Φυσική ΙΕνότητα 6: Αρμονικός ταλαντωτής

Κωνσταντίνος Κουρκουτάς

Τμήμα Μηχανικών Ναυπηγών ΤΕ

Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας

6. Αρμονικές ταλαντώσεις

6.1 Η έννοια της ταλάντωσης

Ταλάντωση είναι η διαδικασία της μεταβολής ενός μεγέθους, π.χ. της θέσης ενός κινητού, της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου κλπ. Συνήθως σχετίζουμε την έννοια της ταλάντωσης με κάποια εκτροπή του θεωρουμένου μεγέθους από την κατάσταση ισορροπίας και την επαναφορά σε αυτή, ή τη μετάβαση σε μια νέα κατάσταση μετά μερικές παλινδρομήσεις. Η γενικευμένη έννοια της ταλάντωσης περιλαμβάνει όμως κάθε είδους μετάβαση του συστήματος προς μια νέα κατάσταση ακόμα και όταν δε γίνεται παλινδρόμηση.

Το ερώτημα αν η ταλάντωση θα εκτελέσει παλινδρόμηση, ή όχι, εξαρτάται από τις αποσβέσεις, δηλαδή τους παράγοντες που καταναλώνουν ενέργεια (μηχανικές τριβές, ηλεκτρικές αντιστάσεις). Αν οι τιμές των αποσβέσεων είναι μικρές, τότε η ταλάντωση συνοδεύεται από παλινδρόμηση. Αν οι τιμές των αποσβέσεων είναι μεγάλες, τότε η μετάβαση του συστήματος προς τη θέση ισορροπίας γίνεται χωρίς διακυμάνσεις.

Οι αποσβέσεις μπορεί να είναι επιθυμητές, ή όχι. Η ευστάθεια ενός αυτοκινήτου π.χ. απαιτεί αποφυγή των ταλαντώσεων του οχήματος, που μπορεί να προκληθούν από τις ανωμαλίες του οδοστρώματος, γι’ αυτό προστίθενται στην ανάρτησή του ειδικοί αποσβέστες (αμορτισέρ). Αντίθετα στην παραγωγή ηλεκτρομαγνητικών ταλαντώσεων (π.χ. κεραίες εκπομπής) οι αποσβέσεις λόγω ηλεκτρικών αντιστάσεων είναι ανεπιθύμητες γιατί καταναλώνουν ενέργεια.

Αν το ταλαντούμενο μέγεθος είναι η θέση ενός σώματος, τότε έχουμε μηχανική ταλάντωση. Αν το ταλαντούμενο μέγεθος είναι ηλεκτρικό ρεύμα, τότε έχουμε ηλεκτρική ταλάντωση. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε τα χαρακτηριστικά των μηχανικών ταλαντώσεων.

6.2 Αρμονική ταλάντωση

Από το σύνολο των ταλαντώσεων το ενδιαφέρον μας εστιάζεται στις λεγόμενες αρμονικές ταλαντώσεις. Αυτό γίνεται για δύο λόγους. Αφ’ ενός γιατί οι φυσικές ταλαντώσεις τείνουν στις μικρές διαταραχές να είναι αρμονικές, αφ’ ετέρου γιατί υπάρχει μια μαθηματική διαδικασία, η οποία είναι γνωστή ως ανάλυση Fourier,

2

σύμφωνα με την οποία κάθε μη αρμονική ταλάντωση μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα αρμονικών όρων.

Στις μηχανικές ταλαντώσεις το μεταβαλλόμενο μέγεθος είναι η θέση x. Λέμε ότι το ταλαντώνεται αρμονικά, αν μεταβάλλεται χρονικά σύμφωνα με την εξίσωση:

εξίσωση αρμονικής ταλάντωσης 1−1

όπου: το πλάτος της ταλάντωσης, δηλαδή η μέγιστη τιμή του μεγέθους σε m.

η κυκλική συχνότητα σε

rads

ο χρόνος σε s

η αρχική φάση σε rad, η οποία ορίζεται από τη χρονική στιγμή έναρξης της παρατήρησης της ταλάντωσης.

Το γινόμενο της κυκλικής συχνότητας επί το χρόνο είναι η φάση της

ταλάντωσης. Μπορούμε να επιλέξουμε , οπότε η εξίσωση της αρμονικής ταλάντωσης γράφεται σε απλούστερη μορφή

εξίσωση αρμονικής ταλάντωσης με αρχική φάση x=xo⋅sinωt 2−1

Στο σχήμα εικονίζεται το διάγραμμα μιας αρμονικής ταλάντωσης με αρχική φάση

. Στο σχήμα εικονίζεται το αντίστοιχο διάγραμμα με αρχική φάση . Παρατηρούμε ότι το ένα διάγραμμα προκύπτει από το άλλο με απλή μετατόπιση της αρχής στον άξονα του χρόνου.

3

1 2

Το χρονικό διάστημα , που μεσολαβεί μεταξύ δύο φάσεων οι οποίες διαφέρουν κατά 2π είναι η περίοδος της ταλάντωσης. Οι εκτροπές από τη θέση ισορροπίας και η φορές κίνησης του ταλαντωτή σε δύο χρονικές στιγμές, που διαφέρουν κατά μία περίοδο είναι ίδιες. Συχνά λέμε ότι η ταλάντωση εκτελεί σε χρόνο μιας περιόδου έναν κύκλο. Η σχέση μεταξύ της περιόδου Τ και της κυκλικής συχνότητας είναι:

σχέση περιόδου-κυκλικής συχνότηταςT= 2π

ω , ήω=2π

T 2−2

Το αντίστροφο της περιόδου είναι η συχνότητα της ταλάντωσης

συχνότητα ταλάντωσης 2−3

Από τη σχέση περιόδου-κυκλικής συχνότητας λαμβάνουμε τη:

σχέση συχνότητας και κυκλικής συχνότητας f= ω2π , ή ω=2πf 2−4

Η συχνότητα δίνει το πλήθος των πραγματοποιούμενων κύκλων στη μονάδα του

χρόνου. Μονάδα της συχνότητας είναι το , όμως συνηθίζουμε να χρησιμοποιούμε

4

και τη μονάδα Hertz (Hz) (Heinrich Rudolf Hertz 1857-1894, Γερμανός φυσικός που

παρήγαγε τα ραδιοφωνικά κύματα). Ισχύει .

