MC-2415 Vibraciones Mecánicas II. Sistema de 1-GDL · 32 Universidad Simón Bolívar MC-2415...
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30 Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas Euro Casanova, 2006 Resp. forzada: Excitación periódica (i) t ) ( t f Ω = π 2 T ( ) ( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = Ω + Ω + = 1 1 0 ) ( 2 j S j j C j C t t j Sen f t j Cos f f f ) ( t f ⇔ periódica () ( ) dt t j Sen f T f T t S j Ω = ∫ 0 2 () ( ) dt t j Cos f T f T t C j Ω = ∫ 0 2 K , 2 , 1 = j ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω = ∑ = T t j Cos f N f i N i i C j 2 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω = ∑ = T t j Sen f N f i N i i S j 2 2 1 K , 2 , 1 = j K , 2 , 1 , 0 = j Transformada de Fourier K , 2 , 1 , 0 = j Función continua: Función discreta: Frecuencia fundamental de excitación I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía 31 Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas Euro Casanova, 2006 x(t) m k c Resp. forzada: Excitación periódica (ii) Armónicas de la frecuencia fundamental de excitación Solución propuesta: Ecuación de movimiento: () () () t p t h t x x x + = Sol. homogénea (transit.): Sol. particular (permanente): ( ) ( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = Ω + Ω + = + + 1 1 0 2 2 2 j S j j C j C N N t j Sen m f t j Cos m f m f x x x ω ζω & & & () ( ) ( ) [ ] t Sen A t Cos A e x d d t t h n ω ω ζω 2 1 + = − () ( ) ( ) j j S j j j C j C t p t j Sen X t j Cos X k f x γ γ − Ω + − Ω + = ∑ ∑ ∞ = ∞ = 1 1 0 2 ( ) ( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = Ω + Ω + = 1 1 0 ) ( 2 j S j j C j C t t j Sen f t j Cos f f f I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía
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Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas
Euro Casanova, 2006
Resp. forzada: Excitación periódica (i)
t
)(tf
Ω= π2T
( ) ( )∑∑∞
=
∞
=
Ω+Ω+=11
0)( 2 j
Sj
j
Cj
C
t tjSenftjCosfff)(tf ⇔periódica
( ) ( )dttjSenfT
fT
tSj Ω= ∫
0
2( ) ( )dttjCosf
Tf
T
tCj Ω= ∫
0
2
K,2,1=j
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Ω
= ∑= T
tjCosfN
f iN
ii
Cj
221
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Ω
= ∑= T
tjSenfN
f iN
ii
Sj
221
K,2,1=jK,2,1,0=j
Transformada de Fourier
K,2,1,0=j
Función continua:
Función discreta:
Frecuencia fundamental de excitación
I. Introducción
II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada
Fuerza constanteArmónica simpleExcitación periódicaExcitación impulsivaExcitación general
III. Sistemas de N-GDL
IV. Medición / diagnóstico
V. Bibliografía
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Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas
Euro Casanova, 2006
x(t)
mk
c
Resp. forzada: Excitación periódica (ii)
Armónicas de la frecuencia fundamental de excitación
Solución propuesta:
Ecuación de movimiento:
( ) ( ) ( )tptht xxx +=
Sol. homogénea (transit.):
Sol. particular (permanente):
( ) ( )∑∑∞
=
∞
=
Ω+Ω+=++11
02
22
j
Sj
j
Cj
C
NN tjSenmf
tjCosmf
mfxxx ωζω &&&
( ) ( ) ( )[ ]tSenAtCosAex ddt
thn ωωζω
21 += −
( ) ( ) ( )jj
Sjj
j
Cj
C
tp tjSenXtjCosXk
fx γγ −Ω+−Ω+= ∑∑∞
=
∞
= 11
0
2
( ) ( )∑∑∞
=
∞
=
Ω+Ω+=11
0)( 2 j
Sj
j
Cj
C
t tjSenftjCosfff
I. Introducción
II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada
Fuerza constanteArmónica simpleExcitación periódicaExcitación impulsivaExcitación general
III. Sistemas de N-GDL
IV. Medición / diagnóstico
V. Bibliografía
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Resp. forzada: Excitación periódica (iii)
( ) ( )222
,,
21 jj
SCjSC
jrr
kfX
