MC UNIDAD II.pdf - Profe Saul - CLASICA/MC UNIDAD I · PDF fileSe define movimiento...

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    UNIDAD II 2 Cinemtica 2.1 Movimiento rectilneo 2.2 Movimiento bajo aceleracin constante 2.3 Movimiento circular 2.4 Movimiento curvilneo general

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    UNIDAD II 2 CINEMATICA.

    La Cinemtica (del griego , kineo, movimiento) es la rama de la mecnica clsica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitndose, esencialmente, al estudio de la trayectoria en funcin del tiempo.

    En la Cinemtica se utiliza un sistema de coordenadas para describir las trayectorias, denominado sistema de referencia. La velocidad es el ritmo con que cambia la posicin un cuerpo. La aceleracin es el ritmo con que cambia su velocidad. La velocidad y la aceleracin son las dos principales cantidades que describen cmo cambia su posicin en funcin del tiempo.

    Existen 4 movimientos principales:

    Movimiento rectilneo.

    Movimiento circular.

    Movimiento curvilneo.

    Movimiento relativo.

    2.1 MOVIMIENTO RECTILINEO.

    Movimiento rectilneo

    Se denomina movimiento rectilneo, aqul cuya trayectoria es una lnea recta.

    En la recta situamos un origen O, donde estar un observador que medir la posicin del mvil x en el instante t. Las posiciones sern

    http://es.wikipedia.org/wiki/Griego_antiguohttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Trayectoriahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tiempohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n

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    positivas si el mvil est a la derecha del origen y negativas si est a la izquierda del origen.

    Posicin

    La posicin x del mvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una funcin x=f(t).

    Desplazamiento

    Supongamos ahora que en el tiempo t, el mvil se encuentra en posicin x, ms tarde, en el instante t' el mvil se encontrar en la posicin x'. Decimos que mvil se ha desplazado x=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

    Velocidad

    La velocidad media entre los instantes t y t' est definida por

    Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo t tan pequeo como sea posible, en el lmite cuando t tiende a cero.

    Pero dicho lmite, es la definicin de derivada de x con respecto del tiempo t.

    Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio

    Ejercicio

    Una partcula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posicin en cualquier instante t est dada por x=5t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.

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    Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

    2 y 3 s. 2 y 2.1 s. 2 y 2.01 s. 2 y 2.001 s. 2 y 2.0001 s. Calcula la velocidad en el instante t=2 s.

    En el instante t=2 s, x=21 m

    t (s) x (m) x=x'-x t=t'-t

    m/s

    3 46 25 1 25

    2.1 23.05 2.05 0.1 20.5

    2.01 21.2005 0.2005 0.01 20.05

    2.001 21.020005 0.020005 0.001 20.005

    2.0001 21.00200005 0.00200005 0.0001 20.0005

    ... ... ... ... ...

    0 20

    Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo t0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

    Calculamos la velocidad en cualquier instante t

    La posicin del mvil en el instante t es x=5t2+1 La posicin del mvil en el instante t+t es

    x'=5(t+t)2+1=5t2+10tt+5t2+1 El desplazamiento es x=x'-x=10tt+5t2 La velocidad media es

    La velocidad en el instante t es el lmite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

    La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posicin x respecto del tiempo.

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    En el instante t=2 s, v=20 m/s

    2.2 MOVIMIENTO BAJO ACELERACION CONSTANTE.

    Aceleracin

    En general, la velocidad de un cuerpo es una funcin del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del mvil es v, y en el instante t' la velocidad del mvil es v'. Se denomina aceleracin media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad v=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, t=t'-t.

    La aceleracin en el instante t es el lmite de la aceleracin media cuando el intervalo t tiende a cero, que es la definicin de la derivada de v.

    Ejemplo:

    Un cuerpo se mueve a lo largo de una lnea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresin de

    La velocidad La aceleracin del mvil en funcin del tiempo.

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    Dada la velocidad del mvil hallar el desplazamiento

    Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del mvil entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

    El producto v dt representa el desplazamiento del mvil entre los instantes t y t + dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t0 y t.

    En la figura, se muestra una grfica de la velocidad en funcin del tiempo, el rea en color azul mide el desplazamiento total del mvil entre los instantes t0 y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.

    Hallamos la posicin x del mvil en el instante t, sumando la posicin inicial x0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del rea bajo la curva v-t o mediante clculo de la integral definida en la frmula anterior.

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    Ejemplo:

    Un cuerpo se mueve a lo largo de una lnea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s. est situado en x0=4 m del origen. Calcular la posicin x del mvil en cualquier instante.

    Dada la aceleracin del mvil hallar el cambio de velocidad

    Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del mvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad v en funcin del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 que experimenta el mvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleracin en funcin del tiempo.

    En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es el rea bajo la curva a-t, o el valor numrico de la integral definida en la frmula anterior.

    Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el instante t0, podemos calcular la velocidad v en el instante t.

    Ejemplo:

    La aceleracin de un cuerpo que se mueve a lo largo de una lnea recta viene dada por la expresin. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del mvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresin de la velocidad del mvil en cualquier instante

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    Resumiendo, las frmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilneo son

    Movimiento rectilneo uniforme

    Un movimiento rectilneo uniforme es aqul cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleracin es cero. La posicin x del mvil en el instante t lo podemos calcular integrando

    o grficamente, en la representacin de v en funcin de t.

    Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan

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    Movimiento rectilneo uniformemente acelerado

    Un movimiento uniformemente acelerado es aqul cuya aceleracin es constante. Dada la aceleracin podemos obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los instantes t0 y t, mediante integracin, o grficamente.

    Dada la velocidad en funcin del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del mvil entre los instantes t0 y t, grficamente (rea de un rectngulo + rea de un tringulo), o integrando

    Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las frmulas del movimiento rectilneo uniformemente acelerado, las siguientes.

    Despejando el tiempo t en la segunda ecuacin y sustituyndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x0

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    2.3 MOVIMIENTO CIRCULAR

    En esta seccin, vamos a definir las magnitudes caractersticas de un movimiento circular, anlogas a las ya definidas para el movimiento rectilneo.

    Se define movimiento circular como aqul cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ngulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.

    Posicin angular, q

    En el instante t el mvil se encuentra en el punto P. Su posicin angular viene dada por el ngulo q, que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ngulos O.

    El ngulo q, es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, q=s/r. La posicin angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

    Velocidad angular, w

    En el instante t' el mvil se encontrar en la posicin P' dada por el ngulo q '. El mvil se habr desplazado q=q ' -q en el intervalo de tiempo t=t'-t comprendido entre t y t'.

    Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

    Como ya se explic en el movimiento rectilneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

    http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm#rectilneo

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    Aceleracin angular, a

    Si en el instante t la velocidad angular del mvil es w y en el instante t' la velocidad angular del mvil es w'. La velocidad angular del mvil ha cambiado w=w' -w en el intervalo de tiempo t=t'-t comprendid