ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ Ενόη 2α 6€¦ · Ημι-άπειρο σώμα:...

Ενότητα 6η:

Μεταβατική αγωγή

θερμότητας

Διδάσκων:

Παπασιώπη Νυμφοδώρα

Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ε.Μ.Π.

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

Άδεια Χρήσης

6. Μεταβατική Αγωγή Θερμότητας - Περιεχόμενα

6. Μεταβατική Αγωγή Θερμότητας

6.1 Εισαγωγή

6.2 Σώμα με αμελητέα αντίσταση αγωγής

6.3 Μονοδιάστατη αγωγή σε ημιάπειρο στερεό

6.4 Μονοδιάστατη αγωγή σε μεγάλο επίπεδο τοίχο, κύλινδρο

μεγάλου μήκους και σφαίρα (διαγράμματα Heisler και

Gröber)

6.5 Πολυδιάστατα συστήματα με εφαρμογή του κανόνα του

γινομένου

Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας

Εξίσωση Laplace 02

Εξίσωση Poisson 0q2

t

1q2

Γενική εξίσωση αγωγής

Εξίσωση Fourier t

12

Στην ενότητα αυτή θα εξετασθούν προβλήματα στα οποία η θερμοκρασία ενός σώματος

μεταβάλλεται τόσο με το χρόνο όσο και με τη θέση. Π.χ.

• Ένα μεταλλικό αντικείμενο που βγαίνει από φούρνο θερμοκρασίας 800οC στη

θερμοκρασία περιβάλλοντος 20οC


6. Μεταβατική Αγωγή Θερμότητας

6-1

Μονοδιάστατη αγωγή για μεταβατική κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας:

t

θ

α

1

x

θ2

2

Η επίλυση απλοποιείται με τη χρήση αδιαστατοποιημένων μεταβλητών:

Αδιάστατη θερμοκρασία:

θθ

θθΘ

i

*θi : θερμοκρασία σε χρόνο t=0

θ : θερμοκρασία σε χρόνο t=

Αδιάστατη απόσταση:

0

*

x

xx x0 : ένα χαρακτηριστικό

μήκος του σώματος

Αδιάστατος χρόνος: 20

*

x

tαt Αριθμός Fourier

Αδιάστατος συντελεστής μεταφοράς θερμότητας: λ

hxBi 0 Αριθμός Biot

Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 6-2

6.1 Εισαγωγή (1/2)

Πίνακας 6.1. Πίνακας αδιαστατοποιημένων μεταβλητών

30xγκουόμαώσναέσετηταόθερμη

εταιύαποθηκεοίοποτονμεςόυθμΡ

30xγκουόμαώσναέόαπσαέμ

τηταόθερμηγεταιάοίοποτονμεςόυθμΡ

θΔ

θΔ

t/xCρ

)x/1(xλ

x

tαt

30p

02

02

0

*

Φυσική σημασία αριθμού Fourier

νειαάεπιφστηνςήσυναγωγστασηίντΑ

ματοςώστουόεσωτερικστοςήαγωγστασηίντA

R

R

h/1

λ/x

λ

hxBi

συν

αγ00

Φυσική σημασία αριθμού Biot:


6.1 Εισαγωγή (2/2)

Όταν η αντίσταση στην αγωγή είναι πολύ μικρότερη από την αντίσταση στη συναγωγή

μπορεί να θεωρηθεί ότι η θερμοκρασία του σώματος είναι ίδια σε όλες τις θέσεις. Δεν

μας ενδιαφέρει δηλ. η κατανομή της θερμοκρασίας ως προς το χώρο αλλά μόνο ως προς

το χρόνο. θi=130oC θ=20oC

1.0R

R

λ

hxBi

συν

αγ0

t0 t1 t2 t3

θ=130oC θ=100oC θ=80oC θ=60oC

1.0R

R

λ

hxBi

συν

αγ0

t0 t1 t2 t3


6.2 Σώμα αμελητέας αντίστασης αγωγής (1/4)

Σχήμα 6.1. Αναπαράσταση κατανομής θερμοκρασιών σε διάφορους χρόνους (α) σε σώμα αμελητέας αντίστασης αγωγής,

(β) όταν η αντίσταση αγωγής είναι σημαντική σε σύγκριση με την αντίσταση συναγωγής.

