25 - CIRCUITOS DE25 - CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA

1. RESISTORES EM SÉRIE E EM PARALELOPARALELO:

• Resistores em série: V = I.R1 + I.R2 =I.(R1 + R2) = I.Req , com Req = ∑Ri

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Solução: Primeiro se calcula a resistência equivalente da associação em q çparalelo:

Req = 1/[(1/R2 + 1/R3)] = 1/[(1/12 + [( )] [(1/6)] = 4Ω

Calcula-se, a seguir, a associação em série d R R1de Req e R1:

RTeq = R1 + Req = 2 + 4 = 6Ω

C l l ICalcula-se a corrente I1, para a seguir determinar as tensões V1 e Veq:

I = ε/RTeq = 6/6 = 1A Logo, V1 = R1.I = 2.1 = 2V eVeq = Req. I = 4.1 = 4V

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q q

Com a tensão Veq (mesma diferença de potencial que é aplicada sobre R2 e R3), determina-se as correntes I2 e I3:

I2 = Veq/R2 = 4/12 = 0,33A e I3 = Veq/R3 = 4/6 = 0,66A

-------------------------------------------------------------------------------Regra geral: Calcule primeiro as associações de resistores mais

internas para as mais externasinternas para as mais externas. Neste outro exemplo, calcule a:• associação de R1 e R2 em paralelo (Req1)ç p ( q )• associação de Req1 e R3 em série (Req2)• associação de Req2 e R4 em paralelo

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2. REGRAS DE KIRCHHOFF2. REGRAS DE KIRCHHOFF• Nem sempre é possível ter circuitos

que tenham somente malhas deque tenham somente malhas de resistores, neles podem estar inclusos fontes e outros elementos(o que impede de se calcular as resistências equivalentes).q )

• As duas regras de Kirchhoff(Regra das Malhas e Regra dos Nós) que são leis de conservação, auxiliam na determinação de correntes e dif d i idiferenças de potenciais nos circuitos elétricos.

• Regra das Malhas (Conservação da energia):

“A é i“A soma algébrica dos aumentos e diminuições (quedas)de potenciais ao longo de qualquer ma-lha fechada de qualquer circuito deve ser zero ”

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ser zero.

Na prática, ao percorrermos uma malha elevamos ouma malha, elevamos o potencial quando tivermos uma fonte (bateria) euma fonte (bateria) e diminuimos o potencial quando tivermos umaquando tivermos uma carga (resistor) de tal forma a manter o potenforma a manter o poten-cial entre dois pontos des-ta malha constante numta malha constante, num estado permanente.

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• Regra dos Nós (Conservação da carga):carga):

“Em qualquer ponto (nó) de um circuito, onde há divisão de ,corrente, a soma das correntes que chegam a um nó é igual à soma das correntes que saem deste nó.”

Isto quer dizer que a carga que chega a um determinado nó por uma de suas ramificações sai poruma de suas ramificações, sai por outras ramificações deste nó.

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EXEMPLO: Calcular a corrente em cada parte do circuito da figura.

Solução: O 1º passo é identificar todos os nós (nos terminais através dos (componentes) a, b, c, d, e, f.

O 2º passo é identificar todas as malhasO 2 passo é identificar todas as malhas do circuito, que são 3. Malhas abcd, aefd, befc.

Temos 3 incógnitas e precisamos de 3 equações para determiná-las:

O 3º passo é aplicar a regra dos nós ao nó ‘b‘(equação 1):

7I = I1 + I2 (i)

O 4º passo é aplicar a regra das malhas à duas das três malhas (2 equações):q ç )

Malha ‘abcd’: 18V - (12Ω).I - (6Ω).I1 = 0 (ii)Malha ‘befc’: 12V – (1Ω).I2 + (6Ω).I1 – (1Ω).I2 = 0 (iii)Das equações (i) e (ii), temos:3 – 2.(I1 + I2) – I1 = 3 – 3.I1 – 2.I2 = 0 (iv)Das equações (iv) e (iii), temos:12 – (3 – 3.I1) + 6.I1 = 0 Logo: I1 = 1A *sinal negativo significa sentido inverso daLogo: I1 = -1A *sinal negativo significa sentido inverso da

orientação da corrente que foi adotadaSubstituindo em (iv), temos: I2 = 3A( )Logo, I = 2A

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EXEMPLO: Qual deve ser o valor da resistência R para se ter a maior potência dissipada por efeito Joulepotência dissipada por efeito Joule nesta resistência.

