Φυσική ΙΕνότητα 1: Κινηματική

Κωνσταντίνος Κουρκουτάς

Τμήμα Μηχανικών Ναυπηγών ΤΕ

Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας

1 ΚινηματικήΑντικείμενο της Κινηματικής είναι η μελέτη της κίνησης χωρίς να εξετάζονται τα αίτια, που την παράγουν, δηλαδή οι δυνάμεις.

1.1 Κίνηση και συστήματα αναφοράς

Κίνηση είναι η μεταβολή της θέσης ενός σώματος ως προς ένα σύστημα αναφοράς, δηλαδή ένα σύνολο άλλων σωμάτων, τα οποία θεωρούμε ακίνητα. Η κίνηση είναι επομένως σχετική. Ο οδηγός ενός αυτοκινήτου είναι ακίνητος ως προς το ίδιο το αυτοκίνητο, αλλά κινείται ως προς τον περιβάλλοντα χώρο. Για τον κάτοικο της Γης ο Ήλιος φαίνεται να κινείται, όμως η Γη είναι αυτή που κινείται ως προς τον Ήλιο.

Για να ορίσουμε τη θέση του σώματος συσχετίζουμε το σύστημα αναφοράς με ένα σύστημα συντεταγμένων. Συνηθισμένο σύστημα συντεταγμένων είναι το προσημασμένο δεξιόστροφο σύστημα ορθογωνίων αξόνων. Το σύστημα αυτό, που ονομάζουμε και Καρτεσιανό εικονίζεται στο σχήμα 1 (Cartesius εκλατινισμένο όνομα του Γάλλου φιλόσοφου και μαθηματικού θεμελιωτή της Αναλυτικής Γεωμετρίας Rene Descartes 1596-1650).

1

Η θέση του σημείου Α ορίζεται από το διάνυσμα θέσης r→

. Το μήκος (μέτρο)

του r→

είναι η απόσταση του Α από την αρχή Ο. Στο SI μονάδα μήκους είναι

το μέτρο (m). Σήμερα η μονάδα 1m ορίζεται ως το

1299792458 της

απόστασης, που διανύει το φως σε χρόνο 1s. Το μήκος είναι ένα από τα επτά

θεμελιώδη μεγέθη του SI. Οι προβολές x A , yA , zA δίνουν τις συντεταγμένες του Α. Γενικά το αναγκαίο πλήθος δεδομένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός κινητού είναι οι βαθμοί ελευθερίας. Το τρένο έχει ένα βαθμό ελευθερίας: την απόσταση από τον κεντρικό σιδηροδρομικό σταθμό. Το πλοίο έχει δύο βαθμούς ελευθερίας: γεωγραφικό μήκος και γεωγραφικό πλάτος. Το

2

αεροπλάνο έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας: γεωγραφικό μήκος, γεωγραφικό πλάτος και ύψος πτήσης.

Το σύστημα συντεταγμένων είναι εφοδιασμένο με το τρισορθογώνιο σύστημα

μοναδιαίων διανυσμάτωνi¿

¿, j¿

¿, k¿

¿, δηλαδή μια τριάδα αδιάστατων διανυσμάτων, που είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους και έχουν μέτρο ίσο με τη μονάδα.

Με γνωστές τις συντεταγμένες x A , y A , zA λαμβάνουμε τη θέση του σημείου Α και την απόσταση του από την αρχή Ο:

διάνυσμα θέσης r→=xA i

¿+ yA

j

¿+zAk¿¿

¿

¿ 8−1

απόσταση από την αρχή r=√xA2+ y A2+zA 2 8−2

Τα σώματα έχουν έκταση. Αν οι διαστάσεις του σώματος δεν επηρεάζουν την κίνηση, το αντιμετωπίζουμε ως σημειακή μάζα, δηλαδή ως μαθηματικό σημείο με μάζα. Συχνά η σημειακή μάζα αναφέρεται και ως υλικό σημείο, ή σωματίδιο. Συνήθως το σημείο αυτό το θέτουμε στο κέντρο μάζας του σώματος. Οι διαδοχικές θέσεις ενός υλικού σημείου ορίζουν την τροχιά. Η τροχιά είναι μια συνεχής γραμμή, δηλαδή μια γραμμή χωρίς κενά. Στο σχήμα 1 εικονίζεται η ελλειπτική τροχιά ενός πλανήτη γύρω από έναν αστέρα. Στο σχήμα 2 εικονίζεται η παραβολική τροχιά ενός βλήματος..

1 2

Σε κάθε σημείο μιας τροχιάς μπορούμε να εγγράψουμε άπειρους κύκλους. Η ακτίνα του μέγιστου εγγράψιμου κύκλου σε ένα σημείο της τροχιάς είναι η ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς στο εν λόγω σημείο. Το κέντρο αυτού του κύκλου είναι το αντίστοιχο κέντρο καμπυλότητας. Όσο πιο ‘κλειστή’ είναι η τροχιά, τόσο μικρότερη είναι η ακτίνα καμπυλότητας. Στο σχήμα 3

εικονίζονται οι μέγιστοι εγγράψιμοι κύκλοι, οι ακτίνες καμπυλότητας r1 , r2 και

τα κέντρα καμπυλότητας K1 , K2 σε δύο σημεία (1), (2) μιας τροχιάς.

3

3

1.2 Ταχύτητα

1.2.1 Ορισμός της ταχύτητας

Στο σχήμα 1 εικονίζεται η τροχιά ενός κινητού. Τη χρονική στιγμή t η θέση του

κινητού ορίζεται από το διάνυσμα θέσης r→

. Μετά χρόνο Δt και αφού το κινητό διανύσει επιτρόχιο διάστημα μήκους Δs, βρίσκεται σε μια νέα θέση οριζόμενη

από το διάνυσμα θέσηςr→+Δ r

→

. Η μεταβολή της θέσης δίνεται από το

διάνυσμα Δ r→

. Στη γενική περίπτωση καμπύλης τροχιάς και για οποιοδήποτε πεπερασμένο χρονικό διάστημα Δt το μήκος Δs είναι μεγαλύτερο του μέτρου

της μεταβολής της θέσης Δ r→

και είναι ίσο μόνο όταν είναι η τροχιά ευθεία. Λαμβάνουμε τώρα το χρονικό διάστημα Δt→0 . Τότε το μέτρο της μεταβολής

της θέσης Δ r→

τείνει προς το μήκος Δs, η δε διεύθυνση της τείνει προς αυτήν της εφαπτομένης της τροχιάς όπως στο σχήμα 2 . Ορίζουμε ως στιγμιαία ταχύτητα, ή απλώς ταχύτητα το ρυθμό μεταβολής της θέσης του κινητού:

4

1 2

ταχύτηταv→= limΔt→ 0

Δr→

Δt =d r

→

dt σε

ms 9−1

Επομένως η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος με διεύθυνση αυτήν της εφαπτομένης της τροχιάς στην εκάστοτε θέση του κινητού και φορά αυτήν της κίνησης. Επειδή dr=ds για το μέτρο της ταχύτητας λαμβάνουμε:

μέτρο ταχύτηταςv= dr

dt=dsdt σε

ms 9−2

Η ταχύτητα είναι επομένως η χρονική παράγωγος του επιτρόχιου διαστήματος s.

Όταν το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό, τότε η κίνηση χαρακτηρίζεται ομαλή.

Παρατήρηση: Προς αποφυγή συγχύσεων κατά το παρελθόν γινόταν για το μέτρο της ταχύτητας χρήση του όρου ωκύτης από το ομηρικό ωκύς, που σημαίνει γρήγορος. Σήμερα ο όρος αυτός έχει καταργηθεί κι έτσι όταν αναφερόμαστε στον όρο ‘ταχύτητα’, πρέπει να αναγνωρίζουμε, για ποιο από τα δύο πρόκειται: στην ταχύτητα ως διάνυσμα, ή στο μέτρο της. Στην αγγλική ορολογία οι έννοιες της ταχύτητας και του μέτρου της ταχύτητας διακρίνονται με τη χρήση δύο διαφορετικών όρων. Ο όρος velocity αναφέρεται στην ταχύτητα ως διάνυσμα, ενώ ο όρος speed στο μέτρο της.

1.2.2 Σχέση θέσης-ταχύτητας

Στο σχήμα 1 εικονίζεται η τροχιά ενός κινητού. Με το σύμβολο s εννοούμε την επιτρόχια απόσταση από την αρχή Ο ως τη θέση Α του κινητού, π.χ. την απόσταση ενός σιδηροδρόμου από τον κεντρικό σταθμό. Προσημαίνουμε αυθαίρετα τη θέση του κινητού επί της τροχιάς. Στο παράδειγμα του σχήματος 1 οι θέσεις δεξιά της αρχής λαμβάνονται θετικές, ενώ αυτές αριστερά λαμβάνονται αρνητικές. Με αυτή την προσήμανση, αν η κίνηση έχει φορά

5

προς τα δεξιά, τότε οι μεταβολές ds της απόστασης s είναι θετικές, ενώ αν η κίνηση έχει φορά προς τα αριστερά οι μεταβολές ds είναι αρνητικές.

