Misure di campi magnetici:bobine di Helmholtz e solenoidi

———- S.S., 12 Settembre 2007 ———-

Per il calcolo del campo magnetico prodotto da una corrente che fluisce in uncircuito di forma nota e utile servirsi di una relazione matematica nota come primaformula di Laplace:

d ~B =µ0

4πid~l ∧ ~r

r3(1)

Si tratta di una relazione vettoriale che fornisce il campo ~B prodotto da un elementodi circuito d~l, percorso da una corrente i, in un generico punto P posto a distanza ~r dad~l. La prima formula di Laplace non e una legge fisica, in quanto non consiste in unarelazione fra grandezze misurabili (in nessun procedimento di misura e possibile sepa-rare il contributo al campo dovuto al tratto infinitesimo di circuito d~l); e tuttavia unarelazione utile per calcolare, mediante operazione di integrazione, il campo prodottodalla corrente che scorre in un tratto finito di circuito.

Si voglia per esempio calcolare il campo prodotto da una spira circolare percorsada corrente, in un punto P che si trova sull’asse della spira (Fig. 1).

dB

spir

a

r

P x

θ

θR

dl

O

Figura 1: Calcolo del campo magnetico sull’asse di una spira circolare (un osser-vatore in P vede circolare la corrente sulla spira in senso antiorario). Il vettore d~l euscente dal piano del foglio.

Si osservi che e sufficiente considerare soltanto le componenti del campo direttelungo l’asse x, in quanto le altre componenti sono sicuramente nulle per ragioni disimmetria. Quindi si ha:

dBx = dB cos ϑ =µ0

4πi

r

r3dl

(

R

r

)

Integrando sulla variabile l (cioe lungo il percorso della corrente sulla spira) siottiene:

Bx =µ0

4πiR

r3

∫

dl =µ0

4πiR

r32πR =

µ0

2iR2

r3

1

Poiche r =√

R2 + x2, si puo scrivere:

Bx =µ0

2i

R2

(R2 + x2)3

2

(2)

L’eq. 2 puo essere utilizzata per il calcolo di campi magnetici prodotti da circuitidi forma piu complessa, come le bobine di Helmholtz o il solenoide. Le bobine diHelmholtz sono una coppia di bobine con alcune caratteristiche particolari (Fig. 2):

• hanno entrambe raggio R;

• hanno una lunghezza L molto piu piccola del raggio R;

• sono disposte, a distanza R, in modo che gli assi di simmetria delle due bobinesiano coincidenti;

• hanno lo stesso numero N di avvolgimenti;

• sono elettricamente collegate in serie, in modo che il verso di percorrenza delledue correnti sia lo stesso.

�� ��C

R

x C

Vista frontale Vista laterale

R

L

Figura 2: Schema di una coppia di bobine di Helmholtz

Vogliamo calcolare il campo prodotto da tali bobine nel punto C. Iniziamo con ilcalcolo del campo prodotto da una sola bobina in un punto generico P sull’asse. Si puoutilizzare l’eq. 2, visto che ciascuna bobina non e altro che la sovrapposizione di Nspire, tutte poste a distanza ~r dal punto P . Il campo risultante sara dato semplicementeda:

Bx =µ0

2i N

R2

(R2 + x2)3

2

Valutando il campo nel punto C (che ha ascissa x = R/2) e considerando anche ilcontributo (identico) della seconda bobina, si ha:

Bx = µ0 i NR2

(

R2 +R2

4

)3

2

=

(

4

5

)3

2 µ0 i N

R(3)

2

Il campo magnetico prodotto da una coppia di bobine di Helmholtz e piuttostouniforme, in un piano perpendicolare all’asse delle bobine e passante per il punto Cdi Fig. 2. Nella Fig. 3 e riportato con linea rossa l’andamento atteso del campo infunzione del raggio, proprio su tale piano. Il cerchio tratteggiato delimita la zona incui la variazione del campo generato e inferiore al 3% rispetto al campo massimo(quello nel punto C). Le bobine di Helmholtz vengono spesso utilizzate in situazioniin cui c’e bisogno di un campo uniforme in una zona estesa.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1B / BC

r / R1

Figura 3: Campo prodotto dalle bobine di Helmholtz in direzione assiale (cioe lungol’asse x mostrato in Fig. 2) in funzione della posizione lungo il raggio, nel pianopassante per il punto C e perpendicolare all’asse x.

