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MEMOIRES DE LA SMF 89

K-THEORIE ET MULTIPLICITESDANS L2(G/!)

Francois Pierrot

Societe Mathematique de France 2002Publie avec le concours du Centre National de la Recherche Scientifique

Classification mathématique par sujets (2000). —

Mots clefs. — K L2

K L2(G/!)

Résumé. — L2

KK

p

Abstract (K-theory and multiplicities in L2(G/!)). —L2

K

p

!

TABLE DES MATIERES

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Traces densement definies et K-theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1. Rappels algebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Traces densement definies sur les C!-algebres et K-theorie . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Traces sur les C!-algebres et C!-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Accouplement entre les operateurs A-Fredholm et les traces densement

definies sur A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. !-trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1. Traces sur les multiplicateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Notion de !-trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3. Cas propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. Une generalisation en K-theorie du theoreme d’indice L2 d’Atiyah. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1. La conjecture de Baum-Connes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2. Representants sommables et support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3. Theoreme d’indice L2 en K-theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4. Proprietes de fonctorialite pour les sous-groupes discrets cocompactset theoreme a la Langlands en K-theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.1. Traces associees aux groupes localement compacts unimodulaires . . . . . . 654.2. Fonctorialite de la trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3. Fonctorialite de l’application de Baum-Connes pour les sous-groupes

cocompacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.4. Theoreme a la Langlands en K-theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5. Conjecture de Bost et formule de Langlands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.1. Series discretes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2. Formules de multiplicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3. Cas des representations integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

INTRODUCTION

L’objet de ce memoire est de demontrer un theoreme dans le cadre de la K-theoriedes C!-algebres de groupes qui a"rme l’egalite de deux morphismes sur l’image del’application de Baum-Connes : d’une part celui induit par la representation quasi-reguliere d’un sous-groupe discret cocompact sans torsion, d’autre part, celui induitapres normalisation, par la trace usuelle, et d’en deduire des generalisations des for-mules de multiplicite de Langlands ([Lan]).

Soit G un groupe localement compact muni d’une mesure de Haar dg. L’algebreinvolutive CC(G) admet une representation ! dite reguliere par operateurs bornes surL2(G) et C!

r (G) designe la fermeture normique de !(CC(G)). La conjecture de Baum-Connes ([B-C], [B-C-H]) porte sur la K-theorie de la C!-algebre C!

r (G). Soit EGl’espace classifiant les actions propres de G et K!

top(G) la K-homologie G-equivariantede EG. Dans [B-C-H], est definie l’application d’assemblage ou application de Baum-Connes µr : K!

top ! K!(C!r (G)) et la conjecture de Baum-Connes a"rme que c’est

un isomorphisme.Le principe est que l’espace K!

top(G) est en general plus simple a calculer. Si G estun groupe de Lie semisimple, K un compact maximal (en supposant pour simplifierque la representation de K sur g/k est spinorielle), on peut identifier de facon natu-relle K!

top(G) a l’anneau des representations de K. De l’autre cote, K!(C!r (G)) fournit

des informations sur les representations unitaires de G faiblement contenues dans lareguliere, meme quand G n’est pas de type I. Supposons que G est unimodulaire.Rappelons qu’on appelle serie discrete de G la classe d’une sous-representation irre-ductible de L2(G) et qu’une representation unitaire irreductible " de G est une seriediscrete ssi elle possede un vecteur # non nul tel que

!G |"#, g##|2dg < +$ (on dit

que la serie discrete est de plus integrable s’il existe # tel que!|"#, g##|dg < +$). Il

existe alors une constante d! > 0 appelee dimension formelle de " telle que pour toutvecteur # de la representation, on a

!G |"#, g##|2dg = d"1

! %#%2. Si " est isolee dans ledual reduit de G (ce qui est le cas pour toute serie discrete, si G est presque connexe

2 INTRODUCTION

d’apres [G]), C!r (G) contient K(H!) en facteur donc K0(C!

r (G)) contient une copiede Z attachee a la serie discrete (on notera x! & K0(C!

r (G)) son generateur).

Soit ! un sous-groupe discret cocompact de G. Les formules de multiplicite evo-quees ci-dessus concernent la representation par translation a gauche de G dansL2(G/!). Celle-ci se decompose en une somme directe hilbertienne de representationsirreductibles. Le celebre resultat de R.P. Langlands est le suivant :

Theoreme 0.1 ([Lan]). — Soit ! un reseau cocompact sans torsion d’un groupe deLie semisimple G, " une serie discrete integrable de G, alors la multiplicite de " dansL2(G/!) est egale a d! vol(G/!).

Rappelons que la demonstration de Langlands consiste a appliquer la formule destraces de Selberg a un coe"cient de matrice integrable et a utiliser les resultats d’an-nulation d’integrales orbitales pour les elements semisimples.

Pour etudier cette multiplicite, on est amene a etudier la C!-algebre maximalenotee C!(G) de G, i.e. celle dont le spectre est constitue de toutes les represen-tations irreductibles unitaires de G et non pas seulement de celles qui sont faible-ment contenues dans la reguliere. Il existe egalement une application d’assemblageµ : K!

top(G) ! K!(C!(G)) pour la C!-algebre maximale de G telle que !! ' µ = µr,ou !! : K!(C!(G)) ! K!(C!

r (G)) est le morphisme induit par le quotient ! : C!(G) !C!

r (G).Nous pouvons maintenant enoncer le resultat principal de ce memoire (theoreme

5.2.2) :

Theoreme 0.2. — Soit G un groupe localement compact unimodulaire, " une seriediscrete de G isolee dans "Gr, et x! & K0(C!

r (G)) l’element associe. Soit ! un sous-groupe discret cocompact sans torsion de G, $ une representation unitaire de ! dedimension N finie et IndG

! ($) la representation unitaire induite de G. Soit C! &K!

top(G) tel que µr(C!) = x!. On a :

(IndG! ($))!(µ(C!)) = N vol(G/!)d!.

L’existence (et l’unicite) d’un tel element C! est postulee par la conjecture deBaum-Connes pour G. Cette conjecture est maintenant demontree pour une vasteclasse de groupes : les groupes de Lie reductifs (A. Wassermann [Wa]), les groupesreductifs sur un corps p-adique (V. La#orgue [L]) et les groupes moyennables(N. Higson, G. Kasparov [H-K]).

Supposons de plus que " est isolee dans "G de sorte que C!(G) contient une copiede K attachee a la serie discrete. Soit p! & K0(C!(G)) l’element associe. Clairement,!!(p!) = x!.


INTRODUCTION 3

Corollaire 0.1. — Si µ(C!) = p!, alors on a :

m(",!,$) = N vol(G/!)d! .

Dans le cas ou la serie discrete est isolee dans "G (ce qui est toujours le cas si "est integrable), d’apres le corollaire precedent, il su"t pour demontrer la formule deLanglands, de savoir que p! est dans l’image de µ. Toutefois, la conjecture de Baum-Connes postule seulement que !!(p!) est dans l’image !! 'µ. Quand !! est injective,c’est su"sant. Compte tenu des travaux de Higson-Kasparov ([H-K]), on en deduit(theoreme 5.2.3) :

Corollaire 0.2. — Soit G un groupe localement compact unimodulaire moyennable(ou T -moyennable) et " une serie discrete isolee dans "G, alors :

m(",!,$) = N vol(G/!)d! .

Une conjecture de Bost implique que pour un groupe localement compact G, l’imagede µ est egal a l’image de K!(L1(G)) dans K!(C!(G)). Si " est integrable, p! est dansl’image de K!(L1(G)).

Dans [L] et [L2], V. La#orgue demontre la conjecture de Bost pour une vaste classeC# de groupes localement compacts (stable par sous-groupe ferme) qui comprend tousles groupes de Lie semisimples, les groupes reductifs sur les groupes p-adiques, et lesgroupes moyennables. On en deduit (theoreme 5.3.5) :

Corollaire 0.3. — Soit G un groupe localement compact unimodulaire, ! un sous-groupe discret cocompact sans torsion dans la classe C#, " une representation integrablede G, $ une representation unitaire de dimension N de !. Alors on a la formule desmultiplicites :

m(",!,$) = N vol(G/!)d! .

La demonstration du theoreme 0.2 repose sur l’analyse des traces densement defi-nies sur les C!-algebres et des applications qu’elles induisent en K-theorie (chapitres1 et 2). En e#et, une trace t densement definie sur une C!-algebre induit une tracealgebrique sur un ideal dense qui a meme K-theorie que A (proposition 1.2.3) d’ouune application t! : K0(A) ! C. L’exemple qui nous interesse en premier lieu est lecas d’un groupe localement compact unimodulaire. Il existe alors ([D1]) une uniquetrace sci tG telle que ( f & L1(G) ) L2(G), on a tG(f!f) = %f%2. Quand " est uneserie discrete isolee dans le dual reduit de G, alors pour tout vecteur # unitaire de ",la fonction p definie par ( g & G, p(g) = d!""(g)#, ## est dans C!

r (G), [p] = [x!] etpar definition, tG(p) = p(e) = d! . Compte tenu de ceci, le theoreme 0.2 est un casparticulier du suivant (theoreme 4.4.1) :

Theoreme 0.3. — Soit G un groupe localement compact, ! un sous-groupe discretsans torsion cocompact. Soit $ une representation unitaire de ! de dimension N .

SOCIETE MATHEMATIQUE DE FRANCE 2002

4 INTRODUCTION

Alors on a :(IndG

! ($))! ' µ = N vol(G/!) * (tG)! ' µ.

Ce theoreme decoule :(1) d’un theoreme abstrait enonce dans [H] qui a"rme que pour un groupe discret

sans torsion la trace usuelle sur C!(!) donnee par l’evaluation en l’identite induit lameme application en K-theorie que le morphisme associe a la representation trivialesur l’image de l’application de Baum-Connes. Le fait que t!! (x) = (%!)!(x) quandx & K0(C!(!)) est l’indice equivariant ([B-C-H]) d’un operateur pseudodi#erentiel!-equivariant sur un revetement galoisien de groupe ! d’une variete compacte, est unereformulation abstraite du theoreme d’indice L2 d’Atiyah. Nous montrons que pour ungroupe discret sans torsion, tout element de l’image de l’application de Baum-Connesest un tel indice equivariant (proposition 3.1.7) et nous demontrons une version acoe"cient de ce theoreme (chapitre 3, theoreme 3.3.4). Ceci nous amene a etudier lanotion de !-trace (definie a l’origine par M.F. Atiyah [A]) dans le cadre abstrait desmodules hilbertiens (chapitre 2).

(2) d’une propriete de fonctorialite de la trace pour les sous-groupes cocompacts,que nous demontrons au chapitre 4. Soit ! un sous-groupe discret cocompact d’ungroupe G localement compact. Soit $G

! : K!(C!(G)) ! K!(C!(!)) le morphismeassocie a l’induction. Alors on a :

(t!)! ' $G! = vol(G/!)(tG)!.

(3) d’une propriete de fonctorialite de l’application de Baum-Connes pour les sous-groupes cocompacts (theoreme 4.3.5).

Notons qu’une representation irreductible " dans la serie discrete d’un groupe lo-calement compact G peut etre isolee dans "Gr sans l’etre dans "G (ceci se produit dejapour G = SL2(R)). Le theoreme 0.2 fournit neanmoins une formule a la Langlandspour toutes les series discretes des groupes localement compacts presque connexesverifiant la conjecture de Baum-Connes. Cette formule ne permet pas de calculerdirectement la multiplicite m(",!,$) mais la relie aux multiplicites d’autres repre-sentations (non faiblement contenues dans la representation reguliere). En particulier,on obtient une explication geometrique des formules pour les series discretes non in-tegrables des groupes SO(n, 1).

Remerciements. — Je remercie vivement Georges Skandalis, sous la direction duquelj’ai realise ma these de doctorat, d’ou est tire cet article, ainsi que Joel Bellaıche etVincent La#orgue.


CHAPITRE 1

TRACES DENSEMENT DEFINIES ET K-THEORIE

Dans ce chapitre, nous etudions les traces densement definies et leurs liens avecla K-theorie. Nous commencons en donnant les formules algebriques permettant decalculer l’accouplement d’une trace sur une algebre A et de l’element de K0(A) as-socie a un quasiisomorphisme. Puis nous montrons qu’un ideal dense d’une algebrede Banach A a meme K-theorie que A, ce qui permet de definir pour toute tracedensement definie & sur une C!-algebre A un accouplement entre K0(A) et & . SoitA une C!-algebre munie d’une trace densement definie. Apres avoir etudie les tracesnaturelles sur l’algebre des operateurs compacts d’un A-module hilbertien, nous don-nons une formule qui permet de calculer l’accouplement entre un element de K0(A)donne sous la forme d’un operateur Fredholm au sens de Kasparov, et la trace ; nousterminons en faisant le lien avec la theorie de l’indice de Breuer.

1.1. Rappels algebriques

Soit A une C-algebre non necessairement unitaire. Convenons d’appeler trace surA toute application lineaire & : A ! C telle que ( a, b & A, &(ab) = &(ba). Soit &une trace sur A. Si A est unitaire, l’application qui a p & Mn(A) projection, associe&(

#ni=1 pii), s’etend d’une unique facon en un morphisme note &! de K0(A) dans C.

Soit $A l’unitarisee de A. Rappelons que $A est l’algebre obtenue en munissantl’espace vectoriel A + C du produit defini par, pour tous a1, a2 & A, !1,!2 & C,

(a1 + !1)(a2 + !2) = ((!2a1 + !1a2 + a1a2) + !1!2).

L’application $& : $A ! C qui ( a & A et ! & C, verifie $&(a + !) = &(a) est une tracesur $A qui etend & . La restriction a K0(A) , K0( $A) de $&! est notee &!. Elle coıncidesi A est unitale, avec l’application definie precedemment. Si x & K0(A), on noteraegalement "x, &# le complexe &!(x).

6 CHAPITRE 1. TRACES DENSEMENT DEFINIES ET K-THEORIE

Soit J un ideal d’une C-algebre unitaire A. Tout element D de A inversible moduloJ definit un element canonique de K0(J) (cf. [B-C-H]). On peut en donner uneformule explicite. Soit Q un inverse de D modulo J , S1 = 1 - DQ, et S2 = 1 - QD.On a :

[D] =%&1 - S2

1 (S1 + S21)D

S2Q S22

'(-

%& 1 00 0

'(.

On dira qu’une trace & sur J est une trace relativement a A, si pour tout a & A,i & J , &(ai) = &(ia).

