9Loi de Poisson, loi normale5

Leç

on

no

Niveau BTS

PrérequisVariable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi binomiale,fonctions exponentielles

Références [14],[15]

5.1 Loi de Poisson5.1.1 Définition

La loi de Poisson est la loi des processus assimilables au temps d’attente.

Définition 5.1 Soit λ un réel strictement positif. On appelle loi de Poisson de paramètre λ, la loid’une variable aléatoire X discrète qui prend les valeurs k ∈ N avec les probabilités :

P (X = k) = λk

k! e−λ

une telle loi est notée Pois(λ).

Développement

A-t-on bien défini une variable aléatoire ?

Théorème 5.2 Pour tout réel x, on a :

ex =+∞∑

k=0

xk

k!

• Preuve La formule de Taylor, pour une fonction indéfiniment dérivable f nous donne :

f(u) =+∞∑

n=0

dnfdun (0)u

n

n!et l’égalité, valable pour tout entier naturel n :

dn(eu)dun = eu

donnent le résultat. •

Ainsi :

+∞∑

k=0P (X = k) =

+∞∑

k=0

λk

k! e−λ = e−λ+∞∑

k=0

λk

k! = e−λeλ = e−λ+λ = e0 = 1.

5.1.2 Valeurs caractéristiquesThéorème 5.3 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre λ. Alors :

E(X) = λ et Var(X) = λ.

10 Leçon no 5 • Loi de Poisson, loi normale

Développement

• Preuve On a :

E(X) =+∞∑

k=0ke−λλ

k

k! = λe−λ+∞∑

k=1

λk−1

(k − 1)! = λ.

E(X(X − 1)) =+∞∑

k=0k(k − 1)e−λλ

k

k! = λ2e−λ+∞∑

k=2

λk−2

(k − 2)! = λ2.

Or, par linéarité de l’espérance :

E(X(X − 1) = E(X2)−E(X)donc :

E(X2) = λ2 + λ et Var(X) = E(X2)−E(X)2 = λ2 + λ− λ2 = λ.

•

5.1.3 Somme des deux lois de PoissonThéorème 5.4 Si X1 suit une loi Pois(λ1) et X2 suit une loi Pois(λ2) et que X1 et X2 sont indépen-dantes alors X = X1 +X2 suit une loi Pois(λ1 + λ2).

5.1.4 Table de la loi de Poisson

Contrairement à la loi binomiale qui a 2 paramètres n et p, la loi de Poisson n’a qu’un seulparamètre λ. Ci-dessous, la table donnant les valeurs numériques de P (X = k) pour différentesvaleurs de λ et k.

5.2 Loi normale 11

� Exemple 5.5 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson Pois(λ), λ = 4. On a P (X =2) = 0, 147. �

5.1.5 Exemples de situations� Exemple 5.6 — Signature de pétitions. Un militant entreprend de faire signer une pétition à l’entréed’un supermarché. Le nombre de personnes X qu’il peut ainsi contacter est une variable aléatoire dePoisson de paramètre α. Soit p la probabilité qu’une personne ainsi sollicitée signe la pétition. Onnote Y le nombre total de signatures et Z le nombre total de refus de signature (X = Y + Z).

1. Soient j et k deux entiers. En distinguant les cas j > k et j ≤ k, calculer P (Y = j |X = k).

2. En déduire P (X = k, Y = j).

3. Déterminer la loi de Y . Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?

4. En utilisant le résultat de la question 2, déterminer la loi du couple (Y, Z).

5. Ces deux variables aléatoires sont-elles indépendantes ? Commenter.

�

� Exemple 5.7 — Poisson pair et impair. Soit X une variable aléatoire de Poisson de moyenne θ > 0.Quelle est la probabilité que X soit pair ? impair ? �

5.2 Loi normale5.2.1 Definition

Définition 5.8 Soient m un réel et σ un réel positif et non nul. On dit qu’une variable aléatoire Xsuit la loi normal de paramètres m et σ si elle admet pour densité de probabilité :

f(x) = 1σ√

2πe−(x−m)2/(2σ2).