Από τη Μηχανική γνωρίζουμε ότι η πρώτη παράγωγος της θέσης είναι η ταχύτητα v. Από την εξίσωση 1−1 λαμβάνουμε:

v=dxdt

= ddt [ xo sin (ωt+φ ) ]= xo

ddt [sin (ωt+φ ) ]=ωx o

d sin (ωt+φ )d (ωt+φ )

== ωx ocos (ωt+φ )

Επομένως:

ταχύτητα στην αρμονική ταλάντωσηv=ωxo cos (ωt+φ )=v0 cos(ωt+φ)3−1

Όπου vo=ωxo είναι το πλάτος της ταχύτητας, δηλαδή η μέγιστη τιμή της ταχύτητας του σώματος. Παρατηρούμε ότι η ταχύτητα είναι συνάρτηση του συνημιτόνου, επομένως η φάση της είναι κατά π /2 μεγαλύτερη της φάσης της θέσης. Λέμε γι’ αυτό ότι η ταχύτητα προηγείται της θέσης κατά π /2 .

Η δεύτερη παράγωγος της θέσης ως προς το χρόνο, δηλαδή η παράγωγος της

ταχύτητας ως προς το χρόνο είναι η επιτάχυνση a. Από την εξίσωση 3−1 λαμβάνουμε:

a=dvdt

= ddt [ωxocos (ωt+φ ) ]=ωxo ddt [cos (ωt+φ ) ]=ω2 xo

d cos (ωt+φ )d (ωt+φϕ )

=−ω2 xosin (ωt+φ )

Επομένως:

επιτάχυνση αρμονικής ταλάντωσηςa=−ω2 xosin (ωt+φ )=−a0sin(ωt+φ )3−2

5

Όπου ao=ω2 xo είναι το πλάτος της επιτάχυνσης, δηλαδή η μέγιστη τιμή της

επιτάχυνσης του σώματος. Στο σχήμα εικονίζονται τα διαγράμματα x-t, v-t και a-t

για αρχική φάση .

1

Από τις εξισώσεις 1−1 της θέσης και 3−2 της επιτάχυνσης στην αρμονική ταλάντωση παρατηρούμε ότι η θέση και η επιτάχυνση ταλαντώνονται με αντίθετες φάσεις. Θέτουμε την εξίσωση της αρμονικής ταλάντωσης 1−1 στην εξίσωση της

επιτάχυνσης 3−2 και λαμβάνουμε:

σχέση θέσης-επιτάχυνσης στην αρμονική ταλάντωση a=−ω2 x

Συμπεραίνουμε ότι η επιτάχυνση είναι ανάλογη της θέσης, αλλά έχει αντίθετη φορά.

Από το θεμελιώδη νόμο της κίνησης του Newton βρίσκουμε τη συνισταμένη δύναμη, που ασκείται σε σώμα το οποίο ταλαντώνεται αρμονικά

δύναμη στην αρμονική ταλάντωση F=−mω2 x0sin (ωt+φ ) 4−2

όπου το γινόμενο F0=mω2 x0=ma0 είναι η μέγιστη τιμή-δηλαδή το πλάτος-της ασκούμενης δύναμης. Θέτουμε την εξίσωση της αρμονικής ταλάντωσης 1−1 στην εξίσωση της δύναμης 4−2 και λαμβάνουμε τη:

6

σχέση θέσης-δύναμης στην αρμονική ταλάντωση F=−mω2 x 4−3

1

Παρατηρούμε ότι η δύναμη είναι ανάλογη μεν, αλλά αντίθετη της θέσης, όπως

εικονίζεται στο σχήμα 1 . Συμπεραίνουμε έτσι ότι στην αρμονική ταλάντωση η

συνισταμένη δύναμη τείνει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας x=0 .

Ε1 Η συχνότητα μιας αρμονικής ταλάντωσης είναι και το πλάτος της

. Να υπολογίσετε: α) την κυκλική συχνότητα , β) την περίοδο Τ, γ) τη

μέγιστη ταχύτητα , δ) τη μέγιστη επιτάχυνση , ε) την απομάκρυνση x για

αρχική φάση και .

α) ω=2πf=2π⋅0 , 7 s−1 w=4 ,40 rads

β)

γ) v0=ωx0=4 , 40

rads

⋅0 , 8 mm

δ) a0=ω2 x0=( 4 , 40 rad

s)2⋅0 , 8 mm

7

ε) x=x0sin (ωt+φ)=0 , 8 mm⋅sin(4 , 40 rad

s⋅2 , 1 s+30o )=

Ε2 Σώμα μάζας ταλαντώνεται αρμονικά με κυκλική συχνότητα

. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι . Να υπολογίσετε τη μέγιστη δύναμη που ασκείται στο σώμα.

6.3 Ο αρμονικός ταλαντωτής

Στην τελευταία παράγραφο γνωρίσαμε ότι στην αρμονική ταλάντωση υπάρχει δύναμη επαναφοράς ανάλογη της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας. Θεωρούμε τώρα το αντίθετο, δηλαδή ότι η συνισταμένη δύναμη είναι ανάλογη της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας:

F=−Dx 5−1

και θέλουμε να εξετάσουμε την κίνηση του σώματος.

Η δύναμη αυτή προσδίδει στο σώμα επιτάχυνση a η οποία σύμφωνα με το θεμελιώδη νόμο της κίνησης του Newton είναι τέτοια ώστε:

8

F=ma=m d2xdt 2 5−2

Από τις εξισώσεις 5−1 και 5−2 λαμβάνουμε:

m d2 xdt 2

+Dx=05−3

Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι η χρονική συνάρτηση:

x=x0sin (ω0 t+φ ) 5−4

για

ω0=√ Dm 5−5

Ικανοποιεί την εξίσωση 5−3 . Πράγματι:

d2 xdt2

=−ω02x02sin (ω0 t+φ )

Και

m d2 xdt2

+Dx=−mω02x0sin(ω0 t+φ )+Dx0 sin(ω0 t+φ)=

=−m Dmx0sin(ω0 t+φ )+Dx0sin (ω0 t+φ )=0

9

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι κάθε σύστημα που περιγράφεται από την:

εξίσωση του αρμονικού ταλαντωτή

d2 xdt 2

+ω02x=0

6−1

εκτελεί αρμονική ταλάντωση με κυκλική συχνότητα ω0 , η οποία είναι η φυσική κυκλική συχνότητα, ή κυκλική ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή και είναι χαρακτηριστική του συστήματος. Σε αντιστοιχία με την κυκλική ιδιοσυχνότητα έχουμε

την ιδιοπερίοδο T 0=

2 πω0 και την ιδιοσυχνότητα

f 0=ω02 π . Ακο9λουθούν

παραδείγματα μελέτης του αρμονικού ταλαντωτή.

