Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδημαϊκού...

Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδημαϊκού Έτους

2019-2020

Ώρες Διδασκαλίας: Πέμπτη 09:00-12:00

Αίθουσα : Δ5 [email protected], [email protected]

http://users.uoa.gr/~papost/

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΙΣΧΥΣ – ΠΜΔ

(Π.Σ. πρώην ΤΕΙ Ιονίων Νήσων)

Δρ. Παντελής Αποστολόπουλος- Επίκουρος Καθηγητής


Δρ. Παντελής Σ. Αποστολόπουλος – Τμήμα Περιβάλλοντος

Θεματικές Ενότητες

Εναλλασσόμενο ρεύμα (Alternating Current – AC)

Ο νόμος του Faraday, γεννήτριες εναλλασσόμενου ρεύματος (μονοφασικό και τριφασικό), διαφορά δυναμικού, ένταση και ισχύς. Ενεργός και μέση τιμή κινηματικών και δυναμικών μεγεθών.

Εισαγωγικά στοιχεία μιγαδικής ανάλυσης

Η έννοια του μιγαδικού αριθμού, γεωμετρική αναπαράσταση, πράξεις στο σώμα ℂ, πολική ισοδυναμία μιγαδικών αριθμών, διανυσματική περιγραφή, τριγωνομετρική μορφή, φάσορες (phasors).

Κυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος

Συμπεριφορά ωμικών R, χωρητικών C, επαγωγικών L στοιχείων, κυκλώματα RC, RL, RLC. Η έννοια της σύνθετης αντίστασης Ζ. Ισχύς σε καθαρά ωμικό, χωρητικό και επαγωγικό στοιχείο – η έννοια της άεργης ισχύος.

Γεννήτριες και Μετασχηματιστές

Απλοποιημένο μοντέλο γεννήτριας, κατηγορίες και τύποι γεννητριών, λειτουργία σύγχρονης και ασύγχρονης. Γενικά χαρακτηριστικά μετασχηματιστών, λόγος μετασχηματισμού, απώλειες. Ιδανικός μετασχηματιστής, βαθμός απόδοσης.

Γραμμές μεταφοράς (Γ.Μ.)

Ισοδύναμο κύκλωμα γραμμής μεταφοράς, κατηγορίες Γ.Μ, ζυγοί ζεύξης, αποζεύκτες και γειωτές.






Βιβλιογραφία «Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας», Οικονόμου Λάμπρος, Καρβουνιάρη Δήμητρα, Μαλάμου Άννα, Εκδόσεις

Τζιόλα, 2η Ελληνική Έκδοση (Αθήνα 2014) - Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 32997433

«Εισαγωγή στα συστήματα ηλεκτρικής ενέργειας», Βοβός Νικόλαος Α., Γιαννακόπουλος Γαβριήλ, Εκδόσεις Ζήτη Πελαγία & Σια Ι.Κ.Ε. Έκδοση 1η έκδ./2008 - Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 11248

«Σταθμοί Παραγωγής Ηλεκτρικής Ισχύος», Απόστολος Πολυζάκης, Εκδότης ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΠΟΛΥΖΑΚΗΣ, 1η Έκδοση (2017) - Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 68378829

Σημειώσεις διδάσκοντα (https://opencourses.ionio.gr/)

Διαδικτυακά Μαθήματα – MIT






https://ocw.mit.edu/courses/find-by-topic/#cat=engineering&subcat=electricalengineering&spec=electricpower




Ηλεκτρική Ισχύς – ΠΜΔ Εναλλασσόμενο Ρεύμα – Alternating Current (AC) - 4 -

Ηλεκτροστατική Ακίνητα φόρτια ή στατικές

κατανομές φορτίου

Μαγνητοστατική Κινούμενα φόρτια με σταθερή

ταχύτητα Επιταχυνόμενα φορτία Μαγνητικό Πεδίο

Χρονικά Μεταβαλλόμενο

Faraday

Ηλεκτρικό Πεδίο Χρονικά μεταβαλλόμενο

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Εξισώσεις

J. C. Maxwell





Εξισώσεις του Maxwell

Νόμος του Gauss για το Ηλεκτρικό Πεδίο

Νόμος του Gauss για το Μαγνητικό Πεδίο

Νόμος του Faraday

Νόμος του Ampère και Maxwell





Εξισώσεις του Maxwell Η ηλεκτρική ροή που διέρχεται από το σύνορο ∂V μίας περιοχής του χώρου με

