Kb ⋅∆ε - unal.edu.co

APLICACIÓN DE UN MODELO CONSTITUTIVO A UNA ROCA LODOSA

43

• Columna tres (3): En esta columna se almacenarán los “n” incrementos en los esfuerzos cortantes equivalentes asumidos por el cemento (Δqb) durante la modelación, estos incrementos se pueden calcular a través del modelo constitutivo en su versión incremental (Ecuación 3‐23) o a través de la Ecuación 2‐42.

bs

bb Kq ε∆⋅=∆ (Ec. 3‐23)

• Columna cuatro (4): En esta columna se almacenarán los esfuerzos normales

corrientes para la iteración “i” asumidos por el cemento, esto se logra acumulando todos los incrementos en los esfuerzos normales previos que se encuentran calculados en la columna dos de esta matriz. La expresión para el cálculo del esfuerzo corriente es la siguiente:

bi

bi

bi ppp ∆+= −1 (Ec. 3‐24)

• Columna cinco (5): En esta columna se almacenarán los esfuerzos cortantes equivalentes corrientes para la iteración “i” asumidos por el cemento, esto se logra acumulando todos los incrementos en los esfuerzos cortantes equivalentes previos que se encuentran calculados en la columna tres de esta matriz. La expresión para el cálculo del esfuerzo cortante corriente es la siguiente:

bi

bi

bi qqq ∆+= −1 (Ec. 3‐25)

• Columna seis (6): Corresponde al cálculo del incremento en la energía de deformación producida por los esfuerzos normales en el cemento (Δubvol); este incremento se calcula a través de la Ecuación 3‐26 que corresponde a la solución numérica de la primera parte de la Ecuación 2‐31.

bivol

bi

bivol pu ε∆⋅=∆ (Ec. 3‐26)

• Columna siete (7): Corresponde al cálculo del incremento en la energía de deformación producida por los esfuerzos cortantes equivalentes en el cemento (Δubs); este incremento se calcula a través de la Ecuación 3‐27 que corresponde a la solución numérica de la segunda parte de la Ecuación 2‐31.

bis

bi

bis qu ε∆⋅=∆ (Ec. 3‐27)

CAPÍTULO 3

44

• Columna ocho (8): corresponde al cálculo del incremento en la energía de deformación total, es decir a la suma de las columnas seis (6) y siete (7) de la presente matriz tal y como lo muestra la Ecuación 3‐28.

bis

bivol

bitot uuu ∆+∆=∆ (Ec. 3‐28)

• Columna nueve (9): en esta columna se destina el valor de la energía de deformación acumulada hasta la iteración considerada. Para su cálculo se debe recurrir a la expresión 3‐29.

bitot

bitot

bitot uuu ∆+= −1 (Ec. 3‐29)

• Columna diez (10): En esta columna se almacenarán los diferentes valores que asume la variable de daño L durante las diferentes iteraciones, el valor de L se calcula con la Ecuación 2‐32 siempre y cuando el valor de la energía total de deformación sea superior al valor de energía umbral (r0).

• Columna once (11): En esta columna se almacenarán los diferentes valores

que asume el módulo Bulk del cemento Kb durante las diferentes iteraciones o etapas de carga dentro del modelo, el valor de Kb se calcula con la Ecuación 2‐28 para el nivel de daño determinado en la iteración inmediatamente anterior (Li ‐1).

• Columna doce (12): En esta columna se almacenarán los diferentes valores que asume el módulo de rigidez al corte del cemento Gb durante las diferentes iteraciones o etapas de carga dentro del modelo, el valor de Gb se calcula con la Ecuación 2‐29 para el nivel de daño determinado en la iteración inmediatamente anterior (Li ‐1). En la Figura 3‐8 se muestra la primera iteración en la matriz Mbond los únicos valores que no son cero son: el parámetro estructural χ, el módulo Bulk y el módulo de rigidez al corte que corresponden a las propiedades del material en su estado intacto.


45

n

iLECI

GKEIGKLUUUUqpqp

bini

biniini

bbbtot

btot

bs

bvol

bbbb

000000000χχ ∑∑∑ ∆∆∆∆∆

Figura 3‐8 Vista general de la primera iteración en la matriz Mbond

h. Matriz Mdefor: En este arreglo se almacenarán todos los incrementos de

deformaciones usados dentro del modelo, se incluyen los incrementos en las deformaciones en los diferentes componentes de la roca, considerando si son elásticos, plásticos o totales. A continuación se relaciona cada una de las doce columnas de esta matriz.

• Columna uno (1): Corresponde al incremento elástico de la deformación volumétrica en la macro‐estructura, su cálculo se hace a través de la Ecuación 2‐5 en su versión de incrementos considerando que la variación en la succión es cero (Ecuación 3‐30).

M

i

MieM

ivol Kp

1−

∆=∆ε (Ec. 3‐30)

• Columna dos (2): Corresponde al incremento de la deformación volumétrica

en la micro‐estructura, su cálculo se hace a través de la Ecuación 2‐3 ó de la Ecuación 2‐4 en su versión incremental (Ecuación 3‐31).

( )m

i

Mim

ivol Kspd

d1−

+=ε (Ec. 3‐31)

• Columna tres (3): En esta columna se suman los incrementos en las

deformaciones elásticas calculados en las columnas anteriores para obtener el incremento de la deformación volumétrica elástica externa. La expresión matemática para su cálculo es la Ecuación 3‐32.

emivol

eMivol

eextivol εεε ∆+∆=∆ (Ec. 3‐32)

CAPÍTULO 3

46

• Columna cuatro (4): En esta columna se almacenarán los incrementos en las deformaciones elásticas cortantes en la macro‐estructura, para su cálculo se debe usar la Ecuación 2‐21 en su versión para incrementos de esfuerzos cortantes (Ecuación 3‐33).

MiM

eMis q

G∆=∆

31ε (Ec. 3‐33)

• Columna cinco (5): Corresponde al incremento en la deformación

volumétrica total en la macro‐estructura producido por el incremento en el esfuerzo normal en la matriz arcillosa, su cálculo se hace a partir de los volúmenes en la macro‐estructura tal y como lo muestra la Ecuación 3‐34.

Mi

Mi

MitotM

ivol vvv

1

1

−

− −=∆ε (Ec. 3‐34)

• Columna seis (6): Corresponde al incremento en la deformación volumétrica

total en la micro‐estructura producido por el incremento en el esfuerzo normal en la matriz arcillosa, su cálculo se hace a partir de los volúmenes en la micro‐estructura tal y como lo muestra la Ecuación 3‐35.

mi

mi

mitotm

ivol vvv

1

1

−

− −=∆ε (Ec. 3‐35)

• Columna siete (7): En esta columna se suman los incrementos en las

deformaciones totales calculados en las dos columnas anteriores para obtener el incremento de la deformación externa total volumétrica, por lo tanto la expresión matemática para su cálculo es la Ecuación 3‐36.

totmivol

totMivol

totextivol εεε ∆+∆=∆ (Ec. 3‐36)

• Columna ocho (8): En esta columna se almacenan los incrementos en las

deformaciones plásticas volumétricas de la macro‐estructura, su cálculo se hace a partir de la diferencia entre el incremento calculado en la columna cinco y el incremento calculado en la columna uno. La expresión matemática para su cálculo es la Ecuación 3‐38.

eMivol

totMivol

pMivol εεε ∆−∆=∆ (Ec. 3‐38)


47

• Columna nueve (9): En esta columna se almacenan los incrementos en la deformación plástica cortante de la macro‐estructura, su cálculo se hace a través de la versión para incrementos de la Ecuación 2‐19 (Ecuación 3‐39).

( )[ ]pMivolM

iM

i

MiMp

is spskpMq

εα

ε ∆−⋅+

∆=∆

02 2

2 (Ec. 3‐39)

• Columna diez (10): Corresponde al incremento en la deformación cortante

total en la macro‐estructura, para su cálculo se deben sumar los incrementos elásticos y plásticos consignados en las columnas cuatro (4) y nueve (9) respectivamente, por lo tanto la expresión matemática para calcular el incremento en la deformación cortante total es la siguiente:

pMis

eMis

totextis

totMis εεεε ∆+∆=∆=∆ (Ec. 3‐40)

• Columna once (11): En este espacio de la matriz Mdefor se almacenarán

todos los incrementos en la deformación volumétrica del cemento, para su cálculo se empleará la Ecuación 2‐36.

• Columna doce (12): En esta columna se almacenarán todos los incrementos

en la deformación cortante del cemento, para su cálculo se empleará la Ecuación 2‐37.

En la vista general de la matriz Mdefor que se muestra en la Figura 3‐9 se aprecia que durante la primera iteración todas las deformaciones son iguales a cero pues en esta etapa de la modelación no se ha aplicado ningún incremento de esfuerzos.

n

iLECIEI

bs

bvol

tots

Mps

Mpvol

extvol

totmvol

totMvol

Mes

eextvol

emvol

eMvol

000000000000εεεεεεεεεεεε ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆

Figura 3‐9 Vista general de la primera iteración en la matriz Mdefor

CAPÍTULO 3

48

i. Vector Envol: En este vector se almacena el valor del cortante equivalente máximo en la matriz, para una iteración cualquiera la comparación entre el i‐ésimo valor de la columna dos de la matriz pqpo y el i‐esimo valor del vector Envol determinará si el material se encuentra o no en la condición de falla, de darse el primer caso la aplicación se detendrá y mostrará sus resultados; en la segunda situación se permitirá a la aplicación proseguir con sus cálculos. El valor del cortante máximo se calculará a partir de la Ecuación 2‐1.

En la Figura 3‐10 se aprecia que para la condición de esfuerzos iguales a cero la resistencia depende exclusivamente de la succión.

n

iLECI

sksMEIq M

f

⋅⋅

Figura 3‐10 Vista general de la primera iteración en el vector Envol

3.3 Ingreso de datos al código BBMYBONDcd4.m Las primeras líneas del código BBMYBONDcd4.m están dedicadas a la adquisición de los datos necesarios para la simulación de los ensayos triaxiales, la aplicación solicita los parámetros organizándolos de acuerdo con las diferentes etapas del ensayo triaxial: estado inicial, consolidación isotrópica y etapa de falla. Luego de ejecutar la aplicación en la ventana de comandos de MATLAB ®, en ella aparecerán textos sucesivamente indicando cuál es el parámetro que debe ser ingresado y las unidades que deben ser empleadas. Todos los parámetros, el orden, su nomenclatura y las unidades que deben ser empleadas en la aplicación son las que se muestran en la Tabla 3‐1. En total se deben ingresar 20 valores de los cuales 12 corresponden a parámetros para la matriz, seis (6) conciernen al cemento y dos están relacionados con las condiciones del ensayo. Para modelar un material no cementado se debe ingresar cero cuando se solicite la concentración del cemento, la aplicación no solicitará ninguno de los cinco parámetros restantes relativos al cemento mineral, la modelación corresponderá a un triaxial convencional sobre un material arcilloso con una doble estructura a una succión constante.


49

Tabla 3‐1 Parámetros que deben ser ingresados al modelo.

3.4 Simulación de la etapa de consolidación isotrópica Antes de comenzar la simulación de la etapa de la consolidación isotrópica, la aplicación ha calculado los módulos Bulk de la macro, micro‐estructura y externo de la matriz a partir de los volúmenes iniciales y del esfuerzo de referencia, para ello se usan las Ecuaciones 3‐1 a 3‐3. Adicionalmente, se conocen los módulos de rigidez del cemento y se han calculado las relaciones de rigidez de la matriz const; todo esto se puede apreciar en las figuras 3‐2 a 3‐10. En esta etapa se le aplicará al material un esfuerzo de consolidación isotrópica (pexto) que es especificado durante la adquisición de datos; en esta etapa y por definición todos los esfuerzos

Etapa VariableNomenclatura según código

Nombre Unidades

Vmini Volumen Inicial macro‐estructura ‐

Vmini Volumen Inicial micro‐estructura ‐

Cb Concentración del cemento (entre 0 y 1) ‐

kappaM Pendiente URL en diagrama vM‐ln p ‐

kappam Pendiente URL en diagrama vm‐ln p ‐

PMO Esfuerzo de preconsolidación en condición saturada MPa

PMc Esfuerzo de referencia MPa

Xini Parámetro de compatibilidad de deformaciones ‐

Kbini Módulo de Bulk inicial del cemento MPa

Gbini Módulo de rigidez al corte inicial del cemento MPa

ro Energía elástica inicial del cemento MPa

r1 Tasa de daño del cemento ‐

s s Succión MPa

Po Esfuerzo de consolidación isotrópica MPa

lo Pendiente NCL en diagrama Vm‐ln p ‐

r r Tasa de cambio de la compresibilidad con la succión ‐

β beta Compresibilidad cuando s tienda a infinito Mpa ^‐1

M M Pendiente de la línea del estado crítico ‐

ks Incremento de la "cohesión" con la succión ‐

GM Módulo de rigidez al corte de la macro‐estructura MPa

Etapa de consolidación isotrópica

Etapa de falla

Estado Inicial

Miniv

minivbC

MκmκMp0

Mcp

iniχbiniKbiniG

0r

1r

0p

0λ

skMG

CAPÍTULO 3

50

cortantes son cero, por lo tanto igual suerte correrán las deformaciones cortantes y la energía de deformación aportada por este tipo de esfuerzo. El subíndice de esta etapa es el cero. El proceso seguido durante esta etapa es el siguiente:

I. Se deben calcular los incrementos de esfuerzos en la matriz (Ecuación 2‐54) y posteriormente en el cemento (Ecuación 2‐43), los esfuerzos previos en estos componentes son iguales a cero.

