chap1 applications acoustiqueperso.univ-lemans.fr/~cpotel/chap7_equations_integrales... · 2007....

Chapitre 7

FORMULATION INTEGRALE DES PROBLEMES AUX LIMITES DE

L'ACOUSTIQUE EN MILIEUX FLUIDES

Formulation différentielle

Equation de propagation ( ) t,r,0t;rptc

12

2

20

∀∈∀=

∂∂

−∆ Vrr

Equation de Helmholtz ( ) V∈∀=ω

ω+∆ r,0;rP

c

2

0

rr

Pas de solution générale connue à l'équation de Helmholtz en dehors du cas de propagation unidimensionnel :

( ) ( ) ( )tcrngtcrnft;rp 00 +⋅+−⋅=rrrrr

Solutions à variables séparées ou représentation intégrale

Coordonnées cartésiennes

Coordonnées cylindriques

Coordonnées sphériques

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tTzZyYxXt;z,y,xp =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tTˆˆrRt;,,rp ψΨθΘ=ψθ

Solution à variables séparées ≡ Base sur laquelle toute solution de problème peut être exprimée

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tTzZˆrRt;z,,rp ψΨ=ψ

Modélisation d'un champ acoustique complexeSuperposition de modes adaptés à une géométrie donnée (ou à l'espace infini)

séries modales

Superposition d'ondes planes représentations de Fourier

Superposition de sources centrées

nombre fini de monopôle, dipôles, ... : série d'harmoniques sphériques

Superposition de rayons provenant de sources réelles ou images

Formulation intégrale des problèmes aux limites de l'acoustique

amont aval

monopôle

dipôle

+ -

+ -+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

fonction de Green

M 0 (x0,y0,z0)

M(x,y,z)

O

(S)

00 rrMMRrrr

−==

MOr =r

00 MOr =r

Monopôle et dipôle

( ) tirki

0tirki

0 ecosr

er4

De

re

z4D

t;rˆ00

ω−

ω−

θ

∂∂

π=

∂∂

π=ϕ

( ) τω−

∂∂

π=ϕ i

Rki0 e

Re

n4D

t;Rˆ0

( ) τω−

π−=ϕ i

Rki

0 eR4

eQt;Rˆ0

( ) ( )R

cR4

t;Rˆ 00 −τδ

π−=ϕQ

O

M(S+)

(S-)

+0M

0M

rr

0rr

Rr

udRRrrr

−=+

ud rudr0rr

+

nr

zen rr=

Fonction de Green : introductionP0P1

P2

M Le phénomène cherché au point M est la superposition des phénomènes élémentaires qui prennent naissance en P0, P1, ... et qui interfèrent en M.

Exemple ( ) ( ) ( ) i

t

t000000 tt,r,dtdt;rft,t;r,rGt;rp

i

≥∈⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠= VV

V

rrrrr

( ) =ω;rPr

somme de champs élémentaires (fonction de Green) émis par chaque élément (quasi ponctuel) de sources

champ de pression recueilli à l'instant t au point M ( r ) qui a été émis au point M0 ( r0 ) à l'époque antérieure t0

→

→

champ émis par la sourcequi occupe le volume dV0 située au point r0 et qui émet pendant la durée infinitésimale dt0.

→

( )00 t;rf r

produit de convolution

Fonction de Green : définition

( ) ( ) ( )002 rrr,rGk rrrr

−δ−=+∆

( ) ( ) ( )00002

2

20

ttrrt,t;r,rGtc

1−δ−δ−=

∂∂

−∆rrrr

La fonction de Green est la solution du problème élémentaire

( ) ( ) ( )000000 t,t;r,rht,t;r,rgt,t;r,rGrrrrrr

+=

conditions aux frontières AD LIBITUM

ou

solution particulière, dite fondamentale, solution de

( ) ( ) ( )00002

2

20

ttrrt,t;r,rgtc

1−δ−δ−=

∂∂

−∆rrrr

( ) ( ) ( )002 rrr,rgk

rrrr−δ−=+∆

conditions de Sommerfeld

ou

solution générale de l'équation homogène de façon à satisfaire àdes conditions aux frontières autres que Sommerfeld

Σ

V Σ

0nr

0nr

C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

1

Fonction de Green : solution fondamentaleLa solution fondamentale est solution de

( ) ( ) ( )00002

2

20

ttrrt,t;r,rgtc

1−δ−δ−=

∂∂

−∆rrrr

( ) ( ) ( )002 rrr,rgk

rrrr−δ−=+∆

conditions de Sommerfeld

ou

M 0 (x0,y0,z0)

M(x,y,z)

O

(S)

00 rrMMRrrr

−==

MOr =r

00 MOr =r

solution

( ) ( )R

cR4

t;Rˆ 00 −τδ

π−=ϕQ( ) ( )

0

00000 rr4

crrttt,t;r,rg rr

rrrr

−π

−−−δ=

( ) τω−

π−=ϕ i

Rki

0 eR4

eQt;Rˆ0

( )0

rrki

0 rr4er,rg

0

rrrr

rr

−π=

−−

champ créé au point r (M) par une

source ponctuelle située au point r0 (M0)→

→

ϕ−= ˆg

1Q 0 =10 =Q

Fonction de Green en espace semi-infini (1/6)

nr

z

M 0 (x0,y0,z0)

M(x,y,z)

(Σ) : paroi rigide

O

(S) : source ponctuelle

V

nr

z

M 0 (x0,y0,z0)

M(x,y,z)

(Σ) : paroi rigide

O

M'0 (x0,y0,-z0)

V

Le problème :

( ) ( )

=∀

≥∀∀

∗

=∂∂

∗

−δ−=+∆∗

0z;y,x

0z;y,x

Sommerfeld

0nG

rrGk 02 rr

nr

z

M 0 (x0,y0,z0)

M(x,y,z)

(Σ) : paroi rigide

O

(S) : source ponctuelle

( ) ( )

=∀

≥∀∀

∗

=∂∂

∗

−δ−=+∆∗

0z;y,x

0z;y,x

Sommerfeld

0nG

rrGk 02 rr

Dans tout l'espace (sans Σ) :

( ) ( ) ( )

=∀

∀

∗

=∂

Γ∂∗

−δ−−δ−=Γ+∆∗

,0z;y,x

,z,y,x

.Sommerfeld

0n

'rrrrk 002 rrrr

( ) ( )

∗−δ−=+∆∗

SommerfeldrrGk 0

2 rr

solution élémentaire :

( ) z,'R4

eR4

er,r'RkiRki

0 ∀π

+π

=Γ−−rr

( )R4

er,rgRki

0 π=

−rr ( ) 0z,'R4

eR4

er,rG'RkiRki

0 ≥∀π

+π

=−−rr

MAIS

Problème A Problème B

A

B


ce problème n'est pas un problème de Green dans tout l'espace

z

M 0 (x0,y0,z0)

M(x,y,z)

O

(S)(S')source image

M'0 (x0,y0,-z0)

r0→r'0

→

R'→

R→

espace physique

r→

V

Plus de paroi rigide mais ∂nG=0

V )im

Fonction de Green en espace semi-infini (3/6)Vérification de la condition aux frontières 0

nG

=∂∂ avec zen

rr−=

z

M 0 (x0,y0,z0)

M(x,y,z)

(S)

M'0 (x0,y0,-z0)

r0→r'0

→

R'→

R→

espace physique

r→

V

V )im

0nrO

( ) ( ) ( )20

20

200 zzyyxxrrR −+−+−=−=

rr

( ) ( ) ( )20

20

200 zzyyxx'rr'R ++−+−=−=

rr

( )'R4

eR4

er,rG'RkiRki

0 π+

π=

−−rr

zR ∂∂

( )

+

++

−

+

π−=

∂∂ −−

'Rzz

'Re

'R1ki

Rzz

Re

R1ki

41z,y,x;z,y,x

zG 0

'Rki0

Rki

000

z'R ∂∂

( ) 0z,y,x;0z,y,xzG

000 ==∂∂ ou ( ) 00z,y,x;z,y,x

zG

0000

==∂∂

Fonction de Green en espace semi-infini (4/6)Expression sur la paroi (R = R')

z

M 0 (x0,y0,z0)

M(x,y,z)

(S)

M'0 (x0,y0,-z0)

r0→r'0

→

R'→

R→

espace physique

r→

V

V )im

0nrO

( ) ( ) ( )20

20


rr

( ) ( ) ( )20

20

200 zzyyxx'rr'R ++−+−=−=

rr

( )'R4

eR4

er,rG'RkiRki

0 π+

π=

−−rr

( )( ) ( )

( ) ( ) 20

20

20

zyyxxki

000zyyxx2

ez,y,x;0z,y,xG20

20

20

+−+−π==

+−+−−

ou

( )( ) ( )

( ) ( ) 220

20

zyyxxki

000zyyxx2

e0z,y,x;z,y,xG22

02

0

+−+−π==

+−+−−

Fonction de Green en espace semi-infini (5/6)Autres conditions aux frontières (condition de Dirichlet)

z

M 0 (x0,y0,z0)

M(x,y,z)

(S)

M'0 (x0,y0,-z0)

r0→r'0

→

R'→

R→

espace physique

r→

V

V )im

0nrO

( ) ( ) ( )20

20


rr

( ) ( ) ( )20

20

200 zzyyxx'rr'R ++−+−=−=

rr

( ) 0z,y,x,'rr4

err4

er,rG0

'rrki

0

rrki

0

00

≥∀∀−π

−−π

=−−−−

rrrrrr

rrrr

( ) 0zou0z;y,x,0r,rG 00 ==∀=rr

G = 0

avec


2


Condition de Neumann sur la paroi : 0nG

=∂∂

répartition continue de monopôles

répartition continue de dipôles

+ -+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -+ -

+ -Condition de Dirichlet sur la paroi : G = 0

Fonction de Green en espace clos (1/3)Problème aux valeurs propres (après extinction des sources)

x

y

zO L

( ) ( )( )

Σ∈=Ψ∂∈=Ψ+∆

.r;0r,r;0rk

mn

m2m

rr

rrV

Solution non nulle sauf si km prend une suite de nombres (valeurs propres)Ψm : fonctions propres, base de l'espace considéré

l x0

paroi parfaitement rigide paroi parfaitement rigide

Exemple : espace fini 1Dl

π=

mk m , m ∈

( ) ( )( ) ti

mm

tixkixkimm

m

mmm

exkcosA2

eeeAt;xpω

ω−

=

+=

( )rmr

p Ψ

Fonction de Green en espace clos (2/3)

l x0l

π=

mk m , m ∈

( ) ( ) ( )xkixki0mm

0mm

mm ee2

21xkcos

2x +

δ−=

δ−=Ψ −

ll

( ) ( ) pm0

pm xdxx δ=⌡⌠ ΨΨ

l

Espace fini 1D - suite

fonctions orthonormées

l

x0

( )txki0

mmea ω+− ( )( )txki0

mmeb ω+−l

( )[ ]t2xki0

mmea ω++− l ( )[ ]t3xki0

mmeb ω+− l

( )[ ]tn2xki0

mmea ω++− l ( )( )[ ]t1n2xki0

mmeb ω++− l

avec

( )txkiki2

0 mm

me

e1

a ω+−−− l

( )txkiki2

ki20 mm

m

m

ee1

ea ω+−

−

− l

l

lmki00 eab −=avec

( )[ ]ll

l

−− −

ω+−

xkcose1

eea2mki2

tiki0

m

mm

Fonction de Green en espace clos (3/3)Problème avec sources

( ) ( ) ( )[ ]∑+∞

=π+π=

0mmm xmsinbxmcosaxP ll1D : Série de Fourier

( ) ( ) ( )∑∑+∞

=

+∞

=π=Ψ=

0mm

0mmm xmcosax'axP l

l

x0

Problème élémentaire

( ) ( ) ( )( )

Σ∈=∂∈−δ−=+∆

,r;0r/rG,r;rrr/rGk

0n

002

rrr

rrrrrV

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=Ψ=

−π

ππδ−=

0mm0m

0m22

00m0 xxA

km

xmcosxmcos2x,xG

l

ll

l

Problème aux valeurs propres

( ) ( )( )

Σ∈=Ψ∂∈=Ψ+∆

.r;0r,r;0rk

mn

m2m

rr

rrV

( ) ( ) ( )∑∞

=

Ψ−

Ψ=

0mm22

m

0m0 r

kkr

r,rG rr

rrGénéralisation :

(1D)

0nr

0nr

source SΣ

V Σ0

P0 ∈ Σ0

P0 ∈ Σ

M Le problème de Green est un problème

auxiliaire dont la solution est nécessaire pour

trouver la solution d'un problème général :

quel est le champ P( r ; ω ) créé au point r par

un ensemble de sources distribuées dans V et

sur ΣT=Σ+Σ0 (qui délimite le domaine) ?

