zI

M

y

y

x

Normálová napětí při ohybu - opakování

σx

napětí normálové

Průřezová charakteristika pro normálová napětí za

ohybu je moment setrvačnosti Iy nebo z něj

odvozený modul průřezu

Mezní stav únosnosti

M

kddov

ffobecně

:

M

yk

yddov

ffocel

:

yydy

ydRd Wfe

IfM .

EdRd MM

x

/Mmax /= MEd 3me

IW

y

y

Ohybový moment My → σx

y

y

y

y

xW

Me

I

Mmax,

M -

+

-

σhor

y

neutr.osa

z

σdol

zehor

edol

x

σx = 0

bI

SV

y

y

.

.

Smyková napětí při ohybu

τ

napětí smykové

τmax

V

Průřezové charakteristiky pro smyková napětí

za ohybu jsou statický moment plochy Sy a

moment setrvačnosti Iy, lze převést na plochu

průřezu A

Mezní stav únosnosti:

zadáno:obecně dov

33:

M

ykyd

dov

ffocel

EdRd VV

únosnost ve smyku:

x

z

Posouvající síla Vz → τxz

3

Tprůrčástiy mzAS

x

parabola 2°τ = 0

τ = 0

Vmax = VEd

průběh τxz po výšce průřezu

pro obdélník

- -+ +Vp

Vl

3

2R

dovd

AV

A

VEd

2

3max

Obdélníkový průřez:

Grashofův vzorec

Příklad 1 – pouze smyk

1) Určete maximální smykové napětí xz v obdélníkovém průřezu daného nosníku (v místě Vmax)

2) Určete hodnotu smykového napětí v horní čtvrtině průřezu (také v místě Vmax).

l = 4 m

q = 5 kNm-1

b = 0,03

h=

0,0

6

y

z

A

V

bI

SV

2

3

y

1/2y

1/2xzmax 1) 8,33 MPa

T(1/2)y, ´ zAS = b.h/2.h/4

y

h/2max

A´

z

h/4=zT

= b.h/4.3h/8

A

V

bbh

bV

8

9

/121

32/h33

2

1/4xz1/4zx 2) 6,25 MPa

z

¼ h

zT =3h/8

A´

y

T(1/4)y, ´ zAS

1)

2)

Va= 10kNa b

A = 0,06.0,03=1,8 . 10-3 m2

1/4

6 m

q = 2 kNm-1F1= 0,5 kN F2 = 4 kN

11

Ra = 5,92 kN

Rb = 10,58 kN

Ma = -0,5 kNm

Mb = -4,0 kNm

Vmax = Vba = - 6,58kN

Mmax = 6,84kNm

b = 0,03

h=

0,0

6

y

z

Příklad 2 – ohyb + smyk

Spočtěte reakce a vykreslete průběhy V a M u daného nosníku, zvýrazněte místo Mmax a Vmax, dále

spočítejte průřezové charakteristiky daného obdélníkového průřezu a proveďte:

1. Určete max v místě Mmax a max v místě Vmax, vykreslete průběhy napětí po výšce průřezu,

proveďte posouzení z hlediska obou namáhání, materiál Fe360 / S235, součinitel G=1,35.

2. Určete 1/4 v místě Mmax a 1/4 v místě Vmax (horní čtvrtina průřezu)

3. Určete 1/3 v místě Mmax a 1/3 v místě Vmax (dolní třetina průřezu)

Rozkreslujte části průřezu pro výpočet Sy.

a b

Iy = 1/12 bh3 = 5,4. 10-7 m4

A = b.h =1,8.10-3 m2

Wy = 1/6 bh2 = 1,8.10-5 m3

Reakce, M, V :

Průběhy V a M: Průřezové charakteristiky:

v návrhových hodnotách

v návrhových hodnotách

max

A

V

bh

V

bI

SV

2

3

2

3 maxmax

y

1/2y maxmax

y

maxmaxmax

W

Me

I

M

y

2

6

1bhWy

+

-

h

= 0

,06

b = 0,03

(V místě Mmax) ( v místě Vmax)

max

max

Neutrál

ní osa

Příklad 2 – ohyb + smyk

1. Určete max v místě Mmax a max v místě Vmax a posuďte průřez

T(1/2)y, ´ zAS = b.h/2.h/4

Iy = 5,4. 10-7 m4

A = 1,8.10-3 m2

Wy = 1,8.10-5 m3

=380 MPa

= 5,48 MPa

Mmax = 6,84 kNm

Vmax = 6,58 kN

Posouzení z hlediska spolehlivosti v ohybu provedeme

pro Mmax a krajní vlákna (max), Fe360 / S235:

y

maxW

M

yydRd WfM

MRd = 4,23 kNm ≥ MEd = 9,23 kNm ….nevyhoví

A

V

2

3max

3

2R

dovd

AV

33 M

ykyd

dov

ff

Posouzení z hlediska spolehlivosti ve smyku provedeme pro Vmax a max

VRd = 162,8 kN ≥ VEd = 8,883 kN…. vyhoví

(zakreslit v průřezu)

y

h/2

A´

z

h/4=zT

b

1/4

A

V

bh

V

bI

SV

8

9

8

9 maxmax

y

1/4y max4/1

Mezivýsledky a výsledky:

Vmax = 6,58 kN; Mmax = 6,84 kNm; Iy = 5,4(E-7) m4; A = 1,8(E-3)m2

1/4 = 4,11 MPa; 1/4 = -190,0 MPa

1/3 = 4,87 MPa; 1/3 = 126,7 MPa

b

4y

maxmax4/1

h

I

Mz

I

M

y

+

-

h =

0

,06

b = 0,03

(v místě Mmax) (v místě Vmax)