όγκο V, είναι ίση με το (αλγεβρικό) σύνολο της κατανομής ηλεκτρικού φορτίου Q(V) που περικλείεται από το ∂V

Η μαγνητική ροή που διέρχεται από το σύνορο ∂V μίας περιοχής του χώρου με όγκο V, είναι ίση με το (αλγεβρικό) σύνολο της κατανομής μαγνητικού φορτίου Q(V) που περικλείεται από το ∂V. Δεν υπάρχουν μαγνητικά μονόπολα ελεύθερα στη Φύση.

Η ένταση του Ηλεκτρικού Πεδίου κατά μήκος του συνόρου ∂S μίας ανοικτής επιφάνειας S, είναι ίση με τον αρνητικό ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής

ροής που διέρχεται από την επιφάνεια S

Η ένταση του Μαγνητικού Πεδίου κατά μήκος του συνόρου ∂S μίας ανοικτής επιφάνειας S, είναι ίση με το άθροισμα του ρυθμού μεταβολής της ηλεκτρικής

ροής που διέρχεται από την επιφάνεια S και το αλγεβρικό σύνολο των εντάσεων των ρευμάτων που περικλείονται από το ∂S.





Ο Νόμος του Faraday Η φυσική σημασία του νόμου του Faraday είναι ότι η χρονική μεταβολή του Μαγνητικού Πεδίου Β, επάγει χρονική μεταβολή της μαγνητικής ροής Φ που διέρχεται από μία επιφάνεια και η οποία συνεκδοχικά επάγει χρονικά μεταβαλλόμενο Ηλεκτρικό Πεδίο Ε. Θυμίζουμε τη σχέση με την οποία συνδέονται η ένταση του Ηλεκτρικού Πεδίου Ε με τη Διαφορά Δυναμικού (Δ.Δ.) V (μία διάσταση και υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει χωρική μεταβολή της έντασης):

𝛦 = −𝜕𝑉𝜕𝑙

= −d𝑉d𝑙⇒ d𝑉 = −𝐸 ∙ d𝑙 (Βαθμίδα Δυναμικού)

Χρησιμοποιώντας την ανωτέρω σχέση και το νόμο του Faraday καταλήγουμε στην έκφραση:

𝑉emf =𝑑Φ𝑑𝑑

(1.1) όπου Vemf είναι η τάση από Ηλεκτρομαγνητική Επαγωγή (ElectroMotive Force).





Παραγωγή μονοφασικού Εναλλασσόμενου Ρεύματος Η αρχή λειτουργίας παραγωγής εναλλασσόμενης τάσης μίας φάσης φαίνεται στην ακόλουθη εικόνα. Πλαίσιο εισάγεται μέσα σε ομογενές Μαγνητικό Πεδίο Β. Εξωτερική πηγή ενέργειας περιστρέφει το πλαίσιο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Κατά συνέπεια η κάθετος στο επίπεδο του πλαισίου, περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω και διαγράφει, κάθε χρονική στιγμή, γωνία θ=ωt. Η συνολική στιγμιαία μαγνητική ροή που διέρχεται από το πλαίσιο θα είναι κατά τα γνωστά:

𝛷 = 𝑩 ∙ 𝑨 = 𝐵𝐵cos𝜃 = 𝐵𝐵cos𝜔𝑡 (1.2) όπου Α είναι το εμβαδόν της επιφάνειας του πλαισίου ενώ θ είναι η γωνία που σχηματίζει η κάθετος στην επιφάνεια με την κατεύθυνση του Μαγνητικού Πεδίου Β. Παρατηρούμε ότι για 𝑡 = 0 το επίπεδο του πλαισίου βρίσκεται κάθετα στην διεύθυνση του Μαγνητικού Πεδίου και συνεπώς διέρχεται μέγιστη μαγνητική ροή από αυτό. Μετά από χρόνο

Τ4

έχει περιστραφεί κατά γωνία 𝜃 = 2𝜋Τ∙ Τ4

= π2

, μετά από χρόνο Τ2

κατά γωνία π κ.ο.κ.





