Το «γιατί», το...

Click here to load reader

  • date post

    28-Sep-2020
  • Category

    Documents

  • view

    26
  • download

    0

Embed Size (px)

description

Η ισότητα 0,999…=1 είναι αντικείμενο παγκόσμιων συζητήσεων στο διαδίκτυο, μεταξύ φοιτητών και όχι μόνον. Αυτή η ισότητα αμφισβητείται πεισματικά. Ακόμα και συγκεκριμένες μαθηματικές αποδείξεις, δεν πείθουν όλους, παρ΄ό,τι διαθέτουν την στοιχειώδη μαθηματική παιδεία της αποδοχής μιας απόδειξης. Η «ενσώματη» (πεπερασμένη) διαίσθηση περί μη αποδοχής υπερτερεί. Διαφαίνεται έτσι η δυσκολία στην διαισθητική κατανόηση του απείρου, διαφαίνονται τα όρια της πεπερασμένης φύσης του ανθρώπου, τα όρια των «ενσώματων μαθηματικών», ενώ παράλληλα, αναδεικνύεται η ίδια η δύναμη και η πρακτική αξία των μαθηματικών αποδείξεων που μας καθοδηγεί για το εκάστοτε σωστό στα πλαίσια των αξιωμάτων των Μαθηματικών.

Transcript of Το «γιατί», το...

  • ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 20ό Τεύχος Σεπτέμβριος 2020

    Το «γιατί», το «πώς» και το «διότι» όλων των αποδείξεων ότι 0,999…=1 και η

    αντίληψη για το άπειρο και το απειροστό.

    Γιάννης Π. Πλατάρος

    [email protected]

    Περίληψη:

    Η ισότητα 0,999…=1 είναι αντικείμενο παγκόσμιων συζητήσεων στο διαδίκτυο,

    μεταξύ φοιτητών και όχι μόνον. Αυτή η ισότητα αμφισβητείται πεισματικά. Ακόμα

    και συγκεκριμένες μαθηματικές αποδείξεις, δεν πείθουν όλους, παρ΄ό,τι διαθέτουν την

    στοιχειώδη μαθηματική παιδεία της αποδοχής μιας απόδειξης. Η «ενσώματη»

    (πεπερασμένη) διαίσθηση περί μη αποδοχής υπερτερεί. Διαφαίνεται έτσι η δυσκολία

    στην διαισθητική κατανόηση του απείρου, διαφαίνονται τα όρια της πεπερασμένης

    φύσης του ανθρώπου, τα όρια των «ενσώματων μαθηματικών», ενώ παράλληλα,

    αναδεικνύεται η ίδια η δύναμη και η πρακτική αξία των μαθηματικών αποδείξεων που

    μας καθοδηγεί για το εκάστοτε σωστό στα πλαίσια των αξιωμάτων των Μαθηματικών.

    Εισαγωγή:

    Το αποτέλεσμα ότι 0.999…=1, («Why is 0.999… equal to 1 ?», «A Friendly Chat

    About Whether 0.999… = 1», « 0.999...») όσες αποδείξεις και να παραθέσουμε, δεν

    γίνεται κατανοητό-πλήρως αποδεκτό από την ανθρώπινη πεπερασμένη διάσταση που

    νομίζει ότι εύκολα «κατανοεί» και το άπειρο, όσο κι αν «κατανοεί» τα μαθηματικά

    εργαλεία της λογικής και της απόδειξης. Προτείνω να παρακολουθήσουμε τις

    στοιχειώδεις και μη αποδείξεις (το «πώς» και το «γιατί») και στο τέλος θα

    επιχειρήσουμε να δώσουμε το κλειδί για πλήρη κατανόηση και να το εξηγήσουμε από

    όλες τις υπάρχουσες οπτικές του. Όταν κάτι είναι εξηγημένο και αποδεδειγμένο από

    όλες τις υπάρχουσες μαθηματικές οπτικές και ο συνομιλητής δεν πείθεται ή

    τουλάχιστον «δεν συμφωνεί που διαφωνεί» ενώ διαθέτει μαθηματική κουλτούρα, τότε

    μπορούμε να μοιράσουμε την αιτία ανάμεσα στην ίδια της δυσκολία της έννοιας του

    απείρου και στην ειδική διδακτική του ιδίου του άπειρου.

    Απόδειξη1: 1

    0.111111111... 9  Οπότε

    1 1 9 9 0,111111.... 0,99999999......

    9     

    Ομοίως γνωρίζουμε ότι 1

    0,33333..... 3  Οπότε

    1 1 3 3 0,333... 0,999...

    3      Επίσης:

    2/3 = 0,666666... 1/3 + 2/3 = 0,999999... = 1.