Αντί του διαφορικού ισοζύγιου εφαρμόζεται ένα συνολικό ισοζύγιο ενέργειας για όλο το

στερεό:

1.0R

R

λ

hxBi

συν

αγ0

ύστερεοτουζαάμ

στηργειαςέενρευσηώυσσΣύστερεοτουνειαάεπιφτηνόαπήσυναγωγμεργειαςέενήισροΕ

A

Vx0

dt

θdmCp)θθ(hA

Εκροή με συναγωγή = Συσσώρευση

T/t

i

eθθ

θθ

hA

mCpT

Σταθερά χρόνου

του θερμικού

συστήματος



Παράδειγμα 6.1: Θέρμανση μεταλλικών πλακών σε φούρνο

Δεδομένα:

• Σε μονάδα παραγωγής, μπρούτζινες πλάκες διαστάσεων 20cm

20cm και πάχους 4cm που έχουν αρχική θερμοκρασία 20οC

θερμαίνονται περνώντας μέσα από κλίβανο που διατηρείται σε

θερμοκρασία 500οC. Οι πλάκες παραμένουν στον κλίβανο για 7

λεπτά.

• Ιδιότητες του μπρούντζου: λ=110 W(moC), ρ=8530 kg/m3,

Cp=380 J/kgoC, α=33.9 x10-6 m2/s.

Ζητείται

• Αν ο συντελεστής συνδυασμένης μεταφοράς θερμότητας με

συναγωγή και ακτινοβολία είναι h = 120 W/(m2∙oC), να βρεθεί η

θερμοκρασία επιφάνειας των πλακών όταν βγαίνουν από το

φούρνο.

20cm

20cm



Σχήμα 6.2. Σχηματική απεικόνιση

για το Παράδειγμα 6.1

Ιδιότητες του

μπρούντζου:

λ=110 W(moC),

ρ=8530 kg/m3,

Cp=380 J/kgoC,

α=33.9 x10-6 m2/s.

Λύση:

α. Ελέγχουμε την τιμή του αριθμού Biot:

cm429.1cm1120

cm1600

cm4cm204cm20cm202

cm4cm20cm20

A

Vx

2

3

0

20cm

20cm

1.00156.0)Cm/(W110

m01429.0)Cm/(W120

λ

hxBi

o

o20

Σώμα αμελητέας αντίστασης

T/t

i

eθθ

θθ

s386)Cm/(W120

))Ckg/(J380()m/kg8530()m01429.0(

h

Cpρ

A

V

hA

mCpT

o2

o3

β. Βρίσκουμε την τιμή της σταθεράς χρόνου Τ και στη συνέχεια τη

θερμοκρασία εξόδου της πλάκας σε t=7 min

337.0ee50020

500θ 088.1386/)607(

C24.338θ ο

6-7


Παράδειγμα 6.1: Θέρμανση μεταλλικών πλακών σε φούρνο



για το Παράδειγμα 6.1

Οριακές συνθήκες t x θ

(α) Αρχική συνθήκη

(β) Συνοριακή συνθήκη Ι

(γ) Συνοριακή συνθήκη ΙΙ

Ημι-άπειρο σώμα: σώμα που έχει μία επίπεδη επιφάνεια και

εκτείνεται στο άπειρο στις άλλες διευθύνσεις, π.χ. η γη.

Θεωρούμε ότι ένα σώμα που βρίσκεται αρχικά σε θερμοκρασία θi

τοποθετείται σε περιβάλλον θερμοκρασίας θ.

θ,

h

x

t

θ

α

1

x

θ2

2

Πρέπει να επιλύσουμε τη διαφορική

εξίσωση για τη μεταβατική αγωγή

θερμότητας κατά τη διεύθυνση x:

x0 iθθ

θθ

θθΘ

i

*

x

0t

0t iθθ

1Θ*

1Θ*

0x 0t sθθ 1ΘΘ*

s*

0xs

dx

θdλ)θθ(h

Συναγωγή σε περιβάλλον σταθερής

θερμοκρασίας θ.


6.3 Μονοδιάστατη μεταβατική αγωγή σε ημι-άπειρο σώμα (1/7)

Σχήμα 6.3. Ημι-άπειρο σώμα.

