Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός)

Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

Σύνοψη

Στο δέκατοτρίτο ετούτο κεφάλαιο περιγράφονται τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα και η

διάδοσή τους στο κενό. Παρουσιάζονται αναλυτικά οι τέσσερις εξισώσεις του Maxwell οι

οποίες δομούν την θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού. Επίσης περιγράφεται η εξίσωση του

ηλεκτρομαγνητικού κύματος καθώς και η πόλωση και η ενέργεια κύματος. Τέλος αναφέρονται

οι ιδιότητες των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων και το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα.

13.1 Γενικά

Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι κύματα που

παρουσιάζουν τις ίδιες ιδιότητες με τα μηχανικά και

περιγράφονται με τον ίδιο τρόπο. Παρόλα αυτά τα

ηλεκτρομαγνητικά κύματα παρουσιάζουν μια σημαντική διαφορά

από τα μηχανικά, η οποία έγκειται στο ότι μπορούν να

μεταδοθούν στο κενό. Αντιθέτως για να υπάρξει διάδοση

μηχανικών κυμάτων πρέπει να υπάρχει μέσο διάδοσης όπως είναι

ο αέρας, το νερό και γενικά οποιοδήποτε είδος ύλης. Τα

ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι στην ουσία ταλαντώσεις

ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου στο χώρο. Τα δυο πεδία είναι

κάθετα μεταξύ τους, και ταυτοχρόνως είναι και τα δυο κάθετα την

κατεύθυνση διάδοσής τους. Επειδή το ηλεκτρικό και το μαγνητικό

πεδίο είναι χρονικά μεταβαλλόμενα, το ένα δημιουργεί το άλλο

και αντίστροφα. Έτσι ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο

παράγεται από επιταχυνόμενα ηλεκτρικά φορτία και κατά

συνέπεια δημιουργεί ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο κάθετο

στο ηλεκτρικό. Λόγω του νόμου του Faraday και το

μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο δημιουργεί ένα μεταβαλλόμενο

επαγωγικό ηλεκτρικό πεδίο, το οποίο με την σειρά του δημιουργεί

ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο και ούτω κάθε εξής. Με

αυτόν τον τρόπο παράγεται ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο στο χώρο που

James Clerk Maxwell

(1831-1879)

Heinrich Rudolf Hertz

(1857-1894)

Κεφάλαιο 13 Δημήτριος Βλάχος 2

ονομάζεται ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Η ύπαρξη των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων

προβλέφθηκε το 1865 από την θεωρία του σπουδαίου Σκωτσέζου φυσικού James Clerk

Maxwell (1831-1879), η οποία περιέγραφε όλα τα γνωστά ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα και

που σήμερα είναι γνωστή ως ηλεκτρομαγνητική θεωρία. Η θεωρητική πρόβλεψη του

Maxwell για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, επαληθεύθηκε πειραματικά το 1887 από τον

Γερμανό φυσικό και μηχανικό Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894), ο οποίος παρήγαγε και

ανίχνευσε για πρώτη φορά ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Η ταχύτητα διάδοσής τους στο κενό

είναι ίση με την ταχύτητα του φωτός, c=300,000 km/s, όπως ακριβώς προέβλεψε η

ηλεκτρομαγνητική θεωρία. Η θεωρία του Maxwell προέβλεπε επίσης ότι το ίδιο το φως είναι

ηλεκτρομαγνητικό κύμα.

Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα εμφανίζονται με μια μεγάλη ποικιλία όσον αφορά το

μήκος κύματός τους ή την συχνότητά τους, από τις κοσμικές ακτίνες έως τα ραδιοκύματα. Σε

κάθε περίπτωση αποτελούν ταλαντωμένα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία κάθετα μεταξύ τους

και ταυτόχρονα κάθετα προς την κατεύθυνση διάδοσής τους. Το ηλεκτρικό πεδίο Ε είναι σε

άμεση σχέση με το μαγνητικό B βάσει της σχέσεως

cE B (13.1)

Τα πλάτη, δηλαδή οι εντάσεις των Ε και Β, μεταβάλλονται αντιστρόφως ανάλογα με

την απόσταση από την πηγή τους. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα μεταφέρουν ενέργεια, ορμή

και στροφορμή και μπορούν να ανιχνευθούν σε μεγάλες αποστάσεις από την πηγή τους.