Lemme 1.1.1. — Soit & une trace sur J .Soit D et Q des elements de A. Soient S1 = 1 - DQ et S2 = 1 - QD. Alors :(1) (n & N!, il existe Qn & A tel que 1 - DQn = Sn

1 et 1 - QnD = Sn2 .

(2) S’il existe k & N! tel que Sk1 et Sk

2 soient dans J , alors D est inversible modulo Jet &!([D]) = &(S2k

2 ) - &(S2k1 ).

(3) Si & est une trace relativement a A, et si k & N! est tel que Sk1 & J et Sk

2 & J ,alors (n ! k,

&!([D]) = &(Sn2 ) - &(Sn

1 ) = &(Sk2 ) - &(Sk

1 ).

Demonstration(1) Pour tout polynome P & C[X ], QP (DQ) = P (QD)Q. Soit alors P & Z[X ]

defini par XPn(X) = 1 - (1 - X)n. Soit Qn = QPn(DQ) = Pn(QD)Q. Alors

1 - DQn = (1 - DQ)n et 1 - QnD = (1 - QD)n.

(2) Soit Qk tel que 1 - DQk = Sk1 et 1 - QkD = Sk

2 . Alors

[D] =%&1 - S2k

1 (Sk1 + S2k

1 )DSk

2Qk S2k2

'(-

%& 1 00 0

'(

d’ou le resultat.(3) Il su"t de montrer que si n & N! est tel que Sn

i & J (i = 1, 2), alors

&(Sn+12 ) - &(Sn+1

1 ) = &(Sn2 ) - &(Sn

1 ).

Or

&(Sn1 - Sn+1

1 ) = &((1 - DQ)nDQ)

= &(Q(1 - DQ)nD)

= &((1 - QD)nQD)

= &(Sn2 - Sn+1

2 )

Remarque. — L’hypothese que la trace est une trace relativement a A est neces-saire pour la derniere assertion. En e#et, soit n & N!, A la Q-algebre des matricestriangulaires superieures dans M2n(Q). Soit J l’ideal de A de carre nul des matricesm = (mij) & A telles que mij = 0 si j < i + n. Toute forme lineaire sur J est unetrace sur J . Soit D & A une matrice diagonale inversible. Notons ( k & {1, . . . , n},


1.2. TRACES DENSEMENT DEFINIES SUR LES C!-ALGEBRES ET K-THEORIE 7

!k = Dkk et supposons que ( k > 1,!k .= !1. Soit Q = D"1 - N ou Nij = 1 sij = i + 1 et 0 sinon. Alors

(1 - QD)n & J et (1 - DQ)n & J.

Pour j & {1, . . . , 2n}, p & {1, . . . , 2n - 1},

((1 - QD)p)1j = ((1 - DQ)p)1j = 0

sauf si j = p + 1 auquel cas

((1 - QD)p)1j =p+1)

k=2

!k et ((1 - DQ)p)1j =p)

k=1

!k.

Soit f : J ! C definie par ( j & J, f(j) =#2n

k=n+1 f1k, alors ( p & {n, . . . , 2n - 1},

f((1 - QD)p) - f((1 - DQ)p) =p+1)

k=2

!k -p)

k=1

!k .= 0.

Or [D] = 0 puisque K0(J) = 0 comme le montre le lemme suivant.

Lemme 1.1.2. — Soit A une C-algebre.(1) Supposons ici que A est unitale et soit p, q deux projections dans A telle que

p + q - 1 est inversible. Alors [p] = [q] & K0(A).(2) Soit n & N tels que tous les produits de n elements de A sont nuls. Alors

K0(A) = 0.

Demonstration(1) Comme p(p + q - 1) = pq = (p + q - 1)q, (p + q - 1)"1p(p + q - 1) = q.(2) Soit q une projection dans Mn( $A) et p & Mn(C) l’image de q par le morphisme

d’augmentation de Mn( $A) dans Mn(C). Soit a = q - p & Mn(A). Alors

(2p - 1)(p + q - 1) = (2p - 1)2 + (2p - 1)a = 1 + (2p - 1)a.

Or (2p - 1)a est nilpotent donc p + q - 1 est inversible et donc [p] = [q]. D’ou leresultat.

1.2. Traces densement definies sur les C!-algebres et K-theorie

1.2.1. K-theorie des ideaux denses des algebres de Banach. — Rappelonsle resultat suivant du a Swan ([Sw]) :

Proposition 1.2.1. — Soit A une sous-algebre dense unifere d’une algebre de Ba-nach A unifere, telle que le spectre de tout element de A est le meme dans A etdans A.

(1) Pour tout n & N, la sous-algebre Mn(A) de Mn(A) a les memes proprietes.(2) L’inclusion de A dans A induit un morphisme injectif de K0(A) dans K0(A).



Esquissons comment l’on deduit la seconde assertion de la premiere. Soit e, e# &Mn(A), p & e#Mn(A)e, q & eMn(A)e#, tels que pq = e# et qp = e. Soit x & e#Mn(A)eet y & eMn(A)e# tels que

%x - p% < 1/2(1 + %q%)"1 et %y - q% < 1/2(1 + %p%)"1.

Alors %xy - e#% < 1 et %yx - e% < 1 donc xy et yx sont inversibles respectivementdans e#Mn(A)e# et eMn(A)e et donc dans e#Mn(A)e# et eMn(A)e. Donc il existex#, x## & eMn(A)e# tel que xx# = e# et x##x = e. Alors x## = x##xx# = x#. D’ou leresultat.

Proposition 1.2.2. — Soit A , A une sous-algebre dense d’une algebre de Ba-nach A. On suppose que pour tout n > 0, Mn(A) est stable par calcul fonctionnelholomorphe dans Mn(A). Alors l’application naturelle de K0(A) dans K0(A) est unisomorphisme.

Demonstration. — D’apres la proposition precedente, il su"t de verifier la surjecti-vite. Pour n & N!, on munit Mn(A) d’une norme d’algebre de Banach compatibleavec celle de A. Soit x & Mn( $A) un projecteur avec x = p + a, p & Mn(C) projecteuret a & Mn(A). Soit x# & Mn(A) tel que

%x - x#% < supt$R

(%(x - 1/2 + it)"1%)"1;

alors Sp(x#) , $ = {z & C | Re(z) .= 1/2}. Soit f la fonction holomorphe sur $ quia z & $ associe 0 si Re(z) < 1/2 et 1 si Re(z) > 1/2. Soit P = X(1 - X) & C[X ].Il existe g0 et g1 des fonctions holomorphes sur P ($) telles que pour tout z & $,f(z) = g0(P (z)) + zg1(P (z)). Soit (am)m$N une suite d’elements de Mn(A) tels que,

(m & N, %a - am% < (supt$R

(%x - 1/2 + it)"1%)"1.

Alors f(p + am) est une suite de projecteurs qui tend vers f(x) et donc pour m assezgrand

[f(p + am)] = [f(x)] = [x] & K0( $A).

Orf(p + am) = g0(P (p + am)) + (p + am)g1(P (p + am)) & Mn( $A),

puisque P (p + am) & Mn(A).

Remarque. — Soit A une algebre de Banach et A une sous-algebre dense de A munied’une structure d’algebre de Banach dont la topologie est plus fine que celle induitepar A et stable par calcul fonctionnel holomorphe dans A. Alors d’apres le lemme1.2.1 l’inclusion de Mn( $A) dans Mn( $A) est isospectrale, donc Mn( $A) est stable parcalcul fonctionnel holomorphe. Donc l’inclusion de A dans A induit un isomorphismede K0(A) sur K0(A).


1.2. TRACES DENSEMENT DEFINIES SUR LES C!-ALGEBRES ET K-THEORIE 9

Proposition 1.2.3. — Soit I un ideal a gauche (resp. a droite) dense d’une algebrede Banach A. Alors I est stable par calcul fonctionnel et l’inclusion de I dans A induitun isomorphisme de K0(I) sur K0(A).

Demonstration. — Soit x & I. Soit K = SpA(x) et U un voisinage ouvert de K. Soitf une fonction holomorphe sur U . Soit g une fonction holomorphe sur U telle que(! & U , f(!) = f(0) + !g(!). Alors

f(x) = f(0)1 + xg(x) = f(0) + g(x)x & $I.

Donc I est stable par calcul fonctionnel holomorphe.La seconde assertion resulte du fait que Mn(I) ideal de Mn(A) est stable par calcul

fonctionnel holomorphe et de la proposition precedente.

On a d’ailleurs un peu mieux :

Lemme 1.2.4. — Soit I un ideal a gauche (resp. a droite) d’une algebre de Banach.Alors (n & N!, Mn($I) est stable par calcul fonctionnel holomorphe dans Mn( $A).

Demonstration. — Soit " : $A ! C le morphisme unital et "n : Mn( $A) ! Mn(C) sonextension aux matrices. Soit x & Mn($I), R le polynome minimal de "n(x) & Mn(C).Soit P un polynome tel que (f -P )/R se prolonge sur U en une fonction holomorpheg. Puisque P (x) & Mn($I) et R(x) & Mn(I), on a f(x) = P (x) + R(x)g(x) & Mn($I).

1.2.2. Formes sur la K-theorie associees a des traces densement definiessur des C!-algebres

Definition 1.2.5. — On appelle trace sur une C!-algebre ([D1], p. 115) une appli-cation t : A+ ! R+ / {+$} telle que :

(1) f(!x + y) = !f(x) + f(y), x, y & A+,! ! 0.(2) f(xx!) = f(x!x), x & A.

Si t est une trace sur une C!-algebre A, on notera nt l’ensemble forme des elementsx de A tels que t(x!x) < +$ et mt l’espace vectoriel engendre par les produitsd’elements de nt ou s’il n’y a pas ambiguıte n, m respectivement.

Proposition 1.2.6 ([D1], p. 116). — Soit t une trace sur une C!-algebre A.

(1) Les ensembles n et m sont des ideaux bilateres autoadjoints. En tant qu’espacevectoriel, m est engendre par m+ = m ) A+ et on a m+ = {x & A+ | t(x) < +$}.De plus m = n.

(2) Il existe une unique application lineaire t# : m ! C qui coıncide avec t sur m+.(3) On a t#(x!) = t#(x), x & m et t#(xy) = t#(yx), x, y & n. En particulier, t# est

une trace sur m relativement a A.

On dira que la trace est densement definie si m = n = A.



Definition 1.2.7. — Soit t une trace densement definie sur une C!-algebre A. Soitj : m ! A l’inclusion. On note t! : K0(A) ! C l’application (t#)! ' (j!)"1.

1.3. Traces sur les C!-algebres et C!-modules

1.3.1. Rappels sur les operateurs compacts des C!-modules. — Soit A uneC!-algebre, E et F deux A-modules hilbertien. Pour tous # & F, ' & E, on note(",# & L(E, F ) defini par ( ) & E, (",#()) = #"', )#. Un operateur T & L(E, F ) estdit de rang fini, s’il existe #1, . . . , #n & F , '1, . . . , 'n & E tel que T =

#ni=1 ("i,#i .

On designe par K(E, F ) la fermeture normique dans L(E, F ) de l’ensemble forme desoperateurs de rang fini de E dans F . Soit # & E. On note T" & K(A, E) l’operateurqui a a & A associe #a. On a les lemmes suivants ([Sk]) :

Lemme 1.3.1. — L’application qui a # & E associe T" & K(A, E) est bijective. Unoperateur T & L(E, F ) est de rang fini ssi il existe U & K(An, E) et V & K(An, F )tel que T = V U!.

Lemme 1.3.2. — L’application qui a T & L(E, F ) associe ( 0 0T 0 ) & L(E + F ) induit

une bijection preservant la norme entre L(E, F ) (resp. K(E, F )) et le sous-espaceferme de L(E + F ) (resp. de K(E + F )) forme des operateurs T tels que TF = 0 etTE , F .

D’apres ces deux lemmes, on peut identifier A, K(E) et E a des sous-espaces deK(A + E). Nous utiliserons la proposition suivante ([Sk]) :

Proposition 1.3.3. — Soit E et F deux A-modules hilbertiens, E1 un sous-A-module hilbertien de E et F1 un sous-A-module hilbertien de F .

(1) Un operateur T & L(E, F )(resp. K(E, F )) tel que TE , F1 et T !F , E1

definit par restriction un element de T1 & L(E1, F1) (resp. K(E1, F1)).(2) Tout element T1 & K(E1, F1) s’etend de maniere unique en un element

T & K(E, F ) tel que TE , F1 et T !F , E1.

Demonstration. — Esquissons la demonstration de la deuxieme assertion. Quitte autiliser la deuxieme assertion, on peut supposer que E = F et E1 = F1. Soit K(E1 : E)la sous-C!-algebre de K(E) formee des operateurs T tels que TE / T !E , E1. Soitr : K(E1 : E) ! K(E1) le morphisme induit par restriction a E1. Soit #, ' & E1. L’ele-ment (",# & K(E1) admet clairement un prolongement en un element de K(E1 : E)donne par la meme formule, mais en considerant cette fois #, ' & E. Donc le mor-phisme r est d’image dense donc surjectif. Soit T, S & K(E1 : E) tels que T|E1 = S|E1 .Alors (T - S)(T - S)! = 0 donc T = S. D’ou le resultat.

On notera j : K(E1, F1) ! K(E, F ) l’application injective associee.


1.3. TRACES SUR LES C!-ALGEBRES ET C!-MODULES 11

Proposition 1.3.4 ([R]). — Pour tout A-module hilbertien E, il existe une applica-tion canonique )E : K!(K(E)) ! K!(A) qui est un isomorphisme lorsque E est un A-module hilbertien plein. Quand E = A et en identifiant K(A) a A, alors )A = idK!(A).De plus, si E est un sous-A-module hilbertien de F , alors )F ' j! = )E.

1.3.2. Traces sur K(E). — Etant donne une trace & sur une C!-algebre A et Eun A-module hilbertien, on se propose d’etudier quelles sont les traces « naturelles »sur K(E). Si & est densement definie, une condition « naturelle » pour une telle trace& # est que & # soit densement definie et que (& #)! = &! ' )E . Nous commencons parmontrer que cette condition est satisfaite si ( # & E, & #((",") = &("#, ##) puis nousconstruisons une telle trace.

Lemme 1.3.5. — Soit E1 et E2 deux A-modules hilbertiens. Soit &1 et &2 deux tracessur K(E1) et K(E2). Il existe une trace (et celle-ci est alors unique) sur K(E1 +E2)dont les restrictions a K(E1) et K(E2) sont &1 et &2 ssi

(S & K(E1, E2), &1(S!S) = &2(SS!).