Σύστημα ελατηρίου-μάζας. Στο σχήμα εικονίζεται ένα σύστημα ελατηρίου σταθεράς k και μάζας m σε ισορροπία. Αν διαταράξουμε την ισορροπία, τότε στη μάζα ασκείται μόνον η δύναμη του ελατηρίου:

1

2

F=−kx 6−2

10

Όπου x είναι η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας όπως στο σχήμα 2 . Από το

θεμελιώδη νόμο της κίνησης του Newton και την εξίσωση 6−2 λαμβάνουμε:

F=ma=m d2xdt 2

=−kx⇒

d2 xdt 2

+ kmx=0

7−1

Αυτή είναι η εξίσωση του αρμονικού ταλαντωτή 6−1 για ω02= km . Το σύστημα

ελατηρίου-μάζας εκτελεί επομένως αρμονική ταλάντωση με κυκλική ιδιοσυχνότητα:

ω0=√ km 7−2

Μαθηματικό εκκρεμές. Το μαθηματικό εκκρεμές είναι ιδεατό. Συνίσταται από ένα αβαρές νήμα σταθερού μήκους L, το ένα άκρο του οποίου είναι σταθερό, ενώ από το άλλο είναι εξαρτημένη μια αδιάστατη μάζα m. Στη θέση ισορροπίας το νήμα του εκκρεμούς είναι κατακόρυφο. Στο σχήμα εικονίζεται το μαθηματικό εκκρεμές εκτός ισορροπίας. Η κίνηση της μάζας γίνεται επί τόξου. Οι δυνάμεις που ασκούνται στη

μάζα είναι το βάρος της Fg=mg και η τάση του νήματος Τ. Για να μελετήσουμε την

κίνηση αναλύουμε το βάρος σε δύο συνιστώσες, την κατά τη διεύθυνση του

νήματος και την κάθετη στο νήμα και εφαπτόμενη στην τροχιά. Το μέτρο της είναι:

11

1

F ε=mg sinϕ=mgxL 7−3

Η διαφορά είναι η κεντρομόλος δύναμη. Η τείνει να επαναφέρει το εκκρεμές στην κατακόρυφο, που είναι η θέση ισορροπίας. Θεωρούμε την οριακή περίπτωση

φ→0 . Τότε η μάζα m κινείται κατά μήκος οριζόντιας χορδής, οπότε η δύναμη και η εκτροπή x από τη θέση ισορροπίας έχουν τότε ίδιες διευθύνσεις, αλλά αντίθετες

φορές. Λαμβάνουμε έτσι τη διανυσματική σχέση μεταξύ των και x:

8−1

Η εξίσωση αυτή ικανοποιεί τη συνθήκη του αρμονικού ταλαντωτή 6−1 επομένως για μικρές γωνίες απόκλισης φ το εκκρεμές εκτελεί αρμονική ταλάντωση με κυκλική ιδιοσυχνότητα:

ω0=√ gL 8−2

Σημειώνουμε ότι η συχνότητα ταλάντωσης του μαθηματικού εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη της μάζας του.

12

Επειδή το νήμα και οι δυνάμεις που ασκούνται στην ταλαντωμένη μάζα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, η ταλάντωση πραγματοποιείται σε αυτό το ίδιο επίπεδο επίσης. Αυτή τη σκέψη εφάρμοσε ο Γάλλος φυσικός Leon Foucault (1819-1868) για να επιβεβαιώσει πειραματικά την περιστροφή της Γης περί τον άξονά της. Ο Foucault χρησιμοποίησε ένα εκκρεμές αρκετά μεγάλου μήκους και κατέγραψε την τροχιά του. Παρατήρησε ότι το επίπεδο της ταλάντωσης δεν παρέμενε σταθερό, αλλά πραγματοποιούσε μια πλήρη περιστροφή σε διάρκεια μιας ημέρας. Επειδή όμως το επίπεδο της ταλάντωσης σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς είναι σταθερό, ο Foucault επιβεβαίωσε έτσι πειραματικά την ημερήσια περιστροφή της Γης.

Ε3 Μάζα εξαρτάται από ελατήριο. Θέτουμε τη μάζα σε κατακόρυφη

ταλάντωση. Η περίοδος της ταλάντωσης είναι . Να υπολογίσετε τη σταθερά του ελατηρίου.

Ε4 Μαθηματικό εκκρεμές έχει μήκος . Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσής του.

T 0=2⋅π⋅√ Lg=2⋅π⋅√ 0 ,25m9 ,81 ms2

=2⋅π⋅√0 ,0255 s2

T 0=1s

13

6.4 Ενέργεια αρμονικού ταλαντωτή

Έστω:

F=−Dx 9−1

Η δύναμη επαναφοράς σε μια αρμονική ταλάντωση. Όταν η απομάκρυνση από τη

θέση ισορροπίας είναι x, τότε ο ταλαντωτής κατέχει μια δυναμική ενέργεια Ep , η οποία είναι ίση προς το έργο, που παράγει η δύναμη επαναφοράς από τη θέση αυτή ως τη θέση ισορροπίας x=0:

Ep=−∫x

0Dxdx=−1

2D∫x

0dx2= 1

2Dx2

9−2

Για λόγους απλούστευσης των αλγεβρικών πράξεων λαμβάνουμε την αρχική φάση

φ=0 ώστε x=x0sinω0 t , οπότε έχουμε:

δυναμική ενέργεια αρμονικού ταλαντωτήEp=

12Dx

02sin2ω0 t 9−3

Πλην της δυναμικής ενέργειας ο ταλαντωτής διαθέτει και κινητική ενέργεια:

Ek=12mv2

Όπου η ταχύτητα είναι v=v0 cosω0 t . Έχουμε έτσι:

κινητική ενέργεια αρμονικού ταλαντωτήEk=

12mv

02cos2ω0 t 9−4

14

Η ενέργεια του ταλαντωτή είναι άθροισμα της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας.

Έχουμε υπ’ όψη ότι v0=ω0 x0 και ω0=√ Dm οπότε

mv02

=Dx0 2 και

λαμβάνουμε:

ενέργεια αρμονικού ταλαντωτήE=1

2Dx

02=12mv

02 9−5

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η ενέργεια του αρμονικού ταλαντωτή είναι ίση προς τη δυναμική ενέργεια στη μέγιστη απομάκρυνση, ή ισοδύναμα ίση προς την κινητική ενέργεια στη θέση ισορροπίας.

Ε5 Η συχνότητα ταλαντωτή ελατηρίου-μάζας m=50 g είναι f 0=73 s−1

. Η ενέργεια

του ταλαντωτή είναι E=230J . Να υπολογίσετε το πλάτος x0 της ταλάντωσης και τη σταθερά k του ελατηρίου.

