Lazos de fijación de fase, PLL (monografía versión .PDF, 372 kb)

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PLL LAZOS DE FIJACIÓN DE FASE Federico Miyara Segunda Edición - 2005 B04.01 Riobamba 245 bis http://www.fceia.unr.edu.ar/enica3 2000 Rosario TEL 0341 4808543 Argentina FAX 0341 4802654 Universidad Nacional de Rosario Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Escuela de Ingeniería Electrónica Departamento de Electrónica ELECTRÓNICA III 8,4 k9 D 1 530 530 T 3 T 4 I " D 5 D 6 D 3 D 4 2,6 kT 9 T 10 T 7 T 6 T 5 T 11 t t v i v c

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PLLLAZOS DE FIJACIOacuteN DE FASE

Federico Miyara

Segunda Edicioacuten - 2005B0401

Riobamba 245 bis httpwwwfceiaunreduarenica32000 Rosario TEL 0341 4808543Argentina FAX 0341 4802654

Universidad Nacional de RosarioFacultad de Ciencias Exactas Ingenieriacutea y Agrimensura

Escuela de Ingenieriacutea ElectroacutenicaDepartamento de Electroacutenica

ELECTROacuteNICA III

84 kΩΩΩΩ9

D1

530 ΩΩΩΩ530 ΩΩΩΩ

T3 T4

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D5

D6D3

D4

26 kΩΩΩΩ

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t

vi

vc

Coacutedigo interno de publicacioacuten B0401Primera edicioacuten 2000Segunda edicioacuten corregida y ampliada 2005Publicado en InternetRosario ArgentinaAntildeo 2005httpwwwfceiaunreduarenica3pllpdf

0401 1

PLLLAZOS DE FIJACIOacuteN DE FASE

1 Introduccioacuten

Un lazo de fijacioacuten de fase (PLL siglas en ingleacutes de phase locked loop) es un cir-cuito capaz de generar una oscilacioacuten cuya fase con respecto a una sentildeal de entrada semantiene acotada contando para ello con una realimentacioacuten que compara la fase de lasdos sentildeales y actuacutea modificando la frecuencia de la oscilacioacuten generada En la figura 1se muestra un esquema muy simplificado del mismo

Figura 1 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase

El comparador de fase produce idealmente una sentildeal KDsdot∆ϕ proporcional a la di-ferencia de fase entre la sentildeal de entrada v1 y la sentildeal v2 generada por el oscilador con-trolado por tensioacuten (VCO siglas en ingleacutes de voltage-controlled oscillator) queamplificada por el amplificador se aplica a la entrada vc del VCO Este uacuteltimo produceuna frecuencia f2 que variacutea linealmente con vc

La situacioacuten de equilibrio se alcanza cuando la sentildeal KDsdot∆ϕ amplificada por elamplificador es tal que aplicada al VCO hace que eacuteste oscile exactamente a la mismafrecuencia que la entrada En efecto si fuera por ejemplo f1 gt f2 la diferencia de faseiriacutea en aumento lo cual hariacutea que f2 aumentara tendiendo a acercarse a f1 y a la inversasi f1 lt f2

Una primera aplicacioacuten interesante de este dispositivo es la demodulacioacuten de unasentildeal de frecuencia modulada ya que vc es proporcional a f2 y por lo tanto a f1 Existencomo veremos maacutes adelante otras aplicaciones como la multiplicacioacuten de frecuenciaso la recuperacioacuten del tono piloto en las sentildeales de FM estereofoacutenicas

2 Estructura real de un PLL

En el esquema simplificado de la figura 1 supusimos la existencia de un elementode circuito capaz de comparar directamente las fases de las dos sentildeales produciendouna sentildeal proporcional a la diferencia de fases KDsdot∆ϕ Desgraciadamente no es posibleconstruir tal dispositivo por lo cual se lo reemplaza por un circuito multiplicador (de-

Comparadorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 v2KDsdot∆ϕ

vc

f1 f2

v3

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

2 B0401

nominado detector de fase multiplicativo) seguido por un filtro pasabajos Si suponemosque las dos sentildeales que ingresan al mismo son

tVtv 111 sen)( ω= (1)

tVtv 222 sen)( ω= (2)

entonces la multiplicacioacuten de estas sentildeales conduce aplicando conocidas identidadestrigonomeacutetricas a

[ ]ttVVKtvtvKtv )sen()cos(2

)()()( 212121213 ω+ωminusωminusω== (3)

Si suponemos que ω1 minus ω2 ltlt ω1 + ω2 y que el filtro pasabajos tiene su frecuencia decorte entre estas dos frecuencias la frecuencia ω1 + ω2 se elimina y entonces podemosconcluir que

tVVKtv )cos(2

)( 21213 ωminusωcong (4)

Pero (ω1 minus ω2)t es precisamente la diferencia de fase ∆ϕ entre ambas sentildeales de donde

ϕ∆cong cos2

)( 213 VVKtv (5)

Esta relacioacuten se ha representado en la figura 2 donde se observa ademaacutes que en lasproximidades de π2 la relacioacuten es bastante lineal En ese caso es posible aproximar auacutenmaacutes la ecuacioacuten (5) que queda

)2()2(2 213 ϕ∆minusπ=ϕ∆minusπcong DKVVKv (6)

Figura 2 Relacioacuten cosenoidal entre la salida v3 y la diferencia de fase∆ϕ entre la sentildeal de entrada y la del VCO La liacutenea de trazos es laaproximacioacuten lineal

La alinealidad puede eliminarse si en lugar de utilizar un multiplicador lineal seutiliza un circuito de tipo OR-exclusivo cuya respuesta es

v3(t) = K sg(v1(t)) sg(v2(t)) (7)

v3

∆ϕππ2

KD

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B401 3

donde sg(x) es la funcioacuten signo Suponiendo que las dos sentildeales tienen semiperiacuteodossimeacutetricos y que tienen un defasaje ∆ϕ como se muestra en la figura 3(a) podemoscalcular el valor medio en un periodo como

πϕ∆minusϕ∆minusπ== int KKdttv

TV

Tmed

)()(10 33

es decir

ϕ∆minusπ

π=

22

3KV med (8)

relacioacuten indicada en la figura 3b

Figura 3 Operacioacuten de un detector de fase OR-exclusivo (a) Formade onda previa al filtrado (b) Relacioacuten lineal entre la fase y la compo-nente de baja frecuencia

Lo anterior muestra que en la figura 1 podemos sustituir el comparador de fasepor un detector de fase multiplicativo y un filtro pasabajos como se ve en la figura 4

Figura 4 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase po-niendo de manifiesto la estructura del comparador de fase

NOTA El razonamiento anterior se hizo suponiendo que tanto ω1 como ω2 eran constantes Sison variables ya no es cierto que ϕ = ωsdott sino que ϕ = intω dt o lo que es lo mismoω(t) = ϕrsquo(t) (ver Apeacutendice 1)

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 v2KDsdot∆ϕ

vc

f1 f2FiltroPasabajos v2

V3 med

∆ϕππ2

K

1

sg(v1)

ωt

sg(v2)

1ωt

v3

Kωt

2ππ π+∆ϕ∆ϕ

∆ϕ

(a) (b)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

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La aproximacioacuten (6) es vaacutelida soacutelo cuando la diferencia de fase se encuentra proacute-xima π2 Para diferencias de fase cercanas a π o a 0 el comparador de fase exhibe uncomportamiento alineal y tiende a saturarse iquestQueacute sucede en ese caso Simplemente larealimentacioacuten se interrumpe las frecuencias dejan de ser iguales y entonces la fasesalta perioacutedicamente entre valores positivos y negativos tendiendo a un promedio nuloLo mismo sucede en el caso del detector OR-exclusivo cuando el defasaje intenta ir pordebajo de 0 o por encima de π En este caso se dice que el PLL funciona desengancha-do Dado que el VCO recibe una tensioacuten nula en el caso ideal produciriacutea a su salida unasentildeal de frecuencia tambieacuten nula Sin embargo por razones de orden praacutectico que ve-remos enseguida conviene que con entrada nula genere alguna frecuencia no nula quese denomina frecuencia libre

3 PLL en seguimiento

En la zona de operacioacuten lineal del detector de fase (zona de seguimiento) el PLLse comporta como un sistema lineal y es posible determinar su transferencia frecuencia-tensioacuten por medio de la teoriacutea de sistemas lineales Para ello es conveniente tener encuenta la relacioacuten que existe entre la fase y la frecuencia ya que la ldquoentradardquo del siste-ma seraacute la frecuencia de la sentildeal de entrada mientras que la comparacioacuten se efectuaraacuteen fase Tenemos (Apeacutendice 1)

intω=ϕ dttt )()( (9)

que en transformada de Laplace corresponde a

)(1)( ss

s Ω=Φ (10)

A fin de evitar confusiones es importante sentildealar que en este tipo muy particularde sistemas consideramos que la sentildeal de entrada es una frecuencia que a su vez podriacuteavariar perioacutedicamente con otra frecuencia Por ejemplo fiacutesicamente podriacutea tratarse deuna sentildeal senoidal cuya frecuencia variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces porsegundo es decir una portadora de 10 kHz modulada en frecuencia mediante una sentildealmoduladora de 100 Hz Para el PLL la sentildeal seraacute la frecuencia variable entre 9 kHz y11 kHz y su frecuencia seraacute 100 Hz La frecuencia impliacutecita en la variable de Laplace scorresponde a esta uacuteltima es decir la frecuencia con que variacutea la frecuencia

En la figura 5 (a) se muestra la interconexioacuten de bloques que resulta obtenida re-ordenando los bloques de la figura 3 e incluyendo la relacioacuten (10) F(s) es la funcioacutentransferencia del filtro En la figura 5 (b) las dos integraciones 1s han quedado absorbi-das en una sola dentro del camino directo

De esta figura puede obtenerse la funcioacuten de transferencia del PLL aplicando lafoacutermula para la transferencia de un sistema realimentado

)(11

11

)(1

)(

)()(

sFAKKsKsF

sAKK

sFs

AK

ssV

DOSCOSCDOSC

D

i

O

+=

+=

Ω (11)

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Figura 5 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase linea-lizado (a) Poniendo de manifiesto la relacioacuten entre frecuencia y fase(b) Reordenado para simplificar el anaacutelisis

A fin de lograr una mejor comprensioacuten de la foacutermula anterior analizaremos pri-mero el caso ideal que es maacutes simple

31 El caso ideal

En el caso ideal planteado en la seccioacuten 1 el comparador de fase produciraacute unatensioacuten proporcional al error de fase sin necesidad de ninguacuten filtrado posterior por locual podriacuteamos tomar F(s) = 1 resultando

AKKsKs

sV

DOSCOSCi +

=Ω 1

11)()(0 (12)

Vemos que el PLL se comporta inherentemente como un pasabajos cuya frecuenciaangular de corte es

AKK DOSCPLL =ω (13)

Como puede apreciarse la frecuencia de corte seraacute tanto mayor cuanto mayor sea laganancia del lazo Este comportamiento es coherente con el hecho de que estamos rea-limentando un sistema con un polo (la integracioacuten) y por lo tanto su producto gananciapor ancho de banda es constante

1s KD F(s) A

KOSC

KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+

minus

ΩOSC = KOSCVo

Ωε

(a)

(b)

1s KD F(s) A

1s KOSC

KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+

minus

ΩOSC = KOSCVoΦOSC

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

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NOTA Observemos que esta frecuencia de corte no es relativa a la sentildeal fiacutesica de en-trada sino a su frecuencia En otras palabras si la frecuencia es constante (es decir sila frecuencia de variacioacuten de la frecuencia es 0) no existiraacute atenuacioacuten con respecto a latransferencia ideal 1KOSC Si ahora la frecuencia empieza a variar mientras la frecuen-cia de variacioacuten se mantenga por debajo de ωPLL no habraacute atenuacioacuten pero por encimade ωPLL (es decir cuando la frecuencia variacutee muy raacutepidamente) la amplitud de la ten-sioacuten de salida comenzaraacute a reducirse

Supongamos ahora una sentildeal cuya frecuencia variacutea senoidalmente alrededor deuna frecuencia central ω0 alejaacutendose de eacutesta en plusmn ∆ωmaacutex

tt mi ωω∆+ω=ω sen)( maacutex0 (14)

donde ωm es la frecuencia de variacioacuten de la frecuencia Si aplicamos la ecuacioacuten (12)podemos obtener la tensioacuten de salida en reacutegimen permanente

)(sen

1

1)(2

maacutex00 θ+ω

ω+

ω∆+

ω= t

AKK

KKtv m

DOSC

mOSCOSC

(15)

donde

AKK DOSC

mωminus=θ arctg (16)

Es interesante ahora obtener la frecuencia generada por el VCO que es la que re-sulta comparada con la de la entrada Para ello basta multiplicar por KOSC

)(sen

1

1)(2maacutex0 θ+ω

ω+

ω∆+ω=ω t

AKK

t m

DOSC

m

VCO (17)

Si recordamos la ecuacioacuten (14) comprobaremos que ωVCO ne ωi excepto si ωm ltlt ωPLLcomo se muestra en la figura 6 Esto pareceriacutea estar en contradiccioacuten con el anaacutelisis in-tuitivo que habiacuteamos hecho en la seccioacuten 1 donde afirmaacutebamos que en el equilibrioωVCO = ωi Pero no es asiacute dado que en este caso en el cual la frecuencia de entrada noes constante es maacutes apropiado hablar de reacutegimen permanente que de equilibrio En lafigura 7 se muestran ademaacutes de las frecuencias ωi y ωVCO las correspondientes formasde onda

Si la frecuencia de entrada fuera constante (y por consiguiente igual a ω0) la fre-cuencia del VCO seriacutea exactamente igual a la frecuencia de entrada situacioacuten que siacutepuede considerarse como de equilibrio Es interesante vincular esto con la Teoriacutea delControl En este caso al haber una integracioacuten en la cadena directa (la que conviertefrecuencia en fase) cabe esperar que el error en continua sea nulo por lo cual el resul-tado obtenido antes intuitivamente y ahora por caacutelculo era esperable

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Figura 6 Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y del VCO (liacutenea detrazos) en funcioacuten del tiempo (a) Para ωm ltlt ωPLL (b) Para ωm gt ωPLL

Figura 7 (a) Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y delVCO (liacutenea de trazos) en funcioacuten del tiempo (b) Tensioacuten de entrada(c) Tensioacuten del VCO Compaacuterese las graacuteficas (b) y (c) con la corres-pondiente frecuencia de la graacutefica (a) Obseacutervese coacutemo la variacioacuten defrecuencia en (c) es menor que en (b)

ω

t

ωi

ωVCOω0

(a)ω

t

ωi

ωVCO

ω0

(b)

ω

t

ωi ωVCO

ω0

(a)

(b)

vi

t

(c)

vVCO

t

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

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Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es

AKK DOSCPLL

11 =ω

=τ (18)

Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten

OSC

t

OSC

t

Ke

Kev

PLLωminusτminus ωminusω+ω

=ωminusω+ω

=)()( 212

212

0 (19)

mientras que la frecuencia del VCO seraacute

tVCO PLLe

ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)

Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior

Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

τ

vi

t

vVCO

t

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32 El caso real

Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)

RCssF

+=

11)( (21)

Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene

( )RCsAKK

sKssV

DOSCOSCi ++

=Ω 11

11)()(0 (22)

que puede reescribirse como

20

11

11)()(

sAKK

RCsAKK

KssV

DOSCDOSCOSCi ++

(23)

o bien

2

20

21

11)()(

nn

OSCi ssKssV

ω+

ωξ+

(24)

Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos

AKK DOSCRCn ω=ω (25)

AKK DOSC

RCω=ξ 2

1 (26)

Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso

Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero

R1

C

R1

R2

C

(a) (b)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

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de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable

Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta

AKK DOSCRC 2=ω (27)

y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)

o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural

AKK DOSCPLL 2=ω (29)

Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es

1

2

21

211

)(11

)(ω+ω+

=++

+=

ss

CsRRCsRsF (30)

Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-

sioacuten para la transferencia del PLL

2

10

11

1

11)()(

ω+ω++

ss

AKKsKs

sV

DOSCOSCi

(31)

es decir

2

12

201111

11)()(

sAKK

sAKK

sKs

sV

DOSCDOSC

OSCiω

+

ω

++

ω+=

Ω (32)

Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten

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AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)

ω

+ω=ξ22

1 11AKK DOSC

n (34)

de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)

221 )(PLL

DOSC AKKCRR

ω=+ (35)

AKKCR

DOSCPLL

122 minus

ω= (36)

Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte

Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (37)

donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada

Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo

EJEMPLO 1

Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

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Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ

4 Rango de captura del PLL

Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC

El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser

AKK D

OSC

i2

o πleωminusω

es decir

AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)

Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL

Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)

tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)

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puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute

( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)

Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que

( ))(2 o

o ωminusωπleωminusω

iDOSC

i jFAKK

es decir

( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)

Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2

A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)

Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)

EJEMPLO 2

En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura

ωo

ωVCO

ωi

ωo

captura

enganche

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

14

Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s

es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s

es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A

41 Extensioacuten del rango de captura

Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)

Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura

Detectorde fase F(s) A

VCO

+

f-V

B0401

versor fre-

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 15

42 Rechazo a ruido

El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB

43 Tiempo de captura

El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente

( )3

2

2 ncapturaT

ωξ

ω∆cong (42)

Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente

5 Error de fase en reacutegimen permanente

Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex

tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)

Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute

( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)

Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

16 B0401

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)

Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2

Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta

( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)

Integrando

( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm

mjHtjHtt ω+ωωminusω

ωω∆

=ϕ∆ (47)

Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene

( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω

ωω∆

=ϕ∆ mmm

jHjH (48)

Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por

2

12

21111

1)(

sAKK

sAKK

ssH

DOSCDOSC ω+

ω

++

ω+= (49)

Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que

AKK DOSC

maacutexmaacutex

ω∆congϕ∆ (50)

En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como

ξωω∆

congϕ∆ 2maacutexmaacutex

n (51)

Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por

ωω

ξminus+

ξωω∆

congϕ∆22

maacutexmaacutex 2

114

1 n

n (52)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 17

En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

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B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

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Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

Page 2: Lazos de fijación de fase, PLL (monografía versión .PDF, 372 kb)

Coacutedigo interno de publicacioacuten B0401Primera edicioacuten 2000Segunda edicioacuten corregida y ampliada 2005Publicado en InternetRosario ArgentinaAntildeo 2005httpwwwfceiaunreduarenica3pllpdf

0401 1

PLLLAZOS DE FIJACIOacuteN DE FASE

1 Introduccioacuten

Un lazo de fijacioacuten de fase (PLL siglas en ingleacutes de phase locked loop) es un cir-cuito capaz de generar una oscilacioacuten cuya fase con respecto a una sentildeal de entrada semantiene acotada contando para ello con una realimentacioacuten que compara la fase de lasdos sentildeales y actuacutea modificando la frecuencia de la oscilacioacuten generada En la figura 1se muestra un esquema muy simplificado del mismo

Figura 1 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase

El comparador de fase produce idealmente una sentildeal KDsdot∆ϕ proporcional a la di-ferencia de fase entre la sentildeal de entrada v1 y la sentildeal v2 generada por el oscilador con-trolado por tensioacuten (VCO siglas en ingleacutes de voltage-controlled oscillator) queamplificada por el amplificador se aplica a la entrada vc del VCO Este uacuteltimo produceuna frecuencia f2 que variacutea linealmente con vc

La situacioacuten de equilibrio se alcanza cuando la sentildeal KDsdot∆ϕ amplificada por elamplificador es tal que aplicada al VCO hace que eacuteste oscile exactamente a la mismafrecuencia que la entrada En efecto si fuera por ejemplo f1 gt f2 la diferencia de faseiriacutea en aumento lo cual hariacutea que f2 aumentara tendiendo a acercarse a f1 y a la inversasi f1 lt f2

Una primera aplicacioacuten interesante de este dispositivo es la demodulacioacuten de unasentildeal de frecuencia modulada ya que vc es proporcional a f2 y por lo tanto a f1 Existencomo veremos maacutes adelante otras aplicaciones como la multiplicacioacuten de frecuenciaso la recuperacioacuten del tono piloto en las sentildeales de FM estereofoacutenicas

2 Estructura real de un PLL

En el esquema simplificado de la figura 1 supusimos la existencia de un elementode circuito capaz de comparar directamente las fases de las dos sentildeales produciendouna sentildeal proporcional a la diferencia de fases KDsdot∆ϕ Desgraciadamente no es posibleconstruir tal dispositivo por lo cual se lo reemplaza por un circuito multiplicador (de-

Comparadorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 v2KDsdot∆ϕ

vc

f1 f2

v3

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

2 B0401

nominado detector de fase multiplicativo) seguido por un filtro pasabajos Si suponemosque las dos sentildeales que ingresan al mismo son

tVtv 111 sen)( ω= (1)

tVtv 222 sen)( ω= (2)

entonces la multiplicacioacuten de estas sentildeales conduce aplicando conocidas identidadestrigonomeacutetricas a

[ ]ttVVKtvtvKtv )sen()cos(2

)()()( 212121213 ω+ωminusωminusω== (3)

Si suponemos que ω1 minus ω2 ltlt ω1 + ω2 y que el filtro pasabajos tiene su frecuencia decorte entre estas dos frecuencias la frecuencia ω1 + ω2 se elimina y entonces podemosconcluir que

tVVKtv )cos(2

)( 21213 ωminusωcong (4)

Pero (ω1 minus ω2)t es precisamente la diferencia de fase ∆ϕ entre ambas sentildeales de donde

ϕ∆cong cos2

)( 213 VVKtv (5)

Esta relacioacuten se ha representado en la figura 2 donde se observa ademaacutes que en lasproximidades de π2 la relacioacuten es bastante lineal En ese caso es posible aproximar auacutenmaacutes la ecuacioacuten (5) que queda

)2()2(2 213 ϕ∆minusπ=ϕ∆minusπcong DKVVKv (6)

Figura 2 Relacioacuten cosenoidal entre la salida v3 y la diferencia de fase∆ϕ entre la sentildeal de entrada y la del VCO La liacutenea de trazos es laaproximacioacuten lineal

La alinealidad puede eliminarse si en lugar de utilizar un multiplicador lineal seutiliza un circuito de tipo OR-exclusivo cuya respuesta es

v3(t) = K sg(v1(t)) sg(v2(t)) (7)

v3

∆ϕππ2

KD

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 3

donde sg(x) es la funcioacuten signo Suponiendo que las dos sentildeales tienen semiperiacuteodossimeacutetricos y que tienen un defasaje ∆ϕ como se muestra en la figura 3(a) podemoscalcular el valor medio en un periodo como

πϕ∆minusϕ∆minusπ== int KKdttv

TV

Tmed

)()(10 33

es decir

ϕ∆minusπ

π=

22

3KV med (8)

relacioacuten indicada en la figura 3b

Figura 3 Operacioacuten de un detector de fase OR-exclusivo (a) Formade onda previa al filtrado (b) Relacioacuten lineal entre la fase y la compo-nente de baja frecuencia

Lo anterior muestra que en la figura 1 podemos sustituir el comparador de fasepor un detector de fase multiplicativo y un filtro pasabajos como se ve en la figura 4

Figura 4 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase po-niendo de manifiesto la estructura del comparador de fase

NOTA El razonamiento anterior se hizo suponiendo que tanto ω1 como ω2 eran constantes Sison variables ya no es cierto que ϕ = ωsdott sino que ϕ = intω dt o lo que es lo mismoω(t) = ϕrsquo(t) (ver Apeacutendice 1)

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 v2KDsdot∆ϕ

vc

f1 f2FiltroPasabajos v2

V3 med

∆ϕππ2

K

1

sg(v1)

ωt

sg(v2)

1ωt

v3

Kωt

2ππ π+∆ϕ∆ϕ

∆ϕ

(a) (b)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

4 B0401

La aproximacioacuten (6) es vaacutelida soacutelo cuando la diferencia de fase se encuentra proacute-xima π2 Para diferencias de fase cercanas a π o a 0 el comparador de fase exhibe uncomportamiento alineal y tiende a saturarse iquestQueacute sucede en ese caso Simplemente larealimentacioacuten se interrumpe las frecuencias dejan de ser iguales y entonces la fasesalta perioacutedicamente entre valores positivos y negativos tendiendo a un promedio nuloLo mismo sucede en el caso del detector OR-exclusivo cuando el defasaje intenta ir pordebajo de 0 o por encima de π En este caso se dice que el PLL funciona desengancha-do Dado que el VCO recibe una tensioacuten nula en el caso ideal produciriacutea a su salida unasentildeal de frecuencia tambieacuten nula Sin embargo por razones de orden praacutectico que ve-remos enseguida conviene que con entrada nula genere alguna frecuencia no nula quese denomina frecuencia libre

3 PLL en seguimiento

En la zona de operacioacuten lineal del detector de fase (zona de seguimiento) el PLLse comporta como un sistema lineal y es posible determinar su transferencia frecuencia-tensioacuten por medio de la teoriacutea de sistemas lineales Para ello es conveniente tener encuenta la relacioacuten que existe entre la fase y la frecuencia ya que la ldquoentradardquo del siste-ma seraacute la frecuencia de la sentildeal de entrada mientras que la comparacioacuten se efectuaraacuteen fase Tenemos (Apeacutendice 1)

intω=ϕ dttt )()( (9)

que en transformada de Laplace corresponde a

)(1)( ss

s Ω=Φ (10)

A fin de evitar confusiones es importante sentildealar que en este tipo muy particularde sistemas consideramos que la sentildeal de entrada es una frecuencia que a su vez podriacuteavariar perioacutedicamente con otra frecuencia Por ejemplo fiacutesicamente podriacutea tratarse deuna sentildeal senoidal cuya frecuencia variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces porsegundo es decir una portadora de 10 kHz modulada en frecuencia mediante una sentildealmoduladora de 100 Hz Para el PLL la sentildeal seraacute la frecuencia variable entre 9 kHz y11 kHz y su frecuencia seraacute 100 Hz La frecuencia impliacutecita en la variable de Laplace scorresponde a esta uacuteltima es decir la frecuencia con que variacutea la frecuencia

En la figura 5 (a) se muestra la interconexioacuten de bloques que resulta obtenida re-ordenando los bloques de la figura 3 e incluyendo la relacioacuten (10) F(s) es la funcioacutentransferencia del filtro En la figura 5 (b) las dos integraciones 1s han quedado absorbi-das en una sola dentro del camino directo

De esta figura puede obtenerse la funcioacuten de transferencia del PLL aplicando lafoacutermula para la transferencia de un sistema realimentado

)(11

11

)(1

)(

)()(

sFAKKsKsF

sAKK

sFs

AK

ssV

DOSCOSCDOSC

D

i

O

+=

+=

Ω (11)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 5

Figura 5 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase linea-lizado (a) Poniendo de manifiesto la relacioacuten entre frecuencia y fase(b) Reordenado para simplificar el anaacutelisis

A fin de lograr una mejor comprensioacuten de la foacutermula anterior analizaremos pri-mero el caso ideal que es maacutes simple

31 El caso ideal

En el caso ideal planteado en la seccioacuten 1 el comparador de fase produciraacute unatensioacuten proporcional al error de fase sin necesidad de ninguacuten filtrado posterior por locual podriacuteamos tomar F(s) = 1 resultando

AKKsKs

sV

DOSCOSCi +

=Ω 1

11)()(0 (12)

Vemos que el PLL se comporta inherentemente como un pasabajos cuya frecuenciaangular de corte es

AKK DOSCPLL =ω (13)

Como puede apreciarse la frecuencia de corte seraacute tanto mayor cuanto mayor sea laganancia del lazo Este comportamiento es coherente con el hecho de que estamos rea-limentando un sistema con un polo (la integracioacuten) y por lo tanto su producto gananciapor ancho de banda es constante

1s KD F(s) A

KOSC

KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+

minus

ΩOSC = KOSCVo

Ωε

(a)

(b)

1s KD F(s) A

1s KOSC

KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+

minus

ΩOSC = KOSCVoΦOSC

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

6 B0401

NOTA Observemos que esta frecuencia de corte no es relativa a la sentildeal fiacutesica de en-trada sino a su frecuencia En otras palabras si la frecuencia es constante (es decir sila frecuencia de variacioacuten de la frecuencia es 0) no existiraacute atenuacioacuten con respecto a latransferencia ideal 1KOSC Si ahora la frecuencia empieza a variar mientras la frecuen-cia de variacioacuten se mantenga por debajo de ωPLL no habraacute atenuacioacuten pero por encimade ωPLL (es decir cuando la frecuencia variacutee muy raacutepidamente) la amplitud de la ten-sioacuten de salida comenzaraacute a reducirse

Supongamos ahora una sentildeal cuya frecuencia variacutea senoidalmente alrededor deuna frecuencia central ω0 alejaacutendose de eacutesta en plusmn ∆ωmaacutex

tt mi ωω∆+ω=ω sen)( maacutex0 (14)

donde ωm es la frecuencia de variacioacuten de la frecuencia Si aplicamos la ecuacioacuten (12)podemos obtener la tensioacuten de salida en reacutegimen permanente

)(sen

1

1)(2

maacutex00 θ+ω

ω+

ω∆+

ω= t

AKK

KKtv m

DOSC

mOSCOSC

(15)

donde

AKK DOSC

mωminus=θ arctg (16)

Es interesante ahora obtener la frecuencia generada por el VCO que es la que re-sulta comparada con la de la entrada Para ello basta multiplicar por KOSC

)(sen

1

1)(2maacutex0 θ+ω

ω+

ω∆+ω=ω t

AKK

t m

DOSC

m

VCO (17)

Si recordamos la ecuacioacuten (14) comprobaremos que ωVCO ne ωi excepto si ωm ltlt ωPLLcomo se muestra en la figura 6 Esto pareceriacutea estar en contradiccioacuten con el anaacutelisis in-tuitivo que habiacuteamos hecho en la seccioacuten 1 donde afirmaacutebamos que en el equilibrioωVCO = ωi Pero no es asiacute dado que en este caso en el cual la frecuencia de entrada noes constante es maacutes apropiado hablar de reacutegimen permanente que de equilibrio En lafigura 7 se muestran ademaacutes de las frecuencias ωi y ωVCO las correspondientes formasde onda

Si la frecuencia de entrada fuera constante (y por consiguiente igual a ω0) la fre-cuencia del VCO seriacutea exactamente igual a la frecuencia de entrada situacioacuten que siacutepuede considerarse como de equilibrio Es interesante vincular esto con la Teoriacutea delControl En este caso al haber una integracioacuten en la cadena directa (la que conviertefrecuencia en fase) cabe esperar que el error en continua sea nulo por lo cual el resul-tado obtenido antes intuitivamente y ahora por caacutelculo era esperable

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 7

Figura 6 Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y del VCO (liacutenea detrazos) en funcioacuten del tiempo (a) Para ωm ltlt ωPLL (b) Para ωm gt ωPLL

Figura 7 (a) Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y delVCO (liacutenea de trazos) en funcioacuten del tiempo (b) Tensioacuten de entrada(c) Tensioacuten del VCO Compaacuterese las graacuteficas (b) y (c) con la corres-pondiente frecuencia de la graacutefica (a) Obseacutervese coacutemo la variacioacuten defrecuencia en (c) es menor que en (b)

ω

t

ωi

ωVCOω0

(a)ω

t

ωi

ωVCO

ω0

(b)

ω

t

ωi ωVCO

ω0

(a)

(b)

vi

t

(c)

vVCO

t

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

8 B0401

Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es

AKK DOSCPLL

11 =ω

=τ (18)

Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten

OSC

t

OSC

t

Ke

Kev

PLLωminusτminus ωminusω+ω

=ωminusω+ω

=)()( 212

212

0 (19)

mientras que la frecuencia del VCO seraacute

tVCO PLLe

ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)

Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior

Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

τ

vi

t

vVCO

t

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 9

32 El caso real

Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)

RCssF

+=

11)( (21)

Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene

( )RCsAKK

sKssV

DOSCOSCi ++

=Ω 11

11)()(0 (22)

que puede reescribirse como

20

11

11)()(

sAKK

RCsAKK

KssV

DOSCDOSCOSCi ++

(23)

o bien

2

20

21

11)()(

nn

OSCi ssKssV

ω+

ωξ+

(24)

Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos

AKK DOSCRCn ω=ω (25)

AKK DOSC

RCω=ξ 2

1 (26)

Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso

Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero

R1

C

R1

R2

C

(a) (b)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

10 B0401

de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable

Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta

AKK DOSCRC 2=ω (27)

y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)

o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural

AKK DOSCPLL 2=ω (29)

Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es

1

2

21

211

)(11

)(ω+ω+

=++

+=

ss

CsRRCsRsF (30)

Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-

sioacuten para la transferencia del PLL

2

10

11

1

11)()(

ω+ω++

ss

AKKsKs

sV

DOSCOSCi

(31)

es decir

2

12

201111

11)()(

sAKK

sAKK

sKs

sV

DOSCDOSC

OSCiω

+

ω

++

ω+=

Ω (32)

Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 11

AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)

ω

+ω=ξ22

1 11AKK DOSC

n (34)

de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)

221 )(PLL

DOSC AKKCRR

ω=+ (35)

AKKCR

DOSCPLL

122 minus

ω= (36)

Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte

Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (37)

donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada

Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo

EJEMPLO 1

Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

12 B0401

Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ

4 Rango de captura del PLL

Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC

El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser

AKK D

OSC

i2

o πleωminusω

es decir

AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)

Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL

Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)

tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 13

puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute

( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)

Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que

( ))(2 o

o ωminusωπleωminusω

iDOSC

i jFAKK

es decir

( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)

Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2

A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)

Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)

EJEMPLO 2

En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura

ωo

ωVCO

ωi

ωo

captura

enganche

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

14

Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s

es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s

es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A

41 Extensioacuten del rango de captura

Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)

Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura

Detectorde fase F(s) A

VCO

+

f-V

B0401

versor fre-

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B401 15

42 Rechazo a ruido

El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB

43 Tiempo de captura

El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente

( )3

2

2 ncapturaT

ωξ

ω∆cong (42)

Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente

5 Error de fase en reacutegimen permanente

Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex

tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)

Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute

( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)

Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

16 B0401

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)

Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2

Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta

( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)

Integrando

( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm

mjHtjHtt ω+ωωminusω

ωω∆

=ϕ∆ (47)

Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene

( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω

ωω∆

=ϕ∆ mmm

jHjH (48)

Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por

2

12

21111

1)(

sAKK

sAKK

ssH

DOSCDOSC ω+

ω

++

ω+= (49)

Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que

AKK DOSC

maacutexmaacutex

ω∆congϕ∆ (50)

En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como

ξωω∆

congϕ∆ 2maacutexmaacutex

n (51)

Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por

ωω

ξminus+

ξωω∆

congϕ∆22

maacutexmaacutex 2

114

1 n

n (52)

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B401 17

En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

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B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

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B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

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Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

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0401 1

PLLLAZOS DE FIJACIOacuteN DE FASE

1 Introduccioacuten

Un lazo de fijacioacuten de fase (PLL siglas en ingleacutes de phase locked loop) es un cir-cuito capaz de generar una oscilacioacuten cuya fase con respecto a una sentildeal de entrada semantiene acotada contando para ello con una realimentacioacuten que compara la fase de lasdos sentildeales y actuacutea modificando la frecuencia de la oscilacioacuten generada En la figura 1se muestra un esquema muy simplificado del mismo

Figura 1 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase

El comparador de fase produce idealmente una sentildeal KDsdot∆ϕ proporcional a la di-ferencia de fase entre la sentildeal de entrada v1 y la sentildeal v2 generada por el oscilador con-trolado por tensioacuten (VCO siglas en ingleacutes de voltage-controlled oscillator) queamplificada por el amplificador se aplica a la entrada vc del VCO Este uacuteltimo produceuna frecuencia f2 que variacutea linealmente con vc

La situacioacuten de equilibrio se alcanza cuando la sentildeal KDsdot∆ϕ amplificada por elamplificador es tal que aplicada al VCO hace que eacuteste oscile exactamente a la mismafrecuencia que la entrada En efecto si fuera por ejemplo f1 gt f2 la diferencia de faseiriacutea en aumento lo cual hariacutea que f2 aumentara tendiendo a acercarse a f1 y a la inversasi f1 lt f2

Una primera aplicacioacuten interesante de este dispositivo es la demodulacioacuten de unasentildeal de frecuencia modulada ya que vc es proporcional a f2 y por lo tanto a f1 Existencomo veremos maacutes adelante otras aplicaciones como la multiplicacioacuten de frecuenciaso la recuperacioacuten del tono piloto en las sentildeales de FM estereofoacutenicas

2 Estructura real de un PLL

En el esquema simplificado de la figura 1 supusimos la existencia de un elementode circuito capaz de comparar directamente las fases de las dos sentildeales produciendouna sentildeal proporcional a la diferencia de fases KDsdot∆ϕ Desgraciadamente no es posibleconstruir tal dispositivo por lo cual se lo reemplaza por un circuito multiplicador (de-

Comparadorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 v2KDsdot∆ϕ

vc

f1 f2

v3

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

2 B0401

nominado detector de fase multiplicativo) seguido por un filtro pasabajos Si suponemosque las dos sentildeales que ingresan al mismo son

tVtv 111 sen)( ω= (1)

tVtv 222 sen)( ω= (2)

entonces la multiplicacioacuten de estas sentildeales conduce aplicando conocidas identidadestrigonomeacutetricas a

[ ]ttVVKtvtvKtv )sen()cos(2

)()()( 212121213 ω+ωminusωminusω== (3)

Si suponemos que ω1 minus ω2 ltlt ω1 + ω2 y que el filtro pasabajos tiene su frecuencia decorte entre estas dos frecuencias la frecuencia ω1 + ω2 se elimina y entonces podemosconcluir que

tVVKtv )cos(2

)( 21213 ωminusωcong (4)

Pero (ω1 minus ω2)t es precisamente la diferencia de fase ∆ϕ entre ambas sentildeales de donde

ϕ∆cong cos2

)( 213 VVKtv (5)

Esta relacioacuten se ha representado en la figura 2 donde se observa ademaacutes que en lasproximidades de π2 la relacioacuten es bastante lineal En ese caso es posible aproximar auacutenmaacutes la ecuacioacuten (5) que queda

)2()2(2 213 ϕ∆minusπ=ϕ∆minusπcong DKVVKv (6)

Figura 2 Relacioacuten cosenoidal entre la salida v3 y la diferencia de fase∆ϕ entre la sentildeal de entrada y la del VCO La liacutenea de trazos es laaproximacioacuten lineal

La alinealidad puede eliminarse si en lugar de utilizar un multiplicador lineal seutiliza un circuito de tipo OR-exclusivo cuya respuesta es

v3(t) = K sg(v1(t)) sg(v2(t)) (7)

v3

∆ϕππ2

KD

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B401 3

donde sg(x) es la funcioacuten signo Suponiendo que las dos sentildeales tienen semiperiacuteodossimeacutetricos y que tienen un defasaje ∆ϕ como se muestra en la figura 3(a) podemoscalcular el valor medio en un periodo como

πϕ∆minusϕ∆minusπ== int KKdttv

TV

Tmed

)()(10 33

es decir

ϕ∆minusπ

π=

22

3KV med (8)

relacioacuten indicada en la figura 3b

Figura 3 Operacioacuten de un detector de fase OR-exclusivo (a) Formade onda previa al filtrado (b) Relacioacuten lineal entre la fase y la compo-nente de baja frecuencia

Lo anterior muestra que en la figura 1 podemos sustituir el comparador de fasepor un detector de fase multiplicativo y un filtro pasabajos como se ve en la figura 4

Figura 4 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase po-niendo de manifiesto la estructura del comparador de fase

NOTA El razonamiento anterior se hizo suponiendo que tanto ω1 como ω2 eran constantes Sison variables ya no es cierto que ϕ = ωsdott sino que ϕ = intω dt o lo que es lo mismoω(t) = ϕrsquo(t) (ver Apeacutendice 1)

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 v2KDsdot∆ϕ

vc

f1 f2FiltroPasabajos v2

V3 med

∆ϕππ2

K

1

sg(v1)

ωt

sg(v2)

1ωt

v3

Kωt

2ππ π+∆ϕ∆ϕ

∆ϕ

(a) (b)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

4 B0401

La aproximacioacuten (6) es vaacutelida soacutelo cuando la diferencia de fase se encuentra proacute-xima π2 Para diferencias de fase cercanas a π o a 0 el comparador de fase exhibe uncomportamiento alineal y tiende a saturarse iquestQueacute sucede en ese caso Simplemente larealimentacioacuten se interrumpe las frecuencias dejan de ser iguales y entonces la fasesalta perioacutedicamente entre valores positivos y negativos tendiendo a un promedio nuloLo mismo sucede en el caso del detector OR-exclusivo cuando el defasaje intenta ir pordebajo de 0 o por encima de π En este caso se dice que el PLL funciona desengancha-do Dado que el VCO recibe una tensioacuten nula en el caso ideal produciriacutea a su salida unasentildeal de frecuencia tambieacuten nula Sin embargo por razones de orden praacutectico que ve-remos enseguida conviene que con entrada nula genere alguna frecuencia no nula quese denomina frecuencia libre

3 PLL en seguimiento

En la zona de operacioacuten lineal del detector de fase (zona de seguimiento) el PLLse comporta como un sistema lineal y es posible determinar su transferencia frecuencia-tensioacuten por medio de la teoriacutea de sistemas lineales Para ello es conveniente tener encuenta la relacioacuten que existe entre la fase y la frecuencia ya que la ldquoentradardquo del siste-ma seraacute la frecuencia de la sentildeal de entrada mientras que la comparacioacuten se efectuaraacuteen fase Tenemos (Apeacutendice 1)

intω=ϕ dttt )()( (9)

que en transformada de Laplace corresponde a

)(1)( ss

s Ω=Φ (10)

A fin de evitar confusiones es importante sentildealar que en este tipo muy particularde sistemas consideramos que la sentildeal de entrada es una frecuencia que a su vez podriacuteavariar perioacutedicamente con otra frecuencia Por ejemplo fiacutesicamente podriacutea tratarse deuna sentildeal senoidal cuya frecuencia variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces porsegundo es decir una portadora de 10 kHz modulada en frecuencia mediante una sentildealmoduladora de 100 Hz Para el PLL la sentildeal seraacute la frecuencia variable entre 9 kHz y11 kHz y su frecuencia seraacute 100 Hz La frecuencia impliacutecita en la variable de Laplace scorresponde a esta uacuteltima es decir la frecuencia con que variacutea la frecuencia

En la figura 5 (a) se muestra la interconexioacuten de bloques que resulta obtenida re-ordenando los bloques de la figura 3 e incluyendo la relacioacuten (10) F(s) es la funcioacutentransferencia del filtro En la figura 5 (b) las dos integraciones 1s han quedado absorbi-das en una sola dentro del camino directo

De esta figura puede obtenerse la funcioacuten de transferencia del PLL aplicando lafoacutermula para la transferencia de un sistema realimentado

)(11

11

)(1

)(

)()(

sFAKKsKsF

sAKK

sFs

AK

ssV

DOSCOSCDOSC

D

i

O

+=

+=

Ω (11)

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B401 5

Figura 5 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase linea-lizado (a) Poniendo de manifiesto la relacioacuten entre frecuencia y fase(b) Reordenado para simplificar el anaacutelisis

A fin de lograr una mejor comprensioacuten de la foacutermula anterior analizaremos pri-mero el caso ideal que es maacutes simple

31 El caso ideal

En el caso ideal planteado en la seccioacuten 1 el comparador de fase produciraacute unatensioacuten proporcional al error de fase sin necesidad de ninguacuten filtrado posterior por locual podriacuteamos tomar F(s) = 1 resultando

AKKsKs

sV

DOSCOSCi +

=Ω 1

11)()(0 (12)

Vemos que el PLL se comporta inherentemente como un pasabajos cuya frecuenciaangular de corte es

AKK DOSCPLL =ω (13)

Como puede apreciarse la frecuencia de corte seraacute tanto mayor cuanto mayor sea laganancia del lazo Este comportamiento es coherente con el hecho de que estamos rea-limentando un sistema con un polo (la integracioacuten) y por lo tanto su producto gananciapor ancho de banda es constante

1s KD F(s) A

KOSC

KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+

minus

ΩOSC = KOSCVo

Ωε

(a)

(b)

1s KD F(s) A

1s KOSC

KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+

minus

ΩOSC = KOSCVoΦOSC

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

6 B0401

NOTA Observemos que esta frecuencia de corte no es relativa a la sentildeal fiacutesica de en-trada sino a su frecuencia En otras palabras si la frecuencia es constante (es decir sila frecuencia de variacioacuten de la frecuencia es 0) no existiraacute atenuacioacuten con respecto a latransferencia ideal 1KOSC Si ahora la frecuencia empieza a variar mientras la frecuen-cia de variacioacuten se mantenga por debajo de ωPLL no habraacute atenuacioacuten pero por encimade ωPLL (es decir cuando la frecuencia variacutee muy raacutepidamente) la amplitud de la ten-sioacuten de salida comenzaraacute a reducirse

Supongamos ahora una sentildeal cuya frecuencia variacutea senoidalmente alrededor deuna frecuencia central ω0 alejaacutendose de eacutesta en plusmn ∆ωmaacutex

tt mi ωω∆+ω=ω sen)( maacutex0 (14)

donde ωm es la frecuencia de variacioacuten de la frecuencia Si aplicamos la ecuacioacuten (12)podemos obtener la tensioacuten de salida en reacutegimen permanente

)(sen

1

1)(2

maacutex00 θ+ω

ω+

ω∆+

ω= t

AKK

KKtv m

DOSC

mOSCOSC

(15)

donde

AKK DOSC

mωminus=θ arctg (16)

Es interesante ahora obtener la frecuencia generada por el VCO que es la que re-sulta comparada con la de la entrada Para ello basta multiplicar por KOSC

)(sen

1

1)(2maacutex0 θ+ω

ω+

ω∆+ω=ω t

AKK

t m

DOSC

m

VCO (17)

Si recordamos la ecuacioacuten (14) comprobaremos que ωVCO ne ωi excepto si ωm ltlt ωPLLcomo se muestra en la figura 6 Esto pareceriacutea estar en contradiccioacuten con el anaacutelisis in-tuitivo que habiacuteamos hecho en la seccioacuten 1 donde afirmaacutebamos que en el equilibrioωVCO = ωi Pero no es asiacute dado que en este caso en el cual la frecuencia de entrada noes constante es maacutes apropiado hablar de reacutegimen permanente que de equilibrio En lafigura 7 se muestran ademaacutes de las frecuencias ωi y ωVCO las correspondientes formasde onda

Si la frecuencia de entrada fuera constante (y por consiguiente igual a ω0) la fre-cuencia del VCO seriacutea exactamente igual a la frecuencia de entrada situacioacuten que siacutepuede considerarse como de equilibrio Es interesante vincular esto con la Teoriacutea delControl En este caso al haber una integracioacuten en la cadena directa (la que conviertefrecuencia en fase) cabe esperar que el error en continua sea nulo por lo cual el resul-tado obtenido antes intuitivamente y ahora por caacutelculo era esperable

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B401 7

Figura 6 Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y del VCO (liacutenea detrazos) en funcioacuten del tiempo (a) Para ωm ltlt ωPLL (b) Para ωm gt ωPLL

Figura 7 (a) Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y delVCO (liacutenea de trazos) en funcioacuten del tiempo (b) Tensioacuten de entrada(c) Tensioacuten del VCO Compaacuterese las graacuteficas (b) y (c) con la corres-pondiente frecuencia de la graacutefica (a) Obseacutervese coacutemo la variacioacuten defrecuencia en (c) es menor que en (b)

ω

t

ωi

ωVCOω0

(a)ω

t

ωi

ωVCO

ω0

(b)

ω

t

ωi ωVCO

ω0

(a)

(b)

vi

t

(c)

vVCO

t

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

8 B0401

Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es

AKK DOSCPLL

11 =ω

=τ (18)

Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten

OSC

t

OSC

t

Ke

Kev

PLLωminusτminus ωminusω+ω

=ωminusω+ω

=)()( 212

212

0 (19)

mientras que la frecuencia del VCO seraacute

tVCO PLLe

ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)

Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior

Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

τ

vi

t

vVCO

t

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 9

32 El caso real

Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)

RCssF

+=

11)( (21)

Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene

( )RCsAKK

sKssV

DOSCOSCi ++

=Ω 11

11)()(0 (22)

que puede reescribirse como

20

11

11)()(

sAKK

RCsAKK

KssV

DOSCDOSCOSCi ++

(23)

o bien

2

20

21

11)()(

nn

OSCi ssKssV

ω+

ωξ+

(24)

Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos

AKK DOSCRCn ω=ω (25)

AKK DOSC

RCω=ξ 2

1 (26)

Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso

Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero

R1

C

R1

R2

C

(a) (b)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

10 B0401

de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable

Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta

AKK DOSCRC 2=ω (27)

y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)

o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural

AKK DOSCPLL 2=ω (29)

Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es

1

2

21

211

)(11

)(ω+ω+

=++

+=

ss

CsRRCsRsF (30)

Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-

sioacuten para la transferencia del PLL

2

10

11

1

11)()(

ω+ω++

ss

AKKsKs

sV

DOSCOSCi

(31)

es decir

2

12

201111

11)()(

sAKK

sAKK

sKs

sV

DOSCDOSC

OSCiω

+

ω

++

ω+=

Ω (32)

Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 11

AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)

ω

+ω=ξ22

1 11AKK DOSC

n (34)

de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)

221 )(PLL

DOSC AKKCRR

ω=+ (35)

AKKCR

DOSCPLL

122 minus

ω= (36)

Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte

Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (37)

donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada

Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo

EJEMPLO 1

Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

12 B0401

Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ

4 Rango de captura del PLL

Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC

El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser

AKK D

OSC

i2

o πleωminusω

es decir

AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)

Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL

Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)

tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 13

puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute

( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)

Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que

( ))(2 o

o ωminusωπleωminusω

iDOSC

i jFAKK

es decir

( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)

Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2

A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)

Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)

EJEMPLO 2

En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura

ωo

ωVCO

ωi

ωo

captura

enganche

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

14

Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s

es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s

es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A

41 Extensioacuten del rango de captura

Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)

Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura

Detectorde fase F(s) A

VCO

+

f-V

B0401

versor fre-

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 15

42 Rechazo a ruido

El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB

43 Tiempo de captura

El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente

( )3

2

2 ncapturaT

ωξ

ω∆cong (42)

Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente

5 Error de fase en reacutegimen permanente

Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex

tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)

Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute

( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)

Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

16 B0401

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)

Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2

Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta

( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)

Integrando

( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm

mjHtjHtt ω+ωωminusω

ωω∆

=ϕ∆ (47)

Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene

( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω

ωω∆

=ϕ∆ mmm

jHjH (48)

Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por

2

12

21111

1)(

sAKK

sAKK

ssH

DOSCDOSC ω+

ω

++

ω+= (49)

Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que

AKK DOSC

maacutexmaacutex

ω∆congϕ∆ (50)

En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como

ξωω∆

congϕ∆ 2maacutexmaacutex

n (51)

Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por

ωω

ξminus+

ξωω∆

congϕ∆22

maacutexmaacutex 2

114

1 n

n (52)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 17

En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

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Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

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Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

2 B0401

nominado detector de fase multiplicativo) seguido por un filtro pasabajos Si suponemosque las dos sentildeales que ingresan al mismo son

tVtv 111 sen)( ω= (1)

tVtv 222 sen)( ω= (2)

entonces la multiplicacioacuten de estas sentildeales conduce aplicando conocidas identidadestrigonomeacutetricas a

[ ]ttVVKtvtvKtv )sen()cos(2

)()()( 212121213 ω+ωminusωminusω== (3)

Si suponemos que ω1 minus ω2 ltlt ω1 + ω2 y que el filtro pasabajos tiene su frecuencia decorte entre estas dos frecuencias la frecuencia ω1 + ω2 se elimina y entonces podemosconcluir que

tVVKtv )cos(2

)( 21213 ωminusωcong (4)

Pero (ω1 minus ω2)t es precisamente la diferencia de fase ∆ϕ entre ambas sentildeales de donde

ϕ∆cong cos2

)( 213 VVKtv (5)

Esta relacioacuten se ha representado en la figura 2 donde se observa ademaacutes que en lasproximidades de π2 la relacioacuten es bastante lineal En ese caso es posible aproximar auacutenmaacutes la ecuacioacuten (5) que queda

)2()2(2 213 ϕ∆minusπ=ϕ∆minusπcong DKVVKv (6)

Figura 2 Relacioacuten cosenoidal entre la salida v3 y la diferencia de fase∆ϕ entre la sentildeal de entrada y la del VCO La liacutenea de trazos es laaproximacioacuten lineal

La alinealidad puede eliminarse si en lugar de utilizar un multiplicador lineal seutiliza un circuito de tipo OR-exclusivo cuya respuesta es

v3(t) = K sg(v1(t)) sg(v2(t)) (7)

v3

∆ϕππ2

KD

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 3

donde sg(x) es la funcioacuten signo Suponiendo que las dos sentildeales tienen semiperiacuteodossimeacutetricos y que tienen un defasaje ∆ϕ como se muestra en la figura 3(a) podemoscalcular el valor medio en un periodo como

πϕ∆minusϕ∆minusπ== int KKdttv

TV

Tmed

)()(10 33

es decir

ϕ∆minusπ

π=

22

3KV med (8)

relacioacuten indicada en la figura 3b

Figura 3 Operacioacuten de un detector de fase OR-exclusivo (a) Formade onda previa al filtrado (b) Relacioacuten lineal entre la fase y la compo-nente de baja frecuencia

Lo anterior muestra que en la figura 1 podemos sustituir el comparador de fasepor un detector de fase multiplicativo y un filtro pasabajos como se ve en la figura 4

Figura 4 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase po-niendo de manifiesto la estructura del comparador de fase

NOTA El razonamiento anterior se hizo suponiendo que tanto ω1 como ω2 eran constantes Sison variables ya no es cierto que ϕ = ωsdott sino que ϕ = intω dt o lo que es lo mismoω(t) = ϕrsquo(t) (ver Apeacutendice 1)

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 v2KDsdot∆ϕ

vc

f1 f2FiltroPasabajos v2

V3 med

∆ϕππ2

K

1

sg(v1)

ωt

sg(v2)

1ωt

v3

Kωt

2ππ π+∆ϕ∆ϕ

∆ϕ

(a) (b)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

4 B0401

La aproximacioacuten (6) es vaacutelida soacutelo cuando la diferencia de fase se encuentra proacute-xima π2 Para diferencias de fase cercanas a π o a 0 el comparador de fase exhibe uncomportamiento alineal y tiende a saturarse iquestQueacute sucede en ese caso Simplemente larealimentacioacuten se interrumpe las frecuencias dejan de ser iguales y entonces la fasesalta perioacutedicamente entre valores positivos y negativos tendiendo a un promedio nuloLo mismo sucede en el caso del detector OR-exclusivo cuando el defasaje intenta ir pordebajo de 0 o por encima de π En este caso se dice que el PLL funciona desengancha-do Dado que el VCO recibe una tensioacuten nula en el caso ideal produciriacutea a su salida unasentildeal de frecuencia tambieacuten nula Sin embargo por razones de orden praacutectico que ve-remos enseguida conviene que con entrada nula genere alguna frecuencia no nula quese denomina frecuencia libre

3 PLL en seguimiento

En la zona de operacioacuten lineal del detector de fase (zona de seguimiento) el PLLse comporta como un sistema lineal y es posible determinar su transferencia frecuencia-tensioacuten por medio de la teoriacutea de sistemas lineales Para ello es conveniente tener encuenta la relacioacuten que existe entre la fase y la frecuencia ya que la ldquoentradardquo del siste-ma seraacute la frecuencia de la sentildeal de entrada mientras que la comparacioacuten se efectuaraacuteen fase Tenemos (Apeacutendice 1)

intω=ϕ dttt )()( (9)

que en transformada de Laplace corresponde a

)(1)( ss

s Ω=Φ (10)

A fin de evitar confusiones es importante sentildealar que en este tipo muy particularde sistemas consideramos que la sentildeal de entrada es una frecuencia que a su vez podriacuteavariar perioacutedicamente con otra frecuencia Por ejemplo fiacutesicamente podriacutea tratarse deuna sentildeal senoidal cuya frecuencia variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces porsegundo es decir una portadora de 10 kHz modulada en frecuencia mediante una sentildealmoduladora de 100 Hz Para el PLL la sentildeal seraacute la frecuencia variable entre 9 kHz y11 kHz y su frecuencia seraacute 100 Hz La frecuencia impliacutecita en la variable de Laplace scorresponde a esta uacuteltima es decir la frecuencia con que variacutea la frecuencia

En la figura 5 (a) se muestra la interconexioacuten de bloques que resulta obtenida re-ordenando los bloques de la figura 3 e incluyendo la relacioacuten (10) F(s) es la funcioacutentransferencia del filtro En la figura 5 (b) las dos integraciones 1s han quedado absorbi-das en una sola dentro del camino directo

De esta figura puede obtenerse la funcioacuten de transferencia del PLL aplicando lafoacutermula para la transferencia de un sistema realimentado

)(11

11

)(1

)(

)()(

sFAKKsKsF

sAKK

sFs

AK

ssV

DOSCOSCDOSC

D

i

O

+=

+=

Ω (11)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 5

Figura 5 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase linea-lizado (a) Poniendo de manifiesto la relacioacuten entre frecuencia y fase(b) Reordenado para simplificar el anaacutelisis

A fin de lograr una mejor comprensioacuten de la foacutermula anterior analizaremos pri-mero el caso ideal que es maacutes simple

31 El caso ideal

En el caso ideal planteado en la seccioacuten 1 el comparador de fase produciraacute unatensioacuten proporcional al error de fase sin necesidad de ninguacuten filtrado posterior por locual podriacuteamos tomar F(s) = 1 resultando

AKKsKs

sV

DOSCOSCi +

=Ω 1

11)()(0 (12)

Vemos que el PLL se comporta inherentemente como un pasabajos cuya frecuenciaangular de corte es

AKK DOSCPLL =ω (13)

Como puede apreciarse la frecuencia de corte seraacute tanto mayor cuanto mayor sea laganancia del lazo Este comportamiento es coherente con el hecho de que estamos rea-limentando un sistema con un polo (la integracioacuten) y por lo tanto su producto gananciapor ancho de banda es constante

1s KD F(s) A

KOSC

KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+

minus

ΩOSC = KOSCVo

Ωε

(a)

(b)

1s KD F(s) A

1s KOSC

KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+

minus

ΩOSC = KOSCVoΦOSC

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

6 B0401

NOTA Observemos que esta frecuencia de corte no es relativa a la sentildeal fiacutesica de en-trada sino a su frecuencia En otras palabras si la frecuencia es constante (es decir sila frecuencia de variacioacuten de la frecuencia es 0) no existiraacute atenuacioacuten con respecto a latransferencia ideal 1KOSC Si ahora la frecuencia empieza a variar mientras la frecuen-cia de variacioacuten se mantenga por debajo de ωPLL no habraacute atenuacioacuten pero por encimade ωPLL (es decir cuando la frecuencia variacutee muy raacutepidamente) la amplitud de la ten-sioacuten de salida comenzaraacute a reducirse

Supongamos ahora una sentildeal cuya frecuencia variacutea senoidalmente alrededor deuna frecuencia central ω0 alejaacutendose de eacutesta en plusmn ∆ωmaacutex

tt mi ωω∆+ω=ω sen)( maacutex0 (14)

donde ωm es la frecuencia de variacioacuten de la frecuencia Si aplicamos la ecuacioacuten (12)podemos obtener la tensioacuten de salida en reacutegimen permanente

)(sen

1

1)(2

maacutex00 θ+ω

ω+

ω∆+

ω= t

AKK

KKtv m

DOSC

mOSCOSC

(15)

donde

AKK DOSC

mωminus=θ arctg (16)

Es interesante ahora obtener la frecuencia generada por el VCO que es la que re-sulta comparada con la de la entrada Para ello basta multiplicar por KOSC

)(sen

1

1)(2maacutex0 θ+ω

ω+

ω∆+ω=ω t

AKK

t m

DOSC

m

VCO (17)

Si recordamos la ecuacioacuten (14) comprobaremos que ωVCO ne ωi excepto si ωm ltlt ωPLLcomo se muestra en la figura 6 Esto pareceriacutea estar en contradiccioacuten con el anaacutelisis in-tuitivo que habiacuteamos hecho en la seccioacuten 1 donde afirmaacutebamos que en el equilibrioωVCO = ωi Pero no es asiacute dado que en este caso en el cual la frecuencia de entrada noes constante es maacutes apropiado hablar de reacutegimen permanente que de equilibrio En lafigura 7 se muestran ademaacutes de las frecuencias ωi y ωVCO las correspondientes formasde onda

Si la frecuencia de entrada fuera constante (y por consiguiente igual a ω0) la fre-cuencia del VCO seriacutea exactamente igual a la frecuencia de entrada situacioacuten que siacutepuede considerarse como de equilibrio Es interesante vincular esto con la Teoriacutea delControl En este caso al haber una integracioacuten en la cadena directa (la que conviertefrecuencia en fase) cabe esperar que el error en continua sea nulo por lo cual el resul-tado obtenido antes intuitivamente y ahora por caacutelculo era esperable

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 7

Figura 6 Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y del VCO (liacutenea detrazos) en funcioacuten del tiempo (a) Para ωm ltlt ωPLL (b) Para ωm gt ωPLL

Figura 7 (a) Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y delVCO (liacutenea de trazos) en funcioacuten del tiempo (b) Tensioacuten de entrada(c) Tensioacuten del VCO Compaacuterese las graacuteficas (b) y (c) con la corres-pondiente frecuencia de la graacutefica (a) Obseacutervese coacutemo la variacioacuten defrecuencia en (c) es menor que en (b)

ω

t

ωi

ωVCOω0

(a)ω

t

ωi

ωVCO

ω0

(b)

ω

t

ωi ωVCO

ω0

(a)

(b)

vi

t

(c)

vVCO

t

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

8 B0401

Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es

AKK DOSCPLL

11 =ω

=τ (18)

Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten

OSC

t

OSC

t

Ke

Kev

PLLωminusτminus ωminusω+ω

=ωminusω+ω

=)()( 212

212

0 (19)

mientras que la frecuencia del VCO seraacute

tVCO PLLe

ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)

Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior

Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

τ

vi

t

vVCO

t

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 9

32 El caso real

Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)

RCssF

+=

11)( (21)

Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene

( )RCsAKK

sKssV

DOSCOSCi ++

=Ω 11

11)()(0 (22)

que puede reescribirse como

20

11

11)()(

sAKK

RCsAKK

KssV

DOSCDOSCOSCi ++

(23)

o bien

2

20

21

11)()(

nn

OSCi ssKssV

ω+

ωξ+

(24)

Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos

AKK DOSCRCn ω=ω (25)

AKK DOSC

RCω=ξ 2

1 (26)

Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso

Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero

R1

C

R1

R2

C

(a) (b)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

10 B0401

de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable

Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta

AKK DOSCRC 2=ω (27)

y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)

o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural

AKK DOSCPLL 2=ω (29)

Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es

1

2

21

211

)(11

)(ω+ω+

=++

+=

ss

CsRRCsRsF (30)

Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-

sioacuten para la transferencia del PLL

2

10

11

1

11)()(

ω+ω++

ss

AKKsKs

sV

DOSCOSCi

(31)

es decir

2

12

201111

11)()(

sAKK

sAKK

sKs

sV

DOSCDOSC

OSCiω

+

ω

++

ω+=

Ω (32)

Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 11

AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)

ω

+ω=ξ22

1 11AKK DOSC

n (34)

de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)

221 )(PLL

DOSC AKKCRR

ω=+ (35)

AKKCR

DOSCPLL

122 minus

ω= (36)

Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte

Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (37)

donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada

Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo

EJEMPLO 1

Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

12 B0401

Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ

4 Rango de captura del PLL

Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC

El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser

AKK D

OSC

i2

o πleωminusω

es decir

AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)

Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL

Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)

tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 13

puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute

( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)

Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que

( ))(2 o

o ωminusωπleωminusω

iDOSC

i jFAKK

es decir

( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)

Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2

A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)

Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)

EJEMPLO 2

En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura

ωo

ωVCO

ωi

ωo

captura

enganche

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

14

Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s

es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s

es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A

41 Extensioacuten del rango de captura

Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)

Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura

Detectorde fase F(s) A

VCO

+

f-V

B0401

versor fre-

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B401 15

42 Rechazo a ruido

El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB

43 Tiempo de captura

El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente

( )3

2

2 ncapturaT

ωξ

ω∆cong (42)

Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente

5 Error de fase en reacutegimen permanente

Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex

tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)

Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute

( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)

Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

16 B0401

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)

Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2

Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta

( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)

Integrando

( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm

mjHtjHtt ω+ωωminusω

ωω∆

=ϕ∆ (47)

Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene

( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω

ωω∆

=ϕ∆ mmm

jHjH (48)

Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por

2

12

21111

1)(

sAKK

sAKK

ssH

DOSCDOSC ω+

ω

++

ω+= (49)

Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que

AKK DOSC

maacutexmaacutex

ω∆congϕ∆ (50)

En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como

ξωω∆

congϕ∆ 2maacutexmaacutex

n (51)

Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por

ωω

ξminus+

ξωω∆

congϕ∆22

maacutexmaacutex 2

114

1 n

n (52)

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B401 17

En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

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B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

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B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

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ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

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Federico Miyara Antildeo 2005

B401 3

donde sg(x) es la funcioacuten signo Suponiendo que las dos sentildeales tienen semiperiacuteodossimeacutetricos y que tienen un defasaje ∆ϕ como se muestra en la figura 3(a) podemoscalcular el valor medio en un periodo como

πϕ∆minusϕ∆minusπ== int KKdttv

TV

Tmed

)()(10 33

es decir

ϕ∆minusπ

π=

22

3KV med (8)

relacioacuten indicada en la figura 3b

Figura 3 Operacioacuten de un detector de fase OR-exclusivo (a) Formade onda previa al filtrado (b) Relacioacuten lineal entre la fase y la compo-nente de baja frecuencia

Lo anterior muestra que en la figura 1 podemos sustituir el comparador de fasepor un detector de fase multiplicativo y un filtro pasabajos como se ve en la figura 4

Figura 4 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase po-niendo de manifiesto la estructura del comparador de fase

NOTA El razonamiento anterior se hizo suponiendo que tanto ω1 como ω2 eran constantes Sison variables ya no es cierto que ϕ = ωsdott sino que ϕ = intω dt o lo que es lo mismoω(t) = ϕrsquo(t) (ver Apeacutendice 1)

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 v2KDsdot∆ϕ

vc

f1 f2FiltroPasabajos v2

V3 med

∆ϕππ2

K

1

sg(v1)

ωt

sg(v2)