Demonstration. — Supposons

(S & K(E1, E2), &1(S!S) = &2(SS!),

alors on definit & : K(E1 + E2)+, par

(T & K(E1 + E2)+, &(T ) = &1(T11) + &2(T22).

Soit S & K(E1 + E2)+,

&(S!S) = &1(S!11S11 + (S21)!S21) + &2((S12)!S12 + S!

22S22)

= &1(S11S!11) + &2(S21(S21)!) + &1(S12(S12)!) + &2(S22S

!22)

= &(SS!)

L’unicite est triviale ainsi que la reciproque.

Proposition 1.3.6. — Soit E un A-module hilbertien, et & # une trace sur K(E) telleque pour tout # & E, & #((",") = &("#, ##). Alors &! ' )E = (& #)!.

Demonstration. — Soit F = A + E. Soit iE : A ! K(F ) et jE : K(E) ! K(F ) lesinclusions canoniques. D’apres la proposition 1.3.4, le morphisme induit (iE)! est unisomorphisme d’inverse ()F )! et )E = (iE)"1

! ' (jE)!. D’apres le lemme precedent, ilexiste une unique trace & ## sur K(A + E) dont les restrictions a A et K(E) sont & et& #, soit & ## ' iE = & et & ## ' jE = & #, ce qui implique

(& ##)! ' (iE)! = &! et (& ##)! ' (jE)! = & #!.

Donc :&! ' )E = &! ' (iE)"1

! ' (jE)! = (& ##)! ' (jE)! = (& #)!.



Lemme 1.3.7. — Soit A une C!-algebre, a, b & A, a = a!, E, F des A-modules hil-bertiens, T & K(E, F ) (resp. L(E, F )) f : R ! R une fonction continue impaire.

(1) Si ab = -ba, alors f(a)b = -bf(a).(2) Il existe S & K(E, F ) (resp. L(E, F )) tel que f

**0 T!

T 0

++=

*0 S!

S 0

+& L(E+F ).

Demonstration(1) La fonction f| Sp(a) est limite uniforme de polynomes impairs Pn. Donc

f(a)b = limn%+&

Pn(a)b = - limn%+&

bPn(a) = -bf(a).

(2) Il su"t d’appliquer le resultat precedent avec a =*

0 T!

T 0

+et b =

*1 00 "1

+.

Proposition 1.3.8. — Soit A une C!-algebre. Soient E, F, G des A-modules hilber-tiens. Soient S & K(E, F ) (resp. S & L(E, F )), T & L(E, G).

(1) Si S!S = T !T , alors il existe U & K(F, G) (resp. U & L(F, G)) tel que

U!U = SS! et UU! = TT !.

(2) Si S!S " T !T alors il existe U & K(F, G) (resp. U & L(F, G)) tel que

U!U = SS! et UU! " TT !.

Demonstration(1) Soit g : R ! R la fonction reelle impaire telle que ( t & R, g(t)|g(t)| = t.

Posons*

0 v!

v 0

+= g

**0 S!

S 0

++et

*0 w!

w 0

+= g

**0 T!

T 0

++. On a

,0 S!

S 0

-=

,0 v!

v 0

- .(v!v)1/2 0

0 (vv!)1/2

/

,0 T !

T 0

-=

,0 w!

w 0

- .(w!w)1/2 0

0 (ww!)1/2

/.

et

D’ou S = v|v|, T = w|w| et en particulier |v| = |w| = |S|1/2. De meme, S! = v!|v!|d’ou |v!| = |S!|1/2. On pose U = wv!; alors

U!U = v(w!w)v! = vv!vv! = SS!

et par symetrie UU! = TT !.(2) Soit S# & K(E) (resp. L(E)) tel que

(S#)!S# + S!S = T !T

et soit $S = (S#, S) & L(E, E + F ). On a $S! $S = T !T . D’apres le resultat precedent, ilexiste u = (u1, u2) & L(E + F, G) tel que u!u = $S $S! ce qui implique

u!2u2 = SS! et uu! = u1u

!1 + u2u

!2 = TT !

d’ou u2u!2 " TT !. Donc u2 convient.

Il est aise d’en deduire la proposition 1.4.10. de [P].



Corollaire 1.3.9. — Soit x, y, z & A tels que x!x " yy!+zz! alors il existe u, v & Atels que u!u " y!y, v!v " z!z, et xx! = uu! + vv!.

Demonstration. — Soit S = ( x 00 0 ) et T = ( y! 0

z! 0). On a S!S " T !T donc il existe U &

M2(A) tel que SS! = UU! et U!U " TT !. Si U = ( u vw t ), on a puisque SS! = UU!,

w = t = 0, et xx! = uu! + vv! et de U!U " TT ! il decoule u!u " y!y et v!v " z!z.

Lemme 1.3.10

(1) Soit 0 " x " y & K(E), #1, . . . , #n & E tels que y =#n

i=1 ("i,"i ,, alors il existe)1, . . . , )n & E tel que x =

#ni=1 ($i,$i .

(2) Si #1, . . . , #n, '1, . . . , 'n & E sont tels que x =#n

i=1 ("i,#i ! 0, alors il existe)1, . . . , )n & E tels que x =

#ni=1 ($i,$i .

(3) Soit & une trace sur A. Si #1, . . . , #n, '1, . . . , 'n & E sont tels que#n

i=1 ("i,"i =#ni=1 (#i,#i , alors &(

#ni=1"#i, #i#) = &(

#ni=1"'i, 'i#).

Demonstration(1) Soit S & K(An, E) tel que ( a1, . . . , an & A, alors S((a1, . . . , an)) =

#ni=1 #iai.

On a y = SS!. Soit T = x1/2. D’apres la proposition 1.3.8, il existe u & K(An, E) telque uu! = x. Soit ()i)n

i=1 & En tels que

( (a1, . . . , an) & An, u((a1, . . . , an)) =n0

i=1

)iai.

Alors on a x =#n

i=1 ($i,$i .(2) On a ("i,#i + (#i,"i " ("i+#i,"i+#i . Donc

0 " x " x + x! "n0

i=1

("i+#i,"i+#i

et donc il su"t d’appliquer le resultat precedent.(3) Soit S, T & K(An, E) tel que

( a1, . . . , an & A, S((a1, . . . , an)) =n0

i=1

#iai et T ((a1, . . . , an)) =n0

i=1

'iai.

Alors SS! = TT ! donc d’apres la proposition 1.3.8, il existe u & K(An, An) = Mn(A)tel que u!u = S!S et uu! = T !T .

&& n0

i=1

"#i, #i#'

= && n0

i=1

(u!u)ii

'=

n0

i,j=1

&((uji)!uji)

=n0

i,j=1

&(uji(uji)!) =n0

j=1

&((uu!)jj)

= && n0

i=1

"'i, 'i#'



Proposition 1.3.11. — Soit A une C!-algebre, & une trace sur A et E, F deux A-modules hilbertiens.

(1) Il existe une unique trace (densement definie si & l’est) sur K(E) qu’on notera&mE telle que si #1, . . . , #n & E, tmE

*#ni=1 ("i,"i

+= &

* #ni=1"#i, #i#

+et si x & K(E)+

n’est pas de rang fini, &mE (x) = +$.

(2) Supposons ici que E soit un sous-A-module hilbertien de F et soit j : K(E) !K(F ) l’inclusion canonique. Alors tmF ' j = &m

E .(3) Soit S & K(E, F ). Alors &m

F (SS!) = &mE (S!S).

Demonstration(1) D’apres le lemme precedent, l’application est bien definie. La demonstration

montre egalement que c’est bien une trace si E = An et par definition, si u &K(An, E), alors tmE (uu!) = &m

An(u!u). Soit S & K(E) et T & K(An, E) tel queSS! = TT !. Alors d’apres la proposition 1.3.8, il existe u & K(An, E) tel queS!S = uu! et u!u = T !T . Donc

&mE (S!S) = &m

An(u!u) = &mAn(T !T ) = &m

E (SS!).

Trivialement,(! & R+, (T & K(E)+, &m

E (!T ) = !&mE (T ).

Soit S, T & K(E)+. D’apres le lemme 1.3.10, si S + T est de rang fini, alors S et Tsont de rang fini. Inversement si S + T n’est pas de rang fini, alors soit S soit T n’estpas de rang fini. Donc, dans les deux cas,

&mE (S + T ) = &m

E (S) + &mE (T ).

Donc &mE est bien une trace. D’ou l’assertion.

(2) En e#et, j(K(E)) s’identifie a l’algebre des operateurs T & K(F ) tel que TF ,E et T !F , E. Soit T & K(E) et soit S & K(An, F ) tel que j(T ) = SS!. Alors

Im(T ) = Im(SS!) = Im S , E.

Donc, d’apres la proposition 1.3.3,

0S1 & K(An, E) tel que j(S1) = S

et donc T = S1S!1 . D’ou le resultat.

(3) soit $S = ( 0 0S 0 ) & K(E+F ). Alors en appliquant deux fois le resultat precedent,

&mE (S!S) = &m

E'F ($S! $S)

= &mE'F ($S $S!)

= &mF (SS!)

Corollaire 1.3.12. — Soit E un A-module hilbertien et )E : K0(K(E)) ! K0(A)l’application canonique. Supposons & densement definie. Alors &m

E est densement de-finie et &! ' )E = (&m

E )!.



Proposition 1.3.13. — Soit A une C!-algebre et B un sous-C!-algebre hereditairede A telle que l’ideal bilatere ferme engendre par B est A. Soit & une trace sur B.Il existe une plus grande trace sur A qui etend & ; celle-ci est densement definie, si &l’est.

Demonstration. — Soit E l’ideal a gauche ferme engendre par B. Comme E!E , B,E est naturellement muni d’une structure de B-module hilbertien en posant

( a, b & E, "a, b# = a!b.

L’action de A par multiplication a gauche definit un isomorphisme " de A sur K(E).En e#et, ( a1, . . . , an, a#

1, . . . , a#n & A et b1, . . . , bn, b1., . . . , b#n & B, alors

"& n0

i=1

aibi(a#ib

#i)

!'

=n0

i=1

(aibi,a"ib

"i& K(E).

Comme tout element de A est limite d’elements de la forme#n

i=1 aibi(a#ib

#i)!, "(A) ,

K(E). Soit a & A tel que aE = 0, alors aEE! = 0 (EE! designe l’espace vectorielengendre par les produits d’un element de E et d’un element de E!) et comme EE! =A, a = 0. Donc " est injectif. Alors &m

E ' " etend & a A. En e#et,

( b & B+, &mE ("(b)) = &m

E ((b1/2,b1/2) = &("b1/2, b1/2#) = &(b).

Montrons que &mE ' " est la plus grande trace qui etend & . Soit & # une trace sur A qui

etend & . Soit x & A+, tel que "(x) est de rang fini. Alors il existe #1, . . . , #n & E telsque "(x) =

#ni=1 ("i,"i . De plus ( i = 1, . . . , n, 0 '1, . . . , 'n & E et b1, . . . , bn & E tels

que #i = 'ibi. D’ou x =#n

i=1 'ibib!i '!i . Alors

& #(x) =n0

i=1

&(b!i '!i 'ibi) =

n0

i=1

&mE (("i,"i) = &m

E ("(x))

Donc &mE ' " ! & #. Si & est densement definie, &m

E ' " l’est egalement.

1.3.3. Traces densement definies sci. — Apres avoir rappele la definition del’ideal de Pedersen et le lien avec les traces densement definies sci, nous etudions lestraces densement definies sci sur K(E).

Soit A une C!-algebre. Soit K(A)0 l’ensemble des x & A+ tels qu’il existe y & A+

tel que xy = x. Cet ensemble coıncide avec {f(x) | x & A+, f & CC(]0, +$[)}.Soit K(A)+ l’ensemble des x & A+ tels qu’il existe xk & K(A)0, k = 1, . . . , n avecx " #n

i=1 xk. Le theoreme qui suit est demontre dans [P] (loc. cit. theoreme 5.6.1. etproposition 5.6.2. p. 175).

Theoreme 1.3.14. — L’intersection de tous les ideaux bilateres denses de A est unideal bilatere dense autoadjoint appele ideal de Pedersen et note K(A). En tant qu’es-pace vectoriel, K(A) est engendre par sa partie positive qui est K(A)+. De plus, pourtout x & A, x & K(A) 1 xx! & K(A)+.



Soit & une forme lineaire positive sur IA invariante par conjugaison par les uni-taires de $A. Soit (u%)%$" l’ensemble filtrant des elements positifs de K(A)+ de normeinferieure a 1. On definit pour tout x & A+,

& (x) = sup%$"

&(x1/2u%x1/2).

La proposition qui suit est contenue dans la proposition 5.6.7. de [P] et caracteriseles traces densement definies semi-continues inferieurement (sci) :

Proposition 1.3.15. — L’application qui a & associe & etablit une bijection entreles formes lineaires positives invariantes par conjugaison par les unitaires de $A surK(A) et les traces densement definies sci sur A. L’application reciproque associe aune trace sci densement definie sur A+, l’unique application lineaire sur K(A) quicoıncide avec la restriction de cette trace sur K(A)+.

Pour toute trace & , notons E(&) l’epigraphe de & .

Corollaire 1.3.16. — Soit & : A+ ! R+ / {+$} une trace. L’adherence de E(&)est l’epigraphe de l’unique trace sci notee $& qui coıncide avec & sur K(A)+.

Demonstration. — Soit & la fonction dont l’epigraphe est E(&). Supposons d’abordque & est densement definie. Comme $& est sci, E($& ) est ferme et donc E(&) , E($& ).Inversement, soit (u%)%$" une unite approchee de A dans K(A)+. Comme pour toutx & A+,

$& (x) = lim%$"

&(x1/2u%x1/2)

on a E($& ) , E(&) et donc $& = & . Dans le cas general, soit I l’ideal bilatere ferme m& .Soit &I la fonction dont l’epigraphe est E(&|I). On a & |I = &|I qui est une trace sci surI, et (x /& I, &(xx!) = & (x!x) = $. D’ou le resultat.

Remarque. — Comme & et $& coıncident sur K(A)+, les applications lineaires asso-ciees coıncident sur l’ideal dense K(A). Donc &! = ($& )!.

Soit A une C!-algebre munie d’une trace densement definie sci & et E un A-modulehilbertien.