Πίνακας 6.2. Πίνακας οριακών

συνθηκών

θ,

h

x

t

θ

α

1

x

θ2

2

))ξΦ(erf1)(ξλ/hxexp(ΦerfΘ 2*

θθ

θθΘ

i

*

tα2

xΦ

λ

tαhξ

Συνάρτηση σφάλματος dueπ

2Φerf

Φ

0

u2

Το ολοκλήρωμα erfΦ δεν επιλύεται αναλυτικά. Έχει

προσδιορισθεί με αριθμητικές μεθόδους και δίνεται σε

πίνακες

pCρ

λα



Σχήμα 6.3. Ημι-άπειρο σώμα.

))ξΦ(erf1)(ξλ/hxexp(ΦerfΘ 2*

θθ

θθΘ

i

*

tα2

xΦ

λ

tαhξ

Δύο τρόποι επίλυσης:

B. Χρησιμοποιούμε

διαγράμματα

pCρ

λα



Α. Χρησιμοποιούμε πίνακες

με τιμές της erf

Πίνακας 6.3. Συνάρτηση σφάλματος erfΦ

Σχήμα 6.4. Διάγραμμα μεταβολής αδιάστατης

θερμοκρασίας συναρτήσει παραμέτρων Φ και ξ

για την μεταβατική αγωγή σε ημι-άπειρο σώμα.

Παράδειγμα 6.2: Ελάχιστο βάθος τοποθέτησης σωλήνων νερού στο έδαφος για

αποφυγή παγώματος

Δεδομένα:

• Σε μία περιοχή το έδαφος είναι καλυμμένο με χιόνι στους

-10οC περίπου, για μια συνεχή περίοδο 3 μηνών.

• Πριν αρχίσει η περίοδος των χιονοπτώσεων η

θερμοκρασία του εδάφους μπορεί να θεωρηθεί

ομοιόμορφη και ίση με 15οC.

• Μέσες ιδιότητες του εδάφους: λ=0.4 W/(moC), α=0.15

x10-6 m2/s.

Ζητείται

• Το ελάχιστο βάθος τοποθέτησης των σωλήνων στο

έδαφος για να αποφευχθεί το πάγωμα του νερού.

Σωλήνας νερού

Έδαφος x

θs= -10oC

θi= 15oC

Ιδιότητες του εδάφους:

λ=0.4 W/(moC), α=0.15 x10-6 m2/s.



Σχήμα 6.5. Σχηματική απεικόνιση για το

Παράδειγμα 6.2.

Ζητείται:


Έδαφος x

θs= -10oC

θi= 15oC


λ=0.4 W/(moC), α=0.15 x10-6 m2/s.

t = 3 μήνες

θθ

θθΘ

i

*

tα2

xΦ

λ

tαhξ

α. Παράμετρος ξ:

Σταθερό θs h → ξ →

ΦerfΘ*

β. Αδιάστατη θερμοκρασία Θ*:

Ελάχιστο βάθος x = Βάθος στο οποίο θ(x,t) = 0οC

μετά από t =3 μήνες

Λύση:

4.025

10

)10(15

)10(0

θθ

θθ

θθ

θθΘ

si

s

i

*








Έδαφος x

θs= -10oC

θi= 15oC


λ=0.4 W/(moC), α=0.15 x10-6 m2/s.

t = 3 μήνες

θθ

θθΘ

i

*

tα2

xΦ

λ

tαhξ

ξ → ΦerfΘ*

γ. Υπολογισμός Φ:

Λύση:

4.0Θ*

γ1. Από πίνακα erf

erfΦ = 0.4 Φ ~ 0.37

tα2Φx

m80.0x

167.174.0)s(1078.7)s/m(1015.0237.0x 626

)h/s3600()d/h24()mo/d30()mo3(t s1078.7t 6








Έδαφος x

θs= -10oC

θi= 15oC


λ=0.4 W/(moC), α=0.15 x10-6 m2/s.

t = 3 μήνες

θθ

θθΘ

i

*

tα2

xΦ

λ

tαhξ

ξ → ΦerfΘ*

γ. Υπολογισμός Φ:

Λύση:

4.0Θ*

γ2. Από διάγραμμα

Φ ~ 0.375

tα2Φx

m81.0x

s1078.7t 6







Διαγράμματα Heisler και Gröber


6.4 Μονοδιάστατη μεταβατική αγωγή σε μεγάλο επίπεδο τοίχο,

κύλινδρο μεγάλου μήκους και σφαίρα

Σχήμα 6.6. Διαγράμματα Heisler και Gröber για (α) μεγάλο επίπεδο τοίχο, (β) κύλινδρο μεγάλου μήκους, (γ) σφαίρα.

