Zbrani kolokviji in izpiti pri predmetu Matematična fizika 1 v obdobju 2012—2015

2012 Kolokviji Matematična fizika I – 14. 3. 2012 – 1. kolokvij Pred dolgim ravnim belim zidom stoji laser, vrtljiv okoli navpične osi. Laser je poravnan vzporedno z zidom, nato pa ga s stalno kotno hitrostjo zavrtimo za kot π, tako da svetla pega njegovega žarka preteče zid po vsej dolžini. Ta zasuk laserja traja toliko časa, kolikor porabi svetloba za pot do zidu in nazaj po najkrajši poti. Zid siplje svetlobo enakomerno v vse smeri. Opazovalec pri laserju spremlja pot svetlobne pike s hitro kamero. Kdaj najprej opazi svetlo piko in iz katere smeri? Kolikšna je zanj (navidezna) hitrost pike po

zidu pri kotu 𝜋/4 proti pravokotnici? Dodatno vprašanje: Kolikšna je pri kotu π/4 navidezna velikost svetle pege na zidu, kot jo izmeri opazovalec na hipnem posnetku (to je z zelo kratko ekspozicijo), če je zid oddaljen 300 m in je divergenca laserskega curka 1 kotna minuta?

Matematična fizika I – 28. 3. 2012 – 2. kolokvij Dve dolgi ravni žici sta pravokotno prekrižani na vodoravni mizi. V stičišču prispajkamo konec tretje, navpične žice in po njej pošljemo električni tok I, ki se v spoju enakomerno razdeli v štiri vodoravne krake. Določi jakost in smer magnetnega polja v točki na simetrali med navpično žico in enim krakom, v razdalji a od obeh. V kateri točki na isti višini in v enaki razdalji od navpične žice je polje najmočnejše?

Dodatno vprašanje: Kje pa je točka najmočnejšega polja v simetrični legi pod vodoravno ravnino (v razdalji a od premice navpične žice in v razdalji a pod navpično ravnino)?

Matematična fizika I – 11. 4. 2012 – 3. kolokvij Vektorsko polje v prostoru ima obliko

prrnnrnrA ])([ 2

kjer je n

konstantni vektor. Kakšni vrednosti naj imata konstanti in p , da je

polje brezvrtinčno in brezizvirno? Kako se v tem primeru zapiše skalarni potencial polja?

Matematična fizika I – 25. 4. 2012 – 4. kolokvij Južnoameriški trdi les quebracho ima v smeri vlaken toplotno prevodnost 14

W/mK, v smeri pravokotno na letnice 10 W/mK in v tretji smeri, vzporedno z

letnicami, 11 W/mK. Iz lesa izstružimo 10 cm dolgo paličico s premerom 8 mm z

osjo v smeri, ki oklepa enake kote z vsemi tremi lastnimi osmi. Paličico po plašču

toplotno izoliramo, na konca pa pritisnemo dva razsežna kosa bakra, katerih

temperatura se razlikuje za 10 K. Kolikšen toplotni tok teče po paličici, ko se

ustali? Za kakšen kot so proti osi paličice nagnjene izotermne ploskve v sredini

paličice?

Matematična fizika I – 16. 5. 2012 – 5. kolokvij Populacija mladih živahno komunicira z sms-ji v nekem manj razširjenem jeziku. Vsak od njih prejme (in odpošlje) v povprečju 20 sms na dan: privzemimo, da so naslovniki enakomerno in naključno porazdeljeni po vsej populaciji. Pojavila se je nova kratica, tako duhovita, da jo vsak, ki jo pozna, uporabi v vsakem sporočilu: nauči pa se je že (v povprečju) po 3 prejetih poštah. Od trenutka, ko je »okuženih« 5 % populacije, traja le 27 dni, da je okužena polovica? Kolikšen del populacije pozna in uporablja noviteto po 40 dneh?

Dodatno vprašanje: Kako velika je populacija? (Namig: čeprav je populacija diskretna, je dovolj velika, da lahko uporabimo opis z zvezno spremenljivko. Okuženje se širi tako, da dobi »neokuženi« sms od »okuženega«: torej je prirastek okuženih v vsakem času sorazmeren tako s številom prvih kot s številom drugih – se pravi, sorazmeren s produktom obeh števil.)

Matematična fizika I – 30. 5. 2012 – 6. kolokvij Dve enaki, 0.5 m dolgi lahki vijačni vzmeti s koeficientom 5 N/cm spnemo s koncema in ju vpnemo med dva toga zidova, ki sta 0.5 m vsaksebi. Na stičišče vzmeti obesimo utež. Kako je frekvenca majhnih nihanj uteži (v navpični smeri) odvisna od povesa v ravnovesni legi? Zapiši (v približku majhnih nihanj) časovni potek gibanja uteži z maso 50 g od trenutka, ko jo spustimo na stičišče (še neraztegnjenih) vzmeti. Namig: Ni se treba truditi z eksplicitno izražavo povesa v odvisnosti od obtežbe. Zadosti je, da poveš uporabimo kot neodvisen parameter, s katerim je mogoče izraziti maso uteži.