Solução: Aplicando a regra das malhas de

Kirchhoff:ε = r.I + R.I ou I = ε/(r + R) ( )

Por outro lado a potência dissipada por efeito Joule em R:

P = R I² = R ε²/[(r + R) (r + R)]P R.I R. ε /[(r + R).(r + R)]A potência será máxima quando dP/dR =

0, logo:dP/dR = I² R 2 I² [1/(r + R)] = 0 =>dP/dR = I² – R.2.I².[1/(r + R)] = 0 =>

R = rO processo se chama casamento de

impedância

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impedância

3 CIRCUITOS RC3. CIRCUITOS RC• É um circuito contendo capacitores

e resistores (e, possivelmente, baterias).

CIRCUITO RC SEM BATERIA:BATERIA:

• Assume-se que no instante t0 = 0, a chave S esteja sendo fechada e que, no circuito sem bateria, a carga inicial do capacitor seja Q0 e sua capacitância C;

• Aplicando-se a regra das malhas de Kirchhoff no instante t > t0:Kirchhoff, no instante t > t0:VR = VC => I.R = R. dQ/dt = Q/C => dQ/Q = (-1/RC).dt => ∫ dQ/Q = -(1/RC) ∫ dt

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∫ dQ/Q -(1/RC). ∫ dt Integrando em ambos os lados:Q(t) = Q0.exp(-t/tc) com tc = R.C

I = dQ/dt = I0. exp(-t/tc) com I0 = Q0/RC = V0/RA constante de tempo tc corresponde o tempo necessário para:A constante de tempo tc corresponde o tempo necessário para:• a carga Q no capacitor chegar a 37% do valor de Q0, ou,• a corrente I chegar a 37% do seu valor inicial V0/R, oug ,• Tempo em que o capacitor estaria completamente

descarregado se a sua taxa de descarga fosse constante.

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CIRCUITO RC COM BATERIA:BATERIA:

• No instante t0 = 0, fecha-se a chave S e começa a circular umachave S e começa a circular uma corrente I0 = ε/R, que vai decrescendo à medida que aumenta a carga no capacitor, que inicialmente é zero(Q0 = 0).

• Por Kirchhoff:• Por Kirchhoff:

ε = VR + VC = R.I + Q/C = R dQ/dt + Q/CR.dQ/dt + Q/C

cuja solução é dada por:Q(t) = C.ε.[1 – exp(-t/tc)] e

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Q( ) [ p( )]I = dQ/dt = ε/R. exp(-t/tc)

• Balanço de energia: • O trabalho efetuado pela bateria no processo de carga Qf:• O trabalho efetuado pela bateria no processo de carga Qf:

W = Qf.ε = (ε²). C• A energia armazenada no capacitor (é metade do trabalho):A energia armazenada no capacitor (é metade do trabalho):

U = ½.Q.V = ½.Qf.ε = ½.(ε²).C• A outra metade da energia transforma-se em efeito Joule:

a taxa de energia no resistor fica dWR/dt = R.I² = R.[ε/r. exp(-t/tc)]² l W ∫ [( ²)/R] ( 2t/t )dt [( ²) RC]/2R ∫ ( )logo, WR = ∫ [(ε²)/R].exp(-2t/tc)dt = [(ε²).RC]/2R.∫ exp(-x) dx = ½.(ε²).Conde: x = 2t/RC e dt = (RC/2)dxo de: / C e d ( C/ )d

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EXEMPLO: Uma bateria de 6V, resistência interna desprezível é usada para carregar um capacitor de 2µFdesprezível, é usada para carregar um capacitor de 2µF através de um resistor de 100Ω. Calcular:

a) A corrente inicial: I0 = ε/R = 6V/100Ω = 0,06A

b) A carga final do capacitor: Qf = C.ε = 2µF.6V = 12µC

c) A constante de tempo: tc = R.C = 100Ω.2µF = 200µs

d) O tempo para o capacitor ter 90% de sua carga máxima:Q = 0 9 Qf = 0 9 C ε = ε C [1 – exp(-t/tc)]Q 0,9.Qf 0,9.C.ε ε.C.[1 – exp(-t/tc)]logo, exp(-t/RC) = 1 – 0,9 = 0,1 => -t/RC = ln(0,1) => t = 460µs