E=12mv

0 2=12m (ω0 x0)2=

12m(2πf 0 x0 )

2

x0=12 πf 0 √ 2Em =

12 π73 s−1 √ 2⋅230 J0 ,050kg=2 ,180⋅10−3 s√9200 Nms =0 ,209 s √ kgm2

s2kg

x0=0 ,209m

E=12kx

02

k=2Ex02

= 2⋅230 J0 ,2092m2

=10 ,53⋅103 Nmm2

k=10 ,53⋅103 N

m

15

Α1 Το πλάτος μιας αρμονικής ταλάντωσης είναι και η συχνότητα

. Να υπολογίσετε: α) την περίοδο της ταλάντωσης T, β) την κυκλική

συχνότητα , γ) το πλάτος της ταχύτητας , δ) το πλάτος της επιτάχυνσης , ε)

την απομάκρυνση x για αρχική φάση και . (α) 0,0588s β)

106 ,8 rads γ)

2 .46ms δ)

262 ,7 ms2 ε)−1 ,17 cm)

Α2 Το πλάτος αρμονικής ταλάντωσης είναι και η κυκλική συχνότητα

. Να υπολογιστούν: α) η μέγιστη τιμή της ταχύτητας, β) η μέγιστη τιμή

της επιτάχυνσης. (α) 0 ,0529 m

s β) 0 ,0688 m

s2 )

Α3 Το πλάτος αρμονικής ταλάντωσης είναι και η κυκλική συχνότητα

. Να υπολογιστεί η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας τη χρονική

στιγμή α) για αρχική φάση β) για αρχική φάση . ( α) 0,0235m β) 0,0536m)

Α4 Η κυκλική συχνότητα αρμονικής ταλάντωσης είναι . Να

υπολογιστούν: α) η συχνότητα, β) η περίοδος της ταλάντωσης. ( α) 0 ,891 s−1

β) 1,121s)

Α5 Η συχνότητα αρμονικής ταλάντωσης είναι . Η μάζα του ταλαντωτή

είναι . Να υπολογιστεί η μέγιστη δύναμη που ασκείται στη μάζα για πλάτος

ταλάντωσης . (4187Ν)

Α6 Το έμβολο κινητήρα έχει μάζα . Το έμβολο εκτελεί παλινδρομική

κίνηση κατά τη διεύθυνση του άξονά του με πλάτος . Να θεωρήσετε την κίνηση ως αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε τη μέγιστη δύναμη που ασκείται στο έμβολο, όταν ο κινητήρας εκτελεί: α) 3000 rpm β) 5000 rpm. (rpm = περιστροφές ανά λεπτό) (α) 8883Ν β)24675Ν)

16

Α7 Μάζα είναι εξαρτημένη από ελατήριο. Θέτουμε τη μάζα σε

κατακόρυφη ταλάντωση. Η περίοδος της ταλάντωσης είναι . Να υπολογίσετε τη σταθερά του ελατηρίου. (33,5Ν)

Α8 Μάζα εξαρτημένη από ελατήριο σταθεράς εκτελεί κατακόρυφες ταλαντώσεις. Να υπολογίσετε α) την περίοδο β) τη συχνότητα των

ταλαντώσεων. (α) 0,524s β) 1 ,91 s−1

)

Α9 Ταλαντωτής αποτελούμενος από ελατήριο και μάζα εκτελεί

ταλάντωση με περίοδο . Να υπολογίσετε α) τη σταθερά k του ελατηρίου

β) την επιτάχυνση στη μέγιστη εκτροπή για πλάτος ταλάντωσης . (α)

1733 Nm β)

59 ,6 ms2 )

Α10 Μαθηματικό εκκρεμές έχει μήκος . Να υπολογίσετε την περίοδο των

ταλαντώσεών του ( ). (10,03s)

Α11 Η συχνότητα αρμονικού ταλαντωτή ελατηρίου-μάζας είναι f=37 s−1

και το

πλάτος της ταλάντωσης x0=2 ,83cm . Να υπολογίσετε την ενέργεια του ταλαντωτή και τη σταθερά του ελατηρίου, αν η μάζα του ταλαντωτή είναι m=17g. (Ε=0,368J

k=918 ,8 Nm )

6.5 Το διανυσματικό διάγραμμα της αρμονικής ταλάντωσης

Η αρμονική ταλάντωση εκπροσωπείται από ένα διάνυσμα μήκους , το οποίο στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα κατά τη θετική φορά, δηλαδή αντίστροφα από τους δείκτες του ρολογιού. Τη χρονική στιγμή το διάνυσμα αυτό σχηματίζει

17

γωνία με τον άξονα AA’ όπως εικονίζεται στο σχήμα . Η γωνία αυτή είναι η

αρχική φάση. Μετά χρόνο t το στρεφόμενο διάνυσμα διαγράφει τόξο ωt . Η προβολή

του πέρατος του στρεφομένου διανύσματος στον άξονα απέχει τότε από την

αρχή απόσταση ίση προς x=xo⋅sin (ωt+ϕ ) .

1 2

Παρόμοια εκπροσωπούνται και τα άλλα δύο χρονικά μεταβαλλόμενα μεγέθη, δηλαδή

η ταχύτητα v και η επιτάχυνση a. Αν φέρουμε τα τρία διανύσματα και σε κοινή αρχή, τότε λαμβάνουμε την εικόνα του σχήματος σελίδα 6. Το διάγραμμα

αυτό προκύπτει έτσι, επειδή η ταχύτητα προηγείται κατά της θέσης ενώ η επιτάχυνση έχει αντίθετη φάση εκείνης της θέσης.

6.6 Σύνθεση ταλαντώσεων

6.6.1 Ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας και διεύθυνσης

Όταν έχουμε συγχρόνως n ταλαντώσεις στο ίδιο σημείο, τότε το αποτέλεσμά τους είναι μια ταλάντωση, της οποίας η απομάκρυνση x είναι άθροισμα των απομακρύνσεων των επί μέρους ταλαντώσεων:

απομάκρυνση σύνθετης ταλάντωσης 12−1

Θα μελετήσουμε την περίπτωση σύνθεσης ταλαντώσεων για , όπου οι συνιστώσες ταλαντώσεις έχουν ίδιες διευθύνσεις και συχνότητες, αλλά διαφορά φάσης . Οι εξισώσεις τους είναι:

18

12−2

12−3

Στο σχήμα εικονίζεται το διανυσματικό διάγραμμα των δύο ταλαντώσεων. Η

σύνθεσή τους εκπροσωπείται από τη συνισταμένη των και . Επειδή και τα δύο διανύσματα στρέφονται με γωνιακή ταχύτητα στρέφεται και η συνισταμένη τους με την ίδια γωνιακή ταχύτητα, επομένως η σύνθετη ταλάντωση είναι επίσης αρμονική με την ίδια συχνότητα. Το πλάτος της είναι:

πλάτος σύνθετης ταλάντωσης 12−4

Από το σχήμα βρίσκουμε επίσης ότι για την αρχική φάση της σύνθετης ταλάντωσης ισχύει:

αρχική φάση σύνθετης ταλάντωσης 12−5

19

Ε7 Δύο ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας έχουν πλάτη και . Η

διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων είναι . Να υπολογίσετε: α) το πλάτος, β) τη διαφορά φάσης της σύνθετης ταλάντωσης.