→^ →

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] Σ∈∈⌡⌠

⌡⌠ σ∂ω−ω∂=ω

Σ000n00n0 r,r;dr,rG;rP;rPr,rG;rP

T00

rrrrrrrrrV

( )0r,rG rr( )0r,rG rr

Rôle de la fonction de Green

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ⌡

⌠⌡

⌠σ∂ω−ω∂+⌡

⌠⌡⌠

⌡⌠ ω=ω

Σ T

00 00n00n0000 dr,rG;rP;rPr,rGd;rFr,rG;rP rrrrrrrrrr

VV

Nous envisageons ici le cas particulier où les sources de volume n'existent pas, et par la suite, où les seules sources existantes sont réparties sur la surface interne ΣT


3

LA FORMULATION INTEGRALE

Problème acoustique bien posé (forme différentielle)Domaine fréquentiel

Equation de Helmholtz

( ) ( ) ( ) fixé,M,;MU;MP;Mˆkin 0 ωΣ∈∀ω=ω

ωβ+

∂∂Conditions aux frontières

Conditions de rayonnement à l'infini (éventuellement)

Domaine temporel

Equation de propagation

Conditions aux frontières

Conditions initiales

( )[ ] ( ) ( ) i0n tt,M,t;Mut;Mpt;Mˆki >∀Σ∈∀=∗β+∂

( ) ( ) i2ttc

1 tt,M,t;Mft;Mp20

>∀∈∀−=

∂−∆ V

( ) ( ) ( ) ( ) iiiiit tt,M,t;MBt;Mp;t;MAt;Mp =∈∀==∂ V

fonctions connues dans tout le domaine V, à l'époque initiales t = ti

( ) ( ) ( ) V∈∀ω−=ω+∆ M,;MF;MPk 20

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

⋅+∆=

⋅+∆=

GgradPgradPGPgradGdiv

PgradGgradGPGgradPdiv

Théorème d'Ostrogradsky

Rappel

( ) PGGPPgradGGgradPdiv ∆−∆=−

V→

( ) ( )

00

000

nPG

nGP

nPgradGnGgradPnV

∂∂

−∂∂

=

⋅−⋅=⋅rrrr

( ) ⌡

⌠⌡

⌠σ

∂∂

−∂∂

=⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠ ∆−∆

Σ0

000 d

nPG

nGPdPGGP

VV

( ) ( )⌡⌠

⌡⌠ σ⋅=

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠

Σ000 dnVdVdiv rrr

VV

M

y

x

z

ux1

Oyx

z

n→

αβ

γ

Soient f(x,y,z) et n un vecteur unitaire→

γβα

B

nr

00u

zyxOM

1BB=

uz;uy;ux γ=β=α=

γβα

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

=∂∂

uz

zf

uy

yf

ux

xf

uf

nf f

fffgrad

z

y

x

∂∂∂

B

nfgradnf r

⋅=∂∂

Formules mathématiques préliminaires

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ⌡⌠

⌡⌠ σ∂−∂+

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠=ω

Σ00n00n0000 dr,rGrPrPr,rGdrFr,rG;rP

00

rrrrrrrrrr

VV

Problème


Formulation intégrale (domaine de Fourier) : démonstration( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

Σ∈ω=ωωβ+∂

∈ω−=ω+∆

r,;rU;rP;rˆki

r,;rF;rPk

0n

2

0

rrrr

rrrV

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )

Σ∈=ωζ+∂

∈−δ−=+∆

c00n

c002

r,0r,rG;rˆki

r,rrr,rGk

c

rrrr

rrrrrV

conditions aux frontières ad libitum

(1)(2)

(3)

(4)

Théorème d'Ostrogradsky ( ) ( )⌡⌠

⌡⌠ σ∂−∂=

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠ ∆−∆

Σ0nn0 dPGGPdPGGP

00V

V (5)

( )cVV ⊂

V cV

Démonstration

(1) PkFP 2−−=∆

(3) ( )02 rrGkG rr

−δ−−=∆

(6) dans (5) :

( )( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) [ ]⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠+ω−=

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠ +−δ−=

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠ −−−−δ−−

V

VV

V

VV

0

0002

02

dFG;rP

dFGrrPdPkFGrrGkP

r

rrrr

∆ G ∆ P

(7)

( ) [ ] ( )⌡⌠

⌡⌠ σ∂−∂=

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠+ω−

Σ0nn0 dPGGPdFG;rP

00V

Vr

(6)

Condition de Sommerfeld à l'infini

0nr

0nr

source S Σ

V

ΣR

M

R

( )R4

er,rGRki

0 π=

−rr

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ⌡⌠

⌡⌠ σ∂−∂+

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠=ω


00

rrrrrrrrrr

VV

⌡

⌠⌡

⌠σ+

⌡

⌠⌡

⌠σ

ΣΣ R

00 dd LL

0rrR rr−=

( ) ( )⌡

⌠⌡

⌠σ

π

∂−∂π

Σ

−−

R

00 0

Rki

n00n

Rkid

R4erPrP

R4e rr

( ) ( )⌡

⌠⌡

⌠ψθθ

++∂=

Σ

−

R

0ddsineRrP

R1kirP Rki

00nrr

∞→R négligeable borné

0dR

0 →⌡

⌠⌡

⌠σ

Σ

L si ( ) 0PkiPRlim0nR

=+∂∞→

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ⌡⌠

⌡⌠ σ∂−∂+

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠=ω


00

rrrrrrrrrr

VV

0nr

0nr

source S Σ

V Σ

( )t;rfr

sources volumiques

sources surfaciques( )t;ru r

:

0nr

0nr

source S Σ

V Σ

( )t;rf r

sources volumiques


:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]t;ruTF;rU

t;rfTF;rF

t/

t/rr

rr

=ω

=ω

( )[ ] ( ) ( ) Σ∈ω=ωωβ+∂ r,;rU;rP;rˆki 0n 0

rrrr Condition aux frontières

ρ=β

Zcˆ 00

Champ "direct" des sources réelles (+ éventuellement champ de sources images)

Champ provenant des sources de frontières, effets réactifs et dissipatifs des frontières (non contenus

dans G)

monopôles dipôles

répartition de

( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )

Σ∈ω=ωωβ+∂

∈ω−=ω+∆

,éventuelle Sommerfeld deCondition

,r,;rU;rP;rˆki

,r,;rF;rPk

0n

2

0

rrrr

rrrV

V∈rr

Formulation intégrale (domaine de Fourier)

( ) 0PkiPRlim0nR

=+∂∞→

Condition de Sommerfeld éventuelle


4

M 0 (x0,y0,z0)

M(x,y,z)

O

(S)

00 rrMMRrrr

−==

MOr =r

00 MOr =r

Monopôle et dipôle

( ) tirki

0tirki

0 ecosr

er4

De

re

z4D

t;rˆ00

ω−

ω−

θ

∂∂

π=

∂∂

π=ϕ

( ) τω−

∂∂

π=ϕ i

Rki0 e

Re

n4D

t;Rˆ0

( ) τω−

π−=ϕ i

Rki

0 eR4

eQt;Rˆ0

( ) ( )R

cR4

t;Rˆ 00 −τδ

π−=ϕQ

O

M(S+)

(S-)

+0M

0M

rr

0rr

Rr

udRRrrr

−=+

ud rudr0rr

+

nr

zen rr=

Problème


Cas où la fonction de Green satisfait aux mêmes conditions aux frontières que P

( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )

Σ∈ω=ωωβ+∂

∈ω−=ω+∆

r,;rU;rP;rki

r,;rF;rPk

0n

2

0

rrrr

rrrV

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )

Σ∈=ωβ+∂

∈−δ−=+∆

r,0r/rG;rˆki

r,rrr/rGk

00n

002

0

rrrr

rrrrrV

(1)(2)

(8)

(9)

Formulation intégrale

( )cVV ≡

V cV

^

(7)G (2) ( )PkiUGPG 0n 0

β−=∂

( )GkiPGP 0n 0β−=∂P (9)^

UGGPPG00 nn =∂−∂

( ) ∫∫∫∫ ΣΣ σ=σ∂−∂ 00nn dUGdGPPG00

(9)

(9) dans (7) :

( ) ( ) ( )

( ) ( )⌡⌠

⌡⌠ σω+

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠ ω=ω

Σ000

000

d;rUr,rG

d;rFr,rG;rP

rrr

rrrr

VV

0nr

0nr

source S Σ

V Σ

( )t;rfrsources volumiques

sources surfaciques( )t;rur

:

simple ajout des sources

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ⌡⌠

⌡⌠ σ∂−∂+

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠=ω


00

rrrrrrrrrr

VV

( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=∈==∂

>Σ∈=∗β+∂

>∈−=∂−∆

iiiiit

i0n

i20

2tt

tt,r,t;rBt;rp;t;rAt;rp

tt,r,t;rut;rpt;rki

tt,r,t;rft;rpc

0

V

V

rrrrr

rrrr

rrr

( ) ( )[ ]ωβ=β ω ;rkiTFt;rki 0/0rr

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ,dt,t;r,rGrpt;rpt,t;r,rGc1

dt,t;r,rGt;rpt;rpt,t;r,rGtd

tt;r;dt;rft,t;r,rGtdt;rp

0tt00t000t0020

000n0000n00

t

t0

i00000

t

t0

i000

00i

i

⌡

⌠⌡

⌠⌡

⌠

∂−∂+

⌡⌠

⌡⌠ σ∂−∂⌡

⌠+

>∈⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠=

=

Σ

V

V

V

VV

rrrrrr

rrrrrr

rrrrr

Condition aux frontières

ρ=β

Zc00

Champ "direct" des sources réelles (+ éventuellement des sources images)

