model distribusi.pdf

Model-Model Distribusi Probabilitas

12 September 2006

(Lab Teknik Sistem) Proses Stokastik 12 September 2006 1 / 25

Model Eksponensial

Fungsi Kepadatan Probabilitas

fX (x) =

λ e−λx x ≥ 0

0 x yang lain

Fungsi distribusi probabilitas adalah integral dari fungsi kepadatan:

FX (x) =

∫ x

−∞λ e−λu du

Fungsi Distribusi Probabilitas

FX (x) =

1− e−λx x ≥ 0

0 x yang lain


Model Eksponensial

Moment ke-n

E [X n] =

∫ ∞

−∞xn λ e−λx dx

= λ

∫ ∞

0

xn e−λx dx

= λn!

λn+1=

n!

λn

Sehingga dapat dihitung:

Mean

µX = E [X ] =1

λ

Varians

σ2X =

1

λ2

Pemakaian

Life time (umur) komponen atau peralatan atau sistem

Beda waktu antar kejadian


Model Eksponensial: Contoh

Umur sejenis komponen elektronika acak dengan distribusi eksponensial denganmean 100 jam. Tentukan keandalannya dapat dipakai selama 50 jam dantentukan pula tiap berapa jam komponen tersebut harus diganti jika keandalankomponen tidak boleh kurang dari 0.8.

Jawab:

Fungsi keandalan [R(t)] merupakan probabilitas sampai saat t komponen tersebutmasih belum rusak, dinyatakan dengan R(t) = P[T > t] dan plot R(t) terhadap tada pada gambar di bawah.

R(t)

t


Model Eksponensial: Contoh

Keandalan dapat dipakai selama 50 jam

R(50) = P[T > 50]

= 1− FT (50) = 1− (1− e−50/100)

= e−0.5

Lama pemakaian jika keandalan harus ≥ 0.8

R(t) ≥ 0.8 −→ e−t/100 ≥ 0.8

− t

100≥ ln 0.8

t ≤ −100 ln 0.8

t ≤ 22.3 jam

Maka komponen harus diganti setiap 22.3 jam sehingga keandalannya tidakkurang dari 0.8.


Model Erlang (n tahap)


fX (x) =

λ(λx)n−1e−λx

(n − 1)!x ≥ 0, n = 1, 2, . . .

0 x yang lain

Fungsi distribusi probabilitas dihitung dengan

FX (x) =

∫ x

−∞

λ(λu)n−1e−λu

(n − 1)!du


FX (x) =

1−n−1∑m=0

(λx)me−λx

m!x ≥ 0

0 x yang lain

Momen-momennya

E [X ] =n

λ

var(X ) =n

λ2


Model Erlang (n tahap)

Pemakaian

Model-model keandalan sistem

Model-model sistem antrian

Contoh:Umur sejenis komponen elektronika adalah acak, dengan distribusi eksponensialdengan mean 100 jam . Berapa probabilitas komponen tersebut dapat dipakailebih dari 150 jam. Dan bila tersedia suku cadang sebanyak 5 unit, berapaprobabilitas suku cadang tersebut habis sebelum jam pemakaian yang ke 500.


Model Erlang (n tahap): Contoh

T T : var. acak umur

0 100 rusak

T : variabel acak umur berdistribusi eksponensial dengan mean 100, maka

λ =1

100

dan dapat dihitung FT (t) = 1− e−λt = 1− e−t/100

P[T > 150] = 1− P[T ≤ 150]

= 1− FT (150)

= 1− (1− e−150/100)

= e−3/2 = 0.223


Model Erlang (n tahap): Contoh

X

0 500

X : variabel acak berdistribusi Erlang 5 tahap.Fungsi kerapatan dan distribusinya menjadi:

fX (x) =

1/100(x/100)4 e−x/100

4! x ≥ 0

0 x lainnya

FX (x) = 1−4∑

m=0

(x/100)m e−x/100

m!

Maka dapat dihitung:

P[X ≤ 500] = FX (500)

= 1−4∑

m=0

5m e−5

m!

= 1− e−5

(e0

0!+

e1

1!+

e2

2!+

e3

3!+

e4

4!

