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LA CARATTERISTICA DI EULERO

Triangolazioni

Definizione. Una triangolazione di una superficie compatta S e data da una famigliafinita di suoi sottospazi chiusi {T1, ..., Tn} che ricoprano S e da una famiglia (finita) di

omeomorfismi {φi}i=1, ..., n dove φi : T′i → Ti e T

′i e un triangolo in R2 (ovvero l’inviluppo

convesso determinato da tre punti non allineati del piano). I Ti sono detti triangoli. Le

immagini tramite tali omeomorfismi di vertici e lati dei T′i si dicono vertici e lati della

triangolazione. Si richiede inoltre che, per i 6= j, sia verificata una e una soltanto delleseguenti affermazioni:

(1) Ti e Tj sono disgiunti.(2) Ti e Tj hanno in comune un solo vertice.(3) Ti e Tj hanno in comune solo due vertici e il lato che li connette.

♦

Vale il seguente teorema, che ci limitiamo ad enunciare.

Teorema 1. Ogni superficie compatta ammette una triangolazione.

Poiche due triangoli distinti non possono avere gli stessi vertici una triangolazione ecompletamente definita una volta assegnati i vertici dei triangoli e specificando quali ternedi vertici concorrono a formare un triangolo.

Osservazione. Segue anche dalla definizione che

• ogni lato e lato esattamente di due triangoli• Sia v un vertice, i triangoli di vertice v possono essere riordinati in sequenzaT0, ..., Tn− 1, Tn = T0 in modo che triangoli consecutivi abbiano esattamente unlato in comune e triangoli non consecutivi abbiano in comune soltanto il vertice v.

♦Ecco alcuni esempi di superfici triangolate, rappresentate come poligoni topologici con

identificazione, i numeri si riferiscono ai vertici, le lettere ai lati identificati.

1

2 LA CARATTERISTICA DI EULERO

Figura 1. Toro. Questa triangolazione ha 16 vertici, 48 lati e 32 facce.

Figura 2. Sfera. La triangolazione ha 32 vertici, 66 lati e 32 facce.

Figura 3. Una triangolazione del piano proiettivo reale: 6 vertici, 15 latie 10 facce.

LA CARATTERISTICA DI EULERO 3

Figura 4. La superficie orientabile di genere due, ovvero la somma con-nessa di due tori (ottenuta come poligono topologico con identificazione daun ottagono): la suddivisione ha 2 vertici, 12 lati e 8 facce. Per la triango-lazione il calcolo e piu faticoso (soprattutto contare i lati!)

Figura 5. (a sinistra) La somma connessa di due piani proiettivi ovverola bottiglia di Klein: 16 vertici, 48 lati e 32 facce.

Figura 6. (a destra) Il nasto di Mobius (superficie topologia compatta conbordo): 19 vertici, 52 lati e 32 facce.


La caratteristica di Eulero

Definizione. Sia S una superficie compatta triangolata da T = {T1, ..., Tn}. Definiamole seguenti quantia (numeri interi)

• v= numero di vertici• e= numero di lati• f= numeri di triangoli

La caratteristica di Eulero di S (a priori dipendente dalla triangolazione) e data da χ(S) =v − e + f . ♦

Teorema 2. La caratteristica di Eulero cosı definita non dipende dalla triangolazione.

Cenno di dimostrazione. Consideriamo suddivisioni di S in poligoni arbitrari, con n ≥ 1lati e vertici, quindi non necessariamente triangoli. Inoltre ammettiamo che un lato possanon suddividere una regione in due regioni distinte. Richiediamo che la parte interna diogni regione poligonale sia omeomorfa a un disco aperto del piano, che ogni lato privatodei vertici sia omeomorfo a un intervallo aperto della retta euclidea e che la chiusura diogni tale lato sia omeomorfa a [0, 1] oppure S1. Infine si richiede che sia finito il numero divertici, lati e regioni poligonali. In particolare quindi le condizioni elencete sono soddisfattese si ha a che fare con una triangolazione. Definiamo come in precedenza la caratteristicadi Eulero come χ(S) = v − e + f . Osserviamo che le seguenti trasformazioni lascianoinvariata la caratteristica di Eulero

(1) Suddividere un lato aggiungendo un nuovo vertice in un punto interno: infattiaumenta di uno il numero dei lati ma anche il numero dei vertici.

(2) Se due soli lati si incontrano in un dato vertice, eliminando tale vertice e ”fondendo”i lati la caratteristica di Eulero non cambia.

(3) Suddividere un n-agono connettendo tra loro due vertici: infatti il numero delleregioni aumenta di uno e cosı anche il numero dei lati.

(4) Fondere tra loro due regioni aventi un lato in comune eliminando tale lato: sia ilnumero di regioni che il numero di lati diminuiscono di uno.


