Lineaarialgebran laskumoniste Osa1 : vektorit

A. Sinin, kosinin ja tangentin laajennetut määritelmät 1. Määritä ao. yksikköympyrän avulla

a) sin(120o)

b) cos(180o) (piirrä kulman kylki, ja lue kuvasta sin ja cos yhden desim. tarkkuudella,

tarkista laskimella, pitääkö paikkansa)

2.

a) Mikä on se terävä kulma, jolle sin(α) = 0.707

b) Mikä on tylppä kulma jonka sini on 0.707

Laske kulmat laskimella. Merkitse kulmat yksikköympyrään.

B. Vektorien peruslaskutoimitukset

3. Kuvan suuntaissärmiön virittävät kärkipisteestä A lähtevät vektorit, joista

käytetään seuraavia lyhennysmerkintöjä: �̅� = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , �̅� = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 𝑗𝑎 𝑐̅ = 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ .

Esitä vektorit a) KF ja b) EK vektorien �̅� , �̅� ja 𝑐̅ avulla

4. Olkoot vektorit �̅� = ( 5, 2) ja �̅� = (2, -3). Laske

a) summa �̅� + �̅�

b) vektorien �̅� ja �̅� pituudet |�̅�| ja |�̅�|

c) erotus �̅� - �̅�

d) lineaariyhdistelmä 2�̅� + 3�̅�

C. Vektorit koordinaatistossa

5. Määritä koordinaattipisteiden A(200, 50) ja B(280, 120) välivektori AB.

6. Suunnistuskilpailun rasti 5 on koordinaattipisteessä (1200, 450) ja rasti 6

on koordinaattipisteessä (900, 320). Määritä

a) rastien 5 ja 6 välisen vektorin koordinaatit

b) rastien 5 ja 6 välimatka

7. Muuntaja A on kartalla koordinaattipisteessä (420, 380). Muuntajalta A

vedetään sähkölinja toiselle muuntajalle B, joka sijaitsee 200 m länteen ja

250 m pohjoiseen muuntajasta A (ts. linja on vektorina (-200, 250). Mitkä

ovat muuntajan B koordinaatit (Piirrä kuva).

8. Suorakulmion muotoisen maapalstan kolme peräkkäistä kärkipistettä ovat

A(250, 340) , B(310, 200) ja C(380, 230) .

a) Määritä neljännen kärkipisteen D koordinaatit

b) Määritä tontin pinta-ala (ala = sivu * sivu)

D. Vektorit koordinaatistossa - napakoordinaattiesitys

9.

a) Mitkä ovat kuvan vektorien �̅� , �̅� ja 𝑐̅ pituudet ja suuntakulmat

b) Laske vektorien x- ja y-komponentit (2 des. tarkkuus)

c) Laske vektorien summavektori �̅� = �̅� + �̅� + 𝑐̅ komponenttimuodossa

d) laske summavektorin �̅� pituus ja suuntakulma

10. Suunnistaja juoksee 400 m, kääntyy sen jälkeen 20 astetta vastapäivään ja

juoksee 200 m , jonka jälkeen hän kääntyy 45 astetta myötäpäivään ja juoksee

suoraan 500 m. Kuinka kaukana hän on lähtöpisteestään. (Laske tämä lasku

vektorisummana. Määritä ensin kunkin pätkän absoluuttinen suuntakulma)

11, Matti lähtee koordinaattipisteestä (420, 100). Hän kävelee ensin 550 m

tietä pitkin kompassisuuntaan 70o. Sitten hän kävelee 800 m sähkölinjaa

pitkin, jonka kompassisuunta on 355o. Piirrä kuva.

a) mitkä ovat kompassisuuntia vastaavat matemaattiset suuntakulmat ?

b) Mihin koordinaattipisteeseen hän lopuksi tulee?

c) Kuinka kaukana Matti on lopussa lähtöpisteestä?

