ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 11

ΠΠΜΠΠΜ 220: 220: ΣτατικήΣτατική ΑνάλυσηΑνάλυση τωντων ΚατασκευώνΚατασκευών ΙΙ

∆ιαλέξεις 24-27

ΑρχήΑρχή ∆υνατών∆υνατών ΈργωνΈργων ((Α∆ΕΑ∆Ε))

ΤρίτηΤρίτη, , 22, , ΤετάρτηΤετάρτη, , 33,, ΠαρασκευήΠαρασκευή 55καικαι ΤρίτηΤρίτη, , 9 9 ΝοεµβρίουΝοεµβρίου , 2004, 2004

ΠέτροςΠέτρος ΚωµοδρόµοςΚωµοδρόµοςkomodromos@ucy.ac.cykomodromos@ucy.ac.cy

http://www.ucy.ac.cy/~petroskhttp://www.ucy.ac.cy/~petrosk

22

ΘέµαταΘέµατα

ΕισαγωγήΕισαγωγή στηνστην αρχήαρχή τωντων δυνατώνδυνατών έργωνέργων ((Α∆ΕΑ∆Ε))ΑρχήΑρχή τωντων δυνατώνδυνατών έργωνέργωνΑρχήΑρχή τωντων δυνατώνδυνατών συµπληρωµατικώνσυµπληρωµατικών έργωνέργων

ΕξωτερικόΕξωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργοΕσωτερικόΕσωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργο ((ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια ))

αξονικέςαξονικές παραµορφώσειςπαραµορφώσειςκαµπτικέςκαµπτικές παραµορφώσειςπαραµορφώσειςδιατµητικέςδιατµητικές παραµορφώσειςπαραµορφώσειςστρεπτικέςστρεπτικές παραµορφώσειςπαραµορφώσειςσυνολικήσυνολική ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια

ΥπολογισµόςΥπολογισµός µετακινήσεωνµετακινήσεων µεµε τηντην Α∆ΕΑ∆ΕΥπολογισµόςΥπολογισµός ορισµένωνορισµένων ολοκληρωµάτωνολοκληρωµάτων µορφήςµορφήςΜηΜη πρισµατικάπρισµατικά µέληµέληΠαραµορφώσειςΠαραµορφώσεις απόαπό άλλαάλλα, , εκτόςεκτός φορτίωνφορτίων, , αίτιααίτια

ΘερµοκρασιακέςΘερµοκρασιακές µεταβολέςµεταβολέςΚατασκευαστικέςΚατασκευαστικές ατέλειεςατέλειες καικαι σφάλµατασφάλµατα∆ιαφορικές∆ιαφορικές καθιζήσειςκαθιζήσεις

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 33

ΧρησιµότηταΧρησιµότητα υπολογισµούυπολογισµού παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων καικαι µετακινήσεωνµετακινήσεων

ΈλεγχοιΈλεγχοι

ασφάλειαςασφάλειαςεντατικώνεντατικών µεγεθώνµεγεθών σεσε σχέσησχέση µεµε τιςτις επιτρεπόµενεςεπιτρεπόµενες αντοχέςαντοχές

λειτουργικότηταςλειτουργικότηταςδιασφαλίζονταιδιασφαλίζονται λειτουργικέςλειτουργικές ανάγκεςανάγκες µιαςµιας κατασκευήςκατασκευής

((ππ.x. .x. έλεγχοςέλεγχος παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων καικαι µετακινήσεωνµετακινήσεων))

αναγκαίοςαναγκαίος οο υπολογισµόςυπολογισµός τωντων παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων καικαι µετακινήσεωνµετακινήσεων ενόςενόςφορέαφορέα κάτωκάτω απόαπό τηντην επίδρασηεπίδραση κάποιωνκάποιων συγκεκριµένωνσυγκεκριµένων δράσεωνδράσεων ήήσυνδυασµώνσυνδυασµών δράσεωνδράσεων γιαγια σκοπούςσκοπούς ελέγχουελέγχου λειτουργικότηταςλειτουργικότητας

ΕπίσηςΕπίσης, , απαραίτητοςαπαραίτητος είναιείναι οο υπολογισµόςυπολογισµός τωντων µετακινήσεωνµετακινήσεων κατάκατά τηντηνεπίλυσηεπίλυση υπερστατικώνυπερστατικών φορέωνφορέων γιαγια τηντην οποίαοποία δενδεν αρκούναρκούν οιοι εξισώσειςεξισώσειςισορροπίαςισορροπίας

οοιι επιπλέονεπιπλέον εξισώσειςεξισώσεις προκύπτουνπροκύπτουν απόαπό τηντην διατύπωσηδιατύπωση τηςτηςσυµβιβαστότηταςσυµβιβαστότητας τωντων παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων καικαι µετακινήσεωνµετακινήσεων τουτου φορέαφορέα

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 44

ΣυνήθηςΣυνήθης παραδοχέςπαραδοχέςµικρέςµικρές παραµορφώσειςπαραµορφώσεις καικαι µετακινήσειςµετακινήσεις σεσε σχέσησχέση µεµε τιςτις διαστάσειςδιαστάσειςχρήσηχρήση αρχικήςαρχικής απαραµόρφωτηςαπαραµόρφωτης γεωµετρίαγεωµετρία καικαι µορφήςµορφής τουτου φορέαφορέα

γραµµικήγραµµική--ελαστικήελαστική συµπεριφοράσυµπεριφορά τουτου υλικούυλικούγραµµικήγραµµική συµπεριφοράσυµπεριφορά: : οιοι τάσειςτάσεις είναιείναι ανάλογεςανάλογες τωντων παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων

ελαστικήελαστική συµπεριφοράσυµπεριφορά: : αναν αφαιρεθούναφαιρεθούν όλαόλα τατα φορτίαφορτία απόαπό τοντον φορέαφορέα τότετότεαυτόςαυτός θαθα επιστρέψειεπιστρέψει στηνστην αρχικήαρχική αφόρτιστηαφόρτιστη θέσηθέση καικαι γεωµετρίαγεωµετρία τουτου χωρίςχωρίςπαραµένουσεςπαραµένουσες παραµορφώσειςπαραµορφώσεις

αρχήαρχή τηςτης επαλληλίαςεπαλληλίας..

αρχήαρχή τηςτης επιπεδότηταςεπιπεδότητας τωντων διατοµώνδιατοµών (Bernoulli)(Bernoulli)ΓιαΓια γραµµικάγραµµικά µέληµέλη υπόυπό καµπτικέςκαµπτικές παραµορφώσειςπαραµορφώσεις θεωρείταιθεωρείται ότιότι επίπεδεςεπίπεδεςδιατοµέςδιατοµές πουπου είναιείναι κάθετεςκάθετες στονστον άξοναάξονα ενόςενός µέλουςµέλους παραµένουνπαραµένουν επίπεδεςεπίπεδεςκαικαι κάθετεςκάθετες στονστον παραµορφωµένοπαραµορφωµένο άξοναάξονα ενόςενός µέλουςµέλους µετάµετά τηντηνπαραµόρφωσηπαραµόρφωση

έτσιέτσι, , έχονταςέχοντας γραµµικάγραµµικά ελαστικόελαστικό υλικόυλικό,, υπάρχειυπάρχει µιαµια γραµµικήγραµµική µεταβολήµεταβολή τωντωνορθώνορθών τάσεωντάσεων µεταξύµεταξύ τωντων ακραίωνακραίων ινώνινών σταστα πέλµαταπέλµατα ενόςενός µέλουςµέλους