1

Στο σχήμα 2 εικονίζεται το διάγραμμα s-t ενός κινητού. Τη χρονική στιγμή t=0

το κινητό βρίσκεται σε απόσταση so από την αρχή. Τη χρονική στιγμή t 1 όπου η κλίση της καμπύλης s-t είναι θετική, η φορά κίνησης είναι προς τη

θετικά προσημασμένη κατεύθυνση. Τη χρονική στιγμή t2 , όπου η κλίση είναι αρνητική, η φορά κίνησης έχει αλλάξει, όμως το κινητό εξακολουθεί να βρίσκεται στο θετικά προσημασμένο τμήμα της τροχιάς. Σύμφωνα με την εξίσωση 9−2 η κλίση της καμπύλης δίνει το μέτρο της ταχύτητας. Το πρόσημο της κλίσης δηλώνει τη φορά κίνησης.

2

3

Από την εξίσωση 9−2 λαμβάνουμε:

ds=vdt 10−1

6

Η μεταβολή Δs της απόστασης του κινητού από την αρχή Ο και από την έναρξη της κίνησης (t=0) έως τη χρονική στιγμή t προκύπτει μετά ολοκλήρωση και είναι ίση προς:

Δs=∫0tvdt 11−1

Γραφικά αυτό απεικονίζεται στο διάγραμμα v-t του σχήματος 3 σελίδα 10. Το σκιασμένο εμβαδόν είναι η μεταβολή της απόστασης στο χρονικό διάστημα Δt. Η ολική μεταβολή της απόστασης είναι ίση προς το εμβαδόν μεταξύ της καμπύλης και του άξονα t. Αρχικά η ταχύτητα έχει φορά προς τη θετικά προσημασμένη διεύθυνση. Εδώ το κινητό απομακρύνεται από την αρχή Ο και η απόσταση αυξάνει. Αυτό δηλώνει και το θετικό πρόσημο στην αντίστοιχη περιοχή. Στη συνέχεια η ταχύτητα μηδενίζεται και αλλάζει φορά, οπότε η απόσταση του κινητού από την αρχή Ο μειώνεται. Σημειώνουμε ότι το πρόσημο της αντίστοιχης περιοχής είναι αρνητικό.

Αν η απόσταση του κινητού από την αρχή Ο τη χρονική στιγμή t=0 είναι ίση

προς s0 , τότε μετά χρόνο t η απόσταση του από την αρχή είναι:

απόσταση από την αρχή s=so+∫o

tvdt

11−2

Ε1 Η απόσταση ενός κινητού από την αρχή Ο δίνεται σε m από την εξίσωση:s=0,7−3,1 t+1,2t 2 Όπου ο χρόνος μετριέται σε s. α) Να διατυπώσετε την εξίσωση της ταχύτητας β) Να αποδώσετε γραφικά σε κατάλληλα βαθμολογημένους άξονες τις σχέσεις s-t και v-t γ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα για t=0,5s και t=1,7s.

α) v=ds

dt ⇒ v=−3,1+2,4 t

β)

7

γ) Από τη χρονική εξίσωση της ταχύτητας, που βρήκαμε στο βήμα (α) λαμβάνουμε:

t=0,5s v=−1,9m

s

t=1,7sv=0 ,98 m

s

E2 Για τα δεδομένα της εφαρμογής Ε1 να υπολογίσετε: α) Τις χρονικές στιγμές, που διέρχεται το κινητό από την αρχή β) Την απόσταση του κινητού από την αρχή τη στιγμή, που αναστρέφεται η φορά κίνησης.

α) s=0 ⇒ 0,7−3,1 t+1,2 t2=0 ⇒

t= 12⋅1,2

(3,1±√3,12−4⋅1,2⋅0,7 ) st 1=0 ,25 st2=2,33 s

β) v=0 ⇒ −3,1+2,4 t=0 ⇒ t=1 ,292 s

s=0,7−3,1⋅1,292+1,2⋅1 ,2922 σε m s=−1,302m

Τα αποτελέσματα είναι συνεπή με τα γραφήματα της Ε1

Ε3 Η ταχύτητα κινητού σε

ms δίνεται από την εξίσωση:

v=2,7−1,1tΌταν ο χρόνος μετριέται σε s. Να υπολογίσετε την απόσταση από την αρχή τις χρονικές στιγμές: α) t=1,2 s β) t=3,2 s . Τη χρονική στιγμή t=0 η

απόσταση του κινητού από την αρχή είναι s0=7,2m .

s=s0+∫0tvdt=7,2+∫0

t(2,7−1,1t )dt ⇒

s=7,2+2,7 t− 12⋅1,1 t2

σε m

α) t=1,2 s s=9 ,648mβ) t=3,2 s s=10 ,208m

1.2.3 Η ανεξαρτησία των κινήσεων και η σύνθεση των ταχυτήτων

Θεωρούμε την κίνηση του σημείου Α στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων του σχήματος 1 σελίδα 7. Από την εξίσωση της θέσης 8−1 και την εξίσωση ορισμού της ταχύτητας 9−1 λαμβάνουμε:

8

v→=d r

→

dt= i

¿dxAdt

+ j¿

dyAdt

+ k

^¿dz

Adt =v

x→

+v

y→

+ v

z→

¿

¿

¿

Όπου:

v→

x= i¿dxAdt

¿

v→

y= i¿dyAdt

¿

v→

z= i¿dz Adt

¿

είναι οι ταχύτητες των προβολών του Α στους άξονες x, y, z αντίστοιχα. Αναλύουμε έτσι την ταχύτητα σε τρεις συνιστώσες κινήσεις, κάθε μια από τις οποίες γίνεται ανεξάρτητα από τις άλλες. Αντίστροφα τώρα, αν το κινητό εκτελεί ανεξάρτητες κινήσεις κατά μήκος των αξόνων x, y, z, τότε η ταχύτητα

v→

προκύπτει ως συνισταμένη των v→

x , v→

y , v→

z .

Ε4 Λέμβος κινείται κάθετα στις όχθες ποταμού με ταχύτητα v1=2,2

ms .

Ταυτόχρονα η λέμβος παρασύρεται από το ρεύμα με ταχύτητα v2=1,4

ms . Να

υπολογίσετε την ταχύτητα v και τη διεύθυνση κίνησης της λέμβου.

Με τη βοήθεια του διανυσματικού διαγράμματος των ταχυτήτων βρίσκουμε:

v=√v12+v22=√2,22+1,42 ms v=2 ,61 m

s

tanθ=v1v2

=2,21,4

=1 ,57θ=57 ,5ο

Ε5 Η ταχύτητα κινητού κατά τον άξονα x συστήματος ορθογώνιων αξόνων

είναι vx=5

ms και κατά τον άξονα y είναι v y=3+2t σε

ms , όταν ο χρόνος

δίνεται σε s. Τη χρονική στιγμή t=0 το κινητό βρίσκεται στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων. α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του κινητού τη χρονική στιγμή t=2s β) Να βρεθεί το σχήμα της τροχιάς.

α) vx=5

ms

v y=(3+2⋅2 )ms=7 m

s

9

v=√52+72ms =√74 ms

Από το διανυσματικό διάγραμμα ταχυτήτων βρίσκουμε τη διεύθυνση της ταχύτητας:

tanθ=v yvx

=75=1,4

θ=54 ,4o

Οι κινήσεις των προβολών του κινητού στους δύο άξονες γίνεται ανεξάρτητα η μία από την άλλη. Οι συντεταγμένες του κινητού στους άξονες x, y είναι:

x=vx t=5ms⋅2 s=10m

y=∫02v ydt=∫0

2(3+2t )dt=3 t+t2|0

2=(3⋅2+22 )m=10m

r=√x2+ y2=√102+102m r=14 ,1m

tan α= yx=1 α=45o

β) Για να βρούμε την τροχιά απαλείφουμε το χρόνο t μεταξύ των

παραμετρικών εξισώσεων, που βρήκαμε στο βήμα α) και είναι: x=vx t=5 t

και y=3 t+t2 και λαμβάνουμε:

t=x5 ⇒

y=3 x5+( x5 )

2

y=0,6x+0 ,04 x2

Η τροχιά είναι επομένως παραβολική, όπως εικονίζεται στο σχήμα. Θα υπολογίσουμε τώρα την κλίση της παραβολής στο σημείο x=10m , y=10m , όπου βρίσκεται το κινητό τη χρονική στιγμή t=2s. Μετά παραγώγιση λαμβάνουμε:

dydx

=0,6+0 ,08 x=0,6+0 ,08⋅10

dydx

=1,4

10

Αυτή είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας θ του προηγουμένου βήματος α), που μας δίνει τη διεύθυνση της ταχύτητας. Το αποτέλεσμα αυτό είναι αναμενόμενο, διότι η ταχύτητα έχει τη διεύθυνση της εφαπτομένης της τροχιάς. Ελέγχουμε έτσι την ορθότητα των αριθμητικών πράξεων.