On dit que X suit une loi N(m,σ).

La densité de probabilité de f est :

P (X ≤ x) = F (x) = 1σ√

2π

∫ x

−∞e−(t−m)2/2σ2 dt.

On admet que :1

σ√

2π

∫ +∞

−∞e−(t−m)2/2σ2 dt = 1.

Pour m = 2 et σ = 3, on obtient la courbe suivante dite en forme de cloche de Gauss :

−4 −2 2 4 6 80

0.05

0.1

0.15

0

12 Leçon no 5 • Loi de Poisson, loi normale

Propriété 5.9 Pour tout x > 0, on a f(m+ x) = f(m− x), donc la droite d’équation x = m est unaxe de symétrie pour la courbe.

Théorème 5.10 Si X ∼ N(m,σ) alors E(X) = m et Var(X) = σ2.

5.2.2 Loi normale centrée-réduiteSoit X ∼ N(m,σ), on considère la variable Y = Xm

σ .On a :

P (Y < y) = P (X < σy +m) = 1σ

∫ σx+m

−∞e−(t−m)2/(2σ2) dt.

Effectuons le changement de variable :

u = t−mσ⇒ du = dt

σ.

On obtient :P (Y < y) = 1

σ√

2π

∫ x

−∞e−u2/2σ du = 1√

2π

∫ x

−∞e−u2/2 du.

Donc Y ∼ N(0, 1).

Définition 5.11 On appelle loi normale centrée-réduite ou de Laplace-Gauss, la loi N(0, 1).

Sa fonction densité est une fonction paire et son graphe admet (Oy) pour axe de symétrie.

−4 −2 2 40

0.2

0.4

0

Dans le cas de la loi N(0, 1), on note P (X < x) = F (x) = Π(X).Cette fonction est tabulée pour x ≥ 0.

� Exemple 5.12 On donne X ∼ N(0, 1). D’après la table de la loi normale centrée-réduite :

P (X < 1) = 0, 8413, P (X < 2, 55) = 0, 9946.

�

Propriété 5.13 — Propriété sur la loi normale centrée-réduite. Si X ∼ N(0, 1),

P (a < X < b) = 1√2π

∫ b

ae−x2/2 dt = Π(b)−Π(a).

5.2 Loi normale 13

FIGURE 5.1 – Table des valeurs de Φ, fonction de répartition de la loi normale standard N(0, 1)

14 Leçon no 5 • Loi de Poisson, loi normale

5.2.3 Somme de variables gaussiennes

Théorème 5.14 SiX1 suit la loi N(m1, σ1,),X2 suit la loi N(m2, σ2) etX1, X2 indépendantes, alors

X = X1 +X2 suit la loi N(m1 +m2,√σ2

1 + σ22).

5.3 Convergence5.3.1 De la loi binomiale vers la loi de Poisson

Théorème 5.15 Soient p ∈ [0 , 1] et n ∈ N. Soit X suivant la loi Bin(n, p). Si n est « assez grand »,si p est « assez petit » et si np n’est « pas trop grand » alors on peut approcher la loi de X par une loide Poisson Pois(np).

Les conditions d’utilisation de ce théorème sont :— n ≥ 30, p ≤ 0, 1, np ≤ 15 ;— n ≥ 50, p ≤ 0, 1, np ≤ 10.

� Exemple 5.16 Dans une entreprise, on estime que la probabilité pour un article d’être défectueux estp = 0, 05. On prélève dans un stock de 80000 articles un échantillon de 120 unités et on s’intéresseau nombre d’éléments défectueux dans l’échantillon.

Hypothèses : Bien que le choix des articles prélevés se fasse sans remise, on formule l’hypothèseque ce prélèvement de 120 articles sur les 80000 ne modifie pratiquement pas la compositionglobale du stock.