(Kompassissa pohjoinen on 0o, itä on 90o, etelä 180o ja länsi 270o)

E. Vektoreiden pistetulo, vektoreiden välinen kulma

12. a) Laske vektoreiden �̅� = ( 1, 2) ja �̅� = (4, 1) pistetulo

b) Laske vektoreiden 𝑐̅ = ( -5, 3) ja �̅� = ( -1, -2) pistetulo

13. Laske vektoreiden �̅� = ( 5, 2) ja �̅� = (2, -3) välinen kulma

14. Kolmion kärkipisteet ovat A(2,1), B(6,2) ja C(3, 7). Laske

a) kolmion sivujen pituudet

b) kolmion kulmat (käyttämällä pistetuloa)

c) kolmion ala

15. Kaksi vektoria on kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun niiden pistetulo = 0

Mikä on vektorin �̅� y-koordinaatin arvon (y) oltava, kun tiedetään, että

vektorit �̅� ja �̅� ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Vektorit ovat �̅� = ( 1, 2) ja �̅� = (4, y)

F. 3D vektorit

16. Laske vektorin �̅� = ( 1, 2, 4) pituus ( 1- desim. tarkkuus)

17. Laske vektorien �̅� = ( 1, 2, 4) ja �̅� = ( 5, 1, 0)

a) pistetulo

b) välinen kulma

18. Kolmion kärkipisteet ovat A(2,1,1), B(5,6,2) ja C(4, 3, 7). Laske

a) kolmion sivujen pituudet

b) kolmion kulmat (käyttämällä pistetuloa)

c) kolmion ala

G. Skalaari- ja vektoriprojektiot

19. Laske vektorin �̅� = ( 10, 6) skalaariprojektio vektorin �̅� = (2, 5) suunnassa.

20. Laske vektorin �̅� = ( 10, 6) vektoriprojektio vektorin �̅� = (2, 5) suunnassa.

21. Kuvassa on kaksi sähkölinjaa, jotka leikkaavat pisteessä Z. Sähkölinjoilta tunnetaan lisäksi pisteet A ja B. Pisteestä A vedetään kohtisuora kaapeli linjalle ZB pisteeseen P. Määrää pisteen P koordinaatit ja AP:n pituus.

H. Janan keskipiste, janan jakopiste ja kolmion painopiste

22. Laske kolmion A(1,1,1), B(6,3,4)C(2,7,3) painopiste.

23. Sähkölinjan päätepisteet ovat P(450,100) ja Q(850,320). Laske sähkölinjan

keskipisteen koordinaatit.

24. Tienpätkän päätepisteet ovat A(300, 100) ja B(600, 280). Määritä tien kohta,

joka sijaitsee 2/5 matkaa A :sta B:n suuntaan.

I. Vektoriyhtälön ratkaiseminen

25. Kuvassa on kolme voimavektoria, joista tiedetään että niiden summa = 0.

Vektoreiden suunnat on merkitty kuvaan ja alaspäin suuntautuvan vektorin

pituus on 20. Ratkaise muiden vektoreiden pituudet F1 ja F2.

(Käytä voimakolmiomenetelmää, jonka mukaan vektorit peräkkäin

asetettuna muodostavat suljetun kolmion, jonka ratkaisussa voi käyttää

esimerkiksi sinilausetta)

26. Ratkaise edellinen tehtävä siten, että jokainen vektori jaetaan x- ja y-

komponentteihin, jonka jälkeen muodostetaan summavektori

komponenttimuodossa. Summavektorin kumpikin komponentti = 0, josta

saadaan kahden yhtälön muodostama yhtälöpari.

J Determinantti ja vektorien ristitulo

27. Laske seuraavien determinanttien arvot

a) |2 31 4

|

b)

116

223

231

28. Laske vektorien ovat �̅� = ( 1, 2,3) ja �̅� = (2, 4, 1)

ristitulovektori �̅� x �̅�

K Ristitulon sovelluksia pinta-alalaskuihin

29. Samasta pisteestä lähtevät vektorit �̅� = ( 1, 2,3) ja �̅� = (2, 4, 1) määrittävät

kolmion. Laske kolmion ala ristitulon avulla.

30. Määritä kolmion A(1,2,1) B(4,1,2) C(1,1,6) pinta-ala ristitulon avulla

31. Eräässä kaupungissa on kolmion muotoinen puisto. Kolmion kärkipisteiden

koordinaatit ovat A(450, 200) B(800, 250) C(600, 700). Määritä puiston pinta-

ala ristitulon avulla.