1.2.4 Σχετικότητα της κίνησης και μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου

Στο σχήμα 1 σελίδα 15 εικονίζονται δύο συστήματα αναφοράς. Το πρώτο έχει

αρχή το σημείο O1 . Το δεύτερο με αρχή το σημείο O2 κινείται ως προς το πρώτο με ταχύτητα:

v0→=d ro

→

dt

Στα πλαίσια της κλασσικής Μηχανικής δεχόμαστε ότι ο χρόνος είναι ανεξάρτητος της ταχύτητας και ότι ‘τρέχει’ με τον ίδιο τρόπο στα δύο συστήματα αναφοράς. Έτσι το σημείο Α κινείται ως προς το πρώτο σύστημα αναφοράς με ταχύτητα:

v1→=d r1

→

dt

Και ως προς το δεύτερο με ταχύτητα:

1

v2→=d r2

→

dt

Όμως r1→=r0

→+r2

→

επομένως:

v1→=d (r0

→+r2

→)

dt=dr0

→

dt+d r2

→

dt

Λαμβάνουμε έτσι τη σχέση των ταχυτήτων ως προς τα δύο συστήματα αναφοράς:

11

v1→=v0

→+v2

→

15−1

Με ανάλυση των v0→

, v1→

, v2→

στους άξονες ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων λαμβάνουμε αντίστοιχα:

v1 x=v 0 x+v2 x ¿ } v1 y=v0 y+v2 y ¿ }¿¿¿15−2

Ε6 Η ταχύτητα αυτοκινήτου είναι v1=27

ms . Σε απόσταση s0=113m

προπορεύεται δεύτερο αυτοκίνητο με ταχύτητα v0=23

ms . Να υπολογίσετε

την ταχύτητα v2 με την οποία αντιλαμβάνεται ο οδηγός του πρώτου αυτοκινήτου να πλησιάζει το δεύτερο και το χρόνο, που θα το φθάσει

Η ζητούμενη ταχύτητα v2 είναι αυτή του πρώτου αυτοκινήτου με σύστημα αναφοράς το προπορευόμενο. Από την εξίσωση 15−1 λαμβάνουμε:

v2→=v1

→−v0

→

Τα δύο αυτοκίνητα βρίσκονται στην ίδια ευθεία, επομένως για τα μέτρα των ταχυτήτων έχουμε:

v2=v1−v0=27ms−23 m

s v2=4

ms

Ο απαιτούμενος χρόνος για να φθάσει το πρώτο αυτοκίνητο το προπορευόμενο είναι:

t=s0v2

=113m

4 ms t=28 ,25 s

Ε7 Η ταχύτητα αυτοκινήτου είναι v0=22

ms . Οι σταγόνες της βροχής πέφτουν

κατακόρυφα με ταχύτητα v1=7

ms . Να υπολογίσετε α) το μέτρο της ταχύτητας

12

v2 με την οποία αντιλαμβάνεται ο οδηγός να καταφθάνουν οι σταγόνες και β) τη γωνία υπό την οποία τις βλέπει να πέφτουν.

α) Οι ταχύτητες v1 , v2 είναι αυτές, που αντιλαμβάνεται ο ακίνητος παρατηρητής ως προς το περιβάλλον. Με σύστημα αναφοράς το αυτοκίνητο λαμβάνουμε από την εξίσωση 15−1 :

v2→=v1

→−v0

→

Το μέτρο της ταχύτητας των σταγόνων, όπως το αντιλαμβάνεται ο οδηγός είναι επομένως:

v2=√v12+v02=√72+222msv=23 ,1m

s

β) tan α=

v0v1

=227

=3 ,143α=72 ,3o

Ε8 Δύο πλοία εκκινούν συγχρόνως από το ίδιο σημείο με ταχύτητες v1=9

ms

και v2=11 ,5

ms σε διευθύνσεις, που σχηματίζουν γωνία α=60

o. Να βρείτε α)

την ταχύτητα v και τη διεύθυνση κίνησης του δεύτερου πλοίου, όπως την αντιλαμβάνονται οι επιβάτες του πρώτου πλοίου και β) την απόσταση μεταξύ των πλοίων τη χρονική στιγμή t=600s.

α) Οι ταχύτητεςv1 , v2 είναι αυτές, που αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής ακίνητος ως προς το λιμάνι. Εφαρμόζουμε την εξίσωση 15−1 για τις

ταχύτητες v1 , v2 και v και λαμβάνουμε:

v2→=v1

→+v

→

⇒ v→=v2

→−v1

→

v=√v12+v22−2 v1v2cos α=√92+11 ,52−2⋅9⋅11 ,5⋅cos60o ms v=10 ,5 m

s

13

cos β=v2+v

12−v

22

2vv1=10 ,52+92−11 ,52

2⋅10 ,5⋅9=0 ,312 β=71 ,8o

β) Το δεύτερο πλοίο κινείται ομαλά ως προς το πρώτο με ταχύτητα v=10 ,5 m

s. Μετά χρόνο t=600s η απόσταση μεταξύ τους είναι:

s=vt=10 ,5ms⋅600 s

s=6 .300m

Έστω ότι η ταχύτητα v0→

του συστήματος αναφοράς (2) ως προς το (1) είναι σταθερή. Τότε μπορούμε πάντοτε να επιλέξουμε δύο συστήματα ορθογώνιων συντεταγμένων, τέτοια ώστε τη χρονική στιγμή t=0 να έχουν κοινή αρχή και

επί πλέον ένας από τους άξονες καθενός να κατευθύνεται όπως η v0→

. Στο

σχήμα 1 ως τέτοιος άξονας έχει ληφθεί ο x. Για τις συντεταγμένες x1 , y1 , z1

και τις x2 , y2 , z2 του σημείου Α στα δύο συστήματα βρίσκουμε από το σχήμα 2 τις εξής σχέσεις, που είναι γνωστές ως μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου. (Γαλιλαίος εξελληνισμένο όνομα του Ιταλού φυσικού και αστρονόμου θεμελιωτή της πειραματικής μεθόδου Galileo Galilei 1564-1642)

14

1

Μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου

x1=v0 t+x2y1= y2z1= z2 18−1

Από τις εξισώσεις 18−1 λαμβάνουμε με παραγώγιση ως προς το χρόνο τη σχέση των ταχυτήτων του σημείου Α ως προς τα δύο συστήματα αναφοράς:

dx1dt

=v0+dx 2dt

dy1dt

=dy2dt

dz1dt

=dz 2dt ⇒

v x1=v 0+vx2 ¿ } v y1=v y 2¿ }¿¿¿18−2

1.3 Επιτάχυνση

1.3.1 Ορισμός της επιτάχυνσης

Στο σχήμα 1 εικονίζεται η ταχύτητα ενός κινητού v→

t και v→

t+Δt σε δύο θέσεις της τροχιάς της χρονικές στιγμές t και t+Δt. Στο σχήμα 2 εικονίζεται το

αντίστοιχο διανυσματικό διάγραμμα των ταχυτήτων. Η μεταβολή Δ v→

της ταχύτητας είναι:

15

1 2 3

Δ v→=v

→

t+Δt−v→

t

Θεωρούμε την οριακή περίπτωση Δt→0 και ορίζουμε ως επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας:

επιτάχυνσηa→= limΔt→ 0

Δv→

Δt =d v

→

dt σε

ms2 18−3

Η επιτάχυνση είναι επομένως διανυσματικό μέγεθος με διεύθυνση και φορά αυτές της μεταβολής της ταχύτητας. Επισημαίνουμε λοιπόν ότι στη γενική περίπτωση η επιτάχυνση δεν έχει διεύθυνση ίδια με αυτή της ταχύτητας, αλλά κατευθύνεται προς το κοίλο μέρος της τροχιάς, όπως εικονίζεται στο σχήμα 3. Η επιτάχυνση έχει ίδια διεύθυνση με την ταχύτητα μόνον αν η διεύθυνση της ταχύτητας είναι σταθερή και μεταβάλλεται μόνο το μέτρο της, δηλαδή στην ευθύγραμμη επιταχυνόμενη κίνηση.

Επειδή v→=d r

→

dt λαμβάνουμε για την επιτάχυνση και:

επιτάχυνσηa→=d v

→

dt =d2 r

→

dt 2 σε

ms2 19−1

Η επιτάχυνση είναι δηλαδή η πρώτη παράγωγος της ταχύτητας ως προς το χρόνο και η δεύτερη παράγωγος της θέσης ως προς το χρόνο.