Lemme 1.3.17

(1) ( # & E, "#, ## & K(A) ssi ( ' & E, "#, '# & K(A).(2) Soit T, S & K(E)+ tel que TS = T , alors T est de rang fini.(3) Soit T & K(E)+. Alors il existe #n & E, n & N tels que

#n$N

("n,"n est normi-quement convergente vers T . En particulier, pour tout T & K(E)+, 0S & K(E, HA)tel que T = S!S.



Demonstration(1) Soit # & E tel que "#, ## & K(A)+. Soit ' & E. Alors

"#, '#"', ## " %'%2"#, ## & K(A)+.

Donc "#, '# & K(A).(2) En e#et, T & K(A)0 et donc est dans tout ideal bilatere dense. Comme l’espace

des operateurs de rang fini est un ideal bilatere dense, T est de rang fini.(3) Soit (fn)n$N une suite d’elements de C(Sp(T ))+ telle que, pour tout n & N

fn est nulle au voisinage de 0 et#

n$Nfn converge uniformement vers la fonction

identite. Alors T =#

n$NTn avec

0 " Tn = fn(T ) & K(K(E))0.

Donc il existe (#n)n$N une suite d’elements de E telle que#

n$N("n,"n converge

normiquement vers T . Alors ( p " q, ( # & E,q0

n=p

"#n, ##!"#n, ## =q0

n=p

"#, ("n,"n(#)#

" "#, ## *111

q0

n=p

("n,"n

111

Donc l’application qui a # & E associe ("#n, ##)n$N definit un element S & K(E, HA)et T = S!S. D’ou le resultat.

Proposition 1.3.18. — Soit & une trace densement definie sci sur A. Soit E unA-module hilbertien.

(1) Il existe une unique trace sci notee &E sur K(E) telle que pour tout # & E,on a :

&E((",") = &("#, ##).(2) Soit (#n)n$N une suite d’elements de E telle que

#n$N

("n,"n converge vers unelement T & K(E). Alors :

&E(T ) =0

n$N

&("#n, #n#).

(3) Soit F un A-module hilbertien, E un sous-A-module hilbertien de F . Alors(&F )|K(E)+ = &E .

(4) Soit E1 et E2 deux A-modules hilbertiens. Soit S & K(E1, E2). Alors&E2(SS!) = &E1(S!S).

Demonstration(1) Soit $& une telle trace. Pour tous #, ', (",# est combinaison lineaire des

("+ik#,"+ik#, k & {0, 1, 2, 3}. En particulier, soit #, ' & E tels que "#, ##, "', '# & K(A).D’apres le lemme qui precede, ( k & {0, 1, 2, 3}, "# + ik', # + ik'# & K(A), etdonc (",# & m& . De plus, d’apres le lemme precedent egalement, les sommes finies



de tels operateurs (",# forment un ideal bilatere I dense. Donc ($& )# est finie etentierement determinee sur I et donc a fortiori sur K(K(E)). D’ou l’unicite. Ona deja construit une trace tmE qui verifie la formule souhaitee. Montrons que laregularisee sci $& de cette trace convient. Soit T & K(E)+ de rang fini. Comme$& (T ) = lim%$" &m

E (x1/2u%x1/2) ou (u%)%$" est l’unite approchee de K(E) formedes operateurs positifs de norme " 1 dans K(K(E)), il su"t de montrer que si(Tn)n$N est une suite d’operateurs telle que limn%+& Tn = T , avec T de rang fini et(n & N, Tn " T , alors lim inf &m

E (Tn) = &mE (T ). Soit S & K(Am, E) tel que T = SS!

et soit (Tn)n$N une telle suite. D’apres la demonstration de la proposition 1.3.8, ilexiste un

i & K(E, Am), i = 1, 2 tels que

un1 (un

1 )! + un2 (un

2 )! = S!S, (un1 )!(un

1 ) = Tn et (un2 )!(un

2 ) = SS! - Tn.

Donc limn%+& un2 = 0. Puisque &m

Am est sci, &mE (Tn) = &m

Am(un1 (un

1 )!) tend vers&mAm(S!S) = &m

E (SS!).(2) C’est vrai pour les sommes finies et comme &E est sci,

&E(T ) = supN$N

0

0!n!N

&("#n, #n#).

(3) En e#et, ces deux traces sci sont finies et coıncident sur l’ideal bilatere densede K(E) engendre par

{(",# | #, ' & E, "#, ##, "', '# & K(A)+}

et donc sur K(A)+.(4) Il su"t d’appliquer deux fois le resultat precedent avec F = E1 + E2.

Remarque. — soit " : A ! B un morphisme entre deux C!-algebres, &B une tracedensement definie sci sur B et &A la trace induite sur A. Soit $" : K(E) ! K(E 2!B)le morphisme induit par ". Alors (&B)E(!B ' $" = (&A)E par unicite.

Lemme 1.3.19

(1) Soit & une trace densement definie sur une C!-algebre A, E, F deux A-moduleshilbertiens, alors !&m

E'F |K(E)= 2&m

E .(2) 2&E = ($& )E .

Demonstration(1) Comme

(x & K(E + F )+, !&mE'F (x) = lim inf

y$K(E'F ),y%x,y!x&mE'F (y),

cela resulte immediatement du fait que si x & K(E)+, et y & K(E + F )+, sont telsque y " x, alors y & K(E)+.

(2) Appliquons l’assertion precedente avec F = A. Il resulte que 2&E est une tracedensement definie sci sur K(E), telle qu’il existe un prolongement a K(E + A), dontla restriction a A est $& , donc cette trace est egale a ($& )E .


1.4. ACCOUPLEMENT 19

1.4. Accouplement entre les operateurs A-Fredholm et les traces dense-ment definies sur A

Soit E1 et E2 deux A-modules hilbertiens, D & L(E1, E2). On dira que l’operateurD est A-Fredholm s’il existe Q & L(E2, E1) tel que QD - 1 & K(E1) et DQ - 1 &K(E2). Un operateur A-Fredholm definit canoniquement un element [D] & K0(A).Dans ce paragraphe, nous donnons une formule permettant de calculer l’accouplementde [D] avec les traces densement definies sur A. Enfin, nous faisons le lien avec latheorie de l’indice de Breuer.

Lemme 1.4.1. — Soit B une algebre de Banach unitale, I un ideal a droite (resp. agauche, resp. bilatere) ferme, J un ideal a droite de B (resp. a gauche, resp. bilatere)dense dans I. Si T & B possede un inverse modulo I a droite (resp. a gauche, resp.des deux cotes), alors il possede un inverse modulo J a droite (resp. a gauche, resp.des deux cotes). Supposons de plus que B est gradue, que I et J sont stables pargraduation et que T est pair (resp. impair). Alors on peut choisir un tel inverse pair(resp. impair).

Demonstration. — Soit Q un inverse a droite (resp. a gauche) modulo I. Soit S =1 - DQ & I (resp. 1 - QD & I) et S0 & J tel que %S - S0% " 1/2. Soit

Q# = Q(1 - (S - S0))"1 (resp. Q# = (1 - (S - S0))"1Q).

Alors

DQ#-1 = (1-S)(1- (S-S0))"1 -1 (resp. Q#D-1 = (1- (S-S0))"1(1-S)-1)

est dans J . Si I et J sont des ideaux bilateres et si T est inversible des deux cotesmodulo I, d’apres ce qui precede, il est inversible modulo J a gauche et a droite et doncinversible. Supposons de plus que B est gradue, que I et J sont stables par graduationet que T est pair (resp. impair). Soit % l’automorphisme associe a la graduation et soitQ l’inverse trouve precedemment. Alors 1/2(Q+%(Q)) (resp. 1/2(Q-%(Q))) convient.

Soit D & L(E1.E2) un operateur A-Fredholm. On peut decrire [D] de la faconsuivante. Soit Q un quasi-inverse de D, soit S1 = 1 - DQ, S2 = 1 - QD et

p =,

1 - S21 (S1 + S2

1)DS2Q S2

2

-.

Alors on a [D] = )E1'E2([p]) ou [p] est la classe de p dans K0(K(E1 +E2)) , K0(A).Soit & une trace densement definie sci sur A. Soit & # une trace sur K(E1 + E2)

telle que pour tout # & E1 +E2, & #((",") = &("#, ##). On note egalement & # l’extensionlineaire de & # a m& ".

Proposition 1.4.2. — Il existe Q & L(E2, E1) tel que S1 = 1E2 - DQ & m& " etS2 = 1E1 - QD & m& " et pour tout tel Q, on a :

&!([D]) = & #(S2) - & #(S1).



Demonstration. — Appliquons le lemme precedent a B = L(E1 + E2), I = K(E1 +E2), J = m& " , et a l’element ( 0 D!

D 0 ) & L(E1+E2) (m& " est bien stable par graduationpuisque l’automorphisme associe est interieur). Il s’ensuit qu’il existe Q = ( 0 Q2

Q1 0 ) &L(E1 + E2) tels que 1 - TQ, 1 - QT & m& " . Comme 1 - DQ!

1, 1 - Q2D & m& " ,Q2-Q!

1 = (Q2D-1)Q!1+Q2(1-DQ!

1) & m& " . Donc Q2 convient. La seconde assertionresulte du lemme 1.1.1 applique a A = L(E1 + E2), J , et de la proposition 1.3.6.

Proposition 1.4.3. — Soit X = Sp(D!D) / {0}. Soit f & C(X) nulle au voisinagedu spectre de q(D!D) (ou q : L(E1) ! L(E1)/K(E1)). Alors f(D!D) & m& " etf(DD!) & m& " . Si de plus f(0) = 1, on a :

"[D], &# = & #(f(D!D)) - & #(f(DD!))(1)

Demonstration. — Soit f & C(X)+ nulle au voisinage du spectre de Z ou Z =Sp(q(D!D)). Soit g & C(X)+ egale a 1 sur le support de f et nulle au voisinagede Z. Alors f(D!D) = f(D!D)g(D!D), f(DD!) = f(DD!)g(DD!), g(D!D) &K(E1), g(DD!) & K(E2). Donc f(D!D), f(DD!) & K(K(E1 + E2)) et a fortiorif(D!D), f(DD!) & m& " . Par linearite en f , c’est vrai egalement pour toute fonctionf & C(X) nulle au voisinage de Z.

Montrons que si f & C(X) est telle que f est nulle au voisinage de Z et f(0) = 0,alors

& #(f(D!D)) = & #(f(DD!))·(2)

A nouveau par linearite, il su"t de considerer le cas ou f est positive. Soit Y ={t & R | t2 & X}. Alors Sp

**0 D!

D 0

++, Y . Soit g & C(Y ) la fonction impaire

telle que ( t & Y, (g(t))2 = f(t2) et S & K(E1, E2) tel que*

0 S!

S 0

+= g

**0 D!

D 0

++.

Alors*g*

0 D!

D 0

++2 = f**

D!D 00 DD!

++donc S!S = f(D!D) et SS! = f(DD!) d’ou la

formule (2).Pour demontrer la formule (1), il su"t donc de supposer que f est egale a 1 au

voisinage de 0. Soit g une fonction continue sur Sp(D!D) / {0} telle que 1 - xg = f .Posons Q = D!g(DD!) = g(D!D)D! & L(E2, E1). On a 1 - DQ = f(DD!) et1 - QD = f(D!D). La formule resulte alors de la proposition precedente.

Soit A une algebre de Von Neumann et t : A+ ! [0, +$] une trace normalesemifinie sur A. Appelons mf l’ideal engendre par les projections de A de trace finie.Il coıncide avec l’ensemble des elements x de A tels qu’il existe une projection de tracefinie E telle que x = Ex. Evidemment, mf , mt.

Lemme 1.4.4. — mf = mt (l’adherence designe l’adherence normique).

Demonstration. — Soit x & m+& . Pour tout % > 0, soit p' le projecteur spectral sur

[%, +$] ) Sp(x). Alors p' " x/%. Donc p' & mf . Or x = lim'%0 p'x, d’ou x & mf . Leresultat decoule alors du fait que mt est engendre en tant qu’espace vectoriel par sapartie positive.


1.4. ACCOUPLEMENT 21

Soit T & A. On designera par KerT aussi bien son noyau que la projection orthogo-nale sur son noyau qui appartient a A. Rappelons que les elements de mf sont appelesdans [Br] operateurs compacts generalises, et les operateurs inversibles modulo mf

sont appeles operateurs Fredholm generalises. Soit q : A ! A/mf .

Lemme 1.4.5. — Soit T & A un operateur Fredholm generalise, alors Ker(T ),Ker(T !) & mf .

Demonstration. — Soit % > 0 tel que Sp(q(T !T )) , [%, +$[. Soit f & C(Sp(T !T ) /{0})+ telle que f(0) = 1 et ( t ! %, f(t) = 0. Alors f(T !T ) & mf et Ker(T ) " f(T !T ).Donc Ker(T ) & mf et comme Ker(T ) est une projection, Ker(T ) & K(mf ) , mf .Quitte a changer T en T !, on a egalement Ker(T !) & mf .

Definition 1.4.6. — Soit T & A un operateur Fredholm generalise. On definit sonindice de Breuer :

I(T ) = t(Ker(T )) - t(Ker(T !)).

Soit A = mf . La restriction de t a A est densement definie et sci. A tout operateurT Fredholm au sens de Breuer, correspond un element [T ] & K0(mf ).

Proposition 1.4.7. — Soit T un operateur Fredholm generalise. On a :

I(T ) = "[T ], t#.

Demonstration. — Considerons T comme operant sur le C!-module A et appli-quons la proposition 1.4.3. Soit X = Sp(T !T ) / {0} \ Sp(q(T !T )). L’applicationqui a f & CC(X) associe t(f(T !T )) (resp. t(f(TT !))) est a valeur dans R+ et de-finit une mesure de Radon µ+ (resp. µ") sur X et comme la trace est normale,µ+(f) = t(f(T !T )) et µ"(f) = t(f(TT !)), pour toute fonction borelienne positivebornee sur X . La proposition 1.4.3 dit que pour toute fonction f & CC(X) egale a1 en 0, µ+(f) - µ"(f) = "[T ], t#. La formule est donc encore valable avec f = *0 lafonction caracteristique de {0}. D’ou le resultat.


CHAPITRE 2

!-TRACE

Dans ce chapitre, nous definissons la notion de !-trace dans le cadre des moduleshilbertiens equivariants et nous etudions ses proprietes. En particulier, nous donnonsune condition necessaire et su"sante pour l’existence de la !-trace (theoreme 2.2.6).Un cas particulier est celui ou l’action de ! est propre.