)= · · ·


Model Weibull


fX (x) =

λbxb−1 e−λxb

x ≥ 0

0 x lainnya


FX (x) =

1− e−λxb

x ≥ 0

0 x lainnya

Momen-momennya

E [X ] =Γ(1 + 1/b)

λ1/b

var(X ) =Γ(1 + 2/b)− Γ2(1 + 1/b)

λ2/b

dimana:

Γ(n) =

∫ ∞

0

xn−1 exdx

= (n − 1)!

Pemakaian

menyatakan umur peralatan elektromekanis seperti motor, generator, dan lainnya


Model Weibull: Contoh

Sejenis komponen elektromekanik memiliki masa pakai berdistribusi Weibulldengan fungsi kepadatan:

FT (t) = 0.00002te−0.00001t2

, t ≥ 0

Tentukan keandalannya untuk pemakaian 50 jam terus menerus.

Tentukan lama pemakaian maksimum supaya keandalannya tidak kurang dari0,8.

Jawab:Dari fungsi kepadatan didapatkan b = 2 dan λ = 0.00001 sehingga

FT (t) = 1− e−10−5t2

=⇒ R(t) = e−10−5t2


Model Weibull: Contoh

Keandalan pemakaian 50 jam

R(50) = P[T > 50]

= e−10−5502

= 0.98

Lama dipakai jika keandalan ≥ 0.8

R(t) ≥ 0.8 → e−10−5t2

≥ 0.8

−10−5t2 ≥ ln 0.8 → t2 ≤ −10−5 ln 0.8

t ≤ 149.4 jam


Model Gauss (Normal)


fX (x) =1√

2πσ2X

e−(x−µX )2

2σ2X

untuk semua x

Momen-momennya

E [X ] = µX

var(X ) = σ2X

Distribusi normal standar: µX = 0 dan σ2X = 1

Jika tidak standar dilakukan normalisasi

X ∼ N(µX , σ2X )←→ Z =

x − µX

σX∼ N(0, 1)

Normalisasi distribusi Gauss

P[X ≤ a] = P

[Z ≤ a− µX

σX

]


Model Gauss (Normal)

Jika X ∼ N(µX , σ2X ) maka

E [(x − µX )n] =

1× 3× · · · × x(n − 1)σ2 n genap

0 n ganjil

Sifat-sifat distribusi Normal

1 P[X ≥ a] = 1− P[X ≤ a]

2 P[X ≤ −a] = P[X ≥ a] = 1−P[X ≤ a]

3 P[X ≥ a] = P[X ≤ −a]

a−a

Pemakaian

penyimpangan dari suatu nilai tertentu (kesalahan, noise, dan sebagainya)

jumlahan dari banyak variabel acak.


Model Gauss (Normal): Contoh

Tegangan acak dengan distribusi normal dengan mean 110 volt dan simpanganbaku 10 volt dikenakan pada beban 1 kΩ.

Tentukan probabilitas beban tersebut menerima tegangan lebih dari 105 volt.

Tentukan mean dan varians dari daya yang diterima beban tersebut.

Jawab:V : variabel acak tegangan ∼ N(110, 102)

P[V > 105] = P

[v − 110

10>

105− 110

10

]= P[Z > −0.5] = 1− P[Z < −0.5]

= P[Z ≤ 0.5]

= 0.69


Model Gauss (Normal): Contoh

W =V 2

R= 0.001V 2

E [W ] = E [0.001 V 2] = 0.001 E [V 2]

= 0.001(var(V ) + E [V ]2)

= 0.001(100 + 1102) = 12.2 [watt]

Diketahui: var(X 2) = 4µ2X · var(X ) + 2 var(X )

Varians dari daya W adalah

var(W ) = E [W 2]− E [W ]2

Dimana

E [W 2] = E [(10−3 · V 2)2]

= 10−6 E [V 4]

Maka dapat dihitung var(W )

var(W ) = var(10−3 V 2) = 10−6 var(V 2)

= 10−6(4 · 1102 · 100 + 2 · 100)

= 4.84 [watt2]


Model Poisson

Fungsi Massa Probabilitas

P[X = n] =λne−λ

n!n = 0, 1, 2, . . .