II. Se deben determinar los volúmenes correspondientes al nuevo estado de esfuerzos en la macro y la micro‐estructura, para ello existen dos posibilidades:

a. Si Mc

M pp <0 , mini

mMini

M vvvv =∧=⇒ 00

b. Si M

cM pp ≥0 , los volúmenes de la macro y la micro‐estructura se deben calcular a

través de la expresiones 3.16 y 3.18 respectivamente. III. Se deben determinar las deformaciones volumétricas totales en la macro‐estructura, la

micro‐estructura y la externa a partir de las Ecuaciones 3‐30, 3‐31 y 3‐32 respectivamente.

IV. Se deben determinar las deformaciones volumétricas en el cemento ( )bvol 0ε∆ , para ello

existen dos posibilidades:

a. Si 00 ≤∆ totMvolε , se calcula b

vol 0ε∆ según Ec. 2‐25, y recalcula2:

• totextvol 0ε∆ Según Ec. 2‐46,

• totMvol 0ε∆ Según Ec. 2‐36,

• totmvol 0ε∆ Según Ec. 3‐36,

• Mv0 Según Ec. 3‐34 y

• mv0 Según Ec. 3‐35

b. Si 00 >∆ totMvolε , b

vol 0ε∆ debe calcularse a partir de la Ecuación 2‐36.

V. Se debe actualizar el valor del esfuerzo en el cemento bp0 mediante la expresión 3‐24.

2 Para recalcular los valores solicitados puede ser necesario reordenar las expresiones citadas.


51

VI. Se debe calcular el incremento en la energía de deformación producida por los esfuerzos

normales bvolu 0∆ mediante la Ecuación 3‐26.

VII. Se debe calcular el incremento en la energía de deformación total btotu 0∆ mediante la

Ecuación 3‐28.

VIII. Se debe calcular la energía de deformación total acumulada btotu 0 mediante la Ecuación 3‐

29.

IX. Se debe calcular la variable de daño L a través de la Ecuación 2‐32, si L <0, se asigna L=0.

X. Se deben calcular los parámetros bb GyK 000 ,χ a partir de las Ecuaciones 2‐35, 2‐28 y 2‐

29 respectivamente.

XI. Se deben calcular los valores de los módulos de Bulk MextmMo KyKK 00, a partir de los

volúmenes calculados en II ó en IV y el mayor entre el esfuerzo de referencia y el esfuerzo calculado en I, para ello se deben usar las Ecuaciones 3‐1, 3‐2 y 3‐3.

XII. Se deben calcular las relaciones entre los parámetros y los módulos de rigidez

000 ,,, RKeyRKbRGCo a partir de las Ecuaciones 3‐4, 3‐5, 3‐6 y 3‐7.

Todos los valores calculados en este proceso son asignados a las segundas filas de las diferentes matrices vistas en el numeral 3.2, los valores no mencionados son iguales a cero. 3.5 Simulación de la aplicación del primer incremento de esfuerzos en la etapa de falla Durante esta etapa el material será sometido al primer incremento conjunto de esfuerzos cortantes y normales que cumplen con una relación de 3:1, relación que corresponde a la pendiente de la trayectoria de esfuerzos en un triaxial convencional. El valor del esfuerzo normal asumido por la matriz durante esta etapa corresponde al esfuerzo de pre‐consolidación del material para la succión s especificada durante el ingreso de datos, es por ello que esta iteración (la tercera) es denominada como el límite elástico, aunque esta denominación sólo aplica realmente para la matriz arcillosa. Para identificar esta iteración se usará el subíndice B. Para lograr que el valor del esfuerzo normal en la matriz alcanzado durante la tercera iteración sea igual al esfuerzo de pre‐consolidación se debe alterar el proceso de cálculo mostrado en el numeral 3.4 pasando del cálculo de los esfuerzos en la matriz a partir de los esfuerzos externos a la situación inversa. Todos los detalles del proceso se muestran a continuación.

CAPÍTULO 3

52

I. Se debe calcular la pendiente de la línea de compresión virgen de la matriz para la succión especificada, para ello se debe usar la Ecuación 2‐8.

II. Se debe calcular el esfuerzo de pre‐consolidación para la succión especificada s mediante la Ecuación 2‐7.

III. Se deben calcular los valores de γB, ηB y PTMB según las Ecuaciones 3‐8 a 3‐10.

IV. Se deben calcular las constantes a, b y c mediante las siguientes ecuaciones:

2

2

0.31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+=

B

B

Ma

γη

(Ec. 3.41)

( )[ ]sksppMb sM

BM

B

B

⋅+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅= 00

2

20.3γη

(Ec. 3‐42)

[ ] ( )[ ]⋅−⋅⋅+= sppskpMc MB

Ms

M000

2 (Ec. 3‐43)

V. Se calculan los esfuerzos correspondientes al estado de esfuerzos en la superficie de cedencia.

a

cabbq MB ⋅

⋅⋅−+−=

242

(Ec. 3‐44)

B

MBMM

B PTMqpp += 0 (Ec. 3‐45)

VI. Se calculan los esfuerzos externos a partir de los esfuerzos en la matriz, extBq se determina

a partir de la Ecuación 2‐59 y extBp se determina a partir de la Ecuación 3‐46.

0.30

extBextext

Bq

pp += (Ec. 3‐46)


53

VII. Se deben determinar los volúmenes correspondientes al nuevo estado de esfuerzos en la macro y la micro‐estructura, para ello existen tres posibilidades:

a. Si Mc

MB pp < , mm

BMM

B vvvv 00 =∧=⇒

b. Si Mo

MB

Mc ppp ≤≤ , los volúmenes de la macro y la micro‐estructura se deben

calcular a través de la expresiones 3.16 y 3.18 respectivamente con .1Mc

Mi pp =−

c. Si Mo

MB pp ≥ , los volúmenes de la macro y la micro‐estructura se deben calcular a

través de la expresiones 3.16 y 3.18 respectivamente con .01MM

i pp =−

VIII. Se debe calcular el incremento en la deformación cortante elástica en la matriz según la

Ecuación 3‐33.

IX. Se debe calcular el esfuerzo cortante máximo en la matriz correspondiente al esfuerzo normal calculado en la Ecuación 3‐45, esto se hace a partir de la Ecuación 2‐1.

X. Se crea una variable contador (vc) y se le asigna el valor de 3, que corresponde al número de iteraciones cumplidas hasta el momento.

XI. Se deben determinar los volúmenes correspondientes al esfuerzo de pre‐consolidación en la macro y la micro‐estructura, para ello existen tres posibilidades: a. Si M

cM

B pp <0 , mmB

MMB vvvv 0000 =∧=⇒

b. Si M

cM pp >0 , los volúmenes de la macro y la micro‐estructura se deben calcular a


i pp =−

c. Si Mo

Mc pp ≥ , los volúmenes de la macro y la micro‐estructura se deben calcular a

través de la expresiones 3.20 y 3.21 respectivamente con .10Mc

Mi pp =−

XII. Se deben determinar las deformaciones volumétricas totales en la macro‐estructura, la


XIII. Se deben determinar las deformaciones volumétricas y cortantes en el cemento

( )bBs

bBvol εε ∆∆ , , para ello se deben usar las Ecuaciones 2‐36 y 2‐37 respectivamente.

CAPÍTULO 3

54

XIV. Se deben calcular los incrementos en los esfuerzos normales y cortantes equivalentes en

el cemento ( )bB

bB qp ∆∆ , mediante las Ecuaciones 3.22 y 3.23.

XV. Se deben actualizar los valores de los esfuerzos normales y cortantes equivalentes en el

cemento ( )bB

bB qp , mediante las expresiones 3‐24 y 3‐25.

XVI. Se debe calcular los incrementos en la energía de deformación producida tanto por los

esfuerzos normales bBvolu∆ como la producida por los esfuerzos cortantes b

Bsu∆

mediante las Ecuaciones 3‐26 y 3‐27.

XVII. Se debe calcular el incremento en la energía de deformación total bBtotu∆ mediante la

Ecuación 3‐28.

XVIII. Se debe calcular la energía de deformación total acumulada bBtotu mediante la Ecuación 3‐

29.

XIX. Se debe calcular la variable de daño L a través de la Ecuación 2‐32, si L <0, se asigna L=0.

XX. Se deben calcular los parámetros bB

bBB GyK,χ a partir de las Ecuaciones 2‐35, 2‐28 y 2‐

29 respectivamente.

XXI. Se deben calcular los valores de los módulos de Bulk MextmMo KyKK 00, a partir de los

volúmenes calculados en VII y el mayor entre el esfuerzo de referencia y el esfuerzo normal calculado en V, para ello se deben usar las Ecuaciones 3‐1, 3‐2 y 3‐3.

XXII. Se deben calcular las relaciones entre los parámetros y los módulos de rigidez

BBBB RKeyRKbRGC ,,, a partir de las Ecuaciones 3‐4, 3‐5, 3‐6 y 3‐7. Todos los valores calculados mediante este proceso se asignan a las terceras filas de todas las matrices mostradas en el numeral 3.2, los valores no mencionados serán cero y corresponden a los términos relacionados con las deformaciones plásticas. 3.6 Aplicación del i‐ésimo incremento de esfuerzo cortante Durante esta etapa la aplicación BBMYBONDcd4.m implementará sucesivamente un incremento en los esfuerzos cortantes externos hasta que el material alcance la condición de falla, esta condición está determinada por la matriz arcillosa, que de acuerdo con las hipótesis consignadas en el capítulo 2 cumple con el criterio de resistencia Mohr‐Coulomb extendido a los suelos parcialmente saturados (Ecuación 2‐1). Cabe recordar que la pendiente de la trayectoria de los


55

esfuerzos externos seguida es 3.0:1.0 en un plano (pext,qext); pero la pendiente de la trayectoria de esfuerzos en la matriz, que es la que controla la falla, es variable y depende fundamentalmente de las rigideces del material y del parámetro estructural tal y como lo muestra la Ecuación 2‐61. Dentro de las diferencias entre esta etapa y las precedentes se destaca que: el proceso de cálculo en este caso es iterativo y finaliza cuando la matriz alcanza una relación crítica de esfuerzos, en esta etapa se presentan deformaciones plásticas tanto volumétricas como cortantes. Antes de comenzar esta etapa de la aplicación todas matrices mostradas en las figuras 3‐2 a 3‐10 cuentan con sus tres primeras filas completamente asignadas. A continuación se muestra el proceso para un ensayo triaxial que incluye un ciclo carga – descarga, siendo esta la simulación más completa.

I. Se debe especificar el esfuerzo cortante equivalente externo para el cual se desea hacer la

descarga extdq .

II. La aplicación exigirá un esfuerzo cortante equivalente externo para la descarga superior al

esfuerzo cortante externo calculado en la iteración 3 (LC).

III. La variable contador es incrementada en una unidad, es decir pasa a ser cuatro (4), se calcula el incremento del esfuerzo cortante externo que se aplicará en cada iteración. En este caso se seleccionó que este valor sea el uno por ciento del esfuerzo cortante alcanzado durante la iteración 3.

extB

ext qq ⋅=∆ 01.0 (Ec. 3‐47)

Adicionalmente, se crea una variable denominada ccd y se le asigna un valor igual a cero, esta variable será el testigo que indique si el ciclo carga‐descarga ya se ha cumplido (ccd=1) o no (ccd=0).

