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Limites

Dans l’ouvrage-type, le Cours d’Analyse de l’ÉcolePolytechnique (1841) de Jean-Marie Duhamel, on lit :

« On nomme limite d’une quantité variable, une quantité fixe,dont elle approche indéfiniment »Duhamel sait parfaitement que –10 n’est pas la limite de la

suite nan

1= , Ν∈n , dont cependant elle approche

indéfiniment !

Alors,

« Si n est ‘très grand’, alors à partir de ce n, les na seront

tellement proches de a que leur distance entre na et a seratrès petite »

D’où l’importance de voisinage.

Nous allons étudier un ensemble de nombres qui entourent unnombre déterminé a (voisinage) y compris a, ou qui entourentmais sont différents de a (voisinage épointé).

Dire que x est voisin de a, revient à dire que la distance entrex et a est petite.

La distance usuelle qu’on utilise en R c’est : axaxd −=),(

Définition. Le voisinage centré ou symétrique, de centre a, est

l’intervalle ouvert ] [εε +− aa , , où ε est un nombre positifquelconque.

Définition. Un intervalle ouvert contenant a s’appelle unvoisinage de a.

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Définition préliminaire de la convergence d’une suite

Si quel que soit le voisinage de a, il existe un nombre finid’élements de la suite qui sont à l’exterieur de ce voisinage,alors on dit que la suite est convergente.

En d’autres mots :

Ceci veut dire qu’à l’intérieur de n’importe quel voisinage il y aun nombre infini d’élements de la suite et à l’extérieur il n’y ena qu’un nombre fini.

La notation que nous allons utiliser est la suivante :

Si { } Ν∈nna est une suite que converge à a, nous allons écrire :

aalim nn

=∞→

Axiome d’Archimède : quels que soient les nombres a etb tels que a > 0, il existe un entier n0 tel que n0 a > b.

Cette axiome peut être éclairé géométriquement comme ceci :si a et b représentent les longueurs de deux segments nonréduits à un point, on parvient, en reportant assez de fois lesegment a, à dépasser le segment b.

Dans le cas particulier a = 1, l’axiome d’Archimède n’affirmerien d’autre que l’existence d’entiers naturels aussi grands quel’on veut, puisqu’ils s’énonce alors

Quel que soit le nombre b, il existe un entier n0 tel quen0 > b.

3

Particularisons encore cet énoncé en prenant b de la forme ε1

où ε est la notation habituelle d’un nombre arbitrairementpetit, supposé ici positif. Il devient

Quel que soit 0>ε , il existe un entier n0 tel que n0 > ε1

.

Ou encore,

Quel que soit 0>ε , il existe un entier n0 tel que ε<0

1n

.

Comme de plus, l’inégalité n > n0 entraîne l’inégalité 0

11nn

< , le

dernier énoncé se complète en

Quel que soit 0>ε , il existe un entier n0 tel que pour

tout n > n0, ε<n1

.

Il est ainsi acquis, comme conséquence directe de l’axiome

d’Archimède, que les nombres de la suite n1

peuvent devenir

aussi petits que l’on veut, à condition de prendre nsuffisamment grand. En termes de limite, cela s’écrit

01

lim =∞→ nn .

Théoreme :

Soit 0 < r < 1, alors

€

limn→∞

rn = 0.

Démonstration :

4

Soit une voisinage ] -ε, ε [ de zéro.Puisque r < 1 ⇒ 1/r > 1. Alors, 1/r doit être de la forme1/r = 1 + a, a∈R.En utilisant le Principe d’Archimède, avec le nombre a et 1/ε, ilexiste n0 tel que : n0* a > 1/ε. Mais,

€

1r

n0

= 1+ a( )n0 = 1+ a( ) 1+ a( )... 1+ a( )n0− fois

=1+ n0 ∗ a + ...> n0 ∗ a >1ε ;

C’est-à-dire,

€

1rn0

>1ε

⇒ rn0 < ε.

En mots, nous avons prouvé qu’il y a une infinité de rn dans levoisinage ] -ε, ε [, et que seulement il y a un nombre fini àl’extérieur.

Théoreme: Si { } Ν∈nna et { } Ν∈nnb sont tels que :

€

limn→∞

an = a;

:.0, Alorsbbblim nn

≠=∞→

a) ( ) bablimalimbalim n

nn

nnn

n+=+=+

∞→∞→∞→

b) ( ) bablimalimbalim n

nn

nnn

n−=−=−

∞→∞→∞→

c) ( ) bablimalimbalim n

nn

nnn

n∗=∗=∗

∞→∞→∞→

d) .0, ≠==

∞→

∞→

∞→b

ba

blim

alim

ba

limn

n

nn

n

n

n

e) Si .limlim., cbaaAlorsNntoutpourba nn

nn

nn =≤=∈≤∞→∞→

5

Théoreme: Si

€

Limn→∞

an = a,

€

Limn→∞

bn = a et

€

Limn→∞

cn = c , tel que

nnn bca ≤≤ Alors,

€

a = limn→∞

an ≤ limn→∞cn ≤ limn→∞

bn = a; c’est-à-dire,

€

limn→∞

cn = a.

Définition. Supposons que f soit une fonction définie pour desvaleurs de x voisines de x0. Nous dirons que L est la limite de( )xf quand x tend vers x0, et nous écrivons

( ) LxfLimxx

=→ 0

Si pour tout 0>ε il existe un voisinage épointé

€

x0 −δ, x0 + δ] [de x0, tel que

( ) εε +<<− LxfL

pour tout x appartenant à

€

x0 −δ, x0 + δ] [, 0xx ≠ , et xappartenant à domaine de la fonction.

6

Théorèmes

Si ( ) 1LxfLimax

=→

et ( ) 2LxgLimax

=→

Alors,

• ( ) ( )( ) ( ) ( ) 21 LLxgLimxfLimxgxfLimaxaxax

+=+=+→→→

• ( ) ( )( ) ( ) ( ) 21 LLxgLimxfLimxgxfLimaxaxax

−=−=−→→→

• ( ) ( )( ) ( ) ( ) 21 LLxgLimxfLimxgxfLimaxaxax

×=×=×→→→

• Si en plus, ( ) 02 ≠=→

LxgLimax

, alors ( )( )

( )( ) 2

1

LL

xgLim

xfLim

xgxf

Limax

ax

ax==

→

→

→

Théorème

Si ( ) 1LxfLimax

=→

et ( ) 1LxgLimax

=→

et ( ) ( ) ( )xgxhxf ≤≤ Alors,

( ) ( ) ( ) 11 limlimlim LxgxhxfLaxaxax

=≤≤=→→→

; c’est-à-dire, ( ) 1lim Lxhax

=→ .

Quand on écrit

€

limx→x0

f x( ) = + ∞ , il faut comprendre: à tout

nombre positif M, quelque grand qu’il puisse être, on peut fairecorrespondre un nombre δ > 0 tel que, pour tout x du domaine

de f(x), il existe un voisinage épointé

€

x0 −δ, x0 + δ] [ de x0,qui entraîne f(x) > M.

De façon analogue pour

€

limx→x0

f x( ) = − ∞ et pour x0 = ± ∞.

ThéorèmeSi

€

limx→a

f x( ) = + ∞ et

€

f x( ) ≤ g x( ), pour tout x ∈ R, alors

€

limx→a

g x( ) = + ∞. De façon analogue si

€

limx→a

g x( ) = − ∞, et

€

f x( ) ≤ g x( ), pour tout x ∈ R, alors,

€

limx→a

f x( ) = − ∞