1ωt

v3

Kωt

2ππ π+∆ϕ∆ϕ

∆ϕ

(a) (b)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

4 B0401

La aproximacioacuten (6) es vaacutelida soacutelo cuando la diferencia de fase se encuentra proacute-xima π2 Para diferencias de fase cercanas a π o a 0 el comparador de fase exhibe uncomportamiento alineal y tiende a saturarse iquestQueacute sucede en ese caso Simplemente larealimentacioacuten se interrumpe las frecuencias dejan de ser iguales y entonces la fasesalta perioacutedicamente entre valores positivos y negativos tendiendo a un promedio nuloLo mismo sucede en el caso del detector OR-exclusivo cuando el defasaje intenta ir pordebajo de 0 o por encima de π En este caso se dice que el PLL funciona desengancha-do Dado que el VCO recibe una tensioacuten nula en el caso ideal produciriacutea a su salida unasentildeal de frecuencia tambieacuten nula Sin embargo por razones de orden praacutectico que ve-remos enseguida conviene que con entrada nula genere alguna frecuencia no nula quese denomina frecuencia libre

3 PLL en seguimiento

En la zona de operacioacuten lineal del detector de fase (zona de seguimiento) el PLLse comporta como un sistema lineal y es posible determinar su transferencia frecuencia-tensioacuten por medio de la teoriacutea de sistemas lineales Para ello es conveniente tener encuenta la relacioacuten que existe entre la fase y la frecuencia ya que la ldquoentradardquo del siste-ma seraacute la frecuencia de la sentildeal de entrada mientras que la comparacioacuten se efectuaraacuteen fase Tenemos (Apeacutendice 1)

intω=ϕ dttt )()( (9)

que en transformada de Laplace corresponde a

)(1)( ss

s Ω=Φ (10)

A fin de evitar confusiones es importante sentildealar que en este tipo muy particularde sistemas consideramos que la sentildeal de entrada es una frecuencia que a su vez podriacuteavariar perioacutedicamente con otra frecuencia Por ejemplo fiacutesicamente podriacutea tratarse deuna sentildeal senoidal cuya frecuencia variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces porsegundo es decir una portadora de 10 kHz modulada en frecuencia mediante una sentildealmoduladora de 100 Hz Para el PLL la sentildeal seraacute la frecuencia variable entre 9 kHz y11 kHz y su frecuencia seraacute 100 Hz La frecuencia impliacutecita en la variable de Laplace scorresponde a esta uacuteltima es decir la frecuencia con que variacutea la frecuencia

En la figura 5 (a) se muestra la interconexioacuten de bloques que resulta obtenida re-ordenando los bloques de la figura 3 e incluyendo la relacioacuten (10) F(s) es la funcioacutentransferencia del filtro En la figura 5 (b) las dos integraciones 1s han quedado absorbi-das en una sola dentro del camino directo

De esta figura puede obtenerse la funcioacuten de transferencia del PLL aplicando lafoacutermula para la transferencia de un sistema realimentado

)(11

11

)(1

)(

)()(

sFAKKsKsF

sAKK

sFs

AK

ssV

DOSCOSCDOSC

D

i

O

+=

+=

Ω (11)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 5

Figura 5 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase linea-lizado (a) Poniendo de manifiesto la relacioacuten entre frecuencia y fase(b) Reordenado para simplificar el anaacutelisis

A fin de lograr una mejor comprensioacuten de la foacutermula anterior analizaremos pri-mero el caso ideal que es maacutes simple

31 El caso ideal

En el caso ideal planteado en la seccioacuten 1 el comparador de fase produciraacute unatensioacuten proporcional al error de fase sin necesidad de ninguacuten filtrado posterior por locual podriacuteamos tomar F(s) = 1 resultando

AKKsKs

sV

DOSCOSCi +

=Ω 1

11)()(0 (12)

Vemos que el PLL se comporta inherentemente como un pasabajos cuya frecuenciaangular de corte es

AKK DOSCPLL =ω (13)

Como puede apreciarse la frecuencia de corte seraacute tanto mayor cuanto mayor sea laganancia del lazo Este comportamiento es coherente con el hecho de que estamos rea-limentando un sistema con un polo (la integracioacuten) y por lo tanto su producto gananciapor ancho de banda es constante

1s KD F(s) A

KOSC

KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+

minus

ΩOSC = KOSCVo

Ωε

(a)

(b)

1s KD F(s) A

1s KOSC

KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+

minus

ΩOSC = KOSCVoΦOSC

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

6 B0401

NOTA Observemos que esta frecuencia de corte no es relativa a la sentildeal fiacutesica de en-trada sino a su frecuencia En otras palabras si la frecuencia es constante (es decir sila frecuencia de variacioacuten de la frecuencia es 0) no existiraacute atenuacioacuten con respecto a latransferencia ideal 1KOSC Si ahora la frecuencia empieza a variar mientras la frecuen-cia de variacioacuten se mantenga por debajo de ωPLL no habraacute atenuacioacuten pero por encimade ωPLL (es decir cuando la frecuencia variacutee muy raacutepidamente) la amplitud de la ten-sioacuten de salida comenzaraacute a reducirse

Supongamos ahora una sentildeal cuya frecuencia variacutea senoidalmente alrededor deuna frecuencia central ω0 alejaacutendose de eacutesta en plusmn ∆ωmaacutex

tt mi ωω∆+ω=ω sen)( maacutex0 (14)

donde ωm es la frecuencia de variacioacuten de la frecuencia Si aplicamos la ecuacioacuten (12)podemos obtener la tensioacuten de salida en reacutegimen permanente

)(sen

1

1)(2

maacutex00 θ+ω

ω+

ω∆+

ω= t

AKK

KKtv m

DOSC

mOSCOSC

(15)

donde

AKK DOSC

mωminus=θ arctg (16)

Es interesante ahora obtener la frecuencia generada por el VCO que es la que re-sulta comparada con la de la entrada Para ello basta multiplicar por KOSC

)(sen

1

1)(2maacutex0 θ+ω

ω+

ω∆+ω=ω t

AKK

t m

DOSC

m

VCO (17)

Si recordamos la ecuacioacuten (14) comprobaremos que ωVCO ne ωi excepto si ωm ltlt ωPLLcomo se muestra en la figura 6 Esto pareceriacutea estar en contradiccioacuten con el anaacutelisis in-tuitivo que habiacuteamos hecho en la seccioacuten 1 donde afirmaacutebamos que en el equilibrioωVCO = ωi Pero no es asiacute dado que en este caso en el cual la frecuencia de entrada noes constante es maacutes apropiado hablar de reacutegimen permanente que de equilibrio En lafigura 7 se muestran ademaacutes de las frecuencias ωi y ωVCO las correspondientes formasde onda

Si la frecuencia de entrada fuera constante (y por consiguiente igual a ω0) la fre-cuencia del VCO seriacutea exactamente igual a la frecuencia de entrada situacioacuten que siacutepuede considerarse como de equilibrio Es interesante vincular esto con la Teoriacutea delControl En este caso al haber una integracioacuten en la cadena directa (la que conviertefrecuencia en fase) cabe esperar que el error en continua sea nulo por lo cual el resul-tado obtenido antes intuitivamente y ahora por caacutelculo era esperable

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 7

Figura 6 Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y del VCO (liacutenea detrazos) en funcioacuten del tiempo (a) Para ωm ltlt ωPLL (b) Para ωm gt ωPLL

Figura 7 (a) Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y delVCO (liacutenea de trazos) en funcioacuten del tiempo (b) Tensioacuten de entrada(c) Tensioacuten del VCO Compaacuterese las graacuteficas (b) y (c) con la corres-pondiente frecuencia de la graacutefica (a) Obseacutervese coacutemo la variacioacuten defrecuencia en (c) es menor que en (b)

ω

t

ωi

ωVCOω0

(a)ω

t

ωi

ωVCO

ω0

(b)

ω

t

ωi ωVCO

ω0

(a)

(b)

vi

t

(c)

vVCO

t

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

8 B0401

Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es

AKK DOSCPLL

11 =ω

=τ (18)

Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten

OSC

t

OSC

t

Ke

Kev

PLLωminusτminus ωminusω+ω

=ωminusω+ω

=)()( 212

212

0 (19)

mientras que la frecuencia del VCO seraacute

tVCO PLLe

ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)

Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior

Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

τ

vi

t

vVCO

t

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B401 9

32 El caso real

Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)

RCssF

+=

11)( (21)

Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene

( )RCsAKK

sKssV

DOSCOSCi ++

=Ω 11

11)()(0 (22)

que puede reescribirse como

20

11

11)()(

sAKK

RCsAKK

KssV

DOSCDOSCOSCi ++

(23)

o bien

2

20

21

11)()(

nn

OSCi ssKssV

ω+

ωξ+

(24)

Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos

AKK DOSCRCn ω=ω (25)

AKK DOSC

RCω=ξ 2

1 (26)

Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso

Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero

R1

C

R1

R2

C

(a) (b)

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10 B0401

de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable

Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta

AKK DOSCRC 2=ω (27)

y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)

o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural

AKK DOSCPLL 2=ω (29)

Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es

1

2

21

211

)(11

)(ω+ω+

=++

+=

ss

CsRRCsRsF (30)

Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-

sioacuten para la transferencia del PLL

2

10

11

1

11)()(

ω+ω++

ss

AKKsKs

sV

DOSCOSCi

(31)

es decir

2

12

201111

11)()(

sAKK

sAKK

sKs

sV

DOSCDOSC

OSCiω

+

ω

++

ω+=

Ω (32)

Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten

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AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)

ω

+ω=ξ22

1 11AKK DOSC

n (34)

de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)

221 )(PLL

DOSC AKKCRR

ω=+ (35)

AKKCR

DOSCPLL

122 minus

ω= (36)

Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte

Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (37)

donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada

Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo

EJEMPLO 1

Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

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12 B0401

Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ

4 Rango de captura del PLL

Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC

El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser

AKK D

OSC

i2

o πleωminusω

es decir

AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)

Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL

Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)

tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)

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B401 13

puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute

( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)

Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que

( ))(2 o

o ωminusωπleωminusω

iDOSC

i jFAKK

es decir

( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)

Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2

A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)

Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)

EJEMPLO 2

En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura

ωo

ωVCO

ωi

ωo

captura

enganche

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

14

Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s

es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s

es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A

41 Extensioacuten del rango de captura

Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)

Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura

Detectorde fase F(s) A

VCO

+

f-V

B0401

versor fre-

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42 Rechazo a ruido

El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB

43 Tiempo de captura

El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente

( )3

2

2 ncapturaT

ωξ

ω∆cong (42)

Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente

5 Error de fase en reacutegimen permanente

Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex

tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)

Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute

( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)

Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por

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16 B0401

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)

Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2

Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta

( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)

Integrando

( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm

mjHtjHtt ω+ωωminusω

ωω∆

=ϕ∆ (47)

Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene

( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω

ωω∆

=ϕ∆ mmm

jHjH (48)

Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por

2

12

21111

1)(

sAKK

sAKK

ssH

DOSCDOSC ω+

ω

++

ω+= (49)

Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que

AKK DOSC

maacutexmaacutex

ω∆congϕ∆ (50)

En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como

ξωω∆

congϕ∆ 2maacutexmaacutex

n (51)

Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por

ωω

ξminus+

ξωω∆

congϕ∆22

maacutexmaacutex 2

114

1 n

n (52)

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B401 17

En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

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B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

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B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

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Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

4 B0401

La aproximacioacuten (6) es vaacutelida soacutelo cuando la diferencia de fase se encuentra proacute-xima π2 Para diferencias de fase cercanas a π o a 0 el comparador de fase exhibe uncomportamiento alineal y tiende a saturarse iquestQueacute sucede en ese caso Simplemente larealimentacioacuten se interrumpe las frecuencias dejan de ser iguales y entonces la fasesalta perioacutedicamente entre valores positivos y negativos tendiendo a un promedio nuloLo mismo sucede en el caso del detector OR-exclusivo cuando el defasaje intenta ir pordebajo de 0 o por encima de π En este caso se dice que el PLL funciona desengancha-do Dado que el VCO recibe una tensioacuten nula en el caso ideal produciriacutea a su salida unasentildeal de frecuencia tambieacuten nula Sin embargo por razones de orden praacutectico que ve-remos enseguida conviene que con entrada nula genere alguna frecuencia no nula quese denomina frecuencia libre

3 PLL en seguimiento

En la zona de operacioacuten lineal del detector de fase (zona de seguimiento) el PLLse comporta como un sistema lineal y es posible determinar su transferencia frecuencia-tensioacuten por medio de la teoriacutea de sistemas lineales Para ello es conveniente tener encuenta la relacioacuten que existe entre la fase y la frecuencia ya que la ldquoentradardquo del siste-ma seraacute la frecuencia de la sentildeal de entrada mientras que la comparacioacuten se efectuaraacuteen fase Tenemos (Apeacutendice 1)

intω=ϕ dttt )()( (9)

que en transformada de Laplace corresponde a

)(1)( ss

s Ω=Φ (10)

A fin de evitar confusiones es importante sentildealar que en este tipo muy particularde sistemas consideramos que la sentildeal de entrada es una frecuencia que a su vez podriacuteavariar perioacutedicamente con otra frecuencia Por ejemplo fiacutesicamente podriacutea tratarse deuna sentildeal senoidal cuya frecuencia variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces porsegundo es decir una portadora de 10 kHz modulada en frecuencia mediante una sentildealmoduladora de 100 Hz Para el PLL la sentildeal seraacute la frecuencia variable entre 9 kHz y11 kHz y su frecuencia seraacute 100 Hz La frecuencia impliacutecita en la variable de Laplace scorresponde a esta uacuteltima es decir la frecuencia con que variacutea la frecuencia

En la figura 5 (a) se muestra la interconexioacuten de bloques que resulta obtenida re-ordenando los bloques de la figura 3 e incluyendo la relacioacuten (10) F(s) es la funcioacutentransferencia del filtro En la figura 5 (b) las dos integraciones 1s han quedado absorbi-das en una sola dentro del camino directo

De esta figura puede obtenerse la funcioacuten de transferencia del PLL aplicando lafoacutermula para la transferencia de un sistema realimentado

)(11

11

)(1

)(

)()(

sFAKKsKsF

sAKK

sFs

AK

ssV

DOSCOSCDOSC

D

i

O

+=

+=

Ω (11)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 5

Figura 5 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase linea-lizado (a) Poniendo de manifiesto la relacioacuten entre frecuencia y fase(b) Reordenado para simplificar el anaacutelisis

A fin de lograr una mejor comprensioacuten de la foacutermula anterior analizaremos pri-mero el caso ideal que es maacutes simple

31 El caso ideal

En el caso ideal planteado en la seccioacuten 1 el comparador de fase produciraacute unatensioacuten proporcional al error de fase sin necesidad de ninguacuten filtrado posterior por locual podriacuteamos tomar F(s) = 1 resultando

AKKsKs

sV

DOSCOSCi +

=Ω 1

11)()(0 (12)

Vemos que el PLL se comporta inherentemente como un pasabajos cuya frecuenciaangular de corte es

AKK DOSCPLL =ω (13)

Como puede apreciarse la frecuencia de corte seraacute tanto mayor cuanto mayor sea laganancia del lazo Este comportamiento es coherente con el hecho de que estamos rea-limentando un sistema con un polo (la integracioacuten) y por lo tanto su producto gananciapor ancho de banda es constante

1s KD F(s) A

KOSC

KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+

minus

ΩOSC = KOSCVo

Ωε

(a)

(b)

1s KD F(s) A

1s KOSC

KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+

minus

ΩOSC = KOSCVoΦOSC

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

6 B0401

NOTA Observemos que esta frecuencia de corte no es relativa a la sentildeal fiacutesica de en-trada sino a su frecuencia En otras palabras si la frecuencia es constante (es decir sila frecuencia de variacioacuten de la frecuencia es 0) no existiraacute atenuacioacuten con respecto a latransferencia ideal 1KOSC Si ahora la frecuencia empieza a variar mientras la frecuen-cia de variacioacuten se mantenga por debajo de ωPLL no habraacute atenuacioacuten pero por encimade ωPLL (es decir cuando la frecuencia variacutee muy raacutepidamente) la amplitud de la ten-sioacuten de salida comenzaraacute a reducirse

Supongamos ahora una sentildeal cuya frecuencia variacutea senoidalmente alrededor deuna frecuencia central ω0 alejaacutendose de eacutesta en plusmn ∆ωmaacutex

tt mi ωω∆+ω=ω sen)( maacutex0 (14)

donde ωm es la frecuencia de variacioacuten de la frecuencia Si aplicamos la ecuacioacuten (12)podemos obtener la tensioacuten de salida en reacutegimen permanente

)(sen

1

1)(2

maacutex00 θ+ω

ω+

ω∆+

ω= t

AKK

KKtv m

DOSC

mOSCOSC

(15)

donde

AKK DOSC

mωminus=θ arctg (16)

Es interesante ahora obtener la frecuencia generada por el VCO que es la que re-sulta comparada con la de la entrada Para ello basta multiplicar por KOSC