IV. Con el valor del incremento de esfuerzos definido se actualizan los valores de los esfuerzos

externos mediante las siguientes expresiones:

extextvc

extvc qqq ∆+⋅= −1 (Ec. 3‐48)

0.31

extextvc

extvc

qpp

∆+⋅= − (Ec. 3‐49)

En este caso se evalúa si el valor actualizado del esfuerzo cortante externo es igual al valor especificado para la descarga y se verifica que el valor de la variable ccd es igual a cero, si

CAPÍTULO 3

56

las dos condiciones son ciertas se debe saltar al paso XXIV, de ser falsa alguna de las dos se debe continuar con el paso V.

V. Se deben calcular los valores de γvc, ηvc, PTMvc y Mvcq∆ según las Ecuaciones 3‐8 a 3‐11.

VI. Se deben calcular los esfuerzos corrientes en la matriz a través de las Ecuaciones 3‐14 y 3‐

15.

VII. Calcular los incrementos en los esfuerzos en el cemento a través de las Ecuaciones 2‐42 y 2‐43, con estos incrementos se pueden calcular los valores de los esfuerzos normales y cortantes equivalentes corrientes en el cemento a través de las Ecuaciones 3‐24 y 3‐25.

VIII. Se debe calcular el esfuerzo cortante máximo en la matriz correspondiente al esfuerzo normal calculado en el paso VI, esto se hace a partir de la Ecuación 2‐1.

IX. Se compara el esfuerzo cortante calculado en el paso VI con el obtenido en el paso VIII, de acuerdo con los resultados existen dos posibilidades:

a. Si Mf

Mvc qq > implica que el material ha alcanzado la falla y la aplicación finaliza el

proceso de cálculos y presenta sus resultados.

b. Si Mf

Mvc qq < se continúa con el paso X.

X. Se calcula el esfuerzo de pre‐consolidación en la matriz correspondiente al estado de

esfuerzo determinado en el paso VI a través de la Ecuación 2.18. XI. Se calculan los volúmenes correspondientes al esfuerzo de pre‐consolidación calculado en

el paso X en la macro y la micro‐estructura, para ello se recurre a las Ecuaciones 3‐20 y 3‐21.

XII. Se calculan los volúmenes en la macro y la micro‐estructura correspondientes al estado de esfuerzos calculado en el paso VI, para ello se recurre a las Ecuaciones 3‐17 y 3‐19.

XIII. Se calculan los incrementos en las deformaciones volumétricas elásticas en la macro‐estructura, la micro‐estructura y externas, para ello se recurre a las Ecuaciones 3‐30 a 3‐31; además se calcula el incremento en las deformaciones cortantes elásticas en la macro‐estructura a través de la Ecuación 3‐33.

XIV. Se calculan las deformaciones volumétricas totales en la macro‐estructura, la micro‐estructura y las deformaciones volumétricas externas a través de las Ecuaciones 3‐34 a 3‐36.


57

XV. El proceso de cálculo posterior dependerá del valor calculado para las deformaciones

volumétricas externas totales en el paso anterior, existen dos posibilidades:

a. Si 0=∆ totMvcvolε el proceso de cálculo a seguir es el siguiente en donde se proponen

varios re‐cálculos:

• bvcvolε∆

Según Ec. 3‐22,

• bvcsε∆ Según Ec. 3‐23,

• totextvcsε∆

Según Ec. 2‐47

• pMvcsε∆ Según Ec. 3‐38

• pMvcvolε∆ Según Ec. 3‐39

• totextvcvolε∆ Según Ec. 2‐46,

• totMvcvolε∆

Según Ec. 2‐36,

• totmvcvolε∆

Según Ec. 3‐36,

• eMvcvolε∆ Según Ec. 3‐38,

• emvcvolε∆ Según Ec. 3‐35,

• eextvcvolε∆ Según Ec. 3‐32,

• Mvcv Según Ec. 3‐34 y

• mvcv Según Ec. 3‐35

En varias de las expresiones citadas es necesario despejar el término solicitado.

b. Cuando 0≠∆ totMvcvolε se debe continuar con el paso XVI.

XVI. Se deben calcular los componentes faltantes en las deformaciones de la matriz y los

consecuentes incrementos en las deformaciones del cemento. El proceso a seguir es el siguiente:

• pMvcvolε∆ Según Ec. 3‐38,

• pMvcsε∆ Según Ec. 3‐39,

• totextvcsε∆

Según Ec. 3‐40,

• bvcvolε∆ Según Ec. 2‐36 y

CAPÍTULO 3

58

• bvcsε∆ Según Ec. 2‐37.

XVII. Se calculan los incrementos en la energía de deformación del cemento producidos por las

deformaciones volumétricas y las deformaciones cortantes según las Ecuaciones 3‐26 y 3‐27, luego se calcula el incremento de la energía total mediante la Ecuación 3‐28 y la energía de deformación total acumulada a través de la expresión 3‐29.

XVIII. Se debe calcular la variable de daño Lvc a través de la Ecuación 2‐32, si Lvc <0, se asigna Lvc=0.

XIX. Se deben calcular los parámetros bvc

bvcvc GyK,χ a partir de las Ecuaciones 2‐35, 2‐28 y 2‐

29 respectivamente.

XX. Se deben calcular los valores de los módulos de Bulk Mextvc

mvc

Mvc KyKK , a partir de los


XXI. Se deben calcular las relaciones entre los parámetros y los módulos de rigidez


XXII. Se calculan los valores de las deformaciones externas acumuladas tanto volumétricas

como cortantes mediante las Ecuaciones 3‐12 y 3‐13.

XXIII. Se incrementa la variable contador (vc). Se retoma este proceso de cálculo en el paso IV.

XXIV. Este paso se ejecuta sólo si las dos condiciones preguntadas en el paso IV son verdaderas y por lo tanto se comienza a modelar la descarga. Aquí se crea la variable “vcd” y se le asigna el valor actual de “vc”, de esta manera se identifica la iteración en la que comienza la descarga. A la variable “ccd” se le asigna el valor de uno (1), y por ende el ciclo carga‐descarga no vuelve a ejecutarse.

XXV. La variable contador (vc) se incrementa en la unidad, se calcula el valor del decremento en el esfuerzo cortante externo, en este caso el valor del decremento se ha seleccionado para que sea cinco veces el valor del incremento usado durante los ciclos de carga.

extextd qq ∆⋅=∆ 5 (Ec. 3‐50)

XXVI. Se calcula el valor de los esfuerzos corrientes externos para el ciclo de descarga mediante

las siguientes expresiones:


59

extdextvc

extvc qqq ∆−⋅= −1 (Ec. 3‐51)

0.31

extdextvc

extvc

qpp

∆−⋅= − (Ec. 3‐52)

XXVII. Se verifican los nuevos valores de los esfuerzos externos, y se plantean dos alternativas

a. Si 00 ppq extvc

extvc ≤∨≤ la descarga finaliza y el proceso que se debe seguir es:

• Asigne el valor de la iteración en donde terminó la descarga a la variable

“vcr”. • Regrese al paso IV, para proseguir con la recarga hasta alcanzar la falla.

b. Si 00 ppq extvc

extvc >∨> la descarga continúa y se deben ejecutar los pasos V a XVII.

XXVIII. Se debe calcular el valor de la variable de daño Lvc de acuerdo con la Ecuación 2‐32

teniendo en cuenta las siguientes condiciones: a. Si Lvc< Lvc‐1 se asigna Lvc= Lvc‐1 para que el nivel de daño no aumente durante la

descarga. b. Si Lvc< 0 se asigna Lvc= 0. c. En cualquier otra condición se adopta el valor calculado con la Ecuación 2‐32.

XXIX. Se ejecutan los pasos XIX a XXII mostrados previamente.

XXX. Se incrementa el valor de la variable contador “vc” y se regresa al paso XXVI.

El proceso de cálculo seguido por la aplicación BBMYBONDcd4.m es iterativo, se destaca que no se controla el número de iteraciones que deben realizar para alcanzar la falla del material, la finalización del proceso de cálculos está controlada exclusivamente por el paso IX; si en este paso no se cumple la condición planteada, la aplicación cesa los cálculos y muestra las gráficas comentadas en el numeral 3.1 que se muestran en la Figura 3‐11, además se dejan disponibles en el espacio de trabajo todas las matrices comentadas en el numeral 3.2, allí se pueden consultar, grabar o exportar, esto se aprecia en la Figura 3‐12.

Figura 3‐

Figura

11 Graficas gen

a 3‐12 Presenta

neradas por la a

ación de resulta

aplicación BBM

ados, matrices

MYBONDcd4.m

generadas.

CAAPÍTULO 3

60


61

Capítulo 4.

Desarrollo del código EDOM_hs.m

El código EDOM_hs.m tiene por objeto modelar ensayos edométricos en rocas lodosas que han sido sometidas a una succión que permanece constante durante todo el ensayo. Posteriormente la aplicación ofrece la posibilidad de someter a la misma roca a un ciclo en donde se incrementa únicamente la succión hasta un valor especificado, luego de alcanzar este valor máximo la succión se disminuye a su valor inicial, esto intenta representar los ciclos humedecimiento secado que sufre el material; por último la aplicación ejecuta nuevamente el ensayo edométrico a succión constante como se mencionó inicialmente con el fin de valorar el posible efecto degradante de la succión en el cemento mineral y su efecto en la curva de compresibilidad del material. En este capítulo se describirán todas las etapas que requiere el programa para realizar la modelación de los ensayos edométricos, así muchas de ellas son similares a las explicadas en el capítulo 3. 4.1 Características generales del código EDOM_hs.m EDOM_hs.m es un código escrito bajo el lenguaje MATLAB® que tiene por objeto la modelación de ensayos edométricos con succión controlada sobre una muestra de roca lodosa en su estado inicial o intacto y en un estado alterado producido por la variación en la succión. Al igual que la aplicación BBMYBONDcd4, EDOM_hs realiza todos los cálculos y presenta todos sus resultados en términos de los esfuerzos equivalentes p y q y de las deformaciones volumétricas (εvol) y cortantes equivalentes (εs). Para ejecutar la aplicación es necesario abrir MATLAB ® y seguir los mismos pasos indicados en el numeral 3.1 pero haciendo clic en el archivo EDOM_hs.m. Tan pronto se ejecuta la aplicación, se comenzarán a solicitar las propiedades del material comenzando por las características que definen el estado inicial y los parámetros que definen el comportamiento mecánico de la matriz arcillosa, luego se solicitarán las propiedades del material cementante y posteriormente se deberán especificar las condiciones del ensayo edométrico, en este caso, los esfuerzos verticales inicial y final además de la succión a la que estará sujeto el material durante todo el ensayo. Por último se deberá ingresar el valor del coeficiente de presión de tierras en reposo K0 del material y el número de incrementos en el esfuerzo. Todos los detalles de la adquisición de datos se mostrarán en el numeral 4.2.

CAPÍTULO 4

62

Conocidas las propiedades del material y las condiciones iniciales del ensayo se comienza a ejecutar la fase I del programa que corresponde a la modelación del ensayo edométrico a succión constante. Esta fase está dividida en tres etapas:

• Etapa I: Aplicación del esfuerzo y la succión inicial

• Etapa II: Aplicación del esfuerzo que produce la cedencia del material.

• Etapa III: Aplicación del i‐ésimo incremento de esfuerzos hasta alcanzar el esfuerzo final especificado en la adquisición de datos. El incremento de esfuerzos se hace siguiendo la trayectoria de esfuerzos K0, esta trayectoria tiene una pendiente (PTEE) que se define por medio de la Ecuación 4‐1.

( )

o

o

KK

PTEE⋅+

−=

2113

(Ec. 4‐1)

Al culminarse la etapa III la aplicación mostrará la curva de compresibilidad de la macro‐estructura (vM vs. pext) y la curva de compresibilidad que tiene en cuenta el volumen de la macro‐estructura y la micro‐estructura (vM+ vm vs. pext). Al completarse la etapa III la aplicación preguntará si se desea aplicar al material un ciclo de humedecimiento‐secado, si se responde afirmativamente se dará inicio a la fase II que también cuenta con una adquisición de datos en donde se solicitan los parámetros relacionados con las superficies de cedencia SI y SD además de los parámetros de las funciones fI y fD (Ec. 2‐16) también se ingresan las succiones máximas, mínimas del ciclo, el esfuerzo vertical que permanecerá constante durante la modelación y el número de los incrementos en la succión considerados, esta fase también cuenta con tres etapas, estas se comentan a continuación:

• Etapa I: Aplicación de la succión y del esfuerzo inicial

• Etapa II: Aplicación de la succión que produce la cedencia del material.

