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Lagrange-Multiplikatoren

Ist x∗ eine lokale Extremstelle der skalaren Funktion f unter denNebenbedingungen gi (x) = 0, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren λi ,so dass

grad f (x∗) =∑i

λi grad gi (x∗) .

Dabei wird vorausgesetzt, dass f und g in einer Umgebung von x∗ stetigdifferenzierbar sind und dass die Gradienten grad gi (x∗) linear unabhangigsind.

Bei nur einer Nebenbedingung hat die Lagrange-Bedingung die einfacheForm

grad f (x∗) ‖ grad g(x∗) ,

falls grad g(x∗) 6= 0, d.h. die Niveauflachen von f und g beruhren sich aneiner Extremstelle.

Lagrange-Multiplikatoren 1-1

Lagrange-Multiplikatoren

Ist x∗ eine lokale Extremstelle der skalaren Funktion f unter denNebenbedingungen gi (x) = 0, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren λi ,so dass

grad f (x∗) =∑i

λi grad gi (x∗) .

Dabei wird vorausgesetzt, dass f und g in einer Umgebung von x∗ stetigdifferenzierbar sind und dass die Gradienten grad gi (x∗) linear unabhangigsind.Bei nur einer Nebenbedingung hat die Lagrange-Bedingung die einfacheForm

grad f (x∗) ‖ grad g(x∗) ,

falls grad g(x∗) 6= 0, d.h. die Niveauflachen von f und g beruhren sich aneiner Extremstelle.


Die Lagrange-Bedingung ist nicht hinreichend, um zu entscheiden, ob einlokales Extremum vorliegt und ob es sich um ein Minimum oder einMaximum handelt. Dies lasst sich nur mit Hilfe weiterer Informationenfeststellen.

Die globalen Extrema erhalt man durch den Vergleich der Funktionswertean den Punkten, welche die Lagrange-Bedingung erfullen, sowiegegebenenfalls den Randpunkten der zulassigen Menge oder Punkten miteinem Rangverlust von g ′.


Die Lagrange-Bedingung ist nicht hinreichend, um zu entscheiden, ob einlokales Extremum vorliegt und ob es sich um ein Minimum oder einMaximum handelt. Dies lasst sich nur mit Hilfe weiterer Informationenfeststellen.Die globalen Extrema erhalt man durch den Vergleich der Funktionswertean den Punkten, welche die Lagrange-Bedingung erfullen, sowiegegebenenfalls den Randpunkten der zulassigen Menge oder Punkten miteinem Rangverlust von g ′.


Beweis:

n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen

(i) m ≥ n:Der n-Vektor grad f (x∗) ist immer als Linearkombination der, nachVoraussetzung linear unabhangigen Gradienten grad gi (x∗) darstellbar. XGrund: Fur m ≥ n, besteht die zulassige Menge im Allgemeinen bereits ausdiskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind.(ii) m < n:fasse die Nebenbedingungen gi zu einer Funktion g = (g1, . . . , gm)t

zusammenpartitioniere die Variablen als x = (u, v) ∈ Rm × Rn−m, wobei nacheventueller Permutation die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix(∂g(u, v)/∂u)|(u∗,v∗) = gu(u∗, v∗) vorausgesetzt wirdSatz uber implizite Funktionen =⇒ lokale Auflosbarkeit derNebenbedingungen

g(u, v) = (0, . . . , 0)t ⇐⇒ u = ϕ(v), (u, v) ≈ (u∗, v∗)


Beweis:

n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen(i) m ≥ n:

Der n-Vektor grad f (x∗) ist immer als Linearkombination der, nachVoraussetzung linear unabhangigen Gradienten grad gi (x∗) darstellbar. XGrund: Fur m ≥ n, besteht die zulassige Menge im Allgemeinen bereits ausdiskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind.(ii) m < n:fasse die Nebenbedingungen gi zu einer Funktion g = (g1, . . . , gm)t


g(u, v) = (0, . . . , 0)t ⇐⇒ u = ϕ(v), (u, v) ≈ (u∗, v∗)


