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22 MECANIQUE DES MATERIAUX SOLIDES SOLUTIONS DES EXERCICES
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MECANIQUE DES MATERIAUX SOLIDES
SOLUTIONS DES EXERCICES
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ÉTUDE DE CONTRAINTES THERMIQUES DANS UN BARRAGE
Géométrie et gradient thermique
On veut caractériser les contraintes d’origine thermique dans unbarrage en béton. On ne considère pas pour le moment les contraintesdues à la pression de l’eau retenue, qui peuvent être prises en comptepar superposition. On vérifiera en fin de compte que les valeurscorrespondantes sont faibles devant les contraintes thermomécaniques.On étudie le prisme de la figure ci-dessus, d’épaisseure selonx1, "infini"selonx2, "long" selonx3, (hauteurh). La température lors de la fabricationest uniformeT = T0, et elle évolue ensuite, pour prendre une valeurT1 enx1 = 0 etT2 enx1 = e, avec un profil que l’on supposera linéaire.
Application numérique :- module d’Young :E = 40 000 MPa ; coefficient de Poisson :ν = 0.2- coefficient de dilatation thermique :α = 14.10−6/◦C- température au moment de la construction :T0 = 20◦C- température côté air : en hiver,T1 =−40◦C ; en été,T
′1 = 20◦C
- température côté eau :T2 = 0◦COn utilisera :
λ =Eν
(1+ν)(1−2ν)2µ=
E1+ν
soit :
λ+2µ=E(1−ν)
(1+ν)(1−2ν)3λ+2µ=
E1−2ν
1. Prévoir, sans calcul, la forme des tenseurs de contraintes et dedéformations, ainsi que les directions principales.Termes 12 et 23 nuls car DP en direction 2 ; termes 13 nuls car il y a
indépendance enx3, et une section de normalex3 plane reste plane.Dans le repèrex1, x2, x3, les tenseurs de contrainte et de déformationsont donc respectivement représentés par les matrices : σ11 0 0
0 σ22 00 0 σ33
et
ε11 0 00 0 00 0 ε33
(1)
ε33 = ε033 est uniforme dans le solide
(hypothèse dedéformation plane généralisée)
2. Ecrire les relations de Hooke donnantσi j en fonction deεkl, enprenant en compte une dilatation thermique isotrope en chaque point
24du solide,εth = α(T−T0), en utilisant E etν.
σi j = Ci jkl (εkl −α(T−T0)δkl)σi j = λεll δi j +2µεi j − (3λ+2µ)α(T−T0)δi j
(1+ν)(1−2ν)σ11
E= (1−ν)ε11+νε0
33
−(1+ν)α(T−T0) (2)
(1+ν)(1−2ν)σ22
E= ν(ε11+ ε0
33)− (1+ν)α(T−T0) (3)
(1+ν)(1−2ν)σ33
E= (1−ν)ε0
33+νε11
−(1+ν)α(T−T0) (4)
3. A l’aide des équations d’équilibre et des conditions aux limites enx1 = 0 et x1 = e, trouverσ11.Les contraintes et les déformations ne dépendent que dex1, la seule
équation d’équilibre non triviale s’exprimeσ11,1 = 0 ; σ11 est doncindépendante dex1. Comme par ailleurs elle doit être nulle à la foisenx1 = 0 etx1 = e, elle est nulle partout :
∀M,σ11 = 0
Ceci fournit la relation :(1−ν)ε11+νε0
33− (1+ν)α(T−T0) = 0
4. En écrivant la résultante des efforts sur une section courante dubarrage de normale x3, trouverσ33. Calculer la valeur maximale deσ33.Z e
0σ33dx= 0 conduit à :ε0
33 =(1+ν)
eα
Z e
0(T−T0)dx
d’où : ε11 =1+ν1−ν
α(T−T0)−ν(1+ν)
1−να
Z e
0
T−T0
edx
Il vient alors :σ33 =−Eα(T−T0)1−ν
+Eα
1−ν
Z e
0
T−T0
edx.
Le développement de cette expression montre queσ33 est indépen-dante deT0, ce qui donne les expressions suivantes, respectivementpour le cas général :
σ33 =−EαT1−ν
+Eα
1−ν
Z e
0
Te
dx
et pour un profil linéaire :
σ33 =Eα
1−ν
(T1 +T2
2−T
)Dans ce dernier cas, la contrainte est maximale en surface ; elle estpositive du côté froid, et vaut :
σ33max =Eα
1−νT2−T1
2
Il faut aussi remarquer que le résultat ne dépend pas directement del’épaisseur du mur. Dans la pratique, pour des conditions d’échangesthermiques données, une épaisseur plus importante conduira à desgradients plus importants. On en déduit que les parois qui résistentle mieux aux contraintes thermomécaniques sont les parois les plusminces.
5. Calculerσ22.En remplaçantε11 et ε0
33 dansσ22 , il vient :
σ22 =−Eα(T−T0)1−ν
+Eαν1−ν
Z e
0
T−T0
edx
Dans le cas d’un profil linéaire,
σ22 =−Eα(T−T0)1−ν
+Eαν1−ν
(T1 +T2
2−T0
)
25On note que :si T1 = T2 σ22 = Eα(T0−T1) ;
(traction simple en direction 2)
si T0 =T1 +T2
2σ22 =−Eα(T−T0)
1−ν
Application numérique :
– Les contraintes les plus critiques sont obtenues en hiver :
σ33max =40000×14.10−6×40
(1.−0.2)×2= 14MPa
σ22max =40000×14.10−6
0.8((20+40)+0.2× (−20−20))
σ22max = 36.4MPa
Du côté extérieur (froid), le béton est en traction selon les directions
horizontale et verticale. Les valeurs obtenues sont suffisantes pourproduire des fissures (le béton résiste à moins de 10 MPa en traction).
– Entre l’hiver et l’été, la variation de déformation verticale ne dépendque de la variation de température de l’air :
∆ε033 =
(1+ν)e
αZ e
0(T
′−T)dx
= (1+ν)αT′1−T1
2= 1.2×14.10−6×60/2 = 5.04×10−4
Sur la hauteur de 200m, le déplacement vaut donc environ 10 cm ! Ilfaut impérativement tenir compte des dilatations dans la conceptionde ce type d’ouvrage.
26FLEXION D’UNE POUTRE DE SECTION RECTANGULAIRE
x x1
3 Epaisseur b
MM 2h
x
x2
Figure 1 : Géométrie et chargement de la poutre
La poutre de la figure 1 possède une section rectangulaire, de hauteur2h et de largeurb. Elle est chargée en flexion pure (cisaillements négligés),et on suppose qu’une section droite de normalex1 reste droite.Le comportement du matériau qui la constitue est élastique (E, ν)parfaitement plastique (σy).
1. Quelle est la distribution de contrainte et de déformation enélasticité ?En flexion pure, l’état de contrainte est uniaxial ; le déplacementu1,
doncε11 etσ11 sont proportionnels àx3 (origine des axes sur la ligneneutre).
σ =
σ 0 00 0 00 0 0
; εe =
σ/E 0 00 −νσ/E 00 0 −νσ/E
(1)
L’écriture de l’équilibre des moments (Figure 2a)
M =Z +h
−hx3σ11bdx3 donne, en supposant queσ11 = kx3 :
σ11 = σ = Mx3/I , avecI = 2bh3/3σmax= σm = 3M/2bh2 , σ(x3) = (x3 /h)σm
2. Trouver le moment Me pour lequel la plasticité débute.Il y a plastification lorsqueσm = σy, soit :Me = 2bh2σy/3
σ− Μ
σΜ
σ0−
0σ
σ0−
0σ
x3
Compression
Traction
−h
+h
a−a
ba
x3
c
x3
Figure 2 : Profil de contrainteσ11 dans une poutre en flexion simple :(a) Elasticité, (b) En cours de plastification, (c) Charge limite
3. Trouver la distribution des contraintes lorsque M dépasse Me.Montrer qu’il existe une valeur limite M∞ du moment de flexionpour laquelle les déformations deviennent infinies.Pour M > Me, il y a un noyau élastique−a ≤ x3 ≤ a, et deux
zones plastiques, l’une en traction (x3 > a), l’autre en compression(x3 < −a). Dans le noyau élastique, on a toujours linéarité dela contrainte avecx3 : σ = kx3 ; dans les zones plastiques, on
27a σ = +σy(x3 > a), ou σ = −σy(x3 < −a) (Fig.2b). Les deuxinconnues du problème sontk eta.Elles doivent vérifier :
– la condition d’équilibre (1) :Z +h
−hx3 σbdx3 = M
– la continuité de la déformation en±a , entraînant celle de lacontrainte à la frontière entre les zones élastique et plastique :ka= σy d’où : k = σy/a.En remplaçantσ par son expression dans l’égalité (1), on obtient lavaleur deM :
M/2 =Z a
0x3(σy x3/a)bdx3 +
Z h
ax3 bσydx3
M = bσy(h2−a2/3)
Remarques :
– Sia = h : M vaut bienMe = (2/3)bσyh2
– Sia = 0 : M = M∞ = bσyh2 = 3Me/2Dans les deux cas, les solutions élastique et plastique se raccordentcorrectement.Pour M = M∞, la totalité de la poutre est plastifiée, elle ne peutplus supporter de charge supplémentaire, on a unerotule plastique(Fig.2c).
4. Que se passe-t-il lorsqu’on relâche l’effort (M= 0),i) dans le cas où le moment maximum atteint vaut Mm≤Me,ii) dans le cas où Me < Mm < M∞ ?Montrer qu’il subsiste dans ce dernier cas descontraintes résiduelles.
Si on n’a pas dépassé le momentMe, l’ensemble de la structurereste élastique, si bien que, après relâchement de l’effort, la structurereprendra sa forme initiale, et il n’y aura plus de contraintes. Aucontraire, s’il y a eu plastification partielle, lorsqu’on fera passer le
moment deMm à zéro, les fibres qui sont allongées (resp. raccourcies)de façon irréversible vont se retrouver en compression (resp.traction). En supposant que l’ensemble de la décharge s’effectuede façon élastique (ce que l’on vérifiera par la suite), on obtientl’état final par superposition de l’état actuel et de la distribution decontrainte que l’on obtiendrait en élastique avec le moment−Mm,soit, quel que soitx3 compris entre−h et +h : σ = −Mmx3/I . Celadonne le profil suivant, reporté en figure 3a :– pour−a≤ x3 ≤ a σ = σyx3/a−3Mmx3/2bh3
– pourx3 ≥ a σ = σy−3Mmx3/2bh3
– pourx3 ≤−a σ =−σy−3Mmx3/2bh3
Remarques :
– On note que la pente−3Mm/2bh3 est négative pour|x3|> a.
– Les contraintes résiduelles sontautoéquilibrées:Z +h
−hσ dx3 = 0.
– On ne replastifie pas en compression, car, lorsque le momentmaximum Mm tend vers le moment limiteM∞ = bσyh2,la contrainteσc obtenue par superposition enx3 = h restesupérieure à−σy :
σc = σy− (3bσyh2/2bh3)h =−σy/2
σc
σT σ0−
0σ− /2
0 /2
−aa
a b
σ0
σ
TC
C
T
x3 x3
Figure 3 : Profil de contrainteσ11 après décharge : (a) Pour une mise encharge élastoplastique, (b) Pour une mise en charge à la charge limite
285. Recommencer le problème avec une force horizontale P superposée
au moment de flexion : définir dans le plan P–M la “limited’élasticité”, pour laquelle il y a plasticité commençante, et la
“charge limite” correspondant à la ruine de la structure pardéformation excessive.Si on applique une traction horizontale en plus d’un moment, la
forme du tenseur de contrainte est inchangée, mais la ligne neutreest déplacée. On a simplement, en élasticité :
σ11 = σ = Mx3/I +P/2bh
On définit donc la limite du domaine d’élasticité par un segment dedroite dans chaque quadrant du planP–M.On connaît déjà le moment limite en flexion simple. En l’absence demoment, la charge limite en traction est égale à la charge qui produitla première plasticité :
P∞ = Pe = 2hbσy
Pour trouver les valeurs dePr et Mr qui conduisent à la ruine, encas de chargement combiné, il suffit de se placer directement à l’étatlimite (Fig.4a), et d’y écrire l’équilibre des moments et de la forcehorizontale. Cet état est caractérisé par :
si x3 < a : σ =−σy
si x3 > a : σ = σy.
On écrit alors :
P =Z a
−h−σybdx3 +
Z h
aσybdx3 =−2σyab
M =Z a
−h−σyx3bdx3 +
Z h
aσyx3bdx3 = bσy(h2−a2)
En normant parPe et Me, Pr =−Pea/h ; Mr = 3Me(1−a2/h2)/2, eton trouve le diagramme de la figure 4b :
Mr/Me = (3/2)(1− (Pr/Pe)2)
(a) (b)Figure 4 : (a) Profil de contrainteσ11 pour l’état de charge limite, en
traction axiale et flexion pure, (b) illustration des domaines élastique etplastique dans l’espaceP–M
6. Evaluer la flèche au cours du chargement et la flèche résiduelle.En supposant qu’une section plane reste plane, le champ de
déplacement dans la poutre est de la forme :u1 = U(s)+θx3 U(s) désignant le déplacement d’ensemble de la section,
θ son angle de rotation,u2 = V(s) V(s) désignant le déplacement vertical.
S’il n’y a pas de cisaillement de type 12, la déformationcorrespondante doit être nulle. On trouve ainsi la relation qui permetde calculer la flèche en connaissant la rotation :
u1,2 +u2,1 = 0
θ+V,1 = 0
La déformation axiale se calcule aisément en fonction de la rotation,puisque :
ε11 = u1,1 = θ,1x3
29Dans le cas d’un comportement élastique, le termeθ,1 s’exprime en
fonction du moment appliqué, puisque :
M =Z +h
−hσ11x3bdx3 = EIθ,1
En présence de plasticité parfaite, la rotation continue d’être imposéepar le noyau élastique : une section plane reste plane, et sonorientation est donnée par la pente entre−a eta. Dans cette zone :
ε11 = σ11/E = (σy/E)(x3/a)
θ,1 = σy/Ea
Il s’ensuit que la courbureV,11 vaut :– en régime élastique :V,11 =−M/EI– en régime élastoplastique :V,11 =−σy/EaL’intégration de ces équations pour une poutre simplement posée surses deux extrémités, et de longueur 2L (soit−L≤ x1≤ L) donne pourexpression du déplacement vertical :– en régime élastique :V = (M/2EI)(L2−x2
1)– en régime élastoplastique :V = (σy/2Ea)(L2−x2
1)La valeur maximale de la flèche est obtenue pourx1 = 0. En
remplaçant a par son expression en fonction deM pendant le régime
élastoplastique, on trouve l’expression de la réponse globale de lastructure :
V =σyL2
2Eh√
3(1−M/bσyh2)
Remarque :
Cette expression est cohérente avec celle qui est écrite pour le casélastique lorsqueM = Me = (2/3)bσyh2
La flèche tend vers l’infini lorsqueM tend versM∞ = bσyh2. Dansce dernier cas, il est clair que l’hypothèse de petites déformationssera en défaut bien avant la rupture, si bien qu’il faut en toute rigueurreconsidérer le calcul.La flèche résiduelle est celle que l’on calcule en superposant aurésultat précédent écrit pour le momentMm celui obtenu lors d’unedécharge élastique de−Mm, soit :
V =σyL2
2Eh√
3(1−Mm/bσyh2)− MmL2
2EI
30CRITERES DE PLASTICITE
1. Comparaison des critères de von Mises et Tresca :Tracer dansle plan des contraintes principalesσ1–σ2 la limite du domained’élasticité en accord avec les critères de von Mises et de Tresca,(a) dans le cas où les seules composantes non nulles du tenseur descontraintes sontσ1 et σ2,(b) lorsque l’on superpose une troisième contrainte constanteσ3.a. Se reporter au cours.
b.σ
2
σ3
σ3
σ3 0
σ+
σ3 0
σ+ σ10
Figure1 : Tracé du critère de von Mises dans le planσ1–σ2, en contrainteplane et pourσ3 6= 0
J ={(3/2)si j si j
}0.5
J ={(1/2)
[(σ1−σ2)2 +(σ2−σ3)2 +(σ3−σ1)2
]}0.5
Le critère ne doit pas être modifié par l’addition d’un tenseur
sphérique. On en déduit que la forme du critère pour l’état decontrainte : (σ1,σ2,σ3) est la même que celle obtenue pour :(σ1 − σ3,σ2 − σ3,0). La forme cherchée dans le planσ1–σ2 estdonc obtenue par simple translation dans la direction de la premièrebissectrice. Ce résultat, illustré en figure1 dans le cas du critère devon Mises, est également valable pour le critère de Tresca.