• Etapa III: Aplicación del i‐ésimo incremento en la succión hasta alcanzar la succión máxima especificada en la segunda adquisición de datos y posterior descenso de la misma hasta su valor inicial.

Al completarse la fase II la aplicación preguntará si se desea ejecutar nuevamente el ensayo edométrico pero teniendo en cuenta los parámetros del cemento: X, Kb y Gb obtenidos en la última iteración de la segunda fase, si se responde afirmativamente a esta pregunta se dará paso a la fase III que corresponde a la misma fase I pero considerando los cambios en los parámetros mencionados, todos los demás parámetros serán iguales a los ingresados en la fase I.


63

Al culminarse la fase III la aplicación mostrará la curva de compresibilidad de la macro‐estructura (vM vs. pext) y la curva de compresibilidad que tiene en cuenta el volumen de la macro‐estructura y la micro‐estructura (vM+ vm vs. pext) teniendo en cuenta la degradación del cemento mineral inducida en la fase II. 4.2 Matrices generadas por el código EDOM_hs.m Las matrices generadas por la aplicación EDOM_hs son en general las mismas que las generadas por la aplicación BBMYBONDcd4 y el detalle de sus términos se mostró en el numeral 3.2. En este numeral sólo se mostrarán exclusivamente los cambios que se hagan en estas matrices. En la fase I y en la fase III se generarán las mismas matrices que las descritas en el numeral 3.2, para diferenciar las matrices calculadas en la fase III de las calculadas en la fase I, a las primeras se les adicionará al nombre el número 2 (e.g. Mdfor2, Mbond2, pqext2, etc.). Adicionalmente a estas matrices se generarán dos vectores (Vvt y Vvt2) en donde se almacenarán las sumas de los volúmenes de la macro‐estructura y la micro‐estructura.

a. Vector Vvt: Este vector almacenará la suma de las primeras columnas de la matriz Mmvol para cada una de las iteraciones de la fase I. ( ) ( ) ( )2,1,1, iMmvoliMmvoliVvt += (Ec. 4‐2)

b. Vector Vvt2: Este vector almacenará la suma de las primeras columnas de la matriz Mmvol2 para cada una de las iteraciones de la fase III. ( ) ( ) ( )2,21,21,2 iMmvoliMmvoliVvt += (Ec. 4‐3)

En la fase II todas las variables y matrices usadas en la etapa de la aplicación de los ciclos de humedecimiento – secado finalizarán con las letras hs, en esta etapa se añadirá a la matriz pqext, que en este caso será pqexths una columna en donde almacenará el valor de la succión, las demás columnas son iguales a las presentadas en el numeral 3.2 en el literal d.

c. Matriz pqexths: En la columna 5 de esta matriz se almacenarán los diferentes valores asumidos por la succión durante la modelación de los ciclos humedecimiento – secado durante la etapa III de la fase II.

( ) ( ) isipqexthsipqexths ∆+−= 5,15, (Ec. 4‐4)

El valor de Δsi se calculará a partir de la diferencia entre el valor de la succión máxima y el valor de la succión que produce la cedencia en el material dividido entre el número de incrementos en la succión considerados.

CAPÍTULO 4

64

( )

isi n

pqexthsss

5,3max −=∆ (Ec. 4‐5)

Después de cumplir con la etapa I de la fase II los esfuerzos normales y cortantes externos permanecerán constantes, dentro de la aplicación en las fases II y III sólo se considerarán los efectos de la succión en el material. Los efectos de los esfuerzos se retomarán en la fase III. 4.3 Ingreso de datos al código EDOM_hs.m Como ya se mencionó en el numeral 4.2 la aplicación solicita parámetros en las fases I y II, la solicitud se hace al inicio de las mencionadas fases. El ingreso de los datos se hace de la misma manera que para la aplicación BBMYBONDcd4, es decir ingresándolos uno a uno a medida que los textos indican cual parámetro se debe ingresar y las unidades que se deben usar. En la Tabla 3‐1 se muestra un listado de los parámetros que se deben ingresar y las unidades que se deben usar. En total se deben ingresar 23 valores de los cuales tres (3) definen el estado inicial, once (11) parámetros corresponden a las propiedades matriz, cinco (5) conciernen al cemento, tres (3) están relacionados con las condiciones del ensayo, finalmente se solicita el coeficiente de presión de tierras en reposo del material, este parámetro definirá la pendiente de la trayectoria de esfuerzos externos de acuerdo con la Ecuación 4‐1. En la fase II se deben ingresar siete (7) parámetros correspondientes a las superficies de cedencia SI y SD (Ver figura 2‐2 (b)), debe notarse que en este caso se está solicitando la diferencia de ordenadas entre las dos superficies, este valor es independiente del valor del fuerzo en la matriz, de esta manera se “elimina” una variable, las funciones fI y fD son expresiones que requieren tres (3) parámetros cada uno de estos valores son escalares y adimensionales que permiten el cálculo de las deformaciones plásticas en la macro‐estructura a partir de las deformaciones en la micro‐estructura. Dentro de las condiciones del ensayo se solicita la succión máxima y la mínima a aplicar durante el ciclo y el esfuerzo vertical que define el confinamiento durante esta fase.


65

Tabla 4‐1 Parámetros y valores que deben ser ingresados al modelo en la fase I.


Nombre Unidades

Vmini Volumen Inicial macro‐estructura ‐

Vmini Volumen Inicial micro‐estructura ‐

Cb Concentración del cemento ‐

kappaM Pendiente URL en diagrama vM‐ln p ‐

kappam Pendiente URL en diagrama vm‐ln p ‐

kappas Pendiente URL en diagrama vM‐ln s

lo Pendiente NCL en diagrama Vm‐ln p ‐

GM Módulo de rigidez al corte de la macro‐estructura MPa

M M Pendiente de la línea del estado crítico ‐

PMO Esfuerzo de preconsolidación en condición saturada MPa

PMc Esfuerzo de referencia MPa

r r Tasa de cambio de la compresibilidad con la succión ‐

β beta Compresibilidad cuando s tienda a infinito Mpa ^‐1

ks Incremento de la "cohesión" con la succión ‐

Xini Parámetro de compatibilidad de deformaciones ‐

Kbini Módulo de Bulk inicial del cemento MPa

Gbini Módulo de rigidez al corte inicial del cemento MPa

ro Energía elástica inicial del cemento MPa

r1 Tasa de daño del cemento ‐

s s Succión MPa

sigmavo Esfuerzo vertical inicial MPa

sigmavf Esfuerzo vertical final MPa

Ko Coeficiente de presión de tierras en reposo del material ‐

Parámetros de la matriz arcillosa

Estado Inicial

Parámetros del cemento mineral

Condiciones del ensayo

Miniv

minivbC

Mκmκ

Mp0

Mcp

iniχbiniK

biniG

0r

1r

0λ

sk

MG

sκ

voσ

vfσ

0K

CAPÍTULO 4

66

Tabla 4‐2 Parámetros y valores que se deben ingresar al modelo en la fase II

4.4 Procesos de cálculo de la fase I. En esta fase se modelará un ensayo edométrico en una roca lodosa. 4.4.1 Etapa I: Aplicación del esfuerzo vertical y la succión inicial. Durante esta etapa la roca es sometida a un esfuerzo vertical inicial y una succión inicial, esta última no variará durante esta fase. Para ello la aplicación deberá calcular previamente el esfuerzo normal equivalente y el esfuerzo cortante equivalente mediante las Ecuaciones 4‐6 y 4‐7 respectivamente.

( )

321 0K

p voexto

⋅+=σ

(Ec. 4‐6)

( )01 Kq voexto −= σ (Ec. 4‐7)

Adicionalmente se calculan los módulos Bulk de la macro, micro‐estructura y externo de la matriz a partir de los volúmenes iniciales y del esfuerzo de referencia, para ello se usan las Ecuaciones 3‐1 a 3‐3, como ya se conocen los módulos de rigidez del cemento se procede a calcular las relaciones de rigidez de la matriz const a partir de las Ecuaciones 3‐4 a 3‐7. El proceso seguido durante esta etapa es el siguiente:


Nombre Unidades

SI ‐ SD sI ‐ sDDiferencia entre las succiones que definen las superficies de cedencia SI y SD

MPa

fI0 Parámetro de la función fI ‐

fI1 Parámetro de la función fI ‐

nI Parámetro de la función fI ‐

fD0 Parámetro de la función fD ‐

fD1 Parámetro de la función fD ‐

nD Parámetro de la función fD ‐

smax Succión máxima a alcanzar durante el ciclo h‐s MPa

smin Succión mínima a alcanzar durante el ciclo h‐s MPa

sigmavhs Esfuerzo vertical durante el ciclo h‐s MPa

Condiciones del ensayo

Parámetros relacionados

con las superficies de cedencia SI,

SD

IOf

1If

nIDOf

1Df

nD

maxs

minsviσ


67

I. Se deben calcular los incrementos de esfuerzos normales y cortantes en la matriz

(Ecuaciones 2‐54 y 2‐55) y posteriormente en el cemento (Ecuaciones 2‐42 y 2‐43), los esfuerzos previos (i‐1) en estos componentes son iguales a cero.

II. Se deben determinar los volúmenes correspondientes al nuevo estado de esfuerzos en la macro y la micro‐estructura, para ello existen dos posibilidades:

c. Si Mc

M pp <0 , mini

mMini

M vvvv =∧=⇒ 00

d. Si Mc

M pp ≥0 , los volúmenes de la macro y la micro‐estructura se deben calcular a

través de la expresiones 3.16 y 3.18 respectivamente. III. Se deben determinar las deformaciones volumétricas totales en la macro‐estructura, en la

micro‐estructura y la externa a partir de las Ecuaciones 3‐30, 3‐31 y 3‐32 respectivamente, las deformaciones cortantes elásticas se determinan a través de la Ecuación 3‐33.

IV. Se deben determinar las deformaciones volumétricas en el cemento ( )bvol 0ε∆ , para ello

existen dos posibilidades:

a. Si 00 ≤∆ totMvolε , se calcula b

vol 0ε∆ según la Ecuación 2‐25 y bs 0ε∆ a través de la

Ecuación 2‐26 y se deben recalcular3:

• totextvol 0ε∆ Según Ec. 2‐46,

• totMvol 0ε∆ Según Ec. 2‐36,

• totmvol 0ε∆ Según Ec. 3‐36,

• Mv0 Según Ec. 3‐34,

• mv0 Según Ec. 3‐35

• totexts 0ε∆ Según Ec. 2‐47 y

• totexts

eMs 00 εε ∆=∆ .

b. Si 00 >∆ totMvolε , b

vol 0ε∆ y bs 0ε∆ deben calcularse a partir de las Ecuaciones 2‐36 y 2‐

37.

3 Para recalcular los valores solicitados puede ser necesario reordenar las expresiones citadas.

CAPÍTULO 4

68

V. Se deben actualizar los valores de los esfuerzos en el cemento bp0 y bq0 mediante las

expresiones 3‐24 y 3‐25.

VI. Se debe calcular el incremento en la energía de deformación producida por los esfuerzos

normales y cortantes equivalentes bvolu 0∆ y b

su 0∆ mediante las Ecuaciones 3‐26 y 3‐27.

VII. Se debe calcular el incremento en la energía de deformación total btotu 0∆ mediante la

Ecuación 3‐28.

VIII. Se debe calcular la energía de deformación total acumulada btotu 0 mediante la Ecuación 3‐

29.

IX. Se debe calcular la variable de daño L a través de la Ecuación 2‐32, si L <0, se asigna L=0.

X. Se deben calcular los parámetros bb GyK 000 ,χ a partir de las Ecuaciones 2‐35, 2‐28 y 2‐

29 respectivamente.

XI. Se deben calcular los valores de los módulos de Bulk MextmMo KyKK 00, a partir de los


XII. Se deben calcular las relaciones entre los parámetros y los módulos de rigidez


XIII. Se calcula el módulo de rigidez correspondiente a la succión KS0 a través de la siguiente

expresión que es tomada de la Ecuación 2‐5.

satm

Mo

Spv

Kκ

=0 (Ec. 4‐8)

XIV. Se actualizan las deformaciones volumétricas en la macro‐estructura (Ec. 4‐9), en la micro‐

estructura (Ec. 4‐10) y se calcula nuevamente la deformación externa elástica (Ec. 3‐32).