α)

β)

Στο σχήμα εικονίζονται τα διαγράμματα των , καθώς και της σύνθεσής τους

.

1

Εξετάζουμε τις εξής επί μέρους περιπτώσεις:

1. Οι συνιστώσες ταλαντώσεις έχουν την ίδια φάση :

20

2. Οι συνιστώσες ταλαντώσεις έχουν αντίθετες φάσεις :

Η αρχική φάση της σύνθετης ταλάντωσης είναι ίδια με τη φάση της μεγαλύτερης από τις δύο συνιστώσες.

3. Οι συνιστώσες ταλαντώσεις είναι κάθετες μεταξύ τους :

x0=√x012+x022 καιtan ϑ=

x02x01

6.1.2 Ταλαντώσεις διαφορετικών συχνοτήτων. Διακρότημα

Η ταλάντωση που προκύπτει από τη σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων διαφορετικών συχνοτήτων δεν είναι αρμονική. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση, όπου οι δύο συνιστώσες ταλαντώσεις έχουν ίδια πλάτη και διευθύνσεις, αλλά οι συχνότητές τους διαφέρουν λίγο. Δηλαδή:

|ω1−ω2|<<ω1

Από τη γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα: η εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης γράφεται:

x=x0⋅sinω1 t+x0sinω2 t=2x0cos (ω1−ω22t)sin( ω1+ω22

t)==2⋅x0cos

Δω2t sinωt

14−1

21

όπου Δω=ω1−ω2 είναι η διαφορά των δύο κυκλικών συχνοτήτων και

η μέση τιμή τους. Σύμφωνα με την εξίσωση 19-1 προκύπτει μια ταλάντωση συχνότητας ίσης προς τη μέση τιμή των επί μέρους συχνοτήτων, όμως το πλάτος της δεν είναι σταθερό, αλλά μεταβάλλεται αργά με συχνότητα ίση προς το μισό της διαφοράς τους. Αυτή η μορφή ταλάντωσης λέγεται διακρότημα. Στο σχήμα

εικονίζεται ένα διακρότημα.

1

Από την εξίσωση 19-1 συμπεραίνουμε ότι στο διακρότημα έχουμε:

μέγιστο πλάτος διακροτήματος xmax=2 x0 14−2

Η περίοδος του διακροτήματος είναι το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους της ταλάντωσης. Επειδή αυτό γίνεται με κυκλική συχνότητα Δω έχουμε:

περίοδος διακροτήματος 14−3

Ε8 Δύο ταλαντώσεις έχουν περιόδους και . Να βρεθούν: α) η περίοδος, β) η συχνότητα του διακροτήματος.

α)

22

β)

6.1.3 Ταλαντώσεις σε κάθετες μεταξύ τους διευθύνσειςΘεωρούμε δύο αρμονικές ταλαντώσεις x και y ίδιας συχνότητας που εκτελούνται σε κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις. Οι εξισώσεις των δύο ταλαντώσεων είναι:

x=x0⋅sinωt 15−1

Και

15−2

Η σύνθεση των δύο αυτών ταλαντώσεων δίνει μια επίπεδη τροχιά το είδος της

οποίας προκύπτει από την απαλοιφή του χρόνου t μεταξύ των εξισώσεων 15−1 και 15−2 . Από την εξίσωση 15−1 λαμβάνουμε:

15−3

Από την εξίσωση 15−2

15−4

Απαλείφουμε το μεταξύ των δύο εξισώσεων και λαμβάνουμε:

23

x2

x02

+ y2

y02

−2 xyx0 y0

cosφ=sin2φϕ15−5

Όπως γνωρίζουμε από την αναλυτική γεωμετρία αυτή είναι η εξίσωση της έλλειψης. Στη γενική περίπτωση η τροχιά είναι επομένως ελλειπτική. Στο σχήμα σελίδα 16

εικονίζονται οι τροχιές που προκύπτουν από μερικούς συνδυασμούς πλατών ,

και διαφοράς φάσης των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων.

Αν οι συχνότητες των δύο ταλαντώσεων διαφέρουν, αλλά η μία είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της άλλης, τότε η τροχιά είναι είτε κλειστή, είτε ανοιχτή, όμως στη δεύτερη περίπτωση η η κίνηση γίνεται και κατά τις δύο διευθύνσεις. Στο σχήμα σελίδα 16 εικονίζονται μερικές κλειστές τροχιές για διάφορους συνδυασμούς συχνοτήτων και διαφορών φάσης. Οι σχηματισμοί που λαμβάνουμε από τη σύνθεση δύο ταλαντώσεων σε κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις ονομάζονται εικόνες Lissajoux (J. Lissajoux, 1822- 1888, Γάλλος φυσικός που μελέτησε τη σύνθεση ταλαντώσεων σε κάθετες διευθύνσεις). Τις εικόνες Lissajoux μπορούμε να τις λάβουμε εύκολα σε παλμογράφο.

1

24

2

Α12 Δύο αρμονικές ταλαντώσεις έχουν ίδιες διευθύνσεις και συχνότητες. Τα πλάτη

τους είναι a=7cm και b=5cm . Η διαφορά φάσης είναι φ=70ο . Να υπολογίσετε το πλάτος c και τη διαφορά φάσης θ της σύνθετης ταλάντωσης που παράγεται. (

c=9 ,90cm θ=37 ,1ο)

Α13 Δύο αρμονικές ταλαντώσεις με πλάτη x01=4 cm και x02=6cm και ίδιες

συχνότητες γίνονται σε αντίθετες διευθύνσεις. Να υπολογίσετε το πλάτος x0 της σύνθετης ταλάντωσης και τη διαφορά φάσης θ ως προς την πρώτη από τις δύο

συνιστώσες ταλαντώσεις. (x0=2cm θ=180ο

)

Α14 Δύο αρμονικές ταλαντώσεις με διαφορά φάσης φ=108ο έχουν ίσα πλάτη a=b=8cm και ίσες συχνότητες. Οι δύο ταλαντώσεις γίνονται στην ίδια διεύθυνση. Να υπολογίσετε το πλάτος c και τη διαφορά φάσης u της σύνθεσης των δύο

ταλαντώσεων. (c=9 ,40 cm θ=54ο

)

Α15 Δύο αρμονικές ταλαντώσεις έχουν ίδιες διευθύνσεις και ίσες συχνότητες. Τα

πλάτη τους είναι x01=5cm και x02=12cm . Η διαφορά φάσης των δύο

ταλαντώσεων είναι φ=90ο . Να υπολογίσετε α) το πλάτος x0 της σύνθετης

ταλάντωσης β) τη διαφορά φάσης θ της σύνθετης ταλάντωσης. (α) 13cm β)67 ,4o)

25

Α16 Δύο ταλαντώσεις έχουν ίσα πλάτη και περιόδους T 1=0 ,0112 s και T 2=0 ,0111 s . Να υπολογίσετε την περίοδο Τ και τη συχνότητα f του διακροτήματος.

