Κεφάλαιο&6:Διαμαγνητισμός και&Παραμαγνητισμός&...VI-4...

12
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Λιαροκάπης Ευθύμιος Κεφάλαιο 6: Διαμαγνητισμός και Παραμαγνητισμός

Transcript of Κεφάλαιο&6:Διαμαγνητισμός και&Παραμαγνητισμός&...VI-4...

Page 1: Κεφάλαιο&6:Διαμαγνητισμός και&Παραμαγνητισμός&...VI-4 Στην περίπτωση που kB B T μ

Σχολή  Εφαρμοσμένων  Μαθηματικών  και  Φυσικών  Επιστημών  Εθνικό  Μετσόβιο  Πολυτεχνείο  

Διηλεκτρικές,  Οπτικές,  Μαγνητικές  Ιδιότητες  Υλικών  

Λιαροκάπης  Ευθύμιος  

Κεφάλαιο  6:  Διαμαγνητισμός  και  Παραμαγνητισμός  

Page 2: Κεφάλαιο&6:Διαμαγνητισμός και&Παραμαγνητισμός&...VI-4 Στην περίπτωση που kB B T μ

Το  παρόν  εκπαιδευτικό  υλικό  υπόκειται  σε  άδειες  χρήσης  Crea%ve  Commons.      Για  εκπαιδευτικό  υλικό,  όπως  εικόνες,  που  υπόκειται  σε  άδεια  χρήσης  άλλου  τύπου,  αυτή  πρέπει  να  αναγράφεται  ρητώς.  

Άδεια  Χρήσης  

Page 3: Κεφάλαιο&6:Διαμαγνητισμός και&Παραμαγνητισμός&...VI-4 Στην περίπτωση που kB B T μ

VI-1

ΔΙΑΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Κλασική περιγραφή

Για να κατανοήσουμε το φαινόμενο του διαμαγνητισμού στα υλικά, ας θεωρήσουμε ένα ηλεκτρόνιο σε κυκλική τροχιά γύρω από θετικά φορτισμένο πυρήνα. Το όλο σύστημα βρίσκεται σε εξωτερικό μαγνητικό πεδίο κάθετο στο επίπεδο

τροχιάς του ηλεκτρονίου. Το ηλεκτρόνιο θα υφίσταται μια δύναμη Lorentz και μια ηλεκτροστατική δύναμη, που θα δημιουργούν την κεντρομόλο επιτάχυνση.

rvmF

reF

BveF

k

oe

L

2

2

2

4

=

=

×−=

πε

rrr

Επομένως θα ισχύει ότι evBr

ervm

o

+= 2

22

4πε.

Όταν δεν υπάρχει μαγνητικό πεδίο τότε 2

22

2

4 ooo

o rerm

rvm

πεω == , οπότε η συχνότητα

περιστροφής θα είναι ίση προς 3

2

4 ooo mr

eπε

ω = .

Ας παραδεχτούμε ότι η ακτίνα της τροχιάς δεν μεταβάλλεται με την ύπαρξη μαγνητικού πεδίου, αλλά αλλάζει μόνο η συχνότητα περιστροφής ω. Τότε θα έχουμε

ότι BrermBrer

ermrvm oooo

ooo

o

ωωωπε

ω +=+== 22

22

2

4

Που οδηγεί στην 22

22

220 oo m

eBm

eBmeB ωωωωω +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⇒=−−

Όταν το μαγνητικό πεδίο είναι αρκετά μικρό ώστε οι αλλαγή στην συχνότητα να είναι

μικρή, τότε m

eBo 2+= ωω . Παρατηρούμε ότι η συχνότητα μεταβάλλεται κατά την

ποσότητα m

eBL 2=ω που ονομάζεται συχνότητα

Larmor. Αν το μαγνητικό πεδίο δεν ήταν κάθετο, αλλά υπό γωνία θ από τον άξονα της τροχιάς του ηλεκτρονίου, τότε θα ισχύουν οι σχέσεις,

Lmem

dtLdBmN

rr

rrrr

2−=

=×=

Οπότε LBm

eBBLme

dtLd rrrrr

×=×−=22

v

Β

Fk

Β,z

m

v

θ

Page 4: Κεφάλαιο&6:Διαμαγνητισμός και&Παραμαγνητισμός&...VI-4 Στην περίπτωση που kB B T μ

VI-2

Επομένως, εκτός από την περιστροφική κίνηση των ηλεκτρονίων γύρω από τον πυρήνα, θα υπάρχει και μια αργή μετάπτωση με την συχνότητα του Larmor. Η κίνηση των ηλεκτρονίων γύρω από τον άξονα z θα ισοδυναμεί με κάποιο ρεύμα

ωπ

ν2ZeZe

TZeI −=−=−= .