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 55

ΓεωµετρικέςΓεωµετρικές µέθοδοιµέθοδοι υπολογισµούυπολογισµού µετακινήσεωνµετακινήσεων

γεωµετρικέςγεωµετρικές µέθοδοιµέθοδοι::

βασίζονταιβασίζονται, , είτεείτε άµεσαάµεσα είτεείτε έµµεσαέµµεσα, , στηνστην διαφορικήδιαφορική εξίσώσηεξίσώση ((∆Ε∆Ε) ) πουπουσυνδέεισυνδέει τηντην καµπτικήκαµπτική ροπήροπή µεµε τηντην καµπυλότητακαµπυλότητα

χρησιµοποιούνταιχρησιµοποιούνται γιαγια τοντον υπολογισµόυπολογισµό βυθίσεωνβυθίσεων καικαι στροφώνστροφών απλώναπλώνφορέωνφορέων λαµβάνονταςλαµβάνοντας υπόψηυπόψη µόνοµόνο τιςτις καµπτικέςκαµπτικές παραµορφώσειςπαραµορφώσεις

κύριεςκύριες γεωµετρικέςγεωµετρικές µέθοδοιµέθοδοι::µέθοδοςµέθοδος διπλήςδιπλής ολοκλήρωσηςολοκλήρωσης ((double integration methoddouble integration method) )

µέθοδοςµέθοδος ροπώνροπών ((momentmoment--area methodarea method) )

µέθοδοςµέθοδος οµόλογηςοµόλογης δοκούδοκού ((conjugate beam methodconjugate beam method) )

παρουσιάζουνπαρουσιάζουν σηµαντικάσηµαντικά µειονεκτήµαταµειονεκτήµατα ειδικάειδικά γιαγια τηντην συστηµατικήσυστηµατικήγενικήγενική ανάλυσηανάλυση πολύπλοκωνπολύπλοκων φορέωνφορέων. .

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 66

ΕνεργειακέςΕνεργειακές µέθοδοιµέθοδοι υπολογισµούυπολογισµού µετακινήσεωνµετακινήσεων

βασίζονταιβασίζονται στοστο ισοζύγιοισοζύγιο εξωτερικούεξωτερικού καικαι εσωτερικούεσωτερικού έργουέργου

εξωτερικόεξωτερικό έργοέργο (external work)(external work):: τοτο έργοέργο πουπου παράγεταιπαράγεται απόαπό τατα εξωτερικάεξωτερικά φορτίαφορτίακατάκατά τητη µετακίνησηµετακίνηση τουςτους λόγωλόγω παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων τουτου φορέαφορέα

εσωτερικόεσωτερικό έργοέργο (internal work)(internal work) ήή αλλιώςαλλιώς ελαστικήελαστική ενέργειαενέργεια (elastic strain energy)(elastic strain energy):: ηηενέργειαενέργεια, , ήή τοτο εσωτερικόεσωτερικό έργοέργο, , ηη οποίαοποία αποθηκεύεταιαποθηκεύεται στοστο υλικόυλικό λόγωλόγω τάσεωντάσεων καικαιπαραµορφώσεωνπαραµορφώσεων

κύριεςκύριες ενεργειακέςενεργειακές µέθοδοιµέθοδοι::

αρχήαρχή διατήρησηςδιατήρησης τηςτης ενέργειαςενέργειας ((πραγµατικόπραγµατικό έργοέργο))µίαµία άγνωστηάγνωστη µετακίνησηµετακίνηση µόνοµόνο µπορείµπορεί νανα υπολογιστείυπολογιστεί αφούαφού µόνοµόνο µιαµια εξίσωσηεξίσωση υπάρχειυπάρχει γιαγιατοτο ισοζύγιοισοζύγιο εξωτερικούεξωτερικού καικαι εσωτερικούεσωτερικού έργουέργουµόνοµόνο µετακινήσειςµετακινήσεις στοστο σηµείοσηµείο καικαι διεύθυνσηδιεύθυνση ενόςενός συγκεντρωµένουσυγκεντρωµένου φορτίουφορτίου µπορούνµπορούν ναναυπολογιστούνυπολογιστούν

θεωρήµαταθεωρήµατα CastiglianoCastiglianoµόνοµόνο µετακινήσειςµετακινήσεις στοστο σηµείοσηµείο καικαι διεύθυνσηδιεύθυνση ενόςενός συγκεντρωµένουσυγκεντρωµένου φορτίουφορτίουµπορούνµπορούν νανα υπολογιστούνυπολογιστούν, , αφούαφού προσδιοριστούνπροσδιοριστούν οιοι αντίστοιχεςαντίστοιχες µερικέςµερικέςπαράγωγοιπαράγωγοι ωςως προςπρος τατα αντίστοιχααντίστοιχα συγκεντρωµένασυγκεντρωµένα φορτίαφορτία

αρχήαρχή τωντων δυνατώνδυνατών έργωνέργων ((Α∆ΕΑ∆Ε))

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 77

ΕισαγωγήΕισαγωγή στηνστην αρχήαρχή τωντων δυνατώνδυνατών έργωνέργων ((Α∆ΕΑ∆Ε))

αποτελείαποτελεί τητη βάσηβάση γιαγια τοντον υπολογισµόυπολογισµό τωντων µετακινήσεωνµετακινήσεων καικαι τητησυστηµατικήσυστηµατική ανάλυσηανάλυση οποιασδήποτεοποιασδήποτε κατασκευήςκατασκευής

ηη πιοπιο σηµαντικήσηµαντική διαδικασίαδιαδικασία υπολογισµούυπολογισµού τωντων µετακινήσεωνµετακινήσεωνενόςενός συγκεκριµένουσυγκεκριµένου σηµείουσηµείου ενόςενός φορέαφορέα αφούαφού::

είναιείναι εφαρµόσιµηεφαρµόσιµη σεσε διαφορετικάδιαφορετικά είδηείδη κατασκευώνκατασκευών

έχειέχει δυνατότητεςδυνατότητες συµπερίληψηςσυµπερίληψης, , πέραπέρα απόαπό τατα συνήθησυνήθη φορτίαφορτία, , άλλωνάλλων δράσεωνδράσεων, , όπωςόπως υποχωρήσειςυποχωρήσεις στηρίξεωνστηρίξεων, , θερµοκρασιακέςθερµοκρασιακέςµεταβολέςµεταβολές καικαι κατασκευαστικάκατασκευαστικά ατέλειεςατέλειες

βασίζεταιβασίζεται στοστο ισοζύγιοισοζύγιο τουτου εξωτερικούεξωτερικού δυνατούδυνατού έργουέργου µεµε τοτοεσωτερικόεσωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργο, , δηλαδήδηλαδή τηντην ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 88

ΑρχήΑρχή τωντων δυνατώνδυνατών έργωνέργων ((Α∆ΕΑ∆Ε))

εάνεάν µίαµία κατασκευήκατασκευή, , ηη οποίαοποία βρίσκεταιβρίσκεται σεσε µιαµια συγκεκριµένησυγκεκριµένηεντατικήεντατική καικαι παραµορφωσιακήπαραµορφωσιακή κατάστασηκατάσταση, , υποβληθείυποβληθεί σεσε µιαµιαεπιπλέονεπιπλέον νοητήνοητή ((δυνατήδυνατή)) φόρτισηφόρτιση, , ήή µετακίνησηµετακίνηση, , θαθααναπτυχθούναναπτυχθούν επιπλέονεπιπλέον εντατικάεντατικά µεγέθηµεγέθη καικαι τάσειςτάσεις καθώςκαθώςκαικαι θαθα προκύψουνπροκύψουν επιπλέονεπιπλέον παραµορφώσειςπαραµορφώσεις καικαιµετακινήσειςµετακινήσεις