)(sen

1

1)(2maacutex0 θ+ω

ω+

ω∆+ω=ω t

AKK

t m

DOSC

m

VCO (17)

Si recordamos la ecuacioacuten (14) comprobaremos que ωVCO ne ωi excepto si ωm ltlt ωPLLcomo se muestra en la figura 6 Esto pareceriacutea estar en contradiccioacuten con el anaacutelisis in-tuitivo que habiacuteamos hecho en la seccioacuten 1 donde afirmaacutebamos que en el equilibrioωVCO = ωi Pero no es asiacute dado que en este caso en el cual la frecuencia de entrada noes constante es maacutes apropiado hablar de reacutegimen permanente que de equilibrio En lafigura 7 se muestran ademaacutes de las frecuencias ωi y ωVCO las correspondientes formasde onda

Si la frecuencia de entrada fuera constante (y por consiguiente igual a ω0) la fre-cuencia del VCO seriacutea exactamente igual a la frecuencia de entrada situacioacuten que siacutepuede considerarse como de equilibrio Es interesante vincular esto con la Teoriacutea delControl En este caso al haber una integracioacuten en la cadena directa (la que conviertefrecuencia en fase) cabe esperar que el error en continua sea nulo por lo cual el resul-tado obtenido antes intuitivamente y ahora por caacutelculo era esperable

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 7

Figura 6 Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y del VCO (liacutenea detrazos) en funcioacuten del tiempo (a) Para ωm ltlt ωPLL (b) Para ωm gt ωPLL

Figura 7 (a) Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y delVCO (liacutenea de trazos) en funcioacuten del tiempo (b) Tensioacuten de entrada(c) Tensioacuten del VCO Compaacuterese las graacuteficas (b) y (c) con la corres-pondiente frecuencia de la graacutefica (a) Obseacutervese coacutemo la variacioacuten defrecuencia en (c) es menor que en (b)

ω

t

ωi

ωVCOω0

(a)ω

t

ωi

ωVCO

ω0

(b)

ω

t

ωi ωVCO

ω0

(a)

(b)

vi

t

(c)

vVCO

t

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

8 B0401

Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es

AKK DOSCPLL

11 =ω

=τ (18)

Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten

OSC

t

OSC

t

Ke

Kev

PLLωminusτminus ωminusω+ω

=ωminusω+ω

=)()( 212

212

0 (19)

mientras que la frecuencia del VCO seraacute

tVCO PLLe

ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)

Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior

Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

τ

vi

t

vVCO

t

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 9

32 El caso real

Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)

RCssF

+=

11)( (21)

Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene

( )RCsAKK

sKssV

DOSCOSCi ++

=Ω 11

11)()(0 (22)

que puede reescribirse como

20

11

11)()(

sAKK

RCsAKK

KssV

DOSCDOSCOSCi ++

(23)

o bien

2

20

21

11)()(

nn

OSCi ssKssV

ω+

ωξ+

(24)

Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos

AKK DOSCRCn ω=ω (25)

AKK DOSC

RCω=ξ 2

1 (26)

Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso

Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero

R1

C

R1

R2

C

(a) (b)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

10 B0401

de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable

Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta

AKK DOSCRC 2=ω (27)

y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)

o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural

AKK DOSCPLL 2=ω (29)

Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es

1

2

21

211

)(11

)(ω+ω+

=++

+=

ss

CsRRCsRsF (30)

Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-

sioacuten para la transferencia del PLL

2

10

11

1

11)()(

ω+ω++

ss

AKKsKs

sV

DOSCOSCi

(31)

es decir

2

12

201111

11)()(

sAKK

sAKK

sKs

sV

DOSCDOSC

OSCiω

+

ω

++

ω+=

Ω (32)

Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 11

AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)

ω

+ω=ξ22

1 11AKK DOSC

n (34)

de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)

221 )(PLL

DOSC AKKCRR

ω=+ (35)

AKKCR

DOSCPLL

122 minus

ω= (36)

Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte

Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (37)

donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada

Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo

EJEMPLO 1

Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

12 B0401

Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ

4 Rango de captura del PLL

Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC

El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser

AKK D

OSC

i2

o πleωminusω

es decir

AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)

Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL

Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)

tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 13

puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute

( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)

Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que

( ))(2 o

o ωminusωπleωminusω

iDOSC

i jFAKK

es decir

( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)

Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2

A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)

Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)

EJEMPLO 2

En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura

ωo

ωVCO

ωi

ωo

captura

enganche

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

14

Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s

es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s

es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A

41 Extensioacuten del rango de captura

Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)

Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura

Detectorde fase F(s) A

VCO

+

f-V

B0401

versor fre-

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 15

42 Rechazo a ruido

El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB

43 Tiempo de captura

El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente

( )3

2

2 ncapturaT

ωξ

ω∆cong (42)

Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente

5 Error de fase en reacutegimen permanente

Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex

tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)

Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute

( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)

Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

16 B0401

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)

Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2

Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta

( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)

Integrando

( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm

mjHtjHtt ω+ωωminusω

ωω∆

=ϕ∆ (47)

Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene

( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω

ωω∆

=ϕ∆ mmm

jHjH (48)

Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por

2

12

21111

1)(

sAKK

sAKK

ssH

DOSCDOSC ω+

ω

++

ω+= (49)

Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que

AKK DOSC

maacutexmaacutex

ω∆congϕ∆ (50)

En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como

ξωω∆

congϕ∆ 2maacutexmaacutex

n (51)

Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por

ωω

ξminus+

ξωω∆

congϕ∆22

maacutexmaacutex 2

114

1 n

n (52)

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B401 17

En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

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B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

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Federico Miyara Antildeo 2005

B401 5

Figura 5 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase linea-lizado (a) Poniendo de manifiesto la relacioacuten entre frecuencia y fase(b) Reordenado para simplificar el anaacutelisis

A fin de lograr una mejor comprensioacuten de la foacutermula anterior analizaremos pri-mero el caso ideal que es maacutes simple

31 El caso ideal

En el caso ideal planteado en la seccioacuten 1 el comparador de fase produciraacute unatensioacuten proporcional al error de fase sin necesidad de ninguacuten filtrado posterior por locual podriacuteamos tomar F(s) = 1 resultando

AKKsKs

sV

DOSCOSCi +

=Ω 1

11)()(0 (12)

Vemos que el PLL se comporta inherentemente como un pasabajos cuya frecuenciaangular de corte es

AKK DOSCPLL =ω (13)

Como puede apreciarse la frecuencia de corte seraacute tanto mayor cuanto mayor sea laganancia del lazo Este comportamiento es coherente con el hecho de que estamos rea-limentando un sistema con un polo (la integracioacuten) y por lo tanto su producto gananciapor ancho de banda es constante

1s KD F(s) A

KOSC

KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+

minus

ΩOSC = KOSCVo

Ωε

(a)

(b)

1s KD F(s) A

1s KOSC

KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+

minus

ΩOSC = KOSCVoΦOSC

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

6 B0401

NOTA Observemos que esta frecuencia de corte no es relativa a la sentildeal fiacutesica de en-trada sino a su frecuencia En otras palabras si la frecuencia es constante (es decir sila frecuencia de variacioacuten de la frecuencia es 0) no existiraacute atenuacioacuten con respecto a latransferencia ideal 1KOSC Si ahora la frecuencia empieza a variar mientras la frecuen-cia de variacioacuten se mantenga por debajo de ωPLL no habraacute atenuacioacuten pero por encimade ωPLL (es decir cuando la frecuencia variacutee muy raacutepidamente) la amplitud de la ten-sioacuten de salida comenzaraacute a reducirse

Supongamos ahora una sentildeal cuya frecuencia variacutea senoidalmente alrededor deuna frecuencia central ω0 alejaacutendose de eacutesta en plusmn ∆ωmaacutex

tt mi ωω∆+ω=ω sen)( maacutex0 (14)

donde ωm es la frecuencia de variacioacuten de la frecuencia Si aplicamos la ecuacioacuten (12)podemos obtener la tensioacuten de salida en reacutegimen permanente

)(sen

1

1)(2

maacutex00 θ+ω

ω+

ω∆+

ω= t

AKK

KKtv m

DOSC

mOSCOSC

(15)

donde

AKK DOSC

mωminus=θ arctg (16)

Es interesante ahora obtener la frecuencia generada por el VCO que es la que re-sulta comparada con la de la entrada Para ello basta multiplicar por KOSC

)(sen

1

1)(2maacutex0 θ+ω

ω+

ω∆+ω=ω t

AKK

t m

DOSC

m

VCO (17)

Si recordamos la ecuacioacuten (14) comprobaremos que ωVCO ne ωi excepto si ωm ltlt ωPLLcomo se muestra en la figura 6 Esto pareceriacutea estar en contradiccioacuten con el anaacutelisis in-tuitivo que habiacuteamos hecho en la seccioacuten 1 donde afirmaacutebamos que en el equilibrioωVCO = ωi Pero no es asiacute dado que en este caso en el cual la frecuencia de entrada noes constante es maacutes apropiado hablar de reacutegimen permanente que de equilibrio En lafigura 7 se muestran ademaacutes de las frecuencias ωi y ωVCO las correspondientes formasde onda

Si la frecuencia de entrada fuera constante (y por consiguiente igual a ω0) la fre-cuencia del VCO seriacutea exactamente igual a la frecuencia de entrada situacioacuten que siacutepuede considerarse como de equilibrio Es interesante vincular esto con la Teoriacutea delControl En este caso al haber una integracioacuten en la cadena directa (la que conviertefrecuencia en fase) cabe esperar que el error en continua sea nulo por lo cual el resul-tado obtenido antes intuitivamente y ahora por caacutelculo era esperable

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 7

Figura 6 Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y del VCO (liacutenea detrazos) en funcioacuten del tiempo (a) Para ωm ltlt ωPLL (b) Para ωm gt ωPLL

Figura 7 (a) Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y delVCO (liacutenea de trazos) en funcioacuten del tiempo (b) Tensioacuten de entrada(c) Tensioacuten del VCO Compaacuterese las graacuteficas (b) y (c) con la corres-pondiente frecuencia de la graacutefica (a) Obseacutervese coacutemo la variacioacuten defrecuencia en (c) es menor que en (b)

ω

t

ωi

ωVCOω0

(a)ω

t

ωi

ωVCO

ω0

(b)

ω

t

ωi ωVCO

ω0

(a)

(b)

vi

t

(c)

vVCO

t

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

8 B0401

Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es

AKK DOSCPLL

11 =ω

=τ (18)

Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten

OSC

t

OSC

t

Ke

Kev

PLLωminusτminus ωminusω+ω

=ωminusω+ω

=)()( 212

212

0 (19)

mientras que la frecuencia del VCO seraacute

tVCO PLLe

ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)

Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior

Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

τ

vi

t

vVCO

t

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 9

32 El caso real

Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)

RCssF

+=

11)( (21)

Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene

( )RCsAKK

sKssV

DOSCOSCi ++

=Ω 11

11)()(0 (22)

que puede reescribirse como

20

11

11)()(

sAKK

RCsAKK

KssV

DOSCDOSCOSCi ++

(23)

o bien

2

20

21

11)()(

nn

OSCi ssKssV

ω+

ωξ+

(24)

Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos

AKK DOSCRCn ω=ω (25)

AKK DOSC

RCω=ξ 2

1 (26)

Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso

Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero

R1

C

R1

R2

C

(a) (b)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

10 B0401

de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable

Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta

AKK DOSCRC 2=ω (27)

y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)

o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural

AKK DOSCPLL 2=ω (29)

Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es

1

2

21

211

)(11

)(ω+ω+

=++

+=

ss

CsRRCsRsF (30)

Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-

sioacuten para la transferencia del PLL

2

10

11

1

11)()(

ω+ω++

ss

AKKsKs

sV

DOSCOSCi

(31)

es decir

2

12

201111

11)()(

sAKK

sAKK

sKs

sV

DOSCDOSC

OSCiω

+

ω

++

ω+=

Ω (32)

Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 11

AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)

ω

+ω=ξ22

1 11AKK DOSC

n (34)

de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)

221 )(PLL

DOSC AKKCRR

ω=+ (35)

AKKCR

DOSCPLL

122 minus

ω= (36)

Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte

Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (37)

donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada

Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo

EJEMPLO 1

Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

12 B0401

Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ

4 Rango de captura del PLL

Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC

El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser

AKK D

OSC

i2

o πleωminusω

es decir

AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)

Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL

Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)

tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 13

puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute

( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)

Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que

( ))(2 o

o ωminusωπleωminusω

iDOSC

i jFAKK

es decir

( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)

Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2

A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)

Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)

EJEMPLO 2

En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura

ωo

ωVCO

ωi

ωo

captura

enganche

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

14

Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s

es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s

es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A

41 Extensioacuten del rango de captura

Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)

Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura

Detectorde fase F(s) A

VCO

+

f-V

B0401

versor fre-

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 15

42 Rechazo a ruido

El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB

43 Tiempo de captura

El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente

( )3

2

2 ncapturaT

ωξ

ω∆cong (42)

Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente

5 Error de fase en reacutegimen permanente

Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex

tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)

Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute

( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)

Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

16 B0401

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)

Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2

Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta

( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)

Integrando

( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm

mjHtjHtt ω+ωωminusω

ωω∆

=ϕ∆ (47)

Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene

( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω

ωω∆

=ϕ∆ mmm

jHjH (48)

Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por

2

12

21111

1)(

sAKK

sAKK

ssH

DOSCDOSC ω+

ω

++

ω+= (49)

Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que

AKK DOSC

maacutexmaacutex

ω∆congϕ∆ (50)

En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como

ξωω∆

congϕ∆ 2maacutexmaacutex

n (51)

Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por

ωω

ξminus+

ξωω∆

congϕ∆22

maacutexmaacutex 2

114

1 n

n (52)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 17

En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

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B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

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Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

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Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

6 B0401

NOTA Observemos que esta frecuencia de corte no es relativa a la sentildeal fiacutesica de en-trada sino a su frecuencia En otras palabras si la frecuencia es constante (es decir sila frecuencia de variacioacuten de la frecuencia es 0) no existiraacute atenuacioacuten con respecto a latransferencia ideal 1KOSC Si ahora la frecuencia empieza a variar mientras la frecuen-cia de variacioacuten se mantenga por debajo de ωPLL no habraacute atenuacioacuten pero por encimade ωPLL (es decir cuando la frecuencia variacutee muy raacutepidamente) la amplitud de la ten-sioacuten de salida comenzaraacute a reducirse

Supongamos ahora una sentildeal cuya frecuencia variacutea senoidalmente alrededor deuna frecuencia central ω0 alejaacutendose de eacutesta en plusmn ∆ωmaacutex

tt mi ωω∆+ω=ω sen)( maacutex0 (14)

donde ωm es la frecuencia de variacioacuten de la frecuencia Si aplicamos la ecuacioacuten (12)podemos obtener la tensioacuten de salida en reacutegimen permanente

)(sen

1

1)(2

maacutex00 θ+ω

ω+

ω∆+

ω= t

AKK

KKtv m

DOSC

mOSCOSC

(15)

donde

AKK DOSC

mωminus=θ arctg (16)

Es interesante ahora obtener la frecuencia generada por el VCO que es la que re-sulta comparada con la de la entrada Para ello basta multiplicar por KOSC

)(sen

1

1)(2maacutex0 θ+ω

ω+

ω∆+ω=ω t

AKK

t m

DOSC

m

VCO (17)

Si recordamos la ecuacioacuten (14) comprobaremos que ωVCO ne ωi excepto si ωm ltlt ωPLLcomo se muestra en la figura 6 Esto pareceriacutea estar en contradiccioacuten con el anaacutelisis in-tuitivo que habiacuteamos hecho en la seccioacuten 1 donde afirmaacutebamos que en el equilibrioωVCO = ωi Pero no es asiacute dado que en este caso en el cual la frecuencia de entrada noes constante es maacutes apropiado hablar de reacutegimen permanente que de equilibrio En lafigura 7 se muestran ademaacutes de las frecuencias ωi y ωVCO las correspondientes formasde onda

Si la frecuencia de entrada fuera constante (y por consiguiente igual a ω0) la fre-cuencia del VCO seriacutea exactamente igual a la frecuencia de entrada situacioacuten que siacutepuede considerarse como de equilibrio Es interesante vincular esto con la Teoriacutea delControl En este caso al haber una integracioacuten en la cadena directa (la que conviertefrecuencia en fase) cabe esperar que el error en continua sea nulo por lo cual el resul-tado obtenido antes intuitivamente y ahora por caacutelculo era esperable

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 7

Figura 6 Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y del VCO (liacutenea detrazos) en funcioacuten del tiempo (a) Para ωm ltlt ωPLL (b) Para ωm gt ωPLL

Figura 7 (a) Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y delVCO (liacutenea de trazos) en funcioacuten del tiempo (b) Tensioacuten de entrada(c) Tensioacuten del VCO Compaacuterese las graacuteficas (b) y (c) con la corres-pondiente frecuencia de la graacutefica (a) Obseacutervese coacutemo la variacioacuten defrecuencia en (c) es menor que en (b)