1.3.2 Επιτρόχιος και κεντρομόλος επιτάχυνση

Επειδή η επιτάχυνση a→

δεν έχει διεύθυνση ίδια με αυτή της ταχύτητας v→

,

μπορούμε να την αναλύσουμε σε δύο συνιστώσες, μια a→

T κατά τη διεύθυνση της εφαπτομένης της τροχιάς, η οποία ονομάζεται επιτρόχιος και είναι

υπαίτια για τη μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας και μια a→

C κάθετη σε αυτήν, που ονομάζεται κεντρομόλος και είναι υπαίτια για τη μεταβολή της διεύθυνσης της κίνησης λόγω της καμπυλότητας της τροχιάς.

16

1 2 3

Στο σχήμα 1 , όπου η φορά της επιτρόχιας συνιστώσας a→

T είναι αυτή της

ταχύτητας v→

, το μέτρο της ταχύτητας αυξάνει. Στο σχήμα 2 , όπου η φορά της επιτρόχιας επιτάχυνσης είναι αντίθετη αυτής της ταχύτητας συμβαίνει το αντίθετο: το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται. Η κίνηση αυτή χαρακτηρίζεται ως επιβραδυνόμενη. Στο σχήμα 3 εικονίζεται η περίπτωση μιας ομαλής κίνησης. Το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό. Εδώ υπάρχει μόνον η

κεντρομόλος επιτάχυνση a→

C=a→

.

Αν είναι γνωστές οι τιμές των aT και aC , τότε το μέτρο της επιτάχυνσης a→

είναι:

μέτρο επιτάχυνσης a=√aT2+aC2 19−2

Και η διεύθυνση ως προς την ταχύτητα:

διεύθυνση επιτάχυνσηςθ=arctan

aCaT 19−3

Το μέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης είναι ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου

της ταχύτητας

dvdt . Όμως

v=dsdt , επομένως:

μέτρο επιτρόχιας επιτάχυνσης aT=

dvdt

=d2sdt 2 20−1

Αν είναι λοιπόν γνωστό το μέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης, μπορούμε τότε να βρούμε το μέτρο της ταχύτητας:

μέτρο ταχύτητας v=v0+∫0taT dt 20−2

όπου v0 είναι η ταχύτητα τη χρονική στιγμή t=0. Στην ειδική περίπτωση, που το μέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης είναι σταθερό, τότε η κίνηση χαρακτηρίζεται ως ομαλά επιταχυνόμενη (ή ομαλά επιβραδυνόμενη, αν το

17

μέτρο της ταχύτητας μειώνεται) και η εξίσωση 20−2 λαμβάνει την απλούστερη μορφή:

ταχύτητα στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση v=v0+aT t 20−3

Από την εξίσωση 20−3 και την εξίσωση 11−2 λαμβάνουμε για την επιτρόχια απόσταση s του κινητού από την αρχή Ο:

απόσταση στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνησηs=s0+v0 t+

12aT t

2

20−4

όπου s0 είναι η απόσταση από την αρχή Ο τη χρονική στιγμή t=0.

Ε9 Η ταχύτητα κινητού σε

ms δίνεται από την εξίσωση: v=8−1,5t , όταν ο

χρόνος t δίνεται σε s. Να υπολογίσετε την επιτρόχιο επιτάχυνση και την απόσταση από την αρχή για τη χρονική στιγμή t=5s. Τη χρονική στιγμή t=0 η

απόσταση από την αρχή είναι s0=−10m .

a=dvdt

a=−1,5 ms2

Η επιτρόχιος επιτάχυνση έχει επομένως φορά προς το αρνητικά προσημασμένο μέρος της τροχιάς.

t=0 ⇒v=v0=8

ms

Από την εξίσωση 20−4 λαμβάνουμε:

s=−10+8 t−12⋅1,5 t 2

σε ms=(−10+8⋅5−1

2⋅1,5⋅52 )m

s=11,25m

Το κινητό βρίσκεται στο θετικά προσημασμένο μέρος της τροχιάς.

Ε10 Η επιτρόχιος επιτάχυνση σε

ms2 δίνεται από την εξίσωση: aT=3+1,7 t

όταν ο χρόνος t δίνεται σε s. Να υπολογίσετε για τη χρονική στιγμή t=2,9s: α) την επιτρόχιο επιτάχυνση β) την ταχύτητα γ) την απόσταση από την αρχή. Οι

αρχικές συνθήκες είναι: s0=−7m , v0=1,2

ms .

18

α) aT=(3+1,7⋅2,9 )m

s2aT=7 ,93

ms2

β) v=1,2+∫0

t=2,9(3+1,7 t )dt=1,2+3 t+ 1

2⋅1,7⋅t2=1,2+3⋅2,9+ 1

2⋅1,7⋅2,92

σε ms

v=17 ,0485ms

γ)

s=s0+∫0t=2,9

vdt=−7+∫0t=2,9

(1,2+3 t+ 12⋅1,7 t2)dt=−7+1,2 t+ 1

2⋅3 t2+ 1

2⋅3⋅1,7 t3|

0

2,9

σε m

s=16 ,005m

Θα υπολογίσουμε τώρα το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης. Στο σχήμα 1 εικονίζεται η θέση και η ταχύτητα του κινητού επί της τροχιάς xx’ κατά τις χρονικές στιγμές t και t+Δt. Το σημείο Κ είναι το κέντρο και R η ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς.

1 2

Θεωρούμε την οριακή περίπτωση Δt→0 , οπότε Δs→ vΔt . Στο σχήμα 2 εικονίζεται το διανυσματικό διάγραμμα των ταχυτήτων. Επειδή εδώ δε μας ενδιαφέρει η επιτρόχιος συνιστώσα της επιτάχυνσης, αλλά μόνον η κεντρομόλος, έχουμε σχεδιάσει μόνον την κάθετη επί την τροχιά συνιστώσα

19

της μεταβολής της ταχύτητας Δ v→

N . Το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης είναι:

aC= limΔt→0

ΔvNΔt

=dvNdt

Το μέτρο της Δ v→

N είναι: ΔvN= lim

Δt→0v tan Δφ

, όμως επειδή Δt→0 , οπότε και Δφ→0 , έχουμε tan Δφ→Δφ . Λαμβάνουμε έτσι:

limΔt→0

ΔvN= limΔt→0

vΔφ= limΔt→0

vΔsR

Και

limΔt→0

ΔvNΔt

= limΔt→ 0

vΔsRΔt

= vRdsdt όμως:

dsdt

=vεπομένως:

μέτρο κεντρομόλου επιτάχυνσης aC=

v2

R 22−1

Ε11 Σε σημείο της τροχιάς, όπου η ακτίνα καμπυλότητας είναι R=73m, η

ταχύτητα κινητού είναι v=11 m

s . Να υπολογίσετε την κεντρομόλο επιτάχυνση.

aC=(11 ms )

2

73m=121m

2

s2

73maC=1,658

ms2

Ε12 Σιδηρόδρομος κινούμενος με ταχύτητα 83 km

h εισέρχεται σε τροχιά ακτίνας καμπυλότητας 1500m. Προς αποφυγή εκτροχιασμού ο μηχανοδηγός

μειώνει επί 5s την ταχύτητα με σταθερό ρυθμό σε 67 km

h . Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης και τη διεύθυνση της ως προς την ταχύτητα α) τη στιγμή της έναρξης της πέδησης β) αμέσως πριν την παύση της πέδησης.

Εκφράζουμε τις ταχύτητες στο SI:

v1=83kmh

=83103m

3,6⋅103 s=23 ,06 m

s

20

v2=67kmh

=67103m

3,6⋅103 s=18 ,61 m

s

Από τη μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας βρίσκουμε την επιτρόχιο επιτάχυνση:

aT=v2−v1Δt

=18 ,61−23 ,065

ms2

=−4 ,425

ms2

aT=−0 ,884 ms2

Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι η φορά της aT είναι αντίθετη της κίνησης.

α) aC1=

v12

R=

(23 ,06ms

)2

1500maC1=0 ,354

ms2

a1=√aT2+aC12=√0 ,8842+0 ,3542 ms2

a1=0 ,952ms2

tanθ=aC 1aT

=−0 ,3540 ,884

=−0 ,400θ=158ο

β) aC2=

v22

R=

(18 ,61ms

)2

1500maC2=0 ,231

ms2

a1=√aT2+aC22=√0 ,8842+0 ,2312 ms2

a1=0 ,914ms2

tanθ=aC 1aT

=− 0 ,2310 ,884

=−0 ,261θ=165ο

1.3.3 Η επιτάχυνση στην αλλαγή συστήματος αναφοράς

Επανερχόμαστε στην εξίσωση 15−1 , που μας δίνει τις ταχύτητες v→

1 , v→

2 ως

προς δύο συστήματα αναφοράς, που κινούνται με ταχύτητα v→

0 το ένα ως προς το άλλο:

v→

1=v→

0+v→

2 15−1=23−1

21

Θέλουμε να βρούμε τις επιταχύνσεις ως προς τα δύο συστήματα. Παραγωγίζουμε ως προς το χρόνο την εξίσωση 23−1 και λαμβάνουμε:

d v→

1

dt=d v

→

0

dt+d v

→

2

dt ⇒ a→

1=a→

0+a→

2 24−1

Όπου a→

1 , a→

2 είναι οι επιταχύνσεις ως προς τα δύο συστήματα αναφοράς και

a→

0 είναι η επιτάχυνση του ενός συστήματος ως προς το άλλο. Αν η ταχύτητα

v→

0 του ενός συστήματος ως προς το άλλο είναι σταθερή, τότε:

a→

0=d v

→

0

dt=0

Οπότε η εξίσωση 1 γράφεται:a→

1=a→

2 24−2

Συμπεραίνουμε επομένως ότι η επιτάχυνση είναι αναλλοίωτη κατά τη μετάβαση από ένα σύστημα αναφοράς σε άλλο, το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς το πρώτο. Αυτή η διαπίστωση αποτελεί-όπως θα γνωρίσουμε-μια από τις θεμελιώσεις προτάσεις της Δυναμικής.