Réaction de la frontière

( )[ ] ( ) ( ) i0n tt,r,t;rut;rpt;rki0

>Σ∈=∗β+∂rrrr

Effet des conditions initiales

0nr

0nr

source S Σ

V Σ

( )t;rfrsources volumiques


:

Formulation intégrale (domaine temporel) Intégrale de Rayleigh (1/14)

( ) ( ) ti00 ey,xWt;y,xw ω=

rr

Le problème

( )y,xW0

0nrzer

(Σ)

Ω

x

y

z

Mrr

Paroi

z>0x

y

zO

z=0( ) ( ) tierPt;rp ω=

rr

Ω

(Σ)

V

Intégrale de Rayleigh (2/14)

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

=Ω∉∀=∂

=Ω∈∀⋅ωρ−=∂

≥∀∀=+∆

,Sommerfeld deCondition

,0z,y,x;0z,y,xP

,0z,y,x,ny,xWiz,y,xP

,0z,y,x,0z,y,xPk

0

0

n

000n

2

rr

Problème sous forme différentielle

Problème sous forme intégrale

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( )

=Ω∉∀=∂

=Ω∈∀ωρ−=∂

≥∀∀⌡⌠

⌡⌠ σ∂+∂−=

Σ

,Sommerfeld deCondition

,0z,y,x,0z,y,xP

,0z,y,x,y,xWiz,y,xP

,0z,y,x,dr,rGrPrPr,rGrP

0

0

00

z

00z

00z00z0rrrrrrr

z0 enrr

−=

( )y,xW0

0nrzer

(Σ)

Ω

x

y

z

Mrr

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ⌡⌠

⌡⌠ σ∂−∂+

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠=ω


00

rrrrrrrrrr

VV

0nr

0nr

source S Σ

V Σ

( )t;rfr

sources volumiques


:

0nr

0nr

source S Σ

V Σ

( )t;rfr

sources volumiques


:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]t;ruTF;rU

t;rfTF;rF

t/

t/rr

rr

=ω

=ω

( )[ ] ( ) ( ) Σ∈ω=ωωβ+∂ r,;rU;rP;rˆki 0n 0

rrrr Condition aux frontières

ρ=β

Zcˆ 00

Champ "direct" des sources réelles (+ éventuellement champ de sources images)

Champ provenant des sources de frontières, effets réactifs et dissipatifs des frontières (non contenus

dans G)

monopôles dipôles

répartition de

( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )

Σ∈ω=ωωβ+∂

∈ω−=ω+∆

,éventuelle Sommerfeld deCondition

,r,;rU;rP;rˆki

,r,;rF;rPk

0n

2

0

rrrr

rrrV

V∈rr

Rappel : Formulation intégrale (domaine de Fourier)

( ) 0PkiPRlim0nR

=+∂∞→

Condition de Sommerfeld éventuelle


5

Intégrale de Rayleigh (3/14)Problème élémentaire associé

choix judicieux ici : ( )[ ] 0r,rG 0n0=∂

rr

( ) 0z,'R4

eR4

er,rG'RkiRki

0 ≥∀π

+π

=−−rr

( ) ( ) V∈∀−δ−=+∆ r,rrGk 02 rrr

conditions aux frontières AD LIBITUM Σ∈∀ r, r

Fonction de Green

connu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0z,y,x,dr,rGrPrPr,rGrP 00z00z0 00≥∀∀⎮⌡

⌠⎮⌡⌠ σ∂+∂−=

Σ

rrrrrrror

inconnu

( )y,xW0

0nrzer

(Σ)

Ω

x

y

z

Mrr

Intégrale de Rayleigh (4/14)Expression de la fonction de Green sur la paroi (R = R')

z

M 0 (x0,y0,z0)

M(x,y,z)

(S)

M'0 (x0,y0,-z0)

r0→r'0

→

R'→

R→

espace physique

r→

V

V )im

0nr

O

( ) ( ) ( )20

20


rr

( ) ( ) ( )20

20

200 zzyyxx'rr'R ++−+−=−=

rr

( )'R4

eR4

er,rG'RkiRki

0 π+

π=

−−rr

( )( ) ( )

( ) ( ) 20

20

20

zyyxxki

000zyyxx2

ez,y,x;0z,y,xG20

20

20

+−+−π==

+−+−−

ou

( )( ) ( )

( ) ( ) 220

20

zyyxxki

000zyyxx2

e0z,y,x;z,y,xG22

02

0

+−+−π==

+−+−−


Champ acoustique rayonné

( ) ( ) ( )⎮⌡⌠

⎮⌡⌠ ∂−=

Σ0000z00 ydxd0,y,xP0,y,x;z,y,xGz,y,xP

0

( )( ) ( )

( ) ( )( )

⎮⎮

⌡

⌠

⎮⎮

⌡

⌠

+−+−π

ωρ=

Ω

+−+−−

00000220

20

zyyxxki0 ydxdy,xW

zyyxx

e2

iz,y,xP

220

20

( )( ) ( )

( ) ( ) 220

20

zyyxxki

000zyyxx2

e0z,y,x;z,y,xG22

02

0

+−+−π==

+−+−−

avec

( ) ( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=Ω∉∀=∂

=Ω∈∀ωρ−=∂

.0z,y,x;0z,y,xP

,0z,y,x;y,xWiz,y,xP

0

0

z

00zet

Intégrale de Rayleigh (6/14)Disque ayant une vitesse vibratoire indépendante du point

Applications : enceintes, transducteurs, ...

M0

O

x

y z

ξ

α M

θ

rW0

→

Mr→

θ z

( )⎮⎮

⌡

⌠αξξ

αθξ−ξ+⎮⎮⌡

⌠

π

ωρ=θ

παθξ−ξ+−

2

022

cossinr2rkia

0

00 ddcossinr2r

e2

Wi,rP

22

Calcul exact lorsque M ∈ (Oz)Calcul approché en champ lointainCalcul exact en z = 0, puis approché en basses et hautes fréquences (impédance de rayonnement)

yx0 esinecosMOrr

αξ+αξ=

zx ecosresinrMOrr

θ+θ=

θαξ−

αξ−θ

cosrsin

cossinrMM 0

B


Champ sur l'axe Oz

( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ω++−ω+− −=

ρ

tazki0

tzki0

00

22

eWeWct;zp

( ) ( ) a/zavec1asin2zazsin2Wc

zP 222

000=ξ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ξ−+ξ

λπ=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

λ−+

π=ρ

onde plane progressive forcée qui serait émise par l'ensemble du plan Σ, animé de la vitesse W0

facteur de diffraction du bord du piston

W0

→

M zO

Intégrale de Rayleigh : champ sur l'axe z (8/14)( ) ( ) a/zavec1asin2

WczP 2

000

=ξ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ξ−+ξ

λπ=

ρa/λ=0.2

a/λ=0.6

a/λ=1

a/λ=2.8

a/λ=5

position du dernier maximum (si a >> λ) : λ

≈2az

distance de champ procheλ

=λ

=4Da 22

0l


6

Zones de Fresnel

22nn z

2nzR +σ=λ

+=

2RR n1n

λ+=+

( )⎮⎮⌡

⌠

ξ+ωρ=

ξξξ+−

a

022

dzki

00z

eWizP22

( ) ∑=

π−−=ρ

N

0n

nizki

000ee

WczP

Découpage du disque en N zones de Fresnel telles que :

zones de Fresnel

a

σn+1 σn

Rn+1

Rn

Rn = zM0 zM z

sur l'axe z :

Termes de rang pair de la somme = +1Termes de rang impair de la somme = -1 Si a et z tels que le disque contient N zones de Fresnel (N pair), alors P(z) = 0Si a et z tels que le disque contient N zones de Fresnel (N impair), alors P(z) max

les contributions de 2 zones de Fresnel successives s'annulent

λ=

4D 2

0l

champ proche champ lointain

z

γp(y,z)

yp(0,z)

z1

≈

D22,1sin λ

=γ

dernier maximum

lobe principallobes secondaire

p(y,l0)A0

φ

2A 0

ζ

0z l=

y

z0l y

à z fixé

Champ acoustique émis par un transducteur ultrasonore plan


W0

→

Mr→

θ z

( ) ( )θ

θ

πρπ≈θ

−

sinaksinakJ2

r4eckWa2i,rP

0

01rki

00002

0

En champ lointain et si la vitesse W0 est indépendante du point (piston oscillant)

→

caractère monopolaire

facteur de directivité → 1 si ka petit

( ) λλθ Sa,rP ppenceinte

http://fr.audiofanzine.com/apprendre/glossaire/index,popup,,id_mot,49.html

et ( ) 0Wi,rP ωθ p (accélération)

λaak p f (Hz) 34 340 3400 aigu

λ 10 m 1 m 10 cm ordre du cm


( ) λλθ Sa,rP pp et ( ) ξω−=ωθ ˆWi,rP 20p

(accélération)λaak p

Grave Medium Aigu

f (Hz) ≈ 20-200 200-2000 > 2000

λ quelques m quelques 10 cm ordre du cm

HP Boomer Medium Tweeter

a > 10 cm ≈ 10 cm ≈ 1 cm

ξ quelques cm quelques mm quelques 100 µm

compensation par un grand déplacement

grand déplacementimpossible

( )1

sinaksinakJ2

0

01 ≈θ

θka petit (basses fréquences)

ka plus élevé (hautes fréquences)

caractère omnidirectionnel de l'enceinte (monopolaire)

l'amplitude du son dépend beaucoup de l'angle θ.

( )r4

e;rPrki 0

πω

−

pr

( )θ

θ

sinaksinakJ2

0

01le facteur de directivité

est d'autant plus variable en

fonction de θ que ka est élevé.

k a = 1

-90°

0-10 dB-20-30

60°

30°

-30°

-60°

90°

k a = 1

-90°

0-10 dB-20-30

60°

30°

-30°

-60°

90°

-90°

0-10 dB-20-30

60°

30°

-30°

-60°

90°

0-10 dB-20-30

60° 30°

-30°-60°

0-10 dB-20-30

60° 30°

-30°-60°

θ

flux d'énergie en fonction de θ (en dB)

ka = 20

Intégrale de Rayleigh : courbes de directivité (11/14)( ) ( ) 2

0

0120

4

2

2000

r sinaksinakJ2

8Wa

rkc

rIθ

θρ=

∞Intensité

0-10 dB-20-30

60° 30°

-30°-60°

k a = 20

k a = 1

-90°

0-10 dB-20-30

60°

30°

-30°

-60°

90°

0-10 dB-20-30

60° 30°

-30°-60°

k a = 10

0-10 dB-20-30

60° 30°

-30°-60°

90°

-90°

k a = 5

0-10 dB-20-30

60° 30°

-30°-60°

k a = 30

ka = 1 à 30

Intégrale de Rayleigh : courbes de directivité (12/14)


7


( )⌡⌠

⌡⌠ σθ=

Ωd,rP

W1Z

0ray

Impédance de rayonnement

( ) ( )

+−ρπ=

akak2S

iak

ak2J1caZ 11

002

rayen z=0

002

000

2ray ca

ak2i1caZ ρπ≈

π+ρπ≈

∞ka →∞, a>> λ

fonction de Struve

image de la pression moyenne du champ acoustique normalisée (W0 = 1)^

force exercée sur le fluide

: pression moyenne sur le piston Ω pour une vitesse W0 unitaire^2

ray

aZπ

impédance mécanique

surface de l'émetteur >> λ2

cloison mitoyenne entre deux appartementsrayonnement maximal...