Beweis:

n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen(i) m ≥ n:Der n-Vektor grad f (x∗) ist immer als Linearkombination der, nachVoraussetzung linear unabhangigen Gradienten grad gi (x∗) darstellbar. X

Grund: Fur m ≥ n, besteht die zulassige Menge im Allgemeinen bereits ausdiskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind.(ii) m < n:fasse die Nebenbedingungen gi zu einer Funktion g = (g1, . . . , gm)t


g(u, v) = (0, . . . , 0)t ⇐⇒ u = ϕ(v), (u, v) ≈ (u∗, v∗)


Beweis:

n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen(i) m ≥ n:Der n-Vektor grad f (x∗) ist immer als Linearkombination der, nachVoraussetzung linear unabhangigen Gradienten grad gi (x∗) darstellbar. XGrund: Fur m ≥ n, besteht die zulassige Menge im Allgemeinen bereits ausdiskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind.

(ii) m < n:fasse die Nebenbedingungen gi zu einer Funktion g = (g1, . . . , gm)t


g(u, v) = (0, . . . , 0)t ⇐⇒ u = ϕ(v), (u, v) ≈ (u∗, v∗)


Beweis:

n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen(i) m ≥ n:Der n-Vektor grad f (x∗) ist immer als Linearkombination der, nachVoraussetzung linear unabhangigen Gradienten grad gi (x∗) darstellbar. XGrund: Fur m ≥ n, besteht die zulassige Menge im Allgemeinen bereits ausdiskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind.(ii) m < n:

fasse die Nebenbedingungen gi zu einer Funktion g = (g1, . . . , gm)t


g(u, v) = (0, . . . , 0)t ⇐⇒ u = ϕ(v), (u, v) ≈ (u∗, v∗)


Beweis:

n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen(i) m ≥ n:Der n-Vektor grad f (x∗) ist immer als Linearkombination der, nachVoraussetzung linear unabhangigen Gradienten grad gi (x∗) darstellbar. XGrund: Fur m ≥ n, besteht die zulassige Menge im Allgemeinen bereits ausdiskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind.(ii) m < n:fasse die Nebenbedingungen gi zu einer Funktion g = (g1, . . . , gm)t

zusammen

partitioniere die Variablen als x = (u, v) ∈ Rm × Rn−m, wobei nacheventueller Permutation die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix(∂g(u, v)/∂u)|(u∗,v∗) = gu(u∗, v∗) vorausgesetzt wirdSatz uber implizite Funktionen =⇒ lokale Auflosbarkeit derNebenbedingungen

g(u, v) = (0, . . . , 0)t ⇐⇒ u = ϕ(v), (u, v) ≈ (u∗, v∗)


Beweis:


zusammenpartitioniere die Variablen als x = (u, v) ∈ Rm × Rn−m, wobei nacheventueller Permutation die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix(∂g(u, v)/∂u)|(u∗,v∗) = gu(u∗, v∗) vorausgesetzt wird

Satz uber implizite Funktionen =⇒ lokale Auflosbarkeit derNebenbedingungen

g(u, v) = (0, . . . , 0)t ⇐⇒ u = ϕ(v), (u, v) ≈ (u∗, v∗)


Beweis:



g(u, v) = (0, . . . , 0)t ⇐⇒ u = ϕ(v), (u, v) ≈ (u∗, v∗)


Gradient der Funktion v 7→ h(v) = f (ϕ(v), v) Null an einem Extremum,d.h.

grad h(v∗) = fu(u∗, v∗)ϕ′(v∗) + fv (u∗, v∗) = 0

aufgrund der Kettenregel und mit ϕ′ der Jacobi-Matrix von ϕ

Differenzieren der Nebenbedingungen g(ϕ(v), v) = (0, . . . , 0)t =⇒

ϕ′(v) = −gu(u, v)−1gv (u, v)