ζ+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−= −
21
12
j
jj r
rtg
ζγ
Nj
jr ωΩ=
jr
tt
t
t
px
0
Respuesta en el dominio de la frecuencia (espectro)
Respuesta en dominio del tiempo
( ) ( ) ( )jj
Sjj
j
Cj
C
tp tjSenXtjCosXk
fx γγ −Ω+−Ω+= ∑∑∞
=
∞
= 11
0
2
I. Introducción
II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada
Fuerza constanteArmónica simpleExcitación periódicaExcitación impulsivaExcitación general
III. Sistemas de N-GDL
IV. Medición / diagnóstico
V. Bibliografía
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Euro Casanova, 2006
Resp. forzada: Excitación periódica (iv)
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )jj
Sjj
j
Cj
C
ddt
tptht
tjSenXtjCosX
kftSenAtCosAe
xxx
n
γγ
ωωζω
−Ω+−Ω+
+++=
+=
∑∑∞
=
∞
=
−
11
021 2
Dependen de las condiciones iniciales ( ) 00 xx t ==
( ) 00 vx t ==&
( ) ( )∑∑∞
=
∞
=
+−−=11
001 2 j
jSj
jj
Cj
C
SenXCosXk
fxA γγ
( ) ( )
( ) ( )∑∑
∑∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
Ω−Ω−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−+=
11
11
00
02 2
jj
Sj
jj
Cj
jj
Sj
jj
Cj
C
d
n
d
CosjXSenjX
SenXCosXk
fxvA
γγ
γγωζω
ω
I. Introducción
II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada
Fuerza constanteArmónica simpleExcitación periódicaExcitación impulsivaExcitación general
III. Sistemas de N-GDL
IV. Medición / diagnóstico
V. Bibliografía
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Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas
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Resp. forzada: Excitación periódica (v)
x(t)
mk
c)(tf
t
)(tfΩ= π2T
0f
( )∑∞
=
Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
1
00)( 2 j
t tjSenjfffπ
( ) ( )jj jj
tp tjSenrrjk
fk
fx γζπ
−Ω+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ∑
∞
=1222
00
)2()1(1
2
I. Introducción
II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada
Fuerza constanteArmónica simpleExcitación periódicaExcitación impulsivaExcitación general
III. Sistemas de N-GDL
IV. Medición / diagnóstico
V. Bibliografía
( ) ( )∑∑∞
=
∞
=
Ω+Ω+=11
0)( 2 j
Sj
j
Cj
C
t tjSenftjCosfff
00 ff C =
0=Cjf
πjff S
j0=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
Ω= −
)1(2
; 21
j
jj
nj r
rtgjr
ζγ
ω
f(t) es par
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tiem po, [s]
Respuesta permanente ( ζ = 0.1 ), [m]
F(t)
r1 = 0.5
r2 = 1
r3 = 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tiem po, [s]
Respuesta permanente, [m]
F(t)
ζ = 0.05ζ = 0.1 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 1
Respuesta para varios factores de amortiguación (r = 0.5)
Respuesta para varias relaciones de frecuencia (ζ = 0.1)
Resp. forzada: Excitación periódica (vi)I. Introducción
II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada
Fuerza constanteArmónica simpleExcitación periódicaExcitación impulsivaExcitación general
III. Sistemas de N-GDL
IV. Medición / diagnóstico
V. Bibliografía
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Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas
Euro Casanova, 2006
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Arm ónicos de frecuencia
Coeficientes de la excitacion, [N]
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Arm ónicos de frecuencia
Coeficientes de la respuesta, [m]
Resp. forzada: Excitación periódica (vii)I. Introducción
II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada
Fuerza constanteArmónica simpleExcitación periódicaExcitación impulsivaExcitación general
III. Sistemas de N-GDL
IV. Medición / diagnóstico
V. Bibliografía
Espectro de la excitación
Espectro de la respuesta (r = 0.5 , ζ = 0.1)