Όταν τα πεδία Ε και Β είναι αμετάβλητα ως προς τον χρόνο, μπορούν να μελετηθούν

ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Όταν όμως μεταβάλλονται με τον χρόνο τότε τα πεδία δεν

είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους αλλά αλληλοεπηρεάζονται. Σύμφωνα με τον νόμο του Faraday

ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο παράγει ηλεκτρικό πεδίο. Επίσης από το νόμο του

Ampere ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο δρα ως πηγή μαγνητικού πεδίου (ρεύμα

μετατόπισης). Επομένως η μεταβολή του ενός πεδίου επιφέρει μια μεταβολή στο άλλο και

αντίθετα. Γι αυτό και τα κύματα ονομάζονται ηλεκτρομαγνητικά, δηλαδή μεταβολές

(ταλαντώσεις) του ηλεκτρικού πεδίου προκαλούν μεταβολές (ταλαντώσεις) του μαγνητικού

και αντίστροφα.

13.2 Ηλεκτρομαγνητική θεωρία και εξισώσεις του Maxwell

Όπως αναφέραμε ο Maxwell με την ενοποιημένη ηλεκτρομαγνητική θεωρία έδειξε ότι

τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι αποτέλεσμα των νόμων που την εκφράζουν και

συνοψίζονται στις ακόλουθες τέσσερις εξισώσεις.

Κεφάλαιο 13 Δημήτριος Βλάχος 3

ο

.q

ε E dS (νόμος του Gauss στον ηλεκτρισμό) (13.2)

. 0 B dS (νόμος του Gauss στον μαγνητισμό) (13.3)

BdΦ

dt dE.dl (νόμος του Faraday) (13.4)

ο οEdΦ

μ I εdt

dB.dl (νόμος του Ampere) (13.5)

Οι παραπάνω εξισώσεις ισχύουν για ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία στο κενό. Εάν στο χώρο

υπάρχει κάποιο υλικό, τότε θα πρέπει η ηλεκτρική επιτρεπτότητα εο και η μαγνητική

διαπερατότητα μο του κενού, να αντικατασταθούν με τις αντίστοιχες του υλικού, ε και μ

αντίστοιχα. Οι εξισώσεις 13.2 έως και 5 ονομάζονται εξισώσεις του Mawxell και μαζί με την

εξίσωση του Lorentz

q q F E υ B (13.6)

μπορούν να εξηγήσουν κάθε ηλεκτρομαγνητικό φαινόμενο της κλασσικής Φυσικής. Αν και οι

νόμοι των εξισώσεων αυτών ήταν απόρροια εργασιών άλλων επιστημόνων1 πριν από τον

Maxwell2, ο τελευταίος ενοποίησε και συμπλήρωσε τις εξισώσεις (πρόσθεσε τον όρο του

ρεύματος μετατόπισης στην εξ. 13.5) σε μια συμμετρική ενοποιημένη φυσική θεωρία όπου

ήταν δυνατή μια πλήρη περιγραφή των

ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων.

Παρόλα αυτά αξίζει να σημειώσουμε ότι

στην πραγματεία του Maxwell για τον

ηλεκτρομαγνητισμό που δημοσιεύτηκε το

1873, οι τέσσερις εξισώσεις δεν

παρουσιάζονταν με την σημερινή τους

μαθηματική μορφή. Αυτό έγινε αργότερα

από τον Άγγλο αυτοδίδακτο μαθηματικό,

φυσικό και τηλεγραφητή Oliver Heaviside (1850-1925) το 1884. Εντούτοις η συμβολή του

Maxwell στην ηλεκτρομαγνητική θεωρία είναι ανάλογη της συμβολής του Νεύτωνα στην

Μηχανική, του Carnot (Καρνότ) για την Θερμοδυναμική και του Αϊνστάιν στην θεωρία της

σχετικότητας και της κβαντομηχανικής. Στην πραγματικότητα ο Maxwell ήταν μια ιδιοφυΐα,

και ο πρώτος άνθρωπος που κατάλαβε την πραγματική φύση του φωτός ως

1 Οι Gauss, Faraday και Ampere δεν θα αναγνώριζαν τους νόμους τους αν έβλεπαν τις εξισώσεις 23.2 έως 5.