2.1. Traces sur les multiplicateurs

Soit A une C!-algebre. Rappelons que K(A) designe l’ideal de Pedersen de A.Soit (u%)%$" l’unite approchee croissante de A formee des elements de norme " 1de K(A)+. Soit M(A) la C!-algebre formee des multiplicateurs de A. MunissonsM(A)+ * R+ de la topologie produit de la topologie stricte sur M(A)+ et de latopologie usuelle sur R+. Une trace sur M(A) sera dite strictement sci si son epigrapheest ferme pour cette topologie.

Proposition 2.1.1. — Soit A une C!-algebre. Soit & une trace sur A densementdefinie. Il existe une unique trace $& strictement sci sur M(A) qui coıncide avec & surK(A)+. On a (x & M(A)+,

$& (x) = supy!x,y$K(A)+

&(y)

= lim%$"

&(x1/2u%x1/2)

Demonstration. — Pour x & M(A)+, posons $& (x) = supy!x,y$K(A)+ &(y). Evidem-ment $& coıncide avec & sur K(A)+. Soit x & M(A), y & K(A)+ tels que y " x!x. Alorsd’apres la proposition 1.3.8, il existe u & M(A), tel que y = uu! et u!u " xx!. Doncu & K(A). Donc $&(xx!) ! $& (x!x) et par symetrie, il y a egalite. Soit x, y & M(A)+

et z & K(A)+ tels que z " x + y. D’apres le corollaire 1.3.9, il existe u1, u2 & M(A)tels que u!

1u1 " x, u!2u2 " y et u1u!

1 + u2u!2 = z. D’ou u1, u2 & K(A) et donc

$& (x + y) " $& (x) + $& (y). Trivialement, on a l’inegalite inverse d’ou l’egalite. Ainsi, $&

24 CHAPITRE 2. !-TRACE

est une trace. Soit x & M(A)+. Soit % > 0 et y & K(A)+, tel que &(y) + % ! $& (x). Ona lim%$" &(u1/2

% yu1/2% ) = &(y) (car ceci est vrai si & est densement definie sci sur A,

et on peut s’y ramener puisque y & K(A)+), donc

lim%$"

&(x1/2u%x1/2) = lim

%$"&(u1/2

% xu1/2% )

! &(y)

! $& (x) - %

Donc $& (x) = lim%$" &(x1/2u%x1/2). Montrons enfin qu’une trace & # sur M(A) eststrictement sci ssi (x & M(A)+, & #(x) = lim%$" & #(x1/2u%x1/2) ce qui achevera dedemontrer la proposition. La condition est necessaire puisque (x & M(A)+, (! & %,x1/2u%x1/2 " x et (x1/2u%x1/2)%$" converge strictement vers x. Inversement soit(xµ)µ$M une famille d’elements de M(A)+ qui converge strictement vers x & M(A)+.Soit % > 0. Soit u% & K(A)+ tel que & #(x) " & #(x1/2u%x1/2) + %. Comme (! & %,(u1/2% xµu1/2

% )µ$M converge normiquement vers u1/2% xu1/2

% qui est dans K(A)+, on a :

lim infµ$M

& #(u1/2% xµu1/2

% ) ! & #(u1/2% xu1/2

% )

! & #(x) - %

Donc lim infµ$M & #(xµ) ! & #(x). D’ou l’assertion.

Soit E un C!-module. On identifie L(E) a M(K(E)) et on le munit de la topologiestricte via cet isomorphisme. On pourra ainsi parler de trace strictement sci pourtoute sous-C!-algebre de L(E) strictement fermee.

Corollaire 2.1. — Soit & une trace densement definie sci sur une C!-algebre A.

(1) Il existe un unique prolongement strictement continu a M(A). On le noteraegalement & .

(2) Soit E un A-module hilbertien. Il existe une unique trace strictement continuesur L(E) qu’on notera &E telle que ( # & E, &E((",") = &("#, ##).

Demonstration(1) La proposition precedente implique l’unicite et, combinee a la formule de la

demonstration du corollaire 1.3.16, l’existence.(2) Cela resulte directement de l’assertion precedente, de la proposition 1.3.18 et

de cette meme formule.

Remarque. — Etant donnee une trace sci & sur une C!-algebre A non necessaire-ment densement definie et E un A-module hilbertien, on notera plus generalement &E

la trace strictement sci sur L(E) obtenue en composant la trace (&|m")E(Am" avec le

morphisme strictement continu L(E) ! L(E 2A m& ).

Nous utiliserons plus loin la generalisation du theoreme de Fubini qui suit :


2.2. NOTION DE !-TRACE 25

Lemme 2.1.2. — Soit A une C!-algebre possedant un element strictement positif, &une trace densement definie sci sur A, E un A-module hilbertien denombrablementengendre. Soit X un espace localement compact denombrable a l’infini muni d’unemesure de Radon positive µ et T : X ! L(E)+ une application strictement continuetelle que

!T (x)dµ(x) est strictement convergente. Alors

&E

& 3T (x)dµ(x)

'=

3&E(T (x))dµ(x).

Demonstration. — Quitte a remplacer A par K(E), on peut supposer que E = A etque & est une trace strictement sci sur M(A), densement definie sur A. Soit u & m+

&

tel que u " 1 et soit K un compact de X . Comme &(u1/2 · u1/2) est normiquementcontinue sur M(A)+ et comme x ! u1/2T (x)u1/2 est normiquement continue, on a

3

K&(uT (x)u)dµ(x) =

3

K&*u1/2(u1/2T (x)u1/2)u1/2

+dµ(x)

= &&u1/2

&3

Ku1/2T (x)u1/2dµ(x)

'u1/2

'

= && 3

KuT (x)udµ(x)

'

Soit h > 0 dans A+. Soit (fn)n$N une suite croissante dans CC(Sp(h) \ {0})+telle que (n & N, ( t ! 1/n, fn(t) = 1. Soit (n & N, un = fn(h). Alors (un)n$N

forme une unite approchee pour A dans m+& . Soit Kn une suite de compacts de

X telle que /n$NKn = X . Comme la suite (un)n$N tend strictement vers 1, ona (x & X , limn%+& &(unT (x)un) = &(T (x)) (la convergence est normique) etlimm%+&,n%+&

!Km

unT (x)undµ(x) =!

T (x)dµ(x) (ou la limite est stricte). Donc :

&& 3

T (x)dµ(x)'

= sup(m,n)$N2

&& 3

Km

unT (x)undµ(x)'

= sup(m,n)$N2

3

Km

&*unT (x)un

+dµ(x)

=3

X&(T (x))dµ(x)

2.2. Notion de !-trace

Soit A une !-algebre munie d’une trace & densement definie sci !-invariante.Soit E un A-module hilbertien equivariant, ce qui signifie que ( #, ' & E, ( + & !,

"+#, +'# = +("#, '#). On notera (T & L(E), et ( + & !, T( = +T+"1 & L(E) eton considerera L(E) comme muni de l’action de ! definie par ( + & !, T & L(E),+ · T = T( .

Lemme 2.2.1. — &E est !-invariante.



Demonstration. — Soit # & E, + & !.

&E(+.("," · +"1) = &E(((·",(·")

= &("+ · #, + · ##)= &(+ · "#, ##)= &("#, ##)= &E((",")

Donc les deux traces strictement sci &E et &E(+ · +"1) coıncide sur K(K(E))+ doncsont egales.

Rappelons egalement que {T & L(E) | ( + & !, +T+"1 = T } est une sous-C!-algebre de L(E) qu’on notera L(E)!. En e#et, soit S & L(E)!, ', # & E, on a :

"', +S!+"1## = +("+"1', S!+"1##)= +("S+"1', +"1##)= +("+"1S', +"1##)= "S', ##= "', S!##

Theoreme 2.2.2. — Soit h & L(E)+ tel que#($!(h()

2 converge strictement vers 1.Alors l’application qui a T & (L(E)!)+ associe &E(hTh) est une trace strictement scisur L(E)!. Celle-ci est independante du choix d’un tel operateur h & L(E) et seranotee &!E .

Demonstration. — Soit h, k & L(E)+ tel que#($!(h()

2 et#($!(k()

2 convergentstrictement vers 1. Soit S & L(E)!. On a :

&E(kS!Sk) = &E

&kS!

& 0

($!h2(

'Sk

'

=0

($!&E

*(kS!h()(h(Sk)

+

=0

($!&E

*(h(Sk)(kS!h()

+

=0

($!&E

*+"1h(Sk2S!h(+

+

=0

($!&E

*hSk2

(#1S!h+

= &E

&hS

& 0

($!k2(#1

'S!h

'

= &E(hSS!h)



En prenant h = k, on en deduit que &!E est bien une trace et elle ne depend pas duchoix d’un tel h. Il est evident qu’elle est strictement sci puisque &E l’est. D’ou leresultat.

Remarques

(1) Evidemment, il n’existe pas toujours de tels h & L(E)+. En particulier, il n’enexiste jamais si l’action de ! sur E est triviale et ! est infini.

(2) Soit F un sous-A,!-module hilbertien equivariant orthocomplemente de E etpF le projecteur orthogonal sur F , et soit h & L(E)+ tel que

#($! h2

( convergestrictement vers 1, alors la restriction a F de hF = (pF h2pF )1/2 possede les memesproprietes pour F .

On munit L2(!) 2 A d’une structure V de A,!-module hilbertien equivariant enposant ( # & L2(!)2A, ( +0, ( + & !, V (+0)(#)(+) = +0(#(++0)). On notera V N(!, A)le commutant de V (!), i.e. L(L2(!) 2 A)!. Notons ( + & !, ,( & L2(!) la fonctioncaracteristique de + et soit h le projecteur orthogonal sur C,e 2 A. Evidemment,#($! h2

( converge strictement vers 1. On notera simplement & 2 &! la trace &!L2(!)(A.On a une representation covariante canonique de A,! dans V N(!, A) notee !A

! telleque ( # & L2(!)2A, ( +0, + & !, ( a & A, !A

! (+0)(#)(+) = #(+"10 +) et !A

! (a)(#)(+) =+"1(a)#(+). Celle-ci induit un morphisme injectif note egalement !A

! de A "r ! dansV N(!, A). On identifiera par !A

! , A "r ! et son image dans V N(!, A). Notons quepar definition, (x & CC(!, A) ) (A "r !)+, on a (& 2 &!)(x) = &(x(e)) et donc larestriction a A "r ! de & 2 &! qu’on notera egalement & 2 &! est densement definie,et comme la topologie normique est plus fine que la topologie stricte, cette trace estsci.

Proposition 2.2.3. — Soit B une sous-C!-algebre de V N(!, A) qui agit de faconnon degeneree, E un B-module hilbertien denombrablement engendre et soit F =E2%A

!(L2(!)2 $A) muni de sa structure de A,!-module hilbertien equivariant. Alors :

(1) Il existe h & L(F )+ tel que#($! h2

( converge strictement vers 1.(2) On suppose que & 2 &! est densement definie sur B. On a alors :

(T & L(E)+, (& 2 &!)E(T ) = &!F (T 2%A!

1).

Demonstration(1) Supposons d’abord que E = H 2 B de sorte que F = H 2 L2(!) 2 A. Il su"t

de prendre pour h le projecteur orthogonal sur H 2 C,e 2 A.Passons au cas general. D’apres le theoreme de stabilisation de Kasparov, on a un

isomorphisme E+H2B 3 H2B d’ou F + (H2L2(!)2A) 3 H2L2(!)2A en tantque A,!-module hilbertien equivariant. D’apres la derniere remarque qui precede, ilexiste donc bien un tel h.

(2) Soit alors E# = E + B et F # = E# 2B (L2(!) 2 A). La trace &!F est restrictiona L(F )! d’une trace strictement sci sur L(F #)! dont la restriction a V N(!, A) est



& 2 &!. Or " : L(E#) ! L(F #)! est strictement sci. Donc &!F ' "L(E) est restriction aL(E) d’une trace strictement sci sur L(E#) dont la restriction a B est & 2 &!, doncest egale (& 2 &!)E . D’ou le resultat.

Nous allons maintenant donner une reciproque a la proposition qui precede. Com-mencons par un lemme elementaire :

Lemme 2.2.4. — Soit B une C!-algebre. Soit % un ensemble filtre par une relationd’ordre, (x%)%$" une famille croissante d’elements de M(B)+ telle que ( b & B,(b!x%b)%$" converge dans B. Alors (x%)%$" converge strictement dans M(B).

Demonstration. — Pour ! & %, posons y% = (x%)1/2 & M(B). Alors ( b & B, lafamille (y%b)%$" est bornee puisque (! & %, %y%b%2 = %b!x%b%. Par le theoreme deBanach-Steinhaus, la famille (y%)%$" est bornee et donc la famille (x%)%$" egalement.Enfin, ( b & B, et pour tous !1 " !2 & %, on a

%(x%2 - x%1)b%2 = %b!(x%2 - x%1 )2b%

"&sup%$"

%x%%'%b!(x%2 - x%1)b%

D’ou le resultat.

Decrivons maintenant V N(!, A). En identifiant ( + & !, C,( 2A avec A, on consi-derera ( + & !, le projecteur orthogonal de L2(!)2A sur C,( 2A egalement commeun element de L(L2(!) 2 A, A).

Proposition 2.2.5

(1) Soit T & V N(!, A). On lui associe l’unique fonction f : ! ! M(A) definiepar ( + & !, ( a & A, f(+)(a) = +(P((T (,e 2 +"1(a)))). On a : ( #, ' & CC(!, A) ,L2(!) 2 A,

"#, T '# =0

(1$!,(2$!(#(+1))!+"1

1 (f(+1+"12 ))'(+2)(3)

Les sommes#($! +"1(f(+)!f(+)) et

#($! f(+)f(+)! sont strictement convergentes

dans M(A) et ( #, ' & CC(!, A) , L2(!) 2 A, l’inegalite suivante est verifiee :111

0

(1$!,(2$!(#(+1))!+"1

1 (f(+1+"12 ))'(+2)

111 " M%#%%'%(4)

avec M = %T %.(2) Reciproquement soit f : ! ! M(A) et M > 0 tels que ( #, ' & CC(!, A) ,

L2(!) 2 A, l’inegalite 4 est verifiee et tels que les sommes#($! +"1(f(+)!f(+)) et#

($! f(+)f(+)! sont strictement convergentes dans M(A). Alors il existe un uniqueoperateur T & V N(!, A) de norme " M tel que ( #, ' & CC(!, A) , L2(!) 2 A,l’egalite (3) est verifiee.

