Model-Model Distribusi Probabilitas

12 September 2006

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

1 / 25

Model EksponensialFungsi Kepadatan Probabilitas fX (x ) = e x 0 x 0 x yang lain

Fungsi distribusi probabilitas adalah integral dari fungsi kepadatan:x

FX (x ) =

e u du

Fungsi Distribusi Probabilitas FX (x ) = 1 e x 0 x 0 x yang lain

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

2 / 25

Model Eksponensial

Moment ke-n

Sehingga dapat dihitung: x n e x dx Mean X = E [X ] = dx Varians2 X =

E [X n ] = =0

x e

n

x

1

=

n! n! = n n +1

1 2

Pemakaian Life time (umur) komponen atau peralatan atau sistem Beda waktu antar kejadian

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

3 / 25

Model Eksponensial: ContohUmur sejenis komponen elektronika acak dengan distribusi eksponensial dengan mean 100 jam. Tentukan keandalannya dapat dipakai selama 50 jam dan tentukan pula tiap berapa jam komponen tersebut harus diganti jika keandalan komponen tidak boleh kurang dari 0.8. Jawab: Fungsi keandalan [R (t )] merupakan probabilitas sampai saat t komponen tersebut masih belum rusak, dinyatakan dengan R (t ) = P [T > t ] dan plot R (t ) terhadap t ada pada gambar di bawah.R(t)

t

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

4 / 25

Model Eksponensial: ContohKeandalan dapat dipakai selama 50 jam R (50) = P [T > 50] = 1 FT (50) = 1 (1 e 50/100 ) = e 0.5 Lama pemakaian jika keandalan harus 0.8 R (t ) 0.8 t ln 0.8 100 t 100 ln 0.8 t 22.3 jam e t /100 0.8

Maka komponen harus diganti setiap 22.3 jam sehingga keandalannya tidak kurang dari 0.8.(Lab Teknik Sistem) Proses Stokastik 12 September 2006 5 / 25

Model Erlang (n tahap)Fungsi Kepadatan Probabilitas n1 x (x ) e fX (x ) = (n 1)! 0

x 0,

n = 1, 2, . . .

x yang lain

Fungsi distribusi probabilitas dihitung denganx

FX (x ) =

(u )n1 e u du (n 1)! Momen-momennya n n var(X ) = 2 E [X ] =12 September 2006 6 / 25

Fungsi Distribusi Probabilitas 1 0(Lab Teknik Sistem)

FX (x ) =

(x )m e x m! m=0

n1

x 0 x yang lainProses Stokastik

Model Erlang (n tahap)

Pemakaian Model-model keandalan sistem Model-model sistem antrian

Contoh: Umur sejenis komponen elektronika adalah acak, dengan distribusi eksponensial dengan mean 100 jam . Berapa probabilitas komponen tersebut dapat dipakai lebih dari 150 jam. Dan bila tersedia suku cadang sebanyak 5 unit, berapa probabilitas suku cadang tersebut habis sebelum jam pemakaian yang ke 500.

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

7 / 25

Model Erlang (n tahap): ContohT 0 100 rusak T : var. acak umur

T : variabel acak umur berdistribusi eksponensial dengan mean 100, maka = 1 100

dan dapat dihitung FT (t ) = 1 e t = 1 e t /100 P [T > 150] = 1 P [T 150] = 1 FT (150) = 1 (1 e 150/100 ) = e 3/2 = 0.223

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

8 / 25

Model Erlang (n tahap): ContohX : variabel acak berdistribusi Erlang 5 tahap. Fungsi kerapatan dan distribusinya menjadi:X 0 500

fX (x ) =

1/100(x /100)4 e x /100 4!

04

x 0 x lainnya

FX (x ) = 1 Maka dapat dihitung: P [X 500] = FX (500) =1 5m e 5 m! m=04

(x /100)m e x /100 m! m=0

= 1 e 5

e0 e1 e2 e3 e4 + + + + 0! 1! 2! 3! 4!