2 Ο Maxwell γεννήθηκε το 1831, χρονιά που ο Faraday διατύπωσε τον νόμο της επαγωγής.

B B

B B

E E

E E

y

z x

c

Σχήμα 13.1 Επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό κύμα που

διαδίδεται προς την x κατεύθυνση.

Μέτωπο

κύματος

Κεφάλαιο 13 Δημήτριος Βλάχος 4

ηλεκτρομαγνητικό κύμα που διαδίδεται στο χώρο με ταχύτητα c. Δικαίως σήμερα ο Maxwell

θεωρείται ο «πατέρας» του ηλεκτρομαγνητισμού.

Πότε παράγονται τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα; Από το νόμο του Faraday

συμπεραίνουμε ότι ηλεκτρικό πεδίο παράγεται όταν μεταβάλλεται ένα μαγνητικό πεδίο.

Επίσης μαγνητικό πεδίο παράγεται όταν μεταβάλλεται ένα ηλεκτρικό πεδίο όπως περιγράφει

ο νόμος του Ampere. Επομένως τα στατικά ηλεκτρικά φορτία και τα σταθερά ρεύματα δεν

μπορούν να παράγουν ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Αντιθέτως όταν το ρεύμα που διαρρέει

έναν αγωγό μεταβάλλεται με το χρόνο, τότε ο αγωγός εκπέμπει ηλεκτρομαγνητικά κύματα

δηλαδή ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. Επομένως ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία

παράγεται μόνο όταν ηλεκτρικά φορτία επιταχύνονται ή επιβραδύνονται. Για παράδειγμα αν

σε έναν ευθύγραμμο αγωγό, δηλαδή μια κεραία, εφαρμόσουμε εναλλασσόμενη τάση, τα

φορτία της κεραίας θα ταλαντωθούν και θα εκπέμψουν ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Έτσι

εκπέμπουν σήματα οι ραδιοφωνικοί και τηλεοπτικοί σταθμοί, οι ασύρματοι, τα κινητά

τηλέφωνα κ.α.

13.3 Επίπεδα ηλεκτρομαγνητικά κύματα

Ας υποθέσουμε ότι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι επίπεδο κύμα που διαδίδεται

προς την κατεύθυνση x όπως δείχνει το σχ. 13.1. Το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου Ε

κείται προς την κατεύθυνση y και το αντίστοιχο διάνυσμα του μαγνητικού πεδίου Β κείται

προς την κατεύθυνση z. Ένα τέτοιο κύμα που τα πεδία Ε και Β είναι παράλληλα προς δυο

σταθερές κατευθύνσεις y και z αντιστοίχως, ονομάζεται γραμμικώς πολωμένο κύμα. Τα

διανύσματα Ε και Β είναι σε φάση και δημιουργούν ένα επίπεδο που ονομάζεται μέτωπο ή

επίπεδο κύματος και διαδίδεται προς την διεύθυνση x με ταχύτητα c. Έτσι το επίπεδο του

κύματος διανύει απόσταση x σε χρόνο dt ίση με x cdt . Μπορεί να αποδειχθεί ότι η εξίσωση

του ηλεκτρικού πεδίου και του μαγνητικού πεδίου δίνονται ως

2 2

ο ο2 2

E Eμ ε

x t

(13.7α)

και

2 2

ο ο2 2

B Bμ ε

x t

(13.7β)

Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτή είναι η εξίσωση κύματος3 με ταχύτητα

3 Η εξίσωση κύματος είναι

2 2

2 2 2

1y y

x t

, όπου υ είναι η ταχύτητα του κύματος και y το πλάτος της κυματικής

διαταραχής.

Κεφάλαιο 13 Δημήτριος Βλάχος 5

ο ο

1c

μ ε (13.8)

Η απόδειξη της εξ. 13.8 μπορεί να γίνει με θεώρηση επιπέδων κυμάτων να ικανοποιούν τις

τέσσερις εξισώσεις του Maxwell, όμως δεν θα αναφερθούμε στην επακριβή της απόδειξη.

Αντικαθιστώντας τις τιμές όπου μο = 4π×10-7

W/A.m και εο=8.85418×10-12

C2/N.m

2

βρίσκουμε την ταχύτητα του φωτός c=2.99792×108 m/s. Άρα είναι φυσικό να πούμε ότι το

φως είναι ηλεκτρομαγνητικό κύμα.