32. Maanmittari sai tehtäväkseen arvioida epäsäännöllisen muotoisen

niittyaukion pinta-ala. Hän kulki aukion ympäri ja merkitsy ylös viiden

reunapisteen A,B, C, D ja E koordinaatit (ks.kuva). Tämän jälkeen hän laski

pinta-alan kolmen kolmion avulla. Mikä oli tulos?

L Skalaarikolmitulo – suuntaissärmiön tilavuus

33. Samasta pisteestä lähtevät vektorit �̅� = ( 1, 3,2) , �̅� = (2, 6, 1) ja

𝑐 = (2, 4, 7) virittävät suuntaissärmiön. Laske sen tilavuus

34. Suuntaissärmiön eräs kärkipiste on A(1,2,1). Sen viereiset kärkipisteet ovat

B(4,1,2) , C(1,1,6) ja D(2,9,2). Määritä suuntaissärmiön tilavuus.

Vastauksia vektorilaskuihin:

1a) 0.9 1B) -1 2a) 45o 2b) 135o 3a) ½ c- a - ½ b

3b) ½ a + b + ½ c 4a) (7,-1) 4b) √29 ≈ 5.4, √13 ≈ 3.6 4c) (3.5) 4d) (16,-5)

5) (80,70) 6a) (-300,-130) 6b) 327 7) (220,630) 8a) (320,370)

8b) 11600 9a) 9<65o, 12<205o , 7<-45o (tai 315o) 9b) a=(3.8,8.16),b=(-10.88, -5.07), c=(4.95,-4.95)

9c) (-2.12,-1.86) 9d) 2.82<221.3o 10) 1050.85 11a) 20o ja 95o 11b) (867, 1085)

11c) 1081.8 12a) 6 12b) -1 13) 78.1o 14a)√17, √37, √34

des. 4.12, 6.08, 5.83

14b) 66.5o, 73.1o,40.4o 14c) 11.5 15) -2 16) 4.6 17a) 7 17b) 72.6o 18a) √35, √44, √35

des. 5.9, 6.6, 5.9

18b) 55.9o, 68.2o,55.9o 18c) 16.2 19) 9.3

20) (3.45, 8.62) 21) P=214.7, 144.3)

linjan pit. 195.3 m

22) (3, 11/3, 8/3)

desim. (3. 3.7, 2.7)23) (650, 210) 24) (420, 172)

25-6) F1=19.3, F2=15.0 27a) 5 27b) 9 28) (-10, 5,0) 29) 5.5930) 7.9 31) 83750m2= 8.4ha 32) 70510m2= 7.1 ha 33) 6 34) 112

Lineaarialgebran laskumoniste, osa2

M. Matriisien laskutoimituksia

Tehtävissä käytetään seuraavia matriiseja

34. Suorita seuraavat matriisien yhteenlaskut:

a) A + B

b) D + F

35. Suorita seuraavat matriisien vähennyslaskut:

a) B - A

b) G – C

36. Laske seuraavat matriisit

a) 2C

b) 3A

c) 2G + 3C

37. Laske seuraavat matriisiulot

a) CG

b) AB

c) GH

d) AE

N. Matriisin determinantin laskeminen

38. Laske seuraavat 2 x 2 determinantit-

Laske seuraavat 3 x 3 determinantit

39. Laske vektorin a ja b ristitulovektori a x b ilman laskinta,

kun a = (2 , 1, 3) ja b = (5,2,2).

