Moment siły, II zasada dynamiki Newtona w ruchu obrotowym...
Transcript of Moment siły, II zasada dynamiki Newtona w ruchu obrotowym...
Wykład 16
Moment siły, II zasada dynamiki Newtona w ruchu
obrotowym bryły sztywnej
Ruch translacyjny i obrotowy bryły sztywnej –porównanie równań
Ruch postępowy (translacyjny) Ruch obrotowy
• położenie, x
• prędkość liniowa, v = dx/dt
• przyspieszenie, a = dv/dt
• masa, m
• energia kinetyczna, Ek = ½ mv2
• siła, F = ma
• pęd, p = mv
• kąt, θ
• prędkość kątowa, ω = dθ/dt
• przyspieszenie kątowe, ε = dω/dt
• moment bezwładności, I
• energia kinetyczna, Ek = ½ Iω2
• xxxxxxxxxx
• xxxxxxxxxx
Moment siły (z ang. torque, inna nazwa moment obrotowy)
Siły zmieniają ruch translacyjny – odpowiednikiem siły w ruchu obrotowym jest moment siły.Tak jak siła powoduje przyspieszenie liniowe, tak moment siły powoduje przyspieszenie kątowe.
Zmiana przyspieszenia kątowego (a więc i moment siły) ruchu obrotowego drzwi zależy od:(i) wartości siły(ii) punktu przyłożenia siły (tj. odległości od osi obrotu)(iii) od kierunku siły
Fizyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax
Moment siły
!τ =!r ×!FMoment siły F względem punktu O na rysunku poniżej:
τ = Fr⊥ = Fr sinθMoment siły jest wektorem o wartości:
Kierunek wektora:
oraz
Zwrot określamy regułą śruby prawoskrętnej.
!τ ⊥!r
!τ ⊥
!F.
Fizyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax
Moment siły zawsze definiujemy względem określonego punktu w przestrzeni.
Moment siły - przykładWyznaczyć wartość, kierunek i zwrot całkowitego momentu siły względem środka cienkiej tarczy:
Fizyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax
F1 = 20N F2 = 30N F3 = 30N
⊙ !τ1
⊗ !τ 2
!τ1 =!r ×!F1
!τ 2 =
!r ×!F2
!τ 3 =!r ×!F3
r = 0.5 m
Za „dodatni” przyjmujemy zwykle kierunek prędkości kątowej.
τ wyp = τ1 −τ 2 = −10 N ⋅m
τ 2 = rF2 sin90! = 15 N ⋅m
τ 3 = rF3 sin180! = 0
τ1 = rF1 sin150! = 5 N ⋅m
Moment siły - przykład
O
!τ1 =!r1 ×!F1
!τ 2 =
!r2 ×!F2
τ1 = F1r1 = 750 N ⋅m τ 2 = F2r2 = −750 N ⋅m
τ 2 ⊗ τ1⊙
τwyp = τ1 −τ 2 = 0
Wypadkowy momenty sił liczony względem punktu na osi obrotu:
Słuszne dla momentów sił względem dowolnego punktu na stałej osi obrotu.
ω = 0układ spoczywa
II zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego
!τ wyp = I
!ε
!Fwyp = m
!a
Ruch translacyjny Ruch obrotowy
!Fwyp
!F
!R
m ⊙
!τ wyp
I
Wypadkowy moment siły liczony względem dowolnego punktu leżącego na stałej osi obrotu:
a
⊙ε
Maszyna Atwooda – przypomnij sobie wykład o siłach
Założenia:• sznurek bez masowy• brak tarcia na krążku • m2 > m1
Znaleźć przyspieszenie ciężarków.