Παραγωγή μονοφασικού Εναλλασσόμενου Ρεύματος Στη γενική περίπτωση, το πλαίσιο έχει τοποθετηθεί τυχαία μέσα στο ομογενές Μαγνητικό Πεδίο Β έχοντας αρχική γωνία με την κατεύθυνσή του φ έτσι ώστε:

𝛷 = 𝑩 ∙ 𝑨 = 𝐵𝐵cos 𝜃 + 𝜑 = 𝐵𝐵cos 𝜔𝑡 + 𝜑 (1.3) Συνεπώς τη χρονική στιγμή 𝑡 = 0 (κατά την οποία αρχίζει η περιστροφή του) η γωνία που σχηματίζει το πλαίσιο με την κατεύθυνση του Μαγνητικού Πεδίου είναι φ. Όπως θα δούμε στα επόμενα, αυτή η γωνία καλείται αρχική φάση (initial phase) της επαγόμενης Δ.Δ. V. Αντικαθιστώντας την (1.3) στη σχέση (1.1) λαμβάνουμε:

𝑉 =𝑑Φ𝑑𝑡 =

𝑑 𝐵𝐵cos 𝜃 + 𝜑𝑑𝑡 = 𝐵𝐵

𝑑 cos 𝜔𝑡 + 𝜑𝑑𝑡 = −𝐵𝐵𝜔sin (𝜔𝑡 + 𝜑)

και μπορούμε να επαναορίσουμε την αρχική γωνία (χωρίς βλάβη της γενικότητας) ώστε να απορροφήσουμε το αρνητικό πρόσημο. Η τελική μορφή της Δ.Δ. Σε αυτήν την απλουστευμένη περίπτωση είναι:

𝜐 𝑡 = 𝐵𝐵𝜔�𝑉0

sin 𝜔𝑡 + 𝜑 = 𝑉0sin (𝜔𝑡 + 𝜑) (1.4)

Η έκφραση (1.4) αποτελεί τη γενική Δ.Δ. σε μονοφασικό εναλλασσόμενο ρεύμα με πλάτος (μέγιστη τιμή - amplitude) 𝑉0, συχνότητα (frequency) 𝑓και αρχική φάση φ.

Παράδειγμα 1.1. Εναλλασσόμενη τάση έχει συχνότητα 𝑓 = 50Hz και αρχική φάση 𝜑 = 𝜋2

. Η μορφή της τάσης ως συνάρτηση του χρόνου είναι:





Τάση Εναλλασσόμενου Ρεύματος

Στις ανωτέρω γραφικές παραστάσεις ημιτονοειδών τάσεων (για ευκολία έχουμε θέσει φ=0) για διάφορες τιμές της συχνότητας (f=150Hz, 50Hz, 25Hz) παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να εξάγουμε γενικευμένα συμπεράσματα σχετικά με την επίδραση που έχει η στιγμιαία τιμή της εναλλασσόμενης τάσης είτε σε δυναμικό είτε σε ενεργειακό επίπεδο. Μία απλουστευμένη προσέγγιση για να το κατανοήσουμε αυτό είναι και το γεγονός ότι η μέση τιμή (average value) της τάσης κατά τη διάρκεια μίας περιόδου είναι μηδέν. Παρόλα αυτά να σημειώσουμε ότι η στιγμιαία εναλλασσόμενη τάση είναι απόλυτα αναγκαία και εξαιρετικά σημαντική για τη μελέτη κυκλωμάτων, γραμμών μεταφοράς Ηλεκτρικής Ενέργειας κ.τ.λ. Μας ενδιαφέρει λοιπόν και μία «μέση» τιμή ενός αρμονικού παλμού η οποία να έχει και φυσική σημασία. Προς τούτο χρησιμοποιούμε την έννοια της σταθμισμένης μέσης τετραγωνικής ρίζας (mean square root or rms). Μαθηματικά, και για μία περιοδική συνάρτηση, ορίζεται ως:





Τάση Εναλλασσόμενου Ρεύματος

Στην περίπτωση της τάσης η 𝜐rms καλείται ενεργός τιμή (effective value) και δίνεται από τη σχέση: 𝜐rms =

𝑉02

(1.5) Απόδειξη

Από τη θεμελιώδη τριγωνομετρική ταυτότητα λαμβάνουμε:

Θα δούμε σε επόμενα εδάφια ότι η συγκεκριμένη έκφραση για την ενεργό τιμή της εναλλασσόμενης τάσης έχει άμεση φυσική σημασία και

σχετίζεται με το ενεργειακό αποτέλεσμα που επάγει σε κυκλώματα καθώς και σε γραμμές μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας.