Intégrale de Rayleigh (14/14)Impédance de rayonnement (suite)

ka →0, a << λ ( )π

ρπ≈

π

+ρπ≈3

ak8cai

3ak8

iak21caZ 0

00202

0002

0ray

à l'ordre 0 : pression nulleà l'ordre 1 : pression et vitesse en quadratureà l'ordre 2 : pression rayonnée non nulle, mais très faible

( ) ( ) 0vvievpe21I ** == RR p

Modélisation du rayonnement des tubes

L

ordre 0 : p = 0 ( Zacous = 0)

ordre 1 : v3

ak8civ

a

ZvZp 0

0020ray

acous πρ≈

π==

0tdvkvRvm0xkxRxm =++⇔=++ ∫&&&& terme réactif ≡ masseforce = i 1/i

LL

Zacous = 0, p=0πρ≈

3ak8

ciZ 000acous

π≈∆

3a8L


8

Couplage fluide/structure :exemple de la transparence

acoustique de paroi

carreaux

amont aval

caoutchouc

appui simple

encastrement

Le problème

Amont (upstream)indice "u"

Aval (downstream)indice "d"

Σ = plaque + paroi rigide infinie

( ) ∫∫pl

dPGy,xˆrespl00 Σ σ=Ξ

fonction de Ξ

x0

y0z

O

( ) ti00 ey,xˆ ωΞ

vitesse Ξω= ˆiW

d0nrzer

( ) ⌡

⌠⌡

⌠σ

∂

∂=

Σ

00

tdt d

nP

Gz,y,xPd

Etude du champ amont (indice "u") dû à la réflexion compte tenu de la surface vibrante = champ incident

pinc + champ réfléchi pr

Etude de la plaque seuleEtude du champ aval (indice "d")

créé par une surface vibrante

( )t;z,y,xp t

incp

rp

( )t;z,y,xp u

z<0z>0

( )

⌡

⌠⌡

⌠σ

∂

∂+

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠=

Σ

00

uu

uu

dnP

G

dFGz,y,xP

u

0V

V

fonction de Ξ

x 0

y 0

zO

z=0

( )t;y,xˆ00ξ

( ) ti00 ey,xˆ ωΞ=

() 0t;y,xˆ

00

=

ξ

tures PPP −= fonction de Ξ

u0nr=zer

W

x

yz

Oa b

appui appui

plaque

Problème de la plaque (1/9)Plaque rectangulaire de dimension a×b en appui simple sur les bords (contour C), soumise à une force surfacique pres(x,y;t) résultant des forces de pression extérieure qui s'exercent sur la plaque.

^

Equation de propagation dans la plaque pour le mouvement de flexion simple

( ) ( ) ( ) ( ) t,)y,x(,t;y,xpt;y,xˆMt;y,xˆ'Rt;y,xˆB plres2ttSt ∀Σ∈∀=ξ∂+ξ∂+ξ∆∆

E : module d'Youngν : coefficient de Poissonh : épaisseurMS : masse surfacique

rigidité en flexion

( )2

3

12hEB

ν−=

amortissement interne de la plaque (modèle simplifié de Voigt)double Laplacien

4

4

22

4

4

4

yyxx2

∂∂

∂∂∂

∂∂ ++=∆∆

ξ(x,y;t) : déplacement transversal (suivant z) de la plaque

^

Problème de la plaque (2/9)

Force résultante sur un élément de paroi d Σpl

( ) ( )[ ] zpltures edt;0,y,xpt;0,y,xpFrr

Σ−=

( ) ( ) ( )t;0,y,xpt;0,y,xpt;y,xp tures −=

Force surfacique résultante sur la paroi en z = 0

z

d Σplamont "u" aval "d"

( ) zplu edt;0,y,xpr

Σ ( ) zplt edt;0,y,xpr

Σ−

O

quantité vectorielle

pres a la dimension d'une pression mais représente une force par unitéde surface, reliée aux pressions acoustiques pu et pt de part et d'autre de la plaque

^^^

Problème de la plaque : mouvement harmonique (3/9)

Conditions aux frontières

Mouvement harmonique de pulsation ω, imposé par le champ acoustique incident pinc^

( ) ( ) tiey,xˆt;y,xˆ ωΞ=ξ ( ) ( ) tiresres ey,xPt;y,xp ω=

( ) ( ) ( ) ( ) t,)y,x(,t;y,xpt;y,xˆMt;y,xˆ'Rt;y,xˆB plres2ttSt ∀Σ∈∀=ξ∂+ξ∂+ξ∆∆

L'équation de propagation dans la plaque

s'écrit donc ( ) ( ) ( ) plres2 )y,x(,By,xPy,xˆRi Σ∈∀=Ξχ−ω+∆∆

BM Sω=χ B'RR =avec

x

yz

Oa b

appui appui

plaque

( ) 0y,aˆ =Ξ

( ) 00,xˆ =Ξ

( ) 0b,xˆ =Ξ

( ) 0y,0ˆ =Ξ ( )( )

∈∀=∈∀=

.)y,x(,0y,x,)y,x(,0y,x

y

x

f

f

CMCM

( ) ,)y,x(,0y,xˆ C∈∀=Ξ

moments de flexion

(1)

(2)

(3)

et

(1)+(2)+(3) : problème à résoudre pour exprimer le champ de déplacement Ξ (x,y)^

( ) ( )( ) ( )

Ξ∂ν+∂−=

Ξ∂ν+∂−=

y,xˆBy,xˆB

2xx

2yyf

2yy

2xxf

y

x

MM


9

Problème de la plaque : solution (4/9)

Solution cherchée sous forme d'une série de Fourier

Rappel du problème posé

( ) ( ) ( ) plres2 )y,x(,By,xPy,xˆRi Σ∈∀=Ξχ−ω+∆∆ (1)

(2)

(3)( ) ( )( ) ( )

∈∀=Ξ∂ν+∂−=

∈∀=Ξ∂ν+∂−=

.)y,x(,0y,xˆB,)y,x(,0y,xˆB

2xx

2yyf

2yy

2xxf

y

x

CMCM

( ) ( ) ( )∑ ∑ Ψ=Ξ∃∈Ξ∀m n

nmnmnm y,xay,xˆ,a,y,xˆ E

( ) ( ) ( )bynsinaxmsiny,xba

2nm ππ=Ψ

( ) ( ) ( )∑∑ ππ=Ξm n

nm bynsinaxmsinby,xˆ

normalisation( ) ( ) ( )∑∑ ππ=Ξ

m n ba2

nm bynsinaxmsinay,xˆ

Ψmn(x,y)

avec

( ) ,)y,x(,0y,xˆ C∈∀=Ξ

Modes d'une plaque rectangulaire de dimensions (a×b)

0a/4

a/23a/4

ab/2

b

Ψ21(x,y)

yx

0

mode (2,1)

0a/4

a/23a/4

ab/2

b

Ψ22(x,y)

yx

0

mode (2,2)0

a/4a/2

3a/4a

b/2

b

Ψ12(x,y)

yx

0

mode (1,2)

0a/4

a/23a/4

a

b/2

b

Ψ11(x,y)

yx

0

mode (1,1)

Série de Fourier (rappels) (1/4)FOURIER Jean-Baptiste Joseph, français (1768-1830)

Si f(x) est une fonction périodique de période 2π , continue et à dérivée continue, sauf éventuellement en un nombre fini de points (sur une période) qui sont des points de discontinuité de première espèce pour f ou pour f ', la série trigonométrique qui a pour coefficients

∫∫ππ

π=

π=

2

0

2

0nn dxnxsin)x(f1b,dxnxcos)x(f1a

est convergente pour tout x et a pour somme [ ] .)0x(f)0x(f21

−++

En un point où f(x) est continue, la série trigonométrique a pour somme f(x) :

Remarque : l'hypothèse de périodicité et la mention de la période ne sont pas essentielles en réalité, puisqu'une fonction définie sur un intervalle borné, quel qu'il soit, peut toujours être périodisée.

( ) ( )∑+∞

=++=

1nnn

0 nxsinbnxcosa2

axf

Fonction périodique de période 2π

Série de Fourier (rappels) (2/4)

( ) ( )⌡⌠ ω=⌡

⌠ ω=⌡⌠=

+++ Tx

xn

Tx

xn

Tx

x0

0

0

0

0

0

0

xdxnsin)x(fT2b,xdxncos)x(f

T2a,xd)x(f

T1a

( ) ( ) ( )[ ]∑+∞

=ω+ω=

0nnn xnsinbxncosaxf

Fonction périodique de période T=2π/ω

avec

Calcul des coefficients an : démonstration

( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )∑∑

∑

∞+

=

+∞+

=

+

+ ∞+

=

+

⌡⌠ ωω+⌡

⌠ ωω=

⌡⌠ ωω+ω=⌡

⌠ ω

0n

Tx

xn

0n

Tx

xn

Tx

x 0nnn

Tx

x

0

0

0

0

0

0

0

0

xdxpcosxnsinbxdxpcosxncosa

xdxpcosxnsinbxncosaxdxpcos)x(f

Ip Jp

( ) ( ) ( ) ( )[ ]xpncosxpncos21xpcosxncos ω−+ω+=ωω ( ) ( ) ( ) ( )[ ]xpnsinxpnsin

21xpcosxnsin ω−−ω+=ωω;

Série de Fourier (rappels) (3/4)Calcul des coefficients an (suite)

( ) ( )[ ]∑∞+

=

+

⌡⌠ ω−+ω+=

0n

Tx

xnp

0

0

xdxpncosxpncosa21I

si n ≠ p

si n = p ( ) ( )[ ] ( )[ ] Txdxp2cos1xdxpncosxpncosTx

x

Tx

x

0

0

0

0

=⌡⌠ ω+=

⌡⌠ ω−+ω+

++

( ) pp

Tx

xJIxdxpcos)x(f

0

0

+=⌡⌠ ω

+

( ) ( )[ ] ( )( )

( )( ) 0

pnxpnsin

pnxpnsinxdxpncosxpncos

Tx

x

Tx

x

Tx

x

0

0

0

0

0

0

=

ω−ω−

+

ω+ω+

=⌡⌠ ω−+ω+

+++

pp a2TI =

( ) ( )[ ]∑∞+

=

+

⌡⌠ ω−−ω+=

0n

Tx

xnp

0

0

xdxpnsinxpnsinb21J

0J p =pp a2TI =

( ) p

Tx

xa

2Txdxpcos)x(f

0

0

=⌡⌠ ω

+( )⌡

⌠ ω=+Tx

xp

0

0

xdxpcos)x(fT2a

( ) ( )[ ] ( )( )

( )( ) 0

pnxpncos

pnxpncosxdxpnsinxpnsin

Tx

x

Tx

x

Tx

x

0

0

0

0

0

0

=

ω−ω−

−

ω+ω+

−=⌡⌠ ω−−ω+

+++

( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0p2

xp2cosxdxp2sinxdxpnsinxpnsinTx

x

Tx

x

Tx

x

0

0

0

0

0

0

=

ωω

−=⌡⌠ ω=⌡

⌠ ω−−ω++++

et

Série de Fourier (rappels) (4/4)Calcul des coefficients bn : démontration

( ) ( ) ( ) ( )[ ]xnpsinxpnsin21xpsinxncos ω−−ω+=ωω ( ) ( ) ( ) ( )[ ]xpncosxpncos