=

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

9 / 25

Model WeibullFungsi Kepadatan Probabilitas bx b1 e x 0b

Momen-momennya (1 + 1/b ) 1/b (1 + 2/b ) 2 (1 + 1/b ) var(X ) = 2/b E [X ] = dimana:

fX (x ) =

x 0 x lainnya

Fungsi Distribusi Probabilitas 1 e x 0b

FX (x ) =

x 0 x lainnya

(n) =0

x n1 e x dx

= (n 1)! Pemakaian menyatakan umur peralatan elektromekanis seperti motor, generator, dan lainnya

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

10 / 25

Model Weibull: ContohSejenis komponen elektromekanik memiliki masa pakai berdistribusi Weibull dengan fungsi kepadatan: FT (t ) = 0.00002te 0.00001t ,2

t0

Tentukan keandalannya untuk pemakaian 50 jam terus menerus. Tentukan lama pemakaian maksimum supaya keandalannya tidak kurang dari 0,8. Jawab: Dari fungsi kepadatan didapatkan b = 2 dan = 0.00001 sehingga FT (t ) = 1 e 105 2

t

=

R (t ) = e 10

5 2

t

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

11 / 25

Model Weibull: Contoh

Keandalan pemakaian 50 jam R (50) = P [T > 50] = e 10 = 0.98 Lama dipakai jika keandalan 0.8 R (t ) 0.8 105 25

502

e 102

5 2

t

0.8

t ln 0.8

t 105 ln 0.8 t 149.4 jam

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

12 / 25

Model Gauss (Normal)Fungsi Kepadatan Probabilitas fX (x ) = untuk semua x2 Distribusi normal standar: X = 0 dan X =1 Jika tidak standar dilakukan normalisasi 2 X N (X , X ) Z =

Momen-momennya E [X ] = X2 var(X ) = X

12 2X

e

(x X )2 2 2 X

x X N (0, 1) X

Normalisasi distribusi Gauss P [X a] = P Z a X X

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

13 / 25

Model Gauss (Normal)2 Jika X N (X , X ) maka

E [(x X )n ] =

1 3 x (n 1) 2 0

n genap n ganjil

Sifat-sifat distribusi Normal1 2 3

P [X a] = 1 P [X a] P [X a] = P [X a] = 1P [X a] P [X a] = P [X a]a a

Pemakaian penyimpangan dari suatu nilai tertentu (kesalahan, noise, dan sebagainya) jumlahan dari banyak variabel acak.

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

14 / 25

Model Gauss (Normal): ContohTegangan acak dengan distribusi normal dengan mean 110 volt dan simpangan baku 10 volt dikenakan pada beban 1 k. Tentukan probabilitas beban tersebut menerima tegangan lebih dari 105 volt. Tentukan mean dan varians dari daya yang diterima beban tersebut. Jawab: V : variabel acak tegangan N (110, 102 ) P [V > 105] = P v 110 105 110 > 10 10

= P [Z > 0.5] = 1 P [Z < 0.5] = P [Z 0.5] = 0.69

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

15 / 25

Model Gauss (Normal): Contoh

V2 W = = 0.001V 2 R

E [W ] = E [0.001 V 2 ] = 0.001 E [V 2 ] = 0.001(var(V ) + E [V ]2 ) = 0.001(100 + 1102 ) = 12.2 [watt]

Diketahui: var(X 2 ) = 42 X var(X ) + 2 var(X ) Varians dari daya W adalah var(W ) = E [W 2 ] E [W ]2 Dimana E [W ] = E [(10 = 106 2 3

Maka dapat dihitung var(W ) var(W ) = var(103 V 2 ) = 106 var(V 2 ) = 106 (4 1102 100 + 2 100)

V ) ]4

2 2

= 4.84

[watt2 ]

E [V ]

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

16 / 25

Model PoissonMomen-momennya Fungsi Massa Probabilitas

P [X = n] =

e n! n = 0, 1, 2, . . .

n

E [X ] =n=

n P [X = n]