O. Determinantin kehittämien nollarivejä tai –sarakkeita

hyödyntäen

40. Laske determinantti (hyödynnä nollat rivillä 2)

41. Laske determinantti

P. Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen determinanteilla

42. Ratkaise determinantteja käyttäen seuraavat 2x2 lineaariset yhtälöryhmät

a)

23

1152

yx

yx b)

2.37.0

5.85.0

NF

NF

43. Ratkaise determinantteja käyttäen seuraava 3x2 lineaarinen yhtälöryhmä

293

73

1225

zyx

zyx

zyx

44. Ratkaise seuraava lineaarinen yhtälöryhmä determinantteja käyttäen.

Muunna se ensin normaalimuotoon. jossa muutujat ovat vasemmalla puolella

ja vakiot oikealla puolella-

2

362

uv

vu

Q. Lineaarisen yhtälöryhmän muita ratkaisumenetelmiä

45. Ratkaise lineaariset yhtälöryhmät annetulla menetelmällä

a)

53

152

yx

yx käytä eliminoimismenetelmää

b)

634

72

yx

yx käytä sijoitusmenetelmää

c)

234

62

yx

yx käytä käänteismatriisimenetelmää X=A.1 B

(käytä laskimen matriisitoimintoja tai wolframalphaa)

R. Epälineaarinen yhtälöryhmä

46. Ratkaise seuraava epälineaarinen yhtälöryhmä (sijoitusmenetelmä)

16

822 yx

yx

S. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälö

47. Ratkaise yhtälöt

a) 2 x = 5

b) 50 = 12*1.5 x

48. Kerrostalo-osakkeen hinta v. 2010 oli 55000 Euroa. Oletetaan, että arvo

nousee tasaisesti 1.5% vuodessa.

a) Mikä on arvo v. 2017 ?

b) Mikä oli arvo v.1995 ?

c) Milloin arvo ylittää 65000 Euron rajan?

49. Eräs käytetty VW Golf 04 maksoi v. 2014 alussa 5000 Euroa, Oletetaan,

että sen arvo putoaa tasaisesti 12% vuodessa.

a) Mikä on arvo v. 2017 alussa ?

b) Mikä oli autona arvo uutena v. 2004 ?

c) Milloin autosta saa enää 1500 Euroa?

50. Radioaktiivisen Jodin puoliintumisaika on 7 vrk. Oletetaan, että

ydinonnettomuuden jälkeen erään lammen veden radiioaktiivisuus oli 10000

Bq (Becquereliä) litrassa vettä johtuen vedessä olevasta Jodista.

a) Kuinka suuri on vesilitran aktiivisuus 30 vrk:n kuluttua tästä?

b) Milloin veden aktiivisuus on alle 200 Bq per litra

T. Logaritmin ominaisuuksia

51. Oletetaan seuraavat logaritmifunktion arvot tunnetuksi

log(2) = 0.301 log(3) = 0.477 log(5) = 0.699

Laske ilman laskinta käyttämällä pelkästään logaritmin laskusääntöjä

a) log(4)

b) log(10)

c) log(16)

d) log(30)

U. Logaritmiset asteikot

52. Kuinka monikertainen on 7.8 magnitudin maanjäristys verrattuna 6.5

magnitudin järistykseen absoluuttisella asteikolla.

53. Yksi kone tehtaassa aiheuttaa 82 dB melun, Kuinka suuren melun

aiheuttaa 5 konetta samassa tilassa.

54. Kuinka monen desibelin saa aikaa 500 hengen kuoro, jos sen jokainen

laulaja yksin aiheuttaa 85 sB äänenvoimakkuuden?

55. Montako samanlaista äänilähdettä pitää olla, jotta melutaso nousisi 6 dB

verrattuna yhden äänilähteen melutasoon?

Vastauksia:

34a) b) 35a) b)

36a) b) c) 37a) b)

37c) d) 38a) 10 b) 1 c) 40 d) 42 39) (-4, 11, -1) 40) 38 41) 38

42a) x = 43/11≈ 3.91 y = 7/11 ≈ 0.64 b) F = -4.23, N = -10.62

43) x = 43/16≈2.69 , y = 115/112 ≈ 1.03 , z = 69/56 ≈ 1.23

44) u = 8/3 = 2.6 , v = 14/3 = 4.7 45a) (2,-1) b) (3,2) c) (2,2) 46) (5,3)

47a) 2.32 b) 3.52 48a) 61042 b) 43992 c) v.2021

49a) 3407 b) 17953 c) 2023 50a) 513 Bq b) 39.5 vrk

51a) 0.602 b) 1 c) 1.204 d) 1.477 52) n. 20 kertainen

53) 89 dB 54) 112 dB 55) 4 äänilähdettä