Linearna algebra I

Matrični zapis linearnog operatora

V vektorski prostor nad F, e = {e1, . . . , en} neka baza za V .Svaki vektor x ∈ V ima jedinstven prikaz oblika

x =n∑

i=l

αiei.

matrični zapis (prikaz) vektora x u bazi e

[x]e =

α1...αn

∈ Fn

Matrični zapis linearnog operatora

V vektorski prostor nad F, e = {e1, . . . , en} neka baza za V .Svaki vektor x ∈ V ima jedinstven prikaz oblika

x =n∑

i=l

αiei.

matrični zapis (prikaz) vektora x u bazi e

[x]e =

α1...αn

∈ Fn

Matrični zapis linearnog operatora

A ∈ L(V,W ), e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze zaV , odnosno W

A potpuno odreden svojim djelovanjem na bazi: ako znamoAe1, . . . , Aen, onda znamo kompletno djelovanje operatora A

Ae1, . . . , Aen ∈W možemo pisati u obliku

Aej =m∑

i=1

αijfi, j = l, . . . , n.

matrični zapis (prikaz) operatora A u paru baza (e, f)

[A]fe =

α11 α12 · · · α1nα21 α22 · · · α2n

......

...αm1 αm2 · · · αmn

∈Mmn(F)

Matrični zapis linearnog operatora

A ∈ L(V,W ), e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze zaV , odnosno W

A potpuno odreden svojim djelovanjem na bazi: ako znamoAe1, . . . , Aen, onda znamo kompletno djelovanje operatora A

Ae1, . . . , Aen ∈W možemo pisati u obliku

Aej =m∑

i=1

αijfi, j = l, . . . , n.

matrični zapis (prikaz) operatora A u paru baza (e, f)

[A]fe =

α11 α12 · · · α1nα21 α22 · · · α2n

......

...αm1 αm2 · · · αmn

∈Mmn(F)

Matrični zapis linearnog operatora

A ∈ L(V,W ), e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze zaV , odnosno W

A potpuno odreden svojim djelovanjem na bazi: ako znamoAe1, . . . , Aen, onda znamo kompletno djelovanje operatora A

Ae1, . . . , Aen ∈W možemo pisati u obliku

Aej =m∑

i=1

αijfi, j = l, . . . , n.

matrični zapis (prikaz) operatora A u paru baza (e, f)

[A]fe =

α11 α12 · · · α1nα21 α22 · · · α2n

......

...αm1 αm2 · · · αmn

∈Mmn(F)

Matrični zapis linearnog operatora

A ∈ L(V,W ), e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze zaV , odnosno W

A potpuno odreden svojim djelovanjem na bazi: ako znamoAe1, . . . , Aen, onda znamo kompletno djelovanje operatora A

Ae1, . . . , Aen ∈W možemo pisati u obliku

Aej =m∑

i=1

αijfi, j = l, . . . , n.

matrični zapis (prikaz) operatora A u paru baza (e, f)

[A]fe =

α11 α12 · · · α1nα21 α22 · · · α2n

......

...αm1 αm2 · · · αmn

∈Mmn(F)

Matrični zapis linearnog operatora

Primjer

Neka su e i f kanonske baze u R2 i R3. Odredimo matrični zapisoperatora A ∈ L(R2,R3),

A(x1, x2) = (6x1 − x2,−2x1 + x2, x1 − 7x2)

u ovom paru baza.

Primjer

Neka je e = {~i,~j} kanonska baza u prostoru V 2(0). Odredimomatrični zapis operatora rotacije za kut ϕ, Rϕ ∈ L(V 2(0)), u parubaza (e, e).

Matrični zapis linearnog operatora

Primjer

Neka su e i f kanonske baze u R2 i R3. Odredimo matrični zapisoperatora A ∈ L(R2,R3),

A(x1, x2) = (6x1 − x2,−2x1 + x2, x1 − 7x2)

u ovom paru baza.

Primjer

Neka je e = {~i,~j} kanonska baza u prostoru V 2(0). Odredimomatrični zapis operatora rotacije za kut ϕ, Rϕ ∈ L(V 2(0)), u parubaza (e, e).

Matrični zapis linearnog operatora

Primjer

Neka je A ∈ L(R3) definiran s

A(x1, x2, x3) = (x1, x2, 0)

(A se može shvatiti kao projektor na xy−ravninu). Ako je ekanonska baza u R3, odredimo matrični zapis operatora u parubaza (e, e).

Matrični zapis linearnog operatora

Propozicija

Neka su e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze vektorskihprostora V i W , neka je x ∈ V i A ∈ L(V,W ). Tada je

[Ax]f = [A]fe [x]e.

Propozicija

Neka su redom e = {e1, . . . , en}, f = {f1, . . . , fm} ig = {g1, . . . , gl} baze vektorskih prostora V , W i X, neka jeA ∈ L(V,W ) i B ∈ L(W,X). Tada za operator BA ∈ L(V,X)vrijedi

[BA]ge = [B]gf [A]

fe .

Matrični zapis linearnog operatora

Propozicija

Neka su e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze vektorskihprostora V i W , neka je x ∈ V i A ∈ L(V,W ). Tada je

[Ax]f = [A]fe [x]e.