= var(X ) =

dimana adalah rata-rata banyaknya kejadian dalam satu selang waktu (persatuan waktu). Pemakaian menyatakan banyaknya kejadian yang muncul secara acak dalam satu interval waktusatu periode t 0 1 2 3 n

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

17 / 25

Model Poisson

Banyak kejadian Poisson dengan laju Beda waktu antara kejadian Eksponensial dengan mean (1/)Poisson (1 ) Poisson (1 + 2 ) Poisson (P ) Poisson ()

Poisson (2 )

Poisson ((1 P ))

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

18 / 25

Model Poisson: ContohSuatu jaringan dimodelkan sebagai berikut :Poisson 10/m 0.5 Poisson 20/m 0.4 Poisson 30/m 1 0.4B

0.5 0.2A

1 0.5 0.5 1

Berapa rata-rata banyaknya yang keluar dari node A tiap jam. Berapa probabilitas dalam satu detik ada 5 yang keluar lewat node A. Berapa probabilitas beda waktu antara dua yang keluar dari A lebih dari 5 detik.

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

19 / 25

Model Poisson: Contoh

Banyaknya yang keluar dari node A tiap jam: A = (20 + 10 0.5) 0.4 + 0.5 10 + (0.5 10 + 20) 0.2 = 20/menit = 20 60/jam = 1200/jam Probabilitas dalam 1 detik ada 5 yang keluar dari node A: A = 20/60 = 1/3 detik P [X = 5] = n e 1/35 e 1/3 = n! 5! = 0.000025

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

20 / 25

Model Poisson: Contoh

Probabilitas antara dua yang keluar dari node A lebih dari 5 detik T : banyaknya kejadian Poisson dengan rate = 1/3 detik Beda waktu antar kejadian eksponensial dengan mean = 1/ = 3 detik

P [T > 5] = 1 P [t 5] = 1 FT (5) = 1 (1 e t ) = e 1/3(5) = 0.19

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

21 / 25

Model BinomialFungsi Massa Probabilitas m n p (1 p )mn n

Momen-momennya E [X ] = m p var(X ) = n p (1 p )

P [X = n] =

n = 0, 1, 2, . . . dimanam Cn

=

m n

=

m! m!(m n)!

Pemakaian menyatakan banyaknya sukses dari m eksperimen yang dilakukan secara independen dengan tiap eksprimen memiliki probabilitas sukses sama dengan p

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

22 / 25

Model Binomial: ContohContoh: Untuk mensupply daya dipabrik yang minimal membutuhkan 180 kW dipakai tiga generator yang masing-masingnya berkapasitas 100 kW dengan keandalan 0.8. Berapa probabilitas sistem dengan 3 generator ini dapat mencatu daya pada saat dibutuhkan? Jawab: Sistem ini merupakan sistem 2 dari 3 (2 out of 3 system) S : event sistem dapat mencatu beban X : banyaknya generator yang baik P [S ] = P [X 2] = P [x = 2] + P [x = 3] = 3 3 0.82 (0.2)1 + 0.83 (0.2)0 2 3

= 0.896(Lab Teknik Sistem) Proses Stokastik 12 September 2006 23 / 25

Model Binomial: ContohBerapa saluran yang harus disiapkan untuk melayani 10 pemakai supaya dengan probabilitas minimumum 0.8 pada saat diperlukan tiap pemakai dapat mempergunakan saluran tersebut. Pada jam sibuk probabilitas pemakai menggunakan saluran adalah 0.6. Jawab : Banyaknya sukses jumlah saluran = n Pemakai dapat dilayani pemakai n Misal X adalah variabel acak dari pemakai yang ingin menggunakan saluran. P [dapat dilayani] 0.8 P [yang ingin menggunakan n] 0.8 P [X n] 0.8 atau P [X > n] 0.2

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

24 / 25

Model Binomial: Contoh

Misal n = 8 P [x = 9] + P [x = 10] 0.2 10 10 0.69 (0.4)1 + 0.61 0(0.4)0 0.2 9 9 0.2 (trial and error . . .!)

(Lab Teknik Sistem)

Proses Stokastik

12 September 2006

25 / 25