2. Plasticité cristalline.a. Montrer que, dans le cas de la plasticité cristalline avecdéformation par glissement cristallographique, la déformations’effectue sans changement de volume.b. Démontrer le «principe» du travail maximal pour un matériauobéissant à la loi de Schmid.a. On considère un point quelconqueM(x1,x2,x3) du plan de normale
n. La distance de ce plan à l’origine estOP= h. On veut évaluer letenseur de déformation uniforme produit par un glissementγ selon levecteurm du plan défini par sa normalen. Le déplacement vaut :
u = (γh)m
Commeh = OM.n = xini :
ui = γxk nk mi
ui, j = γxk,l nk mi etu j,i = γxk,i nk mj
Commexk, j = δk j :
2εi j = ui, j +u j,i = γ(n j mi +ni mj)
ε∼
=12(m⊗n+n⊗m)
La variation de volume associée à ce tenseur est bien entendu nulle,
31en effet :
trace(ε∼) = nimi = 0
a3
a1 a2
n
m
u
0
P
M
b. On considère un monocristal métallique qui se déformeplastiquement sur un seul système de glissement (n,m). On peut doncécrire (avecγ positif ; une sollicitation en sens opposé déclencheraitun autre système en direction−m) :
ε∼
p =12
γ(m⊗n+n⊗m)
Le vecteur contrainte sur la facetten estT = σ∼
: n, et lacission réduiteτ dans le plann en directionm vaut :
τ = m.σ∼.n
Il vient donc, grâce à la symétrie du tenseur des contraintes :
σ∼
: ε∼
p =12
γ(n jmi +nimj)σi j =12
γσi j nimj = τγ
Pour un état de contrainte admissibleσ∼∗, il vient : σ
∼∗ : ε
∼p = τ∗γ
Dire queσ∗ est admissible au sens de la loi de Schmid revient à direque la cission appliquée reste inférieure ou égale à la cission critiqueτc ; il s’ensuit, avecγ > 0, que :
τ∗γ≤ τcγ
si bien que l’on obtient également :
σ∼∗ : ε
∼p ≤ σ
∼: ε∼
p
Ce résultat se généralise au cas de plusieurs systèmes actifs.
3. Plastification d’un tube mince.On considère un tube mince de section circulaire, de rayon r etd’épaisseur e, chargé en pression interne p. Le matériau est supposéparfaitement plastique, de limite d’élasticitéσy. On demande dedéfinir la pression Pe à laquelle la plasticité débute et de donner àce moment la direction de la vitesse de déformation plastique.On étudiera pour le critère de Tresca et le critère de von Mises les 3cas suivants :a. Le tube est libre dans la direction z.b. Le déplacement est bloqué dans la direction z.c. Le tube est fermé (réservoir).Dans tous les cas envisagés ici, le tenseur des contraintes est diagonal
dans le repère des coordonnées cylindriques (r,θ,z). De plus, lacontrainteσrr est négligeable.On suppose que les critères de von Mises et de Tresca sontéquivalents en traction simple, ils s’expriment donc en fonction dela limite d’élasticité en traction simpleσy :– von Mises :J = σy
– Tresca : maxi, j
∣∣σi −σ j∣∣= σy
– Lorsque le tube est libre en directionz, le tenseur se réduit donc à
32la diagonale :σ
∼= Diag(0;pr/e;0).
– Lorsque la déformation selon z est nulle, l’écriture deεzz = 0fournit : σ
∼= Diag(0;pr/e;νpr/e).
– Enfin, dans le cas de la prise en compte d’un «effet de fond», il fautéquilibrer la résultante due à la pression sur le couvercle (pπr2) parla contrainteσzz, soitσ
∼= Diag(0;pr/e; pr/2e).
a. Le premier état correspond à de la traction simple. Les critèresde von Mises et de Tresca prévoient l’apparition de la plasticité aumême instant, lorsque la pression atteint la valeur :
Pe =σyer
Dans le cas du critère de von Mises, la direction d’écoulement,qui est définie par le déviateur du tenseur des contraintes, estDiag(−0,5;1;−0,5). Le point de fonctionnement se trouve sur unearête de la surface définie par le critère de Tresca, qui s’écrit :σθθ−σrr = σy ou σθθ−σzz= σy. La première définition donne unedirection Diag(−1;1;0), et la seconde Diag(0;1;−1).
b. Ce nouvel état de contrainte introduit une contrainte intermédiaireσzz entre σrr et σθθ. Comme le critère de Tresca est insensible àcette contrainte, le résultat concernant le début de plastification estinchangé. Le déviateur des contraintes s’écrit :(pr/3e)Diag(−(1+ν);2−ν;2ν−1).Le critère de von Mises prévoit donc la plastification pour :
Pe =σye
r√
1−ν+ν2
En prenantν = 0,3, cette pression vaut environ 1.125σye/r ; le critèrede von Mises est «optimiste».La direction d’écoulement pour le critère de von Mises est toujoursproportionnelle au déviateur. Dans le cas du critère de Tresca,
l’écoulement est maintenant défini de façon non ambiguë parDiag(−1;1;0) puisque c’est cette fois-ciσθθ −σrr = σy qui est laseule expression valide.
c. Le critère de Tresca est de nouveau inchangé. Le déviateur et lapression limite d’après le critère de von Mises s’écrivent maintenant(pr/3e)Diag(−0,5;0,5;0), et :
Pe =2σye
r√
3
soit environ 1.15σye/r.Pour ce qui concerne la direction d’écoulement, on constate cettefois-ci que les deux critères prévoient la même direction, encisaillement pur, la composante selonz restant nulle.La figure3 illustre les différents états de contrainte dans le planσθθ–σzz, ainsi que les directions d’écoulement prévues.
vonMises
σ zz
θθσ0
(3)
Tresca
(2)
(1)
Figure3 : Illustration des différents types de chargement dans un cylindresous pression interne
334. Critère de Tresca.
Trouver la déformation équivalente associée au critère de Tresca.En se plaçant dans l’espace des contraintes principales, le critère de
Tresca s’exprime par
maxi, j
∣∣σi −σ j∣∣= σy
On suppose queσ1 > σ2 > σ3, il devient :σ1−σ3 = σy
L’écoulement plastique est parfaitement défini, par la diagonaleDiag(0.5;0;0.5)λ.Si par contre deux contraintes principales sont égales, ainsiσ1 = σ2 > σ3, il est possible d’écrire l’écoulement à partir de deuxexpressions différentes du critère, donc avec deux multiplicateurs,ou de façon identique pour la vitesse de déformation plastique, en
prenant une variablek réelle située entre−1 et +1 (la notationλchange de signification entre les deux équations) :
ε∼
p = Diag(λ; µ;−(λ+ µ))
ε∼
p = Diag(0.5(1+k);0.5(1−k);−1)λ
Des expressions analogues peuvent être obtenues pour des combinai-sons différentes des contraintes principales. On constate que, pourl’ensemble des combinaisons étudiées, on a :
λ =12
(∣∣εp1
∣∣+ ∣∣εp2
∣∣+ ∣∣εp3
∣∣)
34INFLUENCE DU TRAJET DE CHARGEMENT EN PLASTICITE POUR UN CHARGEMENT DE
TRACTION—CISAILLEMENT
On considère un élément de matière chargé en traction-cisaillement.Le matériau vérifie le critère de von Mises, avec un écrouissage isotropelinéaire : f (σ
∼,R) = J−R, avecR= H p+σ0. La limite d’élasticité initiale
valantσ0, on suppose queσm > σ0, et queτm√
3 > σ0.
Etudier l’évolution de la déformation plastique dans les 3 cas suivants :(1) chemin ONM (traction jusqu’àσm, puis cisaillement jusqu’àτm avectraction constante)(2) chemin ON′M (cisaillement jusqu’àτm, puis traction jusqu’àσm aveccisaillement constant)(3) chemin OM “direct” (traction et cisaillement appliqués de façonsproportionnelles).
M(σ m,τm )τN’(0, m )
N(σm ,0)
τ
σ τ
σ1
2
3
0
Il s’agit d’appliquer ici les relations qui définissent l’écoulement enplasticité, dans le cas particulier étudié où le module plastiqueH estindépendant de la déformation plastique :
ε∼
p = pn∼
avec p = (σ∼
: n∼)/H et n
∼=
32
s∼
Jet J =
(32
s∼
: s∼
)0.5
1. En traction selon ON, on a :
σ∼
=
σ 0 00 0 00 0 0
s∼
= σ
2/3 0 00 −1/3 00 0 −1/3
J = |σ| n
∼= signe(σ)
1 0 00 −1/2 00 0 −1/2
d’où, pourσ = σ0 : p = (σ/H)signe(σ)
ε∼
p = (σ/H)
1 0 00 −1/2 00 0 −1/2
à intégrer à partir deσ = σ0, ce qui donne en N :
εp11(N) = (σm−σ0)/H ; εp
12(N) = 0
En cisaillement selon NM, avecτ variable etσ constant àσm, lesexpressions précédentes deviennent :
σ∼
=
σm τ 0τ 0 00 0 0
σ∼
=
0 τ 0τ 0 00 0 0
s∼=
2σm/3 τ 0τ −σm/3 00 0 −σm/3
35
J =√
σ2m+3τ2 n
∼=
3
2√
σ2m+3τ2
2σm/3 τ 0τ −σm/3 00 0 −σm/3
d’où
p =3ττ
H√
(σ2m+3τ2)
εp11 =
3σmττH(σ2
m+3τ2)et εp
12 =9τ2τ
2H(σ2m+3τ2)
si bien que :
εp11= εp
11(N)+σm
2Hln
(σ2
m+3τ2
σ2m
); εp
12=3τ2H
−√
3σm
2Hatan
(√3τ
σm
)
2. En cisaillement selon ON′, on a :
σ∼
=
0 τ 0τ 0 00 0 0
s∼= σ
∼J = |τ|
√3 n
∼=√
32
signe(τ)
0 1 01 0 00 0 0
d’où, pourτ > σ0/
√3 : p = (τ
√3/H)signe(τ) ;
ε∼
p =3τ2H
0 1 01 0 00 0 0
à intégrer à partir deτ = σ0/
√3, ce qui donne en N′
εp11(N′) = 0 et εp
12(N′) =
√3
2
√3τm−σ0
H
On obtient la formule en cisaillement pur à partir de la forme entraction en remplaçant dans cette dernière la contrainteσ par τ
√3
(même invariant de von Mises) et la déformation plastique axialeεp
11 par la déformation plastique de “l’ingénieur” en cisaillement
γ p = 2εp12/√
3. En cisaillement selon N′M, avec σ variable etτconstant égal àτm, les expressions précédentes deviennent :
σ∼
=
0 τm 0τm 0 00 0 0
σ∼
=
σ 0 00 0 00 0 0
s∼
=
2σ/3 τm 0τm −σ/3 00 0 −σ/3
J =√
σ2 +3τm2 n
∼=
3
2√
σ2 +3τm2
2σ/3 τm 0τm −σ/3 00 0 −σ/3
d’où :
p =σσ
H√
σ2 +3τm2
εp11 =
σ2σH√
σ2 +3τm2
et εp12 =
3τmσσ2H(σ2 +3τ2
m)
si bien que :
εp11 =
σH−√
3τm
Hatan
(σ√3τm
)et
εp12 = εp
12(N′)+
3τm
4Hln
(σ2 +3τ2
m
3τ2m
)3. Dans ce cas, il est possible d’exprimer l’ensemble des relations à
l’aide d’un paramètre de chargement unique, k, qui varie entre 0 et 1(hypothèse dechargement simple).
σ∼
=
σ τ 0τ 0 00 0 0
= k
σm τm 0τm 0 00 0 0
σ∼
= k
σm τm 0τm 0 00 0 0
36
s∼
= k
2σm/3 τm 0τm −σm/3 00 0 −σm/3
J = k√
σ2m+3τ2
m
n∼
=3
2√
σ2m+3τ2
m
2σm/3 τm 0τm −σm/3 00 0 −σm/3
d’où :
p =kH
√σ2
m+3τ2m
Contrairement aux deux cas précédents, la normale ne tourne pasdurant le chargement, si bien qu’il y a un découplage entre lescomposantes :
εp11 = k
σm
H=
σH
εp12 = k
3τm
2H=
3τ2H
ou2εp
12√3
=√
3τH
La seule différence par rapport aux cas de traction pure oude cisaillement pur réside dans les bornes d’intégration. Il y aplastification lorsquek
√σ2
m+3τ2m = σ0, ce qui donne :
εp11 =
σm
H
(1− σ0√
σ2m+3τ2
m
)εp
12 =3τm
2H
(1− σ0√
σ2m+3τ2
m
)
Application numérique : La figure ci-dessous montre le résultat obtenudans chaque cas de chargement pourσ0 = 100 MPa,H = 10000 MPa,avec comme contraintes maximalesσm = 300 MPa etτm = 300 MPa. Cechargement rappelle que des contraintes égales en traction et cisaillement
ne donnent pas des déformations équivalentes (ce sont des contraintesσm en traction etσm/
√3 en cisaillement qui donnent des déformations
équivalentes égales,εp11 en traction, et 2εp
12/√
3 en cisaillement.
Trajet ONM
En N : εp11(N) =
300−10010000
= 2.10−2
En M : εp11(M) = εp
11(N)+300
20000ln(4) = 4.07910−2
εp12(M) =
30020000
×(
3− π√3
)= 1.77910−2
Trajet ON’M
En N′ : εp12(N
′) =√
32× 300×√
3−10010000
= 3.63410−2
En M : εp11(M) =
30010000
×(
1− π6
√3)
= 0.27910−2
εp12(M) = εp
12(N′)+
30010000
× 34× ln
(43
)= 4.28110−2
Trajet OM direct
En M : εp11(M) =
30010000
×(
1− 1002300
)= 2.50010−2
εp12(M) =
32× 300
10000×(
1− 1002300
)= 3.75010−2
Les chemins de déformation sont reportés sur la figure de la page suivante.On offre également sur cette page la possibilité d’effectuer d’autresapplications numériques en utilisant des modèles plus complexes qu’unsimple écrouissage isotrope linéaire.
37Figure correspondant à l’exercice précédent (écrouissage isotrope linéaire) :
εp12
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045
123
εp11
Pour obtenir d’autres simulations :
Modifier les valeurs affichées dans les champs suivants (chargement imposéet modèle de comportement), et soumettre le calcul à l’aide de la toucheGo. Il est possible d’activer uniquement l’écrouissage isotrope, l’écrouissagecinématique, ou une combinaison des deux. L’écrouissage cinématique estprésent siC est non nul, il est linéaire siD est nul, non linéaire dans le cascontraire. Tous les coefficients sont positifs ou nuls. Le paramètreσy, limited’élasticité initiale, doit rester strictement positif. La signification précise descoefficients est indiquée sur la feuille de calcul qui est renvoyée par le serveur.