1/4

Příklad 2 – ohyb + smyk

2. Horní čtvrtina průřezu:

3. Spodní třetina průřezu:

h/3

1/3

b

+

-

h =

0

,06

b = 0,03

(v místě Mmax) (v místě Vmax)

1/36y

maxmax3/1

h

I

Mz

I

M

y

A

V

bh

V

bI

SV

3

4

3

4 maxmax

y

1/4y max3/1

= (b.h/4).(h/4+h/8) T(1/4)y, ´ zAS

= (b.h/3).(h/6 + h/6)) T(1/3)y, ´ zAS

(zakreslit v průřezu)

(zakreslit v průřezu)

z

¼ h

zT

=3h

/8

A´

y

z

z

A´

Prostě podepřený nosník, spojité rovnoměrné zatížení, obdélníkový průřez z 5 lepených dřevěných

lamel: šířka b = 0,15m, celková výška průřezu h = 0,30m. Určete maximální hodnotu zatížení q na

tomto ohýbaném nosníku z hlediska normálového i smykového napětí, je-li dáno:

1. τdov,lep pro lepidlo 0,5 MPa (řešíme v místě Vmax, ve 2/5 výšky průřezu v lepené spáře nejblíže

těžištní ose).

2. Návrhová pevnost dřeva ve smyku τdov,dř =1,5 MPa (v místě Vmax, v těžištní ose, materiál dřevo).

3. fd,dřeva = 13,7 MPa.

Příklad 3 - dřevěný lepený nosník

l = 4 m

q = ?

b

h

2max

lqV

8

2

max

lqM

25

3 2

5/2,

bhS y 12

3bhI y

8

2

2/1,

bhS y

hbA

yW

M maxmax

A

Vmaxmax

2

3

A

Vmax5/2

25

36

6

2bhWy

Maximální vnitřní síly:

Vztahy pro napětí:

Průřezové charakteristiky:

Normálové napětí:

Smykové napětí:

𝑆𝑦,2/5 = (ℎ

2−

ℎ

10). b. (

ℎ

5+

ℎ

10)

mkNl

Wfq

W

lq

f

W

Mf

ydrd

y

dřd

y

dřd

/41,158

8

2

,

2

,

maxmax,

1)

A

Vmax5/2

25

36

mkNl

Aq

A

lq

A

V

lepdov

lepdov

lepdov

/81,718

25

2

25

36

25

36

,

,

max5/2,

2) A

Vmaxmax

2

3

mkNl

Aq

A

lq

A

V

drevodov

drevodov

drevodov

/5,223

4

2

2

3

2

3

,

,

maxmax,

3)

yW

M maxmax

Nosník lze maximálně zatížit q = 7,81 kN/m

v

v

v

a) Navrhněte z hlediska smyku dřevěný lepený nosník obdélníkového průřezu na napětí v lepené

spáře, je-li τdov,lep pro lepidlo 0,5 MPa. Zatížení je proměnné γQ=1,5.

b) Navrhněte průřez také z hlediska maximálního smykového napětí na ose y, je-li návrhová

pevnost dřeva ve smyku τdov,dř =1,5 MPa.

c) Navrhněte nosník z hlediska maximálního normálového napětí za ohybu, je-li

fd,dřeva = σdov,dřeva = 13,7 MPa.

d) Vyberte rozhodující hodnotu šířky průřezu a posuďte všechny tři únosnosti

(VRd,lep, VRd,dřeva, MRd,dřeva)

Příklad 4 - dřevěný lepený nosník – k procvičení

10

01

00

10

0

b = ?

6 m 1,5 m

107 kNm,qk

M

V

M2

M1

Průběh smykového a normálového napětí

po výšce průřezu b a n

σ v nτ v b

n

n

n

15,105,1 kNmqq kd

Určíme reakce, průběhy V + M a maximální hodnoty V a M v absolutní hodnotě

IVEd I = 33,5 kN

I MEd I = 41,5 kNm

a b

Statický moment části průřezu nad řezem:

MPadrevadov 5,1

,

933

2

3/1,

bhhbhS y

mh

Vb

lepdov

Ednut 298,0

105,03,03

105,334

3

46

3

,

1,

MPalepdovdov 5,0,3/1,

b) Maximální smykové napětí (řešíme v podpoře b: VEd =33,5kN)

842

2

2/1,

bhhbhS y

A

V

hb

V

bbh

bhV

bI

SV EdEdEd

y

yEddrevodov

2

3

2

3

12

83

2

2/1,

2/1,

mh

Vb

drdov

Ednut 112,0

105,13,02

105,333

2

36

3

,

2,

a) Smykové napětí v lepené spáře (řešíme v podpoře b: VEd = 33,5kN)

-33,5

Vb

A

V

hb

V

bbh

bhV

bI

SV EdEdEd

y

yEdlepdov

3

4

3

4

12

93

2

3/1,

3/1,

mmh

Mb

bh

M

W

M

dřdov

Ednut

Ed

y

Eddřdov 202

.

.6

6

1,

23,2

max,

M

V

M2

M1 = 41,5

n

Návrh šířky průřezu: b = 300mm

σ v n

n MPadrevodov 5,13,

Posouzení průřezu pro všechny tři varianty:

vyhovujekN,VkN,.h.b.

V Ed

lep,dov

lep,Rd 53375334

3

vyhovujekN,VkN,.h.b.

V Eddř,dov

dř,Rd 5330903

2

vyhovujekNm,MkNm,.h.b

M Eddř,dov

dř,Rd 554165616

2

a)

b)

c)

Rozhoduje varianta a)

c) maximální normálové napětí (řešíme v nebezpečném průřezu n: MEd = 41,5 kNm)

hb

VEd

3

43/1

hb

VEd

2

32/1

2

6

1bh

M Edx

a)

b)

c)