    ή

    http://neospaidagogos.online/files/20_Teyxos_Neou_Paidagogou_Septemvrios_2020.pdf

  • ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 20ό Τεύχος Σεπτέμβριος 2020

    Όλα τα παραπάνω, με το διαφαινόμενο μοτίβο (pattern) 1   

     

       με μ

  • ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 20ό Τεύχος Σεπτέμβριος 2020

    και ένα 0 στον διαιρετέο. «Το 9 στο 90, χωράει 9», «9Χ9=81, από 90 ίσον 9», ξαναβάζω

    0, έχω 90 κ.ο.κ. και παίρνω 9-άρια επ΄άπειρον. Άρα 1=0,999…

    Απόδειξη 5: Έχω: 0,999...= 9 9 9

    ... 10 100 1.000

        1 2 3

    9 9 9 ...

    10 10 10     (Άθροισμα

    απείρων όρων φθίνουσας Γεωμετρικής Προόδου με λόγο 1

    10 ,

    1

      

    9 9

    10 10 1 1 9

    1 10 10

       

    , ό.έ.δ. Ας προσέξουμε την ίδια αναλυτική μέθοδο, με ελαφρά

    αλλαγή οπτικής: 0,999…= 10 1 1

    lim 1 lim 1 0 1 10 10

       

          , ό.έ.δ.

    Με προσέγγιση μέσω ακολουθιών Cauchy: «Αν οι αποστάσεις όλων των όρων μεταξύ

    δύο ακολουθιών «τελικά» είναι οσοδήποτε κοντά, αυτές ορίζουν ίσους πραγματικούς

    αριθμούς» Εδώ ορίζονται 10 1

    1 & 10

        

       και

    1 | | | | 0

    10   

        , ό.έ.δ.

    Απόδειξη 6: 0,999... 0,999... (0,9 0,09 0,009 ...) (0,9 0,09 0,009 ...)        

    1,8 0,18 0,018 0,0018 ... 1 (0,8 0,1) (0,08 0,01) (0,008 0,001) ...

    1 0,9 0,09 0,009 ... 1 0,999...

                

          

    Δηλ. 0,999 0,999  1 0,999   0,999... 1 

    Απόδειξη 7: Σύμφωνα με τον Μπουγιούκα (2007), έχουμε την αφαίρεση:

    ______________________

    1,00000000...

    0,99999999... Θα δείξουμε πρώτα ότι κάθε δεκαδικό ψηφίο του παραπάνω

    αποτελέσματος είναι ίσο με 0. Θα το δείξουμε αυτό θεωρώντας ένα τυχαίο δεκαδικό

    ψηφίο, χωρίς κάποια ιδιαίτερη ιδιότητα, επομένως μ’ αυτόν τον τρόπο θα το έχουμε

    δείξει για κάθε δεκαδικό ψηφίο. Έστω, λοιπόν, το τυχαίο δεκαδικό ψηφίο στην

    (δεκαδική) θέση k του παραπάνω αποτελέσματος. Το τελευταίο υπολογίζεται αν στο 9

    προσθέσουμε το δανεικό (αν υπάρχει) το οποίο πάρθηκε στην (δεκαδική) θέση k+1,

    και αφαιρέσουμε αυτό το άθροισμα από το 10 (δανειζόμαστε σίγουρα στην θέση k,

    εφόσον η αφαίρεση του 9 ή του 9+1=10 από το 0 δίνει αρνητικό αποτέλεσμα). Το

    δανεικό στην θέση k+1 σίγουρα υπάρχει (αφού ανεξάρτητα από το αν υπάρχει δανεικό

    στην θέση k+2, χρειάζεται ήδη για την αφαίρεση του 9 από το 0), επομένως για την

    θέση k του αποτελέσματος γίνεται η αφαίρεση 10-(9+1), η οποία δίνει 0.

    Θα δείξουμε τώρα ότι και αριστερά της υποδιαστολής του παραπάνω αποτελέσματος

    προκύπτει το 0. Θεωρώντας την δεκαδική θέση 0 (την πρώτη από αριστερά δεκαδική

    θέση), παρατηρούμε ότι υπάρχει σίγουρα δανεικό, οπότε αριστερά της υποδιαστολής

    έχουμε το αποτέλεσμα της αφαίρεσης 1-(0+1) = 0. Επομένως έχουμε αποτέλεσμα

    0,000….. ό.έ.δ.

    http://neospaidagogos.online/files/20_Teyxos_Neou_Paidagogou_Septemvrios_2020.pdf

  • ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 20ό Τεύχος Σεπτέμβριος 2020

    Απόδειξη 8

    Απόδειξη 9: Η ακολουθία διαστημάτων [0. 9....9 ,1] ά

      

       είναι μια ακολουθία

    διαστημάτων για τα οποία ισχύει: (i) 1 2 3 4 .....        (ii)

    1 

         διότι μεταξύ

    δύο ρητών πάντα υπάρχει ενδιάμεσος (λ.χ. ο μέσος όρος τους 2

      ) (iii)

    lim | 0. 9....9 1| 0 ά

       

       , διότι η διαφορά ισούται με 0, 0.....0 1

    ά 

    0, για

    κάθε ν>ν0(ε) ,