(Heisler)

2xo


6.4.1 Μονοδιάστατη μεταβατική αγωγή σε μεγάλο επίπεδο τοίχο

(Heisler)

Σχήμα 6.7. Μεταβολή της θερμοκρασίας με τον χρόνο στο επίπεδο συμμετρίας.

Σχήμα 6.8. Μεταφερόμενη θερμότητα ως συνάρτηση του χρόνου.

(Gröber)

Σχήμα 6.9. Θερμοκρασία σε άλλες

θέσεις σε σχέση με την θερμοκρασία

στο επίπεδο συμμετρίας.

(Heisler)


6.4.2 Μονοδιάστατη μεταβατική αγωγή σε κύλινδρο μεγάλου μήκους

(Heisler)

Σχήμα 6.10. Μεταβολή της θερμοκρασίας με τον χρόνο στον άξονα συμμετρίας.


(Gröber)



στον άξονα συμμετρίας.

(Heisler)


6.4.3 Μονοδιάστατη μεταβατική αγωγή σε σφαίρα

Σχήμα 6.13. Μεταβολή της θερμοκρασίας με τον χρόνο στο κέντρο.




στο κέντρο.

(Heisler)

(Gröber)

Δεδομένα:

• Ένα αυγό έχει αρχικά θερμοκρασία 5oC. Τοποθετείται σε

νερό που βράζει (100οC).

• Ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας με συναγωγή από το

νερό προς το αυγό μπορεί να θεωρηθεί ίσος με: h=1200

W/(m2oC)

Ζητείται

• Ο χρόνος που απαιτείται για να φθάσει η θερμοκρασία στο

κέντρο του αυγού στους 70oC.

Αυγό

θi = 5oC

h =1200 W/(m2 oC)

θ= 100οC

Υποθέσεις-προσεγγίσεις:

• To αυγό μπορεί να θεωρηθεί σφαίρα διαμέτρου περίπου 5cm

• Το περιεχόμενο του αυγού σε νερό είναι 74%, συνεπώς μπορούμε να θεωρήσουμε ότι έχει

θερμικές ιδιότητες αντίστοιχες με του νερού. Βρίσκουμε από πίνακες την αγωγιμότητα λ και

τη διαχυτότητα α του νερού στη μέση θερμοκρασία (θi+θo)/2=(5+70)/2=35oC : λ=0.627

W/(moC), α=0.15 x10-6 m2/s.


Παράδειγμα 6.3: Βράσιμο αυγού (1/2)


του Παραδείγματος 6.3.

Λύση:

Ιδιότητες αυγού:

ro=2.5 cm

λ=0.627 W/(moC), α=0.15 x10-6 m2/s.

Αυγό

θi = 5oC

h =1200 W/(m2 oC)

θ= 100οC

ohr

λ

Bi

1

2o

*

r

tαt

θθ

θθΘ

i

o*o

316.095

30

1005

10070Θ*

o

0209.0

)m025.0)(CmW1200(

CmW627.0

Bi

11o2

1o1

s1042

105.1

025.025.0

α

rtt

6

22o

*

min17t


Παράδειγμα 6.3: Βράσιμο αυγού (2/2)



Δεδομένα:

• Κυλινδρικός άξονας από ανοξείδωτο χάλυβα AISI 304

μεγάλου μήκους και με διάμετρο D=10cm βγαίνει από

κλίβανο με ομοιόμορφη θερμοκρασία 600oC.

• Ο κύλινδρος αφήνεται να ψυχθεί αργά σε θάλαμο με

θερμοκρασία 200oC με μέσο συντελεστή μεταφοράς

θερμότητας h=40 W/(m2oC)

Ζητείται

(α) Η θερμοκρασία στο κέντρο του άξονα 45 min μετά την

έναρξη της διαδικασίας ψύξης

(β) Το ποσό θερμότητας που έχει μεταφερθεί ανά μονάδα

μήκους του άξονα κατά τη διάρκεια των 45 min.

