2009   Εις άτοπον απαγωγή  atopo.gr  

ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009

by http://www.atopo.gr/

ΘΕΜΑ 1o

A) Απόδειξη στη σελίδα 251 του σχολικού βιβλίου. B) Ορισμός στη σελίδα 213 του σχολικού βιβλίου.

Γ) α.) Σ β.) Σ γ.) Λ δ.) Λ ε.) Λ

ΘΕΜΑ 2ο

Α. α. Ο θα είναι της μορφής: z z x yi= + , ,x y∈

Από υπόθεση έχω: (2 1) (2 1)z iλ λ= + + −

2 1 12 1 2

xy

λ χλλ

= + ⎫ −⇒ = ⇒⎬= − ⎭

1x∀ > − άρα το   θα γίνει: 2y λ= −1 12 12

xy −= − 2y x⇒ = −  

Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών θα ανήκουν στην ευθεία z ( ) : 2y xε = −

β. Η κάθετη ευθεία στην που περνά από το Ο(0,0) πρέπει να ικανοποιεί:

όμως ⇒ άρα η εξίσωσή θα είναι: . Λύνοντας, τώρα, το σύστημα:

2y x= −

1= −

1β ελ λ⋅ = −

1ελ = βλ y = −x

2y xy x= − ⎫

⇔⎬= − ⎭

11

xy== −

βρίσκω ότι ο ζητούμενος μιγαδικός αριθμός θα είναι ο . 0 1z i= −

Β. Θέτω: , w x yi= + ,x y∈

2009   Εις άτοπον απαγωγή  atopo.gr  

Τότε και από 2

0

0

12w w+ − =

1z

z i⇒

= − 2 2 12 1x y x iy i+ + − − = −

2 2( 12) 1x y x yi⇒ + + − − = − i ⇒ 2 2x yy

12 11

x ⎫+ + − =⇔⎬

⎭

2 121

x xy+ −

− = −0⎫=

⇔⎬⎭

=

41

xy= −=

ή 31

xy==

. Άρα 4w i= − + ή 3w i= +

ΘΕΜΑ 3

Έχουμε

ο

( ) ln( 1)f x xα= − + , μεx 1x > − , 0α > και 0α ≠

Α. Ισχύει από υπόθεση ότι: ( ) 1,f x ≥ 1x∀ > − . Παρατηρού 0(0fμε ότι ) ln1 1α= − = ⇒

( )f x (0),f ≥ 1x∀ > − .

Η f παραγωγίσιμη στο , με παράγωγο ( 1, )− +∞1( ) ln ,

1xf x

xα α′ = −

+ 1x∀ > − . Άρα θα υπάρχει το

(′ 0)f και μάλιστα: (0 1.f ) lnα′ − Το 0 είναι ε ,= σωτερικό σημείο του ( 1 )− +∞ και από υπόθεση η f

(0, 2] παρουσιάζει ακ υγκεκριμένα, ολικό ελάχιστο.) Έτσ Θεώρημα του Fermat

⇒ (0) 0 ln 1 0 ln 1

ρ 0. (Σότατο στο ι, από το

f eα α α′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = .

B. α. Αφού eα = ( ) ln( 1),xf x e x⇒ = − + 1x∀ > −

1( ) ,1

xf x ex

′⇒ = −+

1x∀ > − και 2

1( ) ,( 1)

xf x ex

′′ = ++

1x∀ > − . Επειδή η ( ) 0,f x′′ > 1x∀ > −

⇒ f κυρτή στο fD ( 1, )= − +∞ .

β. f κυρτή ⇒ f ′ αύξουσα ⇒ f (0) 0′ = η μοναδική ρίζα της f ′ . Άρα έχουμε :

2009   Εις άτοπον απαγωγή  atopo.gr  

γ. Έχω: ( ) 1 ( 1 0f )1 2

fx xβ γ− −− −

+ = για ) (0, ) , ( 1,0β γ ∈ − ∪ +∞ . Έχω: ( ) 1 ( )f f 1 01 2x x

β γ− −+ =

− −

( 2) 1) 0x f( ( ) 1) ( 1)( ( )x fβ γ− + −⇒ − − = .

Θέτω: ( ) ( 2)( ( ) 1) ( 1)( ( ) 1)g x x f x fβ γ= − − + − − και μελετάω την συμπεριφορά της στο

συνεχής στο ως πολυωνυμική συνάρτηση.