(5) Introdurre all’interno di una regione un nuovo vertice e un nuovo lato, ma in modoche la regione resti connessa, in questo caso aumentano di uno il numero di lati eil numero di vertici.

(6) eliminare vertici e lati del tipo descritto appena sopra: il numero di vertici e il nu-

mero di lati decrescono di uno.

Se adesso proviamo che si puo passare da una suddivisione di S a un’altra suddivisione inun numero finito di operazioni tra quelle descritte ne seguira l’invarianza della caratteristicadi Eulero.

Questo si prova facilmente nel caso in cui, date due triangolazioni T e T ′, i lati delle

due si intersechino in un numero finito di punti e in un numero finito di intervalli chiusi.Supponiamo di sovrapporre infatti le due triangolazioni (per avere un’idea qualitativa delprocedimento si puo osservare la figura 7).

Modifichiamo dapprima T aggiungendo nuovi vertici laddove i lati di T sono intersecatidai lati di T ′

e non vi sia gia un vertice di T (sequenza finita di mosse di tipo (1)). Poi,

per ogni vertice di T ′che si trovi all’interno di una regione di T aggiungiamo (mossa di

tipo (5)) il vertice stesso e un lato (corrispondente a un lato o una porzione di lato di T ′),

che lo connetta a un vertice preesistente. Infine, completiamo la sovrapposizione delle duetriangolazioni aggiungendo i lati mancanti (corrispondenti a lati o porzioni di lati di T ′

,mosse di tipo (3)). Successivamente eliminiamo dalla suddivisione ottenuta per S vertici e

lati in modo da ottenere T ′.

Eliminiamo dapprima i lati che appartengono a T ma non a T ′e che suddividono in

due parti una regione (mossa di tipo (4)). Si eliminano poi quei lati e vertici che non

suddividono alcuna regione e che appartengono a T ma non a T ′(mossa di tipo (6)).


Figura 7

Restano allora da eliminare quei vertici in cui i lati di T intersecano quelli di T ′in punti

distinti dai vertici di T ′(mossa di tipo (2)).

Il caso in cui un lato di T e e uno di T ′si intersechino in un numero infinito di punti (si

pensi al caso dei due insiemi nel piano euclideo [−1, 1]×{0} e {(x, x sin( 1x)) | x ∈ [−1, 1] \{0}}∪{(0, 0)}) e piu complicato. Si puo dimostrare che e sempre possibile ”deformare” una


delle due triangolazioni, ma facendo in modo che il numero di vertici, lati e facce rimangainvariato, affinche tale tipo di intersezione non avvenga. �

Proposizione 3. Se S1 e S2 sono due superfici compatte e denotando con S1]S2 la lorosomma connessa, allora χ(S1]S2) = χ(S1) + χ(S2) − 2.

Dimostrazione. Supponiamo che S1 e S2 siano triangolate. Fare la somma connessa equiv-ale a privare ciascuna superficie della parte interna di uno dei triangoli, prenderne l’unionee identificare a due a due vertici e lati di tali triangoli. Percio, se denotiamo rispettiva-mente con v1, e1, f1 e v2, e2, f2 vertici lati e triangoli della prima e seconda superficie, lasuperficie ottenuta dalla somma connessa avra v = v1 + v2 − 3 vertici, e = e1 + e2 − 3lati e f = f1 + f2 − 2 triangoli. Da cui segue la formula. �

Solidi platonici

Un poliedro che sia chiuso e convesso e detto essere un poliedro semplice. Ogni poliedrosemplice e omeomorfo a una sfera, pertanto la somma a segni alterni dei suoi vertici, latie facce e sempre uguale a 2. Quanto affermato segue dal fatto che l’immagine dei vertici,spigoli e facce del poliedro tramite un omeomorfismo dota la sfera di una suddivisione deltipo preso in considerazione nel teorema 2. Un poliedro e detto regolare se ogni sua facciae congruente allo stesso poligono regolare.

Vogliamo ora determinare condizioni per poter costruire poliedri regolari.Denotiamo con E il numero di spigoli del poliedro, con F il numero delle sue facce e con

V il numero dei suoi vertici. Quindi V − E + F = 2. Supponiamo che un poliedro regolaresia formato da n-agoni regolari e che in ogni vertice si incontrino f facce (n-agoni). Poicheogni spigolo appartiene a due facce e connette due vertici vale

2E = nF = fV

da cui segue

(1) E(2

f− 1 +

2

n) = 2⇔ 1

E+

1

2=

1

f+

1

n.

Osserviamo poi che il minimo numero di facce che si incontrano in un dato vertice e tre, ecosı anche il minimo numero di spigoli di un poligono regolare, percio f ≥ 3, n ≥ 3. Inoltrese f e n fossero entrambi strettamente maggiori di 3 la (1) non potrebbe valere perche siotterrebbe 1

E ≤ 0.Esaminiamo quindi il caso f = 3. Deve essere n ≤ 5 per soddisfare (1) altrimenti

nuovamente si avrebbe 1E ≤ 0.