SO

totMvol

totMvol K

s+∆=∆ 00 εε (Ec .4‐9)


69

mtotM

voltotm

vol Ks

000 +∆=∆ εε (Ec. 4‐10)

XV. Se actualizan los volúmenes en la macro‐estructura (Ec. 4‐11) y en la micro‐estructura

(Ec.4‐12).

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=Patm

Patmsvv sMo

Mo lnκ (Ec. 4‐11)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−= M

Mmm

omo p

psvv

0

0lnκ (Ec. 4‐12)

XVI. Se calcula el incremento de la deformación volumétrica en el cemento debido al aumento

en la succión (Ec. 4‐13) y el correspondiente incremento en el esfuerzo normal en el cemento (Ec. 4‐14), el esfuerzo corriente en el cemento se calcula a través de la Ecuación 3‐24.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=∆ m

SO

bs K

sK

sC0

020ε (Ec. 4‐13)

200

2 bs

bbo Kp ε∆⋅=∆ (Ec. 4‐14)

XVII. Se calcula el incremento en la energía del cemento producido por los incrementos en el

esfuerzo y en la deformación del cemento calculados en el paso anterior. Con este valor se actualiza la energía en el cemento mediante la Ecuación 3‐28.

200

20

bvol

bbvol pu ε∆⋅=∆ (Ec. 4‐15)

XVIII. Se debe calcular la variable de daño L a través de la Ecuación 2‐32, si L <0, se asigna L=0.

XIX. Se deben repetir los pasos X, XI y XII y de esta manera se vuelven a calcular los módulos de

rigidez del cemento para el nuevo nivel de daño, los nuevos módulos bulk correspondientes a los volúmenes calculados en el paso XV y las nuevas relaciones de rigidez de la matriz const.

Todos los valores calculados en este proceso son asignados a las segundas filas de las diferentes matrices generadas, los valores no mencionados son iguales a cero.

CAPÍTULO 4

70

4.4.2 Etapa II: aplicación del incremento de esfuerzos que produce la cedencia del material. Durante esta etapa el material será sometido a un incremento de esfuerzos cortantes y normales externos tal que producen la cedencia del material. El valor del esfuerzo normal asumido por la matriz durante esta etapa corresponde al esfuerzo de pre‐consolidación del material para la succión s especificada durante el ingreso de datos. Para identificar esta iteración se usará el subíndice B. En esta etapa el proceso de los cálculos es el siguiente:

I. Se debe calcular la pendiente de la línea de compresión virgen de la matriz para la succión especificada, para ello se debe usar la Ecuación 2‐8.

II. Se debe calcular el esfuerzo de pre‐consolidación para la succión especificada s mediante la Ecuación 2‐7.

III. Se verifica si el esfuerzo de cedencia correspondiente a los esfuerzos en la matriz calculados en la etapa anterior (po

M, qoM) calculado mediante la Ecuación 2‐18 es mayor

que el esfuerzo calculado en el paso II, si se cumple esta condición la aplicación finaliza y muestra en pantalla el siguiente mensaje: “Disminuya el esfuerzo vertical inicial”; en el caso contrario se continua con el paso IV.

IV. Se deben calcular los valores de γB, ηB según las Ecuaciones 3‐8, 3‐9 de acuerdo con los módulos de la matriz y del cemento calculados en el paso XIX de la etapa anterior.

V. Se calcula la pendiente de la trayectoria de esfuerzos PTEE definida mediante la Ecuación 4‐1.

VI. Se deben calcular las constantes a, b y c mediante las siguientes Ecuaciones:

2

2

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+=

B

BPTEE

Ma

γη

(Ec. 4.16)

( )[ ]skspPTEE

Mb sM

B

B

B

⋅+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅= 0

2

γη

(Ec. 4‐17)

[ ] ( )[ ]⋅−⋅⋅= spskMc MBs 0

2 (Ec. 4‐18)


71

VII. Se calculan los esfuerzos correspondientes al estado de esfuerzos en la superficie de cedencia en la matriz.

B

BB

PTEEPTMγ

η⋅= (Ec. 4‐19)

a

cabbq MB ⋅

⋅⋅−+−=

242

(Ec. 4‐20)

B

MBMM

B PTMqpp += 0 (Ec. 4‐21)

VIII. Se calculan los esfuerzos externos a partir de los esfuerzos en la matriz, extBq se determina

a partir de la Ecuación 2‐59 y extBp se determina a partir de la Ecuación 4‐22.

PTEEqpp

extBextext

B += 0 (Ec. 4‐22)

IX. Se deben determinar los volúmenes correspondientes al nuevo estado de esfuerzos en la

macro y la micro‐estructura, para ello existen tres posibilidades:

a. Si Mc

MB pp < , mm

BMM

B vvvv 00 =∧=⇒

b. Si Mo

MB

Mc ppp ≤≤ , los volúmenes de la macro y la micro‐estructura se deben

calcular a través de la expresiones 3.16 y 3.18 respectivamente con .1Mc

Mi pp =−

c. Si Mo

MB pp ≥ , los volúmenes de la macro y la micro‐estructura se deben calcular a


i pp =−

X. Se debe calcular el incremento en la deformación cortante elástica en la matriz según la

Ecuación 3‐33.

XI. Se debe calcular el esfuerzo cortante máximo en la matriz correspondiente al esfuerzo normal calculado en la Ecuación 4‐21, esto se hace a partir de la Ecuación 2‐1.

XII. Se crea una variable contador (vc) y se le asigna el valor de 3, que corresponde al número de iteraciones cumplidas hasta el momento.

CAPÍTULO 4

72

XIII. Se deben determinar los volúmenes correspondientes al esfuerzo de pre‐consolidación en

la macro y la micro‐estructura, para ello existen tres posibilidades: a. Si M

cM

B pp <0 , mmB

MMB vvvv 0000 =∧=⇒

b. Si Mc

M pp >0 , los volúmenes de la macro y la micro‐estructura se deben calcular a


i pp =−

c. Si Mo

Mc pp ≥ , los volúmenes de la macro y la micro‐estructura se deben calcular a

través de la expresiones 3.20 y 3.21 respectivamente con .10Mc

Mi pp =−

XIV. Se deben determinar las deformaciones volumétricas totales en la macro‐estructura, en la


XV. Se deben determinar las deformaciones volumétricas y cortantes en el cemento

( )bBs

bBvol εε ∆∆ , , para ello se deben usar las Ecuaciones 2‐36 y 2‐37 respectivamente.

XVI. Se deben calcular los incrementos en los esfuerzos normales y cortantes equivalentes en

el cemento ( )bB

bB qp ∆∆ , mediante las Ecuaciones 3.22 y 3.23.

XVII. Se deben actualizar los valores de los esfuerzos normales y cortantes equivalentes en el

cemento ( )bB

bB qp , mediante las expresiones 3‐24 y 3‐25.

XVIII. Se debe calcular los incrementos en la energía de deformación producida tanto por los

esfuerzos normales bBvolu∆ como la producida por los esfuerzos cortantes b

Bsu∆

mediante las Ecuaciones 3‐26 y 3‐27.

XIX. Se debe calcular el incremento en la energía de deformación total bBtotu∆ mediante la

Ecuación 3‐28.

XX. Se debe calcular la energía de deformación total acumulada bBtotu mediante la Ecuación 3‐

29.

XXI. Se debe calcular la variable de daño L a través de la Ecuación 2‐32, si L <0, se asigna L=0.


73

XXII. Se deben calcular los parámetros bB

bBB GyK,χ a partir de las Ecuaciones 2‐35, 2‐28 y 2‐

29 respectivamente.

XXIII. Se deben calcular los valores de los módulos de Bulk MextmMo KyKK 00, a partir de los

volúmenes calculados en VII y el mayor entre el esfuerzo de referencia y el esfuerzo normal calculado en V, para ello se deben usar las Ecuaciones 3‐1, 3‐2 y 3‐3.

XXIV. Se deben calcular las relaciones entre los parámetros y los módulos de rigidez

BBBB RKeyRKbRGC ,,, a partir de las Ecuaciones 3‐4, 3‐5, 3‐6 y 3‐7. Todos los valores calculados mediante este proceso se asignan a las terceras filas de todas las matrices mostradas generadas por la aplicación, los valores no mencionados serán cero y corresponden a los términos relacionados con las deformaciones plásticas. 4.4.3 Etapa III: Aplicación del i‐ésimo incremento de esfuerzo hasta alcanzar el esfuerzo

normal equivalente final. Durante esta etapa la aplicación EDOM_hs implemetará sucesivamente un incremento en los esfuerzos normales externos hasta que el material alcance el esfuerzo normal equivalente final, este último se calcula mediante la Ecuación 4‐22.

( )

321 0K

p vfextf

⋅+=σ

. (Ec. 4‐22)

Al esfuerzo calculado mediante la Ecuación 4‐22 le corresponde el siguiente esfuerzo cortante.

( )01 Kq vfextf −= σ (Ec. 4‐23)

Para la ejecución de esta etapa se debe recurrir a un proceso de cálculo iterativo, se destaca el hecho que durante esta etapa la macro‐estructura experimentará deformaciones plásticas tanto volumétricas como cortantes Antes de comenzar esta etapa de la aplicación todas matrices mostradas en las figuras 3‐2 a 3‐10 cuentan con sus tres primeras filas completamente asignadas. El proceso de cálculo del ensayo edométrico es el siguiente:

I. Se verifica que el esfuerzo cortante equivalente externo calculado en la fase anterior en el paso VIII sea menor que el calculado mediante la Ecuación 4‐23, si es mayor la aplicación finaliza y muestra una leyenda donde se le indica al usuario que debe aumentar el

CAPÍTULO 4

74

esfuerzo vertical final ingresado durante la asignación de parámetros; si es menor se prosigue con el paso II.

II. La aplicación le solicita al usuario que ingrese el número de incrementos de esfuerzos (n) a considerar, con este valor conocido se calcula el valor del incremento de esfuerzos externos como tal mediante la Ecuación 4‐24.

n

qqq

extB

extfext −

=∆ (Ec. 4‐24)

La variable contador es incrementada, es decir pasa a ser cuatro (4)

III. Se calculan los nuevos valores de los esfuerzos externos mediante las Ecuaciones 4‐25 y 4‐26.

extextvc

extvc qqq ∆+⋅= −1 (Ec. 4‐25)

PTEE

qpp

extextvc

extvc

∆+⋅= −1 (Ec. 4‐26)

IV. Se deben calcular los valores de γvc, ηvc, PTMvc y Mvcq∆ según las Ecuaciones 3‐8, 3‐9 y 4‐19.

V. Se deben calcular los esfuerzos corrientes en la matriz a través de las Ecuaciones 3‐14 y 3‐

15.

VI. Calcular los incrementos en los esfuerzos en el cemento a través de las Ecuaciones 2‐42 y 2‐43, con estos incrementos se pueden calcular los valores de los esfuerzos normales y cortantes equivalentes corrientes en el cemento a través de las Ecuaciones 3‐24 y 3‐25.

VII. Se debe calcular el esfuerzo cortante máximo en la matriz correspondiente al esfuerzo normal calculado en el paso V, esto se hace a partir de la Ecuación 2‐1. Si el esfuerzo cortante equivalente en la matriz calculado en V es mayor que el esfuerzo calculado en este paso la aplicación se detiene y se muestra un mensaje: “Se alcanzó la condición de falla”; si el esfuerzo cortante equivalente en la matriz es menor que el esfuerzo máximo se continúa con el paso VIII.

VIII. Se calcula el esfuerzo de pre‐consolidación en la matriz correspondiente al estado de esfuerzo determinado en el paso VI a través de la Ecuación 2.18.


75

IX. Se calculan los volúmenes correspondientes al esfuerzo de pre‐consolidación calculado en el paso VIII en la macro y la micro‐estructura, para ello se recurre a las Ecuaciones 3‐20 y 3‐21.

X. Se calculan los volúmenes en la macro y la micro‐estructura correspondientes al estado de esfuerzos calculado en el paso VI, para ello se recurre a las Ecuaciones 3‐17 y 3‐19.