– Current values of the loading parametersσmax
11 = σmax12 =
– Current values of isotropic hardeningσy= σu= b=
– Current values of kinematic hardeningC= D=
Reset Go
38TRACTION-CISAILLEMENT SUR UN ELEMENT DE VOLUME PARFAITEMENT PLASTIQUE
On considère un élément de volume constitué d’un matériau élastique-parfaitement plastique, qui vérifie le critère de von Mises, avec une limited’élasticitéσy : f (σ
∼) = J−σy, avec J(σ
∼) = ((3/2)s
∼: s∼)1/2. L’élasticité est
isotrope, on introduit donc classiquement le module de Young E, le modulede cisaillement µ, et le coefficient de Poissonν.
1. On examine un élément de volume isolé en traction–cisaillement,en déformation imposée : on suppose donc queε11 et ε12 sont connuset constants pendant le chargement. Le matériau est toujours élastiqueparfaitement plastique.
Ecrire les équations de décomposition de déformation en déformationélastique et plastique sur chaque composante, ainsi que la condition decohérence, et en déduire le système général enσ11, σ12, et p qui permet derésoudre le problème de l’écoulement plastique.
Le chargement imposé est de la forme :
ε∼
:=
ε11 ε12 0ε12 ? 00 0 ?
On a les expressions suivantes pour le tenseur de contraintes et sondéviateur :
σ∼
=
σ11 σ12 0σ12 0 00 0 0
s∼
=
2σ11/3 σ12 0σ12 −σ11/3 00 0 −σ11/3
Durant l’écoulement plastique, la valeur du critère de von Mises
est constante, donc√
σ211+3σ2
12 = σy. On en déduit la direction
d’écoulement :
n∼
=32
s∼
J=
σ11/σy 3σ12/2σy 03σ12/2σy −σ11/2σy 0
0 0 −σ11/2σy
Comme on le sait, le multiplicateur plastiqueλ est égal à la vitesse dedéformation cumulée lorsqu’on utilise le critère de von Mises, (λ = p =√
(2/3)ε∼
p : ε∼
p), si bien que la vitesse de déformation plastique s’écrit
ε∼
p = pn∼.
La décomposition des vitesses de déformations entre déformationélastique et déformation plastique, donne :
ε11 =σ11
E+
σ11
σyp
ε12 =σ12
2µ+
3σ12
2σyp
La condition de cohérence doit indiquer le fait que le second invariantde von Mises reste constant pendant l’écoulement,σ2
11+3σ212 = σ2
y, ce quidonne en termes de vitesses :
σ11σ11+3σ12σ12 = 0
Cette dernière équation, regroupée avec les deux précédentes, formele système permettant de résoudre le problème d’écoulement, pour lesvariablesσ11, σ12 et p.
2. Pour une valeur k du rapportε12/ε11, donner la valeur du rapportσ12/σ11 à plasticité commençante. Quelle est la valeur du rapportεp
12/εp11
39en ce point ? En déduire le mouvement du point courant en contrainte surla surface de charge.
En élasticité, on a simplement :
σ12
σ11=
2µε12
Eε11=
2µE
k =k
1+ν
Pour un tel rapport de contrainte, lorsque le point représentatifdu chargement rencontre la surface de charge, le rapport des vitessesd’écoulement plastique est :
εp12
εp11
=n12
n11=
3σ12
2σ11=
3k2(1+ν)
Pendant le régime plastique, l’écoulement de cisaillement devientproportionnellement plus important que pendant le régime élastique. Lepoint représentatif de l’état de contrainte va donc tourner sur la surfacede charge, en direction de l’axe de traction, dans la mesure où lesupplément d’écoulement plastique en cisaillement va relaxer la contraintede cisaillement. La direction d’écoulement évolue donc en même temps.
3. Le point de fonctionnement stable en contrainte est obtenu dans leséquations en indiquant que les dérivéesσ11 et σ12 sont nulles. Indiquerla valeur du rapportσ12/σ11 à ce moment. En déduire que le trajet dechargement sera un trajet de chargement simple si et seulement si l’onsuppose que l’élasticité s’effectue sans changement de volume.
La direction d’écoulement devient constante lorsque le point représen-tatif de l’état de contrainte devient fixe sur la surface de charge. On a alorsσ11 = σ12 = 0, soit :
εp12
εp11
=ε12
ε11= k
et :σ12
σ11=
2k3
En appelantθe l’angle auquel la contrainte «aborde» la surface decharge etθp l’angle d’équilibre, on a les relations suivantes :
tan(θe) =k
1+νtan(θp) =
23
k
La rotation de normale au cours de l’écoulement plastique se mesure doncpar l’angle :
∆θ = θe−θp = θe−atan
(2(1+ν)
3tan(θe)
)
On vérifie que cet angle reste faible (environ 4 degrés par exemple pourν = 0.3).
On observe finalement qu’il n’y a pas de rotation de normale si lematériau est incompressible (ν = 0.5) : la déformation élastique avantplastification «dépose» la contrainte au point stable sur la surface de charge.
4. On fournit maintenant une application interactive qui permet derégler les composantes de déformation imposées,ε11 et ε12, ainsi que lecoefficient de Poisson. Le matériau a un module d’élasticité E=200 GPa, etune limite d’élasticitéσy=800 MPa.Lorsque l’état asymptotique est atteint,
on doit avoirσ12
σ11=
23
εmax12
εmax11
Accès à la feuille de calcul
40
ENVELOPPE SPHÉRIQUE SOUMISE À UNE PRESSION INTÉRIEURE
On considère une enveloppe sphérique, homogène, de rayon intérieura,de rayon extérieurb. Le matériau qui la constitue est élastique parfaitementplastique, à élasticité linéaire isotrope, ayant pour critère de plasticité lecritère de von Mises ou celui de Tresca.
Partant de l’état initial naturel, on soumet cette sphère à une pressionintérieure normale uniformep que l’on fait croître à partir de 0 (Fig.1).
a
b
P
Figure 1 : Géométrie et chargement appliqué à la sphère sous pression
a c
b
Figure 2 : Progression de la zone plastique à partir de la surface intérieure
1 Analyse élastique
1.1 Donner la solution (champs des contraintes et des déplacements) enélasticité.Le volume étudié est à symétrie sphérique, constitué d’un matériau
homogène et isotrope ; les conditions aux limites possèdent aussi lasymétrie sphérique. On est donc amené à chercher une solution duproblème dans un système de coordonnées sphériques r,θ, φ, tel queles champs de déplacement, de contrainte et de déformation soientrespectivement de la forme :ur = h(r) uθ = uφ = 0σrr = f1(r) σθθ = σφφ = g1(r) σrθ = σrφ = σφθ = 0εrr = f2(r) εθθ = εφφ = g2(r) εrθ = εrφ = εφθ = 0
Les équations d’équilibre se réduisent à :dσrr
dr+
2r(σrr −σθθ) = 0
Les conditions aux limites statiques ont la forme :σrr (r = a) =−p, σrr (r = b) = 0
Les équations cinématiques ont la forme :εrr =dur
dr, εθθ =
ur
rLa loi d’élasticité de Hooke donne :
Eεrr = [σrr −2νσθθ] Eεθθ = [σθθ(1−ν)−νσrr ]
En remplaçant les déformations par leur expression en fonction desdéplacements, on obtient pour les contraintes les relations suivantes,λ désignant le coefficient de Lamé (λ = Eν/(1−2ν)/(1+ν)) :
σrr =λν
[(1−ν)
dur
dr+2ν
ur
r
]σθθ =
λν
[ν
dur
dr+
ur
r
]En substituant ces deux relations dans les équations d’équilibre, on
41obtient l’équation différentielle suivante :
d2ur
dr2 +2r
dur
dr− 2
r2ur = 0
soit (1r2
(r2ur
),r
),r
= 0
La solution de cette équation est :ur = C1r +C2
r2
En remplaçant la valeur deur dans les expressions précédentes, onobtient :
σrr =λν
[(1+ν)C1−2(1−2ν)
C2
r3
]
σθθ =λν
[(1+ν)C1 +(1−2ν)
C2
r3
]Les constantesC1 et C2 s’obtiennent à partir des conditions auxlimites :
σrr (r = b) = 0 ⇒ C2 =1+ν
2(1−2ν)b3C1
σrr (r = a) =−p ⇒ C1 =1−2ν
Ea3
b3−a3 p
Finalement, on obtient :
σrr =− a3
b3−a3
[b3
r3 −1
]p
σθθ = σφφ =a3
b3−a3
[b3
2r3 +1
]p
ur =a3
b3−a3
[(1−2ν)r +(1+ν)
b3
2r2
]pE
1.2 Déterminer la charge limite d’élasticité Pe de la sphère sous pressionpour les critères de von Mises et Tresca.Le critère de plasticité de Tresca, comme celui de von Mises, est
indépendant de la pression moyenne. On peut donc l’écrire enremplaçant le tenseurσ
∼par la somme deσ
∼et d’un tenseur sphérique.
Ici, si l’on ajoute àσ∼
le tenseur−σθθ I∼, on obtient un tenseur uniaxial,
d’unique composante non nulleσrr − σθθ. D’après les formulesprécédentes, tant que l’enveloppe sphérique reste élastique, on a :
σrr −σθθ =−32
a3
b3−a3
b3
r3 p
Le critère de plasticité est atteint lorsque(σrr − σθθ), fonctiondécroissante dep, devient égale à la limite d’élasticité−σy encompression simple. Le premier point plastique apparaît donc enr = a et lorsque la pressionp atteint la valeurPe, limite d’élasticitéinitiale de la sphère sous pression :
Pe =23
(1− a3
b3
)σy
2 Analyse élasto-plastique
2.1 Donner la solution (champs des contraintes et des déplacements) enélasto-plasticité. Vérifier que la zone plastique se développe à partirde la face interne de la sphère creuse (Fig.2). Donner la relationentre le rayon de la zone plastique c et la pression p. Déterminer lapression limite conduisant à la rupture par déformation excessive,Pp.Lorsque la pression internep croît au-delà de la valeurPe, comme
le premier point plastique est apparu sur la face intérieure del’enveloppe, il est normal de supposer qu’une zone plastique sedéveloppe à partir de cette face, et occupe un volumea < r < c, oùcest une fonction dep. La zonec< r < b est alors élastique. Le vecteur
42contrainte sur une facette normale à l’axer prend la même valeurdans la zone élastique et dans la zone plastique, à la traversée de lasurfacer = c. Sur cette surface la contrainte normale est alors égaleen valeur absolue à la limite d’élasticité initiale d’une sphère creusede rayon intérieurc, de rayon extérieurb, soumise à une pressioninterne, soit :
σrr (c) =−23
(1− c3
b3
)σy
Les contraintes dans la zone élastique sont donc données par leséquations précédentes dans lesquelles on remplacea par c et p par−σrr (c) ; dans cette zone :
σrr =−23
c3
b3
(b3
r3 −1
)σy
σθθ =23
c3
b3
(1+
b3
2r3
)σy
ur =2
3Ec3
b3
[(1−2ν)r +(1+ν)
b3
2r
]σy
Etudions maintenant la zone plastiquea < r < c. Pour y déterminerles contraintes, on dispose des équations d’équilibre et du critère deplasticité, vérifiés en tout point, soit :
dσrr
dr+
2r(σrr −σθθ) = 0
σrr −σθθ =−σy
En combinant ces deux équations, on obtient successivement :dσrr
dr− 2
rσy = 0, , σrr = 2σy ln(r)+C3
La détermination de la constante d’intégrationC3 s’effectue enr = c,en utilisant la continuité de la composanteσrr :
2σy ln(c)+C3 =−23
(1− c3
b3
)σy
Finalement, dans la zone plastique, on trouve :
σrr =−23
σy
[1+3ln(
cr)− c3
b3
]
σθθ =23
σy
[12−3ln(
cr)+
c3
b3
]Ces contraintes dépendent du paramètrec, dont il faut doncdéterminer l’évolution en fonction de la pressionp. Dans la zoneplastique, pourr = a, on a :
σrr (r = a) =−p ⇒ p =23
σy
[1+3ln
(ca
)− c3
b3
]
La transformation de la sphère étant supposée infinitésimale,a et bsont des constantes. La dérivation dep par rapport àc donne alors :
dpdc
=2σy
c
[1− c3
b3
]
Ce terme est toujours positif. Le rayonc de la zone plastique croîtdonc constamment avecp ; ce résultat est cohérent avec l’hypothèseque nous avons faite que la zone plastique se développe à partir dela face interne de la sphère creuse. Le rayon extérieur de cette zoneatteint la valeurb lorsquep atteint lapression limite Pp :
Pp = 2σy ln
(ba
)
432.2 Déterminer les déformations plastiques et leurs vitesses.
S’il est possible, à partir de la solution en contrainte obtenue
à la question précédente de construire, en utilisant la loi decomportement, un champ de déplacement qui soit compatible avecles liaisons (cinématiquement admissible), la solution trouvée estunique.Conservant l’hypothèse de symétrie sphérique, on calcule ledéplacement radial dans la zone plastique. Comme la déformationplastique ne produit pas de variation de volume du matériau, cettevariation n’est due qu’à la partie élastique de la déformation, soit :
εrr +2εθθ =1−2ν
E[σrr +2σθθ]
On obtient donc ainsi l’expression de la composante radiale dudéplacement :
dur
dr+2
ur
r=−2(1−2ν)
Eσy[3ln
(cr
)− c3
b3 ]
ur =C4
r2 −2(1−2ν)
Erσy
[ln(c
r
)+
13
(1− c3
b3
)]En utilisant le fait que le déplacement radial est continu à la traverséede la surfacer = c, on peut déterminer la constante d’intégration :
C4 = (1−ν)σy
Ec3
On obtient finalement dans la zone plastique :
ur =σy
Er
[(1−ν)
c3
r3 −23(1−2ν)
[1+3ln
(cr
)− c3
b3
]]A partir de cette expression du déplacement, on peut calculer lesdéformations totales dans la zone plastique. On obtient alors lesdéformations plastiques par différence entre les déformations totales
et les déformations élastiques calculées en utilisant les formulesdonnant les contraintes. Les seules composantes non nulles sont :
εprr =
2σy
E(1−ν)
(1− c3
r3
)
εpθθ = εp
φφ =−σy
E
((1−ν)(1− c3
r3 ))
Comme c est une fonction croissante dep et que le trajet dechargement étudié est par hypothèse à «p croissant», on peutchoisirc comme paramètre de chargement. Le tenseur de vitesse dedéformation est du type compression simple :
εprr =
dεprr
dc=−
6σy
E(1−ν)
c2
r3 < 0
εpθθ = εp
φφ =−12
εprr
2.3 Que se passe-t-il si l’on effectue le trajet de charge suivant :0→ pm(pm > Pe)→ 0→ pm(pm > Pe) ?Si l’on a soumis une sphère creuse à une pression interne
Pm > Pe, et qu’on la décharge jusqu’àp = 0, les contraintesrésiduelles, présentes après cette décharge, seront égales à ladifférence entre les contraintes calculées en élasto-plasticité et lasolution élastique correspondant à un chargement−Pm. On obtientalors un champ de contraintes résiduellesσ
∼r :
– dans la zone plastique (a < r < c) :
σrrr =−2
3σy
[1+3ln
(cr
)− c3
b3
]+
a3
b3−a3
[b3
r3 −1
]Pm
σrθθ = σr
φφ =23
σy
[12−3ln
(cr
)+
c3
b3
]− a3
b3−a3
[b3
2r3 +1
]Pm
44– dans la zone élastique (c < r < b) :
σrrr =−2
3c3
b3
(b3
r3 −1
)σy +
a3
b3−a3
[b3
r3 −1
]Pm
σrθθ = σr
φφ =23
c3
b3
(1+
b3
2r3
)σy−
a3
b3−a3
[b3
2r3 +1
]Pm
Les équations précédentes ne sont valides que s’il n’apparaît aucune
déformation plastique pendant la décharge. Pour que la plastificationréapparaisse en compression, il faut traverser le domaine d’élasticité,et retrouver un point pour lequel :σr
rr −σrθθ = σy. Cela se produira
effectivement à partir du moment où la pression maximale atteintePm
est supérieure à 2Pe. L’étude des variations dePe etPp en fonction de(b/a) montre que cela n’est possible que si la pression limite est elle-même supérieure à 2Pe. Ceci fournit une condition géométrique surla sphère. La figure 3 illustre le fait quePp dépasse 2Pe si le rapport(a/b) est inférieur à une valeur critiquex, solution de l’équation(4/3)(1−x3) = 2ln(x), soit :
a/b < x' 0.59
Dans le cas où il n’y a pas plastification à la décharge, on dit que lastructure est adaptée. Il s’agit de régime de fonctionnement sûr, quiest utilisé dans la pratique pour les récipients sous pression : ceux-cisubissent avant mise en fonctionnement une opération detimbrage
au cours de laquelle ils sont portés à une pression supérieure à la
pression de service ultérieure.Si au contraire il y a replastification, des déformations plastiquescycliques vont se produire, avec un phénomène de fatigue plastiquedu matériau, qui conduira à la ruine de la structure aux cours descycles successifs 0−→ Pm−→ 0−→ Pm−→ . . . .La figure 4 reproduit les variations des différentes composantes dutenseur des contraintes à pression maximale et après décharge, dansle cas où(a/b) = 0.75.