1.4 Περιστροφική κίνηση

1.4.1 Στροφή κατά απειροστή γωνία

Στην εισαγωγική παράγραφο 0.2.2 γνωρίσαμε ότι η στροφή κατά πεπερασμένη γωνία δεν είναι διάνυσμα, γιατί όπως επιδεικνύεται στα σχήματα 1 και 2 σελίδα 3, δεν ικανοποιεί τη μεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης των διανυσμάτων. Τα πράγματα είναι όμως διαφορετικά, αν η στροφή γίνει κατά μια απειροστά μικρή γωνία Δφ. Για να κατανοήσουμε τη διαφορά θα ξεκινήσουμε από το σχήμα 1 , όπου ένα σημείο στρέφεται κατά μια πεπερασμένη γωνία Δφ και μετατοπίζεται από τη θέση (1) στη θέση (2). Το μήκος της διαδρομής είναι Δs=rΔφ και το μήκος της μετατόπισης

Δr=2 r sin Δφ2 με Δs>Δr. Στο σχήμα 2 συμβαίνει το ίδιο, όμως εδώ η στροφή

γίνεται κατά μικρότερη γωνία. Και εδώ παραμένει το μήκος Δs μεγαλύτερο της μετατόπισης Δr, όμως η σχετική διαφορά των δύο μεγεθών μειώνεται.

22

1 2

Στην οριακή περίπτωση Δφ→0 θα έχουμε λοιπόν:

limΔφ→0

sin Δφ2

= Δφ2 και

limΔφ→0

Δr=Δs.

Τότε έχουμε όμως και limΔφ→0

Δφ=Δrr . Επί πλέον η διεύθυνση της Δr τείνει να

γίνει κάθετη στην ακτίνα r. Θα εξετάσουμε αυτή την περίπτωση.

1

2

Στο σχήμα 1 στρέφουμε το Α πρώτα περί τον άξονα x κατά τη γωνία Δφ1 και

μετά περί τον z κατά τη γωνία Δφ2 . Το Α έρχεται έτσι στη θέση Β αφού

μετατοπιστεί διαδοχικά κατά Δr1=rΔφ1 και Δr2=rΔφ2 . Η συνισταμένη

μετατόπιση είναι η Δ r→=Δr

→

1+Δ r→

2 και η γωνία κατά την οποία στρέφεται τελικά το Α είναι η:

23

Δφ= Δr

r=1r √Δr12+Δr22=√( Δr1r )

2

+( Δr2r )2

=√Δφ12+Δφ2225−1

Στο σχήμα 2 αλλάζουμε τη σειρά των στροφών. Το σημείο Α έρχεται όμως

πάλι στο Β, αφού η σειρά άθροισης των διανυσμάτων Δ r→

1 , Δ r→

2 δεν αλλάζει

το αποτέλεσμα, γιατί Δ r→=Δr

→

2+Δ r→

1 . Η πρόσθεση δύο στροφών κατά απειροστές γωνίες ικανοποιεί επομένως τη μεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης διανυσμάτων. Όμως σύμφωνα με την εξίσωση 25−1 ικανοποιεί και την πρόσθεση διανυσμάτων με τον κανόνα του παραλληλογράμμου. Το γεγονός ότι οι στροφές γίνονται περί κάθετους άξονες δεν προσβάλει τη γενικότητα αυτού του συμπεράσματος, γιατί στην πορεία των συλλογισμών μας δεν κάναμε χρήση της καθετότητας των αξόνων x, y. Μπορούμε να εκπροσωπήσουμε επομένως τη στροφή κατά απειροστή γωνία μέσω ενός διανύσματος.

1

Ο τρόπος, που γίνεται αυτό, εικονίζεται στο σχήμα 1 . Το μέτρο είναι ίσο προς το όρισμα της γωνίας. Ως διεύθυνση ορίζεται αυτή του άξονα περιστροφής,

δηλαδή η κάθετη στο επίπεδο των r→

και Δ r→

και ως φορά εκείνη κατά την οποία προχωράει δεξιόστροφος κοχλίας ευθυγραμμισμένος με τον άξονα περιστροφής, όταν στρέφεται ομόρροπα με την επιβατική ακτίνα r. Για το παράδειγμα του σχήματος 1 ο κοχλίας προχωράει προς τα ‘επάνω’. Η στροφή κατά στοιχειώδη γωνία είναι επομένως αξονικό διάνυσμα, αφού ορίζεται μέσω του κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία.

Με τη βοήθεια του διανυσματικού διαγράμματος του σχήματος 1 λαμβάνουμε

τώρα τη διανυσματική έκφραση της στοιχειώδους μετατόπισης d r→

συναρτήσει της αντίστοιχης στροφής d φ→

:

στοιχειώδης μετατόπιση d r→=d φ

→x r

→

26−1

1.4.2 Γωνιακή ταχύτητα

24

Στο σχήμα 2 το σημείο Α στρέφεται περί τον άξονα xx’. Ορίζουμε ως γωνιακή ταχύτητα το ρυθμό μεταβολής:

γωνιακή ταχύτηταω→= limΔt→0

Δφ→

Δt =d φ

→

dt σε

rads 26−2

Η γωνιακή ταχύτητα είναι ως ρυθμός μεταβολής αξονικού διανύσματος αξονικό διάνυσμα επίσης. Η διεύθυνση και η φορά της προκύπτουν επομένως από τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία όπως εικονίζεται στο σχήμα 2 .

2

Από την εξίσωση 26−1 λαμβάνουμε:

d r→

dt =d φ

→

dt x r→

Όμως και

d φ→

dt =ω→

. Προκύπτει έτσι η:

σχέση ταχύτητας-γωνιακής ταχύτητας v→=ω

→x r

→27−1

Επειδή η γωνιακή ταχύτητα είναι κάθετη στην ακτίνα r λαμβάνουμε την αντίστοιχη σχέση για τα μέτρα:

σχέση μέτρων ταχύτητας-γωνιακής ταχύτητας v=ωr 27−2

Από την εξίσωση αυτή λαμβάνουμε και την έκφραση του μέτρου της κεντρομόλου επιτάχυνσης συναρτήσει της γωνιακής ταχύτητας:

μέτρο κεντρομόλου επιτάχυνσης aC=

v2

r=ω2r

27−3

1.4.3 Γωνιακή επιτάχυνση

25

Θεωρούμε τη γενική περίπτωση, όπου η γωνιακή ταχύτητα μεταβάλλεται. Αυτό μπορεί να οφείλεται είτε στη μεταβολή του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας, είτε στη μεταβολή του άξονα περιστροφής, είτε και στα δύο. Ορίζουμε ως γωνιακή επιτάχυνση το ρυθμό μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας:

γωνιακή επιτάχυνσηα→=d ω

→

dt σε

rads2 27−4

όπως και η γωνιακή ταχύτητα, έτσι και η γωνιακή επιτάχυνση είναι αξονικό διάνυσμα.

Θέλουμε να ελέγξουμε τη συνέπεια του εξωτερικού γινομένου της εξίσωσης 27−1 μετά παραγώγιση ως προς το χρόνο για κίνηση περί σταθερό άξονα, όπως εικονίζεται στο σχήμα 2 σελίδα 26. Το αριστερό δίνει εξ ορισμού την επιτάχυνση:

a→=d v

→

dt

Η παράγωγος του γινομένου δεξιά δίνει:

d (ω→x r

→)

dt=d ω

→

dtx r

→+ω

→x d r

→

dt=d ω

→

dtx r

→+ω

→x v

→

27−5

1 2 3

Εκφράζουμε τα διανύσματα ω→

,

d ω→

dt , r→

, v→

μέσω της τριάδας των μοναδιαίων

διανυσμάτων i¿

¿, j¿

¿, k¿

¿, όπως εικονίζονται στα σχήματα 1 , 2 και 3 ως εξής:

d ω→

dt =dωdt k

¿

¿

26

ω→=ω k

→

r→=r i

¿

¿

v→=v j

¿

¿

Ο πρώτος όρος της εξίσωσης 27−5 γίνεται έτσι:

d ω→

dtx r

¿=dωdtr( k

¿x i¿)= dv

dt ( k¿ x i

¿ )=dvdt j

^¿=a

Tj¿¿

¿

¿¿

¿

¿

¿

Όπου aT είναι το μέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης a→

T . Επομένως:

d ω→

dtx r

¿=a→T¿

Βρήκαμε έτσι ότι ο πρώτος όρος είναι η επιτρόχιος επιτάχυνση. Το αποτέλεσμα είναι συνεπές με το γεγονός ότι η επιτρόχιος επιτάχυνση έχει τη διεύθυνση της ταχύτητας.