Ένταση Εναλλασσόμενου Ρεύματος

Αν συνδέσουμε μία πηγή εναλλασσόμενης τάσης σε ένα ωμικό στοιχείο R τότε το κύκλωμα και η αντίσταση θα διαρρέονται από ρεύμα έντασης 𝑖 𝑡 το οποίο θα ικανοποιεί το νόμο του Ohm κατά τα γνωστά:

𝑖 𝑡 = 𝜐(𝑑)𝑅

= 𝑉0𝑅

sin 𝜔𝑡 + 𝜑 = 𝐼0 sin 𝜔𝑡 + 𝜑 (1.6) και κατά αντιστοιχία η ενεργός τιμή της έντασης του εναλλασσόμενου ρεύματος θα δίνεται από τη σχέση:

𝑖𝑟𝑟𝑟 =𝐼0

2 (1.7)

Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι οι ενεργές τιμές της τάσης και της έντασης του εναλλασσόμενου ρεύματος ικανοποιούν και αυτές το νόμο του Ohm:

𝜐rms = 𝑖rms𝑅 (1.8)

Όπως παρατηρούμε, τόσο η τάση όσο και η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αντιστάτη έχουν την ίδια αρχική

φάση φ και προς τούτο καλούνται συμφασικά.

Η προηγούμενη παρατήρηση ισχύει μόνο για την περίπτωση κατά την οποία στο κύκλωμα υπάρχει μόνο ωμικό στοιχείο. Θα διαπιστώσουμε ότι η παρουσία επαγωγικών και χωρητικών συνιστωσών δημιουργεί διαφορές φάσεις μεταξύ των κινηματικών

και δυναμικών μεγεθών του εναλλασσόμενου ρεύματος





Στιγμιαία και Μέση Ισχύς Εναλλασσόμενου Ρεύματος

Ένα σημαντικό δυναμικό μέγεθος, που έχουμε ήδη αξιοποιήσει στα κυκλώματα DC, είναι και αυτό της Ηλεκτρικής Ισχύος (Electrical Power) P. Ουσιαστικά σχετίζεται με το ποσό της ενέργειας (στη μονάδα του χρόνου) που προσφέρεται από την πηγή του εναλλασσόμενου ρεύματος ή καταναλώνεται/αποθηκεύεται σε κάποιο στοιχείο (load). Ορίζεται ως το μέγεθος (μονάδα μέτρησης στο SI το 1 Watt):

𝑃 = 𝜐 𝑡 𝑖 𝑡 (1.9) Ο ορισμός (1.9) αναφέρεται στη στιγμιαία ηλεκτρική ισχύ που επάγεται στο κύκλωμα (ή γραμμή μεταφοράς) εναλλασσόμενου ρεύματος. Όπως και στην περίπτωση της Δ.Δ. ή της έντασης του AC, οι στιγμιαίες τιμές τους δεν είναι εύχρηστα ως μεγέθη και προς τούτο χρησιμοποιείται η έννοια της μέσης ισχύς (average power):

Μέση Ισχύς του εναλλασσόμενου ρεύματος καλείται το μονόμετρο μέγεθος το οποίο αντιστοιχεί στο ποσό της ισχύος (ενέργειας στην ουσία) που προσφέρθηκε/καταναλώθηκε/αποθηκεύτηκε κατά τη διάρκεια μίας

περιόδου T.