• Se n = 3 allora le facce del poliedro sono trinagoli equilateri e si ha che E = 6, F =4, V = 4. Il solido cosı ottenuto e il tetraedro.• Se n = 4, le facce del poliedro sono dunque quadrati, E = 12, F = 6, V = 8 e si

ottiene il cubo (esaedro).• Se infine n = 5 risulta E = 30, F = 12, V = 20. Il solido cosı ottenuto e il

dodecaedro le cui facce sono pentagoni regolari.


Figura 8. Nell’ordine: tetraedro, ottaedro, icosaedro, cubo, dodecaedro.

Sia ora n = 3, 3 < f ≤ 5 (quest’ultima condizione segue da un’analisi analoga alla prece-dente), quindi cerchiamo ulteriori poliedri regolari le cui facce siano triangoli equilateri.

• Se f = 4 si ottiene E = 12, F = 8, V = 6. Il solido cosı ottenuto e l’ottaedro.• Se f = 5 allora E = 30, F = 20, V = 12 e si ottiene un icosaedro.

Non ci sono altre possibilita, per cui abbiamo determinato la totalita dei poliedri regolari.

Colorabilita

Definizione. Data una superficie S si definisce mappa sulla superficie il dato di un numerofinito di vertici e archi (lati) a due a due non intersecantesi che li connettano, disposti inmodo tale da suddividere la superficie in regioni semplicemente connesse. La mappa edetta inoltre regolare se

(1) ogni vertice ha ordine (e il numero di lati che contengono tale vertice) non inferiorea 3,

(2) ogni arco connette due vertici distinti,(3) ogni arco separa due regioni distinte.

♦

Figura 9. mappa

Figura 10. mappa regolare


Quanti colori sono necessari per colorare una mappa regolare in una porzione limitatadel piano o su una sfera in modo tale che regioni adiacenti non abbiano mai lo stesso colore?Si osserva facilmente che tre colori sono insufficienti (per esempio osservando la figura 12).Si definisce numero cromatico (o costante cromatica) di una superficie S il minimo numerodi colori α tale che ogni mappa regolare su S possa essere colorata con al piu α colori inmodo che regioni confinanti abbiano sempre colori diversi. In questa analisi, una porzionelimitata di piano e equivalente a una sfera, infatti si puo passare da una rappresentazioneall’altra tramite la proiezione stereografica, considerando il complementare della porzionelimitata di piano come una calotta sferica contenente il polo di proiezione (come in figura11).

Figura 11

Si puo definire anche per una mappa su una superficie la caratteristica di Eulero comesomma a segni alterni di vertici, lati e regioni determinati dalla mappa. Ovviamente lacaratteristica di Eulero non dipende dalla particolare mappa ma e invariante e coincidecon la caratteristica di Eulero della superficie (nella dimostrazione dell’invarianza infattisi utilizzano suddivisioni di una superficie piu generali, tra le quali rientrano le mapperegolari).

Consideriamo una superficie avente caratteristica di Eulero χ(S) > 0. Allora v − e+ f >0 (qui f denota il numero delle regioni). Dalle condizioni (1) e (2) della definizione segueche 2e ≥ 3v per cui

6f − 2e > 0

Se denotiamo con fi il numero di regioni la cui frontiera e formata esattamente da i laticon l’ovvia condizione che i ≥ 1 si puo scrivere

6∑i

fi −∑i

ifi > 0

ovvero ∑i

(6 − i)fi > 0.


Figura 12

Deve pertanto esistere qualche regione la cui frontiera consista in i lati con i < 6. Possiamoadesso dimostrare per induzione il seguente teorema

Teorema 4 (dei sei colori). Sia S una superficie con caratteristica di Eulero χ(S) > 0,allora il numero cromatico di S e non maggiore di 6.

Dimostrazione. Procediamo per induzione sul numero di regioni f . Se f ≤ 6 la tesi eovvia. Sia ora f > 6 e supponiamo che il risultato sia vero per f − 1. Come osservato inprecedenza esiste una regione f∗ la cui frontiera e formata da meno di sei lati. Contraendoa un punto (un vertice) tale regione otteniamo una mappa regolare con f − 1 regioni,che per ipotesi induttiva puo essere colorata con al piu sei differenti colori in modo taleche regioni confinanti abbiano sempre colori diversi. Ripristinando la regione f∗, poichele regioni con essa confinanti sono al piu cinque, e possibile assegnare a questa regione uncolore in modo che la tesi sia soddisfatta.