(Τ=2,4864s f=0 ,402 s−1

)

6.7 Ταλάντωση με αποσβέσεις

Έστω ένα σύστημα ελατηρίου-μάζας μέσα σε ένα ρευστό όπως στο σχήμα 1 . Όταν εκτραπεί το σύστημα από τη θέση ισορροπίας κατά x, τότε πέραν της δύναμης του ελατηρίου:

1

Fk=−kx 17−1

Ασκείται στη μάζα και η αντίσταση Α από το ρευστό. Για σχετικά μικρές ταχύτητες v η αντίσταση Α είναι ανάλογη της ταχύτητας v:

A=−bv 17−2

Όπου b είναι ένας συντελεστής αναλογίας εξαρτώμενος κυρίως από το ιξώδες του ρευστού και το σχήμα της μάζας. Θα θεωρήσουμε αυτή την περίπτωση. Η συνισταμένη των δυνάμεων επί της μάζας είναι τότε:

F=−kx−bv=−kx−b dxdt 17−3

26

Η δύναμη αυτή προσδίδει στη μάζα μιαν επιτάχυνση a=d2 x

dt 2 . Σύμφωνα με το θεμελιώδη νόμο της κίνησης του Newton μεταξύ της επιτάχυνσης και της συνισταμένης δύναμης ισχύει η σχέση:

F=ma=m d2xdt 2 18−1

Από τις εξισώσεις 17−3 και 18−1 λαμβάνουμε:

m d2 xdt 2

+b dxdt

+kx=018−2

Η εξίσωση αυτή που είναι μια γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές, περιγράφει το σύστημα ελατηρίου-μάζας παρουσία τριβών. Η λύση της είναι δηλαδή μια χρονική συνάρτηση, που μας δίνει την εκάστοτε θέσης της μάζας. Θα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.

1. Μικρές αποσβέσεις. Οι αποσβέσεις είναι αρκετά μικρές ώστε:

b2<4 km 18−3

Η λύση της διαφορικής εξίσωσης 18−2 είναι η:

x=x0e−tτtsinωt 18−4

Όπου θέσαμε για λόγους οικονομίας χώρου

27

τ=2mb 18−5

και

ω=√ km−( b2m )

2

18−6

1

Η λύση είναι συνάρτηση δύο παραγόντων. Ο παράγων e− λt

είναι μια εκθετικά φθίνουσα συνάρτηση, η οποία μειώνει συνεχώς το πλάτος της ταλάντωσης. Ο

παράγων sinωt είναι μια αρμονική συνάρτηση με κυκλική συχνότητα ω. Συμπεραίνουμε επομένως ότι το σύστημα εκτελεί μια εκθετικά φθίνουσα ταλάντωση, η οποία απεικονίζεται στο σχήμα 1 σελίδα 19.

Η ποσότητα τ που ορίσαμε με την εξίσωση 18−5 και είναι αντιστρόφως ανάλογη του συντελεστή αποσβέσεων b, είναι η σταθερά χρόνου απόσβεσης του πλάτους ταλάντωσης. Όσο μικρότερη είναι η τιμή της, τόσο ταχύτερα μειώνεται το πλάτος της ταλάντωσης. Σε χρόνο ίσο προς μια σταθερά χρόνου το πλάτος λαμβάνει τιμή ίση

προς

1e≈0 ,37x0

, δηλαδή γίνεται περίπου ίσο προς το 37% της αρχικής τιμής του.

28

Η κυκλική συχνότητα ω μπορεί να γραφεί απλούστερα συναρτήσει της σταθεράς

χρόνου και της κυκλικής ιδιοσυχνότητας ω0=√ km με τη μορφή:

κυκλική συχνότητα ταλαντωτή με μικρές αποσβέσεις ω=√ω02− 1τ2 19−1

Βλέπουμε ότι η κυκλική συχνότητα του ταλαντωτή με αποσβέσεις είναι μικρότερη της κυκλικής ιδιοσυχνότητας, δηλαδή εκείνης με την οποία θα εκτελούσε ταλαντώσεις το σύστημα, αν δεν υπήρχαν αποσβέσεις. Όσο μικρότερη είναι η σταθερά χρόνου, δηλαδή όσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής αποσβέσεων b, τόσο μικρότερη γίνεται και η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης.

2. Μεγάλες αποσβέσεις. Οι αποσβέσεις είναι αρκετά μικρές ώστε:

b2>4 km 19−2

Η λύση της διαφορικής εξίσωσης 18−2 είναι:

x=x0e−tτ (eω ' t−e−ω ' t ) 19−3

1

Όπου

29

ω'=√( b2m )

2− km

=√ 1τ2−ω02 19−4

Η συνάρτηση έχει τη μορφή που απεικονίζεται στο σχήμα 1 σελίδα 19. Αν διαταράξουμε δηλαδή την ισορροπία του συστήματος με μια κρούση, τότε το σύστημα θα απομακρυνθεί κατ’ αρχή από τη θέση ισορροπίας και στη συνέχεια θα αρχίσει να επανέρχεται ασύμπτωτα σε αυτήν χωρίς να την ξεπεράσει ποτέ.

Ε9 Μάζα m=1 ,32kg είναι εξαρτημένη από ελατήριο σταθεράς k=2,9⋅103 N

m και

βρίσκεται σε ρευστό με σταθερά απόσβεσης b=167 N

m/ s . Εκτρέπουμε το σύστημα αεση ισορροπίας. Να εξετάσετε αν θα εκτελέσει παλινδρομική κίνηση, η θα επανέλθει στη θέση ισορροπίας χωρίς να την ξεπεράσει.

b2−4km=(167 Nsm )2

−4⋅2,9⋅103 Nm

⋅1 ,32kg=27889 N2s2

m2−15312 Nkg

m=

=27889 kg2m2 s2

s4m2−15312 kg

2ms2m

=27889 kg2

s2−15312 kg

2

s2

b2−4km=12577 kg2

s2>0

Το σύστημα θα επανέλθει επομένως στη θέση ισορροπίας χωρίς να την ξεπεράσει.