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p( ) , , ( , ) µ

4. AMPERÍMETROS, Í ÍVOLTÍMETROS E OHMÍMETROS

• Galvanômetro de d’Arsonval:constituído por umabobina percorrida por uma corrente, que fica sob ação de um torque magnético devido ao campo magnético que a envolve (ímã permanente), e este torque (proporcional a corrente) é(proporcional a corrente) é contrabalanceado por outro torque (da mola) e indicado por um desvio numa escala. Usualmente tem uma resistência interna Rg = 20Ω e uma corrente de fim de escala da ordem de I = 0,5mA. É a base de voltímetros e amperímetros.

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voltímetros e amperímetros.

• Âmperímetros: medem a corrente que passa num determinado ponto do circuito.p

• Devem ter resistência desprezível (não alterar potencial);• São colocados em série no circuito (corrente passa por eles);• Devem ter uma resistência shunt muito menor que a resistência do q

galvanômetro em paralelo com o galvanômetro.

• Voltímetros: medem a diferença de potencial entre d i d i idois pontos de um circuito.

• Devem ter resistência infinita (não alterar corrente);• São colocados em paralelo com o circuito;• Deve ter uma resistência shunt muito grande ligada em série com o

galvanômetro.

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• Formas de colocar o amperímetro e voltímetro no circuito:voltímetro no circuito:

---------------------------------------------------------EXEMPLO: Usar um galvanômetro com uma resistência

de 20Ω, no qual uma corrente de 5.(10^-4)A provoca o desvio sobre toda a escala para projetar:

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desvio sobre toda a escala, para projetar:a) Um amperímetro que indique 5A na escala inteira:

Solução: Deve-se colocar uma resistência shunt RS em paralelo de tal

forma que:Ig + IS = 5A (soma das correntes) e Vg = VS => Ig.Rg = IS.RS

(resistências em paralelo => mesmo potencial), logo:( es s ê c s e p e o es o po e c ), ogo:RS = (Rg.Ig)/IS = (20.5.10^-4)/(5-5.10^-4) = 2.10^-3Ω

b)Um voltímetro que leia 10V na escala inteira:Solução: Queremos escolher uma resistência shunt RS em série (mesmaQueremos escolher uma resistência shunt RS em série (mesma

corrente) de tal forma que a tensão sobre RS + Rg seja de 10V:

R I + RS IS 10VRg.Ig + RS.IS = 10VLogo, RS = (10 – Rg.Ig)/Ig = (10 – 20.5.10^-4)/(5.10^-4) = 19.980Ω ≈ 20KΩ

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5. PONTE DE WHEATSTONE• Método exato para medir resistências a partir de três

resistências conhecidas e um galvanômetro(vide figura);• Consiste em modificar as resistências R1 e R2, de tal forma que

a corrente no galvanômetro seja zero;• Por Kirchhoff, os potenciais sobre R1 e Rx, são iguais, assimPor Kirchhoff, os potenciais sobre R1 e Rx, são iguais, assim

como os potenciais sobre R2 e R4, isto é:I2.Rx = I1.R1 e I2.R4 = I1.R2

L R /R R /R R R (R /R )Logo: Rx/R4 = R1/R2 ou Rx = R4.(R1/R2)

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• Na prática, usa-se, no lugar de R1e R2, uma grande resistência

iá l ( d t dvariável (condutor de comprimento aproximado de 1m), de tal forma que a razão

t l d i tê ientre os valores das resistências são iguais à razão dos tamanhos dos comprimentos dos fios

l i d irelativos a cada resistor;• Na prática, usa-se uma

resistência em série com o galvanômetro, para limitar a corrente quando o circuito está muito desequilibrado (próximo q (pdo ponto de equilíbrio, esta resistência é retirada para aumentar a sensibilidade do

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galvanômetro).

Lavnis e ednaldo amorimLavnis e ednaldo amorim

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