Οι λύσεις των εξισώσεων 13.7α και β είναι της μορφής

o cos( )E E kx t (13.9α)

o cos( )B B kx t (13.9β)

όπου τα Εο και Βο συμβολίζουν τα πλάτη δηλαδή τις μέγιστες τιμές των πεδίων. Το ίδιο

αποτέλεσμα παίρνουμε αν αντί για συνημίτονο χρησιμοποιήσουμε ημίτονο στις εξισώσεις

13.9. Το k ονομάζεται κυματαριθμός του κύματος και ισούται με

2k (13.10)

όπου λ το μήκος κύματος. Επίσης ισχύει

ω 2πf

λf ck 2π/λ (13.11)

Μπορεί να αποδειχθεί ότι

cB

E (13.12)

Η απόδειξη της εξ. 13.12 στηρίζεται στην ισχύ του νόμου του Faraday για το επίπεδο κύμα

του σχήματος 13.1 και δεν θα παρουσιαστεί εδώ. Στο σχ. 13.2 φαίνεται ένα γραμμικά

πολωμένο ηλεκτρομαγνητικό κύμα το οποίο περιγράφεται από τις αρμονικές εξισώσεις 13.9.

Παράδειγμα 13.1

Ένα αρμονικό επίπεδο

ηλεκτρομαγνητικό κύμα συχνότητας

40 MHz διαδίδεται προς την θετική

κατεύθυνση x όπως στο σχ. 13.2. Σε

κάποιο σημείο μια δεδομένη στιγμή,

το ηλεκτρικό πεδίο Ε έχει την μέγιστη

τιμή των 750 Ν/C και είναι

παράλληλο προς τον άξονα y. α)

Υπολογίστε το μήκος και την περίοδο

του κύματος. β) Υπολογίστε το μέτρο και την κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου. γ)

Γράψτε τις εξισώσεις που περιγράφουν την μεταβολή του ηλεκτρικού και μαγνητικού

πεδίου του κύματος ως προς τον χώρο και τον χρόνο.

Λύση

α) Για την ταχύτητα του ηλεκτρομαγνητικού κύματος ισχύει

8

6 -1

3 10 m/s7.5m

40 10 s

cc f

f

Η περίοδος του κύματος είναι

8

6 -1

1 12.5 10 s

40 10 sT T T

f

β) Για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα ισχύει

6

8

750N/C2.5 10 T

3 10 m/s

E Ec B B B

B c

Επειδή το Β είναι κάθετο στο Ε και το Ε έχει την κατεύθυνση του άξονα y, το διάνυσμα Β

έχει την κατεύθυνση του άξονα z.

γ) Οι εξισώσεις κύματος είναι

o sin( )E E kx ωt και osinB= B (kx - ωt) , όπου Εο=750 Ν/C και Βο=2.5010-6

Τ.

Για τον κυματάριθμο έχουμε

12 20.838m

7.5mk k

,

Σχήμα 13.2 Γραφική αναπαράσταση ενός αρμονικού

(ημιτονοειδούς) ηλεκτρομαγνητικού κύματος που διαδίδεται

προς την x κατεύθυνση με ταχύτητα c.

Eo

y

z x

c

Bo

Eo

Eo

Eo

Eo Bo

Bo

Bo

Bo

Κεφάλαιο 3 Δημήτριος Βλάχος

7

ενώ για την κυκλική συχνότητα ισχύει

7

6 1

2 20.5 10 rad/s

40 10 sω ω

f

Τελικά παίρνουμε τις εξισώσεις κύματος

1 7 -1750N/Csin(0.838m 0.5 10 rad.s )E x t ,

και

-6 1 7 -12.50 10 sin(0.838m 0.5 10 rad.s )B x t

Παράδειγμα 13.2

Ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται στο χώρο και έχει ηλεκτρικό πεδίο

5 12 -1 ˆ(3.10 10 V/m)sin[ (12.65 10 rad.s ) ]ky t E k . α) Προς ποια διεύθυνση διαδίδεται το

κύμα; β) Ποιο είναι το μήκος κύματος; γ) Διατυπώστε την κυματική εξίσωση για το πεδίο

Β(y,t).