Con considerazioni analoghe a quelle utilizzate nel calcolo che ha portato al risul-tato contenuto nell’eq. 3, e possibile determinare il campo magnetico prodotto in unpunto P sull’asse di un solenoide (Fig. 4) di lunghezza L e raggio R ∗.

∗Il calcolo che segue e basato sull’assunzione che l’avvolgimento del solenoide sia sufficientemente“compatto”, cioe che la distanza fra due spire contigue sia molto minore del raggio del solenoide e nonmaggiore delle dimensioni della sonda con cui si misura il campo.

3

���������������

���������������

R

L

P

du

θ0

uuuP

Figura 4: Schema di un solenoide di lunghezza L e raggio R.

Se le spire del solenoide sono avvolte con passo costante, grazie all’eq. 1 si puocalcolare il contributo al campo magnetico dovuto alle dN spire contenute nel trattodu (dN = N du/L, se N e il numero totale di avvolgimenti). Infatti, osservando chex = uP −u ( x e la distanza fra la spira che produce il campo e il punto in cui il campodeve essere calcolato), si puo riscrivere il contributo al campo della fettina di larghezzadu utilizzando l’eq. 2:

dBx =µ0

2iN

Ldu

R2

(R2 + (uP − u)2)3

2

Osservando poi che R/(uP − u) = tanϑ e dunque uP − u = R/ tanϑ, si puoscrivere:

du

dϑ=

R

tan2 ϑ

1

cos2 ϑ=

R

sin2 ϑSostituendo il differenziale du nella relazione precedente per dBx e notando che

R2 + (uP − u)2 = R2/ sin2 ϑ si ottiene:

dBx =µ0

2iN

L

R2

(

R2

sin2 ϑ

)3

2

(

R

sin2 ϑ

)

dϑ =µ0

2iN

Lsin ϑ dϑ

Per ottenere il campo prodotto da tutti gli avvolgimenti del solenoide, e ora suffi-ciente integrare sulla variabile ϑ, nell’intervallo angolare compreso fra ϑ1 e ϑ2 (Fig. 5).Il risultato e questo:

Bx =µ0

2iN

L

∫

ϑ2

ϑ1

sin ϑ dϑ =µ0

2iN

L(cos ϑ1 − cos ϑ2) (4)

Nel caso in cui il solenoide sia “indefinito” (cioe se L � R) per tutti i puntiP sull’asse del solenoide, purche non troppo vicini ai bordi, i due angoli ϑ1 e ϑ2

hanno valori non molto diversi da 0 e π rispettivamente, e il loro coseno puo essereragionevolmente approssimato con ±1. In questo caso la formula si semplifica, comee noto, e il valore del campo risulta uniforme lungo l’asse con valore:

Bx = µ0 iN

L(5)

4

R

L

Pθ

θ2

1

Figura 5: Individuazione degli “angoli–limite” per un punto P sull’asse di unsolenoide di lunghezza finita.

In Fig. 6 e riportato, in funzione della posizione lungo l’asse, il rapporto fra i valoridel campo forniti dalle eq. 4 e 5 per quattro solenoidi, con uguale lunghezza e raggiosensibilmente diverso. E molto istruttivo osservare quale rilevanza hanno in ciascuncaso gli effetti di bordo, e, di conseguenza, anche il valore del campo nel centro. Infatti,se la sonda di un teslametro viene posta al centro di un solenoide, il campo misuratorisultera pari a:

Bx = µ0 iN

Lcos ϑ

(

' µ0 iN

Lse L � R

)

dato che cos ϑ2 = − cos ϑ1 nel caso in cui P e al centro del solenoide. Si noti che inquesto caso l’angolo ϑ si puo ricavare in modo semplice dalla relazione tan ϑ = 2R/L.

Per mezzo del teorema della circuitazione e possibile trovare un’altra proprietacaratteristica di un solenoide indefinito: il campo all’interno e uniforme, cioe assumein qualsiasi punto il valore che ha sull’asse.