σύµφωνασύµφωνα µεµε τηντην Α∆ΕΑ∆Ε::

τοτο εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργο καικαι τοτο εσωτερικόεσωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργοπρέπειπρέπει νανα είναιείναι ίσαίσα ώστεώστε νανα διατηρείταιδιατηρείται ηη συνολικήσυνολικήενέργειαενέργεια τουτου συστήµατοςσυστήµατος

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 99

ΕναλλακτικέςΕναλλακτικές διατυπώσειςδιατυπώσεις τηςτης Α∆ΕΑ∆Ε

•• αρχήαρχή τωντων δυνατώνδυνατών µετακινήσεωνµετακινήσεων::

προκύπτειπροκύπτει απόαπό εφαρµογήεφαρµογή δυνατώνδυνατών µετακινήσεωνµετακινήσεων καικαι τοτο ισοζύγιοισοζύγιοτουτου εξωτερικούεξωτερικού καικαι εσωτερικούεσωτερικού δυνατούδυνατού έργουέργου. .

µέθοδοιµέθοδοι τωντων µετακινήσεωνµετακινήσεων

•• αρχήαρχή τωντων δυνατώνδυνατών δυνάµεωνδυνάµεων::

προκύπτειπροκύπτει απόαπό εφαρµογήεφαρµογή δυνατώνδυνατών δυνάµεωνδυνάµεων καικαι τοτο ισοζύγιοισοζύγιο τουτουεξωτερικούεξωτερικού καικαι εσωτερικούεσωτερικού συµπληρωµατικούσυµπληρωµατικού δυνατούδυνατού έργουέργου. .

µέθοδοιµέθοδοι τωντων δυνάµεωνδυνάµεων

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1010

ΑρχήΑρχή τωντων δυνατώνδυνατών έργωνέργων-- ΑρχήΑρχή τωντων δυνατώνδυνατών µετακινήσεωνµετακινήσεων

•• εφαρµογήεφαρµογή δυνατώνδυνατών µετακινήσεωνµετακινήσεων καικαι παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων

•• εφαρµογήεφαρµογή σεσε έναένα φορέαφορέα, , οο οποίοςοποίος ισορροπείισορροπεί κάτωκάτω απόαπό εξωτερικάεξωτερικάεπιβαλλόµενεςεπιβαλλόµενες ((πραγµατικέςπραγµατικές) ) φορτίσειςφορτίσεις, , δυνατώνδυνατών ((’’φανταστικώνφανταστικών’’))µετακινήσεωνµετακινήσεων, , οιοι οποίεςοποίες είναιείναι συµβατέςσυµβατές µεµε τιςτις συνθήκεςσυνθήκες στήριξηςστήριξης καικαιεσωτερικέςεσωτερικές συνδέσειςσυνδέσεις τουτου φορέαφορέα

•• ισοζύγιοισοζύγιο τουτου εξωτερικούεξωτερικού καικαι εσωτερικούεσωτερικού δυνατούδυνατού έργουέργου: :

•• τοτο εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργο, , απόαπό τηντην δυνατήδυνατή µετακίνησηµετακίνηση τωντωνπραγµατικώνπραγµατικών φορτίσεωνφορτίσεων, , πρέπειπρέπει νανα ισούταιισούται µεµε τηντην ελαστικήελαστική δυνατήδυνατήενέργειαενέργεια, , τηντην οποίαοποία πραγµατοποιούνπραγµατοποιούν οιοι τάσειςτάσεις, , οιοι οποίεςοποίες αντιστοιχούναντιστοιχούνσταστα προκαλούµεναπροκαλούµενα απόαπό τατα πραγµατικάπραγµατικά φορτίαφορτία εσωτερικάεσωτερικά εντατικάεντατικάµεγέθηµεγέθη, , κατάκατά τιςτις δυνατέςδυνατές παραµορφώσειςπαραµορφώσεις..

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1111

ΑρχήΑρχή τωντων δυνατώνδυνατών συµπληρωµατικώνσυµπληρωµατικών έργωνέργων-- ΑρχήΑρχή τωντων δυνατώνδυνατών δυνάµεωνδυνάµεων

•• εφαρµογήεφαρµογή δυνατώνδυνατών δυνάµεωνδυνάµεων καικαι ροπώνροπών•• εφαρµόζουµεεφαρµόζουµε σεσε έναένα φορέαφορέα, , οο οποίοςοποίος ισορροπείισορροπεί κάτωκάτω απόαπό εξωτερικάεξωτερικά

επιβαλλόµενεςεπιβαλλόµενες φορτίσειςφορτίσεις, , µιαµια δυνατήδυνατή εξωτερικήεξωτερική φόρτισηφόρτιση καικαι τατααντίστοιχααντίστοιχα δυνατάδυνατά εσωτερικάεσωτερικά εντατικάεντατικά µεγέθηµεγέθη

•• ισοζύγιοισοζύγιο τουτου εξωτερικούεξωτερικού καικαι εσωτερικούεσωτερικούσυµπληρωµατικούσυµπληρωµατικού δυνατούδυνατού έργουέργου: :

•• τοτο εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό συµπληρωµατικόσυµπληρωµατικό έργοέργο, , απόαπό τηντην µετακίνησηµετακίνηση τωντωνδυνατώνδυνατών φορτίσεωνφορτίσεων κατάκατά τιςτις πραγµατικέςπραγµατικές µετακινήσειςµετακινήσεις, , πρέπειπρέπει ναναισούταιισούται µεµε τηντην ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή συµπληρωµατικήσυµπληρωµατική ενέργειαενέργεια, , τηντην οποίαοποίαπραγµατοποιούνπραγµατοποιούν οιοι τάσειςτάσεις, , οιοι οποίεςοποίες αντιστοιχούναντιστοιχούν σταστα προκαλούµεναπροκαλούµενααπόαπό τατα δυνατάδυνατά φορτίαφορτία εσωτερικάεσωτερικά εντατικάεντατικά µεγέθηµεγέθη, , κατάκατά τιςτις πραγµατικέςπραγµατικέςπαραµορφώσειςπαραµορφώσεις..

µπορούµεµπορούµε νανα υπολογίσοµευπολογίσοµε µίαµία άγνωστηάγνωστη µετακίνησηµετακίνηση εφαρµόζονταςεφαρµόζονταςµιαµια δυνατήδυνατή φανταστικήφανταστική δύναµηδύναµη, , ήή ροπήροπή, , όπουόπου ζητείταιζητείται οουπολογισµόςυπολογισµός τηςτης..

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1212

ΕξωτερικόΕξωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργο δδWWEE

επιβάλλονταςεπιβάλλοντας σεσε έναένα φορέαφορέα, , οο οποίοςοποίος ισορροπείισορροπεί κάτωκάτω απόαπό τηντηνεφαρµογήεφαρµογή εξωτερικώνεξωτερικών φορτίωνφορτίων, , µιαµια δυνατήδυνατή µετακίνησηµετακίνηση, , ηη οποίαοποία δενδενπαραβιάζειπαραβιάζει τιςτις συνθήκεςσυνθήκες στήριξηςστήριξης ήή εσωτερικώνεσωτερικών συνδέσεωνσυνδέσεων::

τατα επιβαλλόµεναεπιβαλλόµενα φορτίαφορτία εκτελούνεκτελούν εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργο

τοτο εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργο δδWWEE ισούταιισούται µεµε τοτο γινόµενογινόµενο πραγµατικώνπραγµατικώνδυνάµεωνδυνάµεων ήή ροπώνροπών επίεπί τιςτις αντίστοιχεςαντίστοιχες δυνατέςδυνατές ((νοητέςνοητές) ) µετακινήσειςµετακινήσεις τουτουσηµείουσηµείου εφαρµογήςεφαρµογής. .