Άξονας από ανοξείδωτο

χάλυβα 304

h =40 W/(m2 oC)

θ= 200οC

Ιδιότητες:

• Βρίσκουμε από το σχετικό Πίνακα* τις ιδιότητες του ανοξείδωτου χάλυβα

304 στην κατάλληλη θερμοκρασία. Π.χ. στους 600Κ: λ=19.8 W/(moC),

Cp=557 J/(kgoC). Με ρ=7900 kg/m3 υπολογίζεται α=λ/(ρCp)=4.50x10-6

m2/s.

θi = 600oC

D= 10 cm

* Πίνακας Π.4.1 στα Παραρτήματα του βιβλίου Κουμούτσου, Λυγερού «Μεταφορά

Θερμότητας», 1991


Παράδειγμα 6.4: Ψύξη κυλινδρικού άξονα μεγάλου μήκους (1/3)



Λύση:


χάλυβα 304

h =40 W/(m2 oC)

θ= 200οC

Ιδιότητες:

λ=19.8 W/(moC),

Cp=557 J/(kgoC),

ρ=7900 kg/m3

α=λ/(ρCp)=4.50x10-6 m2/s

θi = 600oC

D= 10 cm

(α) Η θερμοκρασία στο κέντρο του άξονα σε t =45 min

ohr

λ

Bi

1

2o

*

r

tαt

θθ

θθΘ

i

o*o

2004004.0200)200600(Θθ *

οο

9.9)m05.0)(CmW40(

CmW8.19

Bi

11o2

1o1

86.4)m05.0(

min)/s60min45()s/m105.4(

r

tαt

2

26

2

o

*

4.0Θ*

o

C360θ o

ο





6-22

Λύση:


χάλυβα 304

h =40 W/(m2 oC)

θ= 200οC

θi = 600oC

D= 10 cm

(β) Το ποσό θερμότητας που έχει μεταφερθεί ανά μονάδα μήκους

του άξονα σε t =45 min

*2

2

2

tBiλ

tαh

Ιδιότητες:

λ=19.8 W/(moC),

Cp=557 J/(kgoC),

ρ=7900 kg/m3

α=λ/(ρCp)=4.50x10-6 m2/s

Σε t → : θ=θ για r )θθ(CpmQ imax

kg05.62)m1()m05.0(π)m/kg7900(Vρm 23

C)200600()CkgJ557()kg05.62(Q o1o1

max kJ82413Qmax

05.0

0.1019.9

1

λ

hrBi o

86.4r

tαt

2

o

*

6.0Q

Q

max

t

kJ138246.0Q6.0Q maxt

kJ8294Q t





t

Θ

z

Θ

y

Θ

x

Θα

*

2

*2

2

*2

2

*2

Για τα πολυδιάστατα συστήματα αποδεικνύεται ότι:

Η λύση της πολυδιάστατης

εξίσωσης:

Είναι το γινόμενο των

επιμέρους μονοδιάστατων

εξισώσεων: t

Θ

x

Θα

*

2

*2

t

Θ

y

Θα

*

2

*2

t

Θ

z

Θα

*

2

*2

)t,z(Θ)t,y(Θ)t,x(Θ)t,z,y,x(Θ ****


6.5 Μεταβατική αγωγή σε πολυδιάστατα συστήματα (1/4)

Κανόνας γινομένου

1ο Παράδειγμα: Μεταβατική αγωγή σε κύλινδρο μικρού μήκους

Πρόβλημα δύο διαστάσεων το οποίο

αντιστοιχεί σε δύο μονοδιάστατα

προβλήματα:

(α) μεταβατική αγωγή σε κύλινδρο

μεγάλου μήκος

(β) μεταβατική αγωγή σε μεγάλο

επίπεδο τοίχωμα

)t,x(Θ)t,r(Θ)t,x,r(Θ ***




Σχήμα 6.18. Ένας κύλινδρος μικρού μήκους

με r0 και ύψος α είναι η διατομή ενός

κυλίνδρου μεγάλου μήκους με ακτίνα r0 και

ενός επίπεδου τοίχου πάχους α.