XI. Se calculan los incrementos en las deformaciones volumétricas elásticas en la macro‐estructura, la micro‐estructura y externas, para ello se recurre a las Ecuaciones 3‐30 a 3‐31; además se calcula el incremento en las deformaciones cortantes elásticas en la macro‐estructura a través de la Ecuación 3‐33.

XII. Se calculan las deformaciones volumétricas totales en la macro‐estructura, la micro‐estructura y las deformaciones volumétricas externas a través de las Ecuaciones 3‐34 a 3‐36.

XIII. El proceso de cálculo posterior dependerá del valor calculado para las deformaciones volumétricas externas totales en el paso anterior, existen dos posibilidades:

a. Si 0=∆ totMvcvolε el proceso de cálculo a seguir es el siguiente en donde se proponen

varios re‐cálculos:

• bvcvolε∆

Según Ec. 3‐22,

• bvcsε∆ Según Ec. 3‐23,

• totextvcsε∆

Según Ec. 2‐47,



• totextvcvolε∆ Según Ec. 2‐46,

• totMvcvolε∆

Según Ec. 2‐36,

• totmvcvolε∆

Según Ec. 3‐36,

• eMvcvolε∆ Según Ec. 3‐38,

• emvcvolε∆ Según Ec. 3‐35,

• eextvcvolε∆ Según Ec. 3‐32,

• Mvcv Según Ec. 3‐34 y

• mvcv Según Ec. 3‐35

CAPÍTULO 4

76

En varias de las expresiones citadas es necesario despejar el término solicitado.

b. Cuando 0≠∆ totMvcvolε continuar con el paso XVI.

XIV. Se debe calcular los componentes faltantes en las deformaciones de la matriz y los

consecuentes incrementos en las deformaciones del cemento. El proceso a seguir es el siguiente:



• totextvcsε∆

Según Ec. 3‐40,

• bvcvolε∆ Según Ec. 2‐36 y

• bvcsε∆ Según Ec. 2‐37.

XV. Se calculan los incrementos en la energía de deformación del cemento producidos por las

deformaciones volumétricas, las deformaciones cortantes según las Ecuaciones 3‐26 y 3‐27, se calcula el incremento de la energía total mediante la Ecuación 3‐28 y la energía de deformación total acumulada a través de la expresión 3‐29.

XVI. Se debe calcular la variable de daño Lvc a través de la Ecuación 2‐32, si Lvc <0, se asigna Lvc=0.

XVII. Se debe calcular los parámetros bvc

bvcvc GyK,χ a partir de las Ecuaciones 2‐35, 2‐28 y 2‐

29 respectivamente.

XVIII. Se debe calcular los valores de los módulos de Bulk Mextvc

mvc

Mvc KyKK , a partir de los

volúmenes calculados en X ó en XIII y el mayor entre el esfuerzo de referencia y el esfuerzo calculado en V, para ello se deben usar las Ecuaciones 3‐1, 3‐2 y 3‐3.

XIX. Se debe calcular las relaciones entre los parámetros y los módulos de rigidez

iiii RKeyRKbRGC ,,, a partir de las Ecuaciones 3‐4, 3‐5, 3‐6 y 3‐7.

XX. Se calculan los valores de las deformaciones externas acumuladas tanto volumétricas

como cortantes mediante las Ecuaciones 3‐12 y 3‐13.

XXI. Se incrementa la variable contador (vc). Si vc‐3>n se continua con el paso XXII; sino se retoma este proceso de cálculo en el paso III.


77

XXII. Se calcula Vvt (vc, 1) como la suma de los volúmenes de la macro‐estructura y la micro‐

estructura para vc =1 y hasta la vc‐ésima iteración, tal y como lo expone la Ecuación 4‐2.

El proceso de cálculo contenido entre los pasos III y XXI se repetirá n veces, de esta manera la aplicación alcanzará el esfuerzo externo normal equivalente especificado en la Ecuación 4‐22 y finalizará sus cálculos, cuando esto ocurra la aplicación genera una ventana emergente en donde se muestran las curvas de compresibilidad de la macro‐estructura l y del material (volumen de la macro‐estructura más el volumen de la micro.estructura), esto se puede apreciar en la Figura 3‐11. Al igual que en la aplicación BBMYBONDcd4 todas las variables creadas durante esta dase de la aplicación EDOM_hs quedan disponibles en el espacio de trabajo creado para su consulta o para exportarlas a hojas de cálculo.

Figura 4‐1 Graficas generadas por la fase I de la aplicación EDOM_hs

4.5 Procesos de cálculo de la fase II. Al finalizar la fase I en la pantalla aparecerá el mensaje: “Presione 1 si desea aplicar un ciclo de humedecimiento‐secado”, si el usuario presiona la tecla mencionada la aplicación solicitará todos los parámetros mostrados en la Tabla 4‐2 y se dará inicio a la fase II; para cualquier otra entrada la aplicación mostrará el mensaje: “No se ejecutará el ciclo de humedecimiento secado” y finalizará. En toda la fase II las matrices y los escalares generados llevarán las letras hs al final de sus nombres.

CAPÍTULO 4

78

4.5.1 Etapa I: Aplicación del esfuerzo vertical y la succión inicial Durante esta etapa la roca es sometida a un esfuerzo vertical y a una succión inicial que corresponde a la succión mínima especificada durante la segunda etapa de adquisición de datos (ver Tabla 4‐2). Teniendo en cuenta lo anterior, esta etapa de la fase II es igual a la primera etapa de la fase I y por lo tanto el proceso que debe seguirse es el mismo que se encuentra consignado en el numeral 4.4.1, pero para poder diferenciar las matrices generadas durante esta etapa todos los nombres de todas ellas contarán al final con las letras hs. 4.5.2 Etapa II: Aplicación de la succión que produce la cedencia en el material Al finalizar la etapa II la succión externa, que es igual a la succión en la matriz será igual al valor

especificado smin, esta succión y el esfuerzo normal inicial en la matriz ( hsp Mo ) definen el esfuerzo

efectivo inicial ( hsp Mo +smin) y por ende la línea neutral (NL) que se muestra en la figura 2‐2 en la

parte (b). Los estados de esfuerzos definidos por esta línea no generarán deformaciones en la micro‐estructura. Paralelas a esta línea se encuentran las superficies de cedencia SI y SD que para cualquier estado de esfuerzos en la matriz presentan una diferencia entre sus ordenadas que es constante, este valor corresponde al primer parámetro ingresado durante la segunda adquisición de datos y se denominó como ΔsB, en esta etapa se aumentará la succión en el material hasta alcanzar la superficie SI, el valor del esfuerzo normal equivalente en la matriz permanecerá constante durante toda la etapa II. Antes de comenzar esta etapa se conocen los valores de la segunda fila de la matriz consths:

hsohshshs RKeyRKbRGC 000 ,,, el proceso de cálculo de esta etapa es el siguiente:

I. Se calcula la succión que produce la cedencia en el material, para ello se recurre a la

Ecuación 4‐27.

2min

BB

sss

∆+= (Ec. 4‐27)

II. Se crea una variable contador (j) y se inicia con el valor de tres (3).

III. Se calcula la pendiente de la línea de consolidación virgen para la succión smin (λ(s))

mediante la Ecuación 2‐8 y se calcula el esfuerzo de pre‐consolidación para la succión

especificada s hsMB sp )( mediante la Ecuación 2‐7.


79

IV. Se calcula el valor de la función fI para el esfuerzo de preconsolidación calculado en el paso anterior, para ello se recurre a la primera parte de la Ecuación 2‐16.

V. Se calculan los nuevos volúmenes en la macro‐estructura y en la micro‐estructura correspondientes a la succión sB para ello se recurre a las Ecuaciones 4‐28 y 4‐29.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+−=

−− Patms

Patmsvv

j

js

Mj

Mj

1.1 lnκ (Ec. 4‐28)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+−=

−− M

j

Mjmm

jmj ps

psvv

01

01 lnκ (Ec. 4‐29)

VI. Se calculan los incrementos en las deformaciones en la macro‐estructura MBhsvolε∆ y en la

micro‐estructura mBhsvolε∆ mediante las Ecuaciones 3‐34 y 3‐35. La deformación externa

extBhsvolε∆ se calcula mediante la Ecuación 3‐36.

VII. Se calculan las deformaciones volumétricas en el cemento bBhsvolε∆ mediante la Ecuación

2‐36

VIII. Se calculan los incrementos en los esfuerzos normales en el cemento bBhsp∆ mediante la

Ecuación 3‐22.

IX. Se calcula el incremento en la energía de deformación producida por los esfuerzos

normales bBhsvolu∆ mediante la Ecuación 3‐26.

X. Se calcula el incremento en la energía de deformación total bBhstotu∆ mediante la Ecuación

3‐28.

XI. Se calcula la energía de deformación total acumulada bBhstotu mediante la Ecuación 3‐29.

XII. Se calcula la variable de daño LBhs a través de la Ecuación 2‐32, si LBhs <0, se asigna LBhs=0.

XIII. Se calculan los parámetros bBhs

bBhsBhs GyK,χ a partir de las Ecuaciones 2‐35, 2‐28 y 2‐29

respectivamente.

CAPÍTULO 4

80

XIV. Se calcula la deformación volumétrica externa acumulada extBhsvolε mediante la Ecuación 3‐

12.

XV. Se calcula el valor del término BhsC a partir de la Ecuación 3‐4 y se incrementa la variable

contador j. 4.5.3 Etapa III Aplicación del i‐ésimo incremento en la succión hasta alcanzar la succión

máxima y descenso de la misma hasta su valor inicial. Durante esta etapa la aplicación EDOM_hs implementará sucesivamente un incremento en la succión hasta que el material alcance la succión máxima especificada durante la adquisición de datos, previamente la aplicación le solicitará al usuario el número de incrementos en la succión (nis) a considerar, con este valor se procede a calcular el valor del incremento en la succión mediante la Ecuación 4‐30.

is

Bc n

sss

−=∆ max (Ec. 4‐30)

Luego de alcanzar la succión máxima la aplicación disminuirá la succión hasta que alcance su valor inicial y de esta manera se terminará el ciclo y esta fase de la aplicación. Durante esta etapa se ignorará el efecto de los esfuerzos. El proceso de cálculo es el siguiente: I. Se incrementa el valor de la succión usando la Ecuación 4‐31.

cjj sss ∆+= −1 (Ec. 4‐31)

II. Se calcula la pendiente de la línea de consolidación virgen para la succión calculada en el

paso anterior (λ(sj)) mediante la Ecuación 2‐8 y se calcula el esfuerzo de pre‐consolidación

para la succión si hsMj sp )( mediante la Ecuación 2‐7.

III. Se calculan el valor de las funciones: fI y fD para el esfuerzo de pre‐consolidación calculado

en el paso anterior, para ello se recurre a la Ecuación 2‐16.

IV. Se calculan los nuevos volúmenes en la macro‐estructura y en la micro‐estructura correspondientes a la succión si para ello se recurre a las Ecuaciones 4‐28 y 4‐29.


81

V. Se calculan los incrementos en las deformaciones en la macro‐estructura Mhsjvolε∆ y en la

micro‐estructura mhsjvolε∆ mediante las Ecuaciones 3‐34 y 3‐35. La deformación externa

elástica eexthsjvolε∆ se calcula como la suma de las dos deformaciones anteriores.

VI. Se calculan las deformaciones plásticas volumétricas en la macro‐estructura a partir de las

deformaciones elásticas en la micro‐estructura, para ello se recurre a la Ecuación 4‐32.

Impvol

Mpvol f⋅∆=∆ εε (Ec.4‐32)

VII. Se calculan las deformaciones totales en la macro‐estructura, para ello se emplea la

Ecuación 4‐33.

pMhsjvol

Mhsjvol

totMhsjvol εεε ∆+∆=∆ (Ec.4‐33)

VIII. Se calculan las deformaciones volumétricas en el cemento bhsjvolε∆ mediante la Ecuación

2‐36.

IX. Se corrige el valor del volumen de la macro‐estructura por el efecto de las deformaciones plásticas para ello se recurre a la Ecuación 4‐34.

Mhsj

totMhsjvol

Mhsj

Mhsj vvv 11 −− ⋅∆+= ε (Ec. 4‐34)

X. Se calculan los incrementos en los esfuerzos normales en el cemento bhsjp∆ mediante la

Ecuación 3‐22.

XI. Se actualiza el valor del esfuerzo normal en el cemento bhsjp mediante las expresiones 3‐

24.