Izpiti Matematična fizika I – 10. 7. 2012 – 1. izpit

1. Masa 50 kg občutljivega gravimetra počiva na jeklenem stebričku s

premerom 50 mm, vloženem koncentrično v bakreno cev z notranjim

premerom 55 mm in zunanjim premerom 65 mm. Stebriček in cev sta,

neobremenjena pri 25 oC, visoka natanko 60 mm. Za koliko se skrčita, ko

položimo nanju maso? Elastični modul za jeklo je 200 GPa, za baker 117

GPa. Linearna razteznostna koeficienta obeh kovin sta po vrsti 12 x 10-6

K-1 in 17 x 10-6 K-1. Kolikšen je razteznostni koeficient našega

kombiniranega nosilca, ko sta tako stebriček kot tudi cev v stiku z maso?

2. Na dolgo napeto dielektrično nitko nanesemo električni naboj z gostoto 10-

3 As/m, do polovice pozitiven naboj, na drugo polovico negativen. Po

simetrijski ravnini napnemo drugo enako nabito nitko v razdalji 5 cm od

prve, tako da sta najbližji točki ravno delišči naboja. Določi vektor sile med

nitkama!

3. Na konec 1 m dolge gumijaste vrvice, ki visi s stropa, obesimo utež 50 g,

pri čemer se vrvica podaljša za 20 cm. Nato utež dvignemo do stropa in jo

spustimo. Čez koliko časa bo dosegla najnižjo točko?

4. (Verjetnost – predbolonjska) Iridijevi bliski so odbliski Sonca na ploščatih

antenah komunikacijskih satelitov Iridium. Pojavljajo se ob mraku na

poljubnem mestu na nebu, trajajo do pol minute in so lahko svetlejši od

Venere ali Jupitra. V ekvatorialnih predelih lahko ob jasnem nebu s

poljubne točke opazimo tri bliske na večer. Vzemimo, da v deževni dobi

oblaki pokrivajo polovico neba v naključnih zaplatah. Kolikšno je

povprečno število vidnih bliskov na večer. Kolikšna je verjetnost, da cel

teden (7 večerov) ne bo niti enega bliska? Kolikšna je verjetnost, da bo v

mesecu dni (30 večerov) vidnih več kot 60 bliskov?

Matematična fizika I – 4. 9. 2012 – 2. izpit

1. Ožjo vijačno vzmet z (neraztegnjeno) dolžino 30 cm vtaknemo v širšo

vzmet z enako dolžino, ju spnemo na obeh konceh in obesimo za zgornji

konec. Prva vzmet ima maso 30 g in koeficient 5 g/cm, druga pa maso 60

g in koeficient 6 g/cm. Koliko pod obesiščem se ustali spodnji konec?

2. Žična zanka, po kateri teče tok I, ima obliko kvadrata s stranico a. Na osi

zanke visi majhna magnetna igla z magnetnim momentom pm. Smer

momenta je vzporedna z diagonalo kvadrata. Na kateri višini nad ravnino

zanke je sila na iglo največja? Na kateri višini je navor največji?

3. Riba plava tik pod gladino jezera v stalni smeri s hitrostjo 0.5 m/s. Ribji

orel jo opazi, ko je tik nad njo v višini 50 m. Začne se spuščati proti njej z

navpično hitrostjo 2 m/s, hitrost v vodoravni smeri pa prilagaja tako, da je

ves čas usmerjen proti plenu. Za koliko se premakne v vodoravni smeri,

ko se spusti do polovične začetne višine? (Namig: problem se prevede na

linearno enačbo; najlaže je rešljiva, če izključimo časovno spremenljivko in

uporabimo metodo variacije konstante.)

4. (Verjetnost – predbolonjska) Dva enaka detektorja beležita čase jedrskih

razpadov v dveh enako pripravljenih vzorcih izotopa s povprečno

aktivnostjo 30 razpadov na minuto. Računalnik za vsakega določi čase

med zaporednimi razpadi in jih po vrsti zapiše v tabelo z dvema

stolpcema, nato pa v tretji stolpec zapiše večjega od obeh podatkov.

Kakšna je verjetnostna porazdelitev teh podatkov iz tretjega stolpca (po

velikosti)? Kolikšni sta njena povprečna vrednost in efektivni odmik?