Πρόβλημα δύο διαστάσεων το οποίο

αντιστοιχεί σε δύο μονοδιάστατα

προβλήματα:

(α) μεταβατική αγωγή σε μεγάλο

επίπεδο τοίχωμα πάχους a

(β) μεταβατική αγωγή σε μεγάλο

επίπεδο τοίχωμα πάχους b

)t,y(Θ)t,x(Θ)t,y,x(Θ ***




2ο Παράδειγμα: Μεταβατική αγωγή σε ράβδο ορθογωνικής διατομής axb και

μεγάλου μήκους

Σχήμα 6.19. Το προφίλ μίας συμπαγούς

ράβδου μεγάλου μήκους a x b είναι η

διατομή των δύο επίπεδων τοίχων πάχους

a και b.



Μεταφερόμενη θερμότητα

Έχει αποδειχθεί ότι:

Για πολυδιάστατα γεωμετρικά σχήματα που σχηματίζονται από

την τομή μονοδιάστατων γεωμετρικών σχημάτων 1, 2 ή και 3

ισχύουν οι εξισώσεις:

Για διδιάστατο σχήμα:

Για τριδιάστατο σχήμα:

Δεδομένα:

• Κύλινδρος από ανοξείδωτο χάλυβα AISI 304 μήκους 15 cm

και διαμέτρου D=10cm βγαίνει από κλίβανο με ομοιόμορφη

θερμοκρασία 600oC.

• Ο άξονας αφήνεται να ψυχθεί αργά σε θάλαμο με

θερμοκρασία 200oC με μέσο συντελεστή μεταφοράς

θερμότητας h=40 W/(m2oC)

Ζητείται

(α) Η θερμοκρασία στο κέντρο του κυλίνδρου 45 min μετά την

έναρξη της διαδικασίας ψύξης

(β) Το ποσό θερμότητας που έχει μεταφερθεί κατά τη διάρκεια

των 45 min.

Κύλινδρος από

ανοξείδωτο χάλυβα 304

h =40 W/(m2 oC)

θ= 200οC

θi = 600oC

D = 10 cm

L=15 cm

Ιδιότητες:

λ=19.8 W/(moC),

Cp=557 J/(kgoC),

ρ=7900 kg/m3

α=λ/(ρCp)=4.50x10-6 m2/s


Παράδειγμα 6.5: Ψύξη κυλίνδρου μικρού μήκους (1/4)



9.9hr

λ

Bi

1

o

86.4r

tαt

2

o

*



h =40 W/(m2 oC)

θ= 200οC

θi = 600oC

D = 10 cm

L=15 cm

Ιδιότητες:

λ=19.8 W/(moC),

Cp=557 J/(kgoC),

ρ=7900 kg/m3

α=λ/(ρCp)=4.50x10-6 m2/s

Λύση:

(α) Η θερμοκρασία στο κέντρο του κυλίνδρου σε t =45 min

α1. Για κύλινδρο μεγάλου μήκους (από Παράδειγμα 2.20):

4.0θθ

θ)t,0(θ)t,0(Θ

i

κυλ*

α2. Αντίστοιχα υπολογίζεται για μεγάλο επίπεδο τοίχο πάχους

L=2xo=15 cm:

6.6hx

λ

Bi

1

o

16.2x

tαt

2

o

*

8.0θθ

θ)t,0(θ)t,0(Θ

i

τοιχ*

Επομένως: 32.08.04.0)t,0(Θ)t,0(ΘΘ τοιχ*

κυλ*

ολ*

)200600(32.0200)θθ(Θθ)t,0,0(θ iολ* C328)t,0,0(θ o







h =40 W/(m2 oC)

θ= 200οC

θi = 600oC

D = 10 cm

L=15 cm

Ιδιότητες:

λ=19.8 W/(moC),

Cp=557 J/(kgoC),

ρ=7900 kg/m3

α=λ/(ρCp)=4.50x10-6 m2/s

Λύση:

(β) Ποσό θερμότητας που έχει μεταφερθεί σε t =45 min

β1. Για κύλινδρο μεγάλου μήκους (από Παράδειγμα 2.20):

6.0Q

Q

κυλmax

t

β2. Αντίστοιχα για μεγάλο επίπεδο τοίχο πάχους L=2xo=15 cm:

0.1019.9

1

λ

hrBi o

05.0tBiλ

tαh *2

2

2

86.4r

tαt

2

o

*

3.0Q

Q

κυλmax

t

0.1526.6

1

λ

hxBi o

05.0tBiλ

tαh *2

2

2

16.2x

tαt

2

o

*



Επομένως:





h =40 W/(m2 oC)

θ= 200οC

θi = 600oC

D = 10 cm

L=15 cm

Ιδιότητες:

λ=19.8 W/(moC),

Cp=557 J/(kgoC),

ρ=7900 kg/m3

α=λ/(ρCp)=4.50x10-6 m2/s

Λύση:


6.0Q

Q

κυλmax

t

3.0

Q

Q

κυλmax

t

72.06.013.06.0Q

Q1

Q

Q

Q

Q

Q

Q

1max2max1maxD2max

Για το διδιάστατο σχήμα:

D2max,D2 Q72.0Q

)θθ(mCQ ipD2max, kg31.9)m15.0()m05.0(π)m/kg7900(Vρm 23

C)200600()CkgkJ557.0()kg31.9(Q o1o1

D2max,

kJ2074Q D2max,

kJ1493Q D2





Δεδομένα:

• Το πρόβλημα που παρουσιάζεται στο παράδειγμα 6.5.

Ζητείται

Να αξιολογηθεί η δυνατότητα εφαρμογής της μεθόδου

σώματος αμελητέας αντίστασης αγωγής και να υπολογιστούν

και πάλι:

(α) Η θερμοκρασία του κυλίνδρου 45 min μετά την έναρξη της

διαδικασίας ψύξης

(β) Το ποσό θερμότητας που έχει μεταφερθεί κατά τη διάρκεια

των 45 min.



h =40 W/(m2 oC)

θ= 200οC

θi = 600oC

D = 10 cm

L=15 cm

Ιδιότητες:

λ=19.8 W/(moC),

Cp=557 J/(kgoC),

ρ=7900 kg/m3

α=λ/(ρCp)=4.50x10-6 m2/s


Παράδειγμα 6.6: Ψύξη κυλίνδρου μικρού μήκους – μέθοδος σώματος

αμελητέας αντίστασης αγωγής (1/4)

6-32



Λύση:



h =40 W/(m2 oC)

θ= 200οC

θi = 600oC

D = 10 cm

L=15 cm

Ιδιότητες:

λ=19.8 W/(moC),

Cp=557 J/(kgoC),

ρ=7900 kg/m3

α=λ/(ρCp)=4.50x10-6 m2/s

1.0λ

hxBi 0

A

Vx0

Προϋπόθεση για την εφαρμογή της μεθόδου:

όπου:

2

33

2

2

0m0628.0

m10178.1

Lrπ2rπ2

Lrπ

A

Vx

m01876.0x0

1.00379.0)Cm/(W8.19

m01876.0)Cm/(W40

λ

hxBi

o

o2

0




6-33



Λύση:



h =40 W/(m2 oC)

θ= 200οC

θi = 600oC

D = 10 cm

L=15 cm

Ιδιότητες:

λ=19.8 W/(moC),

Cp=557 J/(kgoC),

ρ=7900 kg/m3

α=λ/(ρCp)=4.50x10-6 m2/s

1.00379.0Bi

(α) Η θερμοκρασία του κυλίνδρου σε t =45 min

T/t

i

eθθ

θθ

hA

mCpT

)m0628.0())Cm/(W40(

))Ckg/(J557()m10178.1()m/kg7900(

hA

VCpρ

hA

mCpT

2o2

o333

s5.2063T

270.0)31.1exp()s5.2063

min/s60min45exp()

T

texp(

θθ

θθ

i

θ)θθ(270.0θ iC1.308θ o




6-34



Σύγκριση των δύο επιλύσεων

Λύση:



h =40 W/(m2 oC)

θ= 200οC

θi = 600oC

D = 10 cm

L=15 cm

Ιδιότητες:

