KmitoŁtovØ charakteristiky FÆzory a...

Úvod Kmitočtové závislosti Obecný postup Dílčí charakteristiky

X31EO2 - Elektrické obvody 2

Kmitočtové charakteristiky

Doc. Ing. Petr Pollák, CSc.

Letní semestr 2005/2006

!!! Volné šíření není povoleno !!!


Fázory a spektra

Fázor harmonického průběhu

Ûm = Um · e jϕ ⇔ u(t) = Um sin(ωt + ϕ)

Obsahuje pouze informaci o amplitudě a fázi dané kmitočtové složky

Hodnota není závislá na (úhlovém) kmitočtu

Spektrum časového průběhu

U(jω) = F {u(t)}

Obsahuje informaci o amplitudě a fázi pro více kmitočtových složek

Periodické průběhy - (diskrétní) spektrum vždy existuje

Neperiodické průběhy - spektrum neexistuje pro všechny průběhy


Obvodové funkce

Obvodová funkce ve frekvenční oblasti

F (jω) =Û2Û1

=U2(jω)U1(jω)

Poměr mezi dvěma fázory (spektry)Nemá odpovídající časovou reprezentaci (HUS)Je závislá na kmitočtu (a obvodových parametrech)

Obvodová funkce v operátorové oblasti

F (p) =U2(p)U1(p)

Poměr mezi dvěma Laplaceovými obrazyPři nulových počátečních podmínkách lze zaměnit F (p) a F (jω)


Příklad kmitočtového přenosu dvojitého RC článku

Napěťový přenos naprázdno:

P(jω) =10−6(jω)2

1 + 3 10−6 jω + 10−6(jω)2

(= F (jω)

)→ komplexní funkce reálné proměnné, tj. (úhlového kmitočtu ω)

⇓??? JAK REPREZENTOVAT či ODHADNOUT tuto závislost ???


Zobrazení kmitočtové závislosti obvodových funkcí

v komplexní rovině - hodograf

reálná & imaginární částF̂ (jω) = RE{F̂ (jω)}+ j · IM{F̂ (jω)}

modulová & fázová charakteristikaF̂ (jω) = |F̂ (jω)| · e jϕ(jω)

logaritmická stupnice pro kmitočtovou osu

modulová charakteristika v decibelech [dB]|F̂ (jω)|dB = 20 · log10 |F̂ (jω)|

Bodeho charakteristikylogaritmická stupnice kmitočtumodulová charakteristika v dB a fázová v radiánech

→ možnost approximace pomocí asymptot !!!


Hodograf - zobrazení v komplexní rovině

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Re { P(jω) }

Im {

P(jω

) }

ω [rad] ↑


Modulová a fázová charakteristika - lineární měřítkokmitočtu

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω [rad]

|P(j)

|

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x 104

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

ω [rad]

angl

e [ P

(jω) ]


Modulová a fázová charakteristika - logaritmické měřítkokmitočtu

101 102 103 104 1050

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω [rad]

|P(jω

)|

101 102 103 104 1050

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

ω [rad]

angl

e [ P

(jω) ]


Modulová charakteristika - lineární a dB

101 102 103 104 1050

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω [rad]

|P(jω

)|

101 102 103 104 105−50

−40

−30

−20

−10

0

ω [rad]

|P(jω

)| dB


Asymptotické aproximace modulové charakteristiky

101 102 103 104 105−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

ω [rad]

|P(jω

)| dB


Obvodová funkce v součinovém tvaru

F̂ (jω) = K · F̂1(jω) · F̂2(jω)F̂3(jω)

= K · |F̂1(jω)| · |F̂2(jω)||F̂3(jω)|

· e j(ϕ1(jω)+ϕ2(jω)−ϕ3(jω))

Modulová charakteristika v dB:

|F̂ (jω)|dB = 20 log10 |F̂ (jω)|

= 20 log10 |K |+20 log10 |F̂1(jω)|+20 log10 |F̂2(jω)|−20 log10 |F̂3(jω)|

Fázová charakteristika:

ϕ(jω) = ϕ1(jω) + ϕ2(jω)− ϕ3(jω)


Nulové body a póly obvodové funkce

Racionální lomená přenosová funkce:

F̂ (jω) =a0 + a1jω + a2(jω)2 + · · ·+ an(jω)n

b0 + b1jω + b2(jω)2 + · · ·+ bm(jω)m

zk . . .nulové body (kořeny čitatele)

pl . . .póly (kořeny jmenovatele)

Rozklad racionální lomené funkce do součinového tvaru:

F̂ (jω) =anbm·

n∏k=1

(jω − zk)

m∏l=1

(jω − pl)


Součinový tvar pro odhad kmitočtové charakteristiky


b0 + b1jω + b2(jω)2 + · · ·+ bm(jω)m

F̂ (jω) =a0b0·

n∏k=1

(1− jωzk

)m∏l=1

(1− jωpl

) pro zk 6= 0, pl 6= 0


Tvar pro odhad kmitočtové charakteristiky (pokrač.)


b0 + b1jω + b2(jω)2 + · · ·+ bm(jω)m

V případě výskytu nulových pólů a nulových bodů

F̂ (jω) =

n∏k=1

(1− jωzk

)(jω

ω0

)q·m∏l=1

(1− jωpl

) =(jω

ω0

)q·n∏k=1

(1− jωzk

)m∏l=1

(1− jωpl

)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

prozk 6= 0pl 6= 0

Obvodové funkce = polynomy s reálnými koeficienty =⇒ nuly a póly:

nulové a reálné - výše uvedený tvar

pouze reálné - předchozí slide

dvojice komplexně združených(reálný kvadratický trojčlen, bude zmíněno později)


Nulový nulový bod - zk = 0 - ideální derivační člen

F (jω) =jωω0

Modulová charakteristika|F (jω)|dB = 20 log

∣∣∣ jωω0 ∣∣∣|F (jω)|dB = 20 log ωω0|F (jω0)|dB = 20 log 1 = 0|F (j10ω0)|dB = 20 log 10 = 20

Fázová charakteristikaϕ(jω) = π2 [rad]. . . ryze imaginární

ω [s−1]

|F (jω)| [dB]

ω0 10ω0

20

0

ω [s−1]

ϕ(jω) [rad]

π2

0


Nulový pól - pk = 0 - ideální integrační člen

F (jω) =1jωω0

Modulová charakteristika|F (jω)|dB = −20 log

∣∣∣ jωω0 ∣∣∣|F (jω)|dB = −20 log ωω0|F (jω0)|dB = 0|F (j10ω0)|dB = −20

Fázová charakteristikaϕ(jω) = −π2 [rad]. . . ryze imaginární

ω [s−1]

|F (jω)| [dB]

ω0 10ω0

−20

0

ω [s−1]

ϕ(jω) [rad]

−π2

0


Nulový pól a nulový nulový bod

Nulový nulový bod

F1(jω) =jωω0

Nulový pól

F (jω) =1jωω0

=1

F1(jω)

1|F1(jω)|e jϕ1(jω)

=1

|F1(jω)|e−jϕ1(jω)

Modulová charakteristika:

20 log1

|F1(jω)|= 20 log 1−20 log |F1(jω)|

20 log |F (jω)| = −20 log |F1(jω)|

Fázová charakteristika:

ϕ(jω) = −ϕ1(jω)

ω [s−1]

|F1(jω)| [dB]

|F (jω)| [dB]

ω0 10ω00, 1ω0

20

−20

0

ω [s−1]

ϕ(jω)

π2

ϕ1(jω)

−π2

0


Záporný reálný nulový bod - zk = −ω0

F (jω) = 1 +jωω0

Modulová charakteristika

|F (jω)|dB = 20 log

√1 +

(ω

ω0

)2 ω [s−1]

|F (jω)| [dB]

3ω0 10ω0

20

ω > ω0: F (jω).= jωω0

|F (jω)|dB = 20 · log ωω0

ω = ω0: F (jω) = 1 + j- bod zlomu modulové charakteristiky- maximální odchylka od asymptot - δmax = 20 log10

√2 = 3 dB


Záporný reálný nulový bod - zk = −ω0

F (jω) = 1 +jωω0

Fázová charakteristika

ϕ(jω)| = artan ωω0

ω [s−1]

ϕ(jω) [rad]

π4

0.1ω0 ω0 10ω0

π2

ω > ω0 : F (jω).=jωω0

ϕ(jω) = π2 rad

ω = ω0 : F (jω0) = 1 + j ϕ(jω0) = π4 rad

Vlastnosti asymptotické aproximace :- pro 0.1ω0 < ω < 10ω0 změna o +π2 (směrnice

π4 rad/dek )

- 2 body zlomu fázové charakteristiky 0.1ω0 a 10ω0


Záporný reálný pól - pk = −ω0

F (jω) =1

1 + jωω0

F1(jω) . . . funkce pro reálnýnulový bod

F (jω) =1

F1(jω)

⇓

|F (jω)|dB = −|F1(jω)|dB

ϕ(jω) = −ϕ1(jω)

ω [s−1]

|F (jω)| [dB]

ω0 10ω0

−20

ω [s−1]

ϕ(jω) [rad]

0.1ω0 ω0 10ω0

−π2


Kladná reálná nula, kladný reálný pól - zk∣∣∣pk = ω0

F (jω) = 1− jωω0

F (jω) =1

1− jωω0

Jedná se kořeny v pravé komplexní polorovině !!