Matematična fizika I – 21. 1. 2013 – 3. izpit

1. Elastična vrv visi privezna na skalo preko previsa, po njej pa se spušča

plezalec z maso 50kg. Za koliko je vrv raztegnjena, ko je plezalec 10m

pod previsom, če je dolžina neraztegnjene vrvi 100m. Debelina vrvi

(premer) je 1cm, masa na dolžinsko enoto je 0.05kg/m, elastični modul

vrvi pa je E=10GPa.

2. Polje molekulskega ureditvenega polja okrog koloidnega delca v

nematskem tekočem kristalu se v približku multipolnega razvoja zapiše kot

5

23)(

r

errreAern zz

z

,

kjer je ze

enotski vektor v izbrani (z) simetrijski smeri, A je konstanta, r

pa

je oddaljenost od središča delca. Izračunajte t.i. pahljačasto deformacijo

tega polja n , in t.i. upogibno deformacijo polja n

.

3. Notranjost vodoravne gladke 1m dolge valjaste cevke je razdeljena na štiri

enake volumske predele s tremi prosto gibljivimi bati z maso 1kg, konca

cevke pa sta neprodušno zaprta. V vsakem od volumskih predelov je 10g

plina helija (M=4kg/kmol) pri konstantni temperaturi 300K. V približku

majhnih odmikov izračunajte lastne frekvenci vseh treh batov, če prožno

silo pri odmiku od mirovne lege povzročajo le spremembe tlaka plina.

4. (Verjetnost – predbolonjska) Robotek, ki se giblje po ravnem tiru samo v

eno smer (npr. v desno), je programiran tako, da v enem časovnem

koraku, npr t=1s, naredi, povsem slučajno en korak a=1cm z verjetnostjo

1/3, z enakima verjetnostma 1/3 pa naredi dvojni korak 2a ali pa se ne

premakne. Za velike n izračunaj verjetnost Wn, da se robotek v času tn=nt

premakne za razdaljo večjo od (n+10)a , ter tudi izračunaj variacijo

položaja robotka.

Namig: Za velike n se lahko splošno verjetnost Wn(m) zapiše z uporabo centralnega limitnega teorema.

2013 Kolokviji Matematična fizika I – 13. 3. 2013 – 1. kolokvij Prstan z maso 150g visi prosto obešen na lahki verižici dolžine 18cm. Konca verižice pripnemo na elipsoiden obešalnik –je oblike zgornjega dela elipse- , in sicer tako da konca verižice lahko prosto drsita po obešalniku. Določi, kolikšen kot a v ravnovesju verižica oklepa z navpičnico. Velika polos eliptičnega obešalnika je enaka a=10cm, mala polos pa b=15cm. Za koliko pa se a spremeni, če veliko polos a raztegnemo za 0.1cm?

Matematična fizika I – 27. 3. 2013 – 2. kolokvij

Izračunaj topološki naboj defekta, ki se nahaja v koordinatnem izhodišču vektorskega polja rczbyaxn /),,(

, kjer so x,y,z kartezične koordinate, r je radij

vektor, a,b,c pa so parametri polja, ki imajo lahko vrednost 1 ali -1. Topološki naboj q se izračuna kot integral po zaključeni površini, ki zaobjame defekt:

21

214

1dudu

u

n

u

nnq

,

kjer sta u1 in u2 posplošeni koordinati, ki opišeta zaključeno površino s. Kolikšen je topološki naboj, za različne kombinacije vrednosti parametrov a, b in c? Namig: Za u1 in u2 izberi znana sferična kota q in j.

Matematična fizika I – 10. 4. 2013 – 3. kolokvij Družina vektorskih polj po prostoru ima obliko:

...3,2,1,

0,

1 nzaBr

nzaarB

n

n

kjer je a

konstantni vektor. Izračunaj )( nBdiv

in )( nBrot

za vsak n.

Matematična fizika I – 24. 4. 2013 – 4. kolokvij Iz dolgega lesenega hloda simetrično glede na sredino hloda izrežemo tram, s presekom 0.5m x 0.5m, nato pa tram naprej nažagamo v enake tanke deske. Izračunaj topolotno prestopnost desk v smeri prečno na deske (tj. vzdolž daljše stranice preseka deske), kjer upoštevaj, da je toplotna prevodnost lesa

pravokotno na letnice enaka 10 W/mK, vzdolž letnic pa || 10.5 W/mK. Pri

izračunu prestopnosti lahko upoštevaš, da sta in || podobni.

V opomin: Toplotna prestopnost je skalarna količina, ki je definirana z zvezo:

TSP / , kjer je P jakost toplotnega toka skozi površino preseka S in je DT padec temperature preko materiala s prestopnostjo L.