Misure in laboratorio Le misure di campi magnetici si basano solitamente su te-slametri corredati di sonde a effetto Hall. Il funzionamento di tali sonde puo essereillustrato facendo ricorso allo schema della Fig. 7. Una sonda di Hall e sostanzial-mente una placchetta di materiale semiconduttore dotata di quattro terminali. Dueterminali, A e B, su lati opposti della placchetta, servono a farvi circolare una correntecostante i, mediante un generatore di tensione continua con buone caratteristiche distabilita. Se la placchetta si trova in una regione in cui e presente un campo magne-tico, sui portatori di carica che la attraversano (elettroni che si muovono da B ad A)agisce la forza di Lorentz, che produce una deriva delle cariche libere in direzione or-togonale sia al campo magnetico che alla direzione individuata dal segmento AB. Se,come in figura, il campo magnetico e entrante nel piano del foglio, si ha come effettoun accumulo di carica negativa sulla parte superiore del rettangolo rispetto alla pagina(e un conseguente accumulo di carica positiva sulla parte inferiore). Si crea pertantoun campo elettrico fra questi due lati, proporzionale all’intensita del campo magneticonella direzione ortogonale al piano della placchetta, che tende a ristabilire la neutralitadelle due zone. Se con un voltmetro opportunamente sensibile si misura la differenza

5

Figura 6: Andamento del campo sull’asse di un solenoide, per alcuni valori delrapporto L/R.

+ +++

−− −−A

+−i

B

B

D

C

Figura 7: Schema di una sonda di Hall.

6

sonda assiale

sonda tangenziale

B

B

Figura 8: Direzione del campo misurato nelle sonde di Hall assiale e tangenziale.

di potenziale VCD e possibile risalire da questa al valore del campo magnetico che laproduce, dopo aver calibrato la sonda con campi d’intensita nota †.

In genere le sonde hanno un supporto di forma allungata, ad asticella, per consentir-ne l’inserimento anche in piccole cavita. Le sonde a effetto Hall forniscono l’intensitadel campo in una direzione fissata e, pertanto, esistono sonde assiali e sonde tangen-ziali a seconda della direzione del campo che si vuole misurare (Fig. 8); infatti, comeabbiamo detto, le possibilita di orientamento della sonda nello spazio sono talvoltalimitate dalla configurazione geometrica del sistema.

Nelle nostre esercitazioni in laboratorio si usa una sonda assiale. Nella prima mi-sura si esegue una mappatura radiale del campo prodotto dalle bobine di Helmholtz ‡,e ci si aspetta di ottenere un andamento simile a quello riportato in Fig. 3. A questoscopo ci si sposta, tenendo la sonda parallela all’asse di simmetria delle bobine, sulpiano mediano delle bobine e su piani paralleli a questo (per esempio a x = ±3 cm ea x = ±6 cm). I valori ottenuti vanno riportati in grafico in funzione della coordinatar. E anche possibile eseguire una mappatura del campo sull’asse delle bobine.

Nella seconda misura si determina il numero di avvolgimenti di un solenoide facen-dovi passare una corrente d’intensita nota § e misurando il campo magnetico prodottoall’interno. Per ottenere un risultato accurato e conveniente ripetere la misura per diver-si valori della corrente, eseguendo poi una interpolazione lineare dei valori di correntee campo magnetico per determinare il numero incognito di spire. Stimare l’incertezzanella misura e valutare se il solenoide assegnato puo essere considerato indefinito o se,invece, e necessario ricorrere alla formula valida nel caso generale, descritta dall’eq. 4.

†Se la corrente nei conduttori fosse trasportata da portatori con carica positiva anziche da elettroni,si accumulerebbero anch’essi nella parte superiore della placchetta. Per questo motivo, il segno delladifferenza di potenziale VCD ci dice in modo univoco qual e la carica dei portatori, ed e stato dimostratoche si tratta di particelle con carica negativa.

‡Le bobine di Helmholtz del laboratorio hanno N = 130 spire e raggio R = 15 cm.§Quando si fa passare una corrente piuttosto elevata (i ? 2 A) nelle bobine di Helmholtz e nel

solenoide e opportuno controllare che non ci sia un surriscaldamento del filo dovuto all’effetto Joule!

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