυώνυμο ως προς uδίνουν το δευτεροβάθμιο πολυώνυμο ως προς u

Βρίσκοντας τη (θετική) ρίζα u και αντικαθιστώντας για το v, και στη συνέχεια για το x βρίσκει τον τύπο για τη ρίζα του τριτοβάθμιου.



Ο Cardano δεν χρησιμοποίησε σύμβολα, και ο τύπος του δόθηκε ρητορικά (με λόγια).

Ο τύπος δίνει μόνο μία ρίζα του κυβικού πολυωνύμου. Τι γίνεται με τις υπόλοιπες?υπόλοιπες?

Υπάρχουν περιστάσεις με αρνητικούς αριθμούς στο έργο του, αλλά αυτούς τους αποκαλούσε «πλασματικούς». Οι συντελεστές και οι ρίζες των πολυωνύμων ήταν θετικοί (όχι κατ’ανάγκη ρητοί) .

Χώρισε τα κυβικά πολυώνυμα σε περιπτώσεις ανάλογα με τους συντελεστές τους. (Ήταν γνωστό ότι τα κυβικά με ρίζες μπορούν να

θ ύ ί ό δύ ίαναχθούν σε μία από τις δύο κατηγορίες:

Έδωσε γεωμετρική δικαιολόγηση για τη διαδικασία λύσης.



x=4 είναι ρίζα του πολυωνύμου! Το παραπάνω τι είναι?



Ασ ήσε ςΑσκήσεις

Να βρείτε γεωμετρικά τη λύση για το τετράγωνο και 8Να βρείτε γεωμετρικά τη λύση για το τετράγωνο και 8 ρίζες ίσο με 9, όπως ο al-Kwarizmi.Να δείξετε ότι το σχήμα της διαφάνειας 9 οδηγεί σεΝα δείξετε ότι το σχήμα της διαφάνειας 9 οδηγεί σε λύση της εξίσωσης τετράγωνο και c είναι b ρίζες. Ποια συνθήκη πρέπει να ισχύει για να υπάρχειΠοια συνθήκη πρέπει να ισχύει για να υπάρχει λύση?Να βρείτε γεωμετρικά (όπως παραπάνω) τη λύση γιαΝα βρείτε γεωμετρικά (όπως παραπάνω) τη λύση για τετράγωνο και 8 ισούται 9 ρίζες. Μπορείτε να εντοπίσετε και άλλη λύση?εντοπίσετε και άλλη λύση?



Ν β ί ό Kh λύ ύβΝα βρείτε όπως ο Khayyam τη λύση του κύβου και ρίζα ίσο με 3.Να αποδείξετε χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις τηςΝα αποδείξετε χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις της παραβολής και του ημικυκλίου ότι BE είναι λύση της κυβικής εξίσωση. (Θεωρήστε ότι Β είναι η αρχή τωνκυβικής εξίσωση. (Θεωρήστε ότι Β είναι η αρχή των αξόνων.)Να δείξετε ότι ρίζα του c και d/c είναι κατασκευάσιμα ξ ρ ζ μευθύγραμμα τμήματα, χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη.Να αποδείξετε ότι 2 είναι ίσο με τη λύση που δίνει ο τύπος του Cardano στη διαφάνεια 30.Ν δ ίξ ό 4 ί ί λύ δίΝα αποδείξετε ότι 4 είναι ίσο με τη λύση που δίνει ο τύπος του Cardano στη διαφάνεια 34.



Εό ξά Εαρινό εξάμηνο 2011...

Documents

Transcript of Εό ξά Εαρινό εξάμηνο 2011...