Ο δεύτερος όρος της εξίσωσης 27−5 γράφεται μέσω της τριάδας των μοναδιαίων διανυσμάτων ως εξής:

ω→x v

→=ωv ( k

¿ x j¿)=ωv(− i

¿ )=−ωv i

¿=−v2r i

^¿=−a

Ci¿¿

¿

¿

¿

¿

¿

Όπου aC είναι το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης a→

C . Επομένως:

ω→x v

→=a

→

C

Ο δεύτερος όρος είναι επομένως η κεντρομόλος επιτάχυνση. Αυτό είναι συνεπές με το γεγονός ότι η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι κάθετη στην ταχύτητα. Κάθε όρος της εξίσωσης 27−5 δίνει επομένως μία συνιστώσα της επιτάχυνσης:

d (ω→x r

→)

dt=a

→

T+a→

C 29−1

1.4.4 Ομαλή κυκλική κίνηση

27

Η ομαλή κυκλική κίνηση είναι μια ειδική μορφή κίνησης, όπου το μέτρο της ταχύτητας περιστροφής v είναι σταθερό. Σταθερή είναι επομένως και η

γωνιακή ταχύτητα ω→

. Στην ομαλή κυκλική κίνηση η γωνιακή ταχύτητα αναφέρεται και ως κυκλική συχνότητα.

Ο χρόνος Τ μιας πλήρους περιστροφής είναι η περίοδος. Επομένως:

σχέση γωνιακής ταχύτητας-περιόδου ω=2π

Τ σε

rads 29−2

Ο αριθμός περιστροφών στη μονάδα του χρόνου είναι η συχνότητα. Η συχνότητα είναι επομένως το αντίστροφο της περιόδου:

συχνότητα f= 1T σε s

−1, ή cps (κύκλοι ανά s) 29−3

Στις ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις η μονάδα συχνότητας s−1

ονομάζεται

Hertz (Hz) και είναι 1Hz=1 s−1

. (Heinrich Rudolf Hertz 1857-1894 Γερμανός φυσικός, που παρήγαγε τα ραδιοφωνικά κύματα)

Σημειώνουμε ότι η φορά περιστροφής ενός κινητού είναι προσημασμένη και σύμφωνη με τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία. Η περιστροφή είναι θετική, αν γίνεται αντίστροφα από τους δείκτες του ρολογιού και αρνητική, αν γίνεται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού.

Ε13 Η ταχύτητα περιστροφής κινητού σε κύκλο ακτίνας 2m είναι 7 ms . Να

υπολογίσετε: α) τη γωνιακή ταχύτητα β) την κεντρομόλο επιτάχυνση γ) την περίοδο και τη συχνότητα περιστροφής.

α) ω= v

r=7ms

2mω=3,5 rad

s

β) aC=

v2

r=

(7 ms )2

2m=492ms2

aC=24 ,5ms2

γ)

T=2πω

= 2π

3,5 rads T=1 ,795 s

28

f=0 ,557 s−1

Ε14 Κινητό, που εκκινεί από την ηρεμία, περιστρέφεται σε κύκλο ακτίνας 1,7m

με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση 0,3 rad

s2 . Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t=3,7s.

Η περιστροφή γίνεται περί σταθερό άξονα, επομένως η γωνιακή επιτάχυνση οφείλεται στη μεταβολή του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας. Επειδή το κινητό

εκκινεί από την ηρεμία, η αρχική γωνιακή ταχύτητα είναι ω0=0 , επομένως:

dω=α dt ⇒ω=∫0

t=3,7α dt=αt|0

t=3,7=0,3 rads2

⋅3,7 s ⇒

ω=1 ,11 rads

Το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης είναι:

aC=ω2r=(1,11 rads )

2⋅1,7m aC=2 ,095

ms2

Το μέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης είναι:

aT=dvdt

=r dωdt

=rαt=1,7m⋅0,3 rads2

⋅3,7 s aT=1 ,887ms2

Το μέτρο της επιτάχυνσης είναι:

a=√aT2+aC2=√1,8872+2 ,0952 ms2

a=2 ,820ms2

Η διεύθυνση της επιτάχυνσης ως προς την ταχύτητα είναι:

tanθ=aCaT

=2,0951 ,887 θ=48 ,0ο

Ε15 Ο ανεμιστήρας του σχήματος στρέφεται με συχνότητα 50 s−1 περί οριζόντιο άξονα. Συγχρόνως στρέφεται και περί κατακόρυφο άξονα με περίοδο 15s. Να υπολογίσετε τις

γωνιακές ταχύτητες ω1 , ω2 περί τους δύο άξονες και τη γωνιακή επιτάχυνση.

ω1=2 πf=2 π⋅50 s−1 ω1=314

rads

29

ω2=2πΤ

= 2π15 s

ω2=0 ,419rads

Η γωνιακή επιτάχυνση οφείλεται εδώ στη μεταβολή της διεύθυνσης του οριζόντιου άξονα περιστροφής, επομένως είναι

κάθετη στην ω1 , όπως εικονίζεται και στο παρακείμενο διανυσματικό διάγραμμα. Το μέτρο της είναι:

α= limΔt→0

Δω1Δt

= limΔt→0

ω1ΔφΔt

=ω1dφdt

dφdt

=ω2 ⇒α=ω1ω2=314

rads

⋅0 ,419 rads

α=131 ,6 rads2

1.4.4 Ανάλυση και σύνθεση κυκλικών κινήσεων

1.4.5.1 Οι παραμετρικές εξισώσεις της ομαλής κυκλικής κίνησης

Στο σχήμα 1 το σημείο Α εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση. Οι συντεταγμένες του είναι:

1

συντεταγμένες θέσης στην ομαλή κυκλική κίνηση x=r cosωty=r sinωt 31−1

Η κίνηση, που εκτελεί το σημείο Α σε κάθε άξονα είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου. Με τον όρο αυτό εννοούμε μια συνάρτηση, που είναι ανάλογη του ημιτόνου, ή ισοδύναμα του συνημιτόνου της μεταβλητής παραμέτρου. Στην κίνηση η μεταβλητή είναι ο χρόνος t.

30

Παραγωγίζουμε ως προς το χρόνο τις παραμετρικές εξισώσεις 30−1 της

θέσης και λαμβάνουμε τις ταχύτητες vx και v y :

συνιστώσες ταχύτητας στην ομαλή κυκλική κίνηση

vx=−ωr sinωtv y=ωr cosωt 32−1

Παραγωγίζουμε ως προς το χρόνο τις παραμετρικές εξισώσεις 32−1 των

ταχυτήτων vx και v y και λαμβάνουμε τις επιταχύνσεις ax και a y :

συνιστώσες επιτάχυνσης` στην ομαλή κυκλική κίνηση

ax=−ω2r cosωta y=−ω2r sinωt

32−2

1

Σημειώνουμε ότι και οι συνιστώσες της ταχύτητας και της επιτάχυνσης είναι αρμονικές συναρτήσεις του χρόνου. Στο σχήμα 1 εικονίζεται το διανυσματικό διάγραμμα των τριών μεγεθών της ομαλής κυκλικής κίνησης.

1.4.5.2 Σπειροειδής κίνηση

Στο σχήμα 2 το κινητό εκτελεί δύο ανεξάρτητες κινήσεις. Η κίνηση στο επίπεδο xy είναι ομαλή κυκλική με γωνιακή ταχύτητα ω. Η κίνηση κατά μήκος του άξονα z είναι ομαλή με ταχύτητα v. Η τροχιά που προκύπτει ονομάζεται σπειροειδής. Τέτοιο σχήμα λαμβάνουμε από το ίχνος ενός κοπτικού εργαλείου, που προχωράει με σταθερή ταχύτητα κατά μήκος περιστρεφόμενου άξονα σε τόρνο. Επίσης η τροχιά ενός φορτισμένου σωματιδίου μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο είναι σπειροειδής. Οι παραμετρικές εξισώσεις της σπειροειδούς είναι:

31

2

συντεταγμένες θέσης στη σπειροειδή

x=r cosωty=rsinωtz=vt

32−3

Η απόσταση β κατά την οποία προχωράει το κινητό κατά μήκος του άξονα z σε χρόνο μιας περιόδου είναι το βήμα της σπείρας.