Setzen von λ = fu(u∗, v∗)gu(u∗, v∗)−1 und Einsetzen des Ausdrucks fur ϕ′

in den Gradienten

fu = λgu, fv = −fu(−g−1u gv ) = λgv

(u- und v -Komponenten der Bedingung f ′ = λg ′ im Punkt (u∗, v∗))




aufgrund der Kettenregel und mit ϕ′ der Jacobi-Matrix von ϕDifferenzieren der Nebenbedingungen g(ϕ(v), v) = (0, . . . , 0)t =⇒

ϕ′(v) = −gu(u, v)−1gv (u, v)


in den Gradienten




Beispiel:

minimieref (x , y) = y

unter der Nebenbedinung

g(x , y) = y3 − x2 = 0

Minimum bei (0, 0)

grad f

y = 0(0, 0)

g = y3 − x2 = 0


Die Lagrange-Bedingung (fx , fy ) = λ(gx , gy ) nicht erfullt:

(0, 1) 6= (0, 0) = λ(−2x∗, 3y2∗ )

Grund: kein maximaler Rang der Jacobi-Matrix g ′(x∗, y∗) = (0, 0)Die Lagrange-Bedingung ist in singularen Punkten nicht anwendbar.



(0, 1) 6= (0, 0) = λ(−2x∗, 3y2∗ )

Grund: kein maximaler Rang der Jacobi-Matrix g ′(x∗, y∗) = (0, 0)

Die Lagrange-Bedingung ist in singularen Punkten nicht anwendbar.



(0, 1) 6= (0, 0) = λ(−2x∗, 3y2∗ )

Grund: kein maximaler Rang der Jacobi-Matrix g ′(x∗, y∗) = (0, 0)Die Lagrange-Bedingung ist in singularen Punkten nicht anwendbar.


Beispiel:

Lagrange Bedingung fur die Extremstellen (x∗, y∗) einer bivariatenFunktion f (x , y) unter der Nebenbedingung g(x , y) = 0:

(fx , fy ) = λ(gx , gy ), grad g 6= 0

d.h. grad g ist parallel zu grad f

Die Niveaulinien von f im Punkt (x∗, y∗) sind tangential zu der durch gdefinierten Kurve.


Beispiel:

Lagrange Bedingung fur die Extremstellen (x∗, y∗) einer bivariatenFunktion f (x , y) unter der Nebenbedingung g(x , y) = 0:

(fx , fy ) = λ(gx , gy ), grad g 6= 0

d.h. grad g ist parallel zu grad fDie Niveaulinien von f im Punkt (x∗, y∗) sind tangential zu der durch gdefinierten Kurve.


g = 0

f =const

(x∗, y∗)

−2 −1 0 1 2−2

−1

0

1

2


z.B.:

f (x , y) = (x − 3)(y − 3)→ min , g(x , y) = x2 + y2 − 2 = 0

Langrange-Bedingung

(fx , fy ) = (y − 3, x − 3) = λ(2x , 2y) = λ(gx , gy )

Elimination von λ durch Bilden der Differenz yfx − xfy

y(y − 3)− x(x − 3) = 0 ⇐⇒ (y − x)(y + x − 3) = 0

Berucksichtigung der Nebenbedingung x2 + y2 − 2 = 0 (kein zulassigerPunkt fur y + x − 3 = 0) x = y und (1, 1) sowie (−1,−1) alsmogliche ExtremstellenExistenz von Minimum und Maximum fur eine stetige Funktion auf einerkompakten Menge (Kreis mit Radius