• promień bloczka R• masa bloczka M• moment bezwładności
walca: I = ½ MR2
sznurek nie ślizga się – bloczek obraca się
R
m2g
m1g
N1
N2
N1 N2
!τ1 =
!R ×!N1
⊙
!τ 2 =
!R ×!N2
⊗
Zasady dynamiki Newtona z uwzględnieniem ruchu obrotowego - przykład, wyścig pełnego i pustego walca
https://www.dummies.com/education/science/physics/calculating-rotational-kinetic-energy-on-a-ramp/
αZakładamy, że ruch odbywa się bez poślizgu!
m!g
m!g sinα
m!g cosα
!TS
!N
α
α !R
a = mgR2 sinα
I + mR2
Ipelny =
12
mR2 , Ipusty = mR2
ε = a
R
mg sinα −TS = mamg cosα = N
Ruch translacyjny:
τ = TS Rsin90! = Iε
Ruch obrotowy:
!τ =!R ×!TS
⊗ !τ
apelny =
23
g sinα > apusty =12
g sinα
Walec pełny wygra!
Dlaczego toczące się ciało spowalnia – przecież moment siły tarcia statycznego nadaje przyspieszenie kątowe, które
zwiększa prędkość kątową?
W rzeczywistym świecie ciało i podłoże ulegają lekkiej deformacji i obszar kontaktu nie jest pojedynczym punktem (wychodzimy po za model bryły sztywnej). Ciało mocniej naciska na podłoże „z przodu” (w kierunku ruchu) niż „z tyłu” – w konsekwencji wypadkowa siła reakcji na nacisk jest źródłem momentu siły, który spowalnia ruch obrotowy – jest to idea stojąca za pojęciem tarcia tocznego.
Siły reakcji na nacisk
podłoże
Wahadło fizyczne (cienka deseczka)
Wahadło fizyczne to bryła sztywna zawieszona na stałej osi poziomej w polu grawitacyjnym.
• Trzpień działa na listwę siłą, ale moment tej siły względem punktu P (oś obrotu) wynosi 0.
• Niezerowy moment siły względem punktu P pochodzi tylko od siły ciężkości, która umownie przyłożona jest do środka masy
!τ P =
!r × m
!g
mg
P SM
(środek masy)
l(trzpień,oś obrotu)
θ
r τ P = mgr sinθ
τ P ≈ mgrθPrzybliżenie małego kąta (θ << 1 rad):
τ P = − IPε = − IP!ω = − IP
!!θII zasada dynamiki Newtona:
„-” bo moment siły skierowany zawsze przeciwnie do wektora przesunięcia kątowego
!!θ + mgr
IP
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟θ = 0
IP = 1
12ml2 + mr 2
T = 2π
IP
mgr= 2π
112 l2 + r 2
gr
Równanie oscylatora harmonicznego:
Z twierdzenia Steinera: Okres wahań:
Wahadło fizyczne (hula hop)
Wahadło fizyczne to bryła sztywna zawieszona na stałej osi poziomej w polu grawitacyjnym.
• Trzpień działa na hula hop siłą, ale moment tej siły względem punktu P (oś obrotu) wynosi 0.
• Niezerowy moment siły względem punktu P pochodzi tylko od siły ciężkości, która umownie przyłożona jest do środka masy
!τ P =
!r × m
!g τ P = mgr sinθ
τ P ≈ mgrθPrzybliżenie małego kąta (θ << 1 rad):
τ P = − IPε = − IP!ω = − IP
!!θII zasada dynamiki Newtona:
„-” bo moment siły skierowany zawsze przeciwnie do wektora przesunięcia kątowego
!!θ + mgr
IP
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟θ = 0
IP = mr 2 + mr 2
T = 2π
I p
mgr= 2π 2r
g
Równanie oscylatora harmonicznego:
Z twierdzenia Steinera:Okres wahań:
mg
P
SM(środek masy)
(trzpień,oś obrotu)
θ r
r
Ruch translacyjny i obrotowy bryły sztywnej –porównanie równań
Ruch postępowy (translacyjny) Ruch obrotowy
• położenie, x
• prędkość liniowa, v = dx/dt
• przyspieszenie, a = dv/dt
• masa, m
• energia kinetyczna, Ek = ½ mv2
• siła, F = ma
• pęd, p = mv
• kąt, θ
• prędkość kątowa, ω = dθ/dt
• przyspieszenie kątowe, ε = dω/dt
• moment bezwładności, I
• energia kinetyczna, Ek = ½ Iω2
• moment siły (względem osi obrotu) τ = Iε
• xxxxxxxxx