Pp
σy (1),
Pe
σy (2)
0
0.5
1
1.5
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
(1)
(2)
a/bFigure 3 : Variation dePe etPp en fonction dea/b
45
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
75 80 85 90 95 100
sigm
a_rr
(M
Pa)
r (mm)
c/b=0.7500c/b=0.8125c/b=0.8750c/b=0.9375
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
75 80 85 90 95 100
sigm
a_tt
(MP
a)
r (mm)
c/b=0.7500c/b=0.8125c/b=0.8750c/b=0.9375
a. b.
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
75 80 85 90 95 100
J/si
gma_
y(M
Pa)
r (mm)
c/b=0.7500c/b=0.8125c/b=0.8750c/b=0.9375
-40
-30
-20
-10
0
10
20
75 80 85 90 95 100si
gma
(MP
a)
r (mm)
sigma_rrsigma_tt
von Mises
c. d.
FIG. 1 – (a), (b) Profils de contraintes dans l’épaisseur du tube pour différents niveaux de pression, (c) mise en évidence de l’avancée de la zone plastique,(d) contraintes résiduelles après décharge.
46
CAVITÉ SPHÉRIQUE DANS UN MASSIF INFINIÉLASTOVISCOPLASTIQUE
E H
η
σy
ap(t)
P a l’infini
Géométrie et matériau considéré
Une cavité sphérique de rayona (définie en coordonnées sphériquesr,θ,ϕ, parr ∈ [a,+∞[) est creusée instantanément(p(t) = P pourt < 0 et p(t) = 0 pourt ≥ 0 oùt est le temps) dans unmassif infini initialement sous contraintes homogènes et isotropes :σ∼(r, t = 0) = −PI
∼où P est la pression à l’infini (Figure ci-dessus).
Le matériau est un matériau viscoplastique de Bingham tel que :
ε∼
e =1E
[(1+ν)S∼−νtrace(S
∼)I∼] avec S
∼= σ
∼− (−PI
∼)
ε∼
p =32
s∼
J< J−σy >
η
avec s∼
= S∼− 1
3trace(S
∼)I∼
et J = ((3/2)si j : si j )1/2
E est le module d’Young,ν le coefficient de Poisson,σy la limited’élasticité etC = σy/2 la cohésion ;η désigne le module deviscosité. On appelle constante de temps du matériau la quantitéα = E/2(1−ν)η . On suppose dans la suite que la pressiongéostatiqueP est telle queP > 2σy/3.
1. Mise en équations1.1. Inconnues principales : Compte tenu de la symétrie duproblème on utilise les coordonnées sphériques (r,θ,ϕ). Par ailleurs,le changement de variableρ = (r/a)3 s’avère utile :
r = aρ1/3 avec ρ ∈ [1,+∞[ (1)
La paroi de la cavité correspond àρ = 1. L’unique composante nonnulle du vecteur déplacement estur = u(ρ, t) fonction de la variabled’espaceρ et du temps réelt. Les déformations totales non nullessont la déformation circonférentielleεθ = εϕ = u/r et la déformationradialeεr = u,r ; d’où :
u = rεθ (2)
et, commer∂∂r
= 3ρ∂
∂ρ:
εr = 3ρεθ,ρ + εθ (3)
En ce qui concerne les contraintesσr (radiale) et σθ = σϕ(orthoradiales) l’état de référence (pourt < 0) est caractérisé par :σr(ρ, t) = σθ(ρ, t) =−P.Les variations des contraintes sont :Sr = σr +P etSθ = σθ +P, d’où :
σr = Sr −P (4)
σθ = Sθ−P (5)
L’équation d’équilibre,σr,r +2(σr −σθ)/r = 0 devient alors :σθ = (1/2)rSr,r +Sr ou encore :
Sθ = (3/2)ρSr,ρ +Sr (6)
47Par ailleurs : trace(ε
∼p) = 0 etε
∼p(ρ,0) = 0, donc : trace(ε
∼p) = 0, et :
εpr +2εp
θ = 0, soit :εp
θ =−εpr /2 (7)
Il nous reste donc en tout trois inconnues principales qui sontεθ, Sr
etεpr . Les relations (2) à (7) permettent de déterminer aisément toutes
les autres inconnues.1.2. Loi de comportement: La décomposition des déformationstotales en partie élastique et partie non élastique s’écrit :
εr = [(1+ν)Sr −ν(Sr +2Sθ)]/E + εpr
εθ = [(1+ν)Sθ−ν(Sr +2Sθ)]/E + εpθ
On peut aussi, et c’est plus avantageux, combiner ces deux équationspour en déduire deux relations dont l’une utilise la trace et l’autre ledéviateur (en utilisant trace(ε
∼p) = 0) :
εr +2εθ = (1−2ν)(Sr +2Sθ)/E
εr − εθ = (1+ν)(Sr −Sθ)/E + εpr − εp
θ
En remplaçantεr , Sθ et εpθ par leurs expressions (3, 6 et7) :
3ρεθ,ρ +3εθ = (1−2ν)(3ρSr,ρ +3Sr)/E
3ρεθ,ρ =−3[(1+ν)/2]pSr,ρ/E +(3/2)εpr .
La première relation devient :
[ρεθ−ρ(1−2ν)Sr/E],ρ = 0
Donc [ρεθ− (1−2ν)Sr/E] est une fonction du tempst seul que l’onchoisit sous la forme :
−[(1+ν)/(2E)+(1−2ν)/E]A(t)
d’où :
εθ = [(1−2ν)/E]Sr − [(1+ν)/(2E)+(1−2ν)/E]A(t)/ρ
En particulier :
εθ +[(1+ν)/(2E)]Sr = [(1+ν)/(2E)+(1−2ν)/E](Sr −A/ρ)
Ainsi, les deux dernières relations deviennent, en posant 2µ= E/(1+ν)(µ module de cisaillement) :
εθ =−Sr/(4µ)+(3/2)[(1−ν)/E][Sr −A(t)/ρ] (8)
[Sr −A(t)/ρ],ρ = (2/3)αηεpr /ρ (9)
1.3. Loi d’évolution : le critère estF(σ∼) = |σr −σθ|−σy ou encore
F = |Sr−Sθ|−σy. Nous verrons que la solution est telle queSr ≥Sθ.Pour le moment, il s’agit d’une hypothèse :
Sr,ρ ≤ 0 à vérifiera posteriori (10)
Alors : F = Sr −Sθ−σy, soit :
F =−(3/2)ρSr,ρ−σy (11)
Par ailleurs :S′r = (2/3)(Sr −Sθ) et :J = Sr −Sθ. D’où :
ε∼
pr =< F > /η (12)
481. Réponse instantanéeLorsque les contraintes subissent un saut (c’est
le cas ici à l’instant t= 0), il s’ensuit une discontinuité dansle temps (saut) pour les déformations totales. En revanche, lesdéformations viscoplastiques demeurent nulles car leur vitesse estfinie (loi d’évolution). La réponse instantanée du massif est doncélastique. La déterminer, et en déduire qu’instantanément (à t= 0)il apparaît une zone plastique (dans laquelle la vitesseε
∼p est non
nulle), d’épaisseur finie siσy est strictement positive, et s’étendant àtout le massif lorsque la cohésion est nulle (σy = 0).Le plus gros du travail est fait. En effet lorsque la réponse est
élastique (εpr = 0), la relation (9) devient :
Sr −A(0)/ρ = B(t)
La constante d’intégration est nulle carSr(+∞,0) = 0. Il vientsuccessivement :Sr(ρ,0) = A(0)/ρ, puis :Sr(1,0) = P, d’où :
A(0) = P et Sr(ρ,0) = P/ρ
L’inégalité (10) est bien vérifiée :Sr,ρ = −P/ρ2 (dérivée partiellenégative), et :F = (3/2)P/ρ−σy.2.1. Cas oùσy > 0 : On pose :γ0 = P/(2σy/3) > 1
– Pourρ≥ γ0 on aF ≤ 0 donc , d’après (12) : εpr = 0 (zone élastique).
– Pourρ < γ0 on a : εpr = (3/2)P/ρ−σy > 0. Le rayon de la zone
viscoplastique à l’instant 0 est donc :C0 = aγ1/30 ,
d’où : C0 = a[P/(2σy/3)]1/3 .2.2. Cas oùσy = 0 : F = (3/2)P/ρ est partout positif, donc tout lemassif rentre instantanément en viscoplasticité (εp
r > 0).
2. Evolution dans le casσy = 0Montrer que les contraintes demeurent constantes en tout point du
massif (fluage) et que les déformations évoluent linéairement avec le
temps.Remarque
a. Même dans un liquide (σy = 0) on peut faire un trou.b. Aussi bien le caractère fluage que l’évolution linéaire sontparticuliers à ce matériau. Si on prenait par exemple le modèlede Norton (en élevant< J−σy > à une puissance réelle) on auraitun phénomène non linéaire et complexe dans lequel les contraintesaussi varient dans le temps.
Les équations (11) et (12) deviennent respectivement :
F = (−3/2)ρSr,ρ ≥ 0
εpr = (−3/2)ρSr,ρ/η
Quant à (9), elle donne, après dérivation par rapport au temps :
Sr − A(t)/ρ],ρ =−αSr,ρ
Donc : Sr + αSr − A(t)/ρ = D(t). La constante d’intégrationD estnulle car lorsqueρ tend vers l’infini, on aSr = 0 et Sr = 0. D’où :Sr +αSr = A(t)/ρ. Pourρ = 1, on aSr = P et Sr = 0, si bien que :
A(t) = αP⇒ A(t) = Pαt +A(0)
CommeA(0) = P (paragraphe 2), on obtientA(t) = P(1+αt), et :
Sr +α(Sr −P/ρ) = 0 avecSr(ρ,0) = P/ρ
D’où l’expression deSr , constante dans le temps :
Sr(ρ, t) = P/ρ
On trouve donc :Sr −A/ρ =−(P/ρ)αt, et, d’après (8) :
εθ =−(1/4µ+(3/2)((1−ν)/E)αt)(P/ρ)
49
Le fluage est linéaire : la variation relative du rayon de la cavitéεθ(1, t) est négative et son intensité augmente linéairement avecle temps conduisant à une fermeture totale au bout d’un tempsfini. ATTENTION : Il convient de ne garder de ce résultat quele caractère qualitatif (dans un “liquide visqueux” un trou évolueinexorablement vers la fermeture). En revanche l’aspect quantitatifest une extrapolation dangereuse, car le calcul n’est valable qu’enpetite déformation. L’analyse quantitative de la fermeture réelle de lacavité ne peut se faire que dans le cadre des transformations finies.
3. Réponse asymptotique dans le casσy > 0L’étude de l’évolution dans la situationσy > 0 conduit à une
équation différentielle dans le temps dont la solution fait intervenirl’exponentielle intégrale (primitive deexp(x)/x). C’est pourquoi ici,on se contentera de déterminer la réponse du matériau lorsque ttend vers l’infini (état asymptotique) en montrant qu’il se détermineen résolvant un problème d’élastoplasticité relatif au matériau devon Mises parfait et standard associé à la limite d’élasticitéσy.On en déduit donc que dans un matériau élastoviscoplastique onpeut toujours faire un trou. Cependant, dans le cas où la cohésion estnulle, le trou finit par se fermer, alors que, dans le cas d’un matériaucohérent, la fermeture du trou (convergence) finit par se stabiliseravec une valeur maximale (en intensité) finie qui peut être déterminéepar un calcul élastoplastique.
L’état asymptotique(t = +∞) correspond àεp = 0, doncF = 0dans la zone plastiqueρ ∈ [1,γ∞[ et F < 0 dans la zone élastiqueρ ∈]γ∞,+∞[.Dans la zone élastique, on aεp
r = 0, et donc, d’après (9) et le fait que
Sr = 0 pourρ = +∞ on obtient :
Sr(ρ,+∞) = A(+∞)ρ
Le critère estF = −(3/2)ρSr,ρ − σy = (3/2)A∞/ρ− σy. Or, pourρ = γ∞, on aF = 0, donc :A∞ = (2/3)σyγ∞. D’où :
si ρ ∈ [γ∞,+∞[ : Sr(ρ,+∞) = (2/3)σyγ∞/ρ
Dans la zone plastique, on aF = 0, donc, commeSr(1,+∞) = P :
Sr =−(2/3)σy ln(ρ)+P
Ainsi :
si ρ ∈ [1,γ∞] : Sr(ρ,+∞) = (2/3)σy ln(ρ)+P
La continuité de la contrainte radiale (équilibre) enρ = γ∞ conduità :
−(2/3)σy ln(γ∞)+P = (2/3)σyγ∞/γ∞
D’où :γ∞ = exp(P/(2σy/3)−1)
Connaissantγ∞ (donc A∞) et connaissantSr , les relations (8)et (9) fournissent les déformationsεθ et εp
r . En particulier lafermeture de la cavité (même au bout d’un temps infini) restebornée par la valeur ainsi trouvée en tant que solution d’un simpleproblème d’élastoplasticité. Cependant, ces résultats ne peuvent pasêtre utilisés pour un “liquide visqueux" (cohésion nulle) car enfaisant tendreσy vers zéro on obtientγ0 → ∞,γ∞ → ∞, et Sr = P(incompatible avec la condition à la limiteSr(ρ = +∞) = 0) et deplusA∞ → ∞ conduit à des déformations infinies.
50COUPLAGE THERMOMECANIQUE
On considère un élément de volume sollicité en traction simple, à unevitesse de déformation imposéeε0 suffisamment rapide pour qu’il soitnécessaire de considérer un couplage thermomécanique : on supposeraqu’une fraction β (0 ≤ β ≤ 1) de la puissance plastique contribue àl’échauffement de l’élément de volume. Le matériau obéit à une loi élasto-plastique indépendante du temps à écrouissage isotrope, pour laquelle lalimite d’élasticité initialeσy dépend de la températureT, et le moduleplastiqueH est constant quelles que soient la température et la déformation.On posera donc en traction simple au cours de l’écoulement plastique (kréel positif) :
σ = σ0(1−kT)+Hεp
Les conditions initiales sont : température nulle, déformation plastiquenulle, contrainte nulle.