On dira dans ce cas que f & V N(!, A) en identifiant f a T . En particulier, si Aest un sous-espace de V N(!, A), on dira que f & A ssi T & A.



Demonstration(1) Montrons d’abord que f est bien definie a savoir que ( + & !, f(+) & M(A).

Or, ( + & !, a, b & A, on a :

",( 2 b, T !(,e 2 a)# = "V "1( V(TV "1

( (,e 2 +(b)), V "1( V((,e 2 a)#

= +"1"T (,e 2 +(b)), ,(#1 2 +(a)#= +"1

*+(a)!P"1

( (T (,e 2 +(b)))+!

= (f(+"1)b)!a

Donc si on note g la fonction associee de la meme facon a T !, on a ( + & !, ( a, b & A,

b!+"1*g(+)(+(a))

+= ",( 2 b, T !(,e 2 a)#= (f(+"1)b)!a

et donc f(+"1) & M(A) est d’adjoint +"1(g(+)).Le fait que ( #, ' & CC(!, A) l’inegalite (4) est verifiee avec M = %T %, resulte

trivialement de l’egalite (3).Par ailleurs, on a ( + & !, a, b & A, ",( 2 b, T (,e 2 a)# = b!+"1(f(+))a.Donc ( a & A, T (,e 2 a) =

#($! ,( 2 +"1(f(+))a & L2(!) 2 A, et

T !(,e 2 a) =0

($!,( 2 f(+"1)!a & L2(!) 2 A.

Le resultat decoule alors du lemme elementaire qui precede.(2) Supposons reciproquement la seconde assertion verifiee. Il existe un unique

operateur A,!-lineaire T de CC(!, A) dans L2(!, A) tel que

( a & A, T (,e 2 a) =0

($!,( 2 +"1(f(+))a.

Par l’inegalite de Cauchy-Schwarz, cet operateur est de norme inferieure ou egale aM , donc s’etend en un operateur A,!-equivariant de norme inferieure ou egale a 1de L2(!, A) dans lui-meme, note encore T . De meme, il existe un unique operateurA,!-lineaire T ! de CC(!, A) dans L2(!, A) tel que

( a & A, T !(,e 2 a) =0

($!,( 2 f(+"1)!a.

Il est immediat que cet operateur est inclus dans l’adjoint de T . Donc

T & L(L2(!) 2 A)!.

Remarque. — Soit A une !-algebre triviale et soit pour + & !, f(+) & A+ tel que

( + & !, %f(+)% " 1, et ( + .= +#, f(+)f(+#) = 0.



Alors ( ' & CC(!, A), pour toute partie finie F de !, on a :0

($F

& 0

(1$!f(+1)'(+"1

1 +)'!& 0

(1$!f(+1)'(+"1

1 +)'

=0

($F

'(+"11 +)!

& 0

(1$!f(+1)!f(+1)'(+"1

1 +)'

" "', '#

Donc l’inegalite 4 est verifiee avec M = 1. En revanche, il est aise de construire descas ou

#($! f(+)f(+)! n’est pas strictement convergente.

Theoreme 2.2.6. — Soit F un A,!-module hilbertien equivariant. S’il existe h &L(F )+ tel que

#($! h2

( converge strictement vers 1, alors il existe un V N(!, A)-module hilbertien E tel que F 3 E2%A

!(L2(!)2A) en tant que A,!-module hilbertien.

Les assertions suivantes sont equivalentes :(1) Il existe h & L(F )+ tel que

#($! h2

( converge strictement vers 1 et hF estdenombrablement engendre.

(2) Il existe un V N(!, A)-module hilbertien denombrablement engendre E tel queF 3 E 2%A

!(L2(!) 2 A) en tant que A,!-module hilbertien.

(3) En tant que A,!-module hilbertien, F est isomorphe a un facteur direct deH 2 L2(!) 2 A ou H est un espace de Hilbert separable.

Pour demontrer le theoreme, nous aurons besoin de quelques resultats preliminaires.Soit F un A,!-module hilbertien equivariant, #, ' & F ; s’il n’y a pas ambiguıte, ondesignera par "#, '# la fonction de ! dans A qui a + & ! associe "#, +'#. Soit h & L(F )+

tel que#($! h+2 converge strictement vers 1.

Proposition 2.2.7. — (x, y & F , "hx, hy# & V N(!, A), "hx, hx# & V N(!, A)+ et%"hx, hx#%2 " %x%2.

Demonstration. — En fait plus generalement, pour tout A,!-module hilbertien F #

et tout x & F #, on a ( # & CC(!, A) , L2(!) 2 A :0

(1$!,(2$!(#(+1))!+"1

1 ("x, +1+"12 x#)#(+2) =

0

(1$!,(2$!(#(+1))!"+"1

1 x, +"12 x##(+2)

= "), )# & A+

ou ) =#($! +"1x#(+) & F .

Il reste donc a montrer que (x & F , "hx, hx# & V N(!, A). Posons f(+) ="hx, +hx#, + & !.

Notons que ( + & !, on a +"1"hx, +hx# = "+"1x, h(#1hx# d’ou, par l’inegalite deCauchy-Schwarz,

+"1("hx, +hx#!"hx, +hx#) " %x%2"h(#1hx, h(#1hx#= %x%2"hx, h2

(#1hx#



dont la somme est normiquement convergente. Donc#($! +"1(f(+)!f(+)) est nor-

miquement convergente.De meme, comme "+hx, hx# = +"x, h+"1hx# = "+x, h(hx#, on a

"+hx, hx#!"+hx, hx# " %x%2"h(hx, h(hx# = %x%2"hx, h2(hx#

dont la somme est normiquement convergente. Donc#($! f(+)f(+)! est normique-

ment convergente.Montrons enfin que l’inegalite 4 du lemme 2.2.5 est verifiee avec M = %x%2. Soit

# & CC(!, F ) , L2(!) 2 F . On a0

($!

4 0

("$!h(#1h((")#1#(+#),

0

("$!h(#1h((")#1#(+#)

5

=0

(1$!

0

(2$!

0

($!"h(#1

1#(+1), h2

(#1h(#12

#(+2)#

=0

(1$!

0

(2$!"h(#1

1#(+1), h(#1

2#(+2)#

D’ou il ressort d’une part que l’application lineaire T : CC(!, F ) ! L2(!) 2 F qui a# & CC(!, F ) associe

0

($!,( 2

& 0

("$!h(#1h((")#1#(+#)

'& L2(!) 2 F

verifie( # & CC(!, F ), "T #, T ## = "#, T ##.

Donc si %#% " 1 on a bien %T (#)% " 1, donc T s’etend en un operateur continu denorme 1 (et en fait un projecteur de L(L2(!) 2 F )).

Enfin, ( # & CC(!, A) , L2(!) 2 A, posons #x & CC(!, F ) , L2(!) 2 F defini par#x(+) = (+"1x)#(+). Evidemment %#x% " %x%%#% et comme

0

(1$!#(+1)!"+"1

1 hx, +"12 hx##(+2) = "#x, T (#x)#

on a 1110

(1$!#(+1)!"+"1

1 hx, +"12 hx##(+2)

111 " %x%2%#%2.

D’ou le resultat.

Definition 2.2.8. — Soit E un C-espace vectoriel, B une C!-algebre. On appelleraB-produit scalaire toute application " , # : E*E ! B telle que ( #, ', ) & E , (!, µ & C,

(1) "#, ## & B+.(2) "', ## = "#, '#!.(3) "#,!' + µ)# = !"#, '# + µ"#, )#.Si en outre A est une sous-algebre involutive de B (non necessairement fermee), et

E un A-module a droite, on dira qu’un B-produit scalaire " , # est A-sesquilineaire si( #, ' & E , ( a, b & A, on a "#a, 'b# = a!"#, '#b.



Proposition 2.2.9. — Soit E un C-espace vectoriel et " , # un B-produit scalaire.(1) L’application qui a # & E associe %"#, ##%1/2 est une seminorme sur E. Soit

E le separe-complete pour cette seminorme. Alors l’application " , # s’etend par conti-nuite en un B-produit scalaire note encore " , # : E * E ! B. Si en outre A estune sous-algebre involutive de B, E un A-module a droite tel que " , # : E * E ! Best A-sesquilineaire, alors l’action E * A ! E s’etend par continuite en une actionE *A ! E telle que " , # : E * E ! B est A-sesquilineaire.

(2) Les assertions suivantes sont equivalentes :(a) Il existe un B-module hilbertien F et une application lineaire j : E ! B

telle que ( #, ' & E, "j(#), j(')# = "#, '#.(b) Il existe un B-module hilbertien F et une application lineaire j : E ! B

telle que ( #, ' & E, "j(#), j(')# = "#, '#.(c) ( #1, . . . , #n & E, la matrice ("#i, #j#)i=1,...,n;j=1,...,n & Mn(B)+.

Demonstration(1) cf. [Sk].(2) Si (2a) est verifiee, alors l’application j est continue pour la seminorme consi-

deree donc s’etend par continuite en une application j qui verifie (2b). (2b) implique(2c) puisque (2c) est verifiee quand E est un B-module hilbertien. Donc il su"t demontrer que (2c) implique (2a). Soit " , # : (E 4 $B) 4 (E 4 $B) ! B l’application qui( #1, . . . , #n, '1, . . . , 'n & E et ( a1, . . . , an, b1, . . . , bn & $B verifie

4 n0

i=1

#i 4 ai,n0

i=1

'i 4 bi

5=

0

i=1,...,n,j=1,...,n

a!i "#i, 'j#bj .

Comme (2c) est verifiee, c’est un B-produit scalaire qui est evidemment B-sesqui-lineaire. Donc le separe-complete pour la seminorme associee est un B-module hilber-tien note E 2 B d’apres ce qui precede et l’application j : E ! E 2B qui a # associe# 4 1 verifie (2a).

Remarques

(1) Notons qu’un produit scalaire ne verifie pas toujours les conditions equiva-lentes ci-dessus. Il su"t pour obtenir un contre-exemple de considerer une applicationlineaire positive - entre deux C!-algebres A et B qui n’est pas completement posi-tive et de munir A du B-produit scalaire ", # : A * A ! B qui ( a, b & A, verifie"a, b# = -(a!b).

(2) Quand les assertions equivalentes precedentes sont verifiees, on notera E 2 Ble B-module hilbertien obtenu en separant-completant E 4 $B pour le produit scalaireconsidere dans la demonstration de la proposition.

Lemme 2.2.10. — Supposons que les assertions precedentes sont verifiees. Notons

. : E 4 $B -! E 2 B



l’application canonique. Soit " : $B ! L(F ) un morphisme unital dans un A-modulehilbertien, H un autre A-module hilbertien. Soit ( : E 4 F ! H, et M > 0 tel que( #1, . . . , #n & E, f1, . . . , fn & F , on a

111(& n0

i=1

#i 4 fi

'1112

" M111

0

i,j=1,...,n

"fi,"("#i, #j#)fj#111

4(& n0

i=1

#i 4 fi

', (

& n0

i=1

#i 4 fi

'5=

0

i,j=1,...,n

"fi,"("#i, #j#)fj#resp.

(on dit alors que ( preserve le produit scalaire)), alors il existe une unique applicationlineaire de norme " M (resp. preservant le produit scalaire) ( : (E 2 B) 2! F ! Htelle que ( f1, . . . , fn & F , ( #j

i & E, bji & $B, i = 1, . . . , nj, on ait en posant pour

j = 1, . . . , n, xj =#nj

i=1 #ji 4 bj

i ,

(& n0

j=1

.(xj) 2 fj

'=

n0

j=1

nj0

i=1

((#ji 4 "(bj

i )fj).

Demonstration. — ( f1, . . . , fn & F , ( #ji & E , bj

i & $B, i = 1, . . . , nj , en posant pourj = 1, . . . , n, xj =

#nj

i=1 #ji 4 bj

i , on a :n0

j,k=1

nj0

i=1

nk0

p=1

""(bji )fj, "#j

i , #kp #"(bk

p)#fk# =0

j,k=1,...,n

"fj , "xj , xk#fk#

=4 n0

j=1

.(xj) 2 fj,n0

j=1

.(xj) 2 fj

5

Or d’apres les hypotheses, on a111

n0

j=1

nj0

i=1

((#ji 4 "(bj

i )fj)111

2" M

111n0

j,k=1

nj0

i=1

nk0

p=1

""(bji )fj , "#j

i , #kp #"(bk

p)#fk#111

resp.4 n0

j=1

nj0

i=1

((#ji 4 "(bj

i )fj),n0

j=1

nj0

i=1

((#ji 4 "(bj

i )fj)5

=n0

j,k=1

nj0

i=1

nk0

p=1

""(bji )fj , "#j

i , #kp #"(bk

p)#fk#.

Le resultat en decoule immediatement.

Demonstration du theoreme 2.2.6. — Montrons d’abord la premiere assertion. Soit Fle sous-espace vectoriel de F engendre par les vecteurs de la forme h(#, + & !, # & F .C’est un sous-A,!-module de F et donc il est muni d’une structure canonique deCC(!, A)-module a droite. D’apres la proposition 2.2.7, l’application

" , # : F * F -! V N(!, A)



qui, ( #, ' & F , ( + & !, verifie "#, '#(+) = "#, +'# est un produit scalaire. Celui-ci estCC(!, A)-sesquilineaire. En e#et, ( #, ' & F , ( f & CC(!, A), ( + & !, on a :

"#, ' · f#(+) =4#, +

& 0

(1$!+"11 ('f(+1))

'5

=0

(1$!"#, ++"1

1 (')#++"11 (f(+1))

= "#, '#f(+)

Notons de plus que pour i = 1, . . . , n, fi & CC(!, A) , L2(!) 2 A, et #i & F , on a :0

i,j=1,...,n

fi(+)!"+"1#i, (+#)"1#j#fj(+#) = "), )# & A+

ou ) =#n

i=1

#($!(+

"1#i)fi(+). Donc ( #1, . . . , #n & F , on a

("#i, #j#)i,j=1,...,n & V N(!, A)+.

Soit E le separe-complete de F pour la seminorme qui a # & F associe %"#, ##%1/2V N(!,A)

et E 2 V N(!, A) le module hilbertien obtenu grace a la proposition 2.2.9. On a( #1, . . . , #n & F , ( f1, . . . , fn & CC(!, A) , L2(!) 2 A,

4 n0

i=1

0

($!+"1(#i)fi(+),

n0

i=1

0

($!+"1(#i)fi(+)

5

=0

i,j=1,...,n

0

(,("$!"fi(+)!"+"1(#i), (+#)"1(#j)#fj(+#)#

=0

i,j=1,...,n

"fi, "#i, #j#fj#

Donc il existe une unique application lineaire preservant le produit scalaire

( : F 4 CC(!, A) -! F

telle que ( #1, . . . , #n & F , ( f1, . . . , fn & CC(!, A),

(& n0

i=1

#i 4 fi

'=

n0

i=1

0

($!+"1(#i)fi(+).