ω

t

ωi

ωVCOω0

(a)ω

t

ωi

ωVCO

ω0

(b)

ω

t

ωi ωVCO

ω0

(a)

(b)

vi

t

(c)

vVCO

t

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

8 B0401

Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es

AKK DOSCPLL

11 =ω

=τ (18)

Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten

OSC

t

OSC

t

Ke

Kev

PLLωminusτminus ωminusω+ω

=ωminusω+ω

=)()( 212

212

0 (19)

mientras que la frecuencia del VCO seraacute

tVCO PLLe

ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)

Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior

Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

τ

vi

t

vVCO

t

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 9

32 El caso real

Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)

RCssF

+=

11)( (21)

Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene

( )RCsAKK

sKssV

DOSCOSCi ++

=Ω 11

11)()(0 (22)

que puede reescribirse como

20

11

11)()(

sAKK

RCsAKK

KssV

DOSCDOSCOSCi ++

(23)

o bien

2

20

21

11)()(

nn

OSCi ssKssV

ω+

ωξ+

(24)

Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos

AKK DOSCRCn ω=ω (25)

AKK DOSC

RCω=ξ 2

1 (26)

Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso

Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero

R1

C

R1

R2

C

(a) (b)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

10 B0401

de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable

Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta

AKK DOSCRC 2=ω (27)

y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)

o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural

AKK DOSCPLL 2=ω (29)

Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es

1

2

21

211

)(11

)(ω+ω+

=++

+=

ss

CsRRCsRsF (30)

Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-

sioacuten para la transferencia del PLL

2

10

11

1

11)()(

ω+ω++

ss

AKKsKs

sV

DOSCOSCi

(31)

es decir

2

12

201111

11)()(

sAKK

sAKK

sKs

sV

DOSCDOSC

OSCiω

+

ω

++

ω+=

Ω (32)

Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 11

AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)

ω

+ω=ξ22

1 11AKK DOSC

n (34)

de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)

221 )(PLL

DOSC AKKCRR

ω=+ (35)

AKKCR

DOSCPLL

122 minus

ω= (36)

Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte

Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (37)

donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada

Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo

EJEMPLO 1

Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

12 B0401

Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ

4 Rango de captura del PLL

Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC

El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser

AKK D

OSC

i2

o πleωminusω

es decir

AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)

Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL

Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)

tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 13

puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute

( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)

Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que

( ))(2 o

o ωminusωπleωminusω

iDOSC

i jFAKK

es decir

( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)

Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2

A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)

Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)

EJEMPLO 2

En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura

ωo

ωVCO

ωi

ωo

captura

enganche

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

14

Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s

es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s

es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A

41 Extensioacuten del rango de captura

Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)

Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura

Detectorde fase F(s) A

VCO

+

f-V

B0401

versor fre-

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 15

42 Rechazo a ruido

El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB

43 Tiempo de captura

El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente

( )3

2

2 ncapturaT

ωξ

ω∆cong (42)

Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente

5 Error de fase en reacutegimen permanente

Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex

tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)

Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute

( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)

Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

16 B0401

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)

Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2

Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta

( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)

Integrando

( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm

mjHtjHtt ω+ωωminusω

ωω∆

=ϕ∆ (47)

Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene

( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω

ωω∆

=ϕ∆ mmm

jHjH (48)

Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por

2

12

21111

1)(

sAKK

sAKK

ssH

DOSCDOSC ω+

ω

++

ω+= (49)

Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que

AKK DOSC

maacutexmaacutex

ω∆congϕ∆ (50)

En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como

ξωω∆

congϕ∆ 2maacutexmaacutex

n (51)

Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por

ωω

ξminus+

ξωω∆

congϕ∆22

maacutexmaacutex 2

114

1 n

n (52)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 17

En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

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B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

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Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

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Federico Miyara Antildeo 2005

B401 7

Figura 6 Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y del VCO (liacutenea detrazos) en funcioacuten del tiempo (a) Para ωm ltlt ωPLL (b) Para ωm gt ωPLL

Figura 7 (a) Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y delVCO (liacutenea de trazos) en funcioacuten del tiempo (b) Tensioacuten de entrada(c) Tensioacuten del VCO Compaacuterese las graacuteficas (b) y (c) con la corres-pondiente frecuencia de la graacutefica (a) Obseacutervese coacutemo la variacioacuten defrecuencia en (c) es menor que en (b)

ω

t

ωi

ωVCOω0

(a)ω

t

ωi

ωVCO

ω0

(b)

ω

t

ωi ωVCO

ω0

(a)

(b)

vi

t

(c)

vVCO

t

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

8 B0401

Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es

AKK DOSCPLL

11 =ω

=τ (18)

Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten

OSC

t

OSC

t

Ke

Kev

PLLωminusτminus ωminusω+ω

=ωminusω+ω

=)()( 212

212

0 (19)

mientras que la frecuencia del VCO seraacute

tVCO PLLe

ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)

Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior

Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

τ

vi

t

vVCO

t

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B401 9

32 El caso real

Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)

RCssF

+=

11)( (21)

Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene

( )RCsAKK

sKssV

DOSCOSCi ++

=Ω 11

11)()(0 (22)

que puede reescribirse como

20

11

11)()(

sAKK

RCsAKK

KssV

DOSCDOSCOSCi ++

(23)

o bien

2

20

21

11)()(

nn

OSCi ssKssV

ω+

ωξ+

(24)

Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos

AKK DOSCRCn ω=ω (25)

AKK DOSC

RCω=ξ 2

1 (26)

Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso

Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero

R1

C

R1

R2

C

(a) (b)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

10 B0401

de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable

Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta

AKK DOSCRC 2=ω (27)

y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)

o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural

AKK DOSCPLL 2=ω (29)

Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es

1

2

21

211

)(11

)(ω+ω+

=++

+=

ss

CsRRCsRsF (30)

Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-

sioacuten para la transferencia del PLL

2

10

11

1

11)()(

ω+ω++

ss

AKKsKs

sV

DOSCOSCi

(31)

es decir

2

12

201111

11)()(

sAKK

sAKK

sKs

sV

DOSCDOSC

OSCiω

+

ω

++

ω+=

Ω (32)

Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten

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AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)

ω

+ω=ξ22

1 11AKK DOSC

n (34)

de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)

221 )(PLL

DOSC AKKCRR

ω=+ (35)

AKKCR

DOSCPLL

122 minus

ω= (36)

Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte

Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (37)

donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada

Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo

EJEMPLO 1

Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

12 B0401

Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ

4 Rango de captura del PLL

Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC

El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser

AKK D

OSC

i2

o πleωminusω

es decir

AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)

Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL

Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)

tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)

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B401 13

puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute

( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)

Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que

( ))(2 o

o ωminusωπleωminusω

iDOSC

i jFAKK

es decir

( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)

Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2

A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)

Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)

EJEMPLO 2

En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura

ωo

ωVCO

ωi

ωo

captura

enganche

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

14

Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s

es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s

es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A

41 Extensioacuten del rango de captura

Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)

Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura

Detectorde fase F(s) A

VCO

+

f-V

B0401

versor fre-

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 15

42 Rechazo a ruido

El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB

43 Tiempo de captura

El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente

( )3

2

2 ncapturaT

ωξ

ω∆cong (42)

Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente

5 Error de fase en reacutegimen permanente

Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex

tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)

Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute

( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)

Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

16 B0401

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)

Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2

Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta

( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)

Integrando

( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm

mjHtjHtt ω+ωωminusω

ωω∆

=ϕ∆ (47)

Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene

( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω

ωω∆

=ϕ∆ mmm

jHjH (48)

Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por

2

12

21111

1)(

sAKK

sAKK

ssH

DOSCDOSC ω+

ω

++

ω+= (49)

Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que

AKK DOSC

maacutexmaacutex

ω∆congϕ∆ (50)

En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como

ξωω∆

congϕ∆ 2maacutexmaacutex

n (51)

Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por

ωω

ξminus+

ξωω∆

congϕ∆22

maacutexmaacutex 2

114

1 n

n (52)

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B401 17

En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

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B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

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B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

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Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

8 B0401

Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es

AKK DOSCPLL

11 =ω

=τ (18)

Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten

OSC

t

OSC

t

Ke

Kev

PLLωminusτminus ωminusω+ω

=ωminusω+ω

=)()( 212

212

0 (19)

mientras que la frecuencia del VCO seraacute

tVCO PLLe

ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)

Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior

Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

τ

vi

t

vVCO

t

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 9

32 El caso real

Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)

RCssF

+=

11)( (21)

Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene

( )RCsAKK

sKssV

DOSCOSCi ++

=Ω 11

11)()(0 (22)

que puede reescribirse como

20

11

11)()(

sAKK

RCsAKK

KssV

DOSCDOSCOSCi ++

(23)

o bien

2

20

21

11)()(

nn

OSCi ssKssV

ω+

ωξ+

(24)

Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos

AKK DOSCRCn ω=ω (25)

AKK DOSC

RCω=ξ 2

1 (26)

Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso

Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero

R1

C

R1

R2

C

(a) (b)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

10 B0401

de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable

Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta

AKK DOSCRC 2=ω (27)

y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)

o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural

AKK DOSCPLL 2=ω (29)

Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es

1

2

21

211

)(11

)(ω+ω+

=++

+=

ss

CsRRCsRsF (30)

Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-

sioacuten para la transferencia del PLL

2

10

11

1

11)()(

ω+ω++

ss

AKKsKs

sV

DOSCOSCi

(31)

es decir

2

12

201111

11)()(

sAKK

sAKK

sKs

sV

DOSCDOSC

OSCiω

+

ω

++

ω+=

Ω (32)

Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten

Federico Miyara Antildeo 2005

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AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)

ω

+ω=ξ22

1 11AKK DOSC

n (34)

de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)

221 )(PLL

DOSC AKKCRR

ω=+ (35)

AKKCR

DOSCPLL

122 minus

ω= (36)

Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte

Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (37)

donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada

Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo

EJEMPLO 1

Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

12 B0401

Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ

4 Rango de captura del PLL

Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC

El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser

AKK D

OSC

i2

o πleωminusω

es decir

AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)

Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL

Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)

tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)

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B401 13

puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute

( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)

Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que

( ))(2 o

o ωminusωπleωminusω

iDOSC

i jFAKK

es decir

( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)

Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2

A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)

Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)

EJEMPLO 2

En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura

ωo

ωVCO

ωi

ωo

captura

enganche

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

14

Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s

es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s

es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A

41 Extensioacuten del rango de captura

Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)

Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura

Detectorde fase F(s) A

VCO

+

f-V

B0401

versor fre-

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42 Rechazo a ruido

El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB

43 Tiempo de captura

El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente

( )3

2

2 ncapturaT

ωξ

ω∆cong (42)

Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente

5 Error de fase en reacutegimen permanente

Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex

tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)

Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute

( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)

Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

16 B0401

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)

Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2

Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta

( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)

Integrando

( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm

mjHtjHtt ω+ωωminusω

ωω∆

=ϕ∆ (47)

Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene

( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω

ωω∆

=ϕ∆ mmm

jHjH (48)

Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por

2

12

21111

1)(

sAKK

sAKK

ssH

DOSCDOSC ω+

ω

++

ω+= (49)

Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que

AKK DOSC

maacutexmaacutex

ω∆congϕ∆ (50)

En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como

ξωω∆

congϕ∆ 2maacutexmaacutex

n (51)

Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por

ωω

ξminus+

ξωω∆

congϕ∆22

maacutexmaacutex 2

114

1 n

n (52)

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B401 17

En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

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B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

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Federico Miyara Antildeo 2005

B401 9

32 El caso real

Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)

RCssF

+=

11)( (21)

Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene

( )RCsAKK

sKssV

DOSCOSCi ++

=Ω 11

11)()(0 (22)

que puede reescribirse como

20

11

11)()(

sAKK

RCsAKK

KssV

DOSCDOSCOSCi ++

(23)

o bien

2

20

21

11)()(

nn

OSCi ssKssV

ω+

ωξ+

(24)

Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos

AKK DOSCRCn ω=ω (25)

AKK DOSC

RCω=ξ 2

1 (26)

Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso

Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero

R1

C

R1

R2

C

(a) (b)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

10 B0401

de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable

Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta

AKK DOSCRC 2=ω (27)

y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)

o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural

AKK DOSCPLL 2=ω (29)

Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es

1

2

21

211

)(11

)(ω+ω+

=++

+=

ss

CsRRCsRsF (30)

Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-

sioacuten para la transferencia del PLL

2

10

11

1

11)()(

ω+ω++

ss

AKKsKs

sV

DOSCOSCi

(31)

es decir

2

12

201111

11)()(

sAKK

sAKK

sKs

sV

DOSCDOSC

OSCiω

+

ω

++

ω+=

Ω (32)

Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 11

AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)

ω

+ω=ξ22

1 11AKK DOSC

n (34)

de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)

221 )(PLL

DOSC AKKCRR

ω=+ (35)

AKKCR

DOSCPLL

122 minus

ω= (36)

Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte

Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (37)

donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada

Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo

EJEMPLO 1

Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

12 B0401

Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ

4 Rango de captura del PLL

Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC

El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser

AKK D

OSC

i2

o πleωminusω

es decir

AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)

Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL

Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)

tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 13

puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute

( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)

Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que

( ))(2 o

o ωminusωπleωminusω

iDOSC

i jFAKK

es decir

( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)

Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2

A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)

Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)

EJEMPLO 2

En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura

ωo

ωVCO

ωi

ωo

captura

enganche

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

14

Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s

es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s

es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A

41 Extensioacuten del rango de captura

Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)

Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura

Detectorde fase F(s) A

VCO

+

f-V

B0401

versor fre-

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B401 15

42 Rechazo a ruido

El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB

43 Tiempo de captura

El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente

( )3

2

2 ncapturaT

ωξ

ω∆cong (42)

Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente

5 Error de fase en reacutegimen permanente

Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex

tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)

Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute

( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)

Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

16 B0401

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)

Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2

Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta

( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)

Integrando

( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm

mjHtjHtt ω+ωωminusω

ωω∆

=ϕ∆ (47)

Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene

( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω

ωω∆

=ϕ∆ mmm

jHjH (48)

Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por

2

12

21111

1)(

sAKK

sAKK

ssH

DOSCDOSC ω+

ω

++

ω+= (49)

Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que

AKK DOSC

maacutexmaacutex

ω∆congϕ∆ (50)

En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como

ξωω∆

congϕ∆ 2maacutexmaacutex

n (51)

Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por

ωω

ξminus+

ξωω∆

congϕ∆22

maacutexmaacutex 2

114

1 n

n (52)

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B401 17

En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

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Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

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ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

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Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

10 B0401

de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable

Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta

AKK DOSCRC 2=ω (27)

y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)

o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural

AKK DOSCPLL 2=ω (29)

Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es

1

2

21

211

)(11

)(ω+ω+

=++

+=

ss

CsRRCsRsF (30)

Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-

sioacuten para la transferencia del PLL

2

10

11

1

11)()(

ω+ω++

ss

AKKsKs

sV

DOSCOSCi

(31)

es decir

2

12

201111

11)()(

sAKK

sAKK

sKs

sV

DOSCDOSC

OSCiω

+

ω

++

ω+=

Ω (32)

Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 11

AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)

ω

+ω=ξ22

1 11AKK DOSC

n (34)

de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)

221 )(PLL

DOSC AKKCRR

ω=+ (35)

AKKCR

DOSCPLL

122 minus

ω= (36)

Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte

Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (37)

donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada

Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo

EJEMPLO 1

Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

12 B0401

Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ

4 Rango de captura del PLL

Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC

El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser

AKK D

OSC

i2

o πleωminusω

es decir

AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)

Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL

Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)

tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 13

puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute

( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)

Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que

( ))(2 o

o ωminusωπleωminusω

iDOSC

i jFAKK

es decir

( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)

Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2

A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)

Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)

EJEMPLO 2

En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura

ωo

ωVCO

ωi

ωo

captura

enganche

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

14

Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s

es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s

es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A

41 Extensioacuten del rango de captura

Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)

Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura

Detectorde fase F(s) A

VCO

+

f-V

B0401

versor fre-

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 15

42 Rechazo a ruido

El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB

43 Tiempo de captura

El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente

( )3

2

2 ncapturaT

ωξ

ω∆cong (42)

Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente

5 Error de fase en reacutegimen permanente

Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex

tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)

Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute

( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)

Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

16 B0401

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)

Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2

Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta

( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)

Integrando

( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm

mjHtjHtt ω+ωωminusω

ωω∆

=ϕ∆ (47)

Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene

( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω

ωω∆

=ϕ∆ mmm

jHjH (48)

Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por

2

12

21111

1)(

sAKK

sAKK

ssH

DOSCDOSC ω+

ω

++

ω+= (49)

Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que

AKK DOSC

maacutexmaacutex

ω∆congϕ∆ (50)

En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como

ξωω∆

congϕ∆ 2maacutexmaacutex

n (51)

Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por

ωω

ξminus+

ξωω∆

congϕ∆22

maacutexmaacutex 2

114

1 n

n (52)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 17

En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

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B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