Application numérique : σ0 = 500 MPa ;k= 0.01 ;E = 200000 MPa ;β = 1 ; ρ = 8000 kg/m3 ; C = 500 J/kg/K. On néglige la dilation thermique :α = 0
1. Ecrire les équations qui régissent le phénomène.La déformation totale est supposée connue :ε = ε0t. Les trois
inconnues du problème sont donc la contrainteσ, la déformationplastiqueεp et la températureT, qui vérifient :– la relation de décomposition de la déformation :
σ = E(ε− εp) (1)
– la condition de cohérence au cours de l’écoulement :
σ = σ0(1−kT)+Hεp (2)
– la conservation d’énergie :
ρCT = βσεp (3)
2. Montrer qu’il existe une valeur critique Hc du module H pourlaquelle la contrainte restera constante (et égale àσ0) au cours del’écoulement plastique. Que ce passe-t-il si H est plus grand, ou pluspetit que Hc ?En dérivant les deux membres de l’équation2 par rapport au temps,
il vient :σ =−kσ0T +H εp (4)
Il n’y aura pas d’évolution de contrainte au cours de l’écoulementplastique siσ = σ0 et σ = 0. La comparaison des équations3 et 4sous ces conditions fournit la valeur critique deH :
HC =βkσ2
0
ρC
3. Intégrer les équations différentielles ; donner l’expression de lacourbe contrainte–déformation, en fonction de la variation detempérature.On met sous forme dérivée l’équation1 :
σ = Eε−Eεp (5)
La combinaison de3, 4 et 5 permet d’obtenir une équationdifférentielle enσ et ε à variables séparables :
σ−ρC(E +H)/(βkσ0)σ−ρCH/(βkσ0)
σ = Eε
51Cette équation se met également sous la forme :(
1− ρCE/(βkσ0)σ−ρCH/(βkσ0)
)dσ = Edε
L’intégration s’effectue entreσ0 et σ d’une part,σ0/E et ε d’autrepart. Il vient :
ε =σE− ρC
βkσ0ln
(σ−ρCH/(βkσ0)σ0−ρCH/(βkσ0)
)Ou encore :
ε =σE− σ0
Hcln
[σ/σ0−H/Hc
1−H/Hc
]On identifie aisément le premier et le deuxième terme à ladéformation élastique et à la déformation plastique. La courbecontrainte–déformation plastique a donc pour équation :
σσ0
=(
1− HHc
)exp
(−Hc
σ0εp
)+
HHc
L’écoulement commence donc à la valeur deσ0, la contrainte tendantensuite vers une asymptote valant(H/Hc)σ0. Cette résolution n’estvalide que si l’on reste effectivement en condition d’écoulement toutau long de la traction. On peut le vérifier en rapprochant les équations(4) et (5), qui fournissent :
εp =Eε+kσ0T
E +H
Si k est positif, la vitesse de déformation plastique est toujourspositive, il n’y a pas désactivation de l’écoulement. Celle-ci pourraitpar contre se produire dans le cas (peu courant en pratique) où lalimite d’élasticité augmenterait avec la température (k < 0), ce quipourrait rendre négatif le numérateur de l’équation précédente.
4. Que deviennent ces résultats si l’on suppose que la dissipations’évalue avec les contraintes correspondant au seuil initial. Poureffectuer ce dernier calcul, on négligera la déformation élastiquepar rapport à la déformation plastique.
La condition de cohérence s’écrit toujours :
σ = σ0(1−kT)+Hεp (6)
La conservation d’énergie s’exprime :
ρCT = βσ0(1−kT)εp (7)
La vitesse de déformation plastique est maintenant connue, et égaleà la vitesse de déformation totale imposée. Il n’y a donc que deuxinconnues. L’équation7 permet d’obtenir la variation de températureen intégrant :
dtT−1/k
=−βkσ0
ρCdε
T =1k
(1−exp
(−βkσ0
ρCε))
L’évolution de contrainte est donc :
σ = Hε+σ0exp
(−βkσ0
ρCε)
52L’ESSAI ŒDOMETRIQUE DE CONSOLIDATION
Piston permeable
Echantillon
Cellule indeformable
et impermeable 0
Z
h
Un échantillon de sol (matériau poroélastique homogène et isotrope)est placé dans une cellule cylindrique indéformable et imperméable (celluleœdométrique) dans laquelle il est soumis à une contrainte axialeσ (σ < 0 :pression) appliquée à l’aide d’un piston infiniment perméable (essaidrainé).
Toutes les grandeurs physiques liées à ce problème sont fonctionsuniquement de la cotez variant de 0 àh (hauteur de l’éprouvette) et dutempst, et elles sont toutes nulles à l’instant initial (t = 0−) avec éventuelsaut instantané àt = 0.
Pour toute grandeurf (z, t) on noteraf =∂ f∂t
et f ′ =∂ f∂z
.
Les données sont :
– la conductivité hydrauliquek (k = 10−12m/s)– le module d’YoungE du squelette (E = 100MPa)– le coefficient de Poissonν du squelette (ν = 0.3)– l’historique de la contrainte appliquée σ(t)– le poids volumique de l’eauγw (γw = 0.01MPa/m)– la hauteurh de l’éprouvette (h = 0.05m)
La mise en équations fait appel à deux groupes de lois. Le premier groupe
(lois de conservation) est universel (équations du mouvement et loi deconservation de la masse). Il donne lieu ici à des équations simplifiées,en négligeant la pesanteur et les forces d’inertie, dans l’équation dumouvement, et en tenant compte de l’incompressibilité des grains solideset celle de l’eau, dans la loi de conservation de la masse.
Le second groupe (lois d’état et de comportement) est “empirique”.Il se traduit ici par la loi de Darcy pour régir l’écoulement dans un milieuporeux (relation entre la vitesse relative de l’eau et le gradient de la pressioninterstitielle), la loi de Hooke pour relier les déformations du squelette auxvariations des contraintes effectives (élasticité linéaire) et l’hypothèse deTerzaghi pour le couplage hydromécanique (décomposition de la contraintetotale en contrainte effective et pression de pore).
1. LOIS DE CONSERVATION
1.1. Le tenseur de contrainte (totale)σ∼
est diagonal dans le repèreOxyz lié à l’éprouvette. Montrer que les équations d’équilibre (ennégligeant pesanteur et inertie) se réduisent à :σ′zz= 0. En utilisantla condition sur la face supérieure (z= h), en déduire queσzz(z, t) =σ(t).L’équilibre s’écrit classiquement :divσ
∼= 0.
Les deux équations sont automatiquement vérifiées, les contraintesétant indépendantes dex ety. La seule équation non triviale est donc :
σzz,z = σ′zz= 0
Comme par ailleursσzz(h, t) = σ(t), il vient : σzz(z, t) = σ(t)
531.2. Le vecteur déplacement u(z, t) du squelette n’a qu’une composante
non nulle uz = u(z, t). Il en est de même du vecteur vitesse v(v =vitesse de Darcy, définie par le volume d’eau traversant une unité desurface totale du matériau par unité de temps) de l’eau par rapportau squelette : vz = v(z, t). Montrer de manière simple que la loi deconservation de la masse (compte tenu de l’incompressibilité desgrains et de l’eau) se réduit à : v′+ u′ = 0.De la condition physique sur la face inférieure (z= 0 :imperméabilité et indéformabilité) en déduire que : v+ u = 0La continuité :
Si l’eau était compressible on en aurait tenu compte pour exprimerque de nouvelles molécules d’eau peuvent rentrer dans les intersticessans pour autant que le volume de ces vides n’augmente. Siles grains solides étaient compressibles de nouvelles moléculesd’eau incompressibles pourraient rejoindre celles qui occupent déjàles interstices sans que le volume global ne change (c’est-à-diresans déformation du squelette). Ce sont les grains solides, en secomprimant, qui auraient laissé de la place dans le volume des vides.Ici, on n’a aucun de ces deux phénomènes. Par conséquent, uneméthode simple pour exprimer la loi de conservation de la massefluide est d’utiliser sa vitesse absolue ˙u+v (vitesse du squelette plus
vitesse relative) et d’écrire que l’intégrale de surfaceZ
∂P(u+ v)ndS
est nulle pour toute partie arbitraireP deR3 dont∂P est la frontièreet n le vecteur normal unitaire. IciP est une zone (non matérielle :représentation eulérienne) que l’on se fixe et dans laquelle on ditsimplement que si une molécule d’eau y rentre, une autre doit ensortir. Le théorème de la divergence conduit alors à :
div(u+v) = 0 d’où : u′+v′ = 0
(u+v) est donc fonction du temps uniquement
Or :u(0, t) = ∀t (indéformabilité)⇒ u(0, t) = 0
et
v(0, t) = 0 (imperméabilité)
D’où :u(0, t)+v(0, t) = 0 ∀t
Par conséquent :u+v = 0 ∀t, et, ∀z
2. LOIS DE COMPORTEMENT
2.1. Exprimer v en fonction de p′ (p : pression interstitielle) en utilisantla loi de Darcy.Loi de Darcy :v =−k grad(p/γw)
Comme les seules dérivées non nulles sont les dérivées par rapport àz :
v =−(k/γw)p′
Attention : dans la vraie loi de Darcy, au voisinage d’un corps célestecomme la terre,v est nul si et seulement sigrad(p/γw) =−g/ || g ||oùg est le vecteur accélération gravitationnelle. Mais ici on a négligéla pesanteur et l’inertie.
2.2. Utiliser la loi de Hooke pour relier l’unique déformation non nulleε = u′ à la contrainte effective axialeσe f
zz = σe f(z, t). On commencerapar tenir compte de la nullité des déformations latérales pour obtenirla contrainte latérale effectiveσe f
xx = σe fyy en fonction deσe f.
Loi de Hooke : Commeεxx = εyy = 0, on aσe fxx = σe f
yy, et :
(1+ν)σe fxx−ν(2σe f
xx +σe fzz) = 0, soitσe f
xx = [ν/(1−ν)]σe f,avecσe f = σe f
zz. Par ailleurs
εzz= ε = u′ et Eε = (1+ν)σe f−ν(2σe fxx +σe f)
54D’où :
ε = σe f/E∗ avec E∗ =1−ν
(1+ν)(1−2ν)E
E∗ : module œdométrique.E∗ ' 135MPa.
2.3. En faisant appel à l’hypothèse de Terzaghi (σ = σe f − p) eten utilisant les résultats déjà acquis, montrer que la pressioninterstitielle p est telle que :
Cmp′′− p− σ = 0 ∀(z, t)
p(z,0−) = 0 (état initial)p(h, t) = 0 (face drainée)p′(0, t) = 0 (face imperméable)
La diffusivité hydraulique Cm (en m2/s) est à exprimer en fonctionde k, E,ν et γw.Loi de Terzaghi : La pression totale est la somme de la pression
effective au niveau du squelette et de la pression interstitielle dueà l’eau(−σ) = (−σe f)+ p.On a donc : ε = u′ = (σ+ p)/E∗
et ε+v′ = 0 (caru′+v′ = 0)D’où : v′ =−(σ+ p)/E∗
Par ailleurs v′ =−(k/γw)p′
Donc : (kE∗/γw)p′′− p− σ = 0
On poseCm = kE∗/γw , il vient alors :
Cmp′′− p− σ = 0
Cm' 135× 10−10m2/s
Initialementp est nulle partout :p(z,0−) = 0. Sur la face supérieurele piston est infiniment perméable donc la pression d’eau y restenulle : p(h, t) = 0. Sur la face inférieure (imperméable) on av(0, t) = 0. Donc :
p′(0, t) = 0 car v =−(k/γw)p′ (Darcy)
3. FLUAGE APPARENTOn considère maintenant le cas particulier où la contrainte axialetotale s’est exercée instantanément (à t= 0+), puis est maintenueconstante.σ(t) = σ0H(t) H : Heaviside avecσ0 =−5MPa
3.1. Montrer que p(z,0+) = −σ0. En déduire que v(z,0+) = 0 et que,par conséquent u(z,0+) = 0. Autrement dit, la réponse instantanéede ce sol saturé bien qu’il soit élastique, ne s’accompagned’aucun mouvement. Le saut de la contrainte totale se répercuteimmédiatement sur la pression interstitielle sans déformation de lamatrice ni débit d’eau.
En fluage la contrainte totale ne varie pas, on est ramené à :
Cmp′′= p p(z,0+) =−σ0
p(h, t) = 0 p′(0, t) = 0
cos(αz/h)exp(−α2t/τ) est une solution de l’équation différentiellepour tout réelα avecτ = h2/Cm (τ' 5 heures). Cette solution vérifiela condition sur la limite inférieure. Pour qu’il en soit de même surl’autre face, il suffit queα soit un multiple impair deπ/2 d’où :α = αi = (2i− 1)π/2, i étant un entier positif. Ainsi, l’équation et
les conditions aux limites sont satisfaites par toute série de la forme :
p(z, t) =−σ0
∞
∑i=1
Ai cos(
αizh
)exp(−α2
itτ
)Il reste juste à calculer les coefficientsAi de sorte que la conditioninitiale (p(z,0+) =−σ0) soit vérifiée. D’où :
∞
∑i=1
Ai cos(
αizh
)= 1
55Il s’agit de la décomposition de la fonction constante (= 1) en série
de Fourier. On obtient :
Ai = (−1)i−1(2/αi)
En particulier la pression interstitielle sur la face inférieure del’éprouvette décroît dans le temps depuis sa valeur initiale (−σ0) vers0 en un temps infini en passant par−σ0β en un tempst = τ avec :
β =∞
∑i=1
Ai exp(−α2i ) β' 0.11
β : coefficient purement numérique indépendant des caractéristiquesdu matériau. Le tempsτ (ici de l’ordre de 5 heures) est unecaractéristique de l’éprouvette (matériau et hauteur) et est la durée au
bout de laquelle toute pression de consolidation finit par se dissiper àprès de 90%.
3.2. Partant de ce nouvel état initial p(z,0+) = −σ0, montrer que lapression de pore p se dissipe en donnant lieu à un écoulement d’eau(drainage) et à une déformation différée de l’éprouvette. Tout sepasse comme si on avait affaire à un matériau viscoélastique saufqu’ici le mécanisme d’irréversibilité s’accompagne d’un échange dematière avec l’extérieur (l’eau) et donc ne peut pas être abordé parvoie phénoménologique (macroscopique) sans continuer à distinguerles deux phases solide (le squelette) et liquide (l’eau) de ce milieubiphasique thermodynamiquement ouvert. Afin de mettre en évidencele fluage apparent il suffit ici de vérifier que :
p(z, t)=−(4σ0/π)∞
∑i=1
(−1)i−1
2i−1cos
((2i−1)πz
2h
)exp
(−(2i−1)2π2
4tτ)
avecτ = h2/Cm (temps caractéristique de la consolidation).
Connaissant la pression interstitiellep et la contrainte totale−σ0 ,on détermine la contrainte effective axiale : (σe f = σ0 + p), puis ladéformation :ε = σe f/E∗. Commeε = u′, en intégrant enz et entenant compte du fait queu(0, t) = 0, on obtient :
E∗u = σ0z−σ0
∞
∑i=1
(−1)i−1(Aih/αi)sin(
αizh
)exp(−α2
itτ
)La variation relative de la hauteur de l’éprouvette estu(h, t)/h avec :
E∗(uh/h) = σ0
[1−
∞
∑i=1
(Ai/αi)exp(−α2i t/τ)
]
Pour un temps infini, on retrouveuh/h = σ0/E∗, c’est-à-dire laréponse élastique du matériau.Pourt = τ on a :E∗(uh/h) = σ0(1−0.07), autrement dit, au bout dutempst = τ (ici de l’ordre de 5 heures), le module œdométrique peutêtre déterminé avec une erreur relative de l’ordre de 7% seulement etce en prenant le rapport de la contrainte−σ0 à la variation relative dela longueur.
