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jiMTNORCalcul lmentaire de la courbure en un point birgulierOn considre la fonction angulaire associe qui est langle entre Ox etT , =

_i ,T_do, en paramtriques :T:____cossin____ =____dxdsdyds____ =____dxdt , dsdtdydt , dsdt____etN:____sincos____En polaires, on a : = +VThorme : Avec les notations prcdentes, on a : =ddsR =dsdDmonstration :T:____cossin____quon drive par rapport s. DodTds= N:____sinddscosdds____.Ce qui donne immdiatement : =dds .Sup&SpTSIRsumdeCoursMathmatiquesChristophe CaignaertLyce Colbert 59200 Tourcoinghttp://c.caignaert.free.frAnne scolaire 2003 2004Anne Scolaire 2003 2004LESPRINCIPALES modications cette anne sont principalement desajouts de gures et de considrations lmentaires.On a bien sr galement relu le contenu et corrig quelques bogues :quon se rassure, il en reste ! Un grand merci aux lecteurs attentifs.Ce document est disponible sur mon site personnel :http://c.caignaert.free.frCe site contient galement un cours complet de Sp TSI, tant en pdfquen html.Il a t crit sous pdfLaTeX, une version spcique de LaTeX qui pro-duit directement des chiers au format pdf. Ces chiers ont lavantagede safcher et simprimer correctement.Pour la prsentation du document, on a redni quelques commandesLaTeX de base, comme \section , la gnration de lindex...Les extensions LaTeX utilises sont habituelles, les caractres de textesont en palatino et les caractres mathmatiques utilisent les fontes ppleadapte au palatino.Cette version du document est celle du 8 juin 2004.: Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.frSommaireI Algbre 71. Thorie des ensembles 71.1. Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Loi de composition interne . . . . . . . . 71.4. Ensembles nis . . . . . . . . . . . . . . 82. Fonctions et applications 82.1. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Image, image rciproque dune partie . 82.3. Injection, surjection, bijection . . . . . . 82.4. Composition des applications . . . . . . 92.5. Ensemble des applications de E vers F. 93. Structure de Groupe 93.1. Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2. Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3. Morphisme de groupe . . . . . . . . . . 94. Structure dAnneau 104.1. Anneau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2. Sous-anneau. . . . . . . . . . . . . . . . 104.3. Exemples danneaux . . . . . . . . . . . 104.4. Arithmtique de Z . . . . . . . . . . . . 105. Structure de Corps 115.1. Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2. Corps usuels. . . . . . . . . . . . . . . . 116. Structure dAlgbre 116.1. Algbre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.2. Sous-algbre . . . . . . . . . . . . . . . . 116.3. Algbres usuelles . . . . . . . . . . . . . 117. Nombres Rels 117.1. Ingalits, Bornes . . . . . . . . . . . . . 117.2. Partie entires . . . . . . . . . . . . . . . 127.3. Formule du Binme . . . . . . . . . . . . 128. Nombres Complexes 138.1. Nombres Complexes . . . . . . . . . . . 138.2. Ingalit triangulaire . . . . . . . . . . . 138.3. Groupe des units . . . . . . . . . . . . . 138.4. Racines dun nombre complexe . . . . . 138.5. Gomtrie du plan complexe . . . . . . 139. Polynmes 149.1. Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149.2. Division Euclidienne . . . . . . . . . . . 1510. Fractions Rationnelles 1510.1. Dcomposition en lments simples . . 1510.2. Conseils pratiques . . . . . . . . . . . . . 1511. Espaces Vectoriels 1611.1. Structure despace vectoriel . . . . . . . 1611.2. Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . 1611.3. Somme de sous-espaces vectoriels . . . 1611.4. Norme sur un espace vectoriel . . . . . 1711.5. Esp. vect. de dim. nie : base . . . . . . . 1711.6. Espaces vectoriels usuels. . . . . . . . . 1712. Applications Linaires 1812.1. Applications linaires . . . . . . . . . . . 1812.2. s-e-v stable parf . . . . . . . . . . . . . 1812.3. Image et noyau . . . . . . . . . . . . . . 1812.4. Projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912.5. Thorme du rang . . . . . . . . . . . . 1912.6. Systme linaire. . . . . . . . . . . . . . 1913. Matrices 1913.1. Gnralits. . . . . . . . . . . . . . . . . 1913.2. Gnralits sur les matrices carres. . . 2013.3. Matrice dune application linaire . . . . 2113.4. Matrice de Passage . . . . . . . . . . . . 2113.5. Changements de base . . . . . . . . . . . 2114. Dterminants 2214.1. Ordre 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2214.2. Matrice triangulaire . . . . . . . . . . . . 2214.3. Ordre quelconque. . . . . . . . . . . . . 2214.4. Dterminant dun produit . . . . . . . . 2214.5. Dt. dune mat. triangulaire par blocs . 2215. Rduction des Endomorphismes 2315.1. Valeurs propres et vecteurs propres . . . 2315.2. Polynme caractristique . . . . . . . . . 2315.3. Diagonalisibilit. . . . . . . . . . . . . . 2315.4. Diagonalisibilit et diagonalisation. . . 2315.5. Triangularisation . . . . . . . . . . . . . 2315.6. Puissances dune matrice . . . . . . . . . 2416. Espaces Prhilbertiens Rels et Euclidiens 2416.1. Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . 2416.2. Esp. vect. prhilbertiens et euclidiens . . 2516.3. Ingalits. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2516.4. Endomorphismes symtriques . . . . . 2516.5. Matrice symtrique relle . . . . . . . . 2516.6. Procd de Schmidt. . . . . . . . . . . . 2516.7. Projection sur un s-e-v de dim. nie . . 2616.8. Mthode des Moindres Carrs . . . . . . 2617. Groupe Linaire et Groupe Orthogonal 2717.1. Groupe linaire . . . . . . . . . . . . . . 2717.2. Groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . 27II Analyse 2818. Suites 2818.1. Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2818.2. Sous-suites. . . . . . . . . . . . . . . . . 28Rsum de cours de Sup et Sp T.S.I. Christophe Caignaert Lyce Colbert 59200 Tourcoing http://c.caignaert.free.fr 18.3. Suites vectorielles . . . . . . . . . . . . . 2818.4. Suites relles ou complexes . . . . . . . 2818.5. Suites relles. . . . . . . . . . . . . . . . 2918.6. Suites rcurrentes . . . . . . . . . . . . . 2918.7. Suites rcurrentes linaires . . . . . . . . 2919. Fonctions R R 2919.1. Ensemble de dnition. . . . . . . . . . 2919.2. Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . 2919.3. Limite et continuit . . . . . . . . . . . . 3019.4. Continuit sur un intervalle . . . . . . . 3019.5. Fn en escalier, continue par morceaux . 3119.6. Limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . 3119.7. Equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . 3119.8. Ngligeabilit . . . . . . . . . . . . . . . 3120. Drivabilit 3220.1. Drive, classe C1et notations . . . . . 3220.2. Classe Cn. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3220.3. Somme et produit . . . . . . . . . . . . . 3220.4. Drive dune fonction compose . . . . 3220.5. Drive et prolongement par continuit 3220.6. Th. de Rolle, T.A.F., Formules de Taylor 3320.7. Zros dune fonction . . . . . . . . . . . 3320.8. Dveloppements limits . . . . . . . . . 3420.9. Oprations sur les dln. . . . . . . . . . . 3421. Fonctions usuelles 3521.1. Exponentielle et Logarithme. . . . . . . 3521.2. Fonctions trigonomtriques circulaires. 3521.3. Fonc. trigonomtriques rciproques . . 3621.4. Fonc. trigonomtriques hyperboliques . 3721.5. Fonc. trig. hyperboliques rciproques . 3821.6. Autres fonctions usuelles . . . . . . . . . 4022. Trigonomtrie 4022.1. Proprits lmentaires . . . . . . . . . . 4022.2. Symtries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4222.3. Arc double. . . . . . . . . . . . . . . . . 4222.4. Sommes darcs . . . . . . . . . . . . . . . 4222.5. Transformation de produits en sommes 4222.6. Transformation de sommes en produits 4322.7. Formule de Moivre . . . . . . . . . . . . 4322.8. Fonctions rciproques . . . . . . . . . . 4322.9. Pour le calcul intgral . . . . . . . . . . . 4323. Recherche de primitives 4323.1. Fraction rationnelle en x . . . . . . . . . 4323.2. Fractions rationnelles diverses . . . . . . 4323.3. Polynmeexponentielle. . . . . . . . 4423.4. Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . 4424. Intgrale de Riemann 4424.1. Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4424.2. Ingalits. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4424.3. Thorme des 3 conditions . . . . . . . . 4624.4. Intgrale dpendant dune borne . . . . 4624.5. Continuit et drivation sous _ . . . . . . 4624.6. Int. par parties et chang. de variable . . 4624.7. Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . 4625. Intgrale gnralise 4725.1. Convergence. . . . . . . . . . . . . . . . 4725.2. Fonctions positives . . . . . . . . . . . . 4725.3. Thorme des 3 conditions . . . . . . . . 4825.4. Int. par parties et chang. de variable . . 4825.5. Un procd de convergence . . . . . . . 4825.6. Continuit et drivation sous _ . . . . . . 4825.7. Ensemble de dnition. . . . . . . . . . 4926. Intgrales doubles et triples 4926.1. Description hirarchique du domaine . 4926.2. Calcul dAires et de Volumes . . . . . . 5026.3. Inclusion des domaines . . . . . . . . . . 5026.4. Changement de variables . . . . . . . . 5127. Sries numriques (relles ou complexes) 5327.1. Convergence et Convergence Absolue . 5327.2. Sries gomtriques . . . . . . . . . . . . 5327.3. Sries positives . . . . . . . . . . . . . . 5327.4. Critre spcial des sries alternes . . . 5427.5. Comparaison srie-intgrale. . . . . . . 5427.6. Suite et srie des diffrences . . . . . . . 5527.7. Calcul exact de sommes de sries . . . . 5527.8. Calcul approch de sommes de sries . 5528. Sries Entires 5528.1. Rayon de convergence . . . . . . . . . . 5628.2. Convergence. . . . . . . . . . . . . . . . 5628.3. Somme de deux sries entires . . . . . 5728.4. Dveloppement en srie entire. . . . . 5728.5. Sries entires usuelles . . . . . . . . . . 5728.6. Sr. ent. solution dune quation diff.. . 5729. Sries de Fourier 5729.1. Coefcients de Fourier . . . . . . . . . . 5729.2. Cas ofest 2-priodique . . . . . . . 5929.3. Convergence. . . . . . . . . . . . . . . . 5929.4. Produit scalaire et formule de Parseval . 5930._ =_. . . 6030.1. Srie entire . . . . . . . . . . . . . . . . 6030.2. Srie de Fouri