Matematična fizika I – 15. 5. 2013 – 5. kolokvij Zanima nas pretakanje obravane vode skozi tri enake ponvice (čebričke) z volumnom 10l kot prikazuje spodnja slika. Na začetku je polna le prva ponvica, v kateri je v vodi raztopljenih 0.5kg barvila. V nekem trenutku odpremo pipo, iz katere začne v prvo ponvico teči čista voda z volumskim tokom 0.05l/s. Ker je bila prva ponvica polna, se začne takoj iz nje (obarvana) voda prelivati v drugo ponvico. Ko je polna le-ta, se voda naprej preliva v tretjo ponvico. Izračunaj, kolikšna je koncentracija barvila v vsaki ponvici, ko se ravno do konca napolni ponvica 3. V računu predpostavi, da se v vsaki ponvici barvilo in voda stalno dobro mešata in je koncentracija zato ob vsakem času homogena. {Glej sliko na naslednji strani.}

Matematična fizika I – 29. 5. 2013 – 6. kolokvij Pet valjev je preko torzijskih vzmeti s koeficientom D v osi rotacijsko vpetih v oglišča pravilnega petkotnika. Nadalje je vsak od valjev z vijačnima vzmetema povezan s sosednjima valjema, kakor kaže slika. Določi lastne frekvence majhnih torzijskih nihanj valjev in opiši pripadajoče lastne vektorje. Elastično konstanto vseh vzmeti označi s k, radij valjev z R in maso valjev z m.

Izpiti Matematična fizika I – 9. 7. 2013 – 1. izpit

1. Obesek visi na 10cm dolgi lahki vrvici na vzvratnem ogledalu v

avtomobilu, ko začnemo avtomobil pospeševati s stalnim pospeškom

1m/s2. S kolikšno frekvenco zaniha obesek? Določi tudi, kako se kot

vrvice, na kateri visi obesek, spreminja s časom. Uporabiš lahko približek

majhnih nihanj.

2. Navzdol obrnjen stožec je napolnjen z vodo do višine 30cm, ko se po

plašču strožca od dna do vrha pojavi ravna razpoka kotne širine 1°.

Izračunaj, s kolikšno hitrostjo se premika gladina vode v trenutku, ko pade

na višino 29cm, če posodo stalno dodatno polnimo s pipo, ki ima volumski

pretok 0.1dm3/s. Koliko časa pa preteče, da gladina pade iz 30cm na

29cm? Radij osnovnice stožca je enak 80cm in višina stožca pa je enaka

1m.

3. Tristrano prizmo z maso 0.1kg, višino 4.17cm in osnovno ploskvijo, ki je

pravokotni trikotnik s katetama a=2cm in b=5cm, vpni v težišču. Zapiši

tenzor vztrajnostnega momenta prizme v kartezičnem sistemu, v katerem

je x os vzporedna s stranico a in y os vzporedna s stranico b. Nato določi

rotacijsko os, pri vrtenju okrog katere je deviacijski moment največji.

4. (Verjetnost – predbolonjska) V vreči imam veliko število loterijskih kroglic,

npr. 1000 kroglic s številko 1, 500 kroglic številko 2, in 500 kroglic s

številko 3. Naključno izvlečem 10 kroglic. Kolikšni sta pričakovana

vrednost in disperzija vsote pik? S kolikšno verjetnostjo je vsota pik na

izvlečenih 10ih kroglicah večja od 20? Predpostavi da so sta 500 in 1000

veliki števili v primerjavi z 10.

Matematična fizika I – 3. 9. 2013 – 2. izpit

1. Štiri prevodne žice so prispajkane na obroč z radijem R iz enake prevodne

žice, po njih pa teče električni tok kot kaže slika. Določi, kje na osi z je

gostota magnetnega polja največja.

2. V toplotno anizotropnem enoosnem materialu, ki ima dve t.i. redni lastni

vrednosti tenzorja toplotne prevodnosti enaki lo, ena t.i. izredna pa je

enaka le, se lastni vektor, ki ustreza izredni topolotni prevodnosti spreminja

vzdolž osi z kot: )cos,sinsin,sin(cos 000 n

, kjer je 0 je konstanten

azimutalni kot, f pa je polarni kot, ki se spreminja vzdolž osi z kot

dz /2 in je d hod. Tanko plast takega materiala z debelino prav d

stisnemo med dve razsežni ravni plošči z različnima temperaturama (T1 in

T2) in opazujemo toplotni tok. Določi, kako se v stacionarnem stanju

spreminja gostota toplotnega toka v opisani plasti anizotropnega

materiala?

(Opisan problem ustreza približnemu izračunu prevodnosti LCD 90TN

tekočekristalnega zaslona.)