θετικόθετικό είναιείναι τοτο δυνατόδυνατό έργοέργο ότανόταν ηη δύναµηδύναµη ήή ροπήροπή καικαι ηη δυνατήδυνατή µετάθεσηµετάθεσηήή στροφήστροφή, , αντίστοιχααντίστοιχα, , είναιείναι στηνστην ίδιαίδια διεύθυνσηδιεύθυνση. . ΑλλιώςΑλλιώς, , αναν είναιείναιαντίθετηςαντίθετης φοράςφοράς, , είναιείναι αρνητικόαρνητικό τοτο έργοέργο..

τοτο εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργο εξωτερικώνεξωτερικών φορτίωνφορτίων απόαπό τηντην επιβολήεπιβολήαντίστοιχωναντίστοιχων δυνατώνδυνατών µετακινήσεωνµετακινήσεων ισούταιισούται µεµε::

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1313

ΕσωτερικόΕσωτερικό δυνατόδυνατό έργοέργο((ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια παραµόρφωσηςπαραµόρφωσης))

ενέργειαενέργεια λόγωλόγω τωντων τάσεωντάσεων κατάκατά τιςτιςαντίστοιχεςαντίστοιχες δυνατέςδυνατές παραµορφώσειςπαραµορφώσεις

γενικήγενική περίπτωσηπερίπτωση τρισδιάστατουτρισδιάστατου σώµατοςσώµατος

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1414

ΕλαστικήΕλαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια γραµµικώνγραµµικών δοµικώνδοµικών στοιχείωνστοιχείων

εκφράζονταςεκφράζοντας τιςτις τάσειςτάσεις καικαι παραµορφώσειςπαραµορφώσεις, , κατάκατά τοντον υπολογισµόυπολογισµό τηςτηςελαστικήςελαστικής δυνατήςδυνατής ενέργειαςενέργειας, , συναρτήσεισυναρτήσει τωντων εντατικώνεντατικών µεγεθώνµεγεθών

µπορούµεµπορούµε νανα διατυπώσοµεδιατυπώσοµε τιςτις επιπλέονεπιπλέον εξισώσειςεξισώσεις πουπουαπαιτούνταιαπαιτούνται γιαγια τηντην επίλυσηεπίλυση υπερστατικώνυπερστατικών φορέωνφορέων

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1515

ΕλαστικήΕλαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια λόγωλόγω αξονικώναξονικών δυνάµεωνδυνάµεωνπραγµατικέςπραγµατικές ορθέςορθές τάσειςτάσεις λόγωλόγω αξονικώναξονικών δυνάµεωνδυνάµεων

επιβολήεπιβολή δυνατώνδυνατών αξονικώναξονικών παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων

νόµοςνόµος τουτου HookeHooke

ελαστικήελαστική ενέργειαενέργεια θεωρώνταςθεωρώντας γραµµικάγραµµικά ελαστικόελαστικό υλικόυλικό::

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1616

ΕλαστικήΕλαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια καµπτικώνκαµπτικών ροπώνροπών ΜΜzz ήή ΜΜyy

ορθέςορθές τάσειςτάσεις::

γραµµικάγραµµικά ελαστικόελαστικό υλικόυλικό::

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1717

ΕλαστικήΕλαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια τεµνουσώντεµνουσών δυνάµεωνδυνάµεων VVyy ήή VVzz

διατµητικέςδιατµητικές τάσειςτάσεις::

γραµµικάγραµµικάελαστικόελαστικό υλικόυλικό::

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1818

ΕλαστικήΕλαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια λόγωλόγω ροπώνροπών στρέψηςστρέψης ΜΜxx

διατµητικέςδιατµητικές τάσειςτάσεις::((λόγωλόγω ροπήςροπής στρέψηςστρέψης))

γραµµικάγραµµικά ελαστικόελαστικό υλικόυλικό ((HookeHooke’’s law):s law):

πολικήπολική ροπήροπή αδράνειαςαδράνειας::

r r : : απόστασηαπόσταση απόαπό τοτοκέντροκέντρο τηςτης διατοµήςδιατοµής

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 1919

∆υνατή∆υνατή ελαστικήελαστική ενέργειαενέργεια ((δυνατόδυνατό εσωτερικόεσωτερικό έργοέργο))ΈχονταςΈχοντας περισσότερεςπερισσότερες απόαπό µιαµια µορφέςµορφές δυνατώνδυνατών µορφώνµορφών παραµόρφωσηςπαραµόρφωσης, , ηησυνολικήσυνολική ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια ισούταιισούται µεµε τοτο άθροισµαάθροισµα τωντων επιµέρουςεπιµέρουςελαστικώνελαστικών δυνατώνδυνατών ενεργειώνενεργειών γιαγια κάθεκάθε διαφορετικόδιαφορετικό είδοςείδος παραµόρφωσηςπαραµόρφωσης. .

συνολικάσυνολικά ηη ελαστικήελαστική ενέργειαενέργεια, , στηστη γενικήγενική περίπτωσηπερίπτωση γραµµικώνγραµµικών((ραβδωτώνραβδωτών) ) µελώνµελών, , δίνεταιδίνεται απόαπό τηντην πιοπιο κάτωκάτω γενικήγενική εξίσωσηεξίσωση, , ηη οποίαοποίααντιστοιχείαντιστοιχεί στηστη µέθοδοµέθοδο τωντων δυνατώνδυνατών µετακινήσεωνµετακινήσεων::

εναλλάσσονταςεναλλάσσοντας, , τατα πραγµατικάπραγµατικά εντατικάεντατικά µεγέθηµεγέθη µεµε τατα δυνατάδυνατά εντατικάεντατικάµεγέθηµεγέθη ηη διατύπωσηδιατύπωση πουπου αντιστοιχείαντιστοιχεί στηστη µέθοδοµέθοδο τωντων δυνατώνδυνατών δυνάµεωνδυνάµεων: :

2020

ΥπολογισµόςΥπολογισµός µετακινήσεωνµετακινήσεων µεµε τηντην Α∆ΕΑ∆Εφορτίζονταςφορτίζοντας τοντον φορέαφορέα µεµε µοναδιαίοµοναδιαίο δυνατόδυνατό ((φανταστικόφανταστικό) ) φορτίοφορτίο στοστοσηµείοσηµείο καικαι διεύθυνσηδιεύθυνση τηςτης ζητούµενηςζητούµενης άγνωστηςάγνωστης ((πραγµατικήςπραγµατικής) ) µετακίνησηςµετακίνησης, , επιλύουµεεπιλύουµε τοντον φορέαφορέα γιαγια αυτόαυτό τοτο µοναδιαίοµοναδιαίο φορτίοφορτίο

ακολούθωςακολούθως, , εφαρµόζονταςεφαρµόζοντας τηντην πραγµατικήπραγµατική φόρτισηφόρτιση ήή δράσειςδράσειςυπολογίζουµευπολογίζουµε τιςτις ((πραγµατικέςπραγµατικές) ) παραµορφώσειςπαραµορφώσεις οιοι οποίεςοποίεςπροκαλούνταιπροκαλούνται απόαπό τατα αντίστοιχααντίστοιχα εντατικάεντατικά µεγέθηµεγέθη..