Momen-momennya

E [X ] =∞∑

n=−∞n P[X = n]

= λ

var(X ) = λ

dimana λ adalah rata-rata banyaknya kejadian dalam satu selang waktu(persatuan waktu).

Pemakaian

menyatakan banyaknya kejadian yang munculsecara acak dalam satu interval waktu

satu periode

10 2 3 nt


Model Poisson

Banyak kejadian ∼ Poisson dengan laju λBeda waktu antara kejadian ∼ Eksponensial dengan mean (1/λ)

Poisson (λ1)

Poisson (λ2)

Poisson (λ1 + λ2)

Poisson (Pλ)

Poisson (λ)

Poisson ((1− P )λ)


Model Poisson: Contoh

Suatu jaringan dimodelkan sebagai berikut :

Poisson

Poisson

Poisson

10/m

20/m

30/m

0.5

0.4

1

0.4

0.5 0.2 1

0.5

0.5

1

A

B

Berapa rata-rata banyaknya yang keluar dari node A tiap jam.

Berapa probabilitas dalam satu detik ada 5 yang keluar lewat node A.

Berapa probabilitas beda waktu antara dua yang keluar dari A lebih dari 5detik.



Banyaknya yang keluar dari node A tiap jam:

λA = (20 + 10× 0.5)× 0.4 + 0.5× 10 + (0.5× 10 + 20)× 0.2 = 20/menit

= 20× 60/jam

= 1200/jam

Probabilitas dalam 1 detik ada 5 yang keluar dari node A:

λA = 20/60 = 1/3 detik

P[X = 5] =λne−λ

n!=

1/35e−1/3

5!= 0.000025



Probabilitas antara dua yang keluar dari node A lebih dari 5 detik

T : banyaknya kejadian ∼ Poisson dengan rate = 1/3 detik

Beda waktu antar kejadian ∼ eksponensial dengan mean = 1/λ = 3 detik

P[T > 5] = 1− P[t ≤ 5]

= 1− FT (5)

= 1− (1− e−λt)

= e−1/3(5)

= 0.19


Model Binomial

Fungsi Massa Probabilitas

P[X = n] =

(mn

)pn(1− p)m−n

n = 0, 1, 2, . . .

Momen-momennya

E [X ] = m p

var(X ) = n p (1− p)

dimana

mCn =

(mn

)=

m!

m!(m − n)!

Pemakaian

menyatakan banyaknya sukses dari m eksperimen yang dilakukan secara independendengan tiap eksprimen memiliki probabilitas sukses sama dengan p


Model Binomial: Contoh

Contoh:

Untuk mensupply daya dipabrik yang minimal membutuhkan 180 kW dipakai tigagenerator yang masing-masingnya berkapasitas 100 kW dengan keandalan 0.8.Berapa probabilitas sistem dengan 3 generator ini dapat mencatu daya pada saatdibutuhkan?

Jawab:

Sistem ini merupakan sistem 2 dari 3 (2 out of 3 system)S : event sistem dapat mencatu bebanX : banyaknya generator yang baik

P[S ] = P[X ≥ 2]

= P[x = 2] + P[x = 3]

=

(32

)0.82(0.2)1 +

(33

)0.83(0.2)0

= 0.896



Berapa saluran yang harus disiapkan untuk melayani 10 pemakai supaya denganprobabilitas minimumum 0.8 pada saat diperlukan tiap pemakai dapatmempergunakan saluran tersebut. Pada jam sibuk probabilitas pemakaimenggunakan saluran adalah 0.6.

Jawab :

Banyaknya sukses ∼ jumlah saluran = nPemakai dapat dilayani ∼ pemakai ≤ nMisal X adalah variabel acak dari pemakai yang ingin menggunakan saluran.

P[dapat dilayani] ≥ 0.8

P[yang ingin menggunakan ≤ n] ≥ 0.8

P[X ≤ n] ≥ 0.8 atau P[X > n] ≤ 0.2



Misal n = 8

P[x = 9] + P[x = 10] ≤ 0.2(109

)0.69(0.4)1 +

(109

)0.610(0.4)0 ≤ 0.2

· · · ≤ 0.2 (trial and error . . .!)


model distribusi.pdf

Documents

Transcript of model distribusi.pdf