Χρησιμοποιώντας αυστηρή μαθηματική περιγραφή, η μέση ισχύς ορίζεται ως:

𝑃 = 𝑃avg =1𝑇�𝜐 𝑡 𝑖 𝑡 𝑑𝑡

𝑇

0

Είναι προφανές, μέσω της σχέσης (1.10), ότι η μέση ισχύς είναι ανεξάρτητη του χρόνου (έχουμε ολοκληρώσει σε εύρος μίας περιόδου). Όπως θα δούμε, ο γενικός ορισμός της μέσης ισχύος μας επιτρέπει να την υπολογίζουμε σε πολλές και διαφορετικές περιπτώσεις

(1.10)






Ως απλουστευμένο παράδειγμα ας υπολογίσουμε τη μέση ισχύ που παρέχεται σε ένα κύκλωμα το οποίο εμπλέκει μόνο ωμικό στοιχείο R. Η τάση και η ένταση δίνονται από τις σχέσεις 𝜐 𝑡 = 𝑉0sin𝜔𝑡 και 𝑖 𝑡 = 𝐼0sin𝜔𝑡. Από τη σχέση (1.10) λαμβάνουμε:

(1.11) Παρατηρούμε ότι η μέση ισχύς συμφασικών δυναμικών μεγεθών εξαρτάται μόνο από τις ενεργές τιμές τους. Το ίδιο συμπέρασμα ισχύει και αν είχαμε αρχική φάση (μόνο σε ωμικό κύκλωμα) στην τάση και την ένταση του εναλλασσόμενου ρεύματος! (ΓΙΑΤΙ; Αποδείξτε το.)






Στην περίπτωση κατά την οποία η τάση και η ένταση δίνονται από τις σχέσεις 𝜐 𝑡 = 𝑉0sin𝜔𝑡 και 𝑖 𝑡 = 𝐼0sin(𝜔𝑡 − 𝜑) η μέση ισχύς βρίσκεται να είναι:

𝑃 = 𝜐rms𝑖rmscos𝜑 (1.12)

(1.13)

Πράγματι έχουμε διαδοχικά:






Παρατήρηση 1

Οι γραφικές παραστάσεις των περιοδικών σημάτων, είτε άρτιων είτε περιττών, τα οποία λαμβάνουν όλες τις τιμές στο διάστημα [-α,α], έχουν ισεμβαδικά χωρία με

θετικό και αρνητικό πρόσημο, γεγονός μέσω του οποίου συνάγουμε ότι το αλγεβρικό άθροισμά τους είναι μηδέν στο εύρος της μίας περιόδου. Προς τούτο:

� sin𝜔𝑡𝑑𝑡𝛵

0

= 0

Παρατήρηση 2

Όπως γνωρίζουμε, το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων �⃗� και �⃗� δίνεται από τη σχέση �⃗� ∙ �⃗� = �⃗� �⃗� cos𝜑. Από τη σχέση (1.13) διαπιστώνουμε ότι υπάρχει η ευχέρεια αντιστοίχισης των δυναμικών μεγεθών του εναλλασσόμενου ρεύματος με

διανυσματικά πεδία και ο χειρισμός των πρώτων μπορεί να υλοποιηθεί μέσω διανυσματικού λογισμού. Αυτή η αντιστοίχιση-ισοδυναμία δίνει τη δυνατότητα ορισμού εύχρηστων εργαλείων τα οποία καλούνται φάσορες (phasors).





Τριφασικό εναλλασσόμενο ρεύμα - Γεννήτρια

Έχοντας διευθετημένα, σε κυκλική διάταξη, πηνία έτσι ώστε η νοητή διάμετρος που συνδέει τα ζεύγη να σχηματίζουν γωνία 1200, η έξοδος (φάση) κάθε

ενός από αυτά είναι:

𝜐1(𝑡) = sin𝜔𝑡

𝜐2(𝑡) = sin 𝜔𝑡 +2𝜋3

𝜐3(𝑡) = sin 𝜔𝑡 +3𝜋2





Άσκηση 1





Λύση





Άσκηση 2





f





Slide Number 1Slide Number 2Slide Number 3Slide Number 4Slide Number 5Slide Number 6Slide Number 7Slide Number 8Slide Number 9Slide Number 10Slide Number 11Slide Number 12Slide Number 13Slide Number 14Slide Number 15Slide Number 16Slide Number 17Slide Number 18Slide Number 19Slide Number 20Slide Number 21Slide Number 22Slide Number 23Slide Number 24Slide Number 25Slide Number 26

Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδημαϊκού...

Documents

Transcript of Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδημαϊκού...