Lazos de fijación de fase, PLL (monografía versión .PDF, 372 kb)
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PLLLAZOS DE FIJACIOacuteN DE FASE
Federico Miyara
Segunda Edicioacuten - 2005B0401
Riobamba 245 bis httpwwwfceiaunreduarenica32000 Rosario TEL 0341 4808543Argentina FAX 0341 4802654
Universidad Nacional de RosarioFacultad de Ciencias Exactas Ingenieriacutea y Agrimensura
Escuela de Ingenieriacutea ElectroacutenicaDepartamento de Electroacutenica
ELECTROacuteNICA III
84 kΩΩΩΩ9
D1
530 ΩΩΩΩ530 ΩΩΩΩ
T3 T4
I
D5
D6D3
D4
26 kΩΩΩΩ
T9
T10
T7T6
T5
T11
t
t
vi
vc
Coacutedigo interno de publicacioacuten B0401Primera edicioacuten 2000Segunda edicioacuten corregida y ampliada 2005Publicado en InternetRosario ArgentinaAntildeo 2005httpwwwfceiaunreduarenica3pllpdf
0401 1
PLLLAZOS DE FIJACIOacuteN DE FASE
1 Introduccioacuten
Un lazo de fijacioacuten de fase (PLL siglas en ingleacutes de phase locked loop) es un cir-cuito capaz de generar una oscilacioacuten cuya fase con respecto a una sentildeal de entrada semantiene acotada contando para ello con una realimentacioacuten que compara la fase de lasdos sentildeales y actuacutea modificando la frecuencia de la oscilacioacuten generada En la figura 1se muestra un esquema muy simplificado del mismo
Figura 1 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase
El comparador de fase produce idealmente una sentildeal KDsdot∆ϕ proporcional a la di-ferencia de fase entre la sentildeal de entrada v1 y la sentildeal v2 generada por el oscilador con-trolado por tensioacuten (VCO siglas en ingleacutes de voltage-controlled oscillator) queamplificada por el amplificador se aplica a la entrada vc del VCO Este uacuteltimo produceuna frecuencia f2 que variacutea linealmente con vc
La situacioacuten de equilibrio se alcanza cuando la sentildeal KDsdot∆ϕ amplificada por elamplificador es tal que aplicada al VCO hace que eacuteste oscile exactamente a la mismafrecuencia que la entrada En efecto si fuera por ejemplo f1 gt f2 la diferencia de faseiriacutea en aumento lo cual hariacutea que f2 aumentara tendiendo a acercarse a f1 y a la inversasi f1 lt f2
Una primera aplicacioacuten interesante de este dispositivo es la demodulacioacuten de unasentildeal de frecuencia modulada ya que vc es proporcional a f2 y por lo tanto a f1 Existencomo veremos maacutes adelante otras aplicaciones como la multiplicacioacuten de frecuenciaso la recuperacioacuten del tono piloto en las sentildeales de FM estereofoacutenicas
2 Estructura real de un PLL
En el esquema simplificado de la figura 1 supusimos la existencia de un elementode circuito capaz de comparar directamente las fases de las dos sentildeales produciendouna sentildeal proporcional a la diferencia de fases KDsdot∆ϕ Desgraciadamente no es posibleconstruir tal dispositivo por lo cual se lo reemplaza por un circuito multiplicador (de-
Comparadorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 v2KDsdot∆ϕ
vc
f1 f2
v3
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
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nominado detector de fase multiplicativo) seguido por un filtro pasabajos Si suponemosque las dos sentildeales que ingresan al mismo son
tVtv 111 sen)( ω= (1)
tVtv 222 sen)( ω= (2)
entonces la multiplicacioacuten de estas sentildeales conduce aplicando conocidas identidadestrigonomeacutetricas a
[ ]ttVVKtvtvKtv )sen()cos(2
)()()( 212121213 ω+ωminusωminusω== (3)
Si suponemos que ω1 minus ω2 ltlt ω1 + ω2 y que el filtro pasabajos tiene su frecuencia decorte entre estas dos frecuencias la frecuencia ω1 + ω2 se elimina y entonces podemosconcluir que
tVVKtv )cos(2
)( 21213 ωminusωcong (4)
Pero (ω1 minus ω2)t es precisamente la diferencia de fase ∆ϕ entre ambas sentildeales de donde
ϕ∆cong cos2
)( 213 VVKtv (5)
Esta relacioacuten se ha representado en la figura 2 donde se observa ademaacutes que en lasproximidades de π2 la relacioacuten es bastante lineal En ese caso es posible aproximar auacutenmaacutes la ecuacioacuten (5) que queda
)2()2(2 213 ϕ∆minusπ=ϕ∆minusπcong DKVVKv (6)
Figura 2 Relacioacuten cosenoidal entre la salida v3 y la diferencia de fase∆ϕ entre la sentildeal de entrada y la del VCO La liacutenea de trazos es laaproximacioacuten lineal
La alinealidad puede eliminarse si en lugar de utilizar un multiplicador lineal seutiliza un circuito de tipo OR-exclusivo cuya respuesta es
v3(t) = K sg(v1(t)) sg(v2(t)) (7)
v3
∆ϕππ2
KD
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donde sg(x) es la funcioacuten signo Suponiendo que las dos sentildeales tienen semiperiacuteodossimeacutetricos y que tienen un defasaje ∆ϕ como se muestra en la figura 3(a) podemoscalcular el valor medio en un periodo como
πϕ∆minusϕ∆minusπ== int KKdttv
TV
Tmed
)()(10 33
es decir
ϕ∆minusπ
π=
22
3KV med (8)
relacioacuten indicada en la figura 3b
Figura 3 Operacioacuten de un detector de fase OR-exclusivo (a) Formade onda previa al filtrado (b) Relacioacuten lineal entre la fase y la compo-nente de baja frecuencia
Lo anterior muestra que en la figura 1 podemos sustituir el comparador de fasepor un detector de fase multiplicativo y un filtro pasabajos como se ve en la figura 4
Figura 4 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase po-niendo de manifiesto la estructura del comparador de fase
NOTA El razonamiento anterior se hizo suponiendo que tanto ω1 como ω2 eran constantes Sison variables ya no es cierto que ϕ = ωsdott sino que ϕ = intω dt o lo que es lo mismoω(t) = ϕrsquo(t) (ver Apeacutendice 1)
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 v2KDsdot∆ϕ
vc
f1 f2FiltroPasabajos v2
V3 med
∆ϕππ2
K
1
sg(v1)
ωt
sg(v2)
1ωt
v3
Kωt
2π
2ππ π+∆ϕ∆ϕ
∆ϕ
(a) (b)
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La aproximacioacuten (6) es vaacutelida soacutelo cuando la diferencia de fase se encuentra proacute-xima π2 Para diferencias de fase cercanas a π o a 0 el comparador de fase exhibe uncomportamiento alineal y tiende a saturarse iquestQueacute sucede en ese caso Simplemente larealimentacioacuten se interrumpe las frecuencias dejan de ser iguales y entonces la fasesalta perioacutedicamente entre valores positivos y negativos tendiendo a un promedio nuloLo mismo sucede en el caso del detector OR-exclusivo cuando el defasaje intenta ir pordebajo de 0 o por encima de π En este caso se dice que el PLL funciona desengancha-do Dado que el VCO recibe una tensioacuten nula en el caso ideal produciriacutea a su salida unasentildeal de frecuencia tambieacuten nula Sin embargo por razones de orden praacutectico que ve-remos enseguida conviene que con entrada nula genere alguna frecuencia no nula quese denomina frecuencia libre
3 PLL en seguimiento
En la zona de operacioacuten lineal del detector de fase (zona de seguimiento) el PLLse comporta como un sistema lineal y es posible determinar su transferencia frecuencia-tensioacuten por medio de la teoriacutea de sistemas lineales Para ello es conveniente tener encuenta la relacioacuten que existe entre la fase y la frecuencia ya que la ldquoentradardquo del siste-ma seraacute la frecuencia de la sentildeal de entrada mientras que la comparacioacuten se efectuaraacuteen fase Tenemos (Apeacutendice 1)
intω=ϕ dttt )()( (9)
que en transformada de Laplace corresponde a
)(1)( ss
s Ω=Φ (10)
A fin de evitar confusiones es importante sentildealar que en este tipo muy particularde sistemas consideramos que la sentildeal de entrada es una frecuencia que a su vez podriacuteavariar perioacutedicamente con otra frecuencia Por ejemplo fiacutesicamente podriacutea tratarse deuna sentildeal senoidal cuya frecuencia variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces porsegundo es decir una portadora de 10 kHz modulada en frecuencia mediante una sentildealmoduladora de 100 Hz Para el PLL la sentildeal seraacute la frecuencia variable entre 9 kHz y11 kHz y su frecuencia seraacute 100 Hz La frecuencia impliacutecita en la variable de Laplace scorresponde a esta uacuteltima es decir la frecuencia con que variacutea la frecuencia
En la figura 5 (a) se muestra la interconexioacuten de bloques que resulta obtenida re-ordenando los bloques de la figura 3 e incluyendo la relacioacuten (10) F(s) es la funcioacutentransferencia del filtro En la figura 5 (b) las dos integraciones 1s han quedado absorbi-das en una sola dentro del camino directo
De esta figura puede obtenerse la funcioacuten de transferencia del PLL aplicando lafoacutermula para la transferencia de un sistema realimentado
)(11
11
)(1
)(
)()(
sFAKKsKsF
sAKK
sFs
AK
ssV
DOSCOSCDOSC
D
i
O
+=
+=
Ω (11)
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Figura 5 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase linea-lizado (a) Poniendo de manifiesto la relacioacuten entre frecuencia y fase(b) Reordenado para simplificar el anaacutelisis
A fin de lograr una mejor comprensioacuten de la foacutermula anterior analizaremos pri-mero el caso ideal que es maacutes simple
31 El caso ideal
En el caso ideal planteado en la seccioacuten 1 el comparador de fase produciraacute unatensioacuten proporcional al error de fase sin necesidad de ninguacuten filtrado posterior por locual podriacuteamos tomar F(s) = 1 resultando
AKKsKs
sV
DOSCOSCi +
=Ω 1
11)()(0 (12)
Vemos que el PLL se comporta inherentemente como un pasabajos cuya frecuenciaangular de corte es
AKK DOSCPLL =ω (13)
Como puede apreciarse la frecuencia de corte seraacute tanto mayor cuanto mayor sea laganancia del lazo Este comportamiento es coherente con el hecho de que estamos rea-limentando un sistema con un polo (la integracioacuten) y por lo tanto su producto gananciapor ancho de banda es constante
1s KD F(s) A
KOSC
KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+
minus
ΩOSC = KOSCVo
Ωε
(a)
(b)
1s KD F(s) A
1s KOSC
KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+
minus
ΩOSC = KOSCVoΦOSC
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NOTA Observemos que esta frecuencia de corte no es relativa a la sentildeal fiacutesica de en-trada sino a su frecuencia En otras palabras si la frecuencia es constante (es decir sila frecuencia de variacioacuten de la frecuencia es 0) no existiraacute atenuacioacuten con respecto a latransferencia ideal 1KOSC Si ahora la frecuencia empieza a variar mientras la frecuen-cia de variacioacuten se mantenga por debajo de ωPLL no habraacute atenuacioacuten pero por encimade ωPLL (es decir cuando la frecuencia variacutee muy raacutepidamente) la amplitud de la ten-sioacuten de salida comenzaraacute a reducirse
Supongamos ahora una sentildeal cuya frecuencia variacutea senoidalmente alrededor deuna frecuencia central ω0 alejaacutendose de eacutesta en plusmn ∆ωmaacutex
tt mi ωω∆+ω=ω sen)( maacutex0 (14)
donde ωm es la frecuencia de variacioacuten de la frecuencia Si aplicamos la ecuacioacuten (12)podemos obtener la tensioacuten de salida en reacutegimen permanente
)(sen
1
1)(2
maacutex00 θ+ω
ω+
ω∆+
ω= t
AKK
KKtv m
DOSC
mOSCOSC
(15)
donde
AKK DOSC
mωminus=θ arctg (16)
Es interesante ahora obtener la frecuencia generada por el VCO que es la que re-sulta comparada con la de la entrada Para ello basta multiplicar por KOSC
)(sen
1
1)(2maacutex0 θ+ω
ω+
ω∆+ω=ω t
AKK
t m
DOSC
m
VCO (17)
Si recordamos la ecuacioacuten (14) comprobaremos que ωVCO ne ωi excepto si ωm ltlt ωPLLcomo se muestra en la figura 6 Esto pareceriacutea estar en contradiccioacuten con el anaacutelisis in-tuitivo que habiacuteamos hecho en la seccioacuten 1 donde afirmaacutebamos que en el equilibrioωVCO = ωi Pero no es asiacute dado que en este caso en el cual la frecuencia de entrada noes constante es maacutes apropiado hablar de reacutegimen permanente que de equilibrio En lafigura 7 se muestran ademaacutes de las frecuencias ωi y ωVCO las correspondientes formasde onda
Si la frecuencia de entrada fuera constante (y por consiguiente igual a ω0) la fre-cuencia del VCO seriacutea exactamente igual a la frecuencia de entrada situacioacuten que siacutepuede considerarse como de equilibrio Es interesante vincular esto con la Teoriacutea delControl En este caso al haber una integracioacuten en la cadena directa (la que conviertefrecuencia en fase) cabe esperar que el error en continua sea nulo por lo cual el resul-tado obtenido antes intuitivamente y ahora por caacutelculo era esperable
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Figura 6 Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y del VCO (liacutenea detrazos) en funcioacuten del tiempo (a) Para ωm ltlt ωPLL (b) Para ωm gt ωPLL
Figura 7 (a) Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y delVCO (liacutenea de trazos) en funcioacuten del tiempo (b) Tensioacuten de entrada(c) Tensioacuten del VCO Compaacuterese las graacuteficas (b) y (c) con la corres-pondiente frecuencia de la graacutefica (a) Obseacutervese coacutemo la variacioacuten defrecuencia en (c) es menor que en (b)
ω
t
ωi
ωVCOω0
(a)ω
t
ωi
ωVCO
ω0
(b)
ω
t
ωi ωVCO
ω0
(a)
(b)
vi
t
(c)
vVCO
t
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Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es
AKK DOSCPLL
11 =ω
=τ (18)
Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten
OSC
t
OSC
t
Ke
Kev
PLLωminusτminus ωminusω+ω
=ωminusω+ω
=)()( 212
212
0 (19)
mientras que la frecuencia del VCO seraacute
tVCO PLLe
ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)
Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior
Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
τ
vi
t
vVCO
t
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32 El caso real
Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)
RCssF
+=
11)( (21)
Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene
( )RCsAKK
sKssV
DOSCOSCi ++
=Ω 11
11)()(0 (22)
que puede reescribirse como
20
11
11)()(
sAKK
RCsAKK
KssV
DOSCDOSCOSCi ++
=Ω
(23)
o bien
2
20
21
11)()(
nn
OSCi ssKssV
ω+
ωξ+
=Ω
(24)
Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos
AKK DOSCRCn ω=ω (25)
AKK DOSC
RCω=ξ 2
1 (26)
Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso
Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero
R1
C
R1
R2
C
(a) (b)
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de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable
Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta
AKK DOSCRC 2=ω (27)
y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)
o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural
AKK DOSCPLL 2=ω (29)
Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es
1
2
21
211
)(11
)(ω+ω+
=++
+=
ss
CsRRCsRsF (30)
Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-
sioacuten para la transferencia del PLL
2
10
11
1
11)()(
ω+ω++
=Ω
ss
AKKsKs
sV
DOSCOSCi
(31)
es decir
2
12
201111
11)()(
sAKK
sAKK
sKs
sV
DOSCDOSC
OSCiω
+
ω
++
ω+=
Ω (32)
Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten
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AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)
ω
+ω=ξ22
1 11AKK DOSC
n (34)
de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)
221 )(PLL
DOSC AKKCRR
ω=+ (35)
AKKCR
DOSCPLL
122 minus
ω= (36)
Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte
Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (37)
donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada
Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo
EJEMPLO 1
Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
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Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ
4 Rango de captura del PLL
Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC
El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser
AKK D
OSC
i2
o πleωminusω
es decir
AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)
Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL
Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)
tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)
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puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute
( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)
Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que
( ))(2 o
o ωminusωπleωminusω
iDOSC
i jFAKK
es decir
( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)
Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2
A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)
Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)
EJEMPLO 2
En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura
ωo
ωVCO
ωi
ωo
captura
enganche
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Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s
es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s
es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A
41 Extensioacuten del rango de captura
Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)
Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura
Detectorde fase F(s) A
VCO
+
f-V
B0401
versor fre-
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42 Rechazo a ruido
El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB
43 Tiempo de captura
El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente
( )3
2
2 ncapturaT
ωξ
ω∆cong (42)
Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente
5 Error de fase en reacutegimen permanente
Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex
tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)
Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute
( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)
Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
16 B0401
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)
Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2
Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta
( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)
Integrando
( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm
mjHtjHtt ω+ωωminusω
ωω∆
=ϕ∆ (47)
Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene
( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω
ωω∆
=ϕ∆ mmm
jHjH (48)
Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por
2
12
21111
1)(
sAKK
sAKK
ssH
DOSCDOSC ω+
ω
++
ω+= (49)
Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que
AKK DOSC
maacutexmaacutex
ω∆congϕ∆ (50)
En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como
ξωω∆
congϕ∆ 2maacutexmaacutex
n (51)
Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por
ωω
ξminus+
ξωω∆
congϕ∆22
maacutexmaacutex 2
114
1 n
n (52)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 17
En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 19
Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 25
Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
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B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Coacutedigo interno de publicacioacuten B0401Primera edicioacuten 2000Segunda edicioacuten corregida y ampliada 2005Publicado en InternetRosario ArgentinaAntildeo 2005httpwwwfceiaunreduarenica3pllpdf
0401 1
PLLLAZOS DE FIJACIOacuteN DE FASE
1 Introduccioacuten
Un lazo de fijacioacuten de fase (PLL siglas en ingleacutes de phase locked loop) es un cir-cuito capaz de generar una oscilacioacuten cuya fase con respecto a una sentildeal de entrada semantiene acotada contando para ello con una realimentacioacuten que compara la fase de lasdos sentildeales y actuacutea modificando la frecuencia de la oscilacioacuten generada En la figura 1se muestra un esquema muy simplificado del mismo
Figura 1 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase
El comparador de fase produce idealmente una sentildeal KDsdot∆ϕ proporcional a la di-ferencia de fase entre la sentildeal de entrada v1 y la sentildeal v2 generada por el oscilador con-trolado por tensioacuten (VCO siglas en ingleacutes de voltage-controlled oscillator) queamplificada por el amplificador se aplica a la entrada vc del VCO Este uacuteltimo produceuna frecuencia f2 que variacutea linealmente con vc
La situacioacuten de equilibrio se alcanza cuando la sentildeal KDsdot∆ϕ amplificada por elamplificador es tal que aplicada al VCO hace que eacuteste oscile exactamente a la mismafrecuencia que la entrada En efecto si fuera por ejemplo f1 gt f2 la diferencia de faseiriacutea en aumento lo cual hariacutea que f2 aumentara tendiendo a acercarse a f1 y a la inversasi f1 lt f2
Una primera aplicacioacuten interesante de este dispositivo es la demodulacioacuten de unasentildeal de frecuencia modulada ya que vc es proporcional a f2 y por lo tanto a f1 Existencomo veremos maacutes adelante otras aplicaciones como la multiplicacioacuten de frecuenciaso la recuperacioacuten del tono piloto en las sentildeales de FM estereofoacutenicas
2 Estructura real de un PLL
En el esquema simplificado de la figura 1 supusimos la existencia de un elementode circuito capaz de comparar directamente las fases de las dos sentildeales produciendouna sentildeal proporcional a la diferencia de fases KDsdot∆ϕ Desgraciadamente no es posibleconstruir tal dispositivo por lo cual se lo reemplaza por un circuito multiplicador (de-
Comparadorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 v2KDsdot∆ϕ
vc
f1 f2
v3
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
2 B0401
nominado detector de fase multiplicativo) seguido por un filtro pasabajos Si suponemosque las dos sentildeales que ingresan al mismo son
tVtv 111 sen)( ω= (1)
tVtv 222 sen)( ω= (2)
entonces la multiplicacioacuten de estas sentildeales conduce aplicando conocidas identidadestrigonomeacutetricas a
[ ]ttVVKtvtvKtv )sen()cos(2
)()()( 212121213 ω+ωminusωminusω== (3)
Si suponemos que ω1 minus ω2 ltlt ω1 + ω2 y que el filtro pasabajos tiene su frecuencia decorte entre estas dos frecuencias la frecuencia ω1 + ω2 se elimina y entonces podemosconcluir que
tVVKtv )cos(2
)( 21213 ωminusωcong (4)
Pero (ω1 minus ω2)t es precisamente la diferencia de fase ∆ϕ entre ambas sentildeales de donde
ϕ∆cong cos2
)( 213 VVKtv (5)
Esta relacioacuten se ha representado en la figura 2 donde se observa ademaacutes que en lasproximidades de π2 la relacioacuten es bastante lineal En ese caso es posible aproximar auacutenmaacutes la ecuacioacuten (5) que queda
)2()2(2 213 ϕ∆minusπ=ϕ∆minusπcong DKVVKv (6)
Figura 2 Relacioacuten cosenoidal entre la salida v3 y la diferencia de fase∆ϕ entre la sentildeal de entrada y la del VCO La liacutenea de trazos es laaproximacioacuten lineal
La alinealidad puede eliminarse si en lugar de utilizar un multiplicador lineal seutiliza un circuito de tipo OR-exclusivo cuya respuesta es
v3(t) = K sg(v1(t)) sg(v2(t)) (7)
v3
∆ϕππ2
KD
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B401 3
donde sg(x) es la funcioacuten signo Suponiendo que las dos sentildeales tienen semiperiacuteodossimeacutetricos y que tienen un defasaje ∆ϕ como se muestra en la figura 3(a) podemoscalcular el valor medio en un periodo como
πϕ∆minusϕ∆minusπ== int KKdttv
TV
Tmed
)()(10 33
es decir
ϕ∆minusπ
π=
22
3KV med (8)
relacioacuten indicada en la figura 3b
Figura 3 Operacioacuten de un detector de fase OR-exclusivo (a) Formade onda previa al filtrado (b) Relacioacuten lineal entre la fase y la compo-nente de baja frecuencia
Lo anterior muestra que en la figura 1 podemos sustituir el comparador de fasepor un detector de fase multiplicativo y un filtro pasabajos como se ve en la figura 4
Figura 4 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase po-niendo de manifiesto la estructura del comparador de fase
NOTA El razonamiento anterior se hizo suponiendo que tanto ω1 como ω2 eran constantes Sison variables ya no es cierto que ϕ = ωsdott sino que ϕ = intω dt o lo que es lo mismoω(t) = ϕrsquo(t) (ver Apeacutendice 1)
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 v2KDsdot∆ϕ
vc
f1 f2FiltroPasabajos v2
V3 med
∆ϕππ2
K
1
sg(v1)
ωt
sg(v2)
1ωt
v3
Kωt
2π
2ππ π+∆ϕ∆ϕ
∆ϕ
(a) (b)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
4 B0401
La aproximacioacuten (6) es vaacutelida soacutelo cuando la diferencia de fase se encuentra proacute-xima π2 Para diferencias de fase cercanas a π o a 0 el comparador de fase exhibe uncomportamiento alineal y tiende a saturarse iquestQueacute sucede en ese caso Simplemente larealimentacioacuten se interrumpe las frecuencias dejan de ser iguales y entonces la fasesalta perioacutedicamente entre valores positivos y negativos tendiendo a un promedio nuloLo mismo sucede en el caso del detector OR-exclusivo cuando el defasaje intenta ir pordebajo de 0 o por encima de π En este caso se dice que el PLL funciona desengancha-do Dado que el VCO recibe una tensioacuten nula en el caso ideal produciriacutea a su salida unasentildeal de frecuencia tambieacuten nula Sin embargo por razones de orden praacutectico que ve-remos enseguida conviene que con entrada nula genere alguna frecuencia no nula quese denomina frecuencia libre
3 PLL en seguimiento
En la zona de operacioacuten lineal del detector de fase (zona de seguimiento) el PLLse comporta como un sistema lineal y es posible determinar su transferencia frecuencia-tensioacuten por medio de la teoriacutea de sistemas lineales Para ello es conveniente tener encuenta la relacioacuten que existe entre la fase y la frecuencia ya que la ldquoentradardquo del siste-ma seraacute la frecuencia de la sentildeal de entrada mientras que la comparacioacuten se efectuaraacuteen fase Tenemos (Apeacutendice 1)
intω=ϕ dttt )()( (9)
que en transformada de Laplace corresponde a
)(1)( ss
s Ω=Φ (10)
A fin de evitar confusiones es importante sentildealar que en este tipo muy particularde sistemas consideramos que la sentildeal de entrada es una frecuencia que a su vez podriacuteavariar perioacutedicamente con otra frecuencia Por ejemplo fiacutesicamente podriacutea tratarse deuna sentildeal senoidal cuya frecuencia variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces porsegundo es decir una portadora de 10 kHz modulada en frecuencia mediante una sentildealmoduladora de 100 Hz Para el PLL la sentildeal seraacute la frecuencia variable entre 9 kHz y11 kHz y su frecuencia seraacute 100 Hz La frecuencia impliacutecita en la variable de Laplace scorresponde a esta uacuteltima es decir la frecuencia con que variacutea la frecuencia
En la figura 5 (a) se muestra la interconexioacuten de bloques que resulta obtenida re-ordenando los bloques de la figura 3 e incluyendo la relacioacuten (10) F(s) es la funcioacutentransferencia del filtro En la figura 5 (b) las dos integraciones 1s han quedado absorbi-das en una sola dentro del camino directo
De esta figura puede obtenerse la funcioacuten de transferencia del PLL aplicando lafoacutermula para la transferencia de un sistema realimentado
)(11
11
)(1
)(
)()(
sFAKKsKsF
sAKK
sFs
AK
ssV
DOSCOSCDOSC
D
i
O
+=
+=
Ω (11)
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B401 5
Figura 5 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase linea-lizado (a) Poniendo de manifiesto la relacioacuten entre frecuencia y fase(b) Reordenado para simplificar el anaacutelisis
A fin de lograr una mejor comprensioacuten de la foacutermula anterior analizaremos pri-mero el caso ideal que es maacutes simple
31 El caso ideal
En el caso ideal planteado en la seccioacuten 1 el comparador de fase produciraacute unatensioacuten proporcional al error de fase sin necesidad de ninguacuten filtrado posterior por locual podriacuteamos tomar F(s) = 1 resultando
AKKsKs
sV
DOSCOSCi +
=Ω 1
11)()(0 (12)
Vemos que el PLL se comporta inherentemente como un pasabajos cuya frecuenciaangular de corte es
AKK DOSCPLL =ω (13)
Como puede apreciarse la frecuencia de corte seraacute tanto mayor cuanto mayor sea laganancia del lazo Este comportamiento es coherente con el hecho de que estamos rea-limentando un sistema con un polo (la integracioacuten) y por lo tanto su producto gananciapor ancho de banda es constante
1s KD F(s) A
KOSC
KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+
minus
ΩOSC = KOSCVo
Ωε
(a)
(b)
1s KD F(s) A
1s KOSC
KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+
minus
ΩOSC = KOSCVoΦOSC
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
6 B0401
NOTA Observemos que esta frecuencia de corte no es relativa a la sentildeal fiacutesica de en-trada sino a su frecuencia En otras palabras si la frecuencia es constante (es decir sila frecuencia de variacioacuten de la frecuencia es 0) no existiraacute atenuacioacuten con respecto a latransferencia ideal 1KOSC Si ahora la frecuencia empieza a variar mientras la frecuen-cia de variacioacuten se mantenga por debajo de ωPLL no habraacute atenuacioacuten pero por encimade ωPLL (es decir cuando la frecuencia variacutee muy raacutepidamente) la amplitud de la ten-sioacuten de salida comenzaraacute a reducirse
Supongamos ahora una sentildeal cuya frecuencia variacutea senoidalmente alrededor deuna frecuencia central ω0 alejaacutendose de eacutesta en plusmn ∆ωmaacutex
tt mi ωω∆+ω=ω sen)( maacutex0 (14)
donde ωm es la frecuencia de variacioacuten de la frecuencia Si aplicamos la ecuacioacuten (12)podemos obtener la tensioacuten de salida en reacutegimen permanente
)(sen
1
1)(2
maacutex00 θ+ω
ω+
ω∆+
ω= t
AKK
KKtv m
DOSC
mOSCOSC
(15)
donde
AKK DOSC
mωminus=θ arctg (16)
Es interesante ahora obtener la frecuencia generada por el VCO que es la que re-sulta comparada con la de la entrada Para ello basta multiplicar por KOSC
)(sen
1
1)(2maacutex0 θ+ω
ω+
ω∆+ω=ω t
AKK
t m
DOSC
m
VCO (17)
Si recordamos la ecuacioacuten (14) comprobaremos que ωVCO ne ωi excepto si ωm ltlt ωPLLcomo se muestra en la figura 6 Esto pareceriacutea estar en contradiccioacuten con el anaacutelisis in-tuitivo que habiacuteamos hecho en la seccioacuten 1 donde afirmaacutebamos que en el equilibrioωVCO = ωi Pero no es asiacute dado que en este caso en el cual la frecuencia de entrada noes constante es maacutes apropiado hablar de reacutegimen permanente que de equilibrio En lafigura 7 se muestran ademaacutes de las frecuencias ωi y ωVCO las correspondientes formasde onda
Si la frecuencia de entrada fuera constante (y por consiguiente igual a ω0) la fre-cuencia del VCO seriacutea exactamente igual a la frecuencia de entrada situacioacuten que siacutepuede considerarse como de equilibrio Es interesante vincular esto con la Teoriacutea delControl En este caso al haber una integracioacuten en la cadena directa (la que conviertefrecuencia en fase) cabe esperar que el error en continua sea nulo por lo cual el resul-tado obtenido antes intuitivamente y ahora por caacutelculo era esperable
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B401 7
Figura 6 Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y del VCO (liacutenea detrazos) en funcioacuten del tiempo (a) Para ωm ltlt ωPLL (b) Para ωm gt ωPLL
Figura 7 (a) Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y delVCO (liacutenea de trazos) en funcioacuten del tiempo (b) Tensioacuten de entrada(c) Tensioacuten del VCO Compaacuterese las graacuteficas (b) y (c) con la corres-pondiente frecuencia de la graacutefica (a) Obseacutervese coacutemo la variacioacuten defrecuencia en (c) es menor que en (b)
ω
t
ωi
ωVCOω0
(a)ω
t
ωi
ωVCO
ω0
(b)
ω
t
ωi ωVCO
ω0
(a)
(b)
vi
t
(c)
vVCO
t
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
8 B0401
Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es
AKK DOSCPLL
11 =ω
=τ (18)
Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten
OSC
t
OSC
t
Ke
Kev
PLLωminusτminus ωminusω+ω
=ωminusω+ω
=)()( 212
212
0 (19)
mientras que la frecuencia del VCO seraacute
tVCO PLLe
ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)
Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior
Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
τ
vi
t
vVCO
t
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B401 9
32 El caso real
Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)
RCssF
+=
11)( (21)
Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene
( )RCsAKK
sKssV
DOSCOSCi ++
=Ω 11
11)()(0 (22)
que puede reescribirse como
20
11
11)()(
sAKK
RCsAKK
KssV
DOSCDOSCOSCi ++
=Ω
(23)
o bien
2
20
21
11)()(
nn
OSCi ssKssV
ω+
ωξ+
=Ω
(24)
Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos
AKK DOSCRCn ω=ω (25)
AKK DOSC
RCω=ξ 2
1 (26)
Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso
Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero
R1
C
R1
R2
C
(a) (b)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
10 B0401
de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable
Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta
AKK DOSCRC 2=ω (27)
y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)
o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural
AKK DOSCPLL 2=ω (29)
Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es
1
2
21
211
)(11
)(ω+ω+
=++
+=
ss
CsRRCsRsF (30)
Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-
sioacuten para la transferencia del PLL
2
10
11
1
11)()(
ω+ω++
=Ω
ss
AKKsKs
sV
DOSCOSCi
(31)
es decir
2
12
201111
11)()(
sAKK
sAKK
sKs
sV
DOSCDOSC
OSCiω
+
ω
++
ω+=
Ω (32)
Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten
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AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)
ω
+ω=ξ22
1 11AKK DOSC
n (34)
de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)
221 )(PLL
DOSC AKKCRR
ω=+ (35)
AKKCR
DOSCPLL
122 minus
ω= (36)
Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte
Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (37)
donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada
Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo
EJEMPLO 1
Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
12 B0401
Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ
4 Rango de captura del PLL
Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC
El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser
AKK D
OSC
i2
o πleωminusω
es decir
AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)
Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL
Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)
tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)
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B401 13
puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute
( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)
Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que
( ))(2 o
o ωminusωπleωminusω
iDOSC
i jFAKK
es decir
( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)
Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2
A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)
Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)
EJEMPLO 2
En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura
ωo
ωVCO
ωi
ωo
captura
enganche
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
14
Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s
es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s
es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A
41 Extensioacuten del rango de captura
Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)
Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura
Detectorde fase F(s) A
VCO
+
f-V
B0401
versor fre-
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B401 15
42 Rechazo a ruido
El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB
43 Tiempo de captura
El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente
( )3
2
2 ncapturaT
ωξ
ω∆cong (42)
Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente
5 Error de fase en reacutegimen permanente
Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex
tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)
Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute
( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)
Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
16 B0401
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)
Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2
Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta
( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)
Integrando
( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm
mjHtjHtt ω+ωωminusω
ωω∆
=ϕ∆ (47)
Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene
( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω
ωω∆
=ϕ∆ mmm
jHjH (48)
Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por
2
12
21111
1)(
sAKK
sAKK
ssH
DOSCDOSC ω+
ω
++
ω+= (49)
Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que
AKK DOSC
maacutexmaacutex
ω∆congϕ∆ (50)
En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como
ξωω∆
congϕ∆ 2maacutexmaacutex
n (51)
Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por
ωω
ξminus+
ξωω∆
congϕ∆22
maacutexmaacutex 2
114
1 n
n (52)
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B401 17
En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
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B401 19
Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
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B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
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B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
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B401 25
Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
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B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
0401 1
PLLLAZOS DE FIJACIOacuteN DE FASE
1 Introduccioacuten
Un lazo de fijacioacuten de fase (PLL siglas en ingleacutes de phase locked loop) es un cir-cuito capaz de generar una oscilacioacuten cuya fase con respecto a una sentildeal de entrada semantiene acotada contando para ello con una realimentacioacuten que compara la fase de lasdos sentildeales y actuacutea modificando la frecuencia de la oscilacioacuten generada En la figura 1se muestra un esquema muy simplificado del mismo
Figura 1 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase
El comparador de fase produce idealmente una sentildeal KDsdot∆ϕ proporcional a la di-ferencia de fase entre la sentildeal de entrada v1 y la sentildeal v2 generada por el oscilador con-trolado por tensioacuten (VCO siglas en ingleacutes de voltage-controlled oscillator) queamplificada por el amplificador se aplica a la entrada vc del VCO Este uacuteltimo produceuna frecuencia f2 que variacutea linealmente con vc
La situacioacuten de equilibrio se alcanza cuando la sentildeal KDsdot∆ϕ amplificada por elamplificador es tal que aplicada al VCO hace que eacuteste oscile exactamente a la mismafrecuencia que la entrada En efecto si fuera por ejemplo f1 gt f2 la diferencia de faseiriacutea en aumento lo cual hariacutea que f2 aumentara tendiendo a acercarse a f1 y a la inversasi f1 lt f2
Una primera aplicacioacuten interesante de este dispositivo es la demodulacioacuten de unasentildeal de frecuencia modulada ya que vc es proporcional a f2 y por lo tanto a f1 Existencomo veremos maacutes adelante otras aplicaciones como la multiplicacioacuten de frecuenciaso la recuperacioacuten del tono piloto en las sentildeales de FM estereofoacutenicas
2 Estructura real de un PLL
En el esquema simplificado de la figura 1 supusimos la existencia de un elementode circuito capaz de comparar directamente las fases de las dos sentildeales produciendouna sentildeal proporcional a la diferencia de fases KDsdot∆ϕ Desgraciadamente no es posibleconstruir tal dispositivo por lo cual se lo reemplaza por un circuito multiplicador (de-
Comparadorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 v2KDsdot∆ϕ
vc
f1 f2
v3
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
2 B0401
nominado detector de fase multiplicativo) seguido por un filtro pasabajos Si suponemosque las dos sentildeales que ingresan al mismo son
tVtv 111 sen)( ω= (1)
tVtv 222 sen)( ω= (2)
entonces la multiplicacioacuten de estas sentildeales conduce aplicando conocidas identidadestrigonomeacutetricas a
[ ]ttVVKtvtvKtv )sen()cos(2
)()()( 212121213 ω+ωminusωminusω== (3)
Si suponemos que ω1 minus ω2 ltlt ω1 + ω2 y que el filtro pasabajos tiene su frecuencia decorte entre estas dos frecuencias la frecuencia ω1 + ω2 se elimina y entonces podemosconcluir que
tVVKtv )cos(2
)( 21213 ωminusωcong (4)
Pero (ω1 minus ω2)t es precisamente la diferencia de fase ∆ϕ entre ambas sentildeales de donde
ϕ∆cong cos2
)( 213 VVKtv (5)
Esta relacioacuten se ha representado en la figura 2 donde se observa ademaacutes que en lasproximidades de π2 la relacioacuten es bastante lineal En ese caso es posible aproximar auacutenmaacutes la ecuacioacuten (5) que queda
)2()2(2 213 ϕ∆minusπ=ϕ∆minusπcong DKVVKv (6)
Figura 2 Relacioacuten cosenoidal entre la salida v3 y la diferencia de fase∆ϕ entre la sentildeal de entrada y la del VCO La liacutenea de trazos es laaproximacioacuten lineal
La alinealidad puede eliminarse si en lugar de utilizar un multiplicador lineal seutiliza un circuito de tipo OR-exclusivo cuya respuesta es
v3(t) = K sg(v1(t)) sg(v2(t)) (7)
v3
∆ϕππ2
KD
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 3
donde sg(x) es la funcioacuten signo Suponiendo que las dos sentildeales tienen semiperiacuteodossimeacutetricos y que tienen un defasaje ∆ϕ como se muestra en la figura 3(a) podemoscalcular el valor medio en un periodo como
πϕ∆minusϕ∆minusπ== int KKdttv
TV
Tmed
)()(10 33
es decir
ϕ∆minusπ
π=
22
3KV med (8)
relacioacuten indicada en la figura 3b
Figura 3 Operacioacuten de un detector de fase OR-exclusivo (a) Formade onda previa al filtrado (b) Relacioacuten lineal entre la fase y la compo-nente de baja frecuencia
Lo anterior muestra que en la figura 1 podemos sustituir el comparador de fasepor un detector de fase multiplicativo y un filtro pasabajos como se ve en la figura 4
Figura 4 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase po-niendo de manifiesto la estructura del comparador de fase
NOTA El razonamiento anterior se hizo suponiendo que tanto ω1 como ω2 eran constantes Sison variables ya no es cierto que ϕ = ωsdott sino que ϕ = intω dt o lo que es lo mismoω(t) = ϕrsquo(t) (ver Apeacutendice 1)
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 v2KDsdot∆ϕ
vc
f1 f2FiltroPasabajos v2
V3 med
∆ϕππ2
K
1
sg(v1)
ωt
sg(v2)
1ωt
v3
Kωt
2π
2ππ π+∆ϕ∆ϕ
∆ϕ
(a) (b)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
4 B0401
La aproximacioacuten (6) es vaacutelida soacutelo cuando la diferencia de fase se encuentra proacute-xima π2 Para diferencias de fase cercanas a π o a 0 el comparador de fase exhibe uncomportamiento alineal y tiende a saturarse iquestQueacute sucede en ese caso Simplemente larealimentacioacuten se interrumpe las frecuencias dejan de ser iguales y entonces la fasesalta perioacutedicamente entre valores positivos y negativos tendiendo a un promedio nuloLo mismo sucede en el caso del detector OR-exclusivo cuando el defasaje intenta ir pordebajo de 0 o por encima de π En este caso se dice que el PLL funciona desengancha-do Dado que el VCO recibe una tensioacuten nula en el caso ideal produciriacutea a su salida unasentildeal de frecuencia tambieacuten nula Sin embargo por razones de orden praacutectico que ve-remos enseguida conviene que con entrada nula genere alguna frecuencia no nula quese denomina frecuencia libre
3 PLL en seguimiento
En la zona de operacioacuten lineal del detector de fase (zona de seguimiento) el PLLse comporta como un sistema lineal y es posible determinar su transferencia frecuencia-tensioacuten por medio de la teoriacutea de sistemas lineales Para ello es conveniente tener encuenta la relacioacuten que existe entre la fase y la frecuencia ya que la ldquoentradardquo del siste-ma seraacute la frecuencia de la sentildeal de entrada mientras que la comparacioacuten se efectuaraacuteen fase Tenemos (Apeacutendice 1)
intω=ϕ dttt )()( (9)
que en transformada de Laplace corresponde a
)(1)( ss
s Ω=Φ (10)
A fin de evitar confusiones es importante sentildealar que en este tipo muy particularde sistemas consideramos que la sentildeal de entrada es una frecuencia que a su vez podriacuteavariar perioacutedicamente con otra frecuencia Por ejemplo fiacutesicamente podriacutea tratarse deuna sentildeal senoidal cuya frecuencia variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces porsegundo es decir una portadora de 10 kHz modulada en frecuencia mediante una sentildealmoduladora de 100 Hz Para el PLL la sentildeal seraacute la frecuencia variable entre 9 kHz y11 kHz y su frecuencia seraacute 100 Hz La frecuencia impliacutecita en la variable de Laplace scorresponde a esta uacuteltima es decir la frecuencia con que variacutea la frecuencia
En la figura 5 (a) se muestra la interconexioacuten de bloques que resulta obtenida re-ordenando los bloques de la figura 3 e incluyendo la relacioacuten (10) F(s) es la funcioacutentransferencia del filtro En la figura 5 (b) las dos integraciones 1s han quedado absorbi-das en una sola dentro del camino directo
De esta figura puede obtenerse la funcioacuten de transferencia del PLL aplicando lafoacutermula para la transferencia de un sistema realimentado
)(11
11
)(1
)(
)()(
sFAKKsKsF
sAKK
sFs
AK
ssV
DOSCOSCDOSC
D
i
O
+=
+=
Ω (11)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 5
Figura 5 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase linea-lizado (a) Poniendo de manifiesto la relacioacuten entre frecuencia y fase(b) Reordenado para simplificar el anaacutelisis
A fin de lograr una mejor comprensioacuten de la foacutermula anterior analizaremos pri-mero el caso ideal que es maacutes simple
31 El caso ideal
En el caso ideal planteado en la seccioacuten 1 el comparador de fase produciraacute unatensioacuten proporcional al error de fase sin necesidad de ninguacuten filtrado posterior por locual podriacuteamos tomar F(s) = 1 resultando
AKKsKs
sV
DOSCOSCi +
=Ω 1
11)()(0 (12)
Vemos que el PLL se comporta inherentemente como un pasabajos cuya frecuenciaangular de corte es
AKK DOSCPLL =ω (13)
Como puede apreciarse la frecuencia de corte seraacute tanto mayor cuanto mayor sea laganancia del lazo Este comportamiento es coherente con el hecho de que estamos rea-limentando un sistema con un polo (la integracioacuten) y por lo tanto su producto gananciapor ancho de banda es constante
1s KD F(s) A
KOSC
KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+
minus
ΩOSC = KOSCVo
Ωε
(a)
(b)
1s KD F(s) A
1s KOSC
KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+
minus
ΩOSC = KOSCVoΦOSC
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
6 B0401
NOTA Observemos que esta frecuencia de corte no es relativa a la sentildeal fiacutesica de en-trada sino a su frecuencia En otras palabras si la frecuencia es constante (es decir sila frecuencia de variacioacuten de la frecuencia es 0) no existiraacute atenuacioacuten con respecto a latransferencia ideal 1KOSC Si ahora la frecuencia empieza a variar mientras la frecuen-cia de variacioacuten se mantenga por debajo de ωPLL no habraacute atenuacioacuten pero por encimade ωPLL (es decir cuando la frecuencia variacutee muy raacutepidamente) la amplitud de la ten-sioacuten de salida comenzaraacute a reducirse
Supongamos ahora una sentildeal cuya frecuencia variacutea senoidalmente alrededor deuna frecuencia central ω0 alejaacutendose de eacutesta en plusmn ∆ωmaacutex
tt mi ωω∆+ω=ω sen)( maacutex0 (14)
donde ωm es la frecuencia de variacioacuten de la frecuencia Si aplicamos la ecuacioacuten (12)podemos obtener la tensioacuten de salida en reacutegimen permanente
)(sen
1
1)(2
maacutex00 θ+ω
ω+
ω∆+
ω= t
AKK
KKtv m
DOSC
mOSCOSC
(15)
donde
AKK DOSC
mωminus=θ arctg (16)
Es interesante ahora obtener la frecuencia generada por el VCO que es la que re-sulta comparada con la de la entrada Para ello basta multiplicar por KOSC
)(sen
1
1)(2maacutex0 θ+ω
ω+
ω∆+ω=ω t
AKK
t m
DOSC
m
VCO (17)
Si recordamos la ecuacioacuten (14) comprobaremos que ωVCO ne ωi excepto si ωm ltlt ωPLLcomo se muestra en la figura 6 Esto pareceriacutea estar en contradiccioacuten con el anaacutelisis in-tuitivo que habiacuteamos hecho en la seccioacuten 1 donde afirmaacutebamos que en el equilibrioωVCO = ωi Pero no es asiacute dado que en este caso en el cual la frecuencia de entrada noes constante es maacutes apropiado hablar de reacutegimen permanente que de equilibrio En lafigura 7 se muestran ademaacutes de las frecuencias ωi y ωVCO las correspondientes formasde onda
Si la frecuencia de entrada fuera constante (y por consiguiente igual a ω0) la fre-cuencia del VCO seriacutea exactamente igual a la frecuencia de entrada situacioacuten que siacutepuede considerarse como de equilibrio Es interesante vincular esto con la Teoriacutea delControl En este caso al haber una integracioacuten en la cadena directa (la que conviertefrecuencia en fase) cabe esperar que el error en continua sea nulo por lo cual el resul-tado obtenido antes intuitivamente y ahora por caacutelculo era esperable
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Figura 6 Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y del VCO (liacutenea detrazos) en funcioacuten del tiempo (a) Para ωm ltlt ωPLL (b) Para ωm gt ωPLL
Figura 7 (a) Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y delVCO (liacutenea de trazos) en funcioacuten del tiempo (b) Tensioacuten de entrada(c) Tensioacuten del VCO Compaacuterese las graacuteficas (b) y (c) con la corres-pondiente frecuencia de la graacutefica (a) Obseacutervese coacutemo la variacioacuten defrecuencia en (c) es menor que en (b)
ω
t
ωi
ωVCOω0
(a)ω
t
ωi
ωVCO
ω0
(b)
ω
t
ωi ωVCO
ω0
(a)
(b)
vi
t
(c)
vVCO
t
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
8 B0401
Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es
AKK DOSCPLL
11 =ω
=τ (18)
Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten
OSC
t
OSC
t
Ke
Kev
PLLωminusτminus ωminusω+ω
=ωminusω+ω
=)()( 212
212
0 (19)
mientras que la frecuencia del VCO seraacute
tVCO PLLe
ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)
Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior
Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
τ
vi
t
vVCO
t
Federico Miyara Antildeo 2005
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32 El caso real
Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)
RCssF
+=
11)( (21)
Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene
( )RCsAKK
sKssV
DOSCOSCi ++
=Ω 11
11)()(0 (22)
que puede reescribirse como
20
11
11)()(
sAKK
RCsAKK
KssV
DOSCDOSCOSCi ++
=Ω
(23)
o bien
2
20
21
11)()(
nn
OSCi ssKssV
ω+
ωξ+
=Ω
(24)
Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos
AKK DOSCRCn ω=ω (25)
AKK DOSC
RCω=ξ 2
1 (26)
Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso
Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero
R1
C
R1
R2
C
(a) (b)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
10 B0401
de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable
Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta
AKK DOSCRC 2=ω (27)
y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)
o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural
AKK DOSCPLL 2=ω (29)
Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es
1
2
21
211
)(11
)(ω+ω+
=++
+=
ss
CsRRCsRsF (30)
Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-
sioacuten para la transferencia del PLL
2
10
11
1
11)()(
ω+ω++
=Ω
ss
AKKsKs
sV
DOSCOSCi
(31)
es decir
2
12
201111
11)()(
sAKK
sAKK
sKs
sV
DOSCDOSC
OSCiω
+
ω
++
ω+=
Ω (32)
Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 11
AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)
ω
+ω=ξ22
1 11AKK DOSC
n (34)
de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)
221 )(PLL
DOSC AKKCRR
ω=+ (35)
AKKCR
DOSCPLL
122 minus
ω= (36)
Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte
Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (37)
donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada
Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo
EJEMPLO 1
Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
12 B0401
Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ
4 Rango de captura del PLL
Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC
El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser
AKK D
OSC
i2
o πleωminusω
es decir
AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)
Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL
Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)
tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 13
puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute
( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)
Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que
( ))(2 o
o ωminusωπleωminusω
iDOSC
i jFAKK
es decir
( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)
Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2
A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)
Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)
EJEMPLO 2
En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura
ωo
ωVCO
ωi
ωo
captura
enganche
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
14
Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s
es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s
es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A
41 Extensioacuten del rango de captura
Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)
Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura
Detectorde fase F(s) A
VCO
+
f-V
B0401
versor fre-
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B401 15
42 Rechazo a ruido
El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB
43 Tiempo de captura
El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente
( )3
2
2 ncapturaT
ωξ
ω∆cong (42)
Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente
5 Error de fase en reacutegimen permanente
Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex
tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)
Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute
( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)
Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
16 B0401
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)
Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2
Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta
( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)
Integrando
( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm
mjHtjHtt ω+ωωminusω
ωω∆
=ϕ∆ (47)
Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene
( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω
ωω∆
=ϕ∆ mmm
jHjH (48)
Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por
2
12
21111
1)(
sAKK
sAKK
ssH
DOSCDOSC ω+
ω
++
ω+= (49)
Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que
AKK DOSC
maacutexmaacutex
ω∆congϕ∆ (50)
En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como
ξωω∆
congϕ∆ 2maacutexmaacutex
n (51)
Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por
ωω
ξminus+
ξωω∆
congϕ∆22
maacutexmaacutex 2
114
1 n
n (52)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 17
En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 19
Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
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Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
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En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
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APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
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APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
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+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
2 B0401
nominado detector de fase multiplicativo) seguido por un filtro pasabajos Si suponemosque las dos sentildeales que ingresan al mismo son
tVtv 111 sen)( ω= (1)
tVtv 222 sen)( ω= (2)
entonces la multiplicacioacuten de estas sentildeales conduce aplicando conocidas identidadestrigonomeacutetricas a
[ ]ttVVKtvtvKtv )sen()cos(2
)()()( 212121213 ω+ωminusωminusω== (3)
Si suponemos que ω1 minus ω2 ltlt ω1 + ω2 y que el filtro pasabajos tiene su frecuencia decorte entre estas dos frecuencias la frecuencia ω1 + ω2 se elimina y entonces podemosconcluir que
tVVKtv )cos(2
)( 21213 ωminusωcong (4)
Pero (ω1 minus ω2)t es precisamente la diferencia de fase ∆ϕ entre ambas sentildeales de donde
ϕ∆cong cos2
)( 213 VVKtv (5)
Esta relacioacuten se ha representado en la figura 2 donde se observa ademaacutes que en lasproximidades de π2 la relacioacuten es bastante lineal En ese caso es posible aproximar auacutenmaacutes la ecuacioacuten (5) que queda
)2()2(2 213 ϕ∆minusπ=ϕ∆minusπcong DKVVKv (6)
Figura 2 Relacioacuten cosenoidal entre la salida v3 y la diferencia de fase∆ϕ entre la sentildeal de entrada y la del VCO La liacutenea de trazos es laaproximacioacuten lineal
La alinealidad puede eliminarse si en lugar de utilizar un multiplicador lineal seutiliza un circuito de tipo OR-exclusivo cuya respuesta es
v3(t) = K sg(v1(t)) sg(v2(t)) (7)
v3
∆ϕππ2
KD
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B401 3
donde sg(x) es la funcioacuten signo Suponiendo que las dos sentildeales tienen semiperiacuteodossimeacutetricos y que tienen un defasaje ∆ϕ como se muestra en la figura 3(a) podemoscalcular el valor medio en un periodo como
πϕ∆minusϕ∆minusπ== int KKdttv
TV
Tmed
)()(10 33
es decir
ϕ∆minusπ
π=
22
3KV med (8)
relacioacuten indicada en la figura 3b
Figura 3 Operacioacuten de un detector de fase OR-exclusivo (a) Formade onda previa al filtrado (b) Relacioacuten lineal entre la fase y la compo-nente de baja frecuencia
Lo anterior muestra que en la figura 1 podemos sustituir el comparador de fasepor un detector de fase multiplicativo y un filtro pasabajos como se ve en la figura 4
Figura 4 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase po-niendo de manifiesto la estructura del comparador de fase
NOTA El razonamiento anterior se hizo suponiendo que tanto ω1 como ω2 eran constantes Sison variables ya no es cierto que ϕ = ωsdott sino que ϕ = intω dt o lo que es lo mismoω(t) = ϕrsquo(t) (ver Apeacutendice 1)
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 v2KDsdot∆ϕ
vc
f1 f2FiltroPasabajos v2
V3 med
∆ϕππ2
K
1
sg(v1)
ωt
sg(v2)
1ωt
v3
Kωt
2π
2ππ π+∆ϕ∆ϕ
∆ϕ
(a) (b)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
4 B0401
La aproximacioacuten (6) es vaacutelida soacutelo cuando la diferencia de fase se encuentra proacute-xima π2 Para diferencias de fase cercanas a π o a 0 el comparador de fase exhibe uncomportamiento alineal y tiende a saturarse iquestQueacute sucede en ese caso Simplemente larealimentacioacuten se interrumpe las frecuencias dejan de ser iguales y entonces la fasesalta perioacutedicamente entre valores positivos y negativos tendiendo a un promedio nuloLo mismo sucede en el caso del detector OR-exclusivo cuando el defasaje intenta ir pordebajo de 0 o por encima de π En este caso se dice que el PLL funciona desengancha-do Dado que el VCO recibe una tensioacuten nula en el caso ideal produciriacutea a su salida unasentildeal de frecuencia tambieacuten nula Sin embargo por razones de orden praacutectico que ve-remos enseguida conviene que con entrada nula genere alguna frecuencia no nula quese denomina frecuencia libre
3 PLL en seguimiento
En la zona de operacioacuten lineal del detector de fase (zona de seguimiento) el PLLse comporta como un sistema lineal y es posible determinar su transferencia frecuencia-tensioacuten por medio de la teoriacutea de sistemas lineales Para ello es conveniente tener encuenta la relacioacuten que existe entre la fase y la frecuencia ya que la ldquoentradardquo del siste-ma seraacute la frecuencia de la sentildeal de entrada mientras que la comparacioacuten se efectuaraacuteen fase Tenemos (Apeacutendice 1)
intω=ϕ dttt )()( (9)
que en transformada de Laplace corresponde a
)(1)( ss
s Ω=Φ (10)
A fin de evitar confusiones es importante sentildealar que en este tipo muy particularde sistemas consideramos que la sentildeal de entrada es una frecuencia que a su vez podriacuteavariar perioacutedicamente con otra frecuencia Por ejemplo fiacutesicamente podriacutea tratarse deuna sentildeal senoidal cuya frecuencia variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces porsegundo es decir una portadora de 10 kHz modulada en frecuencia mediante una sentildealmoduladora de 100 Hz Para el PLL la sentildeal seraacute la frecuencia variable entre 9 kHz y11 kHz y su frecuencia seraacute 100 Hz La frecuencia impliacutecita en la variable de Laplace scorresponde a esta uacuteltima es decir la frecuencia con que variacutea la frecuencia
En la figura 5 (a) se muestra la interconexioacuten de bloques que resulta obtenida re-ordenando los bloques de la figura 3 e incluyendo la relacioacuten (10) F(s) es la funcioacutentransferencia del filtro En la figura 5 (b) las dos integraciones 1s han quedado absorbi-das en una sola dentro del camino directo
De esta figura puede obtenerse la funcioacuten de transferencia del PLL aplicando lafoacutermula para la transferencia de un sistema realimentado
)(11
11
)(1
)(
)()(
sFAKKsKsF
sAKK
sFs
AK
ssV
DOSCOSCDOSC
D
i
O
+=
+=
Ω (11)
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Figura 5 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase linea-lizado (a) Poniendo de manifiesto la relacioacuten entre frecuencia y fase(b) Reordenado para simplificar el anaacutelisis
A fin de lograr una mejor comprensioacuten de la foacutermula anterior analizaremos pri-mero el caso ideal que es maacutes simple
31 El caso ideal
En el caso ideal planteado en la seccioacuten 1 el comparador de fase produciraacute unatensioacuten proporcional al error de fase sin necesidad de ninguacuten filtrado posterior por locual podriacuteamos tomar F(s) = 1 resultando
AKKsKs
sV
DOSCOSCi +
=Ω 1
11)()(0 (12)
Vemos que el PLL se comporta inherentemente como un pasabajos cuya frecuenciaangular de corte es
AKK DOSCPLL =ω (13)
Como puede apreciarse la frecuencia de corte seraacute tanto mayor cuanto mayor sea laganancia del lazo Este comportamiento es coherente con el hecho de que estamos rea-limentando un sistema con un polo (la integracioacuten) y por lo tanto su producto gananciapor ancho de banda es constante
1s KD F(s) A
KOSC
KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+
minus
ΩOSC = KOSCVo
Ωε
(a)
(b)
1s KD F(s) A
1s KOSC
KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+
minus
ΩOSC = KOSCVoΦOSC
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NOTA Observemos que esta frecuencia de corte no es relativa a la sentildeal fiacutesica de en-trada sino a su frecuencia En otras palabras si la frecuencia es constante (es decir sila frecuencia de variacioacuten de la frecuencia es 0) no existiraacute atenuacioacuten con respecto a latransferencia ideal 1KOSC Si ahora la frecuencia empieza a variar mientras la frecuen-cia de variacioacuten se mantenga por debajo de ωPLL no habraacute atenuacioacuten pero por encimade ωPLL (es decir cuando la frecuencia variacutee muy raacutepidamente) la amplitud de la ten-sioacuten de salida comenzaraacute a reducirse
Supongamos ahora una sentildeal cuya frecuencia variacutea senoidalmente alrededor deuna frecuencia central ω0 alejaacutendose de eacutesta en plusmn ∆ωmaacutex
tt mi ωω∆+ω=ω sen)( maacutex0 (14)
donde ωm es la frecuencia de variacioacuten de la frecuencia Si aplicamos la ecuacioacuten (12)podemos obtener la tensioacuten de salida en reacutegimen permanente
)(sen
1
1)(2
maacutex00 θ+ω
ω+
ω∆+
ω= t
AKK
KKtv m
DOSC
mOSCOSC
(15)
donde
AKK DOSC
mωminus=θ arctg (16)
Es interesante ahora obtener la frecuencia generada por el VCO que es la que re-sulta comparada con la de la entrada Para ello basta multiplicar por KOSC
)(sen
1
1)(2maacutex0 θ+ω
ω+
ω∆+ω=ω t
AKK
t m
DOSC
m
VCO (17)
Si recordamos la ecuacioacuten (14) comprobaremos que ωVCO ne ωi excepto si ωm ltlt ωPLLcomo se muestra en la figura 6 Esto pareceriacutea estar en contradiccioacuten con el anaacutelisis in-tuitivo que habiacuteamos hecho en la seccioacuten 1 donde afirmaacutebamos que en el equilibrioωVCO = ωi Pero no es asiacute dado que en este caso en el cual la frecuencia de entrada noes constante es maacutes apropiado hablar de reacutegimen permanente que de equilibrio En lafigura 7 se muestran ademaacutes de las frecuencias ωi y ωVCO las correspondientes formasde onda
Si la frecuencia de entrada fuera constante (y por consiguiente igual a ω0) la fre-cuencia del VCO seriacutea exactamente igual a la frecuencia de entrada situacioacuten que siacutepuede considerarse como de equilibrio Es interesante vincular esto con la Teoriacutea delControl En este caso al haber una integracioacuten en la cadena directa (la que conviertefrecuencia en fase) cabe esperar que el error en continua sea nulo por lo cual el resul-tado obtenido antes intuitivamente y ahora por caacutelculo era esperable
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B401 7
Figura 6 Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y del VCO (liacutenea detrazos) en funcioacuten del tiempo (a) Para ωm ltlt ωPLL (b) Para ωm gt ωPLL
Figura 7 (a) Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y delVCO (liacutenea de trazos) en funcioacuten del tiempo (b) Tensioacuten de entrada(c) Tensioacuten del VCO Compaacuterese las graacuteficas (b) y (c) con la corres-pondiente frecuencia de la graacutefica (a) Obseacutervese coacutemo la variacioacuten defrecuencia en (c) es menor que en (b)
ω
t
ωi
ωVCOω0
(a)ω
t
ωi
ωVCO
ω0
(b)
ω
t
ωi ωVCO
ω0
(a)
(b)
vi
t
(c)
vVCO
t
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
8 B0401
Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es
AKK DOSCPLL
11 =ω
=τ (18)
Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten
OSC
t
OSC
t
Ke
Kev
PLLωminusτminus ωminusω+ω
=ωminusω+ω
=)()( 212
212
0 (19)
mientras que la frecuencia del VCO seraacute
tVCO PLLe
ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)
Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior
Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
τ
vi
t
vVCO
t
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B401 9
32 El caso real
Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)
RCssF
+=
11)( (21)
Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene
( )RCsAKK
sKssV
DOSCOSCi ++
=Ω 11
11)()(0 (22)
que puede reescribirse como
20
11
11)()(
sAKK
RCsAKK
KssV
DOSCDOSCOSCi ++
=Ω
(23)
o bien
2
20
21
11)()(
nn
OSCi ssKssV
ω+
ωξ+
=Ω
(24)
Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos
AKK DOSCRCn ω=ω (25)
AKK DOSC
RCω=ξ 2
1 (26)
Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso
Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero
R1
C
R1
R2
C
(a) (b)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
10 B0401
de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable
Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta
AKK DOSCRC 2=ω (27)
y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)
o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural
AKK DOSCPLL 2=ω (29)
Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es
1
2
21
211
)(11
)(ω+ω+
=++
+=
ss
CsRRCsRsF (30)
Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-
sioacuten para la transferencia del PLL
2
10
11
1
11)()(
ω+ω++
=Ω
ss
AKKsKs
sV
DOSCOSCi
(31)
es decir
2
12
201111
11)()(
sAKK
sAKK
sKs
sV
DOSCDOSC
OSCiω
+
ω
++
ω+=
Ω (32)
Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten
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AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)
ω
+ω=ξ22
1 11AKK DOSC
n (34)
de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)
221 )(PLL
DOSC AKKCRR
ω=+ (35)
AKKCR
DOSCPLL
122 minus
ω= (36)
Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte
Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (37)
donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada
Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo
EJEMPLO 1
Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
12 B0401
Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ
4 Rango de captura del PLL
Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC
El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser
AKK D
OSC
i2
o πleωminusω
es decir
AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)
Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL
Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)
tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)
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puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute
( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)
Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que
( ))(2 o
o ωminusωπleωminusω
iDOSC
i jFAKK
es decir
( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)
Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2
A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)
Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)
EJEMPLO 2
En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura
ωo
ωVCO
ωi
ωo
captura
enganche
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
14
Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s
es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s
es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A
41 Extensioacuten del rango de captura
Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)
Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura
Detectorde fase F(s) A
VCO
+
f-V
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versor fre-
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42 Rechazo a ruido
El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB
43 Tiempo de captura
El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente
( )3
2
2 ncapturaT
ωξ
ω∆cong (42)
Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente
5 Error de fase en reacutegimen permanente
Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex
tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)
Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute
( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)
Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
16 B0401
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)
Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2
Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta
( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)
Integrando
( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm
mjHtjHtt ω+ωωminusω
ωω∆
=ϕ∆ (47)
Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene
( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω
ωω∆
=ϕ∆ mmm
jHjH (48)
Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por
2
12
21111
1)(
sAKK
sAKK
ssH
DOSCDOSC ω+
ω
++
ω+= (49)
Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que
AKK DOSC
maacutexmaacutex
ω∆congϕ∆ (50)
En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como
ξωω∆
congϕ∆ 2maacutexmaacutex
n (51)
Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por
ωω
ξminus+
ξωω∆
congϕ∆22
maacutexmaacutex 2
114
1 n
n (52)
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En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
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Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
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B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
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B401 25
Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 3
donde sg(x) es la funcioacuten signo Suponiendo que las dos sentildeales tienen semiperiacuteodossimeacutetricos y que tienen un defasaje ∆ϕ como se muestra en la figura 3(a) podemoscalcular el valor medio en un periodo como
πϕ∆minusϕ∆minusπ== int KKdttv
TV
Tmed
)()(10 33
es decir
ϕ∆minusπ
π=
22
3KV med (8)
relacioacuten indicada en la figura 3b
Figura 3 Operacioacuten de un detector de fase OR-exclusivo (a) Formade onda previa al filtrado (b) Relacioacuten lineal entre la fase y la compo-nente de baja frecuencia
Lo anterior muestra que en la figura 1 podemos sustituir el comparador de fasepor un detector de fase multiplicativo y un filtro pasabajos como se ve en la figura 4
Figura 4 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase po-niendo de manifiesto la estructura del comparador de fase
NOTA El razonamiento anterior se hizo suponiendo que tanto ω1 como ω2 eran constantes Sison variables ya no es cierto que ϕ = ωsdott sino que ϕ = intω dt o lo que es lo mismoω(t) = ϕrsquo(t) (ver Apeacutendice 1)
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 v2KDsdot∆ϕ
vc
f1 f2FiltroPasabajos v2
V3 med
∆ϕππ2
K
1
sg(v1)
ωt
sg(v2)
1ωt
v3
Kωt
2π
2ππ π+∆ϕ∆ϕ
∆ϕ
(a) (b)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
4 B0401
La aproximacioacuten (6) es vaacutelida soacutelo cuando la diferencia de fase se encuentra proacute-xima π2 Para diferencias de fase cercanas a π o a 0 el comparador de fase exhibe uncomportamiento alineal y tiende a saturarse iquestQueacute sucede en ese caso Simplemente larealimentacioacuten se interrumpe las frecuencias dejan de ser iguales y entonces la fasesalta perioacutedicamente entre valores positivos y negativos tendiendo a un promedio nuloLo mismo sucede en el caso del detector OR-exclusivo cuando el defasaje intenta ir pordebajo de 0 o por encima de π En este caso se dice que el PLL funciona desengancha-do Dado que el VCO recibe una tensioacuten nula en el caso ideal produciriacutea a su salida unasentildeal de frecuencia tambieacuten nula Sin embargo por razones de orden praacutectico que ve-remos enseguida conviene que con entrada nula genere alguna frecuencia no nula quese denomina frecuencia libre
3 PLL en seguimiento
En la zona de operacioacuten lineal del detector de fase (zona de seguimiento) el PLLse comporta como un sistema lineal y es posible determinar su transferencia frecuencia-tensioacuten por medio de la teoriacutea de sistemas lineales Para ello es conveniente tener encuenta la relacioacuten que existe entre la fase y la frecuencia ya que la ldquoentradardquo del siste-ma seraacute la frecuencia de la sentildeal de entrada mientras que la comparacioacuten se efectuaraacuteen fase Tenemos (Apeacutendice 1)
intω=ϕ dttt )()( (9)
que en transformada de Laplace corresponde a
)(1)( ss
s Ω=Φ (10)
A fin de evitar confusiones es importante sentildealar que en este tipo muy particularde sistemas consideramos que la sentildeal de entrada es una frecuencia que a su vez podriacuteavariar perioacutedicamente con otra frecuencia Por ejemplo fiacutesicamente podriacutea tratarse deuna sentildeal senoidal cuya frecuencia variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces porsegundo es decir una portadora de 10 kHz modulada en frecuencia mediante una sentildealmoduladora de 100 Hz Para el PLL la sentildeal seraacute la frecuencia variable entre 9 kHz y11 kHz y su frecuencia seraacute 100 Hz La frecuencia impliacutecita en la variable de Laplace scorresponde a esta uacuteltima es decir la frecuencia con que variacutea la frecuencia
En la figura 5 (a) se muestra la interconexioacuten de bloques que resulta obtenida re-ordenando los bloques de la figura 3 e incluyendo la relacioacuten (10) F(s) es la funcioacutentransferencia del filtro En la figura 5 (b) las dos integraciones 1s han quedado absorbi-das en una sola dentro del camino directo
De esta figura puede obtenerse la funcioacuten de transferencia del PLL aplicando lafoacutermula para la transferencia de un sistema realimentado
)(11
11
)(1
)(
)()(
sFAKKsKsF
sAKK
sFs
AK
ssV
DOSCOSCDOSC
D
i
O
+=
+=
Ω (11)
Federico Miyara Antildeo 2005
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Figura 5 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase linea-lizado (a) Poniendo de manifiesto la relacioacuten entre frecuencia y fase(b) Reordenado para simplificar el anaacutelisis
A fin de lograr una mejor comprensioacuten de la foacutermula anterior analizaremos pri-mero el caso ideal que es maacutes simple
31 El caso ideal
En el caso ideal planteado en la seccioacuten 1 el comparador de fase produciraacute unatensioacuten proporcional al error de fase sin necesidad de ninguacuten filtrado posterior por locual podriacuteamos tomar F(s) = 1 resultando
AKKsKs
sV
DOSCOSCi +
=Ω 1
11)()(0 (12)
Vemos que el PLL se comporta inherentemente como un pasabajos cuya frecuenciaangular de corte es
AKK DOSCPLL =ω (13)
Como puede apreciarse la frecuencia de corte seraacute tanto mayor cuanto mayor sea laganancia del lazo Este comportamiento es coherente con el hecho de que estamos rea-limentando un sistema con un polo (la integracioacuten) y por lo tanto su producto gananciapor ancho de banda es constante
1s KD F(s) A
KOSC
KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+
minus
ΩOSC = KOSCVo
Ωε
(a)
(b)
1s KD F(s) A
1s KOSC
KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+
minus
ΩOSC = KOSCVoΦOSC
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
6 B0401
NOTA Observemos que esta frecuencia de corte no es relativa a la sentildeal fiacutesica de en-trada sino a su frecuencia En otras palabras si la frecuencia es constante (es decir sila frecuencia de variacioacuten de la frecuencia es 0) no existiraacute atenuacioacuten con respecto a latransferencia ideal 1KOSC Si ahora la frecuencia empieza a variar mientras la frecuen-cia de variacioacuten se mantenga por debajo de ωPLL no habraacute atenuacioacuten pero por encimade ωPLL (es decir cuando la frecuencia variacutee muy raacutepidamente) la amplitud de la ten-sioacuten de salida comenzaraacute a reducirse
Supongamos ahora una sentildeal cuya frecuencia variacutea senoidalmente alrededor deuna frecuencia central ω0 alejaacutendose de eacutesta en plusmn ∆ωmaacutex
tt mi ωω∆+ω=ω sen)( maacutex0 (14)
donde ωm es la frecuencia de variacioacuten de la frecuencia Si aplicamos la ecuacioacuten (12)podemos obtener la tensioacuten de salida en reacutegimen permanente
)(sen
1
1)(2
maacutex00 θ+ω
ω+
ω∆+
ω= t
AKK
KKtv m
DOSC
mOSCOSC
(15)
donde
AKK DOSC
mωminus=θ arctg (16)
Es interesante ahora obtener la frecuencia generada por el VCO que es la que re-sulta comparada con la de la entrada Para ello basta multiplicar por KOSC
)(sen
1
1)(2maacutex0 θ+ω
ω+
ω∆+ω=ω t
AKK
t m
DOSC
m
VCO (17)
Si recordamos la ecuacioacuten (14) comprobaremos que ωVCO ne ωi excepto si ωm ltlt ωPLLcomo se muestra en la figura 6 Esto pareceriacutea estar en contradiccioacuten con el anaacutelisis in-tuitivo que habiacuteamos hecho en la seccioacuten 1 donde afirmaacutebamos que en el equilibrioωVCO = ωi Pero no es asiacute dado que en este caso en el cual la frecuencia de entrada noes constante es maacutes apropiado hablar de reacutegimen permanente que de equilibrio En lafigura 7 se muestran ademaacutes de las frecuencias ωi y ωVCO las correspondientes formasde onda
Si la frecuencia de entrada fuera constante (y por consiguiente igual a ω0) la fre-cuencia del VCO seriacutea exactamente igual a la frecuencia de entrada situacioacuten que siacutepuede considerarse como de equilibrio Es interesante vincular esto con la Teoriacutea delControl En este caso al haber una integracioacuten en la cadena directa (la que conviertefrecuencia en fase) cabe esperar que el error en continua sea nulo por lo cual el resul-tado obtenido antes intuitivamente y ahora por caacutelculo era esperable
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B401 7
Figura 6 Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y del VCO (liacutenea detrazos) en funcioacuten del tiempo (a) Para ωm ltlt ωPLL (b) Para ωm gt ωPLL
Figura 7 (a) Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y delVCO (liacutenea de trazos) en funcioacuten del tiempo (b) Tensioacuten de entrada(c) Tensioacuten del VCO Compaacuterese las graacuteficas (b) y (c) con la corres-pondiente frecuencia de la graacutefica (a) Obseacutervese coacutemo la variacioacuten defrecuencia en (c) es menor que en (b)
ω
t
ωi
ωVCOω0
(a)ω
t
ωi
ωVCO
ω0
(b)
ω
t
ωi ωVCO
ω0
(a)
(b)
vi
t
(c)
vVCO
t
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
8 B0401
Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es
AKK DOSCPLL
11 =ω
=τ (18)
Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten
OSC
t
OSC
t
Ke
Kev
PLLωminusτminus ωminusω+ω
=ωminusω+ω
=)()( 212
212
0 (19)
mientras que la frecuencia del VCO seraacute
tVCO PLLe
ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)
Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior
Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
τ
vi
t
vVCO
t
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B401 9
32 El caso real
Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)
RCssF
+=
11)( (21)
Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene
( )RCsAKK
sKssV
DOSCOSCi ++
=Ω 11
11)()(0 (22)
que puede reescribirse como
20
11
11)()(
sAKK
RCsAKK
KssV
DOSCDOSCOSCi ++
=Ω
(23)
o bien
2
20
21
11)()(
nn
OSCi ssKssV
ω+
ωξ+
=Ω
(24)
Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos
AKK DOSCRCn ω=ω (25)
AKK DOSC
RCω=ξ 2
1 (26)
Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso
Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero
R1
C
R1
R2
C
(a) (b)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
10 B0401
de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable
Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta
AKK DOSCRC 2=ω (27)
y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)
o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural
AKK DOSCPLL 2=ω (29)
Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es
1
2
21
211
)(11
)(ω+ω+
=++
+=
ss
CsRRCsRsF (30)
Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-
sioacuten para la transferencia del PLL
2
10
11
1
11)()(
ω+ω++
=Ω
ss
AKKsKs
sV
DOSCOSCi
(31)
es decir
2
12
201111
11)()(
sAKK
sAKK
sKs
sV
DOSCDOSC
OSCiω
+
ω
++
ω+=
Ω (32)
Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten
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AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)
ω
+ω=ξ22
1 11AKK DOSC
n (34)
de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)
221 )(PLL
DOSC AKKCRR
ω=+ (35)
AKKCR
DOSCPLL
122 minus
ω= (36)
Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte
Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (37)
donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada
Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo
EJEMPLO 1
Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
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12 B0401
Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ
4 Rango de captura del PLL
Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC
El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser
AKK D
OSC
i2
o πleωminusω
es decir
AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)
Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL
Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)
tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)
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B401 13
puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute
( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)
Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que
( ))(2 o
o ωminusωπleωminusω
iDOSC
i jFAKK
es decir
( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)
Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2
A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)
Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)
EJEMPLO 2
En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura
ωo
ωVCO
ωi
ωo
captura
enganche
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
14
Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s
es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s
es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A
41 Extensioacuten del rango de captura
Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)
Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura
Detectorde fase F(s) A
VCO
+
f-V
B0401
versor fre-
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42 Rechazo a ruido
El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB
43 Tiempo de captura
El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente
( )3
2
2 ncapturaT
ωξ
ω∆cong (42)
Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente
5 Error de fase en reacutegimen permanente
Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex
tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)
Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute
( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)
Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
16 B0401
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)
Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2
Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta
( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)
Integrando
( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm
mjHtjHtt ω+ωωminusω
ωω∆
=ϕ∆ (47)
Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene
( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω
ωω∆
=ϕ∆ mmm
jHjH (48)
Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por
2
12
21111
1)(
sAKK
sAKK
ssH
DOSCDOSC ω+
ω
++
ω+= (49)
Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que
AKK DOSC
maacutexmaacutex
ω∆congϕ∆ (50)
En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como
ξωω∆
congϕ∆ 2maacutexmaacutex
n (51)
Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por
ωω
ξminus+
ξωω∆
congϕ∆22
maacutexmaacutex 2
114
1 n
n (52)
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En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
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B401 19
Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
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B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 25
Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
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B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
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Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
4 B0401
La aproximacioacuten (6) es vaacutelida soacutelo cuando la diferencia de fase se encuentra proacute-xima π2 Para diferencias de fase cercanas a π o a 0 el comparador de fase exhibe uncomportamiento alineal y tiende a saturarse iquestQueacute sucede en ese caso Simplemente larealimentacioacuten se interrumpe las frecuencias dejan de ser iguales y entonces la fasesalta perioacutedicamente entre valores positivos y negativos tendiendo a un promedio nuloLo mismo sucede en el caso del detector OR-exclusivo cuando el defasaje intenta ir pordebajo de 0 o por encima de π En este caso se dice que el PLL funciona desengancha-do Dado que el VCO recibe una tensioacuten nula en el caso ideal produciriacutea a su salida unasentildeal de frecuencia tambieacuten nula Sin embargo por razones de orden praacutectico que ve-remos enseguida conviene que con entrada nula genere alguna frecuencia no nula quese denomina frecuencia libre
3 PLL en seguimiento
En la zona de operacioacuten lineal del detector de fase (zona de seguimiento) el PLLse comporta como un sistema lineal y es posible determinar su transferencia frecuencia-tensioacuten por medio de la teoriacutea de sistemas lineales Para ello es conveniente tener encuenta la relacioacuten que existe entre la fase y la frecuencia ya que la ldquoentradardquo del siste-ma seraacute la frecuencia de la sentildeal de entrada mientras que la comparacioacuten se efectuaraacuteen fase Tenemos (Apeacutendice 1)
intω=ϕ dttt )()( (9)
que en transformada de Laplace corresponde a
)(1)( ss
s Ω=Φ (10)
A fin de evitar confusiones es importante sentildealar que en este tipo muy particularde sistemas consideramos que la sentildeal de entrada es una frecuencia que a su vez podriacuteavariar perioacutedicamente con otra frecuencia Por ejemplo fiacutesicamente podriacutea tratarse deuna sentildeal senoidal cuya frecuencia variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces porsegundo es decir una portadora de 10 kHz modulada en frecuencia mediante una sentildealmoduladora de 100 Hz Para el PLL la sentildeal seraacute la frecuencia variable entre 9 kHz y11 kHz y su frecuencia seraacute 100 Hz La frecuencia impliacutecita en la variable de Laplace scorresponde a esta uacuteltima es decir la frecuencia con que variacutea la frecuencia
En la figura 5 (a) se muestra la interconexioacuten de bloques que resulta obtenida re-ordenando los bloques de la figura 3 e incluyendo la relacioacuten (10) F(s) es la funcioacutentransferencia del filtro En la figura 5 (b) las dos integraciones 1s han quedado absorbi-das en una sola dentro del camino directo
De esta figura puede obtenerse la funcioacuten de transferencia del PLL aplicando lafoacutermula para la transferencia de un sistema realimentado
)(11
11
)(1
)(
)()(
sFAKKsKsF
sAKK
sFs
AK
ssV
DOSCOSCDOSC
D
i
O
+=
+=
Ω (11)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 5
Figura 5 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase linea-lizado (a) Poniendo de manifiesto la relacioacuten entre frecuencia y fase(b) Reordenado para simplificar el anaacutelisis
A fin de lograr una mejor comprensioacuten de la foacutermula anterior analizaremos pri-mero el caso ideal que es maacutes simple
31 El caso ideal
En el caso ideal planteado en la seccioacuten 1 el comparador de fase produciraacute unatensioacuten proporcional al error de fase sin necesidad de ninguacuten filtrado posterior por locual podriacuteamos tomar F(s) = 1 resultando
AKKsKs
sV
DOSCOSCi +
=Ω 1
11)()(0 (12)
Vemos que el PLL se comporta inherentemente como un pasabajos cuya frecuenciaangular de corte es
AKK DOSCPLL =ω (13)
Como puede apreciarse la frecuencia de corte seraacute tanto mayor cuanto mayor sea laganancia del lazo Este comportamiento es coherente con el hecho de que estamos rea-limentando un sistema con un polo (la integracioacuten) y por lo tanto su producto gananciapor ancho de banda es constante
1s KD F(s) A
KOSC
KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+
minus
ΩOSC = KOSCVo
Ωε
(a)
(b)
1s KD F(s) A
1s KOSC
KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+
minus
ΩOSC = KOSCVoΦOSC
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
6 B0401
NOTA Observemos que esta frecuencia de corte no es relativa a la sentildeal fiacutesica de en-trada sino a su frecuencia En otras palabras si la frecuencia es constante (es decir sila frecuencia de variacioacuten de la frecuencia es 0) no existiraacute atenuacioacuten con respecto a latransferencia ideal 1KOSC Si ahora la frecuencia empieza a variar mientras la frecuen-cia de variacioacuten se mantenga por debajo de ωPLL no habraacute atenuacioacuten pero por encimade ωPLL (es decir cuando la frecuencia variacutee muy raacutepidamente) la amplitud de la ten-sioacuten de salida comenzaraacute a reducirse
Supongamos ahora una sentildeal cuya frecuencia variacutea senoidalmente alrededor deuna frecuencia central ω0 alejaacutendose de eacutesta en plusmn ∆ωmaacutex
tt mi ωω∆+ω=ω sen)( maacutex0 (14)
donde ωm es la frecuencia de variacioacuten de la frecuencia Si aplicamos la ecuacioacuten (12)podemos obtener la tensioacuten de salida en reacutegimen permanente
)(sen
1
1)(2
maacutex00 θ+ω
ω+
ω∆+
ω= t
AKK
KKtv m
DOSC
mOSCOSC
(15)
donde
AKK DOSC
mωminus=θ arctg (16)
Es interesante ahora obtener la frecuencia generada por el VCO que es la que re-sulta comparada con la de la entrada Para ello basta multiplicar por KOSC
)(sen
1
1)(2maacutex0 θ+ω
ω+
ω∆+ω=ω t
AKK
t m
DOSC
m
VCO (17)
Si recordamos la ecuacioacuten (14) comprobaremos que ωVCO ne ωi excepto si ωm ltlt ωPLLcomo se muestra en la figura 6 Esto pareceriacutea estar en contradiccioacuten con el anaacutelisis in-tuitivo que habiacuteamos hecho en la seccioacuten 1 donde afirmaacutebamos que en el equilibrioωVCO = ωi Pero no es asiacute dado que en este caso en el cual la frecuencia de entrada noes constante es maacutes apropiado hablar de reacutegimen permanente que de equilibrio En lafigura 7 se muestran ademaacutes de las frecuencias ωi y ωVCO las correspondientes formasde onda
Si la frecuencia de entrada fuera constante (y por consiguiente igual a ω0) la fre-cuencia del VCO seriacutea exactamente igual a la frecuencia de entrada situacioacuten que siacutepuede considerarse como de equilibrio Es interesante vincular esto con la Teoriacutea delControl En este caso al haber una integracioacuten en la cadena directa (la que conviertefrecuencia en fase) cabe esperar que el error en continua sea nulo por lo cual el resul-tado obtenido antes intuitivamente y ahora por caacutelculo era esperable
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B401 7
Figura 6 Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y del VCO (liacutenea detrazos) en funcioacuten del tiempo (a) Para ωm ltlt ωPLL (b) Para ωm gt ωPLL
Figura 7 (a) Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y delVCO (liacutenea de trazos) en funcioacuten del tiempo (b) Tensioacuten de entrada(c) Tensioacuten del VCO Compaacuterese las graacuteficas (b) y (c) con la corres-pondiente frecuencia de la graacutefica (a) Obseacutervese coacutemo la variacioacuten defrecuencia en (c) es menor que en (b)
ω
t
ωi
ωVCOω0
(a)ω
t
ωi
ωVCO
ω0
(b)
ω
t
ωi ωVCO
ω0
(a)
(b)
vi
t
(c)
vVCO
t
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
8 B0401
Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es
AKK DOSCPLL
11 =ω
=τ (18)
Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten
OSC
t
OSC
t
Ke
Kev
PLLωminusτminus ωminusω+ω
=ωminusω+ω
=)()( 212
212
0 (19)
mientras que la frecuencia del VCO seraacute
tVCO PLLe
ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)
Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior
Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
τ
vi
t
vVCO
t
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B401 9
32 El caso real
Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)
RCssF
+=
11)( (21)
Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene
( )RCsAKK
sKssV
DOSCOSCi ++
=Ω 11
11)()(0 (22)
que puede reescribirse como
20
11
11)()(
sAKK
RCsAKK
KssV
DOSCDOSCOSCi ++
=Ω
(23)
o bien
2
20
21
11)()(
nn
OSCi ssKssV
ω+
ωξ+
=Ω
(24)
Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos
AKK DOSCRCn ω=ω (25)
AKK DOSC
RCω=ξ 2
1 (26)
Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso
Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero
R1
C
R1
R2
C
(a) (b)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
10 B0401
de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable
Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta
AKK DOSCRC 2=ω (27)
y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)
o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural
AKK DOSCPLL 2=ω (29)
Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es
1
2
21
211
)(11
)(ω+ω+
=++
+=
ss
CsRRCsRsF (30)
Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-
sioacuten para la transferencia del PLL
2
10
11
1
11)()(
ω+ω++
=Ω
ss
AKKsKs
sV
DOSCOSCi
(31)
es decir
2
12
201111
11)()(
sAKK
sAKK
sKs
sV
DOSCDOSC
OSCiω
+
ω
++
ω+=
Ω (32)
Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten
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AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)
ω
+ω=ξ22
1 11AKK DOSC
n (34)
de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)
221 )(PLL
DOSC AKKCRR
ω=+ (35)
AKKCR
DOSCPLL
122 minus
ω= (36)
Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte
Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (37)
donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada
Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo
EJEMPLO 1
Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
12 B0401
Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ
4 Rango de captura del PLL
Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC
El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser
AKK D
OSC
i2
o πleωminusω
es decir
AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)
Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL
Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)
tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 13
puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute
( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)
Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que
( ))(2 o
o ωminusωπleωminusω
iDOSC
i jFAKK
es decir
( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)
Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2
A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)
Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)
EJEMPLO 2
En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura
ωo
ωVCO
ωi
ωo
captura
enganche
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
14
Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s
es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s
es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A
41 Extensioacuten del rango de captura
Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)
Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura
Detectorde fase F(s) A
VCO
+
f-V
B0401
versor fre-
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42 Rechazo a ruido
El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB
43 Tiempo de captura
El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente
( )3
2
2 ncapturaT
ωξ
ω∆cong (42)
Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente
5 Error de fase en reacutegimen permanente
Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex
tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)
Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute
( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)
Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
16 B0401
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)
Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2
Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta
( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)
Integrando
( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm
mjHtjHtt ω+ωωminusω
ωω∆
=ϕ∆ (47)
Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene
( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω
ωω∆
=ϕ∆ mmm
jHjH (48)
Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por
2
12
21111
1)(
sAKK
sAKK
ssH
DOSCDOSC ω+
ω
++
ω+= (49)
Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que
AKK DOSC
maacutexmaacutex
ω∆congϕ∆ (50)
En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como
ξωω∆
congϕ∆ 2maacutexmaacutex
n (51)
Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por
ωω
ξminus+
ξωω∆
congϕ∆22
maacutexmaacutex 2
114
1 n
n (52)
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En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
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B401 19
Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
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B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 25
Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
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B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
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Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 5
Figura 5 Diagrama esquemaacutetico de un lazo de fijacioacuten de fase linea-lizado (a) Poniendo de manifiesto la relacioacuten entre frecuencia y fase(b) Reordenado para simplificar el anaacutelisis
A fin de lograr una mejor comprensioacuten de la foacutermula anterior analizaremos pri-mero el caso ideal que es maacutes simple
31 El caso ideal
En el caso ideal planteado en la seccioacuten 1 el comparador de fase produciraacute unatensioacuten proporcional al error de fase sin necesidad de ninguacuten filtrado posterior por locual podriacuteamos tomar F(s) = 1 resultando
AKKsKs
sV
DOSCOSCi +
=Ω 1
11)()(0 (12)
Vemos que el PLL se comporta inherentemente como un pasabajos cuya frecuenciaangular de corte es
AKK DOSCPLL =ω (13)
Como puede apreciarse la frecuencia de corte seraacute tanto mayor cuanto mayor sea laganancia del lazo Este comportamiento es coherente con el hecho de que estamos rea-limentando un sistema con un polo (la integracioacuten) y por lo tanto su producto gananciapor ancho de banda es constante
1s KD F(s) A
KOSC
KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+
minus
ΩOSC = KOSCVo
Ωε
(a)
(b)
1s KD F(s) A
1s KOSC
KDΦεΦε KDA F(s) ΦεΩi(s) Vo(s)+
minus
ΩOSC = KOSCVoΦOSC
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
6 B0401
NOTA Observemos que esta frecuencia de corte no es relativa a la sentildeal fiacutesica de en-trada sino a su frecuencia En otras palabras si la frecuencia es constante (es decir sila frecuencia de variacioacuten de la frecuencia es 0) no existiraacute atenuacioacuten con respecto a latransferencia ideal 1KOSC Si ahora la frecuencia empieza a variar mientras la frecuen-cia de variacioacuten se mantenga por debajo de ωPLL no habraacute atenuacioacuten pero por encimade ωPLL (es decir cuando la frecuencia variacutee muy raacutepidamente) la amplitud de la ten-sioacuten de salida comenzaraacute a reducirse
Supongamos ahora una sentildeal cuya frecuencia variacutea senoidalmente alrededor deuna frecuencia central ω0 alejaacutendose de eacutesta en plusmn ∆ωmaacutex
tt mi ωω∆+ω=ω sen)( maacutex0 (14)
donde ωm es la frecuencia de variacioacuten de la frecuencia Si aplicamos la ecuacioacuten (12)podemos obtener la tensioacuten de salida en reacutegimen permanente
)(sen
1
1)(2
maacutex00 θ+ω
ω+
ω∆+
ω= t
AKK
KKtv m
DOSC
mOSCOSC
(15)
donde
AKK DOSC
mωminus=θ arctg (16)
Es interesante ahora obtener la frecuencia generada por el VCO que es la que re-sulta comparada con la de la entrada Para ello basta multiplicar por KOSC
)(sen
1
1)(2maacutex0 θ+ω
ω+
ω∆+ω=ω t
AKK
t m
DOSC
m
VCO (17)
Si recordamos la ecuacioacuten (14) comprobaremos que ωVCO ne ωi excepto si ωm ltlt ωPLLcomo se muestra en la figura 6 Esto pareceriacutea estar en contradiccioacuten con el anaacutelisis in-tuitivo que habiacuteamos hecho en la seccioacuten 1 donde afirmaacutebamos que en el equilibrioωVCO = ωi Pero no es asiacute dado que en este caso en el cual la frecuencia de entrada noes constante es maacutes apropiado hablar de reacutegimen permanente que de equilibrio En lafigura 7 se muestran ademaacutes de las frecuencias ωi y ωVCO las correspondientes formasde onda
Si la frecuencia de entrada fuera constante (y por consiguiente igual a ω0) la fre-cuencia del VCO seriacutea exactamente igual a la frecuencia de entrada situacioacuten que siacutepuede considerarse como de equilibrio Es interesante vincular esto con la Teoriacutea delControl En este caso al haber una integracioacuten en la cadena directa (la que conviertefrecuencia en fase) cabe esperar que el error en continua sea nulo por lo cual el resul-tado obtenido antes intuitivamente y ahora por caacutelculo era esperable
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 7
Figura 6 Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y del VCO (liacutenea detrazos) en funcioacuten del tiempo (a) Para ωm ltlt ωPLL (b) Para ωm gt ωPLL
Figura 7 (a) Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y delVCO (liacutenea de trazos) en funcioacuten del tiempo (b) Tensioacuten de entrada(c) Tensioacuten del VCO Compaacuterese las graacuteficas (b) y (c) con la corres-pondiente frecuencia de la graacutefica (a) Obseacutervese coacutemo la variacioacuten defrecuencia en (c) es menor que en (b)
ω
t
ωi
ωVCOω0
(a)ω
t
ωi
ωVCO
ω0
(b)
ω
t
ωi ωVCO
ω0
(a)
(b)
vi
t
(c)
vVCO
t
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
8 B0401
Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es
AKK DOSCPLL
11 =ω
=τ (18)
Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten
OSC
t
OSC
t
Ke
Kev
PLLωminusτminus ωminusω+ω
=ωminusω+ω
=)()( 212
212
0 (19)
mientras que la frecuencia del VCO seraacute
tVCO PLLe
ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)
Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior
Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
τ
vi
t
vVCO
t
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B401 9
32 El caso real
Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)
RCssF
+=
11)( (21)
Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene
( )RCsAKK
sKssV
DOSCOSCi ++
=Ω 11
11)()(0 (22)
que puede reescribirse como
20
11
11)()(
sAKK
RCsAKK
KssV
DOSCDOSCOSCi ++
=Ω
(23)
o bien
2
20
21
11)()(
nn
OSCi ssKssV
ω+
ωξ+
=Ω
(24)
Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos
AKK DOSCRCn ω=ω (25)
AKK DOSC
RCω=ξ 2
1 (26)
Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso
Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero
R1
C
R1
R2
C
(a) (b)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
10 B0401
de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable
Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta
AKK DOSCRC 2=ω (27)
y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)
o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural
AKK DOSCPLL 2=ω (29)
Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es
1
2
21
211
)(11
)(ω+ω+
=++
+=
ss
CsRRCsRsF (30)
Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-
sioacuten para la transferencia del PLL
2
10
11
1
11)()(
ω+ω++
=Ω
ss
AKKsKs
sV
DOSCOSCi
(31)
es decir
2
12
201111
11)()(
sAKK
sAKK
sKs
sV
DOSCDOSC
OSCiω
+
ω
++
ω+=
Ω (32)
Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten
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B401 11
AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)
ω
+ω=ξ22
1 11AKK DOSC
n (34)
de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)
221 )(PLL
DOSC AKKCRR
ω=+ (35)
AKKCR
DOSCPLL
122 minus
ω= (36)
Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte
Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (37)
donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada
Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo
EJEMPLO 1
Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
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12 B0401
Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ
4 Rango de captura del PLL
Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC
El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser
AKK D
OSC
i2
o πleωminusω
es decir
AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)
Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL
Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)
tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)
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B401 13
puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute
( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)
Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que
( ))(2 o
o ωminusωπleωminusω
iDOSC
i jFAKK
es decir
( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)
Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2
A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)
Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)
EJEMPLO 2
En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura
ωo
ωVCO
ωi
ωo
captura
enganche
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14
Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s
es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s
es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A
41 Extensioacuten del rango de captura
Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)
Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura
Detectorde fase F(s) A
VCO
+
f-V
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versor fre-
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42 Rechazo a ruido
El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB
43 Tiempo de captura
El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente
( )3
2
2 ncapturaT
ωξ
ω∆cong (42)
Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente
5 Error de fase en reacutegimen permanente
Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex
tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)
Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute
( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)
Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
16 B0401
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)
Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2
Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta
( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)
Integrando
( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm
mjHtjHtt ω+ωωminusω
ωω∆
=ϕ∆ (47)
Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene
( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω
ωω∆
=ϕ∆ mmm
jHjH (48)
Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por
2
12
21111
1)(
sAKK
sAKK
ssH
DOSCDOSC ω+
ω
++
ω+= (49)
Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que
AKK DOSC
maacutexmaacutex
ω∆congϕ∆ (50)
En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como
ξωω∆
congϕ∆ 2maacutexmaacutex
n (51)
Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por
ωω
ξminus+
ξωω∆
congϕ∆22
maacutexmaacutex 2
114
1 n
n (52)
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B401 17
En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
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B401 19
Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
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B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
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Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
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B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
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B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
6 B0401
NOTA Observemos que esta frecuencia de corte no es relativa a la sentildeal fiacutesica de en-trada sino a su frecuencia En otras palabras si la frecuencia es constante (es decir sila frecuencia de variacioacuten de la frecuencia es 0) no existiraacute atenuacioacuten con respecto a latransferencia ideal 1KOSC Si ahora la frecuencia empieza a variar mientras la frecuen-cia de variacioacuten se mantenga por debajo de ωPLL no habraacute atenuacioacuten pero por encimade ωPLL (es decir cuando la frecuencia variacutee muy raacutepidamente) la amplitud de la ten-sioacuten de salida comenzaraacute a reducirse
Supongamos ahora una sentildeal cuya frecuencia variacutea senoidalmente alrededor deuna frecuencia central ω0 alejaacutendose de eacutesta en plusmn ∆ωmaacutex
tt mi ωω∆+ω=ω sen)( maacutex0 (14)
donde ωm es la frecuencia de variacioacuten de la frecuencia Si aplicamos la ecuacioacuten (12)podemos obtener la tensioacuten de salida en reacutegimen permanente
)(sen
1
1)(2
maacutex00 θ+ω
ω+
ω∆+
ω= t
AKK
KKtv m
DOSC
mOSCOSC
(15)
donde
AKK DOSC
mωminus=θ arctg (16)
Es interesante ahora obtener la frecuencia generada por el VCO que es la que re-sulta comparada con la de la entrada Para ello basta multiplicar por KOSC
)(sen
1
1)(2maacutex0 θ+ω
ω+
ω∆+ω=ω t
AKK
t m
DOSC
m
VCO (17)
Si recordamos la ecuacioacuten (14) comprobaremos que ωVCO ne ωi excepto si ωm ltlt ωPLLcomo se muestra en la figura 6 Esto pareceriacutea estar en contradiccioacuten con el anaacutelisis in-tuitivo que habiacuteamos hecho en la seccioacuten 1 donde afirmaacutebamos que en el equilibrioωVCO = ωi Pero no es asiacute dado que en este caso en el cual la frecuencia de entrada noes constante es maacutes apropiado hablar de reacutegimen permanente que de equilibrio En lafigura 7 se muestran ademaacutes de las frecuencias ωi y ωVCO las correspondientes formasde onda
Si la frecuencia de entrada fuera constante (y por consiguiente igual a ω0) la fre-cuencia del VCO seriacutea exactamente igual a la frecuencia de entrada situacioacuten que siacutepuede considerarse como de equilibrio Es interesante vincular esto con la Teoriacutea delControl En este caso al haber una integracioacuten en la cadena directa (la que conviertefrecuencia en fase) cabe esperar que el error en continua sea nulo por lo cual el resul-tado obtenido antes intuitivamente y ahora por caacutelculo era esperable
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B401 7
Figura 6 Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y del VCO (liacutenea detrazos) en funcioacuten del tiempo (a) Para ωm ltlt ωPLL (b) Para ωm gt ωPLL
Figura 7 (a) Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y delVCO (liacutenea de trazos) en funcioacuten del tiempo (b) Tensioacuten de entrada(c) Tensioacuten del VCO Compaacuterese las graacuteficas (b) y (c) con la corres-pondiente frecuencia de la graacutefica (a) Obseacutervese coacutemo la variacioacuten defrecuencia en (c) es menor que en (b)
ω
t
ωi
ωVCOω0
(a)ω
t
ωi
ωVCO
ω0
(b)
ω
t
ωi ωVCO
ω0
(a)
(b)
vi
t
(c)
vVCO
t
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
8 B0401
Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es
AKK DOSCPLL
11 =ω
=τ (18)
Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten
OSC
t
OSC
t
Ke
Kev
PLLωminusτminus ωminusω+ω
=ωminusω+ω
=)()( 212
212
0 (19)
mientras que la frecuencia del VCO seraacute
tVCO PLLe
ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)
Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior
Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
τ
vi
t
vVCO
t
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 9
32 El caso real
Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)
RCssF
+=
11)( (21)
Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene
( )RCsAKK
sKssV
DOSCOSCi ++
=Ω 11
11)()(0 (22)
que puede reescribirse como
20
11
11)()(
sAKK
RCsAKK
KssV
DOSCDOSCOSCi ++
=Ω
(23)
o bien
2
20
21
11)()(
nn
OSCi ssKssV
ω+
ωξ+
=Ω
(24)
Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos
AKK DOSCRCn ω=ω (25)
AKK DOSC
RCω=ξ 2
1 (26)
Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso
Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero
R1
C
R1
R2
C
(a) (b)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
10 B0401
de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable
Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta
AKK DOSCRC 2=ω (27)
y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)
o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural
AKK DOSCPLL 2=ω (29)
Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es
1
2
21
211
)(11
)(ω+ω+
=++
+=
ss
CsRRCsRsF (30)
Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-
sioacuten para la transferencia del PLL
2
10
11
1
11)()(
ω+ω++
=Ω
ss
AKKsKs
sV
DOSCOSCi
(31)
es decir
2
12
201111
11)()(
sAKK
sAKK
sKs
sV
DOSCDOSC
OSCiω
+
ω
++
ω+=
Ω (32)
Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 11
AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)
ω
+ω=ξ22
1 11AKK DOSC
n (34)
de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)
221 )(PLL
DOSC AKKCRR
ω=+ (35)
AKKCR
DOSCPLL
122 minus
ω= (36)
Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte
Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (37)
donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada
Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo
EJEMPLO 1
Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
12 B0401
Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ
4 Rango de captura del PLL
Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC
El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser
AKK D
OSC
i2
o πleωminusω
es decir
AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)
Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL
Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)
tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)
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B401 13
puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute
( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)
Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que
( ))(2 o
o ωminusωπleωminusω
iDOSC
i jFAKK
es decir
( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)
Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2
A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)
Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)
EJEMPLO 2
En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura
ωo
ωVCO
ωi
ωo
captura
enganche
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
14
Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s
es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s
es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A
41 Extensioacuten del rango de captura
Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)
Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura
Detectorde fase F(s) A
VCO
+
f-V
B0401
versor fre-
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B401 15
42 Rechazo a ruido
El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB
43 Tiempo de captura
El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente
( )3
2
2 ncapturaT
ωξ
ω∆cong (42)
Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente
5 Error de fase en reacutegimen permanente
Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex
tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)
Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute
( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)
Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
16 B0401
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)
Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2
Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta
( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)
Integrando
( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm
mjHtjHtt ω+ωωminusω
ωω∆
=ϕ∆ (47)
Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene
( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω
ωω∆
=ϕ∆ mmm
jHjH (48)
Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por
2
12
21111
1)(
sAKK
sAKK
ssH
DOSCDOSC ω+
ω
++
ω+= (49)
Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que
AKK DOSC
maacutexmaacutex
ω∆congϕ∆ (50)
En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como
ξωω∆
congϕ∆ 2maacutexmaacutex
n (51)
Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por
ωω
ξminus+
ξωω∆
congϕ∆22
maacutexmaacutex 2
114
1 n
n (52)
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En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
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B401 19
Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
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B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
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B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
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B401 25
Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
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B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
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APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
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+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
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B401 7
Figura 6 Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y del VCO (liacutenea detrazos) en funcioacuten del tiempo (a) Para ωm ltlt ωPLL (b) Para ωm gt ωPLL
Figura 7 (a) Frecuencias angulares de entrada (liacutenea llena) y delVCO (liacutenea de trazos) en funcioacuten del tiempo (b) Tensioacuten de entrada(c) Tensioacuten del VCO Compaacuterese las graacuteficas (b) y (c) con la corres-pondiente frecuencia de la graacutefica (a) Obseacutervese coacutemo la variacioacuten defrecuencia en (c) es menor que en (b)
ω
t
ωi
ωVCOω0
(a)ω
t
ωi
ωVCO
ω0
(b)
ω
t
ωi ωVCO
ω0
(a)
(b)
vi
t
(c)
vVCO
t
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
8 B0401
Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es
AKK DOSCPLL
11 =ω
=τ (18)
Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten
OSC
t
OSC
t
Ke
Kev
PLLωminusτminus ωminusω+ω
=ωminusω+ω
=)()( 212
212
0 (19)
mientras que la frecuencia del VCO seraacute
tVCO PLLe
ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)
Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior
Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
τ
vi
t
vVCO
t
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B401 9
32 El caso real
Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)
RCssF
+=
11)( (21)
Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene
( )RCsAKK
sKssV
DOSCOSCi ++
=Ω 11
11)()(0 (22)
que puede reescribirse como
20
11
11)()(
sAKK
RCsAKK
KssV
DOSCDOSCOSCi ++
=Ω
(23)
o bien
2
20
21
11)()(
nn
OSCi ssKssV
ω+
ωξ+
=Ω
(24)
Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos
AKK DOSCRCn ω=ω (25)
AKK DOSC
RCω=ξ 2
1 (26)
Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso
Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero
R1
C
R1
R2
C
(a) (b)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
10 B0401
de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable
Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta
AKK DOSCRC 2=ω (27)
y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)
o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural
AKK DOSCPLL 2=ω (29)
Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es
1
2
21
211
)(11
)(ω+ω+
=++
+=
ss
CsRRCsRsF (30)
Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-
sioacuten para la transferencia del PLL
2
10
11
1
11)()(
ω+ω++
=Ω
ss
AKKsKs
sV
DOSCOSCi
(31)
es decir
2
12
201111
11)()(
sAKK
sAKK
sKs
sV
DOSCDOSC
OSCiω
+
ω
++
ω+=
Ω (32)
Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten
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AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)
ω
+ω=ξ22
1 11AKK DOSC
n (34)
de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)
221 )(PLL
DOSC AKKCRR
ω=+ (35)
AKKCR
DOSCPLL
122 minus
ω= (36)
Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte
Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (37)
donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada
Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo
EJEMPLO 1
Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
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Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ
4 Rango de captura del PLL
Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC
El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser
AKK D
OSC
i2
o πleωminusω
es decir
AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)
Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL
Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)
tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)
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puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute
( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)
Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que
( ))(2 o
o ωminusωπleωminusω
iDOSC
i jFAKK
es decir
( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)
Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2
A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)
Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)
EJEMPLO 2
En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura
ωo
ωVCO
ωi
ωo
captura
enganche
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
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Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s
es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s
es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A
41 Extensioacuten del rango de captura
Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)
Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura
Detectorde fase F(s) A
VCO
+
f-V
B0401
versor fre-
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 15
42 Rechazo a ruido
El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB
43 Tiempo de captura
El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente
( )3
2
2 ncapturaT
ωξ
ω∆cong (42)
Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente
5 Error de fase en reacutegimen permanente
Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex
tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)
Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute
( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)
Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
16 B0401
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)
Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2
Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta
( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)
Integrando
( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm
mjHtjHtt ω+ωωminusω
ωω∆
=ϕ∆ (47)
Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene
( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω
ωω∆
=ϕ∆ mmm
jHjH (48)
Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por
2
12
21111
1)(
sAKK
sAKK
ssH
DOSCDOSC ω+
ω
++
ω+= (49)
Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que
AKK DOSC
maacutexmaacutex
ω∆congϕ∆ (50)
En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como
ξωω∆
congϕ∆ 2maacutexmaacutex
n (51)
Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por
ωω
ξminus+
ξωω∆
congϕ∆22
maacutexmaacutex 2
114
1 n
n (52)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 17
En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 19
Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 25
Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
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B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
8 B0401
Finalmente calculemos el reacutegimen transitorio ante una conmutacioacuten o salto defrecuencia en la tensioacuten de entrada Este problema reviste importancia en la demodula-cioacuten de sentildeales digitales FSK (frequency shift keying) Para ello tengamos en cuentaque la constante de tiempo del sistema es
AKK DOSCPLL
11 =ω
=τ (18)
Entonces ante un salto de frecuencia desde ω1 a ω2 provocaraacute una respuesta de tensioacuten
OSC
t
OSC
t
Ke
Kev
PLLωminusτminus ωminusω+ω
=ωminusω+ω
=)()( 212
212
0 (19)
mientras que la frecuencia del VCO seraacute
tVCO PLLe
ωminusωminusω+ω=ω )( 212 (20)
Vemos que el error final es nulo como cabe esperar nuevamente de un sistema conuna integracioacuten en el camino directo En la figura 8 se ilustra lo anterior
Figura 8 Transitorio de un PLL ante un salto de frecuencia seguacuten laecuacioacuten (20) En las graacuteficas de abajo se muestran respectivamente laforma de onda de la entrada en la que se aprecia el cambio brusco defrecuencia y la del VCO donde el cambio es maacutes gradual
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
τ
vi
t
vVCO
t
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 9
32 El caso real
Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)
RCssF
+=
11)( (21)
Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene
( )RCsAKK
sKssV
DOSCOSCi ++
=Ω 11
11)()(0 (22)
que puede reescribirse como
20
11
11)()(
sAKK
RCsAKK
KssV
DOSCDOSCOSCi ++
=Ω
(23)
o bien
2
20
21
11)()(
nn
OSCi ssKssV
ω+
ωξ+
=Ω
(24)
Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos
AKK DOSCRCn ω=ω (25)
AKK DOSC
RCω=ξ 2
1 (26)
Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso
Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero
R1
C
R1
R2
C
(a) (b)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
10 B0401
de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable
Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta
AKK DOSCRC 2=ω (27)
y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)
o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural
AKK DOSCPLL 2=ω (29)
Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es
1
2
21
211
)(11
)(ω+ω+
=++
+=
ss
CsRRCsRsF (30)
Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-
sioacuten para la transferencia del PLL
2
10
11
1
11)()(
ω+ω++
=Ω
ss
AKKsKs
sV
DOSCOSCi
(31)
es decir
2
12
201111
11)()(
sAKK
sAKK
sKs
sV
DOSCDOSC
OSCiω
+
ω
++
ω+=
Ω (32)
Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten
Federico Miyara Antildeo 2005
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AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)
ω
+ω=ξ22
1 11AKK DOSC
n (34)
de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)
221 )(PLL
DOSC AKKCRR
ω=+ (35)
AKKCR
DOSCPLL
122 minus
ω= (36)
Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte
Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (37)
donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada
Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo
EJEMPLO 1
Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
12 B0401
Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ
4 Rango de captura del PLL
Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC
El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser
AKK D
OSC
i2
o πleωminusω
es decir
AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)
Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL
Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)
tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)
Federico Miyara Antildeo 2005
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puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute
( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)
Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que
( ))(2 o
o ωminusωπleωminusω
iDOSC
i jFAKK
es decir
( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)
Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2
A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)
Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)
EJEMPLO 2
En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura
ωo
ωVCO
ωi
ωo
captura
enganche
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
14
Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s
es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s
es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A
41 Extensioacuten del rango de captura
Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)
Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura
Detectorde fase F(s) A
VCO
+
f-V
B0401
versor fre-
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42 Rechazo a ruido
El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB
43 Tiempo de captura
El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente
( )3
2
2 ncapturaT
ωξ
ω∆cong (42)
Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente
5 Error de fase en reacutegimen permanente
Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex
tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)
Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute
( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)
Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
16 B0401
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)
Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2
Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta
( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)
Integrando
( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm
mjHtjHtt ω+ωωminusω
ωω∆
=ϕ∆ (47)
Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene
( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω
ωω∆
=ϕ∆ mmm
jHjH (48)
Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por
2
12
21111
1)(
sAKK
sAKK
ssH
DOSCDOSC ω+
ω
++
ω+= (49)
Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que
AKK DOSC
maacutexmaacutex
ω∆congϕ∆ (50)
En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como
ξωω∆
congϕ∆ 2maacutexmaacutex
n (51)
Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por
ωω
ξminus+
ξωω∆
congϕ∆22
maacutexmaacutex 2
114
1 n
n (52)
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En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 19
Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 25
Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
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B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 9
32 El caso real
Cuando el comparador de fase no es ideal el filtro pasa a ser necesario El casomaacutes simple es cuando se trata de un sencillo pasabajos RC como el de la figura 9 (a)
RCssF
+=
11)( (21)
Reemplazando en la ecuacioacuten (11) se obtiene
( )RCsAKK
sKssV
DOSCOSCi ++
=Ω 11
11)()(0 (22)
que puede reescribirse como
20
11
11)()(
sAKK
RCsAKK
KssV
DOSCDOSCOSCi ++
=Ω
(23)
o bien
2
20
21
11)()(
nn
OSCi ssKssV
ω+
ωξ+
=Ω
(24)
Esta transferencia es de segundo orden siendo sus valores caracteriacutesticos
AKK DOSCRCn ω=ω (25)
AKK DOSC
RCω=ξ 2
1 (26)
Debe tenerse en cuenta que ωRC debe ser relativamente pequentildeo para poder filtrar lafrecuencia ωi + ωVCO cong 2ωi Al mismo tiempo como ωn determina el ancho de bandaresultante para el PLL debe adoptarse lo suficientemente grande para permitir el paso
Figura 9 (a) Filtro pasabajos con un polo de primer orden (b) Filtroalternativo con un polo y un cero
R1
C
R1
R2
C
(a) (b)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
10 B0401
de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable
Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta
AKK DOSCRC 2=ω (27)
y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)
o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural
AKK DOSCPLL 2=ω (29)
Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es
1
2
21
211
)(11
)(ω+ω+
=++
+=
ss
CsRRCsRsF (30)
Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-
sioacuten para la transferencia del PLL
2
10
11
1
11)()(
ω+ω++
=Ω
ss
AKKsKs
sV
DOSCOSCi
(31)
es decir
2
12
201111
11)()(
sAKK
sAKK
sKs
sV
DOSCDOSC
OSCiω
+
ω
++
ω+=
Ω (32)
Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten
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AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)
ω
+ω=ξ22
1 11AKK DOSC
n (34)
de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)
221 )(PLL
DOSC AKKCRR
ω=+ (35)
AKKCR
DOSCPLL
122 minus
ω= (36)
Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte
Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (37)
donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada
Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo
EJEMPLO 1
Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
12 B0401
Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ
4 Rango de captura del PLL
Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC
El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser
AKK D
OSC
i2
o πleωminusω
es decir
AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)
Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL
Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)
tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)
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puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute
( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)
Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que
( ))(2 o
o ωminusωπleωminusω
iDOSC
i jFAKK
es decir
( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)
Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2
A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)
Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)
EJEMPLO 2
En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura
ωo
ωVCO
ωi
ωo
captura
enganche
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
14
Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s
es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s
es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A
41 Extensioacuten del rango de captura
Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)
Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura
Detectorde fase F(s) A
VCO
+
f-V
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versor fre-
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42 Rechazo a ruido
El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB
43 Tiempo de captura
El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente
( )3
2
2 ncapturaT
ωξ
ω∆cong (42)
Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente
5 Error de fase en reacutegimen permanente
Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex
tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)
Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute
( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)
Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
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( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)
Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2
Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta
( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)
Integrando
( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm
mjHtjHtt ω+ωωminusω
ωω∆
=ϕ∆ (47)
Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene
( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω
ωω∆
=ϕ∆ mmm
jHjH (48)
Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por
2
12
21111
1)(
sAKK
sAKK
ssH
DOSCDOSC ω+
ω
++
ω+= (49)
Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que
AKK DOSC
maacutexmaacutex
ω∆congϕ∆ (50)
En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como
ξωω∆
congϕ∆ 2maacutexmaacutex
n (51)
Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por
ωω
ξminus+
ξωω∆
congϕ∆22
maacutexmaacutex 2
114
1 n
n (52)
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En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
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Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
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Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
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B401 25
Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
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B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
10 B0401
de la maacutexima frecuencia de variacioacuten de la frecuencia de entrada Esto en general impo-ne limitaciones que se traducen en bajos valores de ξ La consecuencia seraacute un sistemacon una respuesta muy subamortiguada lo cual no es deseable
Como ejemplo supongamos que la frecuencia de entrada estaacute en torno de los10 kHz pero variacutea entre 9 kHz y 11 kHz a razoacuten de 100 veces por segundo (100 Hz)Para no provocar distorsiones sobre esta sentildeal moduladora podemos elegir fn = 500 Hzy para eliminar la frecuencia 2fi (que es del orden de 20 kHz) elegimos fRC ltlt 20 kHzpor ejemplo fRC = 250 Hz Para ello debe ser seguacuten la ecuacioacuten (25)KOSCKDA = 2πtimes1000 Hz Resulta ξ = 025 que es demasiado bajo ya que producetransitorios muy oscilantes Un buen compromiso es proponer una respuesta deButterworth o maacuteximamente plana que se obtiene cuando 21=ξ En ese casoresulta
AKK DOSCRC 2=ω (27)
y entoncesAKK DOSCn 2=ω (28)
o bien teniendo en cuenta que para este valor de ξ la frecuencia de corte es igual a lafrecuencia natural
AKK DOSCPLL 2=ω (29)
Esta ecuacioacuten es similar a la (13) con un factor multiplicativo 2 Seguacuten veremos enalgunos casos esta solucioacuten puede ser poco conveniente Una segunda alternativa esutilizar un filtro con un cero y un polo como el indicado en la figura 9 (b) cuya transfe-rencia es
1
2
21
211
)(11
)(ω+ω+
=++
+=
ss
CsRRCsRsF (30)
Obseacutervese que siempre es ω2 gt ω1Si ahora reemplazamos la ecuacioacuten (30) en la (11) obtendremos la nueva expre-
sioacuten para la transferencia del PLL
2
10
11
1
11)()(
ω+ω++
=Ω
ss
AKKsKs
sV
DOSCOSCi
(31)
es decir
2
12
201111
11)()(
sAKK
sAKK
sKs
sV
DOSCDOSC
OSCiω
+
ω
++
ω+=
Ω (32)
Esta ecuacioacuten se diferencia de la (24) no soacutelo en que incorpora un cero sino en quepermite independizar ωPLL de KOSCKDA manteniendo un ξ razonable En efecto porsimple inspeccioacuten
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 11
AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)
ω
+ω=ξ22
1 11AKK DOSC
n (34)
de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)
221 )(PLL
DOSC AKKCRR
ω=+ (35)
AKKCR
DOSCPLL
122 minus
ω= (36)
Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte
Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (37)
donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada
Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo
EJEMPLO 1
Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
12 B0401
Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ
4 Rango de captura del PLL
Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC
El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser
AKK D
OSC
i2
o πleωminusω
es decir
AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)
Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL
Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)
tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 13
puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute
( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)
Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que
( ))(2 o
o ωminusωπleωminusω
iDOSC
i jFAKK
es decir
( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)
Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2
A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)
Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)
EJEMPLO 2
En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura
ωo
ωVCO
ωi
ωo
captura
enganche
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
14
Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s
es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s
es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A
41 Extensioacuten del rango de captura
Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)
Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura
Detectorde fase F(s) A
VCO
+
f-V
B0401
versor fre-
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 15
42 Rechazo a ruido
El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB
43 Tiempo de captura
El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente
( )3
2
2 ncapturaT
ωξ
ω∆cong (42)
Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente
5 Error de fase en reacutegimen permanente
Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex
tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)
Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute
( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)
Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
16 B0401
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)
Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2
Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta
( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)
Integrando
( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm
mjHtjHtt ω+ωωminusω
ωω∆
=ϕ∆ (47)
Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene
( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω
ωω∆
=ϕ∆ mmm
jHjH (48)
Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por
2
12
21111
1)(
sAKK
sAKK
ssH
DOSCDOSC ω+
ω
++
ω+= (49)
Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que
AKK DOSC
maacutexmaacutex
ω∆congϕ∆ (50)
En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como
ξωω∆
congϕ∆ 2maacutexmaacutex
n (51)
Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por
ωω
ξminus+
ξωω∆
congϕ∆22
maacutexmaacutex 2
114
1 n
n (52)
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B401 17
En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
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B401 19
Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
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B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
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B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
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Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
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B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Federico Miyara Antildeo 2005
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AKK DOSCnPLL 1ω=ωcongω (33)
ω
+ω=ξ22
1 11AKK DOSC
n (34)
de donde se obtienen las siguientes ecuaciones de disentildeo para 21=ξ (respuesta maacute-ximamente plana)
221 )(PLL
DOSC AKKCRR
ω=+ (35)
AKKCR
DOSCPLL
122 minus
ω= (36)
Veremos luego que KOSCKDA estaacute vinculado al rango de captura (es decir la banda defrecuencias dentro de la cual el enganche es posible) de alliacute la utilidad de poder selec-cionarlo independientemente de la frecuencia de corte
Ante un escaloacuten de frecuencia de entrada desde ω1 a ω2 (y suponiendo el cerodespreciable) la frecuencia del VCO tendraacute una evolucioacuten transitoria dada por
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (37)
donde η = arcsen ξ Se aprecia una respuesta oscilatoria subamortiguada que se ilustraen la figura 10 En el caso en que ξ = 21 el sobrepico es de 43 que es relativa-mente pequentildeo Nuevamente por ser el sistema integrativo el error final es nulo esdecir que la frecuencia del PLL al alcanzar el estado de equilibrio coincide con la deentrada
Figura 10 En liacutenea de trazos transitorio de frecuencia de un PLL confiltro ante un salto de frecuencia de entrada Debido a la integracioacutendentro del lazo el error final es nulo
EJEMPLO 1
Un PLL integrado LM565 alimentado con plusmn 6 V y funcionando a 10 kHz tieneuna constante KOSCKDA = 28200 1s Seleccionar los componentes del filtro para tenerωPLL = 500 1s utilizando como criterio que la respuesta sea maacuteximamente plana
ω
t
ωi
ωVCO
ω1
ω2
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
12 B0401
Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ
4 Rango de captura del PLL
Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC
El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser
AKK D
OSC
i2
o πleωminusω
es decir
AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)
Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL
Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)
tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)
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puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute
( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)
Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que
( ))(2 o
o ωminusωπleωminusω
iDOSC
i jFAKK
es decir
( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)
Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2
A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)
Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)
EJEMPLO 2
En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura
ωo
ωVCO
ωi
ωo
captura
enganche
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
14
Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s
es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s
es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A
41 Extensioacuten del rango de captura
Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)
Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura
Detectorde fase F(s) A
VCO
+
f-V
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versor fre-
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42 Rechazo a ruido
El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB
43 Tiempo de captura
El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente
( )3
2
2 ncapturaT
ωξ
ω∆cong (42)
Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente
5 Error de fase en reacutegimen permanente
Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex
tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)
Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute
( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)
Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
16 B0401
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)
Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2
Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta
( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)
Integrando
( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm
mjHtjHtt ω+ωωminusω
ωω∆
=ϕ∆ (47)
Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene
( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω
ωω∆
=ϕ∆ mmm
jHjH (48)
Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por
2
12
21111
1)(
sAKK
sAKK
ssH
DOSCDOSC ω+
ω
++
ω+= (49)
Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que
AKK DOSC
maacutexmaacutex
ω∆congϕ∆ (50)
En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como
ξωω∆
congϕ∆ 2maacutexmaacutex
n (51)
Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por
ωω
ξminus+
ξωω∆
congϕ∆22
maacutexmaacutex 2
114
1 n
n (52)
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En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
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Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 25
Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
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B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
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B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
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Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
12 B0401
Solucioacuten Aplicando la ecuacioacuten (36) resulta que R2C = 279 ms Con este valor yla ecuacioacuten (35) se obtiene R1C = 110 ms Adoptando C = 1 microF resultan los valores dela serie del 1 R1 = 110 kΩ y R2 = 280 kΩ
4 Rango de captura del PLL
Vimos en la seccioacuten 2 que si la diferencia de fase entre la entrada de un PLL realy la salida del VCO supera el rango del detector de fase el lazo de realimentacioacuten secorta y el PLL no puede engancharse En este caso el VCO oscilaraacute a su frecuencia libreωo Nos preguntamos ahora bajo queacute condiciones el PLL vuelve a engancharse Supon-gamos para ello que se aplica a la entrada una sentildeal de frecuencia ωi muy proacutexima a lafrecuencia libre ωo En ese caso de acuerdo con la ecuacioacuten (3) la salida del detector defase tendraacute una componente de muy baja frecuencia ωi minus ωo y otra de alta frecuenciaωi + ωo Esta uacuteltima seraacute eliminada por el filtro pasabajos F(s) quedando la otra aplica-da a la entrada del VCO seguacuten la ecuacioacuten (4) Dado que esta tensioacuten es oscilante enalguacuten momento la frecuencia del VCO coincidiraacute con la frecuencia de entrada En esemomento la tensioacuten aplicada al VCO dejaraacute de variar y se habraacute producido el enganchedel PLL Ahora supongamos que la frecuencia de entrada empieza a cambiar lentamen-te iquestHasta cuaacutendo podraacute hacerlo sin que el lazo se desenganche Hasta que la frecuenciade entrada ωi sea tan diferente de la frecuencia libre que el VCO no pueda ya producir-la ya sea porque alcanzoacute su propio liacutemite o porque el detector de fase (junto con el am-plificador) no estaacute en condiciones de suministrar la tensioacuten requerida (ωi minus ωo)KOSC
El valor preciso depende de la naturaleza del detector y coincide con la maacuteximatensioacuten que eacuteste puede producir Para el caso del detector multiplicativo el liacutemite seraacuteuna tensioacuten igual a KDA (ver ecuacioacuten (6) y figura 2) En el caso del detector OR-exclusivo (ecuacioacuten (8) y figura 3) el liacutemite seraacute KDAπ2 En este caso deberaacute ser
AKK D
OSC
i2
o πleωminusω
es decir
AKK DOSCi 2oπleωminusω (38)
Los valores de frecuencia de entrada que satisfacen esta desigualdad constituyen el ran-go de enganche o rango de seguimiento del PLL
Determinemos ahora el rango de captura un intervalo maacutes restrictivo que indicala maacutexima separacioacuten entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre para que seproduzca el enganche partiendo de una situacioacuten de desenganche (en el caso anteriorsuponiacuteamos que partiacuteamos con el lazo enganchado) Para ello tengamos en cuenta que siωi minus ωo es demasiado grande la frecuencia de oscilacioacuten de la componente de baja fre-cuencia dada en la ecuacioacuten (4) (reescrita reemplazando aquiacute KV1V22 por KD)
tKtv D )cos()( o13 ωminusωcong (39)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 13
puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute
( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)
Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que
( ))(2 o
o ωminusωπleωminusω
iDOSC
i jFAKK
es decir
( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)
Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2
A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)
Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)
EJEMPLO 2
En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura
ωo
ωVCO
ωi
ωo
captura
enganche
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
14
Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s
es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s
es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A
41 Extensioacuten del rango de captura
Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)
Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura
Detectorde fase F(s) A
VCO
+
f-V
B0401
versor fre-
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 15
42 Rechazo a ruido
El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB
43 Tiempo de captura
El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente
( )3
2
2 ncapturaT
ωξ
ω∆cong (42)
Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente
5 Error de fase en reacutegimen permanente
Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex
tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)
Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute
( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)
Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
16 B0401
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)
Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2
Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta
( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)
Integrando
( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm
mjHtjHtt ω+ωωminusω
ωω∆
=ϕ∆ (47)
Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene
( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω
ωω∆
=ϕ∆ mmm
jHjH (48)
Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por
2
12
21111
1)(
sAKK
sAKK
ssH
DOSCDOSC ω+
ω
++
ω+= (49)
Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que
AKK DOSC
maacutexmaacutex
ω∆congϕ∆ (50)
En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como
ξωω∆
congϕ∆ 2maacutexmaacutex
n (51)
Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por
ωω
ξminus+
ξωω∆
congϕ∆22
maacutexmaacutex 2
114
1 n
n (52)
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B401 17
En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
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B401 19
Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
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B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
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B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
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Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
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B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 13
puede no ser tan baja y de hecho puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasa-bajos A esa frecuencia la tensioacuten de control del VCO es decir la salida del filtro am-plificada seraacute
( ) ( )ϕ+ωminusωωminusω= tjFAKtv iiDc )(cos)()( oo (40)
Para que se produzca el enganche deberaacute cumplirse que
( ))(2 o
o ωminusωπleωminusω
iDOSC
i jFAKK
es decir
( ))(2 oo ωminusωπleωminusω iDOSCi jFAKK (41)
Este rango de captura es menor en general que el rango de enganche debido a la ate-nuacioacuten del filtro Para un filtro sencillo con un polo y un cero esta desigualdad puederesolverse en forma exacta El caacutelculo puede simplificarse sin embargo acotando laganancia del filtro a su valor en infinito ω1ω2
A la luz de los razonamientos anteriores se concluye que dentro del rango decaptura soacutelo es posible un estado de equilibrio correspondiente al PLL enganchadoFuera del rango de captura pero dentro del rango de enganche son posibles dos situa-ciones enganchado u oscilando a la frecuencia libre dependiendo si se entra en esaregioacuten estando el PLL enganchado o no Finalmente fuera del rango de enganche soacutelofuncionaraacute desenganchado (figura 11)
Figura 11 Estados de equilibrio posibles para un PLL ωo es la fre-cuencia libre del VCO (la separacioacuten entre los caminos de ida y devuelta es soacutelo por claridad del dibujo)
EJEMPLO 2
En el PLL del ejemplo anterior determinar el rango de seguimiento y el rango decaptura
ωo
ωVCO
ωi
ωo
captura
enganche
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
14
Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s
es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s
es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A
41 Extensioacuten del rango de captura
Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)
Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura
Detectorde fase F(s) A
VCO
+
f-V
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versor fre-
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42 Rechazo a ruido
El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB
43 Tiempo de captura
El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente
( )3
2
2 ncapturaT
ωξ
ω∆cong (42)
Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente
5 Error de fase en reacutegimen permanente
Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex
tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)
Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute
( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)
Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
16 B0401
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)
Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2
Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta
( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)
Integrando
( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm
mjHtjHtt ω+ωωminusω
ωω∆
=ϕ∆ (47)
Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene
( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω
ωω∆
=ϕ∆ mmm
jHjH (48)
Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por
2
12
21111
1)(
sAKK
sAKK
ssH
DOSCDOSC ω+
ω
++
ω+= (49)
Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que
AKK DOSC
maacutexmaacutex
ω∆congϕ∆ (50)
En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como
ξωω∆
congϕ∆ 2maacutexmaacutex
n (51)
Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por
ωω
ξminus+
ξωω∆
congϕ∆22
maacutexmaacutex 2
114
1 n
n (52)
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En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
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Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
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Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
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Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
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B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
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APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
14
Solucioacuten Procederemos en forma aproximada La funcioacuten filtrante F(jω) tiene unmaacuteximo en continua y un miacutenimo en infinito igual a R2(R1+R2) = 281128 = 00248Con este valor podemos aplicar la desigualdad (41) reconociendo queF(jω) gt 00248 Entonces el rango de captura seraacute por lo menos
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200sdot00248 = 10986 1s
es decir 1748 Hz El valor obtenido resolviendo numeacutericamente (sin aproximar) la de-sigualdad (41) es 1149 1s (es decir 183 Hz) En cuanto al rango de enganche o segui-miento resulta
ωi minus 2πsdot10000 le π2sdot28200 = 44296 1s
es decir 7050 Hz Si este rango fuera insuficiente podriacutea aumentarse A
41 Extensioacuten del rango de captura
Es posible extender el rango de captura de un PLL sin recurrir a aumentar excesi-vamente la ganancia de lazo por medio de un circuito feedforward con un conversorfrecuencia-tensioacuten (f-V) como se indica en la figura 12 El conversor se elige de modoque su constante sea aproximadamente la reciacuteproca de la constante KOSC del VCO En-tonces la tensioacuten que se aplica en la entrada del VCO ante una entrada dada es aproxi-madamente la misma que hace falta para que el VCO produzca una frecuencia igual a lade entrada por lo cual ambas frecuencias seraacuten muy parecidas y por consiguiente elproceso de enganche seraacute raacutepido y seguro cualquiera sea la frecuencia dentro del rangode enganche Podriacutea objetarse que si se dispone de un conversor f-V ya no es necesarioel PLL Sin embargo la funcioacuten del PLL no es soacutelo proporcionar una tensioacuten lineal conla frecuencia sino conseguir el sincronismo entre la frecuencia generada remotamente yla frecuencia local Por otra parte normalmente la conversioacuten frecuencia-tensioacuten logradamediante un PLL es maacutes lineal que la que se obtiene mediante otros mecanismos deconversioacuten en lazo abierto (como lo es el convertir la entrada en un tren de pulsos deancho constante mediante un multivibrador monoestable y luego filtrar las componentesde alta frecuencia)
Figura 12 Utilizacioacuten de un lazo feedforward con un concuencia-tensioacuten para aumentar el rango de captura
Detectorde fase F(s) A
VCO
+
f-V
B0401
versor fre-
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42 Rechazo a ruido
El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB
43 Tiempo de captura
El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente
( )3
2
2 ncapturaT
ωξ
ω∆cong (42)
Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente
5 Error de fase en reacutegimen permanente
Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex
tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)
Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute
( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)
Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
16 B0401
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)
Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2
Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta
( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)
Integrando
( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm
mjHtjHtt ω+ωωminusω
ωω∆
=ϕ∆ (47)
Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene
( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω
ωω∆
=ϕ∆ mmm
jHjH (48)
Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por
2
12
21111
1)(
sAKK
sAKK
ssH
DOSCDOSC ω+
ω
++
ω+= (49)
Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que
AKK DOSC
maacutexmaacutex
ω∆congϕ∆ (50)
En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como
ξωω∆
congϕ∆ 2maacutexmaacutex
n (51)
Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por
ωω
ξminus+
ξωω∆
congϕ∆22
maacutexmaacutex 2
114
1 n
n (52)
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En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 19
Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 25
Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
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B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
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ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 15
42 Rechazo a ruido
El PLL puede ser utilizado con ventaja para recuperar o demodular sentildeales o por-tadoras inmersas en ruido Un efecto del ruido de entrada en un PLL es la aparicioacuten defluctuaciones de fase aleatorias denominadas geneacutericamente jitter Este jitter tambieacuten setraduce en variaciones de frecuencia Cuando las fluctuaciones de fase son suficientespara sacar al detector de fase de su zona operativa (entre 0 y π) se produce el desengan-che perdieacutendose el sincronismo entre la entrada y la salida del VCO Dado que el ruidoes una sentildeal aleatoria esta situacioacuten puede producirse o no aunque si se deja transcurrirun tiempo suficiente la probabilidad de que ocurra aumenta Se ha demostrado me-diante simulaciones digitales que por cada dB que se incrementa la relacioacuten sentildealruidoel tiempo transcurrido antes de que se produzca el desenganche se multiplica por 20Para garantizar que el enganche se produzca y mantenga seraacute necesario que la relacioacutensentildeal a ruido sea mayor que 6 dB
43 Tiempo de captura
El tiempo requerido para que la captura (enganche) se produzca depende de la se-paracioacuten ∆ω entre la frecuencia de entrada y la frecuencia libre Se encuentra que estetiempo vale aproximadamente
( )3
2
2 ncapturaT
ωξ
ω∆cong (42)
Como ilustracioacuten en el PLL de los ejemplos 1 y 2 el tiempo requerido para enganchar-se a una frecuencia de 103 kHz es de 20 ms aproximadamente
5 Error de fase en reacutegimen permanente
Al disentildear un demodulador de frecuencia con un PLL es necesario tener en cuentaque dentro del rango de variacioacuten de la sentildeal modulante el error de fase con respecto alvalor de equilibrio π2 debe ser siempre menor que plusmn π2 ya que si dicho valor se exce-de se pierde el enganche Supongamos una portadora de frecuencia ωp modulada enfrecuencia por una cosenoide de frecuencia ωm cuya maacutexima desviacioacuten con respecto ala portadora es plusmn ∆ωmaacutex
tt mpi ωω∆+ω=ω cos)( maacutex (43)
Si aplicamos esta sentildeal a la entrada de un PLL cuya funcioacuten de transferencia ΩVCO Ωies H(s) la frecuencia del VCO en reacutegimen permanente seraacute
( ))(argcos)()( maacutex mmmpVCO jHtjHt ω+ωωω∆+ω=ω (44)
Nos proponemos calcular el error de fase ∆ϕ(t) que estaraacute dado por
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
16 B0401
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)
Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2
Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta
( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)
Integrando
( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm
mjHtjHtt ω+ωωminusω
ωω∆
=ϕ∆ (47)
Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene
( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω
ωω∆
=ϕ∆ mmm
jHjH (48)
Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por
2
12
21111
1)(
sAKK
sAKK
ssH
DOSCDOSC ω+
ω
++
ω+= (49)
Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que
AKK DOSC
maacutexmaacutex
ω∆congϕ∆ (50)
En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como
ξωω∆
congϕ∆ 2maacutexmaacutex
n (51)
Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por
ωω
ξminus+
ξωω∆
congϕ∆22
maacutexmaacutex 2
114
1 n
n (52)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 17
En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 19
Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 25
Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
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B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
16 B0401
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (45)
Notemos que la fase total entre las dos sentildeales (la de entrada y la del VCO) en realidadrequiere la suma de una constante de integracioacuten igual a la diferencia de fase en equili-brio Esta diferencia depende de la relacioacuten entre la frecuencia de la portadora y la fre-cuencia libre del VCO Como normalmente se toman coincidentes (ωo = ωp) ya que asiacutese maximiza el rango dinaacutemico la diferencia de fase de equilibrio seraacute π2
Reemplazando 43 y 44 en 45 resulta
( )( )int ω+ωωminusωω∆=ϕ∆ dtjHtjHtt mmmm )(argcos)(cos)( maacutex (46)
Integrando
( )( ))(argsen)(sen)( maacutexmmmm
mjHtjHtt ω+ωωminusω
ωω∆
=ϕ∆ (47)
Para calcular el maacuteximo valor de esta fase bastaraacute expresar esta suma como una uacutenicasenoide cuya amplitud es el valor deseado Se obtiene
( ) 1)(Re2)( 2maacutexmaacutex +ωminusω
ωω∆
=ϕ∆ mmm
jHjH (48)
Para el caso de un filtro con polo y cero H(s) viene dada por
2
12
21111
1)(
sAKK
sAKK
ssH
DOSCDOSC ω+
ω
++
ω+= (49)
Para ωm rarr 0 se demuestra faacutecilmente que
AKK DOSC
maacutexmaacutex
ω∆congϕ∆ (50)
En el caso en que ω2 gtgt KOSCKDA la anterior puede reescribirse como
ξωω∆
congϕ∆ 2maacutexmaacutex
n (51)
Por otra parte si ξ es pequentildeo el error de fase tiene un pico para ωm cerca de ωn queviene dado por
ωω
ξminus+
ξωω∆
congϕ∆22
maacutexmaacutex 2
114
1 n
n (52)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 17
En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
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Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
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B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
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B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
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Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
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APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 17
En la figura 13 se muestra en forma graacutefica el error de fase normalizado en funcioacuten dela frecuencia modulante normalizada
Figura 13 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωmaacutexωn)en funcioacuten de la frecuencia modulante normalizada ωmωn suponiendoque el cero es mayor que el polo
EJEMPLO 3
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo error de fase parauna desviacioacuten de frecuencia de 100 Hz
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error es apenas ligeramente mayor (3 ) que elerror en baja frecuencia y vale ∆ωmaacutex KOSCKDA Si ∆ωmaacutex = 2π100 Hz se obtiene unerror de fase maacuteximo de 00221 rad que es menor que π2
El trabajar con ξ ge 21 garantiza que si se cumplioacute la inecuacioacuten (38) no se pro-duciraacute el desenganche ya que el peor error se presenta en baja frecuencia y la desigual-dad (38) acota dicho error Para valores pequentildeos de ξ ello puede no ser cierto ya quecerca de ωn se produce un error de fase muy grande que puede superar faacutecilmente elvalor maacuteximo π2
6 Error de fase en reacutegimen transitorio
En presencia de una conmutacioacuten desde un valor de frecuencia a otro podriacuteanproducirse errores de fase significativos capaces de desenganchar al PLL si el sistema essubamortiguado (ξ lt 1) Este problema puede presentarse en los sistemas de demodula-
ξ = 01
1 105201 0502
5
4
3
2
1 ξ = 05
ξ = 07
ξ = 10
ωmωn
∆ωm
aacutexω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
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Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
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Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
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Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
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Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
18 B0401
cioacuten de sentildeales moduladas por FSK (frequency shift keying) Su anaacutelisis es similar alanterior Suponemos que se produce una transicioacuten entre ω1 y ω2 Luego de la transicioacutentendremos
2)( ω=ω ti (53)
en tanto que el VCO responderaacute como en (37)
ηminusωξminusξminus
ωminusω+ω=ω
ξωminustet n
tnVCO2
221
2 1cos1
)( (54)
donde η = arcsen ξ El error de fase ∆ϕ(t) vendraacute dado por
( )dtttt VCOiint ωminusω=ϕ∆ )()()( (55)
Teniendo en cuenta que despueacutes de la conmutacioacuten ωi(t) = ω2 la solucioacuten de la integralanterior (obtenida considerando el coseno como la parte real de una exponencial com-pleja) arroja
intntn
n
Ctet +
ψ+ηminusωξminusξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξωminus 22
21 1cos1
)( (56)
donde
ψ = arccos ξ (57)
La constante de integracioacuten debe tener en cuenta el cambio de fase necesario para aco-modar el cambio de frecuencia una vez extinguido el transitorio Su valor es
AKKC
DOSCint
12 ωminusω= (58)
Para encontrar el error de fase maacuteximo derivamos la expresioacuten (56) e igualamos a0 Pero debido a que ∆ϕ(t) fue obtenida integrando ωi(t) minus ωVCO(t) resulta
ηminusωξminusξminus
ωminusω=ωminusω=ϕ∆
ξωminustett n
tnVCO2
221
2 1cos1
)()()( (59)
Si tM es el primer instante en el que (∆ϕ)(tM) = 0 debe cumplirse
01cos 2 =
ηminusωξminus Mnt
Resulta
nMt
ωξminus
ξ+π=21
arcsen2
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 19
Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
Federico Miyara Antildeo 2005
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Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 25
Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 19
Reemplazando en (56)
( )AKK
eDOSCn
nn
121
arcsen2
221
maacutex 2cos1
2 ωminusω+ψ+ηminusη+π
ξminusω
ωminusω=ϕ∆ ξminusω
ξ+πξωminus
es decir
ξ+ω
ωminusω=ϕ∆ ξminus
ξ+πξminus
221
arcsen2
12maacutex e
n (60)
Podemos representar este valor normalizado con respecto a ∆ωωn = (ω2 minus ω1)ωn enfuncioacuten de ξ como se muestra en la figura 14
Figura 14 Amplitud del error de fase normalizado ∆ϕmaacutex(∆ωωn) enfuncioacuten del coeficiente de amortiguamiento ξ
EJEMPLO 4
En el PLL de los ejemplos anteriores determinar el maacuteximo salto de frecuencia∆fmaacutex para que el lazo no se desenganche a causa de un excesivo error de fase
Solucioacuten Para ξ = 21 el maacuteximo error normalizado es seguacuten la ecuacioacuten (60) (o lagraacutefica) igual a 1509 Debe ser
250050915091 πltω∆=
ωω∆
sn
de donde resulta ∆ω lt 500timesπ21509 = 509 s de donde ∆fmaacutex = 81 Hz
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 11
111213141516171819
2
ξ
∆ωω
n
∆ϕm
aacutex
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
Federico Miyara Antildeo 2005
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Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
20 B0401
7 El PLL monoliacutetico LM565
Se han implementado diversos circuitos integrados monoliacuteticos que realizan lafuncioacuten de un lazo de fijacioacuten de fase Entre ellos se encuentran el CD4046 y el LM565de los cuales estudiaremos el uacuteltimo El diagrama de bloques corresponde esencialmenteal indicado en la figura 4 El detector de fase es de tipo multiplicativo basado en la es-tructura de un multiplicador de Gilbert (Apeacutendice 2) como se indica en la figura 15
Figura 15 Diagrama esquemaacutetico de la seccioacuten detectora de fase delPLL LM565 basada en el multiplicador de Gilbert que se analiza enel Apeacutendice 2 Los nuacutemeros en negrita indican los terminales
Las fuentes de corriente I estaacuten determinadas por un espejo de corriente que copiala corriente que circula por la rama de las resistencias de 175 kΩ 38 kΩ 81 kΩ y200 Ω Para una alimentacioacuten de plusmn6 V resulta
mA820200k18k83k751
V06 - V62 =Ω+Ω+Ω+Ω
times=I
VA = minus6 V + 082 mAtimes(81 kΩ + 200 Ω) + 06 V = 141 V
A su vez en reposo
V342k75k13
k13V12V6 =Ω+Ω
Ω+minus=BV
minusVcc
T3 T4 T5 T6
Vcc
I
T1 T2+
minusvi
57 kΩ
T7 T8
vVCOEntrada
procedentedel VCO
72 kΩ72 kΩ
13 kΩ200 Ω
81 kΩ
175 kΩ
38 kΩ
Salida Vref
1 kΩ 1 kΩ
I = 0976 I
vc Controldel VCO
36 kΩ
VA
VB
D4
D1 D2
D3
+minus vo
RR R1
76
3
2
10
1
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B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
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B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 25
Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 21
Seguacuten veremos la entrada vVCO proveniente de la salida del VCO puede tomar dosvalores 54 V y minus06 V En el primer caso el diodo D3 estaacute polarizado inversamente einhibe toda modificacioacuten de VB de modo que resulta VB gt VA En el segundo caso eldiodo puede conducir y fuerza VB a un valor 0 de modo que VB lt VA
Si no estuvieran los diodos D1 y D2 la salida vo del multiplicador seriacutea seguacuten elanaacutelisis realizado en el Apeacutendice 2 (ver ecuacioacuten (A29))
minus=T
i
T
ABVv
ThV
VVThIRv22o
que para valores grandes de VB minus VA y vi se reduce a
vo cong R I sg(vi) sg(VB minus VA) = R I sg(vi) sg(vVCO)
Dado que R I = 72 kΩtimes082 mA = 641 V siempre conduce uno de los diodos D1 y D2limitando dicho valor a plusmn 06 V de manera que
vo = VD sg(vi) sg(vVCO) (61)
Veamos el efecto de dicha tensioacuten aplicada al par diferencial T7-T8 Sin las resistenciasdegenerativas de emisor Re = 1 kΩ esta tensioacuten seriacutea suficiente para cortar alternativa-mente uno u otro transistor Debido a estas resistencias los transistores no llegan a cor-tarse Se tiene
e
oRv
II =minus 78
I8 + I7 = I
de donde
e
eR
IRvI
2o
8+
=
En ausencia de un capacitor de filtrado la tensioacuten vc de control del VCO (terminal 7)toma por consiguiente el siguiente valor
( ))(sg)(sg2 VCO
1 IRvvVRRVv eiD
eccc +minus= (62)
Al colocar un capacitor en paralelo con R1 (o para el caso entre el terminal 7 y masa)se obtendraacute un valor de continua que dependeraacute linealmente de la fase entre vi y vVCOEn efecto recordando (7) y (8) resulta
+
ϕminusπ
πminus=
22
21 IRV
RRVv e
D
eccmedc
es decir
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 25
Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
Federico Miyara Antildeo 2005
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APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
22 B0401
ϕminusπ
π+minus=
22 11
e
Dccmedc R
VRIRVv (63)
Para ϕ = π2 es decir cuando el oscilador oscila a la frecuencia libre el valor medio dela tensioacuten de control es Vcc minus frac12R1I En el terminal 6 se provee una salida denominadaVref que coincide con este valor
Vref = Vcc minus frac12 R1I (64)
Obseacutervese que la frecuencia libre no se obtiene para vc = 0 como en el modelo idealiza-do sino para vc = Vref es decir para vc minus Vref = 0 Para una alimentacioacuten de plusmn 6 V re-sulta
Vref = 6 V minus frac12 36 kΩ times 082 mA times 0976 = 456 V (65)
Este valor es praacutecticamente coincidente con el valor tiacutepico de 450 V indicado en lasespecificaciones El terminal 6 estaacute previsto para referir a ella la tensioacuten de entrada alVCO (que es la sentildeal demodulada)
La ecuacioacuten (63) nos permite asimismo obtener la constante KDA del detector defase y el amplificador (conformado por el par diferencial)
e
DD R
VRAKπ
minus= 1 (66)
Hecho el caacutelculo resulta KDA = minus0688 Vrad valor coincidente con el valor tiacutepico deminus068 Vrad dado en las especificaciones1
En la figura 16 se muestra el diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado portensioacuten (VCO) A grandes rasgos la columna integrada por los transistores T1 a T8constituye una fuente de corriente controlada por tensioacuten y de polaridad conmutablecuyo fin es cargar y descargar el capacitor externo C en tanto el resto de los transistoresconfiguran un comparador con histeacuteresis
Observemos primero que los transistores T1 y T2 conforman un seguidor con muybaja caiacuteda entre la tensioacuten de control vc y el emisor de T2 Ello implica que la corrienteIo que circula por la resistencia externa R estaraacute dada por
RvVI ccc
ominus
= (67)
Dicha corriente atraviesa los transistores T1 a T4 y es descargada hacia la estructura infe-rior formada por D1 D2 y T5 a T6
Cuando T8 estaacute cortado tanto T6 como T7 y T5 estaacuten tambieacuten cortados Ello impli-ca que D1 estaacute cortado y por consiguiente D2 conduce la totalidad de la corriente prove-niente de T3 y T4 que se dirige al capacitor cargaacutendolo a pendiente constante y positivaIoC Cuando contrariamente T8 conduce tanto T6 como T7 y T5 conducen y forman unespejo de corriente Dado que el potencial v6 de los emisores de T3 y T4 se vuelve muynegativo D2 se corta y en consecuencia T5 absorbe del capacitor una corriente igual a IoPor consiguiente el capacitor se descarga ahora a pendiente constante negativa minusIoC
1 En realidad se especifica el valor sin signo debido a que la tensioacuten de entrada al VCO se interpreta
como Vcc minus vc en lugar de vc
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 23
Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 25
Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
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Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
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Figura 16 Diagrama esquemaacutetico del oscilador controlado por ten-sioacuten del PLL LM565 Los nuacutemeros en negrita indican los terminalesLa resistencia R y el capacitor C son externos
Supongamos que inicialmente T10 estaacute cortado Entonces tambieacuten estaacuten cortadosD4 y D3 El potencial v3 tiende a subir debido a la resistencia R2 = 65 kΩ conectada aVcc por lo cual D5 D6 y T11 conducen A efectos de calcular el estado del resto del cir-cuito determinemos los potenciales v2 v3 y v4 Se verifica
( )V60
V604
2
2
3
22 +
+minus+
minus+minus= R
RvV
RvV
Vv cccccc (68)
de donde podemos despejar v2 Suponiendo Vcc = 6 V
minusVcc
7 kΩ
R
vc
Io
2I1
3I1
2I1 I1
I1
C
ID1
ID1
ID2
D2D1
D7
D8
1
530 Ω530 Ω
T1
T2
T3 T4
T5
T7T6 I
84 kΩ
T8
T9
T10
D5
D6D3
D4
26 kΩ
65 kΩ
T11
47 kΩ
48 kΩ
T12
T13 T14
16 kΩ
vVCO
10Vcc
58 kΩ
43 kΩ
minusVcc
IT15
v1
v2v3
v4
v5v6
7
4
8
9
v6
R2 R3 R6 R7
R4
R5
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0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 25
Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
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B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
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B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
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B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
24 B0401
0V0401
V6011
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
2 cong=
++
minus+
minus+
=
RR
RR
RRV
RR
RR
vcc
(69)
De alliacutev3 cong 06 V (70)
v4 cong minus06 V (71)
Como el emisor de T12 estaacute conectado a minusVcc por medio de la resistencia R5 dicho tran-sistor conduce ubicaacutendose el potencial de salida en
vVCO = v2 minus 06 V = minus06 V (72)
El emisor de T13 estaacute conectado a Vcc a traveacutes de la resistencia R6 por lo que este tran-sistor tambieacuten estaacute en conduccioacuten fijando
v5 cong 0 (73)
El potencial v6 estaacute fijado por la caiacuteda de potencial en la resistencia R7 debida a lafuente de corriente I = 082 mA
v6 = Vcc minus 082 mA times 43 kΩ = 247 V (74)
La juntura BE de T14 resulta asiacute estar polarizada inversamente y por lo tanto T14 y T15estaacuten cortados lo cual corta tambieacuten a T8 Seguacuten vimos esto implica que C se carga conpendiente positiva dada por IoC La tensioacuten v1 aumentaraacute entonces paulatinamentehasta que la base de T9 llegue a estar aproximadamente a 3VBE por encima de v4 Ellosucede cuando
v1 = v4 + 3VBE cong 12 V (75)
En ese momento D4 y T10 entran en conduccioacuten Al conducir T10 se cierra un lazo derealimentacioacuten positiva corriente-corriente alrededor de T11 En efecto si la corriente decolector de T11 disminuye v4 tiende a disminuir Como el potencial de la base de T10estaacute fijo por el potencial v1 del capacitor y las caiacutedas VBE9 y VD4 T10 tiende a conducirmaacutes provocando una caiacuteda de v3 que despolariza auacuten maacutes a T11 Dicho lazo es fuerte-mente inestable tendiendo a cortar a T11 Una vez cortado T11 la corriente circulante porla resistencia R4 es decir
mA082k62
)(V60=
Ωminusminusminus ccV
pasa a estar suministrada por T10 Dicha corriente es la suma de la que viene por D3 des-de T9 y la que viene por R2 Esta uacuteltima vale
mA920k56
)V60( 4 =Ω+minus vVcc
el resto 208 mA minus 092 mA = 116 mA circula por D3 y T9
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Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
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Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
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En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
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APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
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APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
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+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 25
Al cortarse T11 v2 sube praacutecticamente hasta Vcc y T12 se polariza fijando un po-tencial de salida
vVCO cong Vcc minus 06 V = 54 V (76)
Como v6 = 247 V v5 puede a lo sumo valer 307 V (en caso de que T14 conduzca) Labase de T13 sube mucho maacutes que eso por lo que T13 se corta pasando a conducir T14 T15y T8
Como vimos la conduccioacuten de T8 invierte la pendiente de la tensioacuten en el capaci-tor C comenzando el proceso de descarga disminuyendo v1 Dado que el conjunto T9-D4-T10 se comporta como un seguidor con caiacuteda 3VBE v4 tambieacuten empieza a disminuirAl hacerlo por un lado disminuye la corriente por R4 y por otro aumenta la que circulapor R2 Cuando se igualan el diodo D3 deja de conducir y entonces una ulterior reduc-cioacuten de v1 haraacute que la corriente por R2 empiece a disminuir por lo que v3 aumenta En elinstante en que
v3 minus v4 = 2VBE (77)
tanto D6 como T11 empiezan a conducir y vuelve a cerrarse el lazo de realimentacioacutenpositiva Circula maacutes corriente por la resistencia R4 aumenta v4 y D4-T10 se despolari-zan cortaacutendose raacutepidamente Esto sucede cuando
( ) BEBERcc VVvRiV 23124=minusminusminus (78)
donde
4
1 )(34 R
VVvi ccBER
minusminusminus= (79)
Resulta
( ) ( )V111
3
42
42421 minus=
+++minusminus
=RR
VRRVRRv BEcc (80)
A partir de este momento se vuelve a la situacioacuten inicial T8 conduce y la pendiente dev1 se vuelve positiva cargaacutendose el capacitor
En resumen el capacitor se carga y descarga con pendientes simeacutetricas iguales aplusmn Io C oscilando entre 12 V y minus111 V (figura 17) La frecuencia resultante es la reciacute-proca del periodo es decir
)(2)(2 miacutenmaacutexmiacutenmaacutex
oVVRC
vVVVC
If cccVCO minus
minus=
minus= (81)
Para Vcc = 6 V la frecuencia libre se da cuando vc = Vref = 456 V Resulta
3120)11121(2
5646o RCVVRC
VVf =+
minus= (82)
valor bastante cercano al indicado (03RC) Podemos obtener la constante del osciladorKOSC a partir de la ecuacioacuten (81)
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
120
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
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32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
26 B0401
Figura 17 Formas de onda en el oscilador controlado por tensioacutenArriba a la salida Abajo en el terminal 9 (conexioacuten del capacitor C)
oo
V364
V1442
miacuten)maacutex(22 f
fVVRC
KOSC minus=π
minus=minus
πminus= (83)
valor bastante cercano al correspondiente a las especificaciones minus(415V) fo
8 Aplicaciones del PLL
El PLL permite resolver diversos problemas de intereacutes teacutecnico Las aplicacionesse dividen en dos grandes grupos filtros (lineales y no lineales) y demoduladores
81 Filtros
El PLL permite en primer lugar la realizacioacuten de filtros de fase Su finalidad esrecuperar o reconstruir una sentildeal de entrada corrupta por ruido de fase es decir fluctua-ciones aleatorias de frecuencia o fase causadas por la intermodulacioacuten con ruido en al-guacuten punto de su recorrido o bien por un fenoacutemeno ruidoso de modulacioacuten de fase o defrecuencia Esta fluctuacioacuten se denomina jitter Un ejemplo se da en las grabaciones enmedios digitales (CD DAT MD) La velocidad de reproduccioacuten tiene habitualmentevariaciones debidas a fenoacutemenos electromecaacutenicos por ejemplo vibraciones ruido oripple en la alimentacioacuten de los motores lo cual se traslada a la sentildeal en forma de jitterEl efecto del jitter si no es corregido incrementa el ruido equivalente de la sentildeal ElPLL puede reconstruir la base de tiempo (reloj) a partir de la frecuencia fluctuante asiacuteobtenida manteniendo la frecuencia media y reduciendo considerablemente las fluctua-ciones de fase mediante un filtro de baja frecuencia de corte
t
t
54
minus06
vVCO [V]
v1 [V]
minus111
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En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
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APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
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APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 27
En segundo lugar dado que el PLL tiene por un lado la capacidad de rechazar rui-do y por otro tiene un rango acotado de captura y enganche puede engancharse a unafrecuencia a pesar de que existan otras presentes simultaacuteneamente Ello sucede en elcaso de varias sentildeales moduladas en frecuencia con diversas portadoras El PLL tendraacuteuna accioacuten selectiva enganchaacutendose soacutelo a la frecuencia que se encuentre dentro de surango de captura
Por uacuteltimo utilizado en conjunto con un divisor de frecuencia en el lazo de reali-mentacioacuten como se muestra en la figura 18 el PLL permite obtener una sentildeal de fre-cuencia muacuteltiplo de la frecuencia de entrada Si f1 es la frecuencia de entrada y se desea
Figura 18 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de frecuenciaobtenido insertando un divisor de frecuencia en el lazo de realimenta-cioacuten
obtener una frecuencia N f1la frecuencia deseada el VCO debe estar disentildeado para fun-cionar con una frecuencia libre proacutexima a N f1 El divisor de frecuencia la convertiraacute enf1 y seraacute eacuteste el valor que se compararaacute con la entrada
El divisor de frecuencia se implementa normalmente con un circuito loacutegico basa-do en un contador Existen muchos modelos inclusive algunos cuya cuenta maacutexima esprogramable mediante conexiones externas como el CD4018 o a traveacutes de una entradadigital como el CD4522 (binario) o el CD4526 (decimal)
Si el filtro no estaacute bien disentildeado puede suceder que la sentildeal obtenida contengauna modulacioacuten de frecuencia perioacutedica debida al ripple residual Mientras que en elPLL original dicho ripple podriacutea causar una ligera asimetriacutea de la forma de onda (al serla tensioacuten de control media diferente en cada semiperiacuteodo) en el multiplicador la ten-sioacuten de control continuacutea variando en la misma direccioacuten durante N ciclos
82 Demoduladores
Los demoduladores pueden ser de tipo analoacutegico o digital Los demoduladoresanaloacutegicos requieren que el VCO sea muy lineal En efecto el lazo de realimentacioacuten defase soacutelo involucra la relacioacuten entre las frecuencias Si es de ganancia considerable per-mite una buena linealidad entre las frecuencias (de hecho la constante teoacuterica es 1)pero la relacioacuten entre vc y la frecuencia depende exclusivamente de la linealidad delVCO
Los demoduladores digitales se utilizan para demodular sentildeales FSK (frequencyshift keying) En este caso normalmente la sentildeal contiene saltos de frecuencia entre unvalor miacutenimo y uno maacuteximo La precaucioacuten a tomar es que la respuesta transitoria noproduzca sobrepicos que pudieran alterar la sentildeal decodificada
Detectorde fase
Osciladorcontroladopor tensioacuten
Amplv1 voKDsdot∆ϕ
vc
f1 N f1FiltroPasabajos v2
middot Nf1 N f1
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 29
APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
32 B0401
Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
28 B0401
APEacuteNDICE 1
Relacioacuten entre la frecuencia y la fase
Para encontrar la relacioacuten entre la fase y la frecuencia tengamos en cuenta que lafuncioacuten senoidal puede pensarse como la proyeccioacuten sobre un eje vertical de un vectorque gira con una velocidad angular ν que puede o no ser constante como se muestra enla figura A1 En este contexto la frecuencia puede definirse como la cantidad de
Figura A1 Diagrama para obtener la relacioacuten entre la fase y la fre-cuencia
vueltas por unidad de tiempo Dado que una vuelta equivale a un aacutengulo de 2π entoncesla cantidad de vueltas en un intervalo [t t + ∆t] es igual al aacutengulo recorrido dividido por2π
])()([21
21 tttvuelta ϕminus∆+ϕ
π=ϕ∆
π=∆ (A1)
Entonces la frecuencia es
)(21)()(liacutem
21liacutem)(
00t
tttt
tvueltatf
ttϕprime
π=
∆ϕminus∆+ϕ
π=
∆∆=
rarr∆rarr∆ (A2)
de donde)()(2)( ttft ϕprime=π=ω (A3)
con lo cual queda demostrado que la pulsacioacuten instantaacutenea es la derivada de la fase Estauacuteltima relacioacuten muestra ademaacutes que la velocidad angular ν y la pulsacioacuten ω son igua-les
ν(t)sen ϕ(t)
ϕ(t)
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APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
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Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
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APEacuteNDICE 2
Anaacutelisis del multiplicador de Gilbert
En la figura A2 se reproduce la estructura esquemaacutetica de un multiplicador deGilbert
Figura A2 Diagrama esquemaacutetico de un multiplicador de Gilbert
Planteemos primero las relaciones baacutesicas entre las variables fundamentales delcircuito Las corrientes de colector de los transistores cumplen
iC1 = iC3 + iC4 (A21a)
iC2 = iC5 + iC6 (A21b)
iC1 + iC2 = I (A21b)
Ademaacutes las ecuaciones simplificadas de Ebers y Moll indican que
TBEn VvsCn eIi = n = 1 6 (A22)
donde VT = kT q siendo k la constante de Boltzmann (k = 138times10minus23 JK) q la cargaeleacutectrica del electroacuten (q = 16times10minus19 C) y T la temperatura absoluta Ademaacutes
v1 = vBE3 minus vBE4 = vBE6 minus vBE5 (A23a)
v2 = vBE1 minus vBE2 (A23b)
+
R
minusVcc
T3 T4 T5 T6
R
Vcc
I
T1 T2+
minus
minus
v1
v2
+
minusvo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
30 B0401
Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
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Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
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Por uacuteltimovo = (iC3 minus iC4 + iC5 minus iC6)R (A24)
De las ecuaciones (A22) se deduce que
T
BEBEV
VV
C
C eii
43
4
3minus
= (A25a)
T
BEBEV
VV
C
C eii
56
5
6minus
= (A25a)
y de (A23a)
TVv
C
C
C
C eii
ii
1
5
6
4
3 == (A26a)
Anaacutelogamente
TVv
C
C eii
2
2
1 = (A26b)
Por otra parte
( )TVvC
C
CCCC ei
ii
iiiI 2
2
1221 211 +=
+=+=
de donde
TVvCeIi
221 +
= (A27a)
Anaacutelogamente
TVvCe
Ii1
21 minus+= (A27b)
En forma similar
TVvC
Ce
ii
14
11 +=
TVvC
Ce
ii
26
11 minus+=
(A28)
TVvC
Ce
ii
13
11 minus+=
TVvC
Ce
ii
25
11 +=
Sustituyendo en eacutestas las (A27) y restando iC3 minus iC4 se obtiene
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
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Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
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ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
Federico Miyara Antildeo 2005
B401 31
+=
+
minus
+=minus
minusminus TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
ee
eIii
TT
T
T 211
1
11
4321
1
2
Anaacutelogamente
+minus=
minus
minus
+=minus
TVvVv
Vv
VvCC VvTh
eI
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eIii
TT
T
T 211
1
11
6521
1
2
Finalmente reemplazando en (A24)
=
TT VvTh
VvThIRv
2221
o (A29)
Para v1 v2 lt VT
21221
o422
vvVRI
Vv
VvIRv
TTT== (A210)
La aproximacioacuten es muy buena dado que la tangente hiperboacutelica tiene un desarrollo deTaylor Th x cong x minus x33 en el cual no aparece el teacutermino cuadraacutetico Si v1 y v2 son delorden de VT el error es menor del 4
Si en cambio v1 v2 gtgt VT se ingresa en la zona no lineal y entonces
vo cong R I sg(v1) sg(v2) (A211)
donde sg(x) es la funcioacuten signo
Electroacutenica III PLL - Lazos de fijacioacuten de fase
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Bibliografiacutea
Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994
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Gray Paul Mayer Robert ldquoAnalysis and Design of Analog Intgrated Circuitsrdquo Editorial John Wi1ey ampSons Singapur 1993 (Hay versioacuten castellana)
Kuo Benjamin ldquoSistemas Automaacuteticos de Controlrdquo Editorial CECSA Barcelona Espantildea 1974Mills Thomas B ldquoThe Phase Locked Loop IC as a Communication System Building Blockrdquo National
Semiconductor Application Note 46 June 1971Miyara Federico ldquoAmplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra 2005 Disponible en
Internet httpwwwfceiaunreduarenica3realimpdfMiyara Federico ldquoEstabilidad de amplificadores realimentadosrdquo Publicacioacuten interna de la caacutetedra Dis-
ponible en Internet httpwwwfceiaunreduarenica3estabpdfNational Semiconductor Linear Databook 1995National Serniconductor Audio Radio Handbook 1980National Serniconductor Linear Application Handbook 1986Sheingold Daniel H (editor) ldquoNonlinear circuits handbook Designing with analog function modules and
ICrsquosrdquo Analog Devices Norwood 1974Watkinson John ldquoAudio Digitalrdquo Editorial Paraninfo Madrid 1994