Propozicija

Neka su redom e = {e1, . . . , en}, f = {f1, . . . , fm} ig = {g1, . . . , gl} baze vektorskih prostora V , W i X, neka jeA ∈ L(V,W ) i B ∈ L(W,X). Tada za operator BA ∈ L(V,X)vrijedi

[BA]ge = [B]gf [A]

fe .

Matrični zapis linearnog operatora

Napomena

Isprva se definicija matričnog množenja uvijek čini kao zamřsen ineintuitivan koncept. Sad, nakon prethodnih dviju propozicija,vidimo stvarnu prirodu te definicije. Matrično množenje je,zapravo, i definirano tako kako jest upravo zato da bismo imalipravila računanja kakva su iskazana u prethodnim dvjemapropozicijama.

Matrični zapis linearnog operatora

Propozicija

Neka su e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze vektorskihprostora V i W , te neka je A ∈ L(V,W ). Tada je

r(A) = r([A]fe ).

Korolar

Neka je V vektorski prostor nad F i neka je e = {e1, . . . , en} bazaza V . Operator A ∈ L(V ) je regularan ako i samo ako je [A]eeregularna matrica.

Matrični zapis linearnog operatora

Propozicija

Neka su e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze vektorskihprostora V i W , te neka je A ∈ L(V,W ). Tada je

r(A) = r([A]fe ).

Korolar

Neka je V vektorski prostor nad F i neka je e = {e1, . . . , en} bazaza V . Operator A ∈ L(V ) je regularan ako i samo ako je [A]eeregularna matrica.

Matrični zapis linearnog operatora

Teorem

Neka je A ∈ L(V,W ) i neka su e = {e1, . . . , en}, e′ = {e′1, . . . , e′n}te f = {f1, . . . , fm}, f ′ = {f ′1, . . . , f ′m} po dvije baze prostora V ,odnosno W . Neka su operatori T ∈ L(W ) i S ∈ L(V ) definiranina bazama f , odnosno e, s

Tfi = f ′i , i = 1, . . . ,m,

iSej = e′j , j = 1, . . . , n.

Tada je

[A]f′

e′ = ([T ]ff )−1[A]fe [S]

ee

Matrični zapis linearnog operatora

Definicija

Matrica[S]ee = [I]

ee′ ,

zove se matrica prijelaza iz baze e u bazu e′.

Korolar

Neka je A ∈ L(V ), neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n}dvije baze za V te neka je [S]ee = [I]

ee′ , matrica prijelaza iz baze e

u bazu e′. Tada je

[A]e′

e′ = ([S]ee)−1[A]ee[S]

ee

Matrični zapis linearnog operatora

Definicija

Matrica[S]ee = [I]

ee′ ,

zove se matrica prijelaza iz baze e u bazu e′.

Korolar

Neka je A ∈ L(V ), neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n}dvije baze za V te neka je [S]ee = [I]

ee′ , matrica prijelaza iz baze e

u bazu e′. Tada je

[A]e′

e′ = ([S]ee)−1[A]ee[S]

ee

Matrični zapis linearnog operatora

Korolar

Neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n} dvije baze za V , nekaje [S]ee = [I]

ee′ , matrica prijelaza iz baze e u bazu e

′. Tada je

([S]ee)−1 = ([I]ee′)

−1,

matrica prijelaza iz baze e′ u bazu e.

Korolar

Neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n} dvije baze za V , nekaje [S]ee = [I]

ee′ , matrica prijelaza iz baze e u bazu e

′. Tada za svakivektor x iz V vrijedi

[x]e′= ([S]ee)

−1[x]e.

Matrični zapis linearnog operatora

Korolar

Neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n} dvije baze za V , nekaje [S]ee = [I]

ee′ , matrica prijelaza iz baze e u bazu e

′. Tada je

([S]ee)−1 = ([I]ee′)

−1,

matrica prijelaza iz baze e′ u bazu e.

Korolar

Neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n} dvije baze za V , nekaje [S]ee = [I]

ee′ , matrica prijelaza iz baze e u bazu e

′. Tada za svakivektor x iz V vrijedi

[x]e′= ([S]ee)

−1[x]e.

Matrični zapis linearnog operatora

Primjer

Neka je e kanonska baza u R2, a e′ = {e′1, e′2}, e′1 = (2,−1),e′2 = (−1, 1). Neka je operator A ∈ L(R2) zadan s

A(x1, x2) = (x1 + x2, x1 − x2)

te neka je x = (1, 1). Izračunat emo [Ax]e i [Ax]e′.

Matrični zapis linearnog operatora

Definicija

Neka su A,B ∈Mn(F). Kažemo da je matrica B slična matrici Aako postoji regularna matrica S ∈ GL(n,F) takva da je

B = S−1AS.

Korolar

Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor i A ∈ L(V ).Matrični prikazi operatora A u raznim bazama su slične matrice.

Matrični zapis linearnog operatora

Definicija

Neka su A,B ∈Mn(F). Kažemo da je matrica B slična matrici Aako postoji regularna matrica S ∈ GL(n,F) takva da je

B = S−1AS.

Korolar

Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor i A ∈ L(V ).Matrični prikazi operatora A u raznim bazama su slične matrice.