Comme ( # & F , "#, ## & V N(!, A), celle-ci s’etend d’une unique facon en une appli-cation ( preservant le produit scalaire de F 4 (L2(!) 2 A) dans F . D’apres le lemme2.2.10, celle-ci induit une application preservant le produit scalaire de

(E 2 V N(!, A)) 2%A!

(L2(!) 2 A)

dans F . Comme celle-ci est clairement d’image dense, c’est un isomorphisme.Montrons l’equivalence. On a deja montre que 2 implique 3 implique 1. Il reste

a montrer que 1 implique 2. Il su"t de montrer que le V N(!, A)-module hilbertienE 2 V N(!, A) construit ci-dessus est denombrablement engendre quand hF l’est.



Supposons hF denombrablement engendre. Il existe alors une suite (#n)n$N d’elementsde F tel que (h#n)n$N est dense dans hF . Soit # & F . Comme

(n & N, %"h#n - h#, h#n - h##% " %#n - #%2,

et comme hF 21 est dense E2V N(!, A), la suite (h#n)n$N engendre E2V N(!, A).D’ou le resultat.

Rappelons qu’a tout T & V N(!, A) est associee une fonction f : ! ! M(A).Soit B une sous-C!-algebre de V N(!, A) contenant CC(!, A) et telle que (x & B,la fonction fx associee est a valeurs dans A et soit -(x) & A sa valeur en e. On a-(x+"1) = fx(+). On notera plus simplement ! l’application !A

! . Soit (uµ)µ$M l’uniteapprochee de A formee de ses elements positifs de norme " 1.

Proposition 2.2.11. — Soit E un B-module hilbertien, F = E 2% (L2(!) 2 A).Alors :

(1) ( # & E, la famille (# 2 (,e 2 uµ))µ$M est convergente dans F vers un elementnote !(#) & F . L’application ! : E ! F qui ( # & E associe a #, !(#) & F est lineairecontinue et injective. On a ( # & E et ( + & !, +"1!(#) = !(#+) et ( #, ' & E, on a-("#, '#) = "!(#),!(')#.

(2) L’application qui a T & L(E) associe T 2% 1 & L(F ) induit un isomorphismede L(E) sur la sous-C!-algebre de L(F )! formee des operateurs qui preservent ainsique leur adjoint !(E).

Demonstration(1) ( # & E, (µ, µ# & M ,

"# 2 ,e 2 (uµ - uµ"), # 2 ,e 2 (uµ - uµ")# = (uµ - uµ")!-("#, ##)(uµ - uµ")

D’ou la premiere assertion. Donc l’application est bien definie et evidemment lineairecontinue de norme " 1. Par ailleurs, ( #, ' & E, on a

"!(#),!(')# = limµ$M

u!µ-("#, '#)uµ

= -("#, '#)

Soit alors # & E, tel que !(#) = 0. On a

( + & !, -("#, ##+"1) = 0

donc "#, ## = 0 et finalement # = 0. Donc ! est injective. Soit # & E et + & !,

+"1!(#) = lim%$"

# 2 ,( 2 +"1(u%)

= lim%$"

#+ 2 ,e 2 +"1(u%)

= lim%$"

#+ 2 ,e 2 u%

= !(#+)



(2) On notera encore ! l’application qui a T & L(E) associe T 2% 1 & L(F ). Cetteapplication est injective puisque ! : B ! L(L2(!) 2 A) l’est. On a

( # & E, (T & L(E), !(T (#)) = !(T )(!(#)),

et ( + & !, ( a & A,

!(T )(+"1!(#)) = !(T )(!(#+))

= !(T (#+))

= !(T (#)+)

= +"1!(T (#))

= +"1(!(T )(!(#)))

Comme !(E)A est dense dans F , on a bien T & L(F )!, et donc !(L(E)) est inclusedans la sous-C!-algebre de L(F )! formee des operateurs qui preservent ainsi que leuradjoint !(E). Reciproquement, soit T un operateur de cette algebre. Posons

$T = !"1T! : E -! E, 2T ! = !"1T !! : E -! E.

Il su"t de montrer que $T admet que 2T ! comme adjoint, puisqu’alors !($T ) = T . Or( #, ' & E, ( + & !, on a :

-("', $T (#)#) = "!('),!( $T (#))#= "!('), T (!(#))#= "T !!('), (!(#))#= "!(2T !(')),!(#)#= -("2T !', ##)

et donc ( + & !,

-("', $T (#)#+) = -("', $T (#+)#)= -("2T !('), #+#)= -("2T !('), ##+)

donc "2T !('), ## = "', T (#). D’ou le resultat.

Remarque. — Soit E = L2(N) 2 C!r (!) et F = L2(N) 2 L2(!). Identifions C!

r (!) a!(C!

r (!)) , L2(!), E a !(E) , F , L2(N) 2 L2(!) a L2(N, L2(!)), et par consequentE a l’espace des suites (#n)n$N d’elements de C!

r (!) tels que#

n$N"#n, #n# converge

dans C!r (!). Soit (xn)n$N une suite d’elements de C!

r (!) telle que pour toute partiefinie F , N,

#n$F xnx!

n " M , telle que (n .= m, xnx!m = 0 et telle que

#n$N

x!nxn

ne converge pas dans C!r (!) (il est aise de construire de tels elements par exemple

pour ! = Z). Soit T & L(L2(N) 2 L2(!)) qui a0

n$N

#n & L2(N, L2(!)) 3 L2(N) 2 L2(!)


2.3. CAS PROPRE 37

associe l’elementT (#) & L2(N, L2(!)) 3 L2(N) 2 L2(!)

defini parT (#)0 =

0

n$N

x!n#n et ( k & N!, T (#)k = 0.

Soit (#n)n$N & F , alors

"T (#n), T (#n)# "0

n$N

"#n, xnx!n#n# " %(#n)n$N%2M

donc T & L(F )!. Soit (#n)n$N & E telle que#

n$Nx!

n#n converge dans C!r (!). Alors

T (E) , E. Pourtant pour # = ,0 2 ,e & E, T !(#) = (xn)n$N /& E.

Proposition 2.2.12. — Soit B une sous-C!-algebre de V N(!, A) contenant A. SoitF un A,!-module hilbertien equivariant. Les deux assertions sont equivalentes :

(1) Il existe un B-module hilbertien E tel que F 3 E 2%A!

(L2(!) 2 A).(2) Il existe un sous-A,!-module F dense de F tel que ( #, ' & F , "#, '# & B.

Demonstration(1) Montrons d’abord que la condition est necessaire. L’application de E dans F

qui a # & E associe # 2%A!

(,e 2 1) est continue et sera note !. Or ( # & E, ( + & !,( a & A, !(#a) = !(#)a et !(#+) = +"1!(#). Donc F = !(E) est un sous-A,!-moduledense. Soit #, ' & E; on a :

"!(#),!(')#(+) = "# 2 ,e 2 1, +(' 2 ,e 2 1)#= ",e 2 1, ' 2 ,(#1 2 1#= ",e 2 1, "#, '#(,(#1 2 1)#= -("#, '#+"1)

donc "!(#),!(')# = "#, '# & B et donc F convient.(2) La demonstration de la reciproque est strictement celle du theoreme precedent

en remplacant V N(!, A) par B.

Remarque. — Soit K , S1 un Cantor de mesure non nulle et soit p & L&(S1) 3V N(Z) sa fonction caracteristique. Soit F = pL2(Z). Alors ( # & F, # .= 0, on a"#, ## /& C!

r (Z).

2.3. Cas propre

Soit encore F un A,!-module hilbertien equivariant.

Definition 2.3.1. — On appellera operateur cut-o! tout element h & L(F )+ telque :

(1) Il existe une partie finie F0 , ! telle que + & !, hh( .= 0 5 + & F0.(2) La somme

#($! h2

( est strictement convergente vers 1.



Proposition 2.3.2. — Les deux assertions suivantes sont equivalentes :(1) Il existe un espace localement compact X muni d’une action de ! propre et

cocompacte et une structure de C0(X) - A,!-bimodule equivariant sur F .(2) Il existe un operateur cut-o! h & L(F )+ tel que ( + & !, hh( = h(h.

Demonstration(1) Supposons la premiere assertion verifiee. Alors (cf. [Tu]), il existe une fonction

c & CC(X)+ tel que#($! c( = 1. Il su"t alors de prendre pour h l’operateur donne

par l’action de c1/2.(2) Supposons la seconde assertion. Soit A la sous-C!-algebre de L(F ) engendree

par les h( , + & !. Elle est commutative et c’est une sous-!-algebre de L(F ). Soit X sonspectre, qui est un espace localement compact separe. Montrons qu’il est !-compactet !-propre. Soit

K = {* & X | *(h2) ! %h2%/|F0|}.C’est un compact de X . Or soit * & X . Il existe +0 & !, *(h(0) > 0. Soit + & !, telque *(h() > 0. Alors

*(h(0h() = *(h(0)*(h() > 0donc h(0h( .= 0 et donc + & +0F0. Donc

#($(0F0

*(h2() = 1. Donc il existe + & +0F0

tel que * & +"1K et donc l’espace quotient est bien compact.Soit

O = {* & X | *(h2) > (2|F0|)"1}.C’est un ouvert de sature X . Donc pour montrer que l’action est propre, il su"t demontrer Z = {+ & ! | O ) +"1O} est fini. Or pour toute partie finie de Z # , Z,1 ! #

($Z" *(h2() ! |Z #|/(2|F0|). Donc l’action est propre et cocompacte.

Soit F un A,!-module hilbertien muni d’un operateur cut-o# h & L(F )+. FixonsF0 , ! partie finie de ! telle que ( + & !, hh( .= 0 5 + & F0.

Lemme 2.3.3. — Soit P , F . Les assertions suivantes sont equivalentes :(1) 0F1 , !, |F1| < +$ tel que ( # & P , # =

#($F1

h2(#

(2) 0F1 , !, |F1| < +$ tel que ( # & P , ( + & ! \ F1, h(# = 0.

Demonstration. — Soit F1 , ! telle que |F1| < +$ et ( # & P, # =#($F1

h2(#.

Alors si + & ! et # & P , sont tels que h(# .= 0, on a

h(0

("$F1

h2("# = h(# .= 0

et donc + & F1F"10 . Donc la seconde assertion est realisee avec F1F

"10 . Supposons

inversement que la seconde assertion est verifiee avec F1, alors ( # & P,, on a

# =0

($!h2(# =

0

($F1

h2(#.

D’ou le resultat.


2.3. CAS PROPRE 39

Les vecteurs de F pour lesquels les conditions equivalentes precedentes sont verifieesavec P = {#} seront appeles a support compact (pour h) et on designera par Fl’espace de ces vecteurs. Il est evident que ( #, ' & F , "#, '# & CC(!, A) , A "r !.Mais CC(!, A) est egalement une sous-algebre dense de A " !. On a alors :

Theoreme 2.3.4. — Muni de l’action a droite de CC(!, A) associee a sa structurede sous-A,!-module, et de la forme CC(!, A)-sesquilineaire a valeurs dans CC(!, A)defini par ( #, ' & F , ( + & !,

"#, '#(+) = "#, +'#,

F est muni d’une structure de CC(!, A)-module prehilbertien, ou CC(!, A) est consi-deree comme sous-algebre involutive dense de A"!. Soit E le A"!-module hilbertienobtenu en separant-completant. L’application lineaire de F 4 CC(!) 4 A dans F qui( f & F , ( + & !, ( a & A, associe a f 4 ,( 4 a l’element (+"1(f))a induit unisomorphisme E 2%A

!(L2(!) 2 A) 3 F .

La derniere assertion du theoreme a deja ete demontree. La premiere resulte im-mediatement de la proposition qui suit.

Etant donne un A " !-module hilbertien E, on notera encore ! la composee del’application quotient de E dans Er = E 2% A "r ! et de l’application definie prece-demment et notee ! : Er ! F ou F = Er 2% (L2(!) 2 A).

Proposition 2.3.5. — Soit F un A,!-module hilbertien.(1) Munissons L2(!) de l’action par translation a droite, et F 2 L2(!) de l’action

diagonale de ! de sorte que F 2 L2(!) est egalement muni d’une structure de A,!-module hilbertien. Soit H & L(F 2 L2(!)) le projecteur orthogonal sur F 2 C,e.Alors H est un operateur cut-o! et l’espace des vecteurs a support compact pour Hest F 4 CC(!), que l’on munit de l’application CC(!, A)-sesquilineaire " , # associee.Considerons CC(!, A) comme sous-algebre involutive de A " ! et CC(!, F ) commemuni de sa structure canonique de CC(!, A)-module prehilbertien. L’application ! :CC(!, F ) ! F 4 CC(!) qui a f & CC(!, F ) associe

#($! +"1(f(+)) 4 ,( est un

isomorphisme de CC(!, A)-module qui verifie ( #, ' & CC(!, A),

"!(#),!(')# = "#, '#.

En particulier, " , # munit F4CC(!) d’une structure de CC(!, A)-module prehilbertien.(2) Soit h & L(F ) tel que

#($! h2

( = 1. Soit D : F ! F 2 L2(!) l’application quia # & F associe

#($! h(#1# 2 ,(. Alors D est un morphisme isometrique de A,!-

module hilbertien. Supposons de plus, que h est un operateur cut-o!. Soit F l’espacedes vecteurs a support compact pour h, alors D(F) , F 4CC(!). En particulier, " , #munit F d’une structure de CC(!, A)-module prehilbertien.

(3) Soit h un operateur cut-o! pour F et soit p & CC(!,L(F )) , L(F " !) ouF "! = F 2A A "! et ou p est defini par + & !, p( = hh(. Alors p est un projecteur



qui preserve le sous-CC(!, A)-module CC(!, F ) de F "!. L’application lineaire S deF dans CC(!, F ) definie par ( + & !, ( # & F ,

S(#)(+) = h+(#)

verifie !'S = D|F et induit un isomorphisme de CC(!, A)-module prehilbertien entreF et pCC(!, F ).