λ=19.8 W/(moC),

Cp=557 J/(kgoC),

ρ=7900 kg/m3

α=λ/(ρCp)=4.50x10-6 m2/s

1.00379.0Bi

(α) Η θερμοκρασία του κυλίνδρου σε t =45 min C1.308θ o


C)1.308600()C/J6.5183()θθ(mCpQ oo

ti

kJ3.1513Q

θ Q

Διαγράμματα

Heisler-Gröber 328 oC 1493 kJ

Προσέγγιση σώματος

αμελητέας αντίστασης αγωγής 308 oC 1513 kJ




6-35



Κατάλογος Αναφορών Σχημάτων (1/3)

Σχήμα 6.1. Αναπαράσταση κατανομής θερμοκρασιών σε διάφορους χρόνους (α) σε σώμα αμελητέας

αντίστασης αγωγής, (β) όταν η αντίσταση αγωγής είναι σημαντική σε σύγκριση με την αντίσταση συναγωγής,

Παπασιώπη Νυμφοδώρα (Προσωπικό αρχείο), Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική

Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 2005.

Σχήμα 6.2. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα 6.1., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική


Σχήμα 6.3. Ημι-άπειρο σώμα., Παπασιώπη Νυμφοδώρα (Προσωπικό αρχείο).

Σχήμα 6.4. Διάγραμμα μεταβολής αδιάστατης θερμοκρασίας συναρτήσει παραμέτρων Φ και ξ για την

μεταβατική αγωγή σε ημι-άπειρο σώμα., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας»,

Εκδόσεις ΕΜΠ, 1982.

Σχήμα 6.5. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα 6.2., Παπασιώπη Νυμφοδώρα (Προσωπικό αρχείο).

Σχήμα 6.6. Διαγράμματα Heisler και Gröber για (α) μεγάλο επίπεδο τοίχο, (β) κύλινδρο μεγάλου μήκους, (γ)

σφαίρα., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 2005.

Σχήμα 6.7. Μεταβολή της θερμοκρασίας με τον χρόνο στο επίπεδο συμμετρίας., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β.,

Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 1982.

Σχήμα 6.8. Μεταφερόμενη θερμότητα ως συνάρτηση του χρόνου., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις

«Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 1982.


Σχήμα 6.9. Θερμοκρασία σε άλλες θέσεις σε σχέση με την θερμοκρασία στο επίπεδο συμμετρίας., Κουμούτσος

Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 1982.

Σχήμα 6.10. Μεταβολή της θερμοκρασίας με τον χρόνο στον άξονα συμμετρίας., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β.,

Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 1982.



Σχήμα 6.12. Θερμοκρασία σε άλλες θέσεις σε σχέση με την θερμοκρασία στον άξονα συμμετρίας., Κουμούτσος

Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 1982.

Σχήμα 6.13. Μεταβολή της θερμοκρασίας με τον χρόνο στο κέντρο., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις




Σχήμα 6.15. Θερμοκρασία σε άλλες θέσεις σε σχέση με την θερμοκρασία στο κέντρο., Κουμούτσος Ν.,

Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 1982.

Σχήμα 6.16. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 6.3., Παπασιώπη Νυμφοδώρα (Προσωπικό αρχείο).



Σχήμα 6.18. Ένας κύλινδρος μικρού μήκους με r0 και ύψος α είναι η διατομή ενός κυλίνδρου μεγάλου μήκους

με ακτίνα r0 και ενός επίπεδου τοίχου πάχους α., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική


Σχήμα 6.19. Το προφίλ μίας συμπαγούς ράβδου μεγάλου μήκους a x b είναι η διατομή των δύο επίπεδων τοίχων

πάχους a και b., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 2005.



Κατάλογος Αναφορών Πινάκων

Πίνακας 6.1. Πίνακας αδιαστατοποιημένων μεταβλητών, Παπασιώπη Νυμφοδώρα (Προσωπικό αρχείο).

Πίνακας 6.2. Πίνακας οριακών συνθηκών, Παπασιώπη Νυμφοδώρα (Προσωπικό αρχείο).

Πίνακας 6.3. Συνάρτηση σφάλματος erfΦ, Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μετααφορά

θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 1982.

Χρηματοδότηση

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια

του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει

χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού

υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού

Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και

συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση

(Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ Ενόη 2α 6€¦ · Ημι-άπειρο σώμα:...

Documents

Transcript of ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ Ενόη 2α 6€¦ · Ημι-άπειρο σώμα:...