XII. Se calcula el incremento en la energía de deformación producida por los esfuerzos

normales bhsjvolu∆ mediante la Ecuación 3‐26.

XIII. Se calcula el incremento en la energía de deformación total bhsjtotu∆ mediante la Ecuación

3‐28.

XIV. Se calcula la energía de deformación total acumulada bhsjtotu mediante la Ecuación 3‐29.

CAPÍTULO 4

82

XV. Se calcula la variable de daño Lj hs a través de la Ecuación 2‐32, si Lj hs <0, se asigna Lj hs=0

XVI. Se calculan los parámetros bhsj

bhsjhsj GyK,χ a partir de las Ecuaciones 2‐35, 2‐28 y 2‐29

respectivamente.

XVII. Se calcula la deformación volumétrica externa acumulada exthsjvolε mediante la Ecuación 3‐

12.

XVIII. Se calcula el valor del término hsjC a partir de la Ecuación 3‐4 y se incrementa la variable

contador j.

El proceso de cálculo comprendido entre el paso I y el paso XVIII se debe repetir nis veces, de esta manera se alcanza el valor de la succión máxima, posteriormente se debe continuar con el paso XIX para comenzar a disminuir la succión hasta su valor inicial, los pasos a seguir para lograr disminuir la succión son en general los mismos que se usaron para incrementarla sólo existen dos diferencias, la primera corresponde al cálculo de la succión corriente en donde se disminuye la succión (paso XIX) y la segunda diferencia radica en el cálculo de las deformaciones plásticas en donde no se usa la función fI sino fD por estar disminuyendo la succión (paso XXIV). A continuación se muestra el proceso.

XIX. Se disminuye la succión por medio de la expresión 4‐35.

cjj sss ∆−= −1 (Ec. 4‐35)

XX. Corresponde al paso II del presente proceso.

XXI. Corresponde al paso III del presente proceso.

XXII. Corresponde al paso IV del presente proceso.

XXIII. Corresponde al paso V del presente proceso.

XXIV. Se calculan las deformaciones plásticas volumétricas en la macro‐estructura a partir de las

deformaciones elásticas en la micro‐estructura, para ello se recurre a la Ecuación 4‐36.

Dmpvol

Mpvol f⋅∆=∆ εε (Ec.4‐36)

XXV. Corresponde al paso VII del presente proceso.


83

XXVI. Corresponde al paso VIII del presente proceso.

XXVII. Corresponde al paso IX del presente proceso.

XXVIII. Corresponde al paso X del presente proceso.

XXIX. Corresponde al paso XI del presente proceso.

XXX. Corresponde al paso XII del presente proceso.

XXXI. Corresponde al paso XIII del presente proceso.

XXXII. Corresponde al paso XIV del presente proceso.

XXXIII. Corresponde al paso XV del presente proceso.

XXXIV. Corresponde al paso XVI del presente proceso.

XXXV. Corresponde al paso XVII del presente proceso.

XXXVI. Corresponde al paso XVIII del presente proceso.

El proceso de cálculo comprendido entre el paso XIX y el paso XXXV se debe repetir nis veces para que la succión disminuya hasta el valor que produjo la cedencia SB. Los siguientes pasos corresponden a la disminución de la succión desde su valor SB hasta el valor inicial (smin).

. XXXVII. Se asigna al valor corriente de la succión sj el valor de smin.

XXXVIII. Se calculan los nuevos volúmenes en la macro‐estructura y en la micro‐estructura

correspondientes a la succión sj para ello se recurre a las Ecuaciones 4‐28 y 4‐29.

XXXIX. Se calculan los incrementos en las deformaciones en la macro‐estructura Mhsjvolε∆ y en la

micro‐estructura mhsjvolε∆ mediante las Ecuaciones 3‐34 y 3‐35. La deformación externa

exthsjvolε∆ se calcula mediante la Ecuación 3‐36.

XL. Se calculan las deformaciones volumétricas en el cemento bhsjvolε∆ mediante la Ecuación

2‐36.

CAPÍTULO 4

84

XLI. Se calculan los incrementos en los esfuerzos normales en el cemento bhsjp∆ mediante la

Ecuación 3‐22.

XLII. Se calcula el incremento en la energía de deformación producida por los esfuerzos

normales bhsjvolu∆ mediante la Ecuación 3‐26.

XLIII. Se calcula el incremento en la energía de deformación total bhsjtotu∆ mediante la Ecuación

3‐28.

XLIV. Se calcula la energía de deformación total acumulada bhsjtotu mediante la Ecuación 3‐29.

XLV. Se calcula la variable de daño Lj hs a través de la Ecuación 2‐32, si Lj hs <0, se asigna Lj hs=0.

XLVI. Se calculan los parámetros bhsj

bhsjhsj GyK,χ a partir de las Ecuaciones 2‐35, 2‐28 y 2‐29

respectivamente.

XLVII. Se calcula la deformación volumétrica externa acumulada exthsjvolε mediante la Ecuación 3‐

12.

XLVIII. Se calcula el valor del término hsjC a partir de la Ecuación 3‐4.

Al finalizar esta etapa el material habrá sido sometido a un ciclo aumento ‐ descenso de la succión, durante este ciclo el material cementante se degradará si este alcanza una energía de deformación superior a la energía ro, si esto ocurre los módulos de rigidez del cemento (Kb, Gb) y el parámetro estructural χ disminuirán conforme lo especifica la ley de daño asumida y los valores residuales de estos parámetros estarán almacenados en la matriz Mbondhs en la fila j y en las columnas 11, 12 y 1 respectivamente. 4.6 Procesos de cálculo de la fase III Al culminar la fase II la aplicación le solicitará al usuario la confirmación para comenzar a ejecutar la fase III que consiste en la modelación de un nuevo ensayo edométrico (trayectoria Ko) a succión constante, si el usuario confirma se da inicio a la modelación; en el caso contrario la aplicación finalizará.


85

Las etapas y los procesos de cálculo de esta fase son iguales a los descritos para la fase I (Ver numeral 4.4), la única diferencia radica en que los valores iniciales de los módulos de rigidez del cemento (Kb, Gb) y el parámetro estructural χ corresponden a los calculados en la última iteración de la fase II, todos los demás valores ingresados durante la primera adquisición de datos (Ver Tabla 3‐1) se conservarán. De esta manera se pretende valorar el efecto de la degradación en el cemento debido al ciclo aumento‐descenso de la succión que simula un ciclo humedecimiento –secado en la roca. Todas las matrices, vectores y escalares generados durante esta fase llevarán al final de su nombre el número 2 con el fin de no sustituir la información de la fase I y contar con todos los datos para una eventual comparación entre el ensayo edométrico con el cemento intacto y el ensayo edométrico con el cemento dañado. Cuando la aplicación finaliza se genera una ventana emergente (o se reemplaza la anterior) en donde se muestran las curvas de compresibilidad de la macro‐estructura y del material (volumen de la macro‐estructura más el volumen de la micro‐estructura), estas curvas tienen una presentación similar a la mostrada en la Figura 3‐11.

CAPÍTULO 5

86

Capítulo 5.

Resultados del modelo BBMYBONDcd4.m. Las dos aplicaciones desarrolladas en el presente trabajo son dos herramientas que modelan el comportamiento esfuerzo ‐ deformación de una roca lodosa sujeta a una succión cuando es sometida a dos trayectorias de esfuerzos diferentes, la primera corresponde a la trayectoria de un ensayo triaxial convencional (BBMYBONDcd4) y la segunda es una trayectoria K0 (EDOM_hs), dentro de la aplicación EDOM_hs, también existe la posibilidad de modelar el comportamiento succión – deformación. En la primera parte de este capítulo se mostrarán algunos resultados adicionales a los ya mencionados en los capítulos 3 y 4, para luego realizar un análisis paramétrico con el fin de identificar la incidencia de cada una de las propiedades en el comportamiento de la roca. 5.1 Aplicación BBMYBONDcd4 (Modelación de ensayos triaxiales) Para mostrar algunos de los resultados que se pueden obtener con la aplicación BBMYBONDcd4 se usará la modelación realizada con un material que presenta entre otras características: una concentración de cemento del 40%, un módulo de rigidez al corte en el cemento de 83.33 MPa y un módulo de rigidez al corte de la matriz de 8.8 MPa. El material se encuentra sometido a una succión de 0.3 MPa y fue objeto de una descarga cuando su esfuerzo cortante equivalente era de 0.42 MPa. Todas las características del material se encuentran resumidas en la Tabla 5‐2. Su curva esfuerzo – deformación se muestra en la Figura 5‐1.(a) Como ya se ha mencionado en los capítulos previos esta aplicación modela ensayos triaxiales a succión constante que siguen una trayectoria de esfuerzos que tiene una pendiente 3:1 en un plano (p, q), esta pendiente es seguida por los esfuerzos externos pero como ya se demostró con la Ecuación 2‐61 la matriz arcillosa sigue una pendiente que depende de las rigideces de la matriz y del cemento, en la medida que el cemento sea más representativo y mucho más rígido que la matriz, al menos inicialmente, la pendiente de la trayectoria de esfuerzos de la matriz será mayor que su similar de los esfuerzos externos y por lo tanto la falla ocurrirá para esfuerzos relativamente bajos. Para ilustrar este efecto en la Figura 5‐1 (b) se aprecian las trayectorias de los esfuerzos externos y de la matriz para un ensayo triaxial, en la figura se incluyó la envolvente de esfuerzos de la matriz. La Figura 5‐1 se obtuvo a partir de las matrices pqpo (columnas 1 y 2), pqext (columnas 1, 2 y 4) y del vector envol. Durante la modelación usada como ejemplo, el material cementante acumuló la energía de deformación suficiente para sobrepasar el umbral propuesto (r0=0.06 MPa) y por ende sus módulos de rigidez se degradarán en la medida que continúe el proceso de carga, una situación similar ocurre con el parámetro estructural χ y con el término Ci definido con la Ecuación 3‐4 que

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Figura

Figura

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0,1

0,2

0,3

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Pa)

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APLICACI

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ÓN DE UN M

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NSTITUTIVO A

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2

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A UNA ROCA

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Parámetro estr

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A LODOSA

87

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uctural.

,3 0,4

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yectoria externos

olvente

CAPÍTULO 5

88

5.2 Aplicación EDOM_hs De manera similar a lo realizado en el numeral 5.1 para la aplicación BBMYBONDcd4, en este numeral se mostrarán algunos de los resultados que se pueden obtener con la aplicación EDOM_h. Todas las características del material usado en la modelación se encuentran resumidas en la Tabla 5‐2.

Figura 5‐3 Curvas de compresibilidad (a) y trayectorias de esfuerzos (b) para el material intacto y alterado

En la parte (a) de la Figura 5‐3 se aprecia que el material intacto presenta un esfuerzo de cedencia ligeramente superior (0.38 MPa) al obtenido durante la modelación con el material alterado (0.33 MPa), este último se obtuvo luego de aplicar un ciclo de incremento‐descenso de la succión que afectó los módulos de rigidez del cemento y el parámetro estructural, los valores de los parámetros mencionados antes y después del ciclo son:

Tabla 5‐1 Parámetros del cemento antes y después del ciclo aumento – descenso de la succión

Parámetro Valor antes del ciclo

Valor después del ciclo

Xini 1.0 0.96 Kb (MPa) 111.0 102.47 Gb (MPa) 83.33 76.92

En este caso el ciclo incremento‐descenso de la succión no degradó tanto los parámetros del material y por esa razón la diferencia entre los esfuerzos de cedencia no sea mayor. Finalmente en la Figura 5‐4 se aprecia las deformaciones que sufre el material por el ciclo aumento ‐ descenso de la succión, en este caso se aprecia que al final del ciclo predominan las deformaciones inducidas durante el descenso de la succión esto se debe a las funciones fI y fD

2,17

2,18

2,19

2,2

2,21

2,22

2,23

2,24

2,25

2,26

2,27

2,28

0,01 0,1 1

VM+V

m

P ext (MPa)

Curvas de Compresibilidad

Compresibilidad intacta

Compresibilidad alterada

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

qext, qM (M

Pa)

P ext, PM (MPa)

Trayectorias de esfuerzos

Matriz Mat. intacto

Esf Externos

Matriz Mat. Alterado

Envolvente

(Ecuaexpreprevacausa

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APLICACI

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A UNA ROCA

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A LODOSA

89

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formación ento en el

CAPÍTULO 5

90

Los efectos antes mencionados se aprecian en la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. cuyo origen es la modelación de ensayos triaxiales sobre muestras de un mismo material (las propiedades se muestran en la Tabla 5‐2) que fue sometido a succiones que varían entre 0.1 y 0.5 MPa, allí se aprecia el aumento de la resistencia (qmáx) con la succión. En la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. también se puede apreciar que todas las curvas esfuerzo ‐ deformación tienen un tramo común que se extiende hasta el límite elástico de la roca sometida a la succión de 0.1 MPa, esto se debe a que la rigidez inicial de las rocas es la misma e independiente de la succión, esta realmente depende de la rigidez al corte de la matriz arcillosa y del cemento mineral. En la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. se aprecian las modelaciones de varios ensayos edométricos en donde se varió la succión aplicada al material al inicio del ensayo, en esa figura es evidente que la succión incrementa el esfuerzo de cedencia del material, pero las pendientes de las partes iniciales de las curvas de compresibilidad son las mismas pues la rigidez inicial del material no depende de la succión, este efecto es consistente con los resultados de las modelaciones de los ensayos triaxiales. 5.4 Efecto de la concentración del cemento Cb. 5.5 Efecto del parámetro estructural χ El parámetro estructural es una relación entre las deformaciones volumétricas o cortantes en el cemento y sus similares en los vacíos dejados por la macro‐estructura, esta definición le concede al parámetro el control en gran medida de las deformaciones y los esfuerzos que asume el cemento. En la Figura 5‐5 se aprecia que el comportamiento esfuerzo deformación externo tiende más a parecerse al comportamiento del cemento a medida que el valor de χ aumenta, esto se ve reflejado en el aumento del límite elástico del material y el bajo nivel de deformaciones para el cual se produce la falla.