σύµφωνασύµφωνα µεµε τηντην Α∆ΕΑ∆Ε, , τοτο εξωτερικόεξωτερικό έργοέργο απόαπό τηντην ((πραγµατικήπραγµατική) ) µετακίνησηµετακίνηση τουτου σηµείουσηµείου εφαρµογήςεφαρµογής τουτου δυνατούδυνατού φορτίουφορτίου πρέπειπρέπει ναναισούταιισούται µεµε τηντην ελαστικήελαστική ενέργειαενέργεια ηη οποίαοποία αποθηκεύεταιαποθηκεύεται απόαπό ταταεντατικάεντατικά µεγέθηµεγέθη πουπου αντιστοιχούναντιστοιχούν στοστο µοναδιαίοµοναδιαίο φορτίοφορτίο λόγωλόγω τωντων((πραγµατικώνπραγµατικών) ) παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων. .

µέθοδοιµέθοδοι τωντων δυνατώνδυνατών δυνάµεωνδυνάµεων

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 2121

ΜέθοδοιΜέθοδοι τωντων δυνατώνδυνατών µετακινήσεωνµετακινήσεων

αφούαφού πρώταπρώτα επιβληθούνεπιβληθούν σεσε έναένα φορέαφορέα οιοι πραγµατικέςπραγµατικές φορτίσειςφορτίσεις

δυνατέςδυνατές ((δηλαδήδηλαδή νοητέςνοητές) ) µετακινήσειςµετακινήσεις επιβάλλονταιεπιβάλλονται σεσε αυτόναυτόνεπιτρέπονταςεπιτρέποντας ουσιαστικάουσιαστικά έναένα εναλλακτικόεναλλακτικό τρόποτρόπο διατύπωσηςδιατύπωσης τωντωνεξισώσεωνεξισώσεων ισορροπίαςισορροπίας. .

µέθοδοιµέθοδοι τωντων δυνατώνδυνατών µετακινήσεωνµετακινήσεων

2222

ΠαράδειγµαΠαράδειγµα εφαρµογήςεφαρµογής τηςτης Α∆ΕΑ∆Ε

ΥπολογισµόςΥπολογισµός βύθισηςβύθισης καικαιστροφήςστροφής τουτου άκρουάκρουπροβόλουπροβόλου λόγωλόγω δύναµηςδύναµης P:P:

πρώταπρώτα, , πρέπειπρέπει νανα φορτίσουµεφορτίσουµε τητη δοκόδοκό στοστο σηµείοσηµείο καικαι τητη διεύθυνσηδιεύθυνσητηςτης ζητούµενηςζητούµενης µετακίνησηςµετακίνησης µεµε µοναδιαίαµοναδιαία δύναµηδύναµη

ακολούθωςακολούθως, , φορτίζουµεφορτίζουµε τητη δοκόδοκό µεµε τοτο πραγµατικάπραγµατικά επιβαλλόµενοεπιβαλλόµενο φορτίοφορτίοP, P, τοτο οποίοοποίο προκαλείπροκαλεί εντατικήεντατική καικαι παραµορφωσιακήπαραµορφωσιακή κατάστασηκατάσταση ηη οποίαοποίαέχειέχει σανσαν αποτέλεσµααποτέλεσµα τιςτις ζητούµενεςζητούµενες µετακινήσειςµετακινήσεις

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 2323

µεµε τηντην επιβολήεπιβολή τουτου φορτίουφορτίου καικαι τηντην παραµόρφωσηπαραµόρφωση τηςτης δοκούδοκού τοτο σηµείοσηµείοεφαρµογήςεφαρµογής τηςτης µοναδιαίαςµοναδιαίας δυνατήςδυνατής δύναµηςδύναµης µετακινείταιµετακινείται σύµφωνασύµφωνα µεµε τηντηνπραγµατικήπραγµατική βύθισηβύθιση στοστο άκροάκρο τηςτης δοκούδοκού παράγονταςπαράγοντας εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό((συµπληρωµατικόσυµπληρωµατικό) ) έργοέργοεσωτερικόεσωτερικό δυνατόδυνατό ((συµπληρωµατικόσυµπληρωµατικό) ) έργοέργο προκύπτειπροκύπτει απόαπό τατα δυνατάδυνατάεντατικάεντατικά µεγέθηµεγέθη λόγωλόγω τωντων πραγµατικώνπραγµατικών παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων οιοι οποίεςοποίεςαντιστοιχούναντιστοιχούν σταστα πραγµατικάπραγµατικά εντατικάεντατικά µεγέθηµεγέθη

σύµφωνασύµφωνα µεµε τηντην αρχήαρχή τωντων δυνατώνδυνατών ((συµπληρωµατικώνσυµπληρωµατικών) ) έργωνέργων::

παραλείπονταςπαραλείποντας τητη συνεισφοράσυνεισφορά τωντων διατµητικώνδιατµητικών παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων::

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 2424

ΥπολογισµόςΥπολογισµός τηςτης στροφήςστροφής στοστο ελεύθεροελεύθερο άκροάκρο τουτου προβόλουπροβόλου

φορτίζουµεφορτίζουµε τητη δοκόδοκό στοστο σηµείοσηµείο καικαι τητη διεύθυνσηδιεύθυνση τηςτης ζητούµενηςζητούµενης στροφήςστροφής µεµεµοναδιαίαµοναδιαία ροπήροπή, , ηη οποίαοποία προκαλείπροκαλεί τέµνουσεςτέµνουσες δυνάµειςδυνάµεις καικαι καµπτικέςκαµπτικές ροπέςροπές

ακολούθωςακολούθως, , φορτίζουµεφορτίζουµε τητη δοκόδοκό µεµε τοτο πραγµατικάπραγµατικά επιβαλλόµενοεπιβαλλόµενο φορτίοφορτίο τοτοοποίοοποίο προκαλείπροκαλεί τέµνουσεςτέµνουσες δυνάµειςδυνάµεις καικαι καµπτικέςκαµπτικές ροπέςροπές, , καικαι τιςτις αντίστοιχεςαντίστοιχεςπαραµορφώσειςπαραµορφώσεις καικαι τιςτις ζητούµενεςζητούµενες µετακινήσειςµετακινήσεις

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 2525

µεµε τηντην επιβολήεπιβολή τουτου φορτίουφορτίου καικαι τηντην παραµόρφωσηπαραµόρφωση τηςτης δοκούδοκού τοτο σηµείοσηµείοεφαρµογήςεφαρµογής τηςτης µοναδιαίαςµοναδιαίας δυνατήςδυνατής ροπήςροπής µετακινείταιµετακινείται σύµφωνασύµφωνα µεµε τηντηνπραγµατικήπραγµατική στροφήστροφή στοστο άκροάκρο τηςτης δοκούδοκού παράγονταςπαράγοντας εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό((συµπληρωµατικόσυµπληρωµατικό) ) έργοέργο

εσωτερικόεσωτερικό δυνατόδυνατό ((συµπληρωµατικόσυµπληρωµατικό) ) έργοέργο προκύπτειπροκύπτει τατα δυνατάδυνατά εντατικάεντατικάµεγέθηµεγέθη λόγωλόγω τωντων πραγµατικώνπραγµατικών παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων

σύµφωνασύµφωνα µεµε τηντην αρχήαρχή τωντων δυνατώνδυνατών ((συµπληρωµατικώνσυµπληρωµατικών) ) έργωνέργων::