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ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

Page 13: Lazos de fijación de fase, PLL (monografía versión .PDF, 372 kb)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 11

AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)

ω

+ω=ξ22

1 11AKK DOSC

n (34)

de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)

221 )(PLL

DOSC AKKCRR

ω=+ (35)

AKKCR

DOSCPLL

122 minus

ω= (36)

Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte

Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (37)

donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada

Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo

EJEMPLO 1

Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana

ω

t

ωi

ωVCO

ω1

ω2

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

12 B0401

Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ

4 Rango de captura del PLL

Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC

El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser

AKK D

OSC

i2

o πleωminusω

es decir

AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)

Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL

Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)

tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)

Federico Miyara Antildeo 2005

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puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute

( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)

Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que

( ))(2 o

o ωminusωπleωminusω

iDOSC

i jFAKK

es decir

( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)

Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2

A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)

Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)

EJEMPLO 2

En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura

ωo

ωVCO

ωi

ωo

captura

enganche

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

14

Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s

es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s

es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A

41 Extensioacuten del rango de captura

Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)

Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura

Detectorde fase F(s) A

VCO

+

f-V

B0401

versor fre-

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42 Rechazo a ruido

El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB

43 Tiempo de captura

El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente

( )3

2

2 ncapturaT

ωξ

ω∆cong (42)

Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente

5 Error de fase en reacutegimen permanente

Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex

tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)

Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute

( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)

Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

16 B0401

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)

Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2

Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta

( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)

Integrando

( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm

mjHtjHtt ω+ωωminusω

ωω∆

=ϕ∆ (47)

Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene

( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω

ωω∆

=ϕ∆ mmm

jHjH (48)

Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por

2

12

21111

1)(

sAKK

sAKK

ssH

DOSCDOSC ω+

ω

++

ω+= (49)

Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que

AKK DOSC

maacutexmaacutex

ω∆congϕ∆ (50)

En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como

ξωω∆

congϕ∆ 2maacutexmaacutex

n (51)

Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por

ωω

ξminus+

ξωω∆

congϕ∆22

maacutexmaacutex 2

114

1 n

n (52)

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En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

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B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

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B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

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B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

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Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

12 B0401

Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ

4 Rango de captura del PLL

Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC

El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser

AKK D

OSC

i2

o πleωminusω

es decir

AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)

Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL

Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)

tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 13

puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute

( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)

Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que

( ))(2 o

o ωminusωπleωminusω

iDOSC

i jFAKK

es decir

( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)

Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2

A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)

Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)

EJEMPLO 2

En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura

ωo

ωVCO

ωi

ωo

captura

enganche

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

14

Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s

es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s

es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A

41 Extensioacuten del rango de captura

Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)

Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura

Detectorde fase F(s) A

VCO

+

f-V

B0401

versor fre-

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 15

42 Rechazo a ruido

El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB

43 Tiempo de captura

El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente

( )3

2

2 ncapturaT

ωξ

ω∆cong (42)

Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente

5 Error de fase en reacutegimen permanente

Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex

tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)

Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute

( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)

Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

16 B0401

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)

Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2

Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta

( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)

Integrando

( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm

mjHtjHtt ω+ωωminusω

ωω∆

=ϕ∆ (47)

Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene

( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω

ωω∆

=ϕ∆ mmm

jHjH (48)

Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por

2

12

21111

1)(

sAKK

sAKK

ssH

DOSCDOSC ω+

ω

++

ω+= (49)

Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que

AKK DOSC

maacutexmaacutex

ω∆congϕ∆ (50)

En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como

ξωω∆

congϕ∆ 2maacutexmaacutex

n (51)

Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por

ωω

ξminus+

ξωω∆

congϕ∆22

maacutexmaacutex 2

114

1 n

n (52)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 17

En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

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B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

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Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

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Federico Miyara Antildeo 2005

B401 13

puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute

( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)

Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que

( ))(2 o

o ωminusωπleωminusω

iDOSC

i jFAKK

es decir

( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)

Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2

A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)

Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)

EJEMPLO 2

En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura

ωo

ωVCO

ωi

ωo

captura

enganche

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

14

Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s

es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s

es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A

41 Extensioacuten del rango de captura

Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)

Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura

Detectorde fase F(s) A

VCO

+

f-V

B0401

versor fre-

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B401 15

42 Rechazo a ruido

El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB

43 Tiempo de captura

El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente

( )3

2

2 ncapturaT

ωξ

ω∆cong (42)

Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente

5 Error de fase en reacutegimen permanente

Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex

tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)

Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute

( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)

Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

16 B0401

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)

Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2

Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta

( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)

Integrando

( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm

mjHtjHtt ω+ωωminusω

ωω∆

=ϕ∆ (47)

Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene

( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω

ωω∆

=ϕ∆ mmm

jHjH (48)

Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por

2

12

21111

1)(

sAKK

sAKK

ssH

DOSCDOSC ω+

ω

++

ω+= (49)

Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que

AKK DOSC

maacutexmaacutex

ω∆congϕ∆ (50)

En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como

ξωω∆

congϕ∆ 2maacutexmaacutex

n (51)

Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por

ωω

ξminus+

ξωω∆

congϕ∆22

maacutexmaacutex 2

114

1 n

n (52)

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B401 17

En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

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B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

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ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

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Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

14

Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s

es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta

ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s

es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A

41 Extensioacuten del rango de captura

Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)

Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura

Detectorde fase F(s) A

VCO

+

f-V

B0401

versor fre-

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 15

42 Rechazo a ruido

El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB

43 Tiempo de captura

El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente

( )3

2

2 ncapturaT

ωξ

ω∆cong (42)

Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente

5 Error de fase en reacutegimen permanente

Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex

tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)

Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute

( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)

Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

16 B0401

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)

Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2

Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta

( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)

Integrando

( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm

mjHtjHtt ω+ωωminusω

ωω∆

=ϕ∆ (47)

Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene

( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω

ωω∆

=ϕ∆ mmm

jHjH (48)

Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por

2

12

21111

1)(

sAKK

sAKK

ssH

DOSCDOSC ω+

ω

++

ω+= (49)

Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que

AKK DOSC

maacutexmaacutex

ω∆congϕ∆ (50)

En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como

ξωω∆

congϕ∆ 2maacutexmaacutex

n (51)

Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por

ωω

ξminus+

ξωω∆

congϕ∆22

maacutexmaacutex 2

114

1 n

n (52)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 17

En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

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B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

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Federico Miyara Antildeo 2005

B401 15

42 Rechazo a ruido

El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB

43 Tiempo de captura

El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente

( )3

2

2 ncapturaT

ωξ

ω∆cong (42)

Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente

5 Error de fase en reacutegimen permanente

Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex

tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)

Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute

( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)

Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

16 B0401

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)

Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2

Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta

( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)

Integrando

( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm

mjHtjHtt ω+ωωminusω

ωω∆

=ϕ∆ (47)

Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene

( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω

ωω∆

=ϕ∆ mmm

jHjH (48)

Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por

2

12

21111

1)(

sAKK

sAKK

ssH

DOSCDOSC ω+

ω

++

ω+= (49)

Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que

AKK DOSC

maacutexmaacutex

ω∆congϕ∆ (50)

En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como

ξωω∆

congϕ∆ 2maacutexmaacutex

n (51)

Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por

ωω

ξminus+

ξωω∆

congϕ∆22

maacutexmaacutex 2

114

1 n

n (52)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 17

En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

Page 18: Lazos de fijación de fase, PLL (monografía versión .PDF, 372 kb)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

16 B0401

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)

Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2

Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta

( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)

Integrando

( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm

mjHtjHtt ω+ωωminusω

ωω∆

=ϕ∆ (47)

Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene

( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω

ωω∆

=ϕ∆ mmm

jHjH (48)

Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por

2

12

21111

1)(

sAKK

sAKK

ssH

DOSCDOSC ω+

ω

++

ω+= (49)

Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que

AKK DOSC

maacutexmaacutex

ω∆congϕ∆ (50)

En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como

ξωω∆

congϕ∆ 2maacutexmaacutex

n (51)

Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por

ωω

ξminus+

ξωω∆

congϕ∆22

maacutexmaacutex 2

114

1 n

n (52)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 17

En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

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Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

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Federico Miyara Antildeo 2005

B401 17

En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada

Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo

EJEMPLO 3

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2

El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2

6 Error de fase en reacutegimen transitorio

En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-

ξ = 01

1 105201 0502

5

4

3

2

1 ξ = 05

ξ = 07

ξ = 10

ωmωn

∆ωm

aacutexω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

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Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

18 B0401

cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos

2)( ω=ω ti (53)

en tanto que el VCO responderaacute como en (37)

ηminusωξminusξminus

ωminusω+ω=ω

ξωminustet n

tnVCO2

221

2 1cos1

)( (54)

donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por

( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)

Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja

intntn

n

Ctet +

ψ+ηminusωξminusξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22

21 1cos1

)( (56)

donde

ψ = arccos ξ (57)

La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es

AKKC

DOSCint

12 ωminusω= (58)

Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta

ηminusωξminusξminus

ωminusω=ωminusω=ϕ∆

ξωminustett n

tnVCO2

221

2 1cos1

)()()( (59)

Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse

01cos 2 =

ηminusωξminus Mnt

Resulta

nMt

ωξminus

ξ+π=21

arcsen2

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

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Federico Miyara Antildeo 2005

B401 19

Reemplazando en (56)

( )AKK

eDOSCn

nn

121

arcsen2

221

maacutex 2cos1

2 ωminusω+ψ+ηminusη+π

ξminusω

ωminusω=ϕ∆ ξminusω

ξ+πξωminus

es decir

ξ+ω

ωminusω=ϕ∆ ξminus

ξ+πξminus

221

arcsen2

12maacutex e

n (60)

Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14

Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ

EJEMPLO 4

En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase

Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser

250050915091 πltω∆=

ωω∆

sn

de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11

111213141516171819

2

ξ

∆ωω

n

∆ϕm

aacutex

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

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Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

20 B0401

7 El PLL monoliacutetico LM565

Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15

Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales

Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta

mA820200k18k83k751

V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω

times=I

VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V

A su vez en reposo

V342k75k13

k13V12V6 =Ω+Ω

Ω+minus=BV

minusVcc

T3 T4 T5 T6

Vcc

I

T1 T2+

minusvi

57 kΩ

T7 T8

vVCOEntrada

procedentedel VCO

72 kΩ72 kΩ

13 kΩ200 Ω

81 kΩ

175 kΩ

38 kΩ

Salida Vref

1 kΩ 1 kΩ

I = 0976 I

vc Controldel VCO

36 kΩ

VA

VB

D4

D1 D2

D3

+minus vo

RR R1

76

3

2

10

1

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

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B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

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B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

Page 23: Lazos de fijación de fase, PLL (monografía versión .PDF, 372 kb)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 21

Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA

Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))

minus=T

i

T

ABVv

ThV

VVThIRv22o

que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a

vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)

Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que

vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)

Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene

e

oRv

II =minus 78

I8 + I7 = I

de donde

e

eR

IRvI

2o

8+

=

En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor

( ))(sg)(sg2 VCO

1 IRvvVRRVv eiD

eccc +minus= (62)

Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta

+

ϕminusπ

πminus=

22

21 IRV

RRVv e

D

eccmedc

es decir

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

Page 24: Lazos de fijación de fase, PLL (monografía versión .PDF, 372 kb)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

22 B0401

ϕminusπ

π+minus=

22 11

e

Dccmedc R

VRIRVv (63)

Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor

Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)

Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta

Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)

Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)

La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)

e

DD R

VRAKπ

minus= 1 (66)

Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1

En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis

Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por

RvVI ccc

ominus

= (67)

Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6

Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC

1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta

como Vcc minus vc en lugar de vc

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

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32 B0401

Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

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Federico Miyara Antildeo 2005

B401 23

Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos

Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica

( )V60

V604

2

2

3

22 +

+minus+

minus+minus= R

RvV

RvV

Vv cccccc (68)

de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V

minusVcc

7 kΩ

R

vc

Io

2I1

3I1

2I1 I1

I1

C

ID1

ID1

ID2

D2D1

D7

D8

1

530 Ω530 Ω

T1

T2

T3 T4

T5

T7T6 I

84 kΩ

T8

T9

T10

D5

D6D3

D4

26 kΩ

65 kΩ

T11

47 kΩ

48 kΩ

T12

T13 T14

16 kΩ

vVCO

10Vcc

58 kΩ

43 kΩ

minusVcc

IT15

v1

v2v3

v4

v5v6

7

4

8

9

v6

R2 R3 R6 R7

R4

R5

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

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Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

24 B0401

0V0401

V6011

2

4

3

4

2

4

2

4

3

4

2 cong=

++

minus+

minus+

=

RR

RR

RRV

RR

RR

vcc

(69)

De alliacutev3 cong 06 V (70)

v4 cong minus06 V (71)

Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en

vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)

El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando

v5 cong 0 (73)

El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA

v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)

La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando

v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)

En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir

mA082k62

)(V60=

Ωminusminusminus ccV

pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale

mA920k56

)V60( 4 =Ω+minus vVcc

el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

Page 27: Lazos de fijación de fase, PLL (monografía versión .PDF, 372 kb)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 25

Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida

vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)

Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8

Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que

v3 minus v4 = 2VBE (77)

tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando

( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)

donde

4

1 )(34 R

VVvi ccBER

minusminusminus= (79)

Resulta

( ) ( )V111

3

42

42421 minus=

+++minusminus

=RR

VRRVRRv BEcc (80)

A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor

En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir

)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex

oVVRC

vVVVC

If cccVCO minus

minus=

minus= (81)

Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta

3120)11121(2

5646o RCVVRC

VVf =+

minus= (82)

valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

Page 28: Lazos de fijación de fase, PLL (monografía versión .PDF, 372 kb)

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

26 B0401

Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)

oo

V364

V1442

miacuten)maacutex(22 f

fVVRC

KOSC minus=π

minus=minus

πminus= (83)

valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo

8 Aplicaciones del PLL

El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores

81 Filtros

El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte

t

t

54

minus06

vVCO [V]

v1 [V]

minus111

120

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B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

Page 29: Lazos de fijación de fase, PLL (monografía versión .PDF, 372 kb)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 27

En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura

Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea

Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten

obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada

El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)

Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos

82 Demoduladores

Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO

Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada

Detectorde fase

Osciladorcontroladopor tensioacuten

Amplv1 voKDsdot∆ϕ

vc

f1 N f1FiltroPasabajos v2

middot Nf1 N f1

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994

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Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

28 B0401

APEacuteNDICE 1

Relacioacuten entre la frecuencia y la fase

Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de

Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia

vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π

])()([21

21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ

π=ϕ∆

π=∆ (A1)

Entonces la frecuencia es

)(21)()(liacutem

21liacutem)(

00t

tttt

tvueltatf

ttϕprime

π=

∆ϕminus∆+ϕ

π=

∆∆=

rarr∆rarr∆ (A2)

de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)

con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les

ν(t)sen ϕ(t)

ϕ(t)

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 29

APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

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APEacuteNDICE 2

Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert

En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert

Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert

Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen

iC1 = iC3 + iC4 (A21a)

iC2 = iC5 + iC6 (A21b)

iC1 + iC2 = I (A21b)

Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que

TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)

donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes

v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)

v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)

+

R

minusVcc

T3 T4 T5 T6

R

Vcc

I

T1 T2+

minus

minus

v1

v2

+

minusvo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase

32 B0401

Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

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30 B0401

Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)

De las ecuaciones (A22) se deduce que

T

BEBEV

VV

C

C eii

43

4

3minus

= (A25a)

T

BEBEV

VV

C

C eii

56

5

6minus

= (A25a)

y de (A23a)

TVv

C

C

C

C eii

ii

1

5

6

4

3 == (A26a)

Anaacutelogamente

TVv

C

C eii

2

2

1 = (A26b)

Por otra parte

( )TVvC

C

CCCC ei

ii

iiiI 2

2

1221 211 +=

+=+=

de donde

TVvCeIi

221 +

= (A27a)

Anaacutelogamente

TVvCe

Ii1

21 minus+= (A27b)

En forma similar

TVvC

Ce

ii

14

11 +=

TVvC

Ce

ii

26

11 minus+=

(A28)

TVvC

Ce

ii

13

11 minus+=

TVvC

Ce

ii

25

11 +=

Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene

Federico Miyara Antildeo 2005

B401 31

+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

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Vv

VvCC VvTh

eI

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TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

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Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

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+=

+

minus

+=minus

minusminus TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

4321

1

2

Anaacutelogamente

+minus=

minus

minus

+=minus

TVvVv

Vv

VvCC VvTh

eI

ee

eIii

TT

T

T 211

1

11

6521

1

2

Finalmente reemplazando en (A24)

=

TT VvTh

VvThIRv

2221

o (A29)

Para v1 v2 lt VT

21221

o422

vvVRI

Vv

VvIRv

TTT== (A210)

La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4

Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces

vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)

donde sg(x) es la funcioacuten signo

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Bibliografiacutea

Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)

Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National

Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en

Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-

ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and

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