3. Kroglica z maso m je preko treh vijačnih vzmeti z elastično konstanto k

pripeta na okrogel okvir. Vzmeti so vpete tako, da so nenapete in med

seboj oklepajo kot 120°, če obroč in kroglica ležijo vodoravno na tleh.

Določi lastna nihanja kroglice (frekvence in vektorje) v ravnini okvirja, če

okvir postavimo v navpično ravnino in je ena od vzmeti točno navpična!

Kakšna pa so lastna nihanja v ravnini okvirja, če je le-ta še vedno v

navpični ravnini, ena od vzmeti pa oklepa kot 30° z navpičnico?

4. (Verjetnost – predbolonjska) Opazujemo razpad po dveh atomskih jeder, z

razpadno konstanto t. Ko razpade prvo jedro sprožimo "štoparico", ko

razpade drugo jedro, štoparico ustavimo. Poišči verjetnosti porazdelitev

časovnih razlik, ki jih izmeri štoparica.

Matematična fizika I – 5. 3. 2014 – 3. izpit

1. Izračunaj ravnovesno odvisnost kota enotskega molekulskega polja

)0),(sin),((cos zzn

v TN tekočekristalnem zaslonu vzdolž osi z, ki

prebada zaslon. Zaslon leži v xy ravnini in je debeline d. Ravnovesni profil

kota f znotraj tekočekristalne plasti v zaslonu ustreza minimumu gostote

Frankove elastične proste energije 2

,,,2

1

zyxji j

i

x

nKf ,

kjer je K elastična konstanta, ni so komponente molekulskega

ureditvenega polja, xj pa so kartezične koordinate. Minimum se določi z

uporabo Euler-Lagrangevega formalizma za iskanje minimuma,

0

/

jj xq

f

dx

d

q

f, za vsak j, kjer je q količina, po kateri se minimizira.

V TN zaslonu sta smeri ureditvenega polja n

na obeh omejujočih

površinah tekočekristalne plasti točno pravokotne. Skiciraj tudi tako polje.

2. Nabito kroglico z nabojem 1 mC, pritrjeno na elastično vrvico, držimo tik

nad pozitivno elektrodo znotraj velikega ploščatega kondenzatorja. Čez

koliko časa bo kroglica dosegla najvišjo točko, ko jo izpustimo? Masa

kroglice je enaka 50g, vrvica je dolžine 5cm, razmik med ploščama

kondenzatorja 10 cm, napetost na kondenzatorju 100 kV in elastična

konstanta vrvice 10 N/m.

3. V ogliščih ploščate škatle velikosti a x a x b se nahajajo enaki naboji e.

Izračunaj, kje vzdolž navpične simetrale, ki prebada škatlo, je največja sila

na električni dipol pe, ki kaže vzdolž simetrale. V računu predpostavi, da je

b << a. Nato izračunaj, za koliko se ta maksimalna sila spremeni, če

električni dipol nagnemo za kot 20° v smeri enega od oglišč.

4. (Verjetnost – predbolonjska) Lovec se neprevidno igra s svojo puško, tako

da jo obrača v vse možne smeri v prostoru (enakomerno po prostorskem

kotu!), ta pa se mu na njegovo nemajhno presenečenje enkrat po naključju

sproži. Zapiši verjetnostno porazdelitev po dometu krogle, če poznaš

začetno hitrost v0 izstrelka in težni pospešek g, popolnoma zanemariš

zračni upor, ter predpostaviš, da je lovčeva telesna višina zanemarljiva v

primerjavi z v02/g, ter da so tla okrog lovca popolnoma ravna. Dodatno

vprašanje: Kolikšna je verjetnost, da krogla odleti dlje od povprečnega

dometa?

2014 Kolokviji

Matematična fizika I – 12. 3. 2014 – 1. kolokvij Gradimo pasivno hišo, ki mora zadostovati nekaterim predpisom in željam, obenem pa želimo optimizirati njeno obliko, tako da bo imela hiša najmanjše toplotne izgube zaradi prevajanja skozi stene in streho (tla so dobro izolirana, zato lahko izgube skoznja zanemarimo). Hiša je enokapnica s predpisano višino slemena H=3.5m, dolžino b=10m in površino obeh enakih (frontnih) sten A=20m2. Ob takih predpisih in željah je optimalna širina hiše (ko so toplotne izgube najmanjše) a=6.10m. Ob sami gradnji pa se izkaže, da so mojstri nenatančni in sicer postavijo sleme za 10cm nižje od predvidenega. Da hiša ostane toplotno optimalne oblike, lahko korigiramo samo s spremembo širine hiše, saj mora površina fasade obeh frontnih sten A ostati enaka. Za koliko moramo spremeniti širino hiše?

V računu predpostavi, da je toplotna prestopnost strehe in zidov enaka.