Λύση

α) Όπως βλέπουμε το πεδίο Ε είναι παράλληλο προς τον άξονα -z μιας και το

πλάτος του είναι 5 ˆ(3.10 10 V/m) oE k , δηλαδή εκφράζεται με το μοναδιαίο διάνυσμα ˆk

του z άξονα. Επίσης από την κυματική εξίσωση του Ε βλέπουμε υπάρχει στο ημίτονο

χωρική εξάρτηση από την μετατόπιση y, επομένως συμπεραίνουμε ότι η διάδοση του

κύματος γίνεται κατά μήκος του y άξονα.

β) Το μήκος κύματος δίνεται από την σχέση

c

c ff

(1)

όπου f είναι η συχνότητα του κύματος. Από την εξίσωση του Ε έχουμε ότι η γωνιακή

συχνότητα του κύματος είναι 12 -112.65 10 rad.sω . Έτσι μπορούμε να γράψουμε

22

ωω f f

(2)

Η εξ. 2 στην 1 δίνει

Κεφάλαιο 3 Δημήτριος Βλάχος

8

8

4

12 -1

2 2 3 10 m/s1.5 10 m

12.65 10 rad.s

c

ω

γ) Η κυματική εξίσωση του μαγνητικού πεδίου Β(y,t) είναι ανάλογη αυτής του Ε(y,t).

Καταρχήν ξέρουμε ότι το μαγνητικό πεδίο είναι κάθετο πάντα στο ηλεκτρικό και

διαδίδεται στην ίδια κατεύθυνση και με τα ίδια ω και k με αυτό. Επομένως συμπεραίνουμε

ότι το Β είναι παράλληλο στον άξονα x και διαδίδεται στην κατεύθυνση y. Από τα

παραπάνω μπορούμε να γράψουμε ότι

12 -1

oˆsin[ (12.65 10 rad.s ) ]B ky t B i (3)

Το πλάτος του μαγνητικού πεδίου Βο το ευρίσκουμε από την σχέση

5

3oo o o o8

3.10 10 V/m1.03 10 T

3 10 m/so

EE cB E cB B B B

c

Επειδή το ΒοΕο και το Εο κείται στον –z ημιάξονα το Βο θα κείται στον –x ημιάξονα.

Επίσης ο κυματάριθμος μπορεί να υπολογιστεί ως

4 1

4

2 24.2 10 m

1.5 10 mk k

Τελικά καταλήγουμε για την εξίσωση Β(y,t)

3 4 1 12 -1 ˆ(1.03 10 Τ)sin[(4.2 10 m ) (12.65 10 rad.s ) ]y t B i

13.4 Ενέργεια ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων

Όπως κάθε κύμα στην Φύση, έτσι και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα μεταφέρουν

ενέργεια και ορμή. Ο ρυθμός της ενέργειας που μεταφέρεται από το ηλεκτρομαγνητικό

κύμα ανά μονάδα επιφανείας κάθετη στην διεύθυνση κίνησης δίδεται από το διάνυσμα

Poynting S, το οποίο ορίζεται ως

ο

1

μ S E B (13.13)

Η κατεύθυνση του διανύσματος S είναι ίδια με την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. Οι

μονάδες του S στο SI είναι J/s.m2 ή αλλιώς W/m

2.

Εφόσον το E είναι κάθετο στο Β η εξ. 13.13 δίνει για το μέτρο του S,

ο

EBS

μ (13.14)

Κεφάλαιο 3 Δημήτριος Βλάχος

9

Από την εξ. 13.12 παίρνουμε για την 13.14

2

2

ο ο

E cS B

μ c μ (13.15)

Επειδή τα πεδία Ε και Β ενός αρμονικού κύματος αλλάζουν συνεχώς με τον χρόνο, η εξ.

13.15 ισχύει για κάθε χρονική στιγμή. Παρόλα αυτά το διάνυσμα S εξαρτάται από τον

χρόνο μιας και τα Ε και Β μεταβάλλονται με τον χρόνο. Έτσι λοιπόν παρατηρώντας το

κύμα στο σχ. 13.2, συμπεραίνουμε ότι όταν τα πεδία Ε και Β παίρνουν τις μέγιστες τιμές

τους, δηλαδή Εο και Βο αντιστοίχως (βλέπε εξισώσεις 13.9), το διάνυσμα S γίνεται μέγιστο.