[1, 2]

g [1, 2]

(1) ( ) 1 0g f β= − + < , αφού ( ) 1 ( ) 0f f 1β β> ⇔ − > , 0β∀ ≠

(2) ( ) 1 0g f γ= − > , αφού ( ) 1 (0)f fγ > = , που είναι το ολικό ελάχιστο της f , 0γ∀ ≠

(1) (2) 0g g <

Από Θεώρημα Bolzano ⇒ ∃ 0x (1,2)∈ : 0( ) 0g x = . Άρα .

ΘΕΜΑ 4

α. Αρχικά υπ ίζω το όριο, έχω λοιπόν:

αποδείχθηκε

ο

ολογ

2009   Εις άτοπον απαγωγή  atopo.gr  

Ακολούθως έχω: 202

0 0

( ) ( ) 3 3( ) ( ) ( )

H f t dtH tf t f t dt

a

α

ξ αααξ α ξ

ξ

− + −− = ⇔ =

∫∫ ∫

0

( ) ( ) ,x

H x tf t dt= ∫

γινόμενο συνεχών ⇒

Θέτω Τώρα συνεχής στο ως

η στο

[0, 2]x∀ ∈ .

παραγωγίσιμ

: ( ) ( ),q t tf t=

[0, 2] με

[0, 2]x∀ ∈ .

( ) ( )

, q [0, 2] H

H x xf x=′ . Θέτω τώρα 0

( )x

( )R x f= ∫ t d , t x [0, 2]∀ ∈ . f συνεχής στο

[0, 2] (άρα και στο 0 0x = )⇒ R παραγωγίσιμη στο [0, 2] με ( ) ( )R x f x′ = . Υπολογίζω, λοιπόν, το

όριο: 0 0 0 0x x+ + +→

0

( )x

f t dt= − ∫( )lim

x x

H x→ →

( ) 0= . Απόlim ( ) 3 H xG x

x⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

3 lim= + κανόνα De L’ Hospital ⇒

03 lim 3 ) 3

1xxf

+ +→+ = = . Όμως και

03 0 (0f= +

( )H x lim ( )x

x→

+′ (0) 3G = . Άρα ς το 0 0x G συνεχή σ = ⇒

Οπότε .

β παραγωγίσιμη στο με

G συνεχής σε όλο το [0, 2]

. G (0, 2)

2 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )H x x H x x f x H x x f x H xf x f x f xx x x

′ − −= − = − = − − =

x

2

( )( ) H xf x f x 2

( )( ) ,H xx x

με= − − = − 0 2x< <

γ. Έστω, προς απαγωγή σε άτοπο, ότι δεν υπάρχει (0, 2) : ( ) 0Hα α∈ = τότε 2

( )( ) 0H xG xx

′ = − ≠ ,

Επειδή τώρα η είναι συνεχής το πρόσημό

μονότονη στο

(0, 2)x∀ ∈ . ( )G x′

γνησίως

και δεν μηδενίζεται διατηρεί

[0, 2] ⇒ G ”1 1

της ⇒ G

− ” .

Όμως 2 2 2

0 0 0

(2) 1(2) ( ) 3 (2) ( ) ( ) 32 2

HG f t dt G tf t dt f t dt= − + ⇔ = − +∫ ∫ ∫ =

21 12

⎛ ⎞

⎠0

( 2) ( ) 3 0 32

t f t dt= − + = + =⎜ ⎟⎝∫ και3 (2) 3G⇒ = (0) 3G = . Άτοπο, αφού δείξαμε οτι G ”1 1− ” .

2009   Εις άτοπον απαγωγή  atopo.gr  

δ. Εξετάζω την διάστημα (G )x στο [0, ]α :

συνεχής στο( )G x [0, ]α

παραγωγίσιμη στ( )G x′ ο (0 , με 2

( )( ) H xxGx

′ = − , )α

( ) (0)(0, ) : ( )0

G GG αξ α ξα−′∃ ∈ =−

Από Θεώρημα Μέσης Τιμής ⇒ ⇔

202

0 0

( )H αα ( )f t

a

3 3( ) ( ) ( )

dtH tf t f t dt

ξ αξ α ξξ

− + −− = =

∫∫ ∫ .

α⇔