Modélisation : Sous les hypothèses précédentes, une expérience élémentaire consiste à préleverun article, constater s’il est défectueux, le remplacer dans le stock. Cette expérience élémen-taire étant répétée 120 fois de façon indépendantes des autres.On note Xi pour i = 1, 2, . . . , 120 la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si l’objet estdéfectueux, 0 sinon.X est la variable aléatoire qui donne le nombre d’articles défectueux dans l’échantillon detaille 120.Il est clair que X = X1 + X2 + · · · + X120. Comme pour i = 1, 2, . . . , 120, Xi suit une loiBern(0.05) alors Xi suit une loi Bin(120, 0.05).De plus, E(X) = np = 120× 0, 05 = 6.

Convergence : On dresse un tableau avec quelques valeurs approchées de la loi de X et unevariable Y de loi de Poisson Pois(6) :

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9P (X = k) 0, 002 0, 013 0, 041 0, 087 0, 134 0, 164 0, 165 0, 141 0, 105 0, 069P (Y = k) 0, 002 0, 015 0, 045 0, 089 0, 134 0, 161 0, 161 0, 138 0, 103 0, 69

�

5.3.2 De la loi de Poisson à la loi binomialeThéorème 5.17 SI (Xn)n est une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi de PoissonPois(λ) et si Sn = X1 + · · ·+Xn alors Sn suit la loi de Poisson Pois(nλ).

5.3 Convergence 15

Développement

• Preuve La démonstration se fait par récurrence sur n.— Pour n = 1, X1 suit la loi de Poisson Pois(λ).— Si Sn = X1 + · · ·+Xn suit la loi de Poisson Pois(nλ), Sn+1 +Sn +Xn+1, et vu que Sn et Xn+1

sont indépendantes, que Sn suit la loi de Poisson Pois(nλ) et Xn+1 la loi de Poisson Pois(λ)),Sn +Xn+1 = Sn+1 suit la loi de Poisson de paramètre nλ+ λ = (n+ 1)λ.

•

Sn suit la loi de Poisson Pois(nλ) donc E(Sn) = nλ et Var(Sn) = nλ. D’après le théorèmecentral limite, la loi de Sn peut être approximée par la loi normale N(E(Sn),Var(Sn)), c’est-à-direN(nλ, nλ).

En pratique, lorsque λ ≥ 15, on peut approximer la loi de Poisson Pois(λ) par la loi normaleN(λ, λ).

� Exemple 5.18 Si X suit la loi de Poisson Pois(16),

P (X = 16) = e−16 1616

16! ≈ 0, 0992.

En approximant la loi Pois(16) par la loi N(16, 16) de fonction de répartition F , on obtient :

P (X = 16) ≈ F (16, 5)− F (15, 5) = Φ(0, 5

4

)− Φ

(−0, 5

4

)= 2Φ(0, 125)− 1 ≈ 0, 0995.

Le gain de temps est surtout sensible pour le calcul des valeurs de la fonction de répartition :

P (X ≤ 20) ≈ F (20, 5) = Φ(20, 5− 16

4

)= Φ(1, 125) ≈ 0, 8697

(alors qu’en gardant la loi de Poisson, il faudrait faire la somme de 21 termes !) �

16 Leçon no 5 • Loi de Poisson, loi normale

Bibliographie

[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.

[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne.net/graphes-ancien/coloration/sommets.html

[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_accompagnement.pdf.

[5] E. SIGWARD & al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.

[6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité. http://mathadoctes.free.fr/TES/graphe/f4_graphe.PDF

[7] G. COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : http://bacamaths.net.

[8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notion, probas conditionnelles et indépendance, URL :http://www.math.univ-montp2.fr/

[9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/~duvalp

[10] G. COSTANTINI, Probabilités : Généralités, conditionnement, indépendance, Cours de Pre-mière S. URL : http://bacamaths.net.

[11] M. LENZEN, Leçon no 3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formuledu binôme. Applications., 2011, URL : http://www.capes-de-maths.com/index.php?page=leconsNEW

[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL : http://tehessin.tuxfamily.org

[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL : http://bacamaths.net

[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math.univ-lille1.fr/~ipeis/

[15] L. LUBRANO & al., Mathématiques, BTS Industriels - Groupement B et C, Dunod, 2011.