56TUNNEL DANS DU SABLE SEC
a
a l’infini
P
p
Figure 1 : Géométrie du tunnel et chargement appliqué
DonnéesLe tunnel (cylindre de rayona) est creusé dans un massif infini (r ∈
[a,+∞[), initialement sous contraintes homogènes et isotropesσ∼
I =−PI∼
oùP est la pression à l’infini (pression géostatique due au poids des terrains)(Fig. 1).Le matériau est isotrope parfait de module d’YoungE, de coefficient dePoissonν obéissant au critère de CoulombF(σ
∼) = K maxi(σi)−mini(σi) avecK = tan2(π/4+ φ/2) où φ est l’angle
de frottement (milieu pulvérulent sec sans cohésion).Au fur et à mesure de l’avancement du tunnel, un soutènement (exemple :voûte en béton) est posé de sorte que le calcul de l’état final du sol entourantle tunnel puisse se faire en simulant une pression à la paroi (r = a) quidécroît progressivement deP (pression initiale des terrains) àp (pressionde soutènement) :p≤ P).Les calculs sont à faire en coordonnées cylindriques (r,θ,z) en admettantque le tunnel est infini dans la direction de son axeOz (déformationsplanes :εz = 0).De plus on ne considérera que la situation oùp≤ (1− 2ν)P/[K − ν(K + 1)], conduisant à un régime de contrainte tel
qu’en tout point du massif on ait les inégalités strictesσr > σz > σθ. Ainsi, si le potentiel plastique est lui-même Coulombien(βmaxi σi −mini σi), les déformations plastiques auront comme vitesses :
εpr = βλ≥ 0 εp
z = 0 εpθ =−λ
Le coefficient de gonflementβ = tan2(π/4+ ψ/2) où ψ est l’angle dedilatance est tel que : 1< β≤ K.
1. Réponse élastiquePour une pression de soutènement p assez grande, la réponse du
massif est élastique (ε∼
p = 0∼). Déterminer les contraintes dans ce cas.
Remarquer que la contrainte axiale reste constante (σz =−P) tandisque et que les contraintes radialeσr et circonférentielleσθ restentdes pressions (≤ 0) mais que la pression radiale baisse et que lapression circonférentielle augmente (suite au mouvement convergentdu sol).Déterminer la pression minimale pe que doit assurer le soutènementpour que cette solution élastique reste vraie (p≥ pe).Remarquer que pe n’est pas nul (un soutènement est obligatoire)pour tout P> 0.Pour P< pe la solution élastique est fausse car le critèreF = Kσr−σθ est positif dans une zone r∈ [a,ce] entourant le tunnel.Calculer ce en fonction de (p/pe).
On note respectivement :
u(r) déplacement radialεr = u′ = ∂u/∂r déformation radialeεθ = u/r déformation circonférentielleεz = 0 déformation axiale
57Les conditions de compatibilité et les lois d’élasticité fournissent :
εr = rε′θ + εθ
Eεz = (1+ν)(σz+P)−ν(σr +P+σθ +P+σz+P)
etεz = 0 ⇒ σz+P = ν(σr +σθ +2P)
σz = ν(σr +σθ)− (1−2ν)P
Eεr = (1+ν)(σr +P)−ν(σr +P+σθ +P+σz+P)
Eεθ = (1+ν)(σθ +P)−ν(σr +P+σθ +P+σz+P)
D’où :E(εr − εθ) = (1+ν)(σr −σθ)
et :E(εr + εθ) = (1+ν)(1−2ν)(σr +σθ +2P)
L’équation d’équilibre est :
rσ′r +σr −σθ = 0
Les conditions aux limites sont :
σr(a) =−p et σr(+∞) =−P
D’où :
σr =−P+(P− p)(a/r)2
σz =−P
σθ =−P− (P− p)(a/r)2
σr > σz > σθ pourr fini et p < P
(−σr ) est une pression qui varie dep (pour r = a, c’est-à-dire à laparoi du tunnel) àP (pourr = +∞).
(−σθ) est une pression qui varie deP+ (P− p) (pour r = a) à P(pourr = +∞).
(−σz) est une pression uniformeP (égale donc à sa valeur initiale).
Le déplacement radial est tel que :
εθ = u/r =−[(P− p)/(2µ)](a/r2)
avec 2µ = E/(1 + ν) ; µ= module de cisaillement. Il s’agit doncd’un mouvement convergent (la matière est attirée par le vide) et enparticulier la diminution relative du rayon du tunnel est :
−u(a)/a = (P− p)/2µ
Le critère estF = Kσr −σθ
F = (K +1)(P− p)(a/r)2− (K−1)P : fonction décroissante der
Pour rester en élasticité, il faut et il suffit queF ≤ 0 pourr = a. D’où :
(K +1)(P− p)− (K−1)P≤ 0
La pressionP doit rester supérieure à la valeur limitepe.
pe = 2P/(K +1)
Lorsquep > pe, la solution élastique devient fausse (carF > 0 pourr = a par exemple). Mais on peut être tenté d’utiliser l’expression deF pour déterminer une valeur approchée de l’épaisseur (ce−a) de lazone plastique (r ∈ [a,ce] dans laquelleF > 0). On obtient :
ce = a[1+2(1− p/pe)/(K−1)]1/2
En particulier pourp = pe on ace = a (début de la plastification etdonc fin de la phase élastique).
582. La vraie zone plastique
Lorsque p< pe calculer les contraintes dans la zone plastique
r ∈ [a,c] et dans la zone élastique r∈ [c,+∞[ sachant que F= 0 pourr = c. Déterminer c en écrivant la condition de continuité (équilibre)de la contrainte radiale à l’interface r= c des deux zones.En déduire que c≥ ce. Autrement dit la solution fausse (élastique)sous-estime l’épaisseur de la zone plastifiée (endommagée) donc nepeut pas servir comme règle de trois de l’ingénieur pour des raisonsde sécurité.Nous inspirant de la solution élastique, nous cherchons la solution
élastoplastique telle que :
∗ Il existe un rayonc (à déterminer) vérifiant :r ∈ [c,+∞[ : solution élastique avecF = 0 pourr = c.r ∈ [a,c] : zone plastique dans laquelleF = 0.
∗ σr > σz > σθ
Dans la zone élastique, il suffit de reprendre la solution du chapitre 1en remplaçanta parc et p par pe :
Si r ≥ c : σr =−P+(P− pe)(c/r)2
σz =−Pσθ =−P− (P− pe)(c/r)2
εθ = u/r =−[(P− pe)/2µ](c/r)2
Si a≤ r ≤ c : F = Kσr −σθ = 0 ⇒ σθ = Kσr
rσ′r +σr −σθ = 0 ⇒ σ′r = (K−1)/rdonc[ln(σr/(−p)]′ = [(K−1) ln(r/a)]′
et σr =−p(r/a)(k−1)
Les lois d’écoulement sont telles queεpz = 0.
Donc la relationσz = ν(σr +σθ)−(1−2ν)P reste vraie, si bien que :
σz =−(1−2ν)P−ν(K +1)p(r/a)(k−1)
A l’interface (r = c) entre les deux zones, la seule contrainte qui estnécessairement continue est la contrainte radiale qui vaut :
– à gauche (r = c−) σr =−p(c/a)(k−1)
– à droite (r = c+) σr =−pe
D’où : c = a(pe/p)1/(k−1)
En posantx= pe/p variant de 1 à+∞, les deux fonctions croissantesdex, ce = ce(x) etc = c(x) sont représentées par des courbes partantdu même point (x= 1 etce = c= a) avec la même tangente mais trèsvite c devient plus grand quece montrant que cette dernière valeurconduit à sous-estimer la vraie zone plastique.
3. La courbe caractéristique du massifLorsqu’on utilise les lois d’écoulement (le coefficientβ) on peut
calculer le déplacement radial u(r) et en particulier la diminutionrelative du rayon du tunnel[−u(a)/a]. En portant cette quantité enabscisse et la pression de soutènement p en ordonnée, on obtient ceque l’on appelle en génie civil, la courbe réponse caractéristique dumassif.
(-u a /a)
Massif
A
P
Equilibre
Soutenement
p
pe
0
Figure 2 : Courbe convergence–confinement d’un tunnel
La réponse du soutènement (sans contraintes initiales) posé aprèsque le tunnel ait déjà subi une certaine déformation (point A) estutilisée pour obtenir l’état final d’équilibre (point d’intersection desdeux courbes) et juger si la pression d’équilibre est assez faible pourêtre supportée par le soutènement.
59Cette méthode (convergence-confinement) montre clairement quesi le soutènement est posé tôt (point A proche de l’origine), les
déplacements du terrain, et donc son endommagement, seront réduitsmais le soutènement sera très chargé et inversement. Il y a un justecompromis à trouver.Pour p < pe, dans la zone élastique les déplacements sont déjà
déterminés. Pour calculer dans la zone plastique on élimine lesdéformations plastiques en formant l’expression deεr + βεθ, carεp
r +βεpθ = 0. D’où :
E(εr +βεθ) = (1+ν)[σr +P+β(σθ +P)]−ν(1+β)(σr +P+σθ +P)(1+ν)En utilisant la relation de compatibilitéεr = rε′θ + εθ et lesexpressions des contraintes déjà déterminées dans la zone plastique,
on obtient pourεθ une équation du premier ordre que l’on intègreen tenant compte du fait queεθ pour r = c est connu (continuité du
déplacement à l’interface des deux zones).On obtient ainsi l’expression deεθ = u/r en fonction der et dep. En particulier pourr = a (à la paroi du tunnel), la convergence(−u(a)/a) est reliée à la pression de soutènementp (confinement)par une relation non linéaire qui n’est valable que pourp≤ pe maisqui peut être complétée par celle obtenue en élasticité (p≥ pe).Ainsi, dans le diagramme convergence (en abscisse), confinement(en ordonnée) on obtient une courbe descendante à concavité versle haut commençant par une portion de droite (phase élastique) etprésentant une asymptote (p= 0 pour−u(a)/a tendant vers l’infini).Cette asymptote traduit simplement le fait qu’il est impossible deconcevoir un tunnel dans du sable sec sans soutènement (p = 0).
60COMPARAISON DE LA FLEXION SUR APPUI SIMPLE
D’UNE POUTRE HOMOGENE ET D’UNE POUTRE SANDWICH
x 1
x 1
3x
3x
2h
2h
e
e
Figure 1 : Géométrie des poutres étudiées
Le but de cet exercice est de prendre conscience de l’importance qu’ily a à mettre le matériau qu’il faut à l’endroit où il faut pour avoir desstructures à la fois légères et résistantes. La comparaison proposée portesur deux poutres de section rectangulaire (figure 1), l’une réalisée en alliaged’aluminium (longueur 2l , hauteur 2h, épaisseurb), l’autre constituée de cemême alliage, collé sur un cœur de mousse polyuréthane. Ce deuxièmeassemblage présente environ la même masse que le premier, les tôlesd’aluminium utilisées étant deux fois moins épaisses que dans le premiercas. L’épaisseur de mousse vaut 2h. Chacune de ces deux poutres est poséesur deux appuis simples, et chargée ponctuellement en son milieu avec uneforce−P (flexion 3 points).
1. Traiter le cas de la poutre homogène, en supposant qu’une sectionplane de la poutre reste plane. Trouver en particulier les équationsqui expriment l’équilibre du milieu curviligne en termes de N, T etM, respectivement effort normal et «effort tranchant», et momentde flexion autour de l’axe 2. Trouver les lois de comportement qui
relient les quantités précédentes aux translations U et V d’un point
de la ligne moyenne et de la rotationθ d’une section.
Les poutres étant simplement posées, et le chargement discret,l’effort tranchantT est discontinu au point d’application de la force,et la dérivée du moment l’est aussi. Le moment est nul aux deuxextrémités (figure 2 ). Le diagramme de l’effort tranchantT et dumoment de flexionM s’obtient en intégrant les équations d’équilibre,en prenant en compte la discontinuité surT due à la force concentréeen x1 = l . On trouve ainsi la forme de la figure 3 . Le moment estnégatif, ce qui indique que l’angleθ diminue. Il a effectivement unevaleur positive enx1 = 0, et nulle enx1 = l .
si x1 < l : T = P/2 ; M = Px1/2si x1 > l : T =−P/2 ; M = P(l −x1/2)
x 1
P−P/2−P/2
1x
P−P/2−P/2
Figure 2 : Chargement
61
1x
P/2
−P/2T
M
Pl/2
T,M
Figure 3 : Effort tranchant et moment
2. Trouver l’expression de la flèche pour cette poutre. Applicationnumérique : P= 160 N, l = 250 mm, E= 75000MPa, ν = 0.3,b = 100mm, h= 2 mm.N étant nul, la contrainteσ11 est égale àMx3/I , avecI = (2/3)bh3.
Pourx1 < l , l’angle θ est tel queθ,1 = −Px1/2EI, et, comme il estnul enx1 = l , on a :
θ =P(x2
1− l2)4EI
La flèche s’exprime :
V =−Z x1
0θdx1 +
Z x1
0
TµS
dx1
En tenant compte du fait qu’elle s’annule enx1 = 0, il vient :
V =Px1
2µS+
Pl2x1
4EI−
Px31
12EI
Soit, au milieu de la poutre (x1 = l ) :
V =Pl3
6EI+
Pl2µS
Application numérique :L’ensemble (P = 160 N, l = 250 mm,E = 75000 MPa,ν = 0.3,
b = 100 mm,h = 2 mm) conduit à :
EI =23
100×75000×23 = 40000000 N.mm2
µS=750002×1.3
×100×4 = 5769231 N
v = (10.41+0.0017) mm
Le terme lié à l’effort tranchant est négligeable.
POUTRE SANDWICH SUR DEUX APPUIS SIMPLESCHARGE CONCENTREE EN SON MILIEU
3. Indiquer les différences entre la poutre sandwich et la précédente.Etudier en particulier la continuité des composantes du tenseurdes contraintes aux interfaces. Donner l’expression de la flèche.Application numérique : P= 160N, l = 250mm, Ea = 75000MPa,Em = 20MPa,ν = 0.3, b= 100mm, e= 2 mm, h= 15mm.
Les calculs effectués ci-dessus restent valables, à condition d’utiliserles valeurs homogénéisées des produitsEI etµS:
v =Pl3
6 < EI >+
Pl2 < µS>
L’aluminium (Ea, µa), est situé entre les cotes±h et ±(h+ e). Lamousse (Em, µm) entre les cotes±h. Il vient donc :
< EI >=23
b(Ea((e+h)3−h3)+Emh3)
< µS>= 2bhµm
62Application numérique :L’ensemble (P = 160 N, l = 250 mm, Ea = 75000 MPa,Em =20 MPa,ν = 0.3, b = 100 mm,e= 2 mm,h = 15 mm) conduit à :
< EI >=23×100(75000× (173−153)+20×153)
< EI >= 7694500000 N.mm2
< µS>= 2×100×15× 202×1.3
= 23077 N
V = (0.054+0.867) mm
4. Montrer qu’il est important que la mousse soit capable d’offrir unminimum de résistance au cisaillement, faute de quoi la flèche due àcelui-ci fait perdre l’avantage offerte par l’assemblage pour ce quiconcerne la résistance au moment de flexion.C’est maintenant le terme lié à l’effort tranchant qui est prépondérant.
On note l’importance qu’il y a à conserver un matériau qui possèdedes propriétés non négligeables comme coeur de la poutre. Ainsi,avec un module d’Young qui de 0,79 MPa au lieu de 20 MPa, ontrouverait une flèche de plus de 22 mm, en ayant donc perdu toutl’avantage de l’assemblage «sandwich».