Έτσι γράφουμε

22o

max o

ο ο

E cS B

μ c μ (13.16)

Αντιθέτως όταν τα πεδία παίρνουν την μικρότερη τιμή τους, δηλαδή μηδέν, τότε το

διάνυσμα S ελαχιστοποιείται, ίσο με Smin=0. Συμπερασματικά λοιπόν, επειδή τα πεδία Ε

και Β ταλαντώνονται ή αλλιώς πάλλονται με τον χρόνο, το ίδιο κάνει και το διάνυσμα

Poynting S. Αυτή η ταλάντωση βέβαια δεν είναι αντιληπτή γιατί γίνεται με πολύ μεγάλη

συχνότητα. Έτσι είναι πιο ορθό να μιλάμε για μέση μεταφορά ενέργειας του κύματος, η

οποία αν μετρηθεί σε μια περίοδο ορίζει την ένταση Ι του κύματος. Δηλαδή ισχύει

PI S

A (13.17)

όπου P η μέση ισχύς, δηλαδή η ενέργεια ανά δευτερόλεπτο του κύματος που διαρρέει

επιφάνεια εμβαδού Α. Η ένταση δηλαδή του ηλεκτρομαγνητικού κύματος, είναι ίση με την

μέση τιμή του διανύσματος Poynting, S . Για αρμονικό ηλεκτρομαγνητικό κύμα μπορεί να

δειχθεί ότι

2 2οo o

ο

1

2 2

cεI S E B

cμ (13.18)

Το επίπεδο κύμα είναι μια ιδανική περίπτωση κύματος. Στην πραγματικότητα πολλές πηγές

κυμάτων εκπέμπουν κύματα προς όλες τις κατευθύνσεις του χώρου. Έτσι για μια πηγή

κύματος σταθερής ισχύος όσο απομακρυνόμαστε από την πηγή η ένταση του κύματος

αναμένεται να μειώνεται με την απόσταση. Για παράδειγμα αν έχουμε σφαιρική κατανομή

Κεφάλαιο 3 Δημήτριος Βλάχος

10

της ενέργειας στο χώρο, θεωρώντας σφαιρικά κύματα, η ένταση του κύματος σε κάθε

σφαιρική επιφάνεια θα είναι

24

PI

r (13.19)

Κάποιες πηγές κυμάτων όπως για παράδειγμα οι κεραίες, εκπέμπουν κύματα προς

ορισμένες κατευθύνσεις. Παρόλο που η εξ. 13.19 δεν ισχύει για αυτές τις περιπτώσεις, η

ένταση του κύματος ελαττώνεται με το τετράγωνο της απόστασης κατά μήκος αυτών των

κατευθύνσεων διάδοσης.

Παράδειγμα 13.3

Το 10% της ισχύος ενός λαμπτήρα 100 W ακτινοβολείται ομοιόμορφα προς όλες

τις κατευθύνσεις ως φως. Υπολογίστε τα μεγέθη των μεγίστων ηλεκτρικού και μαγνητικού

πεδίου Εο και Βο αυτής της ορατής ακτινοβολίας σε απόσταση 3.00 m από την φωτεινή

πηγή. Δίδεται μο = 4π×10-7

W/A.m.

Λύση

Η ένταση του φωτεινού κύματος σε απόσταση r από την πηγή είναι

24

PI

r (1)

όπου P=0.1100 W, και r=3.00 m.

Όμως η ένταση είναι η μέση τιμή του διανύσματος Poynting, S και άρα

2 2

o o ο o ο

ο

12 2

2I S E E cμ I E cμ I

cμ (2)

Η εξ. 1 στην 2 δίνει

8 7

o ο o ο o2 2 2

m W 0.1 100W2 3 10 4 10 8.16V/m

4 2 s Am 2 (3m)

P PE cμ E cμ E

r r

Για να υπολογίσουμε το Βο, γνωρίζουμε ότι ισχύει

-8oo o o o o8

8.16V/m2.72 10 T

3 10 m/s

EE cB B B B

c

Κεφάλαιο 3 Δημήτριος Βλάχος

11

13.5 Το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα

Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα παρουσιάζουν ένα μεγάλο εύρος ενέργειας και

επομένως μηκών κύματος και συχνότητας. Ξεκινούν από τα μακρά κύματα με μήκος

κύματος δεκάδες χιλιόμετρα και φτάνουν στις ακτίνες γ με μήκος κύματος μικρότερα του

Άνγκστρομ (1Å=10-10

m). Στο σχήμα 23.3 φαίνονται οι περιοχές του μήκους κύματος και

της συχνότητας για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα.

