Mechanik II / Vorlesung 5 / Prof -...
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1 Mechanik II / Vorlesung 5 / Prof. Popov Kraftgesetze II (VI) Auftriebskraft (VII) Molekulare Kräfte (VIII) Reaktionskräfte (Führungskräfte, Zwangskräfte) Reaktionskraft ist so groß wie erforderlich. Haftreibung ist auch eine Reaktionskraft. Aus der Kinematik folgt: a R ϕ ϕ = && : ( ) 2 r a R ϕ =− & Für Kräfte haben wir: sin F mg ϕ ϕ =− cos r N F mg F ϕ = − Das 2.N.G. nimmt die Form an: sin mR mg ϕ ϕ =− && ( ) 2 cos N mR mg F ϕ ϕ − = − & Wir brauchen nur die erste Gleichung! ⇒ Reduzierung der Anzahl der Freiheitsgrade R g ϕ ϕ =− ⇒ && Schwingungen mit der Periode 2 R T g π = 2 2 d d d d d dt dt d dt d ϕ ω ω ϕ ω ω ϕ ϕ = = ⋅ = ⋅ : () () 0 0 sin g d d R ϕ ω ω ϕ ωω ϕϕ =− ∫ ∫ : () () 2 2 0 cos cos 0 2 g R ω ω ϕ ϕ − = − . Aufgabe: Mit welcher Geschwindigkeit muß der Körper in der unteren Position gestoßen werden, damit er in der oberen Position bleibt. Lösung: Bei ϕ π = muß ( ) 0 ωπ = sein. Anfangsbedingung ist () 0 0 ϕ = . Daraus folgt: () 0 2 g R ω = oder () () 0 0 2 v R gR ω = = c) Zu bestimmen ist die Schwingungsperiode mit Anfangsbedingungen () 0 0 w = , 0 (0) ϕ ϕ = . 0 2 cos cos d g r dt ϕ ω ϕ ϕ = =± − : 0 0 0 2 4 cos cos T d R g ϕ ϕ ϕ ϕ = − ∫ : 13 1/ r Hookesches Gesetz r
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Mechanik II / Vorlesung 5 / Prof. Popov Kraftgesetze II
(VI) Auftriebskraft
(VII) Molekulare Kräfte
(VIII) ReaktionsZwangskräfte)
Reaktionskraft is
Haftreibung ist a
Aus der Kine
a Rϕ ϕ= && : ( )2ra R ϕ= − &
Für Kräfte haben wir:sinF mgϕ ϕ= − cosr NF mg Fϕ= −
Das 2.N.G. nimmt die Form an: sinmR mgϕ ϕ= −&&
( )2 cos NmR mg Fϕ ϕ− = −&
Wir brauchen nur die erste Gleichung!⇒Reduzierung der Anzahl der
Freiheitsgrade
R gϕ ϕ= − ⇒&&
Schwingungen mit der Periode
2 RT gπ=131/ r
r
Hookesches Gesetz
kräfte (Führungskräfte,
t so groß wie erforderlich.
uch eine Reaktionskraft.
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d d d d ddt dt d dt dϕ ω ω ϕ ω
ωϕ ϕ
= = ⋅ = ⋅ :
( ) ( )0 0
singd dR
ϕω
ω ϕ
ω ω ϕ ϕ= −∫ ∫ :
( ) ( )22 0
cos cos 02
gR
ω ωϕ ϕ
−= − .
Aufgabe: Mit welcher Geschwindigkeit mußder Körper in der unteren Position gestoßenwerden, damit er in der oberen Position bleibt.
Lösung: Bei ϕ π= muß ( ) 0ω π = sein. Anfangsbedingung ist ( )0 0ϕ = .
Daraus folgt: ( )0 2 gRω = oder
( ) ( )0 0 2v R gRω= =
c) Zu bestimmen ist die Schwingungsperiode mit Anfangsbedingungen ( )0 0w = , 0(0)ϕ ϕ= .
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matik folgt:
02 cos cosd grdt
ϕω ϕ ϕ= = ± − :
0
0 024 cos cos
T dRg
ϕ ϕϕ ϕ
=−∫ :
2
d) Numerische Lösungen bei ( )0 0ϕ = , ( )0 0ϕ ≠&
(IX) Scheinkräfte („Trägheitskräfte“)
Zwei Bezugssysteme:
'x x S= + : 'y y=
Für Max gilt das 2.N.G.2
2 xd xm Fdt
= ; 2
2 yd ym Fdt
= ;
Wie sieht die Bewegung für Moritz aus?
'x x S= − 'y y=
'dx dx udt dt
= − 'dy dydt dt
=
2 2
2 2
'd x d xdt dt
= 2 2
2 2
'd y d ydt dt
=
Daraus folgt:
2
2
'x
d xm Fdt
= 2
2
'y
d ym Fdt
=
Das 2.N.G gilt in der selben Form (Galileisches Relativitätsprinzip)
2
2AtS =
2 2
2 2
'd x d x Adt dt
= −
2
2
'x
d xm F mAdt
= −
2
rvm Fr=
(Das 2.N.G. im rotierenden System)
im rotierenden System bewegt sich der Körper nicht Es muß Zentriefugalkraft =
2
2vm mw rr
= = wirken
Bewegung des Pendels im rotierenden System:
)(2 ωωωω ××+×+×+−=′
rvrAFv mmmmdtdm &
Coriolis-Kraft