Matematična fizika I – 1. 4. 2014 – 2. kolokvij Navpična žica je prispajkana na vodoravno razsežno prevodno homogeno ploščo. Izračunaj, kolikšna je jakost magnetnega polja in njena smer na višini h=5cm od plošče in 3cm od žice, ko po navpični žici pošljemo tok 5A. V morebitno pomoč:

)(

]/)()([)(

sin

sin2

2

dccd

cdcxTanArcTanadbc

d

bxdx

xdc

xba

Matematična fizika I – 16. 4. 2014 – 3. kolokvij V kapljici nematskega tekočega kristala z radijem R ustvarimo molekularno ureditveno polje, ki ima ali radialno obliko rzyxrn /),,()(

ali pa hiperbolno

obliko rzyxrn /),,()(

. Določi prosto energijo molekularnega polja F za obe

obliki polja, ki jo izračunaš kot:

dVfF FO

E ,

kjer integral teče po celotnem volumnu kapljice, FO

Ef pa je oblike:

. K1, K2 in K3 so pahljačasta, zvojna in upogibna elastična konstanta nematika. V katerem režimu konstant ima hiperbolno polje nižjo prosto energijo?

Matematična fizika I – 14. 5. 2014 – 4. kolokvij Razsežen ploščat kondenzator s površino plošč S in debelino d je napolnjen z enoosnim anizotropnim dielektrikom, kateremu se dve lastni smeri dielektričnega tenzorja vrtita vzdolž smeri x za kot f=kx - glej skico spodaj. Izračunaj kapacitivnost takega kondenzatorja.

Matematična fizika I – 28. 5. 2014 – 5. kolokvij Tanka palica z maso 0.1kg in dolžino 0.5m je na vsakem koncu z vzmetjo (s konstanto 2000N/m in nenapeto dolžino 0.2m) vpeta med navpični steni, tako da je v ravnovesju vodoravna. Določi obe translacijski in rotacijsko lastno frekvenco za majhna nihanja v vodoravni ravnini. Steni sta na razdalji 1m, torej sta vzmeti prednapeti; poves sistema zaradi teže je zanemarljiv.

Izpiti Matematična fizika I – 27. 6. 2014 – 1. izpit

1. Okrogel balon z radijem 10cm in maso m=100g potopimo pod vodo. S

kolikšno hitrostjo se balon izstreli iz vode (torej koliko je hitrost v trenutku,

ko je ves balon iz vode), če ga mirujočega izpustimo, ko je središče

balona 0.3m pod vodo? Upor balona v vodi in zraku zanemari.

2. Točkast naboj z maso m in nabojem e je ujet v ravnini znotraj

enakostranične trikotne kletke s stranico a, ki ima v vsakem vogalu

(različne) fiksne enako-predznačene naboje e1, e2 in e3. Določi lastne

frekvence in lastne načine (vektorje) nihanja tako ujetega naboja okrog

ravnovesne lege.

3. Na gumo se v zunanji obod na razdalji x od roba zarije oster kamenček z

maso m, zato se na os vrtenja kolesa pojavi dodaten neželen navor. Kam

na rob notranjega oboda gume naj namestimo dve protiuteži m1 in m2, da

bomo kompenzirali prisotnost kamenčka. Kolikšni naj bosta ti dve masi?

Za gumo predpostavi da je v obliki valjastega kolobarja z notranjim radijem

a, zunanjim radijem b ter širino gume d.

Namig: Razmisli o legi težišča in o deviacijskem momentu.

4. (Verjetnost – predbolonjska) Petdeset igralnih kock in sto kovancev, na

katere na eno stran napišemo 0 in na nasprotno pa 2, vržemo po mizi.

Kolikšno je povprečje in kolikšna varianca vsote pik? Oceni verjetnost, da

je vsota pik večja od 300.

Matematična fizika I – 10. 10. 2014 – 2. izpit

1. Sferična koloidna delca sta povezani z vzmetjo z elastično konstanto k, in

potopljena v viskozno tekočino z viskoznostjo g. Izračunaj lastne

frekvence in lastne nihajne načine obeh delcev, pri čemer upoštevaj, da

med gibajočima delcema deluje tudi t.i. hidrodinamska sklopitvena sila, ki

je za izbran delec sorazmerna razliki hitrosti sosednjega delca in delca

samega.

2. Prevodna žica je zakopana v zemljo in zaradi prevajanja v okolico tok po

žici pada z razdaljo. Izračunaj, kakšno je magnetno polje okrog ravne žice

dolžine l, po kateri tok linearno pade z I0 na začetku na I1 na koncu žice.