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 2626

ΥπολογισµόςΥπολογισµός ολοκληρωµάτωνολοκληρωµάτων µορφήςµορφής::

ολοκληρώνονταςολοκληρώνοντας τιςτις αναλυτικέςαναλυτικές εκφράσειςεκφράσεις γιαγια τιςτις συναρτήσειςσυναρτήσεις

οο γνωστόςγνωστός τρόποςτρόπος πουπου έχουµεέχουµε χρησιµοποιήσειχρησιµοποιήσει µέχριµέχρι τώρατώρα

συνήθωςσυνήθως δενδεν είναιείναι οο πιοπιο εύκολοςεύκολος

αναν καικαι οιοι δύοδύο συναρτήσειςσυναρτήσεις ΦΦ((x)x) καικαι ΨΨ(x)(x) µεταβάλλονταιµεταβάλλονται γραµµικάγραµµικά

2727

ΥπολογισµόςΥπολογισµός ολοκληρωµάτωνολοκληρωµάτων µορφήςµορφής::

αναν ηη µίαµία απόαπό τιςτις δύοδύο συναρτήσειςσυναρτήσεις µεταβάλλεταιµεταβάλλεται γραµµικάγραµµικά σεσε όλοόλο τοτοµήκοςµήκος τηςτης ολοκλήρωσηςολοκλήρωσης, , τότετότε τοτο ορισµένοορισµένο ολοκλήρωµαολοκλήρωµα ισούταιισούται µεµε τοτογινόµενογινόµενο τηςτης επιφάνειαςεπιφάνειας τηςτης άλληςάλλης συνάρτησηςσυνάρτησης επίεπί τηντην τιµήτιµή τηςτηςγραµµικάγραµµικά µεταβαλλόµενηςµεταβαλλόµενης συνάρτησηςσυνάρτησης στοστο σηµείοσηµείο κατάκατά µήκοςµήκος τουτουµέλουςµέλους, , τοτο οποίοοποίο αντιστοιχείαντιστοιχεί στοστο κέντροκέντρο βάρουςβάρους τηςτης επιφάνειαςεπιφάνειας τηςτηςάλληςάλλης συνάρτησηςσυνάρτησης

χρήσηχρήση πινάκωνπινάκων µεµε ορισµέναορισµένα ολοκληρώµαταολοκληρώµατα γιαγια κοινέςκοινές περιπτώσειςπεριπτώσειςγινοµένωνγινοµένων ΦΦ((x)x) καικαι ΨΨ(x)(x)

µπορούµεµπορούµε χρησιµοποιώνταςχρησιµοποιώντας τηντην αρχήαρχή τηςτης επαλληλίαςεπαλληλίας νανα σχηµατίσουµεσχηµατίσουµε τοτοσυγκεκριµένοσυγκεκριµένο διάγραµµαδιάγραµµα µεµε κατάλληληκατάλληλη άθροισηάθροιση ήή αφαίρεσηαφαίρεση γνωστώνγνωστώνεπιµέρουςεπιµέρους διαγραµµάτωνδιαγραµµάτων..

συνήθωςσυνήθως οο πιοπιο εύκολοςεύκολος τρόποςτρόπος

2828

ΠινάκεςΠινάκες ορισµένωνορισµένων ολοκληρωµάτωνολοκληρωµάτων µορφήςµορφής::

2929

ΠαράδειγµαΠαράδειγµα εφαρµογήςεφαρµογής τηςτης Α∆ΕΑ∆Ε µεµε χρήσηχρήση πινάκωνπινάκων

ΥπολογισµόςΥπολογισµός βύθισηςβύθισης καικαιστροφήςστροφής τουτου άκρουάκρουπροβόλουπροβόλου λόγωλόγω δύναµηςδύναµης P:P:

πρώταπρώτα, , πρέπειπρέπει νανα φορτίσουµεφορτίσουµε τητη δοκόδοκό στοστο σηµείοσηµείο καικαι τητη διεύθυνσηδιεύθυνσητηςτης ζητούµενηςζητούµενης µετακίνησηςµετακίνησης µεµε µοναδιαίαµοναδιαία δύναµηδύναµη

ακολούθωςακολούθως, , φορτίζουµεφορτίζουµε τητη δοκόδοκό µεµε τοτο πραγµατικάπραγµατικά επιβαλλόµενοεπιβαλλόµενο φορτίοφορτίοP, P, τοτο οποίοοποίο προκαλείπροκαλεί εντατικήεντατική καικαι παραµορφωσιακήπαραµορφωσιακή κατάστασηκατάσταση ηη οποίαοποίαέχειέχει σανσαν αποτέλεσµααποτέλεσµα τιςτις ζητούµενεςζητούµενες µετακινήσειςµετακινήσεις

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3030

σύµφωνασύµφωνα µεµε τηντην αρχήαρχή τωντων δυνατώνδυνατών ((συµπληρωµατικώνσυµπληρωµατικών) ) έργωνέργων::

ολοκληρώνονταςολοκληρώνοντας αναλυτικάαναλυτικά::

χρήσηχρήση τωντων διαγραµµάτωνδιαγραµµάτων τωντων εντατικώνεντατικών µεγεθώνµεγεθών καικαι πινάκωνπινάκων ::

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3131

ΜηΜη πρισµατικάπρισµατικά µέληµέληπρισµατικάπρισµατικά µέληµέλη:: τατα γραµµικάγραµµικά µέληµέλη ενόςενόςφορέαφορέα τατα οποίαοποία έχουνέχουν σταθερήσταθερήεγκάρσιαεγκάρσια διατοµήδιατοµή

µηµη πρισµατικάπρισµατικά µέληµέλη:: έχουνέχουνµεταβαλλόµεναµεταβαλλόµενα κατάκατά µήκοςµήκος τουτουάξοναάξονα τουςτους γεωµετρικάγεωµετρικάχαρακτηριστικάχαρακτηριστικά

τατα ολοκληρώµαταολοκληρώµατα γιαγια τηντην ελαστικήελαστική ενέργειαενέργεια µπορούνµπορούν νανα υπολογιστούνυπολογιστούν::

µεµε αναλυτικήαναλυτική ολοκλήρωσηολοκλήρωση ((ακριβήςακριβής λύσηλύση))

προσεγγιστικάπροσεγγιστικά, , αντικαθιστώνταςαντικαθιστώντας τοτο ολοκλήρωµαολοκλήρωµα απόαπό έναένα άθροισµαάθροισµαπεπερασµένουπεπερασµένου αριθµούαριθµού τµηµάτωντµηµάτων, , δηλαδήδηλαδή χωρίζονταςχωρίζοντας τοτο µέλοςµέλος σεσε έναένααριθµόαριθµό τµηµάτωντµηµάτων καικαι θεωρώνταςθεωρώντας γιαγια κάθεκάθε τµήµατµήµα µιαµια ισοδύναµηισοδύναµη πρισµατικήπρισµατικήδοκόδοκό µεµε σταθερέςσταθερές ιδιότητεςιδιότητες..

ππ..χχ. . ελαστικήελαστική ενέργειαενέργεια καµπτικώνκαµπτικώνπαραµορφώσεωνπαραµορφώσεων µεµεµεταβαλλόµενηµεταβαλλόµενη ροπήροπή αδράνειαςαδράνειαςΙΙyy κατάκατά µήκοςµήκος µίαςµίας δοκούδοκού::

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3232

ΠαραµορφώσειςΠαραµορφώσεις απόαπό άλλαάλλα, , εκτόςεκτός φορτίωνφορτίων, , αίτιααίτια

ΘερµοκρασιακέςΘερµοκρασιακές µεταβολέςµεταβολές

οµοιόµορφηοµοιόµορφη καθκαθ’’ ύψοςύψος τηςτης διατοµήςδιατοµής::

µεταβολήµεταβολή τουτου µήκουςµήκους τουτου στοιχείουστοιχείου ((επιµήκυνσηεπιµήκυνση ήή βράχυνσηβράχυνση))

διαφορετικήδιαφορετική σταστα δύοδύο πέλµαταπέλµατα ενόςενός µέλουςµέλους

καµπτικήςκαµπτικής µορφήςµορφής παραµορφώσειςπαραµορφώσεις καικαι σχετικέςσχετικές στροφέςστροφές τωντων διατοµώνδιατοµών

ΚατασκευαστικέςΚατασκευαστικές ατέλειεςατέλειες καικαι σφάλµατασφάλµατα

∆ιαφορικές∆ιαφορικές καθιζήσειςκαθιζήσεις

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3333

ΘερµοκρασιακέςΘερµοκρασιακές µεταβολέςµεταβολές

αύξησηαύξηση//µείωσηµείωση θερµοκρασίαςθερµοκρασίας ενόςενός µέλουςµέλους διαστολήδιαστολή//συστολήσυστολή

εάνεάν ηη µεταβολήµεταβολή τηςτης θερµοκρασίαςθερµοκρασίας είναιείναι::

οµοιόµορφηοµοιόµορφη καθκαθ’’ ύψοςύψος τηςτης διατοµήςδιατοµής: : προκαλείπροκαλεί µεταβολήµεταβολή τουτου µήκουςµήκους L L τουτου στοιχείουστοιχείου ((επιµήκυνσηεπιµήκυνση ήή βράχυνσηβράχυνση

διαφορετικήδιαφορετική σταστα δύοδύο πέλµαταπέλµατα ενόςενός µέλουςµέλους:: θεωρώνταςθεωρώντας γραµµικήγραµµικήµεταβολήµεταβολή τηςτης θερµοκρασίαςθερµοκρασίας ∆Τ∆Τ καθκαθ’’ ύψοςύψος hh τηςτης διατοµήςδιατοµής,,παρατηρείταιπαρατηρείται στροφήστροφή γειτονικώνγειτονικών διατοµώνδιατοµών, , προκαλώνταςπροκαλώντας καµπτικήςκαµπτικήςµορφήςµορφής παραµορφώσειςπαραµορφώσεις καικαι σχετικέςσχετικές στροφέςστροφές τωντων διατοµώνδιατοµών..

((αα: : συντελεστήςσυντελεστής θερµικήςθερµικής διαστολήςδιαστολής τουτου υλικούυλικού))

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3434

ΕφαρµογήΕφαρµογή τηςτης Α∆ΕΑ∆Ε γιαγια θερµοκρασιακέςθερµοκρασιακές µεταβολέςµεταβολές

ΓιαΓια νανα υπολογιστούνυπολογιστούν οιοι µετακινήσειςµετακινήσεις ενόςενός σηµείουσηµείου λόγωλόγωθερµοκρασιακώνθερµοκρασιακών µεταβολώνµεταβολών µπορούµεµπορούµε νανα χρησιµοποιήσουµεχρησιµοποιήσουµε τηντην Α∆ΕΑ∆Εεφαρµόζονταςεφαρµόζοντας µοναδιαίοµοναδιαίο δυνατόδυνατό φορτίοφορτίο στοστο σηµείοσηµείο καικαι τηντην διεύθυνσηδιεύθυνσητηςτης ζητούµενηςζητούµενης µετακίνησηςµετακίνησης::

ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια λόγωλόγω οµοιόµορφηςοµοιόµορφης µεταβολήςµεταβολής τηςτης θερµοκρασίαςθερµοκρασίας: :

ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια λόγωλόγω διαφορικήςδιαφορικής µεταβολήςµεταβολής τηςτης θερµοκρασίαςθερµοκρασίας: :

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3535

ΠαράδειγµαΠαράδειγµα θερµοκρασιακώνθερµοκρασιακών µεταβολώνµεταβολών

ΥπολογισµόςΥπολογισµός οριζόντιαςοριζόντιας καικαικάθετηςκάθετης µετακίνησηµετακίνηση τουτουκόµβουκόµβου 33 τουτου δικτυώµατοςδικτυώµατοςλόγωλόγω αύξησηςαύξησης θερµοκρασίαςθερµοκρασίαςτηςτης ράβδουράβδου 22 κατάκατά 20 20 οοCC

((αα = 10= 10--55//οοC)C)

επιµήκυνσηεπιµήκυνση ράβδουράβδου 22::

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3636

ΠαράδειγµαΠαράδειγµα θερµοκρασιακώνθερµοκρασιακών µεταβολώνµεταβολών ((συνσυν.).)

εφαρµόζονταςεφαρµόζοντας µοναδιαίαµοναδιαίαδύναµηδύναµη κατάκατά τητη ΧΧ µπορούµεµπορούµε µεµετηντην Α∆ΕΑ∆Ε νανα υπολογίσουµευπολογίσουµε τηντηναντίστοιχηαντίστοιχη άγνωστηάγνωστη µετακινήσηµετακινήση uu::

εξισώνονταςεξισώνοντας τοτο εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό ((συµπληρωµατικόσυµπληρωµατικό) ) έργοέργο, , απόαπό τητηδυνατήδυνατή µοναδιαίαµοναδιαία φόρτισηφόρτιση καικαι τηντην αντίστοιχηαντίστοιχη πραγµατικήπραγµατική µετακίνησηµετακίνηση, , µεµε τηντην ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ((συµπληρωµατικήσυµπληρωµατική) ) ενέργειαενέργεια, , απόαπό τιςτις δυνατέςδυνατέςαξονικέςαξονικές δυνάµειςδυνάµεις στιςστις ράβδουςράβδους λόγωλόγω τηςτης εφαρµογήςεφαρµογής τηςτης µοναδιαίαςµοναδιαίαςδύναµηςδύναµης καικαι τιςτις αντίστοιχεςαντίστοιχες αξονικέςαξονικές ((πραγµατικέςπραγµατικές) ) παραµορφώσειςπαραµορφώσειςαπόαπό τητη θερµοκρασιακήθερµοκρασιακή µεταβολήµεταβολή::

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3737

ΠαράδειγµαΠαράδειγµα θερµοκρασιακώνθερµοκρασιακών µεταβολώνµεταβολών ((συνσυν.).)