�

Di validita piu generale e il seguente

Teorema 5. Ogni mappa regolare su una superficie S con caratteristica di Eulero χ(S) = χpuo essere colorata con al piu γ colori, dove per γ vale

(2) γf > 6(f − χ) ∀f > γ.

Dimostrazione. Procediamo per induzione sul numero di regioni f . Supponiamo quindiche per γ soddisfacente la disuguaglianza dell’enunciato si abbia per qualche f

′, se f ≤ f ′

,che ogni mappa regolare su S avente f regioni possa essere colorata con al piu γ colori (inmodo che regioni contigue abbiano sempre colori differenti). In particolare questo e ovvioper f ≤ γ. Poiche vale

χ = v − e + f, 2e ≥ 3v,

allora

6(f − χ) = 6(e − v) ≥ 2e,


e quindi da (2) anche γf > 2e. Quindi (ragionando in modo analogo a quanto fattoper il teorema 4), almeno una regione deve avere frontiera costituita da meno di γ lati.Contraendo a un punto tale regione χ rimane invariata e per l’ipotesi induttiva la mappacosı ottenuta puo essere colorata con al piu γ colori. Ripristinando tale regione, poiche leregioni ad essa contigue sono al piu γ − 1, e sempre possibile assegnare ad essa un colorein modo che la tesi risulti soddisfatta. �

Vogliamo ora determinare per alcuni valori di χ il piu piccolo intero γ soddisfacente (2).Si puo riscrivere la dusuguaglianza come

γ > 6(1 − χ

f)

Se χ = 2 o χ = 1, al crescere di f il secondo membro tende al valore 6. Quindi perχ = 1, f > 6 si ha γ = 6 e per χ = 2, f > 12, γ = 6. E anche immediato vedere che γ = 7per χ = 0. Se χ < 0, ponendo f = γ + 1 e sostituendo nella disuguaglianza si ottiene

γ > 6(1 − χ

γ + 1).

ovvero

γ2 − 5γ > 6 − 6χ⇔ (γ − 5

2)2 >

49

4− 6χ.

quindi

γ >5

2+

√49 − 24χ

2e γ e la parte intera superiore dell’espressione a secondo membro nel caso questa non sia

un intero, altrimenti γ = 52 +

√49− 24χ

2 + 1.

Figura 13. Nel caso del toro la costante cromatica e in effetti esattamenteuguale a 7 = γ, come si evince da questa mappa.


Si ottiene cosı per esempio che per la bottiglia di Klein (somma connessa di un toro eun piano proiettivo, quindi χ = −1) γ = 7 e quindi la costante cromatica della bottigliadi Klein e al piu 7. Per la superficie orientabile di genere 2 (il 2-toro) χ = −2 la costantecromatica e al piu 8 mentre per il 3-toro e al piu 9 cosı come quella della superfici nonorientabili di genere 5 e 6 e cosı via.

Vogliamo ora dimostrare che, nel caso di mappe regolari su una sfera o su una porzionelimitata di piano la costante cromatica e in realta non maggiore di 5.

Teorema 6 (dei cinque colori). Ogni mappa regolare su una sfera o su una porzionelimitata di piano puo essere colorata con cinque colori in modo che regioni confinantiabbiano sempre colori distinti.

Dimostrazione. Procediamo per induzione sul numero di regioni come nel teorema dei seicolori. Se la mappa ha cinque regioni o meno la tesi e evidente. Supponiamo di averdimostrato il teorema per mappe con f − 1 regioni. Abbiamo gia provato che ogni mapparegolare su una superficie con caratteristica di Eulero positiva deve possedere almeno unaregione f∗ la cui frontiera sia formata al piu da cinque archi. Nel caso la frontiera ditale regione f∗ sia formata da meno di cinque archi e evidente la possibilita di colorarela mappa con al piu cinque colori distinti. Contraendo infatti a un punto f∗ si utilizzal’ipotesi induttiva come fatto in precedenza per mostrare che la mappa cosı ottenuta puoessere colorata con al piu cinque colori. Si ripristina poi f∗ e, avendo la sua frontierameno di cinque lati, e sempre possibile scegliere uno dei cinque colori in modo che la tesisia soddisfatta. Nel caso la frontiera di f∗ consista esattamente di cinque archi, bisognaosservare che (si confronti con la figura 14) necessariamente almeno una coppia di regioniconfinanti con f∗ non hanno frontiera comune. Se per esempio A e C hanno frontieracomune, allora B e D necessariamente sono disgiunte e anche B ed E, per cui le cinqueregioni confinanti con f∗ possono essere colorate scegliendo tra soli quattro colori. Anchecontraendo f∗ a un punto le considerazioni fatte continuano a valere. Procedendo quindicome sopra, il teorema e dimostrato. �

In effetti e stato dimostrato che la costante cromatica della sfera e 4, ma tale risultatoe decisamente piu laborioso da ottenere.


Figura 14

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