Η αλλαγή της συχνότητας καταλήγει σε ένα πρόσθετο ρεύμα

Bm

ZeZeIπ

ωπ 42

2

−=Δ−=Δ

και μια μαγνητική ροπή ( ) ( )222

2

4yx

mBZerI +−=Δ= π

ππμ , όπου πήραμε μόνο τις

τροχιές που είναι κάθετες στο εξωτερικό μαγνητικό πεδίο Β. Η μέση μαγνητική ροπή θα είναι ίση προς

( ) Bm

rZeB

mZeryx

mBZe

6432

4

222222

2

−=−=+−=μ

Οπότε

066

2222

<−==⇒−== rm

NZeHMB

m

rNZeNM oμχμ

Διαμαγνητικά είναι τα υλικά που δεν έχουν κάποια μαγνητική ροπή ανά άτομο. Όπως είδαμε, προκαλείται από την αντίδραση των ηλεκτρονιακών τροχιακών στο εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Όλα τα υλικά έχουν διαμαγνητισμό, αλλά αν υπάρχει μια μόνιμη μαγνητική ροπή, αυτή υπερκαλύπτει τον διαμαγνητισμό. Ενδεικτική τιμή για την μαγνητική διαπερατότητα προκύπτει για 2810≈N άτομα/m3,

7104 −×= πμo Weber/A.m, 1≈r Å, οπότε 510−≈χ .

ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ

Όταν δεν υπάρχει κάποιο εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, οι μόνιμες μαγνητικές ροπές ενός υλικού είναι τυχαία προσανατολισμένες, με αποτέλεσμα η συνολική μαγνήτιση να μηδενίζεται. Υπό την επίδραση ενός μαγνητικού πεδίου, οι μαγνητικές ροπές τείνουν να προσανατολιστούν και δημιουργούν κάποια μαγνήτιση. Αν η μαγνήτιση εξαφανιστεί με την απομάκρυνση του μαγνητικού πεδίου η ιδιότητα αυτή ονομάζεται παραμαγνητισμός.

Για ένα ελεύθερο σωματίδιο όπως το ηλεκτρόνιο η μόνιμη μαγνητική ροπή οφείλεται στην ύπαρξη του σπιν, που προσομοιάζει με μια εσωτερική στροφορμή. Κατ’ αντιστοιχία με την μετάπτωση μιας στροφορμής γύρω από εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, η μαγνητική ροπή των σωματιδίων με σπιν s, φορτίο e και μάζα m θα είναι ίση προς

smeg

2−=μ

Όπου g είναι ο παράγοντας Landé. Στην περίπτωση ύπαρξης και τροχιακής στροφορμής l και συνολικής j (όπου slj rrr

+= ) ο παράγοντας έχει την τιμή

)1(2)1()1()1(1

++−+++

+=jj

llssjjg

Page 5: Κεφάλαιο&6:Διαμαγνητισμός και&Παραμαγνητισμός&...VI-4 Στην περίπτωση που kB B T μ

VI-3

Για το σπιν του ελεύθερου ηλεκτρονίου 21== sj , οπότε g = 2, που συμφωνεί κατά

προσέγγιση με την πειραματική τιμή. Κλασική θεωρία του παραμαγνητισμού Αν τοποθετήσουμε ένα άτομο (ή σωματίδιο) με μόνιμη μαγνητική ροπή μ σε εξωτερικό μαγνητικό πεδίο Β, τότε η ενέργεια από την αλληλεπίδραση είναι

BU m

rr⋅−= μ

Επομένως, η ενέργεια ελαχιστοποιείται όταν το δίπολο είναι παράλληλο προς το μαγνητικό πεδίο και σε θερμοκρασία απόλυτου μηδενός θα υπάρχει πλήρης προσανατολισμός. Όμως σε θερμοκρασία 0≠T Κ ο προσανατολισμός θα διαταράσσεται εξ αιτίας της θερμικής αλληλεπίδρασης με το περιβάλλον. Η μέση τιμή της διπολικής ροπής σε θερμοκρασία Τ θα δίνεται από την

στατιστική κατανομή της προβολής της μαγνητικής ροπής πάνω στο μαγνητικό πεδίο,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛==

Ω

Ω=

∫∫

∫∫

BTk

TkB

de

de

de

deB

BTkB

TkB

U

U

B

B

m

m

μμμ

θθπ

θθπθμ

θμθμ θμ

θμ

β

β

cothsin2

sin2coscoscos cos

cos

Η συνάρτηση x

xxL 1coth)( −≡ είναι η συνάρτηση του Langevin. Οπότε η συνολική

μαγνήτιση θα είναι

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛==

BTk

TkBNNM B

B μμμθμ cothcos

Όταν BkBT μ

>> τότε TTk

BNMB

13

2

∝→μ .

Οπότε TC

TkN

HM

B

o ===1

3

2μμχ , που εκφράζει τον νόμο του Curie

Και η σταθερά του Curie είναι B

o

kN

C3

2μμ= .

Μ/Νμ

x = μΒ/kBT

1

κλίση=1/3

Β

μ θ

Page 6: Κεφάλαιο&6:Διαμαγνητισμός και&Παραμαγνητισμός&...VI-4 Στην περίπτωση που kB B T μ

VI-4

Στην περίπτωση που BkBT μ

<< τότε μNM → (σταθερά).

Ενδεικτικά αν 28105×=N άτομα/m3, 2310−≈= Bμμ J/T, τότε T15,0

≈χ (το Τ σε Κ).

Νόμος των Curie-Weiss Σε μια σειρά από μέταλλα (νικέλιο, λανθανίδες, κλπ) βρέθηκε πειραματικά ότι

cTTC−

∝χ ,

όπου C είναι κάποια σταθερά και Tc κάποια θερμοκρασία (Curie). Το Tc μπορεί να είναι θετικό, αρνητικό ή μηδέν. Όταν Tc = 0, προκύπτει ο νόμος του Langevin. Στα σιδηρομαγνητικά υλικά το Tc > 0 και το υλικό κάτω από Tc μεταβαίνει από την παραμαγνητική φάση στην σιδηροηλεκτρική. Στα αντισιδηρομαγνητικά υλικά Tc < 0 και η αλλαγή φάσης γίνεται σε μια θερμοκρασία (Neel) ΤΝ>0. Η αιτία της απόκλισης από τον νόμο του Langevin οφείλεται στις αλληλεπιδράσεις ανάμεσα στις μαγνητικές διπολικές ροπές, όπως έδειξε ο Weiss. Αν ορίσουμε αυτή την αλληλεπίδραση μέσω ενός μοριακού μαγνητικού πεδίου He που θα θεωρήσουμε ότι είναι ανάλογο της μαγνήτισης Μ ( )MH e λ= , τότε το συνολικό τοπικό μαγνητικό πεδίο που θα νιώθουν τα δίπολα θα είναι

MHHHH etot λ+=+= Οπότε

tot

tot

tot HMH

M

MHM

HM

λλχ

−=

−==

1

Αν θεωρήσουμε ότι ισχύει επίσης η σχέση του Langevin, TC

HM

tot

= , τότε προκύπτει η

σχέση των Curie-Weiss

cTTC−

Όπου CTc λ= Κβαντική θεωρία παραμαγνητισμού Στην κβαντική Φυσική η γωνία θ δεν μπορεί να λάβει όλες τις τιμές, αλλά μόνο διακριτές. Αυτό οφείλεται στο ότι η προβολή της στροφορμής σε κάποιο άξονα λαμβάνει διακριτές τιμές (ακέραιες ή ημιακέραιες τιμές της σταθεράς h ). Αν J

r είναι η ολική στροφορμή και JM η προβολή της στον άξονα του μαγνητικού

πεδίου, τότε το JM λαμβάνει τις (2J+1) τιμές JJJJJM J ,1,,2,1, −+−+−−= K

Η γωνία του Jr

με το μαγνητικό πεδίο θα είναι )1(

cos+

=JJ

M Jθ

Page 7: Κεφάλαιο&6:Διαμαγνητισμός και&Παραμαγνητισμός&...VI-4 Στην περίπτωση που kB B T μ

VI-5

Η μαγνητική διπολική ροπή θα είναι ίση προς Jg B

rr μμ = , όπου g είναι ο παράγοντας

Landé και μΒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

eme

2h η μαγνητόνη του Bohr. Επομένως, JBz Mgμμ =

Η δυναμική ενέργεια της διπολικής ροπής θα είναι

JBz BMgBBBU μμθμμ −=−=−=⋅−= cosrr

Επομένως, η μέση μαγνήτιση του υλικού θα είναι

)(expln

exp

exp

aJBNgJ

Ma

aJNg

JM

TkBJg

JM

TkBJg

JM

JNge

eMgN

ee

NNM

JB

J

JM

JB

J

JM

J

B

B

J

JM

J

B

BJ

BTk

BgM

TkBgM

JBU

Uz

zz

J

J

J

BBJ

BBJ

μμ

μ

μ

μμμ

μ μ

μ

β

β

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

====

∑∑

∑∑

−=

−=

−=

Όπου TkBJga

B

Bμ≡ και

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

≡J

aa

aJ

JJ

JaBJ 2coth

21

212coth

212)(

είναι η συνάρτηση του Brillouin.

Όταν 1<<⇒>> ak

BJgT

B

Bμ , τότε aJ

JBJ 21+

Οπότε BTk

JJNgMB

Bz 3

)1(2

2 μ+= .

Όμως HM χ= και )( MHB o

rrr+= μ , που καταλήγει στην σχέση

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+≅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

= TkJJNg

TkJJNg

TkJJNg

B

Bo

B

Bo

B

Bo

3)1(

3)1(1

3)1(2

22

2

22

μμμμ

μμχ

Αν ορίσουμε ως ενεργό μαγνητική διπολική ροπή την ποσότητα

BBeff pJJg μμμ =+= )1(

Όπου )1( +≡ JJgp είναι ο ενεργός αριθμός μαγνητόνων του Bohr, τότε

TkN

B

effo 3

2μμχ =

Που συμπίπτει με το αποτέλεσμα της κλασικής αντιμετώπισης. Όταν g = 1, J = 1, B = 104 Tesla, ένα υλικό ακολουθεί τον νόμο του Curie για Τ > 1 Κ. Επίσης 64 1010 −− −≈χ για Τ = 300 Κ.

Όταν 1>>⇒<< ak

BJgT

B

Bμ και 1≅JB , οπότε maxMJNgM Bz == μ , που

αποτελεί την μέγιστη τιμή κατά τον πλήρη προσανατολισμό των στροφορμών με τον άξονα του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου. Όταν ∞→J προκύπτει το κλασικό όριο.

Page 8: Κεφάλαιο&6:Διαμαγνητισμός και&Παραμαγνητισμός&...VI-4 Στην περίπτωση που kB B T μ

VI-6

Γενικά ισχύει ότι

max

)(MM

aB zJ =

Η εξάρτηση της συνάρτησης Briloouin από την μεταβλητή, για διάφορες τιμές της στροφορμής παρουσιάζεται παρακάτω (από το βιβλίο Fundamentals of Solid State Physics του J.R. Christman)

Σημείωση: πρόσθετες συνεισφορές στην μαγνήτιση μπορεί να προκύψουν από την συνεισφορά άλλων υψηλότερων ενεργειακών καταστάσεων. Κβαντικός υπολογισμός ατομικής μαγνητικής επιδεκτικότητας Με την παρουσία μαγνητικού πεδίου zBB ˆ=

r η εξίσωση του Schrodinger θα

αλλάξει μέσω της αντικατάστασης ( )

mAep

mp

2

~

2

~ 22r

+→

Όπου ABrrr

×∇= .

Μια επιλογή για το διανυσματικό δυναμικό είναι ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=×−= 0,

2,

221 BxByBrA

rrr,

οπότε ισχύει ότι 0=⋅∇ Arr

(δηλαδή το διανυσματικό δυναμικό είναι εγκάρσιο). Με αυτή την αντικατάσταση έχουμε ότι ( ) ( )

mpAe

mAe

mp

mAppAe

mAe

mp

mAep ~

22

~

2

~~

22

~

2

~ 2222222⋅

++=⋅+⋅

++=+

rrrr

Γιατί ψψψψψψ pAAiAiAiAiAp ~)()(~ ⋅=∇−=∇−⋅∇−=∇−=⋅rrr

hrr

hrr

hrr

hr

Επειδή ( )222

2

4yxBA +=

( ) ( ) ( )yxz pxpym

eByxmBe

mpL

meByx

mBe

mp

mpAe

mAe

mp ~~

282

~~282

~~

22

~22

22222

222222

−−++=+++=⋅

++r

Page 9: Κεφάλαιο&6:Διαμαγνητισμός και&Παραμαγνητισμός&...VI-4 Στην περίπτωση που kB B T μ

VI-7

Αν προσθέσουμε την ενέργεια λόγω σπιν και αθροίσουμε σε όλα τα ηλεκτρόνια, θα έχουμε ότι

( ) VSBgyxmBeLB

me

mp

H Bi

iii

i +⋅+++⋅+= ∑∑rrrrh μ22

222

822

~~

Ή ισοδύναμα

( ) ( ) VyxmBeSgLB

mp

Hi

iiBi

i ++++⋅+= ∑∑ 22222

82

~~ rrrμ

Όταν Β = 0 τότε Vm

pH

i

io += ∑ 2

~~ 2

Επομένως η διαταραχή αποτελείται από τους όρους

( ) ( )∑ +++⋅=Δi

iiB yxmBeSgLBH 22

22

8~ rrr

μ

Η λύση για την ενέργεια (με θεωρία διαταραχών) θα είναι nnn EEE Δ+= )0(

Όπου

∑′≠ ′−

′Δ+Δ=Δ

nn nnn EE

nHnnHnE

2~~

Κρατώντας μέχρι την 2ης τάξης προσέγγιση στο πεδίο Β έχουμε ότι

( )nyxnmBe

EE

nSgLnBnSgLnBE

iii

nn nn

B

Bn ∑∑ ++−

′+++⋅=Δ

′≠ ′

2222

2

8

rrrrrr μ

μ

Χαρακτηριστικές περιπτώσεις

1) Μονωτής με όλους τους φλοιούς πλήρως κατειλημμένους Τότε 00 =⇒== JLS . Επομένως, μένει μόνο ο 3ος όρος.

( ) 008

008

222

2222

0 ∑∑ =+=Δi

ii

ii rmBeyx

mBeE

Αφού 222

32

iii ryx =+

Οπότε έχουμε ότι

22

22

2

2

600

6)(

rm

NZer

meN

BE

N oio

oo

μμμχ −=−=

∂Δ∂

−= ∑

Που είναι ο ίδιος τύπος με την κλασική ανάλυση και δίνει τον διαμαγνητισμό του Langevin.

2) Έστω μονωτής με μερικώς κατειλημμένο τροχιακό, αλλά με 0=J Επειδή ( ) 000,0 ≠+⇒≠≠ SgLSL

rr,

αλλά λόγω συμμετρίας θα ισχύει ότι ( ) 000 =+ SgLrr

. Επομένως, η διόρθωση στην ενέργεια θα είναι

Page 10: Κεφάλαιο&6:Διαμαγνητισμός και&Παραμαγνητισμός&...VI-4 Στην περίπτωση που kB B T μ

VI-8

( )008

022

22

0 0

222

0 ∑∑ ++−

+−=Δ

≠ iii

n n

zzByx

mBe

EE

ngSLBE

μ

Και προκύπτει ότι

( )⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡+−

+= ∑∑

004

02 22

2

0 0

2

iii

n n

zzBo yx

me

EE

ngSLN μμχ

Ο πρώτος όρος έχει μια θετική συνεισφορά (παραμαγνητική) στο χ και ονομάζεται παραμαγνητισμός Van Vleck. Ο 2ος όρος είναι η γνωστή διαμαγνητική συνεισφορά.