3. Obravnavamo stik med dvema anizotropnima toplotnima prevodnikoma A

(lA1≠ lA2= lA3) in B (lB1≠ lB2= lB3), ki imata lastne osi tenzorja topolotne

prevodnosti kot kaže slika spodaj. Izračunaj, kolikšna je in kam kaže

gostota toplotnega toka v prevodniku B, če je v sredstvu A gradient

temperature enak (DTx,DTy,0). {Glej sliko.}

4. (Verjetnost – predbolonjska) Dobrodelna loterija, na kateri “zadene” 1/3 vseh srečk, ima zelo pestro lestvico dobitkov, tako da njihovo pogostnost najlaže aproksimiramo z zvezno verjetnostno gostoto

w(x) = (1/r) e−x/r,

kjer je x velikost dobitka, izražena v enotah cene srečke, parameter r pa ima vrednost 3. Kolikšna je povprečna vrednost dobitka? Kolikšna je verjetnost, da bo naključni kupec dobil povrnjeno vrednost svoje srečke? Kolikšna je verjetnost, da bo par igralcev, kjer kupi vsak eno srečko, skupaj zaslužil več, kot sta plačala?

2015 Kolokviji

Matematična fizika I – 19. 3. 2015 – 1. kolokvij Na ravni cesti začne proti nam enakomerno pospeševati policijski avtomobil z vključeno sireno. Avtomobil je na začetku miroval na razdalji 100 m vzdolž ceste od nas, mi pa stojimo 10m stran od ceste. Izračunaj, kje je avtomobil oddal zvok, ki ga slišimo z najvišjo frekvenco? Kje pa je oddal zvok, ki ga slišimo z najnižjo frekvenco?

Matematična fizika I – 2. 4. 2015 – 2. kolokvij Po dolžini enakomerno nabito žico dolžine l zvijemo v logaritemsko spiralo, ki je v cilindričnih koordinatah (r,f,z) parametrično opisana kot:

0, kae

kjer sta a in k konstanti (k = ctg a, kjer je tipično a < p/2). Glej sliko primera take spirale spodaj (za a=1 in a=0.3p). Celoten naboj na žici naj bo enak e0. Kolikšen je električni potencial v središču spirale za poljuben a in k? Kolikšno pa je električno polje v središču spirale?

Matematična fizika I – 22. 4. 2015 – 3. kolokvij Magnetni vektorski potencial podaja izraz:

42

0 2

2 r

nrrm

r

nmA

,

kjer je r

krajevni vektor, r njegova velikost, m

in n

pa sta konstantna enotska

vektorja. (i) Izračunaj magnetno polje AB

. (ii) Izračunaj divergenco

vektorskega polja A

? (iii) Določi silo na magnetni dipolni moment, ki se nahaja

na mestu R

.

40 20 20 40

40

20

20

40

središče

spirale

Matematična fizika I – 13. 5. 2015 – 4. kolokvij Obravnavamo prevajanje toplote skozi razsežno toplotno anizotropno plast debeline d, ki jo postavimo med dva velika toplotna rezervoarja z razliko temperatur DT . Anizotropna plast je sestavljena iz dveh medsebojno dobro zmešanih komponent A in B z masnima deležema wA in wB, ki sta toplotno anizotropni, in sicer z različnima enoosnima tenzorjema toplotne prevodnosti. Izredna lastna os prve komponente oklepa kot q1 z normalo na plast, izredna lastna os druge komponente kot q2 , eno od dveh rednih lastnih osi pa imata obe komponenti vzporedno. Izračunajte gostoto toplotnega toka, ki teče v smeri pravokotno na plast. Določi tudi, kakšna bi morala biti sestava snovi (relativni kot med izrednima lastnima smerema obeh komponent in masna deleža snovi), da bi bila taka snov efektivno izotropna.

Matematična fizika I – 4. 6. 2015 – 5. kolokvij Majhna kroglica z maso m je preko treh različnih vzmeti –s konstantami k1, k2 in k3- vpeta na okrogel obroč, ki leži v vodoravni ravnini in sicer tako, da je v ravnovesju kot a med vzmetema 1 in 2 enak kotu med vzmetema 1 in 3, kot med vzmetema 2 in 3 pa je enak 2p-2a. Dolžina nenapetih vzmeti je ravno enaka radiju obroča R. Določi lastne frekvence in lastne vektorje za nihanje kroglice v vodoravni ravnini. Nato še izračunaj spremembo lastnih frekvence, če na kroglico deluje upor viskozne tekočine z viskoznostjo g.