Τα ραδιοκύματα χρησιμοποιούνται στις ραδιοφωνικές εκπομπές στις ζώνες των

ΑΜ και FM. Επίσης οι τηλεοπτικές εκπομπές χρησιμοποιούν ραδιοκύματα υψηλότερης

συχνότητας από εκείνα του ραδιοφώνου. Τα ραδιοκύματα λόγω του μεγάλου μήκους

κύματος μπορούν και ταξιδεύουν στο διάστημα διανύοντας τεράστιες αποστάσεις, με

αποτέλεσμα να μπορούμε να παρατηρούμε και να μελετούμε άστρα και άλλα ουράνια

σώματα σε πολύ μακρινές αποστάσεις από την Γη. Έτσι ένας ειδικός κλάδος της

αστρονομίας έχει αναπτυχθεί, η ραδιοαστρονομία με χρήση ειδικών τηλεσκοπίων των

ραδιοτηλεσκοπίων.

Κεφάλαιο 3 Δημήτριος Βλάχος

12

Τα μικροκύματα δημιουργούνται κυρίως από ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις

ηλεκτρικών κυκλωμάτων όπως στην περίπτωση των φούρνων μικροκυμάτων.

Χρησιμοποιούνται επίσης στις τηλεπικοινωνίες με την χρήση κινητών τηλεφώνων.

Τα κύματα στο υπέρυθρο δημιουργούνται από εκπομπή ακτινοβολίας ατόμων ή

μορίων που αλλάζουν την περιστροφική τους ή την ταλαντωτική τους κατάσταση.

Αποτέλεσμα αυτής της αλλαγής είναι τα συστήματα των ατόμων ή μορίων να εκπέμπουν

ενέργεια υπό μορφή θερμότητας που ονομάζεται θερμική ακτινοβολία. Κάθε σώμα λόγω

της θερμοκρασίας του εκπέμπει θερμική ακτινοβολία κατά το πλείστο στην υπέρυθρη

περιοχή. Η θερμότητα που αισθάνεται το χέρι μας όταν βρίσκεται κοντά σε λαμπτήρα

πυρακτώσεως οφείλεται σε υπέρυθρη ακτινοβολία. Η Γη εκπέμπει θερμότητα στο

διάστημα στο υπέρυθρο, όπως και τα ουράνια σώματα εκπέμπουν υπέρυθρη ακτινοβολία

προς τη Γη.

Σχήμα 13.3 Το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα βάση του μήκους κύματος και της συχνότητας. Οι διάφορες περιοχές του

φάσματος αλληλοκαλύπτονται χωρίς να υπάρχουν σαφή όρια. Η περιοχή του ορατού φωτός απαρτίζεται από περιοχές

διαφόρων μηκών κύματος με διαφορετικά χρώματα.

Μήκος κύματος (m)

Συχνότητα (Ηz)

108

109

1010 10

11 10

12 10

13 10

14 10

15 10

16 1017

1018

1019

1020

1021 10

22

10

100

10-1 10

-2 10

-3 10

-4 10

-5 10

-6 10

-7 10-8

10-9

10-10

10-11

10-12 10

-13

Ραδιοκύματα

Μικροκύματα

Υπέρυθρο Υπεριώδες

Ακτίνες - Χ

Ακτίνες - γ

Ορατό φως

700 λ (nm) 650 600 550 500 450 400

0 Ερυθρό

Πορτοκαλί

Κίτρινο

Πράσινο Κυανό Ιώδες

Μακρά

κύματα

Κεφάλαιο 3 Δημήτριος Βλάχος

13

Το ορατό φως είναι η πιο οικεία σε μας ακτινοβολία, μιας και την ανιχνεύουμε με

του οφθαλμούς μας και γενικότερα με την αίσθηση της οράσεως. Έχει μήκος κύματος της

τάξης μεγέθους μερικών εκατοντάδων νανομέτρων, που κυμαίνεται από ~700 nm για το

βαθύ ερυθρό, έως ~400 nm για το βαθύ ιώδες. Το φως εκπέμπεται κατά την αλλαγή της

ενεργειακής κατάστασης των ηλεκτρονίων σθένους ατόμων, και ανάλογα την ενέργεια

εκπομπής της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας αντιλαμβανόμαστε διαφορετικό χρώμα.