√2) =⇒

f bei (1, 1) minimal und bei (−1,−1) maximal


z.B.:

f (x , y) = (x − 3)(y − 3)→ min , g(x , y) = x2 + y2 − 2 = 0

Langrange-Bedingung

(fx , fy ) = (y − 3, x − 3) = λ(2x , 2y) = λ(gx , gy )


y(y − 3)− x(x − 3) = 0 ⇐⇒ (y − x)(y + x − 3) = 0


√2) =⇒



z.B.:

f (x , y) = (x − 3)(y − 3)→ min , g(x , y) = x2 + y2 − 2 = 0

Langrange-Bedingung

(fx , fy ) = (y − 3, x − 3) = λ(2x , 2y) = λ(gx , gy )


y(y − 3)− x(x − 3) = 0 ⇐⇒ (y − x)(y + x − 3) = 0

Berucksichtigung der Nebenbedingung x2 + y2 − 2 = 0 (kein zulassigerPunkt fur y + x − 3 = 0) x = y und (1, 1) sowie (−1,−1) alsmogliche Extremstellen

Existenz von Minimum und Maximum fur eine stetige Funktion auf einerkompakten Menge (Kreis mit Radius

√2) =⇒



z.B.:

f (x , y) = (x − 3)(y − 3)→ min , g(x , y) = x2 + y2 − 2 = 0

Langrange-Bedingung

(fx , fy ) = (y − 3, x − 3) = λ(2x , 2y) = λ(gx , gy )


y(y − 3)− x(x − 3) = 0 ⇐⇒ (y − x)(y + x − 3) = 0


√2) =⇒



Beispiel:

Bestimmung der Extrema von

f (x , y , z) = x + 2y − z

unter den Nebenbedingungen

g1(x , y , z) = x2 + y2 − 8 = 0, g2(x , y , z) = x + z − 4 = 0

(Ellipse: Schnitt eines Zylinders mit einer Ebene)

Jacobi-Matrix der Nebenbedingungen

g ′(x , y) =

(2x 2y 01 0 1

)voller Rang fur (x , y) 6= (0, 0); auf zulassiger Menge erfulltLagrange-Bedingung fur Extremstellen (x , y , z)

(1, 2,−1) = (λ1, λ2)

(2x 2y 01 0 1

)


Beispiel:


f (x , y , z) = x + 2y − z


g1(x , y , z) = x2 + y2 − 8 = 0, g2(x , y , z) = x + z − 4 = 0

(Ellipse: Schnitt eines Zylinders mit einer Ebene)Jacobi-Matrix der Nebenbedingungen

g ′(x , y) =

(2x 2y 01 0 1

)voller Rang fur (x , y) 6= (0, 0); auf zulassiger Menge erfullt

Lagrange-Bedingung fur Extremstellen (x , y , z)

(1, 2,−1) = (λ1, λ2)

(2x 2y 01 0 1

)


Beispiel:


f (x , y , z) = x + 2y − z


g1(x , y , z) = x2 + y2 − 8 = 0, g2(x , y , z) = x + z − 4 = 0

(Ellipse: Schnitt eines Zylinders mit einer Ebene)Jacobi-Matrix der Nebenbedingungen

g ′(x , y) =

(2x 2y 01 0 1

)voller Rang fur (x , y) 6= (0, 0); auf zulassiger Menge erfulltLagrange-Bedingung fur Extremstellen (x , y , z)

(1, 2,−1) = (λ1, λ2)

(2x 2y 01 0 1

)Lagrange-Multiplikatoren 5-3

bzw.

1 = 2λ1x + λ2

2 = 2λ1y

−1 = λ2

Einsetzen von λ1 = 1/y und λ2 = −1 in die erste Gleichung =⇒x = yNebenbedingungen mogliche Extrema (2, 2, 2) und (−2,−2, 6)Existenz von Minimum und Maximum auf der Ellipse und Vergleich derFunktionswerte,

f (−2,−2, 6) = −12 < 4 = f (2, 2, 2) ,

=⇒ f ist minimal bei (−2,−2, 6) und maximal bei (2, 2, 2).


bzw.