63COMPOSITES A FIBRES LONGUES
I. Réservoir sous pression1
On considère un réservoir cylindrique sous pression formé d’uneenveloppe mince de révolution, qui, en section courante, comporte desfibres de verre selon deux directions faisant un angle±α par rapport àl’axe du réservoir. Les fibres sont disposées en couches alternées, noyéesdans une matrice de résine, dont on négligera la contribution mécanique. Ily a un nombre égal de couches dans chaque direction. La pression internevautp. L’épaisseur et le rayon moyen de l’enveloppe valent respectivementeetR (avece� R).
1.1 Donner l’expression du tenseur de contrainte sur l’enveloppe encoordonnées cylindriques (on se placera en fait dans le repère(z–θ)) en fonction de p, e et R.Voir le mini-formulaire d’élasticité. On trouve, en tenant compte de
l’«effet de fond» :
σθθ =pre
σzz=pr2e
1.2. Les modules transversaux étant nuls dans chaque couche, l’état decontrainte est approximativement uniaxial dans chaque couche, laseule composante non nulle correspondant à la direction n des fibres.Etablir les relations entreσnn, σzz et σθθ.La contribution de la couche, dont les fibres font un angleα avec
la directionz des génératrices, est telle que (en notantc = cosα,s= sinα) :σzz
σθθσzθ
=
c2 s2 −2css2 c2 2cscs −cs c2−s2
σnn
00
=
c2σnn
s2σnn
csσnn
On observe donc que le terme de cisaillement va disparaître lors dela moyenne entre les deux couches (anglesα et−α), si bien que lerésultat final est simplement :
σzz= c2σnn σθθ = s2σnn
1.3. A l’aide des résultats des deux questions précédentes, déterminerl’angle optimalα que doivent faire les fibres avec les génératricesdu cylindre. Quelle est alors la contrainte dans les fibres en fonctionde p, e et R ?L’angle optimal sera donc celui pour lequel chacune des deux
contraintesσzz et σθθ charge les fibres de façon équivalente. Onvérifie alors :
c2σnn =pR2e
s2σnn =pRe
Soit :
tan2 α = 2 α≈ 54.7◦
1.4. En appelant σu la contrainte à rupture de la fibre, calculersuccessivement la quantité de fibre nécessaire et l’épaisseur d del’enveloppe, sachant que la fraction volumique de fibres f dans lecomposite est de 80%.
1Cet exercice est inspiré de celui de D. Gay, Matériaux composites, Hermès, 1991, p.433
64Application numérique :R=80cm ; p=200bars ;σu= 3200 MPa.On a alors :
σu =32
pRe
e=32
pRf σu
Application numérique :
e=32
pRf σu
≈ 4.7mm
II. Coefficient de dilation d’un composite à fibres longuesOn considère un composite à fibres longues comportant une fraction
volumique f de fibres. La matrice et la fibre ont des coefficients dedilatation très différents, que l’on supposera isotropes (respectivementαm
et α f ). En raison de la géométrie du matériau, on suppose que l’étatde contrainte qui se développe est uniaxial, dans le sens des fibres. Oncaractérise donc uniquement le module longitudinal des fibres,Ef , etle coefficient de Poisson correspondant,ν f . La matrice est quant à ellecaractérisée parEm et νm. Les fibres sont disposées selon l’axex1.
2.1. Donner une estimation de l’état de contrainte dans le matériaulorsque, partant d’un état initial libre de déformations et decontraintes, on applique une différence de température uniforme de∆T.On note respectivementσ f et σm les seules composantes non nulles
des tenseurs de contraintes (respectivementσ f11 dans la fibre etσm
11
dans la matrice). Les déformations longitudinales seront alorsε f11 et
εm11, les déformations transversalesε f
22 etεm22. La résultante selon l’axe
1 est nulle, et les déformations selon l’axe 1 sont égales. Donc :
f σ f +(1− f )σm = 0 ε f11 = εm
11 = ε11
La déformation se décompose en une part élastique et une partthermique, soit :
σ f
Ef+α f ∆T =
σm
Em+αm∆T
La résolution du système en contraintes donne, en posantE = f Ef +(1− f )Em :
σ f =(1− f )EmEf
E(αm−α f )∆T σm=− f
1− fσ f =− f
EmEf
E(αm−α f )∆T
2.2. En déduire les coefficients de dilatation moyens en directionlongitudinale et transversale.En reportant les résultats précédents dans l’expression deε11, on
introduit le coefficient de dilatation longitudinaleαL :
ε11= ε f11=(1− f )
Em
E(αm−α f )∆T +α f ∆T =
f α f Ef +(1− f )αmEm
E∆T = αL∆T
La déformation transverseε22 est la moyenne des déformations dechaque phase :
ε22= f ε f22+(1− f )εm
22= f (−ν fσ f
Ef+α f ∆T)+(1− f )(−νm
σm
Em+αm∆T)
Il vient alors, en posantα = f α f +(1− f )αm :
ε22 =
(f σ f
(−
ν f
Ef+
νm
Em
)+α)
∆T
=
(f (1− f )(νmEf −ν f Em)(αm−α f )
E+α)
∆T
= αT∆T
si bien
qu’on obtient un encadrement deα :
αT =f (1− f )(νmEf −ν f Em)(αm−α f )
E+α
αT 6 α 6 αL
65
αL =f α f Ef +(1− f )αmEm
EOn a tracé figure 1 les courbes résultantes pour les différentesestimations et bornes, dans le cas d’un composite verre–résinepolyester. On observe que l’estimation faite selon le sens transverseest au dessous de la borne minimale ( !). Cela remet en cause leshypothèses de la comparaison :
0
1e-05
2e-05
3e-05
4e-05
5e-05
6e-05
7e-05
8e-05
9e-05
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
alph
a
Vol fraction
maxmin
longitrans
Figure 1 : courbes obtenues pour un composite fibre de verre–résinepolyester, avec :
Ef =74000 MPa,ν f =0.25,α f =5.10−6, Em=4000 MPa,νm=0.4,αm=8.10−5.
- d’une part, supposer le champ uniaxial est trop réducteur ;- par ailleurs, l’expression de la borne inférieure utilisée ici esttrop simple. Le matériau étant anisotrope, il faut aussi tenir compted’un terme déviatorique pour mesurer le coefficient de dilatationthermique, qui devient alors un tenseur.
2.3. Une approche plus générale du problème, mais appliquée dans lecadre d’un matériau isotrope, montre que le coefficient de dilatationhomogénéisé d’un composite biphasé,αh, composé des matériaux 1et 2, vaut :
αh = 〈α〉+ 1/Kh−〈1/K〉1/K1−1/K2
(α1−α2).
où 〈.〉 est une opération de moyenne arithmétique, et où Kf etKm désignent respectivement les modules de compressibilité desmatériaux 1 et 2. Les valeurs de Kh sont encadrées par les bornesde Voigt et Reuss, ce qui fournit donc un encadrement deαh. Avec lesnotations précédentes, on obtient successivement, pour Kh :
1(1− f )Km+ f K f
61
Kh 61− fKm
+f
K f
et pourαh :
α+
1(1− f )Km+ f K f
−(
1−xKm
+x
K f
)1/K f −1/Km
(α f −αm) 6 αh 6 α
avecα = 〈α〉= (1−x)αm+xα f
Vérifier que, si ν f =νm, la borne min correspond à la valeurpréalablement estimée en sens travers.La courbe figure 2 montre comment se transforme la courbe
précédente lorsque l’on ramène la valeur deνm à 0.25, ce qui conduità νm = ν f . L’estimation transverse est bien sur la borne minimale.
66
0
1e-05
2e-05
3e-05
4e-05
5e-05
6e-05
7e-05
8e-05
9e-05
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
alph
a
Vol fraction
maxmin
longitrans
Figure 2 : Courbes obtenues lorsque les coefficients de Poisson sontégaux :
Ef =74000 MPa,ν f =0.25,α f =5.10−6, Em=4000 MPa,νm=0.25,αm=8.10−5.
2.4. Application numériqueTracer en fonction de la fraction volumique de fibres les deux
estimations précédentes et les deux bornes de la question 3, pour lecas d’un composite fibre de verre–résine (Ef =74000 MPa,ν f =0.25,α f =5.10−6, Em=4000 MPa,νm=0.4, αm=8.10−5). Discuter.
III. Assemblage colléAfin de pouvoir saisir une éprouvette encomposite entre les mors d’une machine de traction, on réalise un collageentre deux plaques d’aluminium. Comme l’indique la figure 3 ,il y adonc deux joints de colle, de part et d’autre de l’éprouvette en composite.Les plaques d’aluminium ont chacune une épaisseur dee1, l’épaisseurde l’éprouvette en matériau composite est 2e2. Les couches de colle ont
chacune une épaisseurh, le recouvrement entre les plaques porte sur unedistancel . L’axe x1 est l’axe de traction de l’éprouvette, l’axex3 est normalau plan de l’éprouvette. On suppose que l’ensemble est de faible dimensionen directionx2, ce qui autorise à tenter une modélisation dans le planx1–x3,en négligeant les efforts en direction 3. On supposera que toutes les forceset les déplacements dépendent uniquement dex1.
e
l
2e2
1
1x
x 3
Figure 3 : collage composite - plaques aluminium
Les modules de la plaque composite et de l’aluminium étant grands parrapport à celui de la colle, il est raisonnable de supposer que la colle estcisaillée (glissement simple) entre les plaques, dans lesquelles les segmentsinitialement parallèles àx3 restent parallèles pendant la traction (force F).
3.1. En considérant successivement l’équilibre d’une tranche (dx1–e1)d’aluminium, et (dx1–e2) de composite, autour du joint supérieurde colle, donner les relations entre les forces de traction par unitéd’épaisseur N1 et N2, dans l’aluminium et dans le composite, et lecisaillement à l’interface,τ.La première équation d’équilibre, intégrée sur les petits volumes
considérés, donnent :Z(σ11,1 +σ13,3)dx1dx3 = 0
Il s’agit d’un cas simplifié de théorie des poutres, dans lequel ne
subsiste que l’effort normal dans la section de la poutre, mais avec
67une sollicitation extérieure tangente à la surface. Le premier termede l’intégrale correspond à la dérivée de l’effort normal par rapport àx1. On transforme le second terme en intégrale sur le contour. Il vientdonc un terme enσ13n3, n3 étant la normale à la surface chargéeen cisaillement. Ce terme vaut donc−τ pour l’élément de volumed’aluminium (normale (0,-1)), etτ pour la plaque composite. Il vientdonc :
N1,1 + τ = 0 N2,1− τ = 0
Si on suppose que le déplacement horizontal est le même en toutpoint des plaques, et qu’on le désigne parU1 dans l’aluminium et parU2 dans le composite, il vient :
N1 = E1e1U1,1 N2 = E2e2U2,1
3.2. Proposer un champ de déplacement pour la colle, et en déduire larelation entre les déplacements des plaques et le cisaillementτ.En supposant que la colle est en glissement simple, la valeur du
cisaillement produit (petites déformations) est :
γ =U2−U1
h=
τµc
D’où on déduit :
hµc
τ,1 = U2,1−U1,1 =N2
E2e2− N1
E1e1= y(x1)
Les relations entre les efforts normaux etτ se recombinent de la façonsuivante :
N1,1
E1e1+
τE1e1
= 0N2,1
E2e2− τ
E2e2= 0
soit :
y =(
1E1e1
+1
E2e2
)τ
3. Trouver l’équation différentielle du second ordre que vérifie lafonction y de x1 telle que :
y =N2
E2e2− N1
E1e1
L’équation est donc finalement :
y,11−ω2y = 0 avecω2 =µc
h
(1
E1e1+
1E2e2
)dont la solution générale est :
y = acoshωx1 +bsinhωx1
Les conditions aux limites sont :
- enx1 = 0, N1 = F , N2 = 0, soity =− FE1e1
= a ;
- en x1 = l , N1 = 0, N2 = F , soit y =F
E2e2= acoshωl + bsinhωl
L’application de ces conditions aux limites conduit à :
y =− FE1e1
coshωx1 +Fsinhωx1
sinhωl
(1
E2e2+
1E1e1
coshωl
)
4. Intégrer cette équation, et déterminer les constantes d’intégration enx1 = 0 et x1 = l.On trouve enfin le cisaillement en prenant le dérivée dey :
τ =Fµωh
(−sinhωx1
E1e1+
coshωx1
sinhωl
(1
E2e2+
coshωlE1e1
))
68La courbe fonction dex1 présente des valeurs maximum aux deux
extrémités du collage. On a respectivement :
- enx1 = 0, τ(0) =Fµωh
(1
E2e2sinhωl+
1E1e1 tanhωl
);
- enx1 = l , τ(l) =Fµωh
(1
E2e2 tanhωl+
1E1e1sinhωl
).
Dans la plupart des configurations numériques, le terme en sinh esttrès grand, et tanh≈ 1. L’efficacité maximum du système commandeque les produitsE1e1 etE2e2 soient égaux. La rupture éventuelle d’uncollage débute donc à partir des bords. On peut diminuer les efforts enconsidérant un recouvrement plus long. La figure ci-dessous montrela courbe obtenue pour les conditions préconisées.