Ε10 Η ιδιοσυχνότητα ενός ταλαντωτή είναι f 0=3 ,95 s−1

. Η σταθερά χρόνου

απόσβεσης είναι τ=0 ,11s . Να υπολογίσετε τη συχνότητα ταλάντωσης.

30

ω=√ω02− 1τ2 ⇒

2πf=√(2πf 0 )2− 1

τ2=√(2π⋅3 ,95 s−1 )2− 1

0 ,112s2=√533 s−2=23 ,09 s−1

f=23 ,092π

s−1 f=3 ,68 s−1

6.8 Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις

6.8.1 Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης

Στις προηγούμενες παραγράφους μελετήσαμε τη συμπεριφορά των ταλαντωτών, όταν δέχονται ένα στιγμιαίο εξωτερικό ερέθισμα, δηλαδή μια κρούση. Μια συνηθισμένη περίπτωση διέγερσης όμως είναι εκείνη όπου το σύστημα διεγείρεται περιοδικά σε ταλάντωση από έναν εξωτερικό διεγέρτη. Αυτό συμβαίνει π.χ. σε ένα αυτοκίνητο κατά τη διάρκεια της λειτουργίας του κινητήρα, ή σε ένα κτήριο που δονείται από σεισμό. Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε την απόκριση του ταλαντωτή σε αρμονική διέγερση.

Θεωρούμε ότι στη μάζα ενός ταλαντωτή με αποσβέσεις ασκείται και μια εξωτερική δύναμη, η οποία μεταβάλλεται αρμονικά σύμφωνα με την εξίσωση:

F=F0sinωt 21−1

Πλην της δύναμης αυτής ασκούνται στη μάζα και η δύναμη επαναφοράς −Dx

καθώς και η δύναμη απόσβεσης −bv ακριβώς όπως τις μελετήσαμε στην προηγούμενη παράγραφο 1.7. Η συνισταμένη δύναμη είναι επομένως:

∑ F=F0sinωt−Dx−bv= F0sinωt−Dx−b dxdt 21−2

31

Από το νόμο του Newton ∑ F=m d2 x

dt2 και την εξίσωση 21−2 λαμβάνουμε:

m d2 xdt 2

+b dxdt

+Dx=F0sinωt 21−3

Η εξίσωση 21−3 διαφέρει από την εξίσωση 18−2 του ταλαντωτή με αποσβέσεις

κατά το ότι στο δεξιό μέλος της υπάρχει η ημιτονική συνάρτηση F0sinωt . Η εξίσωση αυτή είναι χαρακτηριστική ενός ταλαντωτή, που διεγείρεται αρμονικά από ένα εξωτερικό αίτιο. Το αίτιο αυτό το ονομάζουμε διεγέρτη.

Για να μελετήσουμε την απόκριση του ταλαντωτή πρέπει να λύσουμε επομένως τη

διαφορική εξίσωση 21−3 . Προκειμένου να χειριστούμε απλούστερες αλγεβρικές παραστάσεις εκφράζουμε τους συντελεστές της εξίσωσης συναρτήσει της κυκλικής

ιδιοσυχνότητας , δηλαδή της κυκλικής συχνότητας του συστήματος

ελατηρίου- μάζας χωρίς αποσβέσεις και της ποσότητας . Η εξίσωση 21−3 γράφεται έτσι:

21−4

Το σύστημα που περιγράφει η διαφορική εξίσωση 21−4 είναι γραμμικό. Από τα μαθηματικά γνωρίζουμε ότι τα γραμμικά συστήματα αποκρίνονται αρμονικά και με την ίδια συχνότητα, όταν διεγείρονται από ένα αρμονικό αίτιο. Αναμένουμε επίσης η απόκριση αυτή να γίνεται με κάποια χρονική καθυστέρηση. Έτσι η λύση της διαφορικής εξίσωσης 35-4 πρέπει να έχει τη μορφή:

21−5

32

όπου είναι το πλάτος της ταλάντωσης και η καθυστέρηση της φάσης του ταλαντωτή ως προς εκείνη του διεγέρτη. Αντικείμενό μας είναι να προσδιορίσουμε τις δύο αυτές παραμέτρους συναρτήσει των υπολοίπων παραμέτρων του συστήματος,

δηλαδή της κυκλικής ιδιοσυχνότητας , της σταθεράς χρόνου και της μάζας του ταλαντωτή m.

Παραγωγίζουμε τη θέση x ως προς το χρόνο t και βρίσκουμε την ταχύτητα:

22−1

και την επιτάχυνση:

22−2

Θέτουμε τις εξισώσεις 21−5 , 22−1 και 22−2 στη διαφορική εξίσωση 21−4 και αφού αναδιατάξουμε τους όρους λαμβάνουμε:

(ω02−ω2) x0sin (ωt−φϕ )+ ωτ0x0⋅cos (ωt−φ )=

F0msinωt

22−3

Οι δύο αρμονικοί όροι στο αριστερό της εξίσωσης 22−3 ταλαντώνονται με διαφορά

φάσης επομένως πρέπει να εκπροσωπούνται από κάθετα μεταξύ τους διανύσματα. Στο σχήμα εικονίζεται το διανυσματικό διάγραμμα των αρμονικών

συναρτήσεων που περιέχονται στην εξίσωση 22−3 . Η συνισταμένη των

διανυσμάτων με τα μήκη (ω02−ω2) x0 και

ωτ0x0

πρέπει να έχει μήκος .

Βρίσκουμε έτσι το πλάτος της ταλάντωσης και την υστέρηση φάσης :

33

1

πλάτος

x0=F0

m⋅√(ω02−ω2)2+( ωτ0 )

2=

F0

√ (D−mω2)2+ω2b2

22−4

διαφορά φάσης 23−1

Παρατηρούμε ότι το πλάτος της ταλάντωσης εξαρτάται από την κυκλική

συχνότητα του διεγέρτη. Από τη μελέτη της συνάρτησης προκύπτει ότι για μικρές αποσβέσεις b το πλάτος αρχικά αυξάνει συναρτήσει της κυκλικής συχνότητας και γίνεται μέγιστο όταν η κυκλική συχνότητα γίνει ίση προς:

κυκλική συχνότητα μέγιστου πλάτους

ωμ=√ω02− 12 τ

02=√ Dm−

b2

2m2 23−2

Στη συχνότητα αυτή το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης είναι:

34

μέγιστο πλάτος

x0 ,max=τ0F0

m⋅√ω02−( 12 τ0 )2=

F0

b√ Dm−( b2m )

2

23−3

Από τις εξισώσεις 23−2 και 23−3 συμπεραίνουμε τα εξής:

1. Το μέγιστο του πλάτους μετατοπίζεται προς μικρότερες συχνότητες όσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής αποσβέσεων b.