1 = 2λ1x + λ2

2 = 2λ1y

−1 = λ2

Einsetzen von λ1 = 1/y und λ2 = −1 in die erste Gleichung =⇒x = y

Nebenbedingungen mogliche Extrema (2, 2, 2) und (−2,−2, 6)Existenz von Minimum und Maximum auf der Ellipse und Vergleich derFunktionswerte,

f (−2,−2, 6) = −12 < 4 = f (2, 2, 2) ,



bzw.

1 = 2λ1x + λ2

2 = 2λ1y

−1 = λ2

Einsetzen von λ1 = 1/y und λ2 = −1 in die erste Gleichung =⇒x = yNebenbedingungen mogliche Extrema (2, 2, 2) und (−2,−2, 6)

Existenz von Minimum und Maximum auf der Ellipse und Vergleich derFunktionswerte,

f (−2,−2, 6) = −12 < 4 = f (2, 2, 2) ,



bzw.

1 = 2λ1x + λ2

2 = 2λ1y

−1 = λ2

Einsetzen von λ1 = 1/y und λ2 = −1 in die erste Gleichung =⇒x = yNebenbedingungen mogliche Extrema (2, 2, 2) und (−2,−2, 6)Existenz von Minimum und Maximum auf der Ellipse und Vergleich derFunktionswerte,

f (−2,−2, 6) = −12 < 4 = f (2, 2, 2) ,



Beispiel:

Gleichgewichtslage einer an zwei Punkten aufgehangten Kette mit 2nKettengliedern der Lange 1

r

x1

x2

potentielle Energie unter Berucksichtigung der Symmetrie

f (x) = −2(x1

2

)− 2

(x1 +

x22

)− · · · − 2

(x1 + · · ·+ xn−1 +

xn2

)= −a1x1 − · · · − anxn

mit ai = 2(n − i) + 1Lange der Kette Nebenbedingung

g(x) = r/2−n∑

i=1

√1− x2i = 0


Beispiel:


r

x1

x2


f (x) = −2(x1

2

)− 2

(x1 +

x22

)− · · · − 2

(x1 + · · ·+ xn−1 +

xn2

)= −a1x1 − · · · − anxn


g(x) = r/2−n∑

i=1

√1− x2i = 0


Beispiel:


r

x1

x2


f (x) = −2(x1

2

)− 2

(x1 +

x22

)− · · · − 2

(x1 + · · ·+ xn−1 +

xn2

)= −a1x1 − · · · − anxn

mit ai = 2(n − i) + 1

Lange der Kette Nebenbedingung

g(x) = r/2−n∑

i=1

√1− x2i = 0


Beispiel:


r

x1

x2


f (x) = −2(x1

2

)− 2

(x1 +

x22

)− · · · − 2

(x1 + · · ·+ xn−1 +

xn2

)= −a1x1 − · · · − anxn


g(x) = r/2−n∑

i=1

√1− x2i = 0


Optimierungsproblem

f → min, g = 0

Lagrange-Bedingungen grad f = λ grad g

−ai = λxi√

1− x2i

, i = 1, . . . , n

Quadrieren und Auflosen nach xi =⇒

x2i =a2i

a2i + λ2

Einsetzen in die Nebenbedingung r/2 =∑

i

√1− x2i

r

2=

n∑i=1

√λ2

a2i + λ2


Optimierungsproblem

f → min, g = 0


−ai = λxi√

1− x2i

, i = 1, . . . , n


x2i =a2i

a2i + λ2


i

√1− x2i

r

2=

n∑i=1

√λ2

a2i + λ2


√. . . monotone Funktion von λ

einfach zu berechnende numerische Losung λ∗ Bestimmung von xi aus den Lagrange-Bedingungen


√. . . monotone Funktion von λ einfach zu berechnende numerische Losung λ∗

Bestimmung von xi aus den Lagrange-Bedingungen


√. . . monotone Funktion von λ einfach zu berechnende numerische Losung λ∗ Bestimmung von xi aus den Lagrange-Bedingungen


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