εφαρµόζονταςεφαρµόζοντας µοναδιαίαµοναδιαίαδύναµηδύναµη κατάκατά τητη YY µπορούµεµπορούµε µεµετηντην Α∆ΕΑ∆Ε νανα υπολογίσουµευπολογίσουµε τηντηναντίστοιχηαντίστοιχη άγνωστηάγνωστη µετακινήσηµετακινήση vv::

εξισώνονταςεξισώνοντας τοτο εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό ((συµπληρωµατικόσυµπληρωµατικό) ) έργοέργο, , απόαπό τητηδυνατήδυνατή µοναδιαίαµοναδιαία φόρτισηφόρτιση καικαι τηντην αντίστοιχηαντίστοιχη πραγµατικήπραγµατική µετακίνησηµετακίνηση, , µεµε τηντην ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ((συµπληρωµατικήσυµπληρωµατική) ) ενέργειαενέργεια, , απόαπό τιςτις δυνατέςδυνατέςαξονικέςαξονικές δυνάµειςδυνάµεις στιςστις ράβδουςράβδους λόγωλόγω τηςτης εφαρµογήςεφαρµογής τηςτης µοναδιαίαςµοναδιαίαςδύναµηςδύναµης καικαι τιςτις αντίστοιχεςαντίστοιχες αξονικέςαξονικές ((πραγµατικέςπραγµατικές) ) παραµορφώσειςπαραµορφώσειςαπόαπό τητη θερµοκρασιακήθερµοκρασιακή µεταβολήµεταβολή::

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3838

ΚατασκευαστικέςΚατασκευαστικές ατέλειεςατέλειες καικαι σφάλµατασφάλµατα

ΣφάλµαταΣφάλµατα καικαι ατέλειεςατέλειες κατασκευήςκατασκευής διαφόρωνδιαφόρων δοµικώνδοµικών στοιχείωνστοιχείων ενόςενόςφορέαφορέα, , όπουόπου δενδεν ταιριάζουνταιριάζουν οιοι διαστάσειςδιαστάσεις µεµε τιςτις οποίεςοποίες σχεδιάστηκανσχεδιάστηκανµεµε αυτέςαυτές πουπου πραγµατικάπραγµατικά κατασκευάστηκανκατασκευάστηκαν

ισοστατικοίισοστατικοί φορείςφορείς

γενικάγενικά δενδεν προκαλούνπροκαλούν εντάσειςεντάσεις

υπερστατικοίυπερστατικοί φορείςφορείς

αυτεντατικήαυτεντατική κατάστασηκατάσταση: : ανάπτυξηανάπτυξη επιπλέονεπιπλέον εντατικήςεντατικής καικαιπαραµορφωσιακήςπαραµορφωσιακής κατάστασηςκατάστασης

οο υπολογισµόςυπολογισµός τωντων µετακινήσεωνµετακινήσεων λόγωλόγω κατασκευαστικώνκατασκευαστικών ατελειώνατελειώνγίνεταιγίνεται όπωςόπως οιοι παραµορφώσειςπαραµορφώσεις λόγωλόγω θερµοκρασιακώνθερµοκρασιακών µεταβολώνµεταβολών..

ότανόταν συνυπάρχουνσυνυπάρχουν παραµορφώσειςπαραµορφώσεις λόγωλόγω φορτίωνφορτίων, , θερµοκρασιακώνθερµοκρασιακώνµεταβολώνµεταβολών καικαι κατασκευαστικώνκατασκευαστικών ατελειώνατελειών τιςτις συνυπολογίζουµεσυνυπολογίζουµεαθροίζονταςαθροίζοντας τιςτις συνέπειεςσυνέπειες τουςτους

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 3939

∆ιαφορικές∆ιαφορικές καθιζήσειςκαθιζήσεις

οιοι κατασκευέςκατασκευές, , µεµε τοτο σχετικάσχετικά µεγάλοµεγάλο βάροςβάρος τουςτους, , δενδεν εδράζονταιεδράζονταιπάνωπάνω σεσε απολύτωςαπολύτως απαραµόρφωτηαπαραµόρφωτη βάσηβάση, , αλλάαλλά θεµελιώνονταιθεµελιώνονται σεσεπαραµορφώσιµοπαραµορφώσιµο έδαφοςέδαφος τοτο οποίοοποίο µπορείµπορεί νανα παρουσιάσειπαρουσιάσει καθιζήσειςκαθιζήσεις

εξωτερικοίεξωτερικοί καταναγκασµοίκαταναγκασµοί λόγωλόγω διαφορικώνδιαφορικών µετακινήσεωνµετακινήσεων((καθιζήσεωνκαθιζήσεων) ) τωντων στηρίξεωνστηρίξεων µιαςµιας κατασκευήςκατασκευής

ισοστατικοίισοστατικοί φορείςφορείςαναν καικαι οιοι διαφορικέςδιαφορικές καθιζήσειςκαθιζήσεις προκαλούνπροκαλούν µετακινήσειςµετακινήσεις καικαι στροφέςστροφές τωντωνµελώνµελών τηςτης κατασκευήςκατασκευής γενικάγενικά δενδεν προκαλούνπροκαλούν παραµορφώσειςπαραµορφώσεις ήή εντάσειςεντάσεις

οο υπολογισµόςυπολογισµός τωντων µετακινήσεωνµετακινήσεων µπορείµπορεί νανα γίνειγίνει εύκολαεύκολα µεµε τηντην Α∆ΕΑ∆Εεφαρµόζονταςεφαρµόζοντας µοναδιαίοµοναδιαίο φορτίοφορτίο στηνστην κατεύθυνσηκατεύθυνση τηςτης ζητούµενηςζητούµενης µετακίνησηςµετακίνησηςωςως δυνατήδυνατή φόρτισηφόρτιση αφούαφού ηη ελαστικήελαστική δυνατήδυνατή ενέργειαενέργεια ισούταιισούται µεµε µηδένµηδέν εφόσονεφόσονδενδεν αναπτύσσονταιαναπτύσσονται ((πραγµατικέςπραγµατικές) ) παραµορφώσειςπαραµορφώσεις σεσε έναένα ισοστατικόισοστατικό φορέαφορέα

υπερστατικοίυπερστατικοί φορείςφορείςανάπτυξηανάπτυξη εντατικώνεντατικών µεγεθώνµεγεθών καικαι παραµορφώσεωνπαραµορφώσεων

τοτο µέγεθοςµέγεθος τωντων εντατικώνεντατικών µεγεθώνµεγεθών εξαρτάταιεξαρτάται απόαπό τοτο µέγεθοςµέγεθος τωντων καθιζήσεωνκαθιζήσεωνκαικαι τητη δυσκαµψίαδυσκαµψία τηςτης κατασκευήςκατασκευής

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 4040

ΠαράδειγµαΠαράδειγµα διαφορικώνδιαφορικών καθιζήσεωνκαθιζήσεων

ΥπολογισµόςΥπολογισµός οριζόντιαςοριζόντιας µετακίνησηςµετακίνησηςτουτου κόµβουκόµβου ΓΓ λόγωλόγω υποχώρησεωνυποχώρησεωντηςτης στηρίξεωςστηρίξεως ΑΑ κατάκατά::

Α∆ΕΑ∆Ε:: εφαρµόζονταςεφαρµόζοντας στοστο ΓΓ µιαµια οριζόντιαοριζόντια µοναδιαίαµοναδιαία δυνατήδυνατή δύναµηδύναµη

αντιδράσειςαντιδράσεις::

ΣτατικήΣτατική Ανάλυση των Κατασκευών ΙΑνάλυση των Κατασκευών Ι 4141

ΠαράδειγµαΠαράδειγµα διαφορικώνδιαφορικών καθιζήσεωνκαθιζήσεων ((συνσυν.).)

τοτο εξωτερικόεξωτερικό δυνατόδυνατό ((συµπληρωµατικόσυµπληρωµατικό) ) έργοέργο ισούταιισούται µεµε::

τοτο εσωτερικόεσωτερικό δυνατόδυνατό ((συµπληρωµατικόσυµπληρωµατικό) ) έργοέργο ισούταιισούται µεµε::((αφούαφού δενδεν αναπτύσσονταιαναπτύσσονται παραµορφώσειςπαραµορφώσεις σεσε έναένα ισοστατικόισοστατικό

φορέαφορέα λόγωλόγω µετακινήσεωνµετακινήσεων τωντων στηρίξεωνστηρίξεων τουτου) )