2. Για να λάβουμε μέγιστο πλάτος πρέπει ο συντελεστής αποσβέσεων να είναι

μικρότερος από μια οριακή τιμή. Αν b≥√2mD , τότε το πλάτος της ταλάντωσης δεν παρουσιάζει μέγιστο, αλλά μειώνεται συνεχώς.

4. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι αντιστρόφως ανάλογο του συντελεστή αποσβέσεων b. Αν ο συντελεστής αποσβέσεων είναι πολύ μικρός, τότε το πλάτος τείνει στο άπειρον όταν η κυκλική συχνότητα γίνει ίση με την κυκλική

ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. Αυτό δε συμβαίνει βέβαια, γιατί το σύστημα οδηγείται προηγουμένως σε καταστροφή.

1

35

Στο σχήμα σελίδα 23 απεικονίζεται το πλάτος της ταλάντωσης συναρτήσει της κυκλικής συχνότητας για διάφορες τιμές του συντελεστή απόσβεσης.

Η διαφορά φάσης εξαρτάται επίσης με την κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης

έτσι ώστε . Στην ειδική περίπτωση , τότε η υστέρηση φάσης γίνεται

ίση προς . Στο σχήμα απεικονίζεται η υστέρηση φάσης συναρτήσει της κυκλικής συχνότητας για διάφορες τιμές του συντελεστή απόσβεσης.

1

6.8.2 Η ταχύτητα στην εξαναγκασμένη ταλάντωση. Συντονισμός

Από τις εξισώσεις 22−1 και 23−3 βρίσκουμε την ταχύτητα του ταλαντωτή:

v=F0

m√ 1ω2 (ω02−ω2)2+ 1τ02

2⋅cos (ωt−φ )

24−1

Επομένως:

36

πλάτος ταχύτητας

v0=F0

m √ 1ω2 (ω02−ω2)2+ 1τ02

2=

ωF0

√ (D−mω2)2+ω2b2

24−2

Παρατηρούμε ότι το πλάτος της ταχύτητας στην εξαναγκασμένη ταλάντωση εξαρτάται από την κυκλική συχνότητα του διεγέρτη και το συντελεστή αποσβέσεων b, όμως το μέγιστο του πλάτους λαμβάνεται ανεξάρτητα της τιμής του συντελεστή αποσβέσεων, όταν η κυκλική συχνότητα ω του διεγέρτη γίνει ίση προς

την κυκλική ιδιοσυχνότητα ω0=√ Dm του ταλαντωτή. Η κατάσταση αυτή λέγεται

συντονισμός. Στο σχήμα 1 σελίδα 25 εικονίζεται το διάγραμμα του πλάτους του ρεύματος συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες τιμές του συντελεστή αποσβέσεων b. Παρατηρούμε ότι όσο μεγαλύτερος Παρατηρούμε ότι όσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής αποσβέσεων, τόσο μικρότερο είναι το πλάτος της ταχύτητας της ταλάντωσης.

1

Η διαφορά φάσης της ταχύτητας από εκείνη του διεγέρτη βρίσκεται από το διανυσματικό διάγραμμα του σχήματος σελίδα 22 και είναι ίση προς:

διαφορά φάσης ταχύτητας 25−1

37

Παρατηρούμε ότι στο συντονισμό, δηλαδή όταν η γωνία είναι μηδέν, επομένως η ταχύτητα της ταλάντωσης έχει την ίδια φάση με αυτήν της δ

6.8.3 Η ταχύτητα στην εξαναγκασμένη ταλάντωση

Η εξαναγκασμένη ταλάντωση είναι μια διαδικασία μεταφοράς ενέργειας από το

διεγέρτη στον ταλαντωτή. Θα υπολογίσουμε την ενέργεια που απορροφάται από τον ταλαντωτή σε κάθε κύκλο. Αυτό γίνεται με ολοκλήρωση της αποδιδόμενης ισχύος Ρ από έως . Από τη Μηχανική γνωρίζουμε ότι η αποδιδόμενη ισχύς από

τη δράση μιας δύναμης F σε σώμα κινούμενο με ταχύτητα v είναι , όπου είναι η γωνία μεταξύ των F και v. Επειδή εδώ η κίνηση γίνεται κατά τη

διεύθυνση της δύναμης έχουμε επομένως:

ET=∫t=0

t=TPdt=∫t=0

t=TFvdt=F0 v0∫t=0

t=Tsinωt⋅sin(ωt+θ )dt=1

2F0 v0T cosθ

Από την ενέργεια βρίσκουμε τη μέση ισχύ :

μέση ισχύς εξαναγκασμένης ταλάντωσης Pμ=1

2F0v0 cosθ 25−2

Από την εξίσωση αυτή συμπεραίνουμε ότι στο συντονισμό όπου θ=0 επομένως και cosθ=1 μεταφέρεται η μέγιστη ισχύς από το διεγέρτη στον ταλαντωτή.

38

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα

39

Σημείωμα Αναφοράς

Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Κωνσταντίνος Κουρκουτάς, 2014. Κωνσταντίνος Κουρκουτάς. «Φυσική Ι. Ενότητα 6: Αρμονικός ταλαντωτής». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr.

Σημείωμα Αδειοδότησης

Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό. Οι όροι χρήσης των έργων τρίτων επεξηγούνται στη διαφάνεια «Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων».

Τα έργα για τα οποία έχει ζητηθεί άδεια αναφέρονται στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:• που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του

έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο• που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή

πρόσβαση στο έργο• που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο

οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο

Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

40

Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων

© Δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, παρά μόνο εάν ζητηθεί εκ νέου άδεια από το δημιουργό.

διαθέσιμο με άδεια CC-BY

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου και η δημιουργία παραγώγων αυτού με απλή αναφορά του δημιουργού.

διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού, και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια.

διαθέσιμο με άδεια CC-BY-ND

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η δημιουργία παραγώγων του έργου.

διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου.

διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-SA

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου.

διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-ND

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου και η δημιουργία παραγώγων του.

διαθέσιμο με άδεια CC0 Public Domain

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού.

διαθέσιμο ως κοινό κτήμα

Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού.

χωρίς σήμανση Συνήθως δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου.

Διατήρηση Σημειωμάτων

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:

Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους

συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

41