21xpsinxnsin ω+−ω−=ωω;

si n ≠ p

si n = p

( ) ( )[ ] 0xdxnpsinxpnsinTx

x

0

0

=⌡⌠ ω−+ω+

+

( ) ( )[ ] ( ) 0xdxp2sinxdxnpsinxpnsinTx

x

Tx

x

0

0

0

0

=⌡⌠ ω=⌡

⌠ ω−+ω+++

( ) ( )[ ] 0xdxpnsinxpncosTx

x

0

0

=⌡⌠ ω+−ω−

+

( ) ( )[ ] ( )[ ] Txdxn2sin1xdxpnsinxpncosTx

x

Tx

x

0

0

0

0

=⌡⌠ ω−=

⌡⌠ ω+−ω−

++

0K p = pp b2TL =

( ) p

Tx

xb

2Txdxpsin)x(f

0

0

=⌡⌠ ω

+

( )⌡⌠ ω=

+Tx

xp

0

0

xdxpsin)x(fT2b

et

et

( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )∑∑

∑

∞+

=

+∞+

=

+

+ ∞+

=

+

⌡⌠ ωω+⌡

⌠ ωω=

⌡⌠ ωω+ω=⌡

⌠ ω

0n

Tx

xn

0n

Tx

xn

Tx

x 0nnn

Tx

x

0

0

0

0

0

0

0

0

xdxpsinxnsinbxdxpsinxncosa

xdxpsinxnsinbxncosaxdxpsin)x(f

Kp Lp


10


Report de la solution dans les conditions aux frontières

( ) ( )( ) ( )

∈∀=Ξ∂ν+∂−=

∈∀=Ξ∂ν+∂−=


2xx

2yyf

2yy

2xxf

y

x

CMCM

( ) ( ) ( )∑∑ Ψ=Ξ∃∈Ξ∀m n



2nm ππ=Ψavec

( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]

∈∀=Ξ=Ξ∈∀=Ξ=Ξ

,b,0y,0y,aˆet0y,0ˆ,a,0x,0b,xˆet00,xˆ

( ) ( ) ( )∑∑ Ψπ−=Ξ∂m n

nmnm22

xx y,xaamy,xˆ

( ) ( ) ( )∑∑ Ψπ−=Ξ∂m n

nmnm22

yy y,xabny,xˆ

(2)

(3)


Report de la solution dans l'équation de propagation

( ) ( ) ( )∑∑ Ψ=Ξ∃∈Ξ∀m n



2nm ππ=Ψavec

( ) ( ) ( ) plres2 )y,x(,By,xPy,xˆRi Σ∈∀=Ξχ−ω+∆∆

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )∑∑

∑∑

πππ+π=

πππ+ππ+π=

Ξ

++=Ξ∆∆

∂∂

∂∂∂

∂∂

m n

222nmba

2

m n

4224nmba

2

yyxx

bynsinaxmsinbnama

bynsinaxmsinbnbnam2ama

y,xˆ2y,xˆ4

4

22

4

4

4

( ) ( )∑∑ Ψχ=Ξ∆∆m n

nmnm2

nm y,xay,xˆ ( ) ( )22nm bnam π+π=χavec

(1)

(1) ( )[ ] ( ) ( ) By,xPy,xRia resm n

nm22

nmnm =Ψω+χ−χ∑∑

Problème de la plaque : coefficients du développement (7/9)( )[ ] ( ) ( ) By,xPy,xRia res

m nnm

22nmnm =Ψω+χ−χ∑∑

Calcul des coefficients amn^

Multiplication par Ψpq(x,y) et intégration sur la surface Σ

( )[ ] ( ) ( ) By,xPy,xRia resm n

nm22

nmnm =Ψω+χ−χ∑∑ ⌡⌠

⌡⌠

Σ

( ) σΨ dy,xqp⌡⌠

⌡⌠

Σ

( ) σΨ dy,xqp

δmp δnq

relation d'orthogonalité : non nul si m=p et n=q

( )[ ] ( ) ( )⌡⌠

⌡⌠ Ψ=ω+χ−χ

Σpl

0000qp00res22

qpqp ydxdBy,xy,xPRia

( ) ( )( ) ( ) ( )∑∑ ⌡

⌠⌡⌠ Ψ

ω+χ−χ

Ψ=Ξ

Σm n0000nm00res22

nm

nm

pl

ydxdBy,xy,xPRi

y,xy,xˆ

( ) Ri

BPa 22

qp

resqpqp ω+χ−χ

Ψ=

B/PresqpΨ

( ) ( )∑∑ Ψ=Ξm n

nmnm y,xay,xˆ

produit scalaire

et

Problème de la plaque : interprétation (8/9)

( ) ( )∑∑ Ψ=Ξm n

nmnm y,xay,xˆ

( ) Ri

BPa 22

nm

resnmnm ω+χ−χ

Ψ=

facteur de qualitéacuité de la résonance

Echange d'énergie entre les champs acoustiques (en particulier source de vibration pour la plaque) Pres à l'origine de la contribution du mode (m,n) au champ vibratoire

^

Amplitude de la contribution du mode (m,n)au champ de déplacement

Chaque mode (m,n) représente une contribution (associée à ce mode) à la distribution spatiale du champ.Le champ de déplacement résultant est une superposition des champs modaux Ψmn(x,y), dans laquelle tous les modes n'ont pas le même poids, le poids étant donné, pour chaque mode (m,n), par le coefficient associé amn.

^

Résonance si χ≈χmn (R petit)oscillateur classique

il reste QRi

1∝

ω

Problème de la plaque : interprétation (9/9)

x

z 0

a

θ

θλ

=λcosf

λ

ikr

a/2

0a/4

a/23a/4

ab/2

b

Ψ21(x,y)

yx

0

mode (2,1)

Exemple d'une onde plane incidente sur une plaque vibrant sur le mode (2,1)

0a/4

a/2

3a/4a

b/2

b

Ψ21(x,y)

yx

0

Mode (2,1) d'une plaque rectangulaire de dimensions (a×b)


11

Couplage fluide/structure

( ) ( )( ) ( ) ( )∑∑ ⌡

⌠⌡⌠ Ψ

ω+χ−χ

Ψ=Ξ

Σm n0000nm00res22

nm

nm

pl

ydxdBy,xy,xPRi

y,xy,xˆ

Déplacement transversal de la plaque


z


( ) zplu ed0,y,xP rΣ ( ) zplt ed0,y,xP r

Σ−

O

( ) ( ) ( )0,y,xP0,y,xP0,y,xP tures −=

Couplage ( )0,y,xPtdépend de

dépend de

( )y,xΞ

( )0,y,xPt ( )y,xΞ

tincu PP2P −=

(cf infra)

ω tel que L = λ/2(mode propre tube fermé-fermé)

L

ω tel que L = λ/4(mode propre tube ouvert-fermé)

x

p, v

x

p, vp grandv = ε

p = εv grand

ω≈ ωn tube fermé-fermé

Ap

ω≈ ωn tube ouvert-ferméa

p

résonance antirésonance

• beaucoup de bruit• très faible déplacement de

la membrane du HP

• très peu de bruit• très grand déplacement de la

membrane du HP

Exemple de système couplé : haut-parleur / résonateur

grande résistance

grand transfert d'énergie possible

aucune résistance

très faible transfert d'énergie

déplacement éventuellement faiblegrand déplacement

~ R

énergie dissipée en chaleur

~ C

énergie accumulée et restituée : bilan nul

ou L

Autre exemple

Ces exemples, donnés à titre d'illustration, procèdent par analogies ; il ne faut donc les prendre que pour ce qu'elles valent.

Problème aux valeurs propres pour la plaque (1/2)

( ) ( )∑∑ Ψ=Ξm n

nmnm y,xay,xˆ

Problème aux valeurs propres associé

Problème posé

( ) ( ) ( ) plres2 )y,x(,By,xPy,xˆRi Σ∈∀=Ξχ−ω+∆∆ (1)

(2)

(3)( ) ( )( ) ( )

∈∀=Ξ∂ν+∂−=

∈∀=Ξ∂ν+∂−=


2xx

2yyf

2yy

2xxf

y

x

CMCM

( ) ,)y,x(,0y,xˆ C∈∀=Ξ

(4)

(5)

(6)

( ) ( ) plnm2

nm )y,x(,0y,x Σ∈∀=Ψχ−∆∆

( ) ,)y,x(,0y,xnm C∈∀=Ψ

( ) ( )( ) ( )

∈∀=Ψ∂ν+∂−=

∈∀=Ψ∂ν+∂−=

.)y,x(,0y,xB,)y,x(,0y,xB

nm2xx

2yyf

nm2yy

2xxf

y

x

CMCM

Solution développée sur les fonctions propres

(7)( ) ( ) ( )bynsinaxmsiny,xba

2nm ππ=Ψavec

Problème aux valeurs propres pour la plaque (2/2)Report de Ψmn dans l'équation de propagation libre dans la plaque

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )bynsinaxmsinbnam

y,x2y,x

222ba

2

nmyyxxnm 4

4

22

4

4

4

πππ+π=

Ψ

++=Ψ∆∆

∂∂

∂∂∂

∂∂

( ) ( )22nm bnam π+π=χ

( ) ( ) plnm2

nm )y,x(,0y,x Σ∈∀=Ψχ−∆∆

avec

(4)

( ) ( )[ ] ( ) plnm2

nm222 )y,x(,0y,xbnam Σ∈∀=Ψ

χ−π+π(4)

Modes propres

Ψmn(x,y) : fonctions propresχmn : valeurs propres


2nm ππ=Ψ

Complétude- Soit E, l'ensemble des fonctions f(x,y) définies sur Σpl, satisfaisant notamment aux conditions aux frontières.