Η υπεριώδης ακτινοβολία προέρχεται από αποδιεγέρσεις ηλεκτρονίων τα οποία

βρίσκονται στις εξωτερικές στοιβάδες των ατόμων και είναι πιο χαλαρά δεσμευμένα στον

πυρήνα. Η ακτινοβολία αυτή είναι επικίνδυνη για τα έμβια όντα, μιας και έχει μικρότερο

μήκος από το ορατό φως και είναι πιο διεισδυτική. Ο Ήλιος επίσης εκπέμπει στο

υπεριώδες, αλλά το στρώμα όζοντος στα ανώτερα στρώματα της γήινης ατμόσφαιρας

φιλτράρει τις υπεριώδεις ακτίνες που μπορούν να προκαλέσουν εγκαύματα ή και καρκίνο

του δέρματος.

Οι ακτίνες –Χ είναι ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία που εκπέμπεται από

αποδιεγέργεις ηλεκτρονίων εσωτερικών ατομικών στοιβάδων, τα οποία είναι πιο ισχυρά

δεσμευμένα με τον πυρήνα. Οι ακτίνες –Χ είναι πολύ διεισδυτικές και επικίνδυνες για τους

έμβιους οργανισμούς, αν και σε περιορισμένη έκθεση μπορούν να διαγνώσουν διάφορες

παθήσεις στην ιατρική. Επίσης χρησιμοποιούνται για την χημική ανάλυση υλικών αλλά και

για την δομική τους μελέτη μέσω σκέδασης, επειδή τα μήκη κύματός τους είναι

συγκρίσιμα με τις ενδοατομικές αποστάσεις των στερεών.

Οι ακτίνες –γ είναι ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία με πολύ μικρό μήκος κύματος

και εκπέμπεται από πυρήνες ατόμων κατά τις μεταβάσεις από μια κατάσταση σε μια άλλη.

Επίσης ακτίνες –γ εκπέμπουν και στοιχειώδη σωμάτια κατά τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ

τους. Είναι πολύ διεισδυτικές και επικίνδυνες ακτίνες και μπορούν να προκαλέσουν

σημαντικές οργανικές βλάβες, όπως επίσης και καταστροφή καρκινικών κυττάρων.

Παράδειγμα 13.4

Ποιο είναι το μήκος κύματος σε μέτρα και νανόμετρα α) ακτίνων γ συχνότητας

6.501021

Ηz, και β) ορατού φωτός συχνότητας 5.751014

Ηz; Θεωρείστε τα κύματα

διαδιδόμενα στον αέρα. (Young, Κεφ 32, Άσκηση 31).

Κεφάλαιο 3 Δημήτριος Βλάχος

14

Λύση

α) Για την διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στον αέρα ισχύει

814

21 -1

3 10 m/s4.61 10 m

6.50 10 s

cc f

f

Η ίδια ποσότητα εκφράζεται σε νανόμετρα ως 54.61 10 nm

β) Ομοίως για f=5.751014

Ηz ευρίσκουμε

87

14 -1

3 10 m/s5.21 10 m

5.75 10 s

ή λ=521 nm.

13.6 Ιδιότητες των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων

Κλείνοντας το παρών κεφάλαιο αναφέρουμε τις τρεις βασικές ιδιότητες που

χαρακτηρίζουν ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα:

1) Τα πεδία Ε και Β είναι κάθετα μεταξύ τους και είναι επίσης είναι κάθετα στην

ταχύτητα διάδοσης του κύματος, έτσι ώστε το διάνυσμα ΕΒ να έχει την ίδια κατεύθυνση

με την υ.

2) Το κύμα διαδίδεται στο κενό με ταχύτητα ο ο1/c ε μ= .

3) Σε κάθε σημείο του κύματος ισχύει Ε cB .

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα

Σημείωμα Αναφοράς

Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος.

«Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός). ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ». Έκδοση: 1.0.

Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1211.

Σημείωμα Αδειοδότησης

• Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons

Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη.

[1] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/.