Βήμα σπείρας β=vT=2πv

ω33−1

Θα υπολογίσουμε τώρα το μήκος της σπειροειδούς. Στο σχήμα 1 εικονίζεται η εξέλιξη ενός σπειρώματος. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα βρίσκουμε:

1

μήκος σπειροειδούς s= t√(ωr )2+v2

33−2

1.4.5.3 Κύλιση και κυκλοειδής τροχιά

Η κύλιση ενός δίσκου είναι επαλληλία δύο ανεξαρτήτων κινήσεων: μια μεταφορική με ταχύτητα v και μια περιστροφική με γωνιακή ταχύτητα ω. Σε

32

κάθε πλήρη περιστροφή-δηλαδή περιστροφή κατά 2π-ο τροχός μετατοπίζεται κατά 2πr . Επομένως:

σχέση ταχύτητας-γωνιακής ταχύτητας στην κύλιση v=ωr33−3

Στη μεταφορική κίνηση, όλα τα σημεία του δίσκου κινούνται με σταθερή ταχύτητα μέτρου v όπως στο σχήμα 2 . Στην κυκλική κίνηση όλα τα σημεία της περιφέρειας κινούνται με ταχύτητα μέτρου v επίσης, αλλά όπως στο σχήμα 3 . Στο σχήμα 4 εικονίζονται οι ταχύτητες των σημείων της περιφέρειας μετά τη σύνθεση των δύο κινήσεων.

2 3

4

Σημειώνουμε ότι το σημείο επαφής του δίσκου Ο με το έδαφος έχει ταχύτητα v=0. Αυτό σημαίνει ότι ο δίσκος στρέφεται στιγμιαία περί το σημείο Ο. Συνέπεια αυτού είναι ότι η ταχύτητα κάθε σημείου της περιφέρειας είναι ανάλογη της απόστασης του από το σημείο επαφής Ο και διευθύνεται κάθετα στην ευθεία, που το ενώνει με αυτό. Η μέγιστη ταχύτητα είναι επομένως αυτή του πόλου του δίσκου και ίση προς 2v.

Μας ενδιαφέρει τώρα να βρούμε την τροχιά ενός σημείου της περιφέρειας. Η τροχιά αυτή ονομάζεται κυκλοειδής. Διατυπώνουμε γι’ αυτό τις παραμετρικές εξισώσεις των συντεταγμένων του στους άξονες x,y του σχήματος 1 . Αυτές είναι:

33

1

x=vt−r sinωt=ωrt−r sinωt34−1

y=r−r cosωt34−2

Από τη δεύτερη προκύπτει:

cosωt= r− yr ⇒

ωt=arccos( r− yr ) και

sinωt=√1−( r− yr )

2

Θέτουμε τις εκφράσεις των ωt και sinωt στην 33−1 και λαμβάνουμε την εξίσωση της κυκλοειδούς:

εξίσωση κυκλοειδούςx=r (arccos( r− yr )−√1−( r− yr )

2)34−3

Η κυκλοειδής τροχιά εικονίζεται στο σχήμα 2 . Σημειώνουμε ότι τέμνει κάθετα την επιφάνεια κύλισης.

2

Παραγωγίζουμε τώρα τις εξισώσεις της θέσης 34−1 και 34−2 ως προς το χρόνο και βρίσκουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ταχύτητας:

34

vx=dxdt

=ωr (1−cosωt )

35−1

v y=dydt

=ωr sinωt

35−2

Παραγώγιση ως προς το χρόνο των παραμετρικών εξισώσεων της ταχύτητας 35−1 και 35−2 θα μας δώσει τις αντίστοιχες εξισώσεις της επιτάχυνσης:

ax=dvxdt

=ω2r sinωt

35−3

a y=dv ydt

=ω2r cosωt

35−4

Παρατηρούμε ότι οι ax και a y είναι οι συνιστώσες της κεντρομόλου επιτάχυνσης της περιφέρειας του δίσκου με σύστημα αναφοράς τον ίδιο το δίσκο, το κέντρο του οποίου κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς το περιβάλλον. Αυτό είναι συνεπές με την εξίσωση 24−2 , σύμφωνα με την οποία η επιτάχυνση σε δύο συστήματα αναφοράς, που κινούνται με σταθερή ταχύτητα το ένα ως προς το άλλο, είναι αναλλοίωτη.

Το μέτρο της επιτάχυνσης στην κυκλοειδή είναι επομένως:

a=√ax2+ay2=ω2r

Και η διεύθυνση της διέρχεται από το κέντρο του δίσκου.

Θα υπολογίσουμε τέλος το ανάπτυγμα s της κυκλοειδούς σε χρόνο μιας περιόδου. Αυτό γίνεται με ολοκλήρωση των στοιχειωδών διαστημάτων ds. Η ολοκλήρωση αυτή λέγεται επικαμπύλια και το αντίστοιχο ολοκλήρωμα επικαμπύλιο. Έχουμε:

ds=√ (dx )2+ (dy )2=√vx2+v y2dt

Θέτουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ταχύτητας 35−1 και 35−2 στην τελευταία και λαμβάνουμε:

35

ds=ωr √2(1−cosωt ) dt όμως:1−cosωt=2sin2 ωt

2 ⇒

ds=2 r sin ωt2dωt=4 r sin ωt

2d ωt2

s=4 r∫0Tsin ωt

2d ωt2

=−4 r∫0Td (cosωt2 )=−4 r (cos π−cos 0 )=−4 r (−1−1 )=8 r

Επομένως:

ανάπτυγμα κυκλοειδούς s=8 r35−5

Α1 Η απόσταση σε m κινητού από την αρχή δίνεται από την εξίσωση: s=−0,3+2,9 t+1,3 t2 , όταν ο χρόνος t μετριέται σε s. α) να διατυπώσετε την

εξίσωση της ταχύτητας σε

ms και β) να υπολογίσετε την ταχύτητα τις χρονικές

στιγμές t 1=0,2 s και t2=0,7 s . ( α) v=2,9+2,6t β) v1=3 ,42

ms , v2=4 ,72

ms )

Α2 Η ταχύτητα κινητού σε

ms δίνεται από την εξίσωση: v=-1,5+1,9t όταν ο

χρόνος t μετριέται σε s. Να υπολογίσετε α) την απόσταση από την αρχή τις

χρονικές στιγμές t 1=0,4 s και t 2=1,2 s . Τη χρονική στιγμή t=0 η απόσταση

του κινητού από την αρχή είναι s0=−2m . β) Τη χρονική στιγμή αναστροφής της κίνησης και την απόσταση του κινητού από την αρχή, όταν συμβαίνει

αυτό. ( α) s1=−2 ,448m ,s2=−2 ,432m β) t=0,789s, s=−2 ,592m )

Α3 Η ταχύτητα κινητού, που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση, δίνεται σε

ms από

την εξίσωση: v=0 ,12e−0 ,31 t

, όταν ο χρόνος t μετριέται σε s. Να υπολογίσετε: α) την απόσταση από την αρχή και την επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t=3,5s β) το διάστημα, που θα διανύσει το κινητό έως ότου σταματήσει. Τη χρονική

στιγμή t=0 το κινητό βρίσκεται στην αρχή (s0=0 ) ( α) s=0,256m,

a=−0 ,0126 ms2 β) s=0,387m)

Α4 Η ταχύτητα κινητού, που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση είναι ανάλογη της

εκθετικής συνάρτησης e−0 ,72 t

όταν ο χρόνος t δίνεται σε s. Να υπολογίσετε

την επιτάχυνση του κινητού, όταν η ταχύτητα είναι 3,2m

s . (a=−2 ,304 m

s2 )

36

Α5 Η απόσταση κινητού από την αρχή δίνεται σε m από την εξίσωση:

x= 0,3 t1+0,7 t , όταν ο χρόνος t μετριέται σε s. Να υπολογίσετε: α) τη θέση, την

ταχύτητα και την επιτάχυνση τις χρονικές στιγμές t=0 και t=1,7s β) την τελική θέση, ταχύτητα και επιτάχυνση του κινητού. (Να λάβετε το όριο t→0 ) Η

κίνηση είναι ευθύγραμμη. ( α) x0=0 , v0=0,3

ms ,

a0=−0 ,42 ms2 ,

x1,7=0 ,233m , v1,7=0 ,0626

ms , a1,7=−0 ,0400m

s2 β) x=0,429m)

A6 Πλατφόρμα κινείται με ταχύτητα v1=8

ms . Επιβάτης βαδίζει με ταχύτητα

v2=3,4ms κάθετα στη διεύθυνση κίνησης της πλατφόρμας. Ποια είναι η

ταχύτητα και η διεύθυνση κίνησης του επιβάτη για έναν ακίνητο παρατηρητή; (

8 ,69 kmh , 23 ,0

ο)