En la parámeste un va El palas culas línesto s 5.6 El padegraglobar0 se maneen la

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A UNA ROCA

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A LODOSA

91

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APÍTULO 5

92

mo inicial


93

La aplicación desarrollada tiene la capacidad de imponerle al material un ciclo de carga ‐ descarga previo a la falla del material, el esfuerzo de descarga se especifica antes de iniciar la etapa de falla, durante la descarga se conserva la pendiente de la trayectoria de esfuerzos externa aplicada, es decir 3,0 a 1,0 en un plano (p, q). En la Figura 5‐8 se aprecia la modelación de dos ensayos triaxiales sobre muestras de rocas idénticas que fueron sometidos a ciclos carga‐descarga que se iniciaron a esfuerzos diferentes, el límite elástico de este material corresponde a un esfuerzo cortante equivalente de 0,44 MPa, allí se observa que cuando la descarga se hace a un esfuerzo cercano al límite elástico (0,5 MPa) el bucle definido por el ciclo carga ‐ descarga retoma la curva esfuerzo deformación casi en el mismo punto en donde se inició la descarga; caso contrario ocurre cuando la descarga se realiza a un esfuerzo mayor que el límite elástico (0,6 MPa) pues se aprecia que la roca no alcanza el nivel de esfuerzos inicial y su resistencia se ve disminuida, en este caso marginalmente, debido a la mayor degradación a la que fue expuesto el material y más precisamente el cemento mineral durante el ciclo carga –descarga.

Figura 5‐8 Triaxiales con ciclo carga‐descarga, influencia del esfuerzo en donde se inicia la descarga

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

Efecto del ciclo carga ‐descarga

Sin descarga

qdes=0,6Mpa

qdes=0.5MPa

CAPÍTULO 5

94

Tabla 5‐2 Parámetros usados en las modelaciones de ensayos triaxiales.

Tabla 5‐3 Parámetros usados en las modelaciones de ensayos edométricos

* Para la modelación de los ciclos incremento‐descenso de la succión se usaron los parámetros de la tabla. ** En todas las modelaciones se usaron 20 incrementos de carga.

VMini 1,800 2,200 2,200 2,200 2,200Vmini 0,100 1,800 1,800 1,800 1,800Cb 0,400 0,400 0,1 - 0,2 - 0,4 - 0,6 - 0,8 0,400 0,400kappaM 0,020 0,020 0,020 0,020 0,020kappam 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010PM(0) 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 MPaPMc 0,036 0,036 0,036 0,036 0,036 MPaXini 1,000 1,000 1,000 0,5 - 1,0 - 2,0 - 3,0 - 4,0 1,000Kbini 111,000 111,000 111,000 111,000 111,000 MPaGbini 83,330 83,330 83,330 83,330 83,330 MParo 0,060 0,060 0,060 0,060 0,450r1 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500

s 0,300 0,1 - 0,2 - 0,3 - 0,5 0,400 0,400 0,400 MPaPMo 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 MPaλ(0) 0,075 0,075 0,075 0,075 0,075r 0,750 0,750 0,750 0,750 0,750

β 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00

M 0,982 0,982 0,982 0,982 0,982ks 1,324 1,324 1,324 1,324 1,324GM 8,800 8,800 8,800 8,800 8,800 MPaσdes 0,420 -- -- -- 0,50 - 0,60 MPa

Numeral 5.1 UnidadesVariación de la succión

Fig. 5‐5Variación de Cb

Fig. 5‐7Variación de Xini

Fig. 5‐9Ciclos carga ‐ descarga

Figura 5‐12

VMini 1,800 2,200 2,200 2,200 2,200Vmini 0,500 1,800 1,800 1,800 1,800Cb 0,400 0,400 0,1 - 0,2 - 0,4 - 0,6 0,400 0,400kappaM 0,020 0,020 0,020 0,020 0,020kappam 0,005 0,010 0,010 0,010 0,010λ(0) 0,075 0,075 0,075 0,075 0,075GM 8,800 8,800 8,800 8,800 8,800 MPaM 0,982 0,982 0,982 0,982 0,982PM(0) 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 MPaPMc 0,036 0,036 0,036 0,036 0,036 MPar 0,750 0,750 0,750 0,750 0,750

β 15,000 15,00 15,00 15,00 15,00ks 1,324 1,324 1,324 1,324 1,324Xini 1,000 1,000 1,000 0,5 - 1,0 - 2,0 - 2,5 1,000Kbini 111,000 111,000 111,000 111,000 111,000 MPaGbini 83,330 83,330 83,330 83,330 83,330 MParo 0,550 0,800 0,800 0,800 0,04 - 0,06 - 0,10 - 0,50 MPar1 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500s 0,300 0,3 - 0,4 - 0,5 - 0,6 0,400 0,400 0,400 MPaσvo 0,080 0,080 0,080 0,080 0,080 MPaσvf 1,200 1,200 1,200 1,200 1,200 MPaKo 0,450 0,42 0,42 0,42 0,42

Variación de ro Fig. 5‐11

UnidadesNumeral 5.2 (*)Variación de la succión

Fig. 5‐6Variación de Cb

Fig. 5‐8Variación de Xini

Fig. 5‐10


95

Tabla 5‐4 Parámetros usados para modelar los ciclos de succión

kappas 0,01sI ‐sD 0,10 MPafI0 0,00fI1 1,20nI 1,00fD0 0,50fD1 1,20nD 1,00smax 50,00 MPasmin 0,40 MPaσvhs 0,04 MPanis 50

Ciclos de succión

Unidades

CAPÍTULO 6

96

Capítulo 6.

Conclusiones y recomendaciones. En el capítulo final de este documento se presentarán las conclusiones a las que se llegó luego del desarrollo de las dos aplicaciones, estas conclusiones estarán orientadas al manejo y selección de los parámetros que alimentan los modelos, posteriormente se presentarán algunas recomendaciones para los trabajos investigativos posteriores sobre las rocas lodosas u otros materiales estructurados. 6.1 Conclusiones En este trabajo se consideró a la roca lodosa como un material compuesto de una matriz arcillosa y de un cementante mineral, muchos autores han demostrado que este tipo de materiales son bastante susceptibles a los cambios en la humedad y en los esfuerzos. El modelo considerado para el desarrollo de las aplicaciones BBMYBONDcd4 y EDOM_hs considera la succión como uno de los componentes de resistencia de la matriz arcillosa y en el numeral 5.3.1 se apreció el efecto de esta en las curvas esfuerzo – deformación y edométricas. También se demostró la influencia de la succión en la degradación de las propiedades del material cementante. A manera de resumen se puede afirmar que la succión incrementa la resistencia del material pero no cambia su rigidez inicial, los cambios en la succión, que están asociados a los ciclos humedecimiento –secado, inducen deformaciones en el material que pueden llegar a ser permanentes, estas deformaciones pasan al cemento y pueden llegar a degradarlo si se sobrepasa el umbral de energía de deformación del cemento. La aplicación BBMYBONDcd4 desarrollada en el presente trabajo tiene la capacidad de modelar un ensayo triaxial que le aplique a la roca un ciclo carga – descarga, los resultados de la modelación demuestran que durante la recarga se puede producir un daño adicional al cemento que modifica la curva esfuerzo – deformación y disminuye la resistencia del material, también se demostró que el nivel de esfuerzo para el cual se comienza la descarga tiene una considerable influencia en la curva definitiva, pues los cambios en las curvas se hacen más evidentes en la medida que el esfuerzo en donde se inicia la descarga se hace más grande que el valor correspondiente al esfuerzo que define el límite elástico, esto se aprecia en la Figura 5‐8. De esta manera se pretende modelar el efecto degradante de los ciclos carga – descarga en los materiales cementados como es el caso de las rocas lodosas. A partir de la formulación del modelo y de los resultados obtenidos con él, queda claro que el comportamiento inicial de los materiales cementados independientemente que sea visto a partir de un ensayo triaxial o uno edométrico, puede variar entre el comportamiento elasto‐plástico de su matriz arcillosa y el comportamiento elástico y frágil del cemento mineral, los parámetros que


97

determinan cuál es el modelo que predominará son: la concentración del cemento (Cb) y el parámetro estructural (χ), los dos conforman un término que es recurrente en toda la formulación y que relaciona las deformaciones en la matriz y las que ocurren en el cemento.

bi

iMs

bs

C⋅+=

χχ

εε

1 (Ec. 6‐1)

El uso de este término de compatibilidad de deformaciones fue muy frecuente en el capítulo 2 y se puede encontrar en las ecuaciones que definen los incrementos de esfuerzos en los diferentes componentes del material a partir de los incrementos en los esfuerzos externos, por lo anterior es necesario detallar los valores que este puede alcanzar; en la Figura 2‐5 se aprecia la variación del parámetro de compatibilidad de deformaciones con el parámetro χ, basados en esta figura se pueden hacer las siguientes conclusiones: Las altas concentraciones del cemento implican un bajo valor del parámetro de compatibilidad (Ecuación 6‐1), esto implica que las deformaciones y los esfuerzos asumidos por el cemento serán menores para cualquier incremento en las deformaciones de la matriz; cabe destacar que para las altas concentraciones del cemento la degradación es más paulatina frente a la exhibida por el término cuando la concentración es baja. También implica que la mejor manera de considerar un material como no cementado dentro de este modelo es considerar que el parámetro χ es cero. De los dos parámetros considerados (χ, Cb) sólo la concentración del cemento se puede obtener de la caracterización del material, el parámetro estructural debe ser calibrado de acuerdo con los resultados de las modelaciones, se recomienda comenzar por considerar que el parámetro de compatibilidad de deformaciones es igual a cierto valor, si se escoge la unidad por ejemplo se está considerando que las deformaciones en el cemento son iguales a las deformaciones en la matriz, con este valor supuesto y conociendo la concentración del cemento en la roca es posible determinar el valor del parámetro estructural de la Figura 2‐5. Se destaca el hecho que el comportamiento más frágil está asociado a los valores más altos de χ. El parámetro r0 determina el rango de esfuerzos para el cual el comportamiento elástico – frágil del cemento prima en el comportamiento global del material, la manera más sencilla de establecer el orden de magnitud de r0 es a través de la curva de compresibilidad del material, si las dos partes de esta curva son fácilmente diferenciables el valor de r0 es alto tanto que el material cementante puede no haberse dañado durante el proceso de carga; si la transición entre las dos partes de la curva incluye un cambio de pendiente adicional implica que el valor de r0 es similar al nivel de energía de deformación producido en el cemento por el esfuerzo de pre‐consolidación, por último si la transición entre las dos partes de la curva de compresibilidad no es clara el valor de r0 debe ser muy bajo pues la degradación se estaría presentando para valores de energía inferiores a los alcanzados durante la aplicación del esfuerzo de pre‐consolidación.

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