Izpiti Matematična fizika I – 29. 6. 2015 – 1. izpit 1. Štirje do vrha polni čebrički so postavljeni v kvadrat, pri čemer je v prvem

čebričku (Čebriček 1) obarvana voda s koncentracijo barvila c0, v ostalih treh

čebričkih pa je samo voda. Izračunajte, kako se s časom spreminja

koncentracija barvila po čebričkih, če v Čebriček 1 začnemo točiti čisto vodo s

stalnim volumskih pretokom Fv, vsa voda iz Čebrička 1 pa se enakomerno preliva

v Čebrička 2 in 3, in nato iz 2 in 3 v Čebriček 4? Kako pa se koncentracije

spreminjajo s časom, če povežemo še čebrička 1 in 4, tako da se voda enako

preliva iz Čebrička 1 v 2, 3 in 4, nato pa iz 2 in 3 v 4. Predpostavite lahko idealno

mešanje vode po čebričkih.

2. Iz dveh različnih magnetno anizotropnih enoosnih kristalov izrežemo kocki

velikosti 2a x 2a x 2a. V prvi kocki se izredna os magnetne susceptibilnosti

spreminja kot rzyxn /),,(

, v drugi pa kot rzyxn /),,(

, kjer je ),,( zyxr

radij

vektor iz središča posamezne kocke. Izračunajte navor na vsako od kock, če jih

postavimo v homogeno magnetno polje B, ki je nagnjeno za kot v smeri ene

od stranic kock )cos,0,(sin BB

.

Namig: Prostorsko odvisen tenzor magnetne suspetibilnosti se lahko zapiše kot

nnk

, kjer je k konstanta magneten anizotropije, n

pa je izredna lastna os.

3. V isti točki imaš N električnih dipolov, ki vsi ležijo v vodoravni ravnini, vsak pa

je zavrten za kot 2p/N glede na prejšnjega. Določi, za kateri N je sila na

električni naboj e, ki je postavljen navpično na višini h nad dipoli največja?

Kolikšna je ta sila za poljuben N?

Matematična fizika I – 14. 9. 2015 – 2. izpit 1. Vrtinčni tok tekočine okrog navpičnega dolgega cilindra se lahko opiše v

cilindričnih koordinatah s potencialom tokovnega polja oblike:

kjer je R radij cilindra, G je vrtinčnost, r pa je oddaljenost od osi cilindra. Izračunaj

hitrostno polje ter določi silo na cilinder v smeri toka in pravokotno na tok.

2. Okrogla dežna kaplja z radijem r0 pada skozi zrak z viskoznostjo h, ko zadane

oblak debeline h, kjer se viskoznost zraka poveča za 10%. Določi, kako velika je

kapljica, ko preleti tak enakomerno gost oblak, če pobere vso vodo, ki je

neposredno na njeni poti. Predpostaviš lahko, da sta sila upora in sila teže stalno

uravnovešena. Masna volumska koncentracija vode v zraku znotraj oblaka je

enaka n.

3. Tanek drog vpnemo na vsakem koncu v tla in strop preko elastičnih vzmeti, tako da je drog v ravnovesju navpičen. Izračunaj translacijske (3) in rotacijski (2) lastni frekvenci za nihanja droga. Drog ima maso m, dolžino 0.7h, stop je visok h, dolžina posamezne nenapete vzmeti je enaka 0.1h, konstanta vzmeti pa je enaka k. Matematična fizika I – 7. 1. 2016 – 3. izpit 1. Alpinist z maso 70kg se spušča hkrati privezan na dve različni vrvi, ki visita

navpično preko roba previsne police. Za koliko sta vrvi raztegnjena, ko je alpinist

10m pod previsom, če je dolžina vsake neraztegnjene vrvi 200m. Debelina

vsake vrvi (premer) je 0.8cm, masa na dolžinsko enoto je 0.05kg/m, elastični

modul prve vrvi je E1=10GPa, druge pa elastični modul prve vrvi je E2=3GPa.

2. V plasti nematskega tekočega kristala z debelino d ustvarimo molekularno ureditveno polje, ki se po debelini plasti (vzdolž z) spreminja kot

)0),sin(),(cos()( kzkzrn

, kjer je k konstanta. Določi prosto energijo

molekularnega polja F za dano polje, ki jo izračunaš kot: dVfF FO

E , kjer

integral teče po celotnem volumnu plasti, FO

Ef pa je oblike:

. K1, K2 in K3 so pahljačasta, zvojna in upogibna elastična konstanta nematika. Kako se prosta energija spremeni, če pa je molekularno polje oblike

)0),cos(),(sin()( kzkzrn

?

3. Lahko palico vodoravno vpnemo na vsakem koncu med dve steni preko elastičnih vzmeti, tako da je v ravnovesju vodoravna. Izračunaj translacijske (3) in rotacijski (2) lastni frekvenci za nihanja palice. Palica ima maso m, dolžino 0.8L, steni sta na razdalji L, dolžina posamezne nenapete vzmeti je enaka 0.05L, konstanta vzmeti pa je enaka k.