3) Όταν 0≠J χρειάζεται μια πιο πλήρης κβαντομηχανική ανάλυση, οπότε αποδεικνύεται ότι ο 1ος όρος είναι ο πιο σημαντικός.

Σύγκριση με πειραματικά αποτελέσματα

Ένα άτομο ή ιόν έχει μόνιμη μαγνητική διπολική ροπή, όταν η εξωτερική στιβάδα είναι ασυμπλήρωτη. Τα στοιχεία των σπανίων γαιών με ατομικούς αριθμούς

7157 −=Z και 10291−=Z , καθώς και τα στοιχεία μεταπτώσεως με 2921−=Z , 4739 −=Z και 7971−=Z έχουν τις στιβάδες f4 ή f5 (σπάνιες γαίες) ή τις d3 ,

d4 ή d5 (στοιχεία μεταπτώσεως) ασυμπλήρωτες. Η σύγκριση της θεωρίας με το πείραμα γίνεται μέσω της θεωρίας και του νόμου Curie, απ’ όπου από την κλίση της συνάρτησης Tvs 1χ προκύπτουν στοιχεία για τον ενεργό αριθμό μαγνητόνων του

Bohr )1( += JJgp . Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα (από το American Institute of Ohysics Handbook, Mc-Graw-Hill, 1963)

Ιόν Αριθμός ηλεκτρονίων

L S J p

Ce+3 1 3 1/2 5/2 2,39

Pr+3 2 5 1 4 3,60

Nd+3 3 6 3/2 9/2 3,62

Pm+3 4 6 2 4 -

Sm+3 5 5 5/2 5/2 1,54

Eu+3 6 3 3 0 3,61

Gd+3 7 0 7/2 7/2 8,2

Tb+3 8 3 3 6 9,6

Dy+3 9 5 5/2 15/2 10,5

Ho+3 10 6 2 8 10,5

Er+3 11 6 3/2 15/2 9,5

Tm+3 12 5 1 6 7,2

Yb+3 13 3 1/2 7/2 4,4

Page 11: Κεφάλαιο&6:Διαμαγνητισμός και&Παραμαγνητισμός&...VI-4 Στην περίπτωση που kB B T μ

VI-9

V+2 3 3 3/2 3/2 3,8

Cr+2 4 2 2 0 4,9

Mn+2 5 0 5/2 5/2 5,9

Fe+2 6 2 2 4 5,4

Co+2 7 3 3/2 9/2 4,8

Ni+2 8 3 1 4 3,2

Cu+2 9 2 1/2 5/2 1,9

και δείχνουν ότι για τις σπάνιες γαίες η θεωρητική τιμή συμφωνεί αρκετά καλά με τα πειραματικά δεδομένα. Όμως για τα μέταλλα μετάβασης η d-στιβάδα εκτείνεται σε ενδιάμεσες περιοχές και επομένως προσεγγίζονται καλύτερα από περισσότερα του ενός d-τροχιακά. Για τον λόγο αυτό η προβολή της στροφορμής zL λαμβάνει μικρότερες τιμές από εκείνες του ενός τροχιακού. Λέμε ότι η τροχιακή στροφορμή έχει «σβηστεί» (orbital angular momentum quenching).

Page 12: Κεφάλαιο&6:Διαμαγνητισμός και&Παραμαγνητισμός&...VI-4 Στην περίπτωση που kB B T μ

Χρηματοδότηση  •  Το  παρόν  εκπαιδευτικό  υλικό  έχει  αναπτυχθεί  

στα  πλαίσια  του  εκπαιδευτικόυ  έργου  του  διδάσκοντα  

•  Το  έργο  «Ανοικτά  Ακαδημαϊκά  Μαθήματα  Ε.Μ.Π.»  έχει  χρηματοδοτήσει  μόνο  την  αναδιαμόρφωση  του  εκπαιδευτικού  υλικού.  

•  Το  έργο  υλοποιείται  στο  πλαίσιο  του  Επιχειρησιακού  Προγράμματος  «Εκπαίδευση  και  Δια  Βίου  Μάθηση»  και  συγχρηματοδοτείται  από  την  Ευρωπαϊκή  Ένωση  (Ευρωπαϊκό  Κοινωνικό  Ταμείο)  και  από  εθνικού  πόρους.