- Soit F, l'ensemble des fonctions Ψmn(x,y) définies sur Σpl, orthonormées, solutions du système d'équations

F étant une famille complète, orthonormée, sur l'ensemble E, les fonctions Ξ(x,y)peuvent être développées, de manière unique, sur les fonctions propres Ψmn(x,y) :

Par définition, les fonctions propres Ψmn(x,y) sont dites orthonormées si le produit scalaire est tel que

où

( ) ( )( ) ( )

∈∀=∂ν+∂−=

∈∀=∂ν+∂−=

.)y,x(,0y,xfB,)y,x(,0y,xfB

2xx

2yyf

2yy

2xxf

y

x

CMCM( ) ,)y,x(,0y,xf C∈∀=

^

( ) ( ) ( )∑∑ Ψ=Ξ∃∈Ξ∀m n


( ) ( ) plnm2

nm )y,x(,0y,x Σ∈∀=Ψχ−∆∆

( ) ,)y,x(,0y,xnm C∈∀=Ψ

( ) ( )( ) ( )

∈∀=Ψ∂ν+∂−=∈∀=Ψ∂ν+∂−=

.)y,x(,0y,xB,)y,x(,0y,xB

nm2xx

2yyf

nm2yy

2xxf

y

x

CMCM

( ) ( ) qp,nm0000qp00nmqpnmpl

ydxdy,xy,x δ=⌡⌠

⌡⌠ ΨΨ=ΨΨ

Σqnetpmsi1;qnetpmsi0 qp,nmqp,nm ===δ≠≠=δ

^


12

( ) ( ) ( ) n;MV;MZ;MP wrr

⋅ωω=ω

n : normale sortante du milieu considéré≡ normale pénétrante dans le matériau

Condition aux frontières

( )[ ] ( )[ ] nt;Mpgradnt;Mvt0rrr

⋅−=⋅∂ρ

( ) ( )ω−∂=⋅ωωρ ;MPn;MVi n0rr

( ) ( )ω∂ωρ

−=⋅ω ;MP

i1n;MV n

0

rr

( )( )

( ) 0;MP;MZ

i;MPw

0n =ω

ω

ωρ+ω∂

( )( )ω

ρ=ωβ

;MZ

c;Mˆ

w

0000 ck ω=

( ) ( ) ( ) 0;MP;Mˆki;MP 0n =ωωβ+ω∂

( ) 0;MPn =ω∂

( ) 0;MZ w =ω

( ) 0;Mˆ =ωβ

( ) 0;MP =ω

( )ωβ ;Mˆ

M( )ω;MZ w

ou

n

( ) ( ) tie;MVt;Mv ωω=rr( ) ( ) tie;MPt;Mp ωω=avec et

Projection sur n de l'équation d'Euler→

c.à.d.

d'où

avec

Paroi rigide (condition de Neuman) ( ) ∞→ω;MZ w

Paroi sans réaction et non dissipative (condition de Dirichlet) ( ) ∞→ωβ ;Mˆ

(1)

(2)

admittance de surface du matériau, normalisée par l'impédance caractéristique du fluide ρ0c0

(1)(2)

Conditions aux limites sur une paroi d'impédance complexe

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ⌡⌠

⌡⌠ σ∂−∂

+⌡

⌠⌡

⌠⌡

⌠=

Σ000un00u00un00u

0000000uu

d0,y,x;z,y,xG0,y,xP0,y,xP0,y,x;z,y,xG

dz,y,xFz,y,x;z,y,xGz,y,xP

u0u0

uV

V

( ) ( )0,y,xVi0,y,xP 00z000un u0ωρ−=∂



incp

rp

( )t;z,y,xp u

z<0

x 0

y 0

zO

z=0

( )t;y,xˆ00ξ


() 0

t;y,xˆ0

0

=

ξ



incp

rp

( )t;z,y,xp u

z<0

x 0

y 0

zO

z=0

( )t;y,xˆ00ξ


() 0

t;y,xˆ0

0

=

ξ

x 0

y 0

zO

z=0

( )t;y,xˆ00ξ


() 0

t;y,xˆ0

0

=

ξ() 0

t;y,xˆ0

0

=

ξ

z0 enu

rr+=

Champ de pression amont

Conditions aux frontières( ) ( ) ( )( ) plaque, la de dehorsen paroi, lasur

plaque, lasur 00,y,xV

y,xˆiy,xW0,y,xV

00z

000000z

=Ξω==

fluide plaque

( ) ( )( )

=∂

Ξωρ=∂

00,y,xP

y,xˆ0,y,xP

00un

002

000un

u0

u0

sur la plaque

sur la paroi, en dehors de la plaque

or

Formulation intégrale du problème amont "u"

Fonction de Green du problème amont "u"

z

M 0 (x0,y0,z0)

M(x,y,z)

O

(S) (S')source image

M'0 (x0,y0,-z0)

r0→ r'0

→

R'→

R→

espace physique

r→

Plus de paroi rigide mais ∂n0uGu=0

Vu

Vu )im ( )0

'rrki

0

rrki

000u 'rr4e

rr4ez,y,x;z,y,xG

00

rrrr

rrrr

−π+

−π=

−−−−

( )( ) ( )

( ) ( ) 220

20

zyyxxki

00uzyyxx

e210,y,x;z,y,xG

220

20

+−+−π=

+−+−−

En ( )000 'rr0z rr==

( ) 0z,'R4

eR4

er,rG'RkiRki

0u ≤∀π

+π

=−−rr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ∫∫Σ σ∂−∂= 000un00u00un00ur d0,y,x;z,y,xG0,y,xP0,y,xP0,y,x;z,y,xGz,y,x"Pu0u0

( ) ( ) ( ) ⌡⌠

⌡⌠ σΞωρ=

Σpl

00000u2

0r dy,xˆ0,y,x;z,y,xGz,y,x"P

( ) ( )( )

=∂

Ξωρ=∂

00,y,xP

y,xˆ0,y,xP

00un

002

000un

u0

u0 sur la plaquesur la paroi, en dehors de la plaqueavec

= 0

( ) ( ) ( )∫∫∫( ) ( ) ( ) ( )[ ] ∫∫Σ σ∂−∂

+=

000un00u00un00u

0000000uu

d0,y,x;z,y,xG0,y,xP0,y,xP0,y,x;z,y,xG

dz,y,xFz,y,x;z,y,xGz,y,xP

u0u0

uV V

Champ de pression amont (1/2)

( )0

'rrki

0

rrki

000u 'rr4e

rr4ez,y,x;z,y,xG

00

rrrr

rrrr

−π+

−π=

−−−−

avec

( ) ( )⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠

−π=

−−

u

0

00000

rrki

inc dz,y,xFrr4

ez,y,xPV

Vrr

rr

( ) ( ))

⌡

⌠⌡

⌠⌡

⌠−π

=−−

imu

0

00000

'rrki

r dz,y,xF'rr4

ez,y,x'PV

Vrr

rr

( ) ( ) ( ) ⌡⌠

⌡⌠ σΞωρ=

Σpl

00000u2

0r dy,xˆ0,y,x;z,y,xGz,y,x"P

( )z,y,xPu

=

+

+

champ incident supposé connu

champ réfléchi par la paroi z=0 supposée parfaitement réfléchissante et parfaitement rigide en tout point (en l'absence de vibrations de la plaque)

champ acoustique créé par la surface active Σpl

opposé du champ transmis Pt créé par le champ vibratoire de la plaque^

Champ de pression amont (2/2)

( ) ( ) ( ) ( )z,y,x"Pz,y,x'Pz,y,xPz,y,xP rrincu ++=

( ) ( )0,y,xP0,y,x'P incr =

( ) ( ) ( )0,y,x"P0,y,xP20,y,xP rincu +=

Au niveau de la paroi, en z0=0

( )( ) ( )

( ) ( ) 220

20

zyyxxki

00uzyyxx

e210,y,x;z,y,xG

220

20

+−+−π=

+−+−−

( )00 'rrrr

=

( ) ( )0,y,xVi0,y,xP 00z000tn d0ωρ=∂

z0 end

rr−=

Champ de pression aval

Conditions aux frontières( ) ( ) ( )( ) plaque, la de dehorsen paroi, lasur

plaque, lasur 00,y,xV

y,xˆiy,xW0,y,xV

00z

000000z

=

Ξω==

fluide plaque

( ) ( )( )

=∂

Ξωρ−=∂

00,y,xP

y,xˆ0,y,xP

00tn

002

000tn

d0

d0

sur la plaque

sur la paroi, en dehors de la plaque

or

Formulation intégrale du problème aval "d"

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ⌡⌠

⌡⌠ σ∂−∂=

Σ000dn00t00tn00dt d0,y,x;z,y,xG0,y,xP0,y,xP0,y,x;z,y,xGz,y,xP

d0d0

Aval (downstream)indice "d"


( )t;z,y,xp t

z>0x 0

y 0

zO

z=0

( )t;y,xˆ00ξ


() 0

t;y,xˆ0

0

=

ξ

x 0

y 0

zO

z=0

( )t;y,xˆ00ξ


() 0

t;y,xˆ0

0

=

ξ() 0

t;y,xˆ0

0

=

ξ


13

Fonction de Green du problème aval "d"

( )0

'rrki

0

rrki

000d 'rr4e

rr4ez,y,x;z,y,xG

00

rrrr

rrrr

−π+

−π=

−−−−

En ( )000 'rr0zrr

==

z

M 0 (x0,y0,z0)

M(x,y,z)

O

(S)(S')source image

M'0 (x0,y0,-z0)

r0→r'0

→

R'→

R→

espace physique

r→

Vd

Plus de paroi rigide mais ∂n0dGd=0

Vd )im

( ) 0z,'R4

eR4

er,rG'RkiRki

0d ≥∀π

+π

=−−rr

( )( ) ( )

( ) ( ) 220

20

zyyxxki

00dzyyxx

e210,y,x;z,y,xG

220

20

+−+−π=

+−+−−

( ) ( ) ( )0,y,x;z,y,xG0,y,x;z,y,xG0,y,x;z,y,xG 00u00d00a ==

au niveau de la paroi, la fonction de Green relative au champ acoustique dans le fluide

Champ de pression aval "d"

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ∫∫Σ σ∂−∂= 000dn00t00tn00dt d0,y,x;z,y,xG0,y,xP0,y,xP0,y,x;z,y,xGz,y,xPd0d0

sur la plaquesur la paroi, en dehors de la plaqueavec

= 0

( ) ( ) ( ) ⌡⌠

⌡⌠ σΞωρ−=

Σpl

00000a2

0t dy,xˆ0,y,x;z,y,xGz,y,xP

( ) ( )( )

=∂

Ξωρ−=∂

00,y,xP

y,xˆ0,y,xP

00tn

002

000tn

d0

d0

( ) ( ) ( ) ⌡⌠

⌡⌠ σΞωρ=

Σpl

00000u2

0r dy,xˆ0,y,x;z,y,xGz,y,x"PorGa

( ) ( )z,y,x"Pz,y,xP rt −=

Force surfacique résultante sur la paroi (en z = 0)

( ) ( ) ( )0,y,x"P0,y,xP20,y,xP rincu +=

Force résultante sur un élément de paroi d Σpl

Pression du champ amont

Pression du champ aval ( ) ( )z,y,x"Pz,y,xP rt −= ( ) ( )0,y,x"P0,y,xP rt −=

( ) ( ) ( )0,y,xP0,y,xP20,y,xP tincu −=

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] zpltinc

zpltures

ed0,y,xP20,y,xP2

ed0,y,xP0,y,xPFr

rr

Σ−=

Σ−=

( ) ( ) ( )[ ]0,y,xP0,y,xP2y,xP tincres −=


z


( ) zplu ed0,y,xP rΣ ( ) zplt ed0,y,xP r

Σ−

O

( ) ( )∑∑ Ψ=Ξm n

nmnm y,xay,xˆ( ) Ri

BPa 22

nm

resnmnm ω+χ−χ

Ψ=

2 inconnues : et ; système de deux équations intégrales couplées( )z,y,xPt ( )y,xΞ

avec

( ) ( )[ ] ( )

( )[ ]RiB

ydxdy,x0,y,xP0,y,xP2a

22nm

0000nm00t00inc

nmpl

ω+χ−χ

⌡⌠⌡

⌠ Ψ−=

Σ

( ) ( ) ( ) ⌡⌠

⌡⌠ Ξωρ−=

Σpl

000000a2

0t ydxdy,xˆ0,y,x;z,y,xGz,y,xPet

c.à.d.