F (jω) = 1− j ωω0

=

(1 + j

ω

ω0

)∗= F ∗1 (jω) = |F1(jω)|e−ϕ(jω)

POZN.: Póly přenosové funkce jsou rovny kořenům charakteristickérovnice obvodu. Stabilní (konečnou) odezvu x(t) = Keλt dostanemepouze pro záporné hodnoty λ.Pro stabilní obvody musí všechny póly ležet v levé polorovině. V pravépolorovině mohou být rozloženy pouze nulové body.


Kladná reálná nula, kladný reálný pól - zk∣∣∣pk = ω0

F (jω) = 1− jωω0

ω [s−1]

|F (jω)| [dB]

ω0 10ω0

20

ω [s−1]

ϕ(jω) [rad]

0.1ω0 ω0 10ω0

−π2

F (jω) =1

1− jωω0

ω [s−1]

|F (jω)| [dB]

ω0 10ω0

−20

ω [s−1]

ϕ(jω) [rad]

0.1ω0 ω0 10ω0

π2


Násobná konstanta

F (jω) = ±K

Charakteristiky (modulová i fázová) jsou konstantní→ nezávisí na kmitočtu→ v důsledku to znamená posun charakteristik ve směru osy y

Modulová charakteristika - |F (jω)| = 20 · log10 |K ||K | > 1 . . . 20 · log10 |K | > 0 . . . posun nahoru|K | < 1 . . . 20 · log10 |K | < 0 . . . posun dolů

Fázová charakteristika - F (jω) = ±KK > 0 . . . ϕ(jω) = 0 . . . fázová chka se nemění

K < 0 . . . ϕ(jω) = ±π . . . fázový posun o π


n-násobný záporný nulový bod

F (jω) =(

1 +jωω0

)nω > ω0 : F (jω).=

(jωω0

)n|F (jω)|dB = n · 20 · log10 ωω0 ϕ(jω) = n ·

π2

sklon modulové charakteristiky - ± n · 20 [dB/dek]sklon fázové charakteristiky - ± n · π4 [rad/dek]výsledný fázový posuv - ± n · π2 [rad ]


n-násobný nulový bod / pól

F (jω) =(jωω0

)2

ω [s−1]

|F (jω)| [dB]

ω0 10ω0

4020

ω [s−1]

ϕ(jω) [rad]

π2

π

0

F (jω) =1(

1 + jωω0

)2

ω [s−1]

|F (jω)| [dB]

ω0 10ω0

−40−20

ω [s−1]

ϕ(jω) [rad]

0.1ω0 ω0 10ω0

−π2−π


Dvojice komplexně združených pólů - p1|2

F (jω) =1

1 + 2a jωω0 +(jωω0

)2Modulová charakteristika :

ω > ω0 :

F (jω) .= 1/(jω

ω0

)2|F (jω)|dB = −40 log

ω

ω0

ω [s−1]

|F (jω)| [dB]

ω0 10ω0

−40

bod zlomu modulovécharakteristiky ω = ω0

asymptoty stejné jako prodvojnásobný reálný pól


Dvojice komplexně združených pólů - p1|2Chyba asymptotické aproximace

ω [s−1]

|F (jω)| [dB]

ω0 10ω0

−40

F (jω) =1

1 + 2a jωω0 +(jωω0

)2ω = ω0 : F (jω) =

12aj

δmax = −20 log10 2|a| [dB]

|a| = 1 - dvojnás. kořen

|a| < 1 - dva kompl. k.a = 0.8, 0.5, 0.2, 0.01

|a| > 1 - dva reál. k.(možný rozklad)


Dvojice komplexně združených pólů - p1|2Fázová charakteristika

ω [s−1]

ϕ(jω) [rad]

0.1ω0 ω0 10ω0

−π

F (jω) =1

1 + 2a jωω0 +(jωω0

)2

Pro menší |a| je rychlejšípřechod mezi úrovněmi0 a −π.

ÚvodKmitoètové závislostiObecný postupDílèí charakteristiky

KmitoŁtovØ charakteristiky FÆzory a...

Documents

Transcript of KmitoŁtovØ charakteristiky FÆzory a...