Α7 Κολυμβητής, που θέλει να διασχίσει κάθετα ποταμό πλάτους 55m, παρασύρεται από το ρεύμα και φθάνει στην απέναντι όχθη σε απόσταση 153m από τον αρχικό προορισμό του. Ποια είναι η ταχύτητα του κολυμβητή,

αν η ταχύτητα του ρεύματος είναι 4,1 m

s ; (v=1 ,47m

s )

Α8 Αεροπλάνο κινόυμενο με ταχύτητα v1=510

kmh δέχεται πρόσθιο πλευρικό

άνεμο υπό γωνία θ=30ο

ως προς τον άξονα της ατράκτου. Η ταχύτητα του

ανέμου είναι v2=80

kmh . Να υπολογίσετε την ταχύτητα v και τη γωνία φ κατά

την οποία αποκλίνει το αεροπλάνο από την επιθυμητή διεύθυνση κίνησης. (

v=443 kmh , φ=5 ,19

o)

Α9 Η ταχύτητα κινητού κατά τον άξονα x συστήματος ορθογωνίων αξόνων

είναι vx=3,3

ms και κατά τον άξονα y είναι v y=2,1+1,9t σε

ms , όταν ο

χρόνος t μετριέται σε s. Τη χρονική στιγμή t=0 οι συντεταγμένες του κινητού είναι x=7m, y=-3m. Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του κινητού τη χρονική

στιγμή t=2,9s. ( v=8 ,29m

s , θ=66 ,6ο, r=19 ,9m , Φ=33 ,8o )

37

Α10 Δύο αυτοκίνητα κινούνται σε κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις με

ταχύτητες v1=73

kmh και

v2=97kmh . Με ποια ταχύτητα και υπό ποια

διεύθυνση ως προς την περεία του αντιλαμβάνεται ο οδηγός του πρώτου

αυτοκινήτου την κίνηση του δεύτερου; (v=121 ,4 km

h , θ=53 ,0ο)

Α11 Δύο αυτοκίνητα κινούνται σε διευθύνσεις, που σχηματίζουν γωνία 43o

με

ταχύτητες v1=60

kmh και

v2=80kmh . Με ποια ταχύτητα και υπό ποια

διεύθυνση ως προς την πορεία του αντιλαμβάνεται ο οδηγός του πρώτου

αυτοκινήτου την κίνηση του δεύτερου; (v=54 ,6 km

h , θ=88 ,4ο)

Α12 Η ταχύτητα ροής ποταμού είναι 2,5 m

s . Η ταχύτητα μηχανοκίνητης

λέμβου είναι 3,7 m

s . Υπό ποια γωνία ως προς τις όχθες του ποταμού πρέπει να κινηθεί η λέμβος, ώστε να κινείται κάθετα στις όχθες του ποταμού; Σε πόσο χρόνο θα φθάσει στην απέναντι όχθη, αν το πλάτος του ποταμού είναι 80m; θ=47 ,5ο t=17,9s)

Α13 Η επιτρόχιος επιτάχυνση κινητού δίνεται σε

ms2 από την εξίσωση

aT=0 ,77 t όταν ο χρόνος t δίνεται σε s. Να υπολογίσετε το επιτρόχιο διάστημα, που διανύει το κινητό από τη χρονική στιγμή t=0 έως την t=3,3s. Τη

χρονική στιγμή t=0 η ταχύτητα του κινητού είναι v0=2,6

ms . (s=12,77m)

A14 Η απόσταση κινητού από την αρχή σε m δίνεται από την εξίσωση s=8−2,7 t+0 ,92 t2 , όταν ο χρόνος t δίνεται σε s. Να υπολογίσετε την απόσταση από την αρχή, την ταχύτητα και την επιτρόχιο επιτάχυνση τη

χρονική στιγμή t=3s. (8,18m, 2 ,82m

s , 1 ,84 m

s2 )

Α15 Η επιτρόχιος επιτάχυνση κινητού έχει μέτρο aT=3,1

ms2 και η

κεντρομόλος ac=2,6

ms2 . Να υπολογίσετε το μέτρο a της επιτάχυνσης και τη

διεύθυνση της ως προς την ταχύτητα. (a=4 ,05 m

s2 , θ=40 ,0o)

38

Α16 Σε μια επιβραδυνόμενη κίνηση το μέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης είναι

1,6 ms2 και το μέτρο της κεντρομόλου

0 ,78 ms2 . Να υπολογίσετε το μέτρο a της

επιτάχυνσης και τη διεύθυνση της ως προς την ταχύτητα. (a=1 ,78 m

s2 , θ=154 ,0o )

Α17 Αερόστατο ανέρχεται με ταχύτητα 4 ms . Τη στιγμή, που βρίσκεται σε

ύψος h=120m, αφήνεται ελεύθερο να πέσει ένα αντικείμενο. Σε πόσο χρόνο θα φθάσει στην επιφάνεια της Γης; Σε πόσο μέγιστο ύψος φθάνει το αντικείμενο; Σε πόσο χρόνο θα φθάσει το αντικείμενο στην επιφάνεια της Γης, αν τη στιγμή, που αφήνεται ελεύθερο το αερόστατο κατέρχεται με την ίδια

ταχύτητα; Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=9 ,81m

s2 (t 1=5 ,371 s , hmax=120 ,81m , t2=4 ,555 s )

Α18 Η ταχύτητα κινητού σε κύκλο ακτίνας R=103m δίνεται σε

ms από την

εξίσωση v=1,3 t , όταν ο χρόνος t δίνεται σε s. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση και τη διεύθυνση της ως προς την ταχύτητα τη χρονική στιγμή

t=12s. (a=2 ,70 m

s2 , θ=61 ,2ο)

Α19 Η ταχύτητα κινητού σε κύκλο ακτίνας R=63m δίνεται σε

ms από την

εξίσωση v=0 ,001t2, όταν ο χρόνος t δίνεται σε s. Να υπολογίσετε την

επιτάχυνση και τη διεύθυνση της ως προς την ταχύτητα τη στιγμή, που

επανέρχεται το κινητό στο σημείο εκκίνησης. (a=2 ,01m

s2 , θ=83 ,9ο)

Α20 Η συχνότητα περιστροφής σε ομαλή κυκλική κίνηση είναι 69 s−1

. Να υπολογίσετε την περίοδο και τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής. (0,0145s,

443 rads )

Α21 Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης περί τον

άξονα της. (7 ,27⋅10−5 rad

s )

39

Α22 Δύο οδοντωτοί τροχοί με ακτίνες 5cm και 7cm συμπλέκονται. Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δεύτερου τροχού, όταν η

γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του πρώτου είναι 0 ,98 rad

s . (0 ,70 rad

s )

Α23 Η επιτρόχιος επιτάχυνση κινητού σε κύκλο ακτίνας 9,89m είναι 0 ,81 m

s2 .

Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του κινητού. (0 ,0819 rad

s2 )

Α24 Δίσκος στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα 1 ,32 rad

s περί άξονα, ο οποίος

σχηματίζει γωνία 30o

με οριζόντιο επίπεδο. Συγχρόνως ο άξονας περιστροφής του δίσκου στρέφεται περί κατακόρυφο άξονα με γωνιακή

ταχύτητα 0 ,12 rad

s . Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου. (

α=0 ,137 rads2 )

Α25 Άξονας περιστρέφεται σε τόρνο με συχνότητα f=0 ,15 s−1

. Η ταχύτητα

κοπτικού εργαλείου είναι v=0,8 mm

s . Να υπολογίσετε το βήμα β της σπείρας, που χαράσσεται στην επιφάνεια του άξονα. (β=5,33mm)

40

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα

41

Σημείωμα Αναφοράς

Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Κωνσταντίνος Κουρκουτάς, 2014. Κωνσταντίνος Κουρκουτάς. «Φυσική Ι. Ενότητα 1: Κινηματική». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr.

Σημείωμα Αδειοδότησης

Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό. Οι όροι χρήσης των έργων τρίτων επεξηγούνται στη διαφάνεια «Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων».

Τα έργα για τα οποία έχει ζητηθεί άδεια αναφέρονται στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:• που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του

έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο• που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή

πρόσβαση στο έργο• που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο

οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο

Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

42

Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων

© Δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, παρά μόνο εάν ζητηθεί εκ νέου άδεια από το δημιουργό.

διαθέσιμο με άδεια CC-BY

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου και η δημιουργία παραγώγων αυτού με απλή αναφορά του δημιουργού.

διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού, και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια.

διαθέσιμο με άδεια CC-BY-ND

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η δημιουργία παραγώγων του έργου.

διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου.

διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-SA

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου.

διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-ND

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου και η δημιουργία παραγώγων του.

διαθέσιμο με άδεια CC0 Public Domain

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού.

διαθέσιμο ως κοινό κτήμα

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού.

χωρίς σήμανση Συνήθως δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου.

Διατήρηση Σημειωμάτων

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:

Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους

συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

43