Equations intégrales coupléesAmont AvalParoi

z<0 z>0( )

( ) ( ) ⌡⌠

⌡⌠ σΞωρ−

=

Σpl

000a2

0

t

drˆr/rG

z,y,xP

rrr( )

( ) ( ) ( )z,y,xPz,y,x'Pz,y,xP

z,y,xP

trinc

u

−+= x 0

y 0

zO

( )00 y,xΞΣpl

z=0

( ) ( ) ( )[ ]0,y,xP0,y,xP2y,xP 00t00inc00res −=

( )[ ] nmG2nmRiB

nmG2anmP2

aa

20

22nm

m

a

n

20inc

nmωρ−ω+χ−χ

νµωρ+

=

∑ ∑≠µµ

≠νν

νµ

carreaux

Résonance si χ≈χmn oscillateur classique

Perturbation apportéepar le champ acoustique dans le fluidecréé au point (x0,y0) par la contribution dumode (µ,ν) au mouvement vibratoire de l'élément de surface dx1dy1 situé au point (x1,y1),à la contribution du mode (m,n) au mouvement vibratoire de l'élément dx0dy0≡ réaction sur |mn> en (x0,y0) du champ acoustique |2Ga|µν> en cet endroit, créé en (x1,y1) et inversement.

La contribution du mode (m,n) au rayonnement se traduit par une réaction sur ce mode et par une perte d'énergie de ce mode : le mode (m,n) rayonne un champ acoustique qui atténue sa contribution au champ vibratoire.

dx0dy0

dx1dy1

(m,n)

(µ,ν)

participe à la création du champ acoustique

et vient perturber

si ωcamion≈ ω11vibration du carreau

Interprétation physique

Transfert d'énergie du champ incident Pinc pour créer la contribution du mode (m,n) au champ vibratoire

^

Produits scalaires

( ) ( )⌡⌠

⌡⌠ Ψ==Ψ

Σpl

0000mm00resresnmres ydxdy,xy,xPnmPP

( ) ( ) ( ) 0000nm11111100aa ydxdy,xydxdy,x0,y,x;0,y,xG2nmG2plpl

Ψ

⌡⌠

⌡⌠ Ψ⌡

⌠⌡⌠=νµ

Σνµ

Σ


14

L'acoustique des espaces clos

Acoustique des espaces clos (1/18)

But : répondre à un certain nombre de questions posées par l'acoustique des salles

pourquoi éviter les parois parallèles ?pourquoi utiliser une répartition d'impédance non homogène ?l'expression "le son ne passe pas la rampe" a-t-elle un sens ?quel est le principe du "contrôle actif" ?qu'est-ce qu'un flutter-écho, etc. ?

Comment ? En étudiant un cas d'école simple (forme simple avec "accidents") pour en extraire les idées physique simples

Royal Opera House (Londres)

Acoustique des espaces clos (2/18)Forme retenue :

DΣ0nr

D : cavité, auditorium, habitacle de voiture, ...

Irrégularités de surface : • irrégularités géométriques (exemple de parois non parallèles)

• répartition d'admittances β non uniformeuniformisation du champ

Sources F et U étendues formulation intégrale

Comment ? En étudiant un cas d'école simple (forme simple avec accidents)

pour en extraire les idées physique simples

Irrégularités de surface pour éviterles résonances

^ ^

habitacle de voiturenumériquement ou analytiquementfinalement "pas si loin de la réalité"...

Acoustique des espaces clos (3/18)Géométrie "compatible" :

D c

Σ c

DΣ

Fonction de Green aussi adaptée que possible au problème considéré• la plus simple (la moins adaptée) : e -ikr / r

rôle considérable de• la plus adaptée minimise le rôle de (on ne lui

attribue plus qu'un rôle de correction) Choix d'un domaine dit "compatible" Dc (englobant le domaine réel) et choix d'impédances pour réussir à calculer une fonction de Green (ex : admittance ζ donnée en x=0 (simple intermédiaire de calcul))

DΣ0nr

Dc

cnr

( )∫∫Σ σ∂−∂ 0nn dPPPG00

( )∫∫Σ σ∂−∂ 0nn dPPPG00

Problème


Rappel : cas où la fonction de Green satisfait aux mêmes conditions aux frontières que P

( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )

Σ∈ω=ωωβ+∂

∈ω−=ω+∆

r,;rU;rP;rki

r,;rF;rPk

0n

2

0

rrrr

rrrD

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )

Σ∈=ωβ+∂

∈−δ−=+∆

r,0r/rG;rki

r,rrr/rGk

00n

002

0

rrrr

rrrrrD

(1)(2)

(8)

(9)Formulation intégrale

^

(7)G (2) ( )PkiUGPG 0n 0

β−=∂

( )GkiPGP 0n 0β−=∂P (9)^

UGGPPG00 nn =∂−∂

( ) ∫∫∫∫ ΣΣ σ=σ∂−∂ 00nn dUGdGPPG00

(9)

(9) dans (7) :

( ) ( ) ( )

( ) ( )⌡⌠

⌡⌠ σω+

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠ ω=ω

Σ000

000

d;rUr,rG

d;rFr,rG;rP

rrr

rrrr

DV

simple ajout des sources

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ⌡⌠

⌡⌠ σ∂−∂+

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠=ω


00

rrrrrrrrrr

DD

( )cDD ≡

D cD

0nr

source S Σ

D Σ


:

( )t;rf rsources volumiques

0nr

source S Σ

D Σ


:

( )t;rf rsources volumiques

choix de conditions aux frontières

obligation : problème réel

Acoustique des espaces clos (4/18)Géométrie "compatible" (suite) :

D cD

Σ

Σ c

La plupart du temps, impossibilité de calculer la fonction de Greensatisfaisant aux conditions aux frontières du domaine réel

DΣ0nr

Dc

cnr

correction par rapport au champ obtenu sur un domaine Dc (si G satisfait à des conditions aux frontières pas trop "éloignées" des conditions aux frontières réelles)

( ) ( ) ( )∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ∫∫Σ σ∂ω−ω∂+ω=ω 00n00n0000 dr/rG;rP;rPr/rGd;rFr/rG;rP00

rrrrrrrrrrD V

( ) ( ) ( ) cm

m20

2m

0m0 r,r

kkr

r/rG V∈ψ−

ψ= ∑ rr

rrr

( ) ( )( )[ ] ( )

Σ∈=ψωζ+∂

∈=ψ+∆

cm0n

cm2m

r,0r;rki

r,0rk

c

rrr

rrV

où

problème aux valeurs propres


15

Acoustique des espaces clos (5/18)Fonction de Green dans un espace compatible, avec conditions auxfrontières distinctes des conditions aux frontières réelles

Parois parfaitement réfléchissantes (ζ = 0)

( ) ( )

2

z

z2

y

y2

x

x2mmm

2m

z

z

y

y

x

x

z

0m

y

0m

x

0mmmmm

Lm

Lm

Lm

kk

zL

mcosy

Lm

cosxL

mcos

L2

L

2

L2

rr

zyx

zyxzyx

π+

π+

π==

π

π

πδ−δ−δ−=ψ=ψ

rr

x

y

z

Lx

Ly

Lz

1zζ

1yζ

0zζ0yζ

0xζ

1xζ

Parois impédantes (ζ ≠ 0 et "petit")

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )10xx

x0x

xx

zyxzyx

xxx

00m

2

x

x2m

m

0xxm

x

0mm

mmmmmmm

Lk

2iL

m

kicosL

2xC

zCyCxCrr

ζ+ζδ−+

π≈χ

χζ−χ

δ−≈

=ψ=ψrr

géométrie de la cavité

0m c

kk ω=≠ source

Acoustique des espaces clos (6/18)Fonction de Green et fonctions propres dans le cas où le domaine Dc est un parallélépipède rectangle aux parois parfaitement réfléchissantes (ζ = 0)

( ) ( )

2

z

z2

y

y2

x

x2mmm

2m

z

z

y

y

x

x

z

0m

y

0m

x

0mmmmm

Lm

Lm

Lm

kk

zL

mcosy

Lm

cosxL

mcos

L2

L

2

L2

rr

zyx

zyxzyx

π+

π+

π==

π

π


rr

( ) ( ) ( ) cm

m20

2m

0m0 r,r

kkr

r/rG V∈ψ−

ψ= ∑ rr

rrr

mx=0 , my=0 , mz=0 km=0

mode à fréquence propre nulle (rappel : on entend la fréquence ω de la source)mode prépondérant pour les très basses fréquences (ω << Inf(ω100,ω010,ω001,...) )la contribution de ce mode correspond à une répartition uniforme de pression dansla cavité (ψ000 n'est pas fonction de r )→

Acoustique des espaces clos (7/18)

( ) ( )

2

z

z2

y

y2

x

x2mmm

2m

z

z

y

y

x

x

z

0m

y

0m

x

0mmmmm

Lm

Lm

Lm

kk

zL

mcosy

Lm

cosxL

mcos

L2

L

2

L2

rr

zyx

zyxzyx

π+

π+

π==

π

π


rr

( ) ( ) ( ) cm

m20

2m

0m0 r,r

kkr

r/rG V∈ψ−

ψ= ∑ rr

rrr

mx=1 , my=0 , mz=0 contribution enne dépend ni de y, ni de z (mode axial)

: structure spatiale du champ = superposition des structures spatiales de tousles modessi ce mode (1,0,0) est le seul dans la cavité, pression nulle au milieu et maximalesur les côtés...source ponctuelle en si est au centre, pas de transfert d'énergiede la source (ponctuelle) vers ce mode (évite de déclancher un mode)par allégorie, "le son ne passe pas la rampe"

π xL

cosx

∑m

( )0m0 r:r rrψ 0rr

Fonction de Green et fonctions propres dans le cas où le domaine Dc est un parallélépipède rectangle aux parois parfaitement réfléchissantes (ζ = 0)

1) Problème dans le domaine de Fourier

( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )

Σ∈ω=ωωβ+∂

∈ω−=ω+∆

r,;rU;rP;rki

r,;rF;rPk

0n

2

0

rrrr

rrrD

2) Problème élémentaire, fonction de Green

3) Problème aux valeurs propres associé 4) Fonction de Green

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )

Σ∈=ωζ+∂

∈−δ−=+∆

c00n

c002

r,0r/rG;rki

r,rrr/rGk

c

rrrr

rrrrrD

( ) ( )( )[ ] ( )

Σ∈=ψωζ+∂

∈=ψ+∆

cm0n

cm2m

r,0r;rki

r,0rk

c

rrr

rrD

( ) ( ) ( )∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ∫∫Σ σ∂ω−ω∂+ω=ω 00n00n0000 dr/rG;rP;rPr/rGd;rFr/rG;rP00

rrrrrrrrrrD D

( )[ ] ( ) ( ) Σ∈ω=ωωβ+∂ r,;rU;rP;rki 0n 0

rrrr

( ) ( ) ( ) cm

m20

2m

0m0 r,r

kkr

r/rG D∈ψ−

ψ= ∑ rr

rrr

5) Problème avec équation intégrale

D∈r, r

Acoustique des espaces clos : plan d'étude (8/18)

sur D et non sur Dc

( ) ( ) ( )∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ∫∫ DDD ∈σ∂ω−ω∂+ω=ω Σ r,dr/rG;rP;rPr/rGd;rFr/rG;rP 00n00n0000 00

rrrrrrrrrrr

( ) ( ) ( ) ( ) Σ∈ω+ωωβ−=ω∂ r,;rU;rP;rki;rP 0n 0

rrrrr

Acoustique des espaces clos : résolution pour ζ=0 (9/18)