5. Déterminer l’expression du cisaillementτ et la tracer en fonctionde x1 sur l’intervalle (O :l). Discuter le paradoxe concernant lesconditions aux limites pourτ en x1 = 0 et x1 = l.Le cisaillement calculé ici n’est donc pas nul sur les faces verticales
du joint de colle, qui sont pourtant des surfaces libres. On retrouvedonc bien dans ce calcul approché le problème classique ducisaillement dans les théories de poutre. En fait, si la surfaceest libre, la forme du bord n’est pas linéaire, comme supposédans les hypothèses pour construire le cisaillement. Des calculs destructures montrent néanmoins que les résultats d’un calcul completse raccordent très rapidement à ceux qui sont trouvés ici, si bienque le niveau de la concentration de contrainte est bien réaliste. Il
représente en particulier une bien meilleure approximation que cellequi consiterait à répartir uniformément le cisaillement sur l’ensemble
du joint.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 5 10 15 20 25 30
tau
(MP
a)
x (mm)
Figure 4 : Evolution du cisaillement à l’interfacealuminium–composite ; conditions du calcul pour l’aluminium,
E1 = 75000MPa , e1 = 2. mm ; pour le stratifié, E2 = 100000MPa,e2 = 1.25mm ; pour la colle (araldite), µc = 1700MPa ,
h= 0.1 mm, l= 30mm ; force par unité d’épaisseur, F=70 MPa/mm
69
ÉTUDE D’UNE TUYAUTERIE EN VERRE ÉPOXY SOUS PRESSION INTERNE
x2
x1
p0
������������������������������������������������������������
��������������������
��������������������
�����������
���������������
���������
���������������
���������
��������
��������������������������������������������
θ l
t
x
y
r
e
(a) (b)(a) Les repères du pli, (b) le tuyau stratifié
1. Étude de la loi de comportement du pliLe pli est défini dans ses axes d’orthotropie(l , t) par la loi de
comportement : εll
εtt
γlt
=
1/Ell −νtl/Ett 0−νlt /Ell 1/Ett 0
0 0 1/Glt
σll
σtt
τlt
avecνtl
Ett= νlt
Ell
1.1 Exprimer cette relation dans le repère(x1,x2) défini par l’angleθ = (x1, l) (Fig.1).La matrice de passageP du repère(l , t) au repère (x1,x2) s’écrit, avec
c = cosθ ets= sinθ :
[P] =[
c s−s c
]Elle permet de passer des composantes (Vl ,Vt) aux composantes(V1,V2) du vecteur~V et des composantesσll , σtt , σlt du tenseur des
contraintes dans(l , t) aux composantesσ11, σ22, σ12 :(Vl
Vt
)=t [P]
(V1
V2
) [σll σlt
σlt σtt
]=t [P]
[σ11 σ12
σ12 σ22
][P]
On peut écrire la même relation, mais sous forme de vecteur :σll
σtt
σlt
= [T]
σ11
σ22
σ12
avec [T] =
c2 s2 −2css2 c2 2cscs −cs c2−s2
De même en considérant le vecteur déformation on montre de façonanalogue, avecγi j = 2εi j :
ε11
ε22
γ12
= [T ′]
εll
εtt
γlt
avec [T ′] =
c2 s2 css2 c2 −cs−2cs 2cs c2−s2
Il vient donc :
{ε}(l ,t) = [S](l ,t){σ}(l ,t); {σ}(l ,t) = [T]{σ}(x1,x2); {ε}(x1,x2) = [T ′]{ε}(l ,t)
d’où :{ε}(x1,x2) = T ′[S](l ,t)T{σ}(x1,x2)
et :[S](x1,x2) = T ′[S](l ,t)T
Soit l’expression suivante pourS(x1,x2) :
S(x1,x2) = [T ′]
1/Ell −νtl/Ett 0−νlt /Ell 1/Ett 0
0 0 1/Glt
[T]
70
S(x1,x2) =
1/E11 −ν21/E22 −η12/G12
−ν12/E11 1/E22 µ12/G12
ν11/E11 µ22/E22 1/G12
Les termesν11, ν12, ν21, µ12 et µ22 introduits ici correspondent au
couplage traction–cisaillement induit par l’anisotropie du pli. Lesexpressions sont les suivantes :
1/E11 = c4/Ell +s4/Ett +c2s2(1/Glt −2νtl/Ett)1/E22 = s4/Ell +c4/Ett +c2s2(1/Glt −2νtl/Ett)
1/G12 = 4c2s2(1/Ell +1/Ett +2νtl/Ett)+(c2−s2)2/Glt
ν21/E22 = (c4 +s4)νtl/Ett −c2s2(1/Ell +1/Ett −1/Glt )η12/G12 = −2cs{c2/Ell −s2/Ett +(c2−s2)(νtl/Ett −1/2Glt )}µ12/G12 = −2cs{s2/Ell −c2/Ett − (c2−s2)(νtl/Ett −1/2Glt )}
1.2 Donner dans le repère(x1,x2) la relation donnantσ11, σ22, σ12 enfonction deε11, ε22, ε12.Lorsqu’on inverse la relation de comportement écrite dans les axes
d’orthotropie(l , t) du pli, on obtient :σll
σtt
τlt
=1
1−νlt νtl
Ell νtl Ell 0νlt Ett Ett 0
0 0 Glt (1−νlt νtt)
εll
εtt
γlt
où apparaissent des coefficients dits de “raideur”, par opposition àceux dénommés coefficients de “souplesse". Pour alléger l’écriture,on notera Ell = Ell /(1− νlt νtl ) et Ett = Ett/(1− νlt νtl ). Uneprocédure identique à celle qui a été suivie pour écrire la loide comportement déformations–contraintes conduit à introduire lesmatrices (3×3) T1 pour la contrainte etT ′
1 pour la déformation :
σ11
σ22
σ12
=
c2 s2 2css2 c2 −2cs−cs cs (c2−s2)
σll
σtt
τlt
εll
εtt
γlt
=
c2 s2 −css2 c2 cs2cs −2cs (c2−s2)
ε11
ε22
γ12
Les axes (x1,x2) étant toujours déduits des axes(l , t) par rotationθ
autour du troisième axex3 la loi de comportement s’écrit :
σxx
σyy
σxy
= [Tl ]
Ell νll Ell 0νlt Ett Ett 0
0 0 Glt
[Tl ]
εxx
εyy
γxy
ou :
σxx
σyy
σxy
=
E11 E12 E13
E21 E22 E23
E31 E32 E33
εxx
εyy
γxy
E11 = c4Ell +s4Ett +2c2s2(νlt Ell +2Glt )E22 = s4Ell +c4Ett +2c2s2(νlt Ell +2Glt )
E33 = c2s2(Ell +Ett −2νlt Ell )+(c2−s2)2Glt )
E12 = c2s2(Ell +Ett −4Glt )+(c4 +s4)νlt Ell
E13 = −cs{c2Ell −s2Ett − (c2−s2)(νlt Ell +2Glt )}E23 = −cs{s2Ell −c2Ett +(c2−s2)(νlt Ell +2Glt )}
71E E
EE
E E
E
E E
E
G lt G lt E ltltν E ltltν
θ
θ
θ
θ
θ
45 90
E
11
ll
tt
22
ll
tt
1233
13 23
0
0
0 45 90 45
0 45 90
90
45 9000
45 90
θ
Variations en fonction de l’angleθ des coefficients de raideurEi j
2. Étude d’une tuyauterie en stratifiéOn considère un tube mince réalisé par enroulement filamentaire
équilibré en verre/époxyde avec pour angles d’enroulement±45◦ (Fig. 2).Il s’agit de la superposition des plis étudiés en partie 1. Le pourcentageen volume de fibres estVf = 0.6. Le tube est bridé à une extrémité surun massif rigide indéformable, et monté sur joint glissant étanche à l’autreextrémité.
L’épaisseure est considérée faible devant le rayon (e/r � 1). Oninstalle à l’intérieur de ce tube une pression unitaireP0 = 1 MPa (soit10 bars). On adopte un coefficient de sécurité égal à 8 pour tenir comptedu vieillissement.
2.1 Calculer les contraintes (σxx,σyy) dans les axes xy du plan tangenten O au tube.La solution exacte dans un tube sous pression interneP0 se trouve
en exprimant que les contraintes sont de la forme :σrr = A−B/r2,σθθ = A+B/r2, et en écrivant les conditions aux limites,
σrr (r = r1) =−P0 ; σrr (r = r2) = 0.
σrr = P0r21
r22−r2
1
(1− r2
2r2
)σθθ = P0r2
1r22−r2
1
(1+ r2
2r2
)Lorsque le tube est mince, on peut exprimer les rayons intérieurr1
et extérieurr2 en fonction du rayon moyenR et de l’épaisseure :r1 = R− e/2, r2 = R+ e/2, et effectuer un développement limité,en supposant quee est petit devantR. La contrainte radiale devientnégligeable devant la contrainte orthoradialeσθθ, et σθθ = P0R/e.Avec les conventions choisies ici, et sachant que le tube est libre à sesextrémités (contrainte axiale nulle), il est raisonnable de considérerl’état de contrainte comme uniaxial, avec comme seule composantenon nulleσyy = P0R/e.
2.2 Si on admet que la contrainte admissible dans un composite constituéde50%de plis à+45◦ et−45◦ est de 94 MPa, quelle est l’épaisseurminimum du tube pour un rayon moyen R= 100mm.Expérimentalement on trouve que la contrainte maximum admissible
σmaxyy pour 50% de plis à±45◦, est de 94 MPa. On trouve donc
l’épaisseur admissible : (P0 et σyy en MPa,Reteen mm).
e=P0Rσmax
yy=
1×10094
= 1.064mm
Si on admet un coefficient de sécurité de 8 sur l’épaisseur, il fautprendre :
e' 8.5mm
2.3 Soient les modules Exx, Eyy et Gxy du stratifié, et les coefficients dePoissonνxy et νyx, de valeurs numériques :Exx = Eyy = 14130MPa ; νxy = νyx = 0.57; Gxy = 12760MPa.Ecrire la loi de comportement déformations-contraintes du stratifié
72dans les axes x,y.
Connaissant les modules du stratifié, la matrice de souplesse s’écrit : 1/Ex −νyx/Ex 0−νxy/Ey 1/Ey 0
0 0 1/Gxy
=1
14130
1 −0.57 0−0.57 1 0
0 0 1.107
2.4 Calculer les déformationsεxx et εyy du tube composite ainsidimensionné. En déduire la déformation dans le sens perpendiculaireau sens des fibres à+45◦, notée εtt , qui caractérise alorsessentiellement celle de la résine. Cette déformation doit demeurerinférieure à 0.1% sous peine de microfissuration, entraînant lecheminement du fluide à travers l’épaisseur du tube (phénomène deperlage). Vérifier que le tube respecte effectivement cette condition.
PourP0 = 1 MPa,R= 100 mm ete= 8.5 mm :
σyy = 1×100/8.5 = 11,8MPa.La déformation est donc :
εxx
εyy
γxy
=1
14130
1 −0.57 0−0.57 1 0
0 0 1.107
0
11.80
D’où : εxx = 4.67610−4, εyy = 8.35s10−4.
Par rotation de 45◦, on obtient dans la direction perpendiculaire auxfibres :
εtt = (εxx+ εyy)/2 = 1.810−4 εtt = 0.018%
La limite d’endommagement de la résine étant voisine de 1%, lavaleur trouvée est acceptable.
73DIMENSIONNEMENT D’UN RESERVOIR SOUS PRESSION CONCEPT DE FUITE AVANT RUPTURE
temps
PPmax R=0.9 m
e
Figure 1 : Schématisation du cycle de chargement et de la géométrie
L’installation d’une soufflerie supersonique comporte une vingtaine decylindres soumis à des cycles de pression interne.
La pression maximum en servicePmax est de 50 bars. On cherche àdimensionner les cylindres, c’est-à-dire à déterminer l’épaisseur optimaledu tube qui n’entraîne aucun risque de rupture possible pour une pressiontest de deux fois la pression de service. Pour cela on analysera les différentsrisques de rupture suivants :
1. rupture par charge limite
2. rupture par fissuration critique
3. propagation de fissure par fatigue.
1 Donner les différentes composantes du tenseur des contraintes ensupposant que le tube est mince.La contrainte orthoradialeσθθ est largement plus grande que toutes
les autres dès lors quee/Rest petit devant 1. On considérera donc unétat de contrainte uniaxiale, avec pour seule composante non nulleσθθ = PR/e.
2 Fissuration par charge limite :Soit σy la limite d’élasticité du matériau, supposée égale à
la contrainte ultime à rupture (matériau élastique-parfaitementplastique). Etablir le critère en P et e afin que le réservoir restetoujours en deçà de la charge limite.Pour prévenir la rupture par charge limite, il faut queσθθ reste
inférieure àσy , ce qui impose que l’épaisseur reste supérieure à unevaleur limiteel .
e≥ el = PR/σy
3 Rupture par fissuration critique :Dans l’épaisseur du cylindre, les défauts sont modélisés par desdisques de diamètre2a. Les défauts qui débouchent en surfaceont en général une section elliptique, le petit axe étant situé endirection radiale. On effectue donc une évaluation conservative enles assimilant à des demi-disques de diamètre2a. Dans les deuxconfigurations de défaut (Fig.2) le facteur d’intensité de contrainteK sera approché par la relation : K= σθθ
√πa.
2a
2a σθθ
Figure 2 : Schématisation des défauts dans le réservoir
74Tracer dans le diagramme(σ,a) les domaines de fissuration/non
fissuration pour les deux modes de ruine possible charge limite–fissuration critique. Soit ac la taille de défaut critique correspondantà l’intersection des deux courbes. Décrire qualitativement ce qui sepasse quand on augmente la pression dans un réservoir présentantun défaut initial de taille a0 tel que :
(1) a0 < ac
(2) a0 > ac
Le diagramme (Fig. 3) dans le plan log(a)–log(σ) est la réunion
d’une droite horizontaleσ = σy correspondant à la charge limite,et la droite de pente−0.5, représentant la relationσ
√πa = Kc, qui
modélise la rupture par fissuration critique. La valeur critique deaest doncac telle queσy
√πa = Kc, soit :
ac =1π
(Kc
σy
)2
– si on augmenteP depuis A, le réservoir casse par charge limite .C’est un mode de rupture qui n’est pas considéré comme dangereux,car il est associé à des déformations élevées, qui peuvent être repéréesavant rupture (par exemple par la pose de capteurs sur la surfaceextérieure du réservoir). Par ailleurs ces déformations conduisent àdes chutes de pression qui stabilisent le système.– Si on augmenteP depuis B, le réservoir casse par fissuration rapide.C’est un mode de ruine catastrophique qu’il faut absolument éviter.Pour celà il suffit d’être sûr que tous les défauts présents dans lematériau sont de taille inférieure à la taille du défaut critiqueac. Celaest vérifié sie≤ 2ac.
σ y
aσ(π ) =0.5 K c
a∆σ(π ) =0.5 K s
log(a)
log( )σ ∆σ/2,log( )
σ 1
0.5
0.5pas de rupture
rupture en fatigue
rupture monotonefissuration critique
0.5
Alog(a)
Ba
σ
c
y
log( )σ
Figure 3 : Diagramme définissant le domaine sécurité dans le plana–σsous chargement monotone et en fatigue.
4 Concept de fuite avant rupture :Pour e< 2ac on est sûr que le réservoir ne périra pas par fissurationrapide puisqu’un défaut quelconque deviendra traversant (doncproduira une fuite détectable) avant de devenir critique. Les normesde sécurité imposent e< ac (facteur de sécurité de 2).Sachant que l’on souhaite rester en deçà de la charge limite,
dimensionner le réservoir (R= 0.9 m, P= 100bars) pour les deuxmatériaux suivants :
acier chrome-molybdèneσy = 1000MPa Kc = 170MPa√
malliage d’aluminium σy = 400MPa Kc = 25MPa
√m
Pour chaque matériau on déterminera d’abord la taille de défautcritique.Le réservoir est essayé sous une pression égale à deux fois la pression
en service soitp = 100 bars= 10 MPa. Pour un rayon de 0.9 m lesvaleurs trouvées pour l’acier et pour l’alliage d’aluminium sont doncles suivants.
ac (mm) el (mm)acier 9.0 9.0aluminium 1.2 22.0
Une bonne conception de la structure impose une épaisseure tellequeel ≤ e≤ ac. La construction est donc impossible en aluminium.Pour l’acier, on choisira e = 9mm.
755 Fissuration en fatigue :
On considère maintenant le réservoir en acier dimensionné dansla question 4. Les techniques usuelles de contrôle non destructifpermettent de détecter des défauts de taille supérieures à 0.5–1 mm.On suppose que le réservoir contient un défaut initial de taillea0 = 0.5 mm. Calculer le nombre de cycles nécessaire pour que ledéfaut devienne traversant. Que se passe-t-il alors ?On prendra Pmax = 50 bars. La propagation sera modélisée par uneloi de Paris :
dadN
= A(∆K)m
avec A= 2.610−13 m(MPa√
m)−4; m= 4.
Calculer l’ordre de grandeur de l’avancée de fissure par cycle pourun défaut de 5 mm.Une structure peut se rompre pour des chargements inférieurs à la
limite de rupture monotone si elle est soumise à des sollicitationscycliques. La figure 3 montre qu’il existe ainsi un seuilσl inférieur àσy, et un seuil∆Ks pour le phénomène de propagation.
Les données géométriques du problème sont :R= 0.9 m,e= 9 mm.
La pression de fonctionnement est de 50 bars. L’application de laloi de Paris avec l’expression de∆K = ∆σ
√πa = ∆P(R/e)
√πa =
Pmax(R/e)√
πa produit l’équation :
dadN
= A(Pmax)m(R/e)mπm/2am/2
Il s’agit d’une équation différentielle à variables séparables, qui,intégrée sur lesN cycles nécessaires pour que la fissure croisse dea0 àa1 fournit :
N =1
A(1−m/2)
(RPmax
√π
e
)−m(a1−m/2
1 −a1−m/20
)L’application numérique, avecA = 2.610−3 et m = 4 permetd’obtenir le nombre de cycles pour passer dea0 = 0.5 mm àa1 = 9 mm :N = 1.17104 cycles.Lorsque le défaut a une longueur de 5 mm,∆K = Pmax(R/e)
√πa =
62,7 MPa√
m et, la vitesse calculée avec les valeurs précédentes estde 4µm/cycle.