( ) 0r/rG 0n c=∂≠

rr

( ) ( ) ( )∫∫∫( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ∫∫ D

DD

∈σ∂ω−ω+ωωβ−+

ω=ω

Σ r,dr/rG;rP;rU;rP;rkir/rG

d;rFr/rG;rP

00n000

000

0

rrrrrrrrr

rrrr

or ( ) ( ) ( ) DD ⊃∈ψ−

ψ= ∑ c

mm2

02m

0m0 r,r

kkr

r/rGrr

rrr

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] D

DD

∈

σψ∂ω−

⌡⌠⌡

⌠ ω+ωωβ−ψ+

⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠ ωψ

−ψ=ω

Σ

∑

r,dr;rP

;rU;rP;rkir

d;rFrkk

1r;rP

00mn0

0000m

000mm

20

2m

m

0

rrr

rrrr

rrrr

seul termedépendant de r→

mA( )∑ ψ=m

mm rA r indépendant de r→

Acoustique des espaces clos : résolution pour ζ=0 (9/18)

( ) ( )⌡⌠

⌡⌠

⌡⌠ ψ=

DD 000m rdrFrFm rrr

Notations

( ) ( )⌡⌠

⌡⌠ ψ=

ΣΣ 000m rdrUrUm rrr

opérateur :0n0 ouˆki ∂β=O( ) ( )⌡

⌠⌡⌠ ψψ=µ

ΣµΣ 00m0 rdrrm rrr

OO

Coefficient Am du développement modal^

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

σψ∂ψ−

⌡

⌠⌡

⌠

ωψ+ψβ−ψ+−

=

∑

∑

µµµ

Σ µµµ

00mn0

00m000m22m

m

drrA

;rUrrAˆkirFmkk

1A

0

rr

rrrr

D

( )ω;rP 0r

( )

∂+βµ−+−

= ∑µ Σ

µΣmˆkiAUmFm

kk1A

0n022m

m D

avecΣΣ

µβ=βµ ˆkimmˆki 00 MAISΣΣ

µ∂≠∂µ00 nn mm


16

Acoustique des espaces clos : résolution pour ζ=0 (10/18)Coefficient Am du développement modal^

( )

∂+βµ−+−

= ∑µ Σ

µΣmˆkiAUmFm

kk1A

0n022m

m D

( ) ( ) ( )Σ≠µ Σ

µµ Σ

µ ∂+β+∂+βµ=∂+βµ ∑∑ mˆkimAmˆkiAmˆkiA000 n0m

mn0n0avec

( )( )

( ) ( )22

m

mmm

n022

m

mn0

m ˆ

A,ˆCS

mˆkimkk

mˆkiAUmFmA

0

0

ω−Ω

Σβ−ω

=∂+β+−

∂+βµ−+

=∑∑≠µ

µµ

Σ

≠µ ΣµΣD

avec ( ) ( )∑ ψ=ωm

mm rA;rP rr

et

( )

π+

π+

π=

π

π

πδ−δ−δ−=ψ

2

z

z2

y

y2

x

x2m

z

z

y

y

x

x

z

0m

y

0m

x

0mm

Lm

Lm

Lm

k

zL

mcosy

Lm

cosxL

mcos

L2

L

2

L2

r zyxr

la structure spatiale est celle des modes superposés

Acoustique des espaces clos : interprétation (11/18)

( )( )

Σ

≠µ ΣµΣ

∂+β+−

∂+βµ−+

=∑

mˆkimkk

mˆkiAUmFmA

0

0

n022

m

mn0

m

D

Résonance si k≈km

oscillateur classique

Couplage du mode µ avec le mode m (échange d'énergie entre les modes) d'autant plus important que l'intégrale <µ |(ik0β+∂n0)m> est importante. Si β est non uniforme et si défauts géométriques, cette intégrale devient relativement importante : distribution de l'énergie par les modes.Si β uniforme sur chaque paroi et si géométrie compatible, <µ|ik0βm>≈ik0β<µ|m>≈δmµ≈0, peu ou pas de couplage de mode.

Transfert d'énergie des sources F et U pour créer la contribution du mode m au champ acoustique. Si la fonction source F est "orthogonale" au mode m, pas de transfert d'énergie de cette source au mode m.

^

absorbant a un effet si ψm non nul à cet endroit

irrégularité de géométriepermet de limiter l'effetd'un mode

( )Q

ddˆki1A

0mnm02m0

m0

∝σψ∂ψ+σψβ

∝∫∫∫∫ ΣΣ

facteur de qualité

géométrie de la cavité source (ω)+ milieu (c0)

^

à la résonance

sources en phase

^

Acoustique des espaces clos : interprétation (12/18)source ponctuelle émettant un signal harmonique jusqu'à l'époque t = 0 ; couplages de modes négligés (supposés très faibles)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

ψϕ+ωω−Ω

σ=≥

ψϕ+ωω−Ω

σ=≤

σ−=

∑

∑

γ−

ω

mmmm

t2g

2m

m

mmmg2

g2m

m

timm

rtcoseˆˆ

t;rp,0t

rtcosˆˆ

t;rp,0t

eˆtHtS

m

g

rr

rr

( ) ( ) ( )22

m

m22

m

mmm

m ˆS

ˆ

A,ˆCSA

ω−Ω

ω≈

ω−Ω

Σβ−ω

=∑≠µ

µµRappel (source harmonique) :

t=0ωg

mmm iˆ γ+ω≈Ωavec ( )

∂+β∝γ

ΣmˆkimIm

0n0met traduit l'absorption de l'énergiedu mode considéré par les parois

t < 0 : on entend l'unique fréquence ωgt > 0 : chaque mode oscille dans le temps à sa fréquence propre (on entend toutes les fréquences ωm)

• après extinction de la source, ce sont les modes de fréquences très voisines de ωgqui ont la plus grande amplitude, et que l'on entend principalement.

• on entend tous les ωm, mais la mémoire de ωg est contenue dans Ωm²-ωg².^

Acoustique des espaces clos : interprétation (13/18)source ponctuelle "explosive" à l'époque t = 0 (dirac)

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

ψϕ+ωΩ

σ−=≥

=≤

δσ=

∑ γ−

mmmm

t

m

m

mm

rtcoseˆi2ˆ

t;rp,0t

0t;rp,0t

tˆtS

mrr

r

plus de résonance autour des fréquences de sourceénergie transmise à tous les modes : tous les modes sont générésaucun mode n'est particulièrement privilégiée (en raison de la largeur "infinie" du spectre de fréquence de la source), seuls étant éventuellement absents les modes pour lesquels σm=0 (transfert d'énergie source-modenulle, soit, pour une source ponctuelle, ψm(r0)=0).→

^


http://www.kettering.edu/acad/scimath/physics/acoustics/McKinnon/McKinnon.html

McKinnon Theater, Kettering University, Flint, MI écran sur un mur parfaitementréfléchissant

mur parfaitement réfléchissant

400 places


http://www.kettering.edu/acad/scimath/physics/acoustics/McKinnon/McKinnon.html

flutter écho

McKinnon Theater, Kettering University, Flint, MI

échos successifs

Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University


17


http://www.allchurchsound.com/ACS/R_D/kitchen/

vitessed'écoutenormale

flutter écho entre sol et plafond

vitesse d'écoutedivisée par deux

(1 strie = passage devant le microphone)≈ 17 stries en 0.1 s ≈ 170 stries en 1 s

170 * d (ou 2d) = 340 d = 2 m


http://www.allchurchsound.com/ACS/R_D/nov42001tests/

flutter écho

tambour_sans_traitement

tambour avec traitement


http://www.allchurchsound.com/ACS/R_D/nov42001tests/

flutter écho

clap_sans_traitement

clap_avec_traitement


18

Le problème : source ponctuelle "explosive" à l'époque t = 0 (dirac)Analyse modale d'une cymbale (1/5)

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

ψϕ+ωΩ

σ−=≥

=≤

δσ=

∑ γ−

mmmm

t

m

m

mm

rtcoseˆi2

ˆt;rp,0t

0t;rp,0t

tˆtS

mrr

r

plus de résonance autour des fréquences de source énergie transmise à tous les modes : tous les modes sont générés aucun mode n'est particulièrement privilégié (en raison de la largeur

"infinie" du spectre de fréquence de la source), seuls étant éventuellement absents les modes pour lesquels σm=0 (transfert d'énergie source-modenulle, soit, pour une source ponctuelle, ψm(r0)=0).

→^

Espace clos "cylindrique" Analogie avec un espace clos parallélépipédique :

But de l'analyse

Montrer l'importance du transfert d'énergie source-mode suivant l'étendue spatiale de la source suivant la position spatiale de la source

Les modes propresAnalyse modale d'une cymbale (2/5)

( ) 0ww kk,0akJ ==ν

En toute première approximation (épaisseur non constante, disque non plan, plaque et non membrane), les modes sont tels que

Raisonnement très qualitatif ==> analogie avec un espace clos parallélépipédique de géométrie cartésienne valable

Plus la fréquence est élevée, plus la longueur d'onde spatiale est petite

J0

J1 J2 J3 J4 J5

Influence de l'étendue spatiale de la sourceAnalyse modale d'une cymbale (3/5)

( ) ( ) ( ) 0xdxFxdxxFFmAa

0m

a

0mm =ψ≈ψ= ∫∫D

p

baguette "quasi-ponctuelle" baguette non ponctuelle

Analogie avec l'exemple d'une onde plane incidente sur une plaque vibrant sur le mode (2,1)

0a/4

a/23a/4

ab/2

b

ΨΨΨΨ21(x,y)

yx

0

mode (2,1)

0a/4

a/23a/4

ab/2

b

ΨΨΨΨ21(x,y)

yx

0

mode (2,1)

sons plus riches en aigus sons beaucoup moins riches en aigus (les sons graves dominent)

Influence de la position du point d'impact (1/2)Analyse modale d'une cymbale (4/5)

J0

J1 J2 J3 J4 J5

DFmA m p

source ponctuelle en si est tel que pas de transfertd'énergie de la source (ponctuelle) vers ce mode (évite de déclancher un mode)Se souvenir de l'allégorie, "le son ne passe pas la rampe"

( )0m0 r:rrr

ψ 0rr ( ) 0r0m =ψ

r

Influence de la position du point d'impact (2/2)Analyse modale d'une cymbale (5/5)

baguette "quasi-ponctuelle"

baguette non ponctuelle

Avec la participation active de Michel et Anne-Marie Bruneau...


19

Transparents basés surC. POTEL, M. BRUNEAU, Acoustique Générale - équations différentielles et intégrales, solutions en milieux fluide et solide, applications, Ed. Ellipse collection Technosup, 352 pages, ISBN 2-7298-2805-2, 2006

chap1 applications acoustiqueperso.univ-lemans.fr/~cpotel/chap7_equations_integrales... · 2007....

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