Demonstration(1) Rappelons que ( #, ' & CC(!, F ), ( f & CC(!, A), ( + & !, on a :

"#, '#(+) =0

(1$!+"11 ("#(+1)), '(+1+)#

'f(+) =0

(1$!'(+1)+1(f(+"1

1 +)).

Or

"!(#),!(')#(+) = "!(#), +(!('))#=

0

(1$!"!(#)(+1), (+!('))(+1)#

=0

(1$!"+"1

1 (#(+1)), +(!(')(+1+))#

=0

(1$!"+"1

1 (#(+1)), ++"1+"11 ('(+1+))#

= "#, '#(+),

!(')f =0

($!

& 0

(1$!+"11 (!(')(++"1

1 )f(+1))'2 ,(

=0

($!

& 0

(1$!+"11 (+1+

"1('(++"11 ))f(+1))

'2 ,(

=0

($!+"1

& 0

(1$!'(++"1

1 )(++"11 )(f(+1))

'2 ,(

= !('f).

(2) On a ( # & F , "D(#), D(#)# = "#,#($! h2

(#1## = "#, ##. Pour montrer que Dest un morphisme, il su"t de montrer que D possede un adjoint densement defini.Or l’application de F 4 CC(!) dans F qui a

#($! #( 4 ,( associe

#($! h(#1#( est

contenu dans l’adjoint ; d’ou l’assertion. Enfin, ( # & F, ( +0 & !,

+0D(+"10 #) =

0

($!+0h(#1+"1

0 # 2 ,((#10

=0

($!h(0(#1# 2 ,((#1

0

= D(#)


2.3. CAS PROPRE 41

Supposons que h est un operateur cut-o#. Trivialement,

D(F) , F 4 CC(!) et D!(F 4 CC(!)) , F .

Notons encore D : F ! F 4CC(!) et D! : F 4CC(!) ! F les applications induites.Comme D et (donc) D! sont !-equivariantes, on a

( # & F , ( ' & F 4 CC(!), "D!', ## = "', D##,

et donc "#, ## = "D!D#, ## = "D#, D## & (A " !)+.(3) On a ( # & F ,

!"1D# =0

($!+h(#1# 4 ,(

= S#

Soit S! = D! ' ! : CC(!, F ) ! F . On a S!S = id et ( # & F , ( ' & F 4 CC(!),"S!', ## = "', S##. Comme ( # & F 4 CC(!), S!(

#($! #( 4 U() =

#($! +"1h#( , on

a p = SS! ; d’ou le resultat.

Dans tout le reste de cette section, F designe un A,!-module hilbertien, h & L(F )+

un operateur cut-o#, E le A " !-module hilbertien associe (cf. theoreme 2.3.4), Er =E 2A!! A "r !.

Lemme 2.3.6

(1) Soit S & L(F ). Les assertions suivantes sont equivalentes :(a) SF , F .(b) 0F1 , !, |F1| < +$, (+ & !, h(S .= 0 5 + & F1).(c) 0F1 , !, |F1| < +$, S =

#($F1

h2(S.

(2) Soit T & L(F )!. Les assertions suivantes sont equivalentes :(a) T preserve F .(b) 0F1 , !, |F1| < +$, (+ & !, h(Th .= 0 5 + & F1).(c) 0F1 , !, |F1| < +$, Th =

#($F1

h2(Th.

Si les assertions precedentes sont verifiees pour T alors elles le sont pour T !. Si enoutre, Th & K(F ), alors T !h & K(F ).

Demonstration(1) L’equivalence des deux dernieres assertions est une consequence immediate du

lemme 2.3.3 applique a P = Im(S), et trivialement ces deux assertions impliquent lapremiere. Supposons qu’il existe une infinite de + & ! tel que h(S .= 0. Par recurrence,on construit pour tout n & N, #n & F , +n & ! telle que h(nS#n .= 0 et h(nS#m = 0si m < n. Quitte a changer les #n par des vecteurs proportionnels, on peut en outresupposer que

#n$N

#n est convergente vers un vecteur # & F et

(n < m, %h(nS#m% " (2)"m"1%h(nS#n%



de sorte que

(n & N,111

0

n<m

h(nS#m

111 < %h(nS#n%.

D’ou h(nS# = h(nS#n +#

n<m h(nS#m .= 0. Donc S# /& F . D’ou l’equivalence.(2) Pour l’equivalence, il su"t d’appliquer le resultat qui precede a S = Th. Soit

F1 , ! fini tel que

+ & !, h(Th .= 0 =5 + & F1.

Alors, comme

( + & !, h(T!h = ((h(#1Th)()!,

on a

+ & !, h(T!h .= 0 =5 + & F"1

1 .

Si Th & K(F ), alors

hT =0

($F1

hTh2(#1 =

0

($F1

(h(Th2)(#1 & K(F ).

Donc T !h = (hT )! & K(F ).

Definition 2.3.7. — On notera L!P (F ), l’ensemble des T & L(F )! qui verifient lesconditions equivalentes du lemme precedent et K!

P (F ) l’ensemble

{T & L!P (F ) | Th & K(F )}.

D’apres le lemme qui precede, les espaces L!P (F ) et K!P (F ) sont des sous-algebres

involutives de L(F )!.

Remarque. — Soit F un A,!-module hilbertien. On munit F2L2(!) de la structurede A,!-module hilbertien et de l’operateur cut-o# defini dans la proposition 2.3.5.Alors F possede un operateur cut-o# ssi il existe p & L!P (F 2 L2(!)) projecteur telque F 3 p(F2L2(!)). En e#et, la condition est necessaire d’apres la proposition 2.3.5.Elle est su"sante, car d’apres le lemme precedent, on a p & CC(!,L(F )). Posons alorsh = (pHp)1/2. On a ( + & !, hh( = 0 ssi h2h2

! = 0 ce qui implique + & (Supp(p))"1.

Theoreme 2.3.8

(1) Soit T & L!P (F ). Alors T|F s’etend par continuite en un element note T! &L(E). On a (T!)! = (T !)!.

(2) Soit T & K!P (F ), alors T! & K(E).

(3) T! 2% 1 3 T .(4) L’algebre !(K(E)) est l’adherence normique de K!

P (F ).


2.3. CAS PROPRE 43

Demonstration(1) Soit #, ' & F et soit + & !. Alors

"', T ##(+) = "', T (+#)# = "', +T ## = "T !', +## = "T !', ##(+).

Donc T !|F , (T|F)!, donc T|F est fermable et il su"t de demontrer que T|F qu’on

notera simplement T est borne. Soit S et S! les applications definies au cours de lademonstration de la proposition 2.3.5. Alors

STS! =0

($!hTh( 4 U( & CC(!,L(F )).

En particulier, STS! est borne donc TS! est borne puisque S est isometrique, etfinalement T = TS!S egalement.

(2) L’operateur S : F ! CC(!, F ) s’etend en un morphisme note encore S : E !F " !. Or ST!S! & CC(!,K(F )) , K(F " !) et donc T! = S!(STS!)S & K(E).

(3) Quitte a remplacer A par $A, on peut supposer que A est unitale. Soit

# & F , (T! 2% 1)(!(#)) = T (#) 2 (,e 2 1) = !(T #).

Comme !(F) est dense dans E, on a bien T! 2% 1 = T .(4) Comme !(K(E)) est fermee, elle contient d’apres ce qui precede l’adherence

de K!P (F ). Pour montrer l’inclusion inverse, il su"t de montrer que ( # & F , E, on

a !((",") & K!P (F ). Or

( # & E, (T 2% 1)(!(#)) = !(T (#)).

En particulier, soit # & F ; on a ( ' & F ,

(("," 2% 1)(h') =0

($!+"1(#"#, +h'#)

=0

($!+"1(#)"h+"1#, '#

Comme h+"1# = 0 pour tous + en dehors d’une partie finie de !, on a bien !((",")h &K(F ) et !((",") & K!

P (F ).

La proposition suivante nous sera utile dans le chapitre suivant.

Proposition 2.3.9. — Soit T & L!P (F )tel que [T, h] & K(F ). Alors en identifiant Eet p(F " !) comme dans la proposition 2.3.5, on a T! - p(T 2 1)p & K(E).

Demonstration. — D’apres le theoreme precedent, il su"t de montrer que

T|F - S!(T * 1)S

est la restriction a F d’un element de K!P (F ) ou

T * 1 : CC(!, F ) -! CC(!, F )



est defini par

( # & CC(!, F ), ( + & !, (T * 1)(#)(+) = T (#(+)).

Or cela resulte immediatement du calcul suivant :

(T|F - S!(T * 1)S)h =& 0

($!Th2

(#1 -0

($!h(#1Th(#1

'h

=0

($![h(#1 , T ]h(#1h

Lemme 2.3.10. — Soit S & L(F ). Les assertions suivantes sont equivalentes :(1) SF / S!F , F .(2) Il existe F1 , ! telle que

|F1| < +$,

+ & !, h(S .= 0 =5 + & F1,

+ & !, Sh( .= 0 =5 + & F1.

(3) Il existe F1 , ! telle que

|F1| < +$,

S =0

($F1

h2(S = S

0

($F1

h2( .

Pour F1 , !, partie finie de !, on notera LF1(F ) la sous-C!-algebre de L(F ) for-mee des operateurs pour lesquels la troisieme assertion est verifiee avec F1 et LC(F )l’union quand F1 decrit les parties finies de ! des LF1(F ). C’est une sous-algebreinvolutive de L(F ); on appellera ses elements les operateurs a support compact. SiT & L!P (F ), S & LC(F ), alors TS, ST & LC(F ).

Demonstration. — Pour l’equivalence, il su"t d’appliquer le lemme 2.3.6 a S et S!.Le reste est trivial.

Proposition 2.3.11

(1) Pour tout T & LC(F ),#($! T( converge strictement vers un opera-

teur M!(T ) & L!P (F ). Si de plus T & K(F ), alors M!(T ) & K!P (F ). Soit

T1, T3 & L!P (F ), T2 & LC(F ), alors M!(T1T2T3) = T1M!(T2)T3. En particulier,M! : LC(F ) ! L!P (F ) (resp. M! : LC(F ) ) K(F ) ! K!

P (F )) est surjective.(2) Pour toute partie finie F1 de !, la restriction a LF1 (F ) de M! est continue par

rapport aux normes d’operateurs.(3) Soit T & m&F ) LC(F ), alors

M!(T ) & m&!F

et (&!F )#(M!(T )) = & #F (T ).

(4) Soit T & L!P (F ). Alors T & m&!F

ssi Th & m&F . Si T & m&!F

alors

!(T!) & m(&(&!)Eret ((& 2 &!)Er )

#(!(T!)) = (&!F )#(T ).


2.3. CAS PROPRE 45

Demonstration. — Soit F1 , !, |F1| < +$. Posons c = (#($F1

h2()1/2. Alors pour

toute partie finie F2 de !, 0

($F2

c2( "

0

($!c2( = |F1|.

Donc TF1 : F ! F 2 L2(!) qui a # & F associe#($! c(# 2 ,( s’etend en un

operateur continu de norme " |F1|1/2 de F dans F 2 L2(!) qui est limite forte desoperateurs T F2

F1: F ! F 2 L2(!) qui a # & F associe

#($F2

c(# 2 ,( . De plusTF1 & L(F, F 2 L2(!)) puisque son adjoint contient l’operateur densement defini quia f & CC(!, F ) , F 2 L2(!) associe

#($! c(f(+). Soit T & LF1(F ). Soit $T &

L(F 2L2(!)) qui a f & F 2L2(!), associe#($! T(f(+)2 ,( . Alors pour toute partie

finie F2 de !, 0

($F2

T( = T !F1

$TT F2F1

.

Donc#($! T! converge fortement vers T !

F1$TTF1 qui est de norme " %T %|F1|. Comme

T(h = 0 pour presque tout + & !, on a M!(T ) & L!P (F ) et si T & K(E), M!(T ) &K!

P (F ).Soit T1, T2 & L!P (F ), alors

( + & !, (T1TT2)( = T1(T )(T2.

DoncM!(T1TT2) = T1M!(T )T2.

En particulier, comme M!(h2) = 1, pour tout T1 & L!P (F ), M!(T1h2) = T1 et siT1 & K!

P (F ), T1h2 & K(E).Soit T & m&E ) LC(E). Ecrivons

T = T1 - T2 + iT3 - iT4

ouT1 = Re(T )+, T2 = Re(T )", T3 = Im(T )+, T4 = Im(T )".

Comme T est a support compact, Re(T ) et Im(T ) egalement et donc T1, T2, T3, T4

egalement. Donc on peut supposer que T est positif. Calculons alors (les sommes sontfinies)

&!F (M!(T )) = &F

&h& 0

($!+T+"1

'h'

= &F

& 0

($!h(#1Th(#1

'

= & #F

& 0

($!Th2

(#1

'

= &F (T )



Soit T & L!P (F ). Par definition, T & n&!F

ssi Th & n&F . Si T & m&!F, il existe

U1, . . . , Un, V1, . . . , Vn & n&!F, tel que T =

#ni=1 U!

i Vi. De plus il existe une partie finieF1 de !, telle que Th =

#($! h2

!Th. Donc

Th =n0

i=1

&Ui

& 0

($F1

h2(

''!Vih & m&F .

Reciproquement, soit T & L!P (F ) tel que Th & m&F . Alors Th2 est a support compact,et T = M!(Th2) & m&!

Fd’apres ce qui precede et d’apres la proposition 2.2.3,

((& 2 &!)Er )#(!(T!)) = (&!F )#(T ).

Supposons que A est une C!-algebre munie de l’action triviale de !. Notons sim-plement

% : A 2max C!max(!) -! A

le morphisme idA 2%!.

Proposition 2.3.12. — Soit T & L!P (F ) ) m&!F. Alors T 2' 1 & m&E$#A .

Demonstration. — Munissons F2L2(!) de l’action par translation a droite sur L2(!).Soit H le projecteur sur F 2 C,e qui est un operateur cut-o#. Soit

D : F -! F 2 L2(!)

le morphisme equivariant propre qui a # & F associe#($! h(#1#. On verifie que

DTD! & CC(!,L(F )) , L(F 2 L2(!)) et que DTD! =#($! +"1h(Th 2 U( , ou

la somme est finie. Alors T 2' 1 =#($! h(#1Th en identifiant (F 2 L2(!))! 2' A

et F par l’application induite par celle qui a # =#($! #(+) 4 ,( & F 4 CC(!)

associe#($! +(#(+)). Soit U1, . . . , Un, V1, . . . , Vn & n&!

F, tels que T =

#UiVi.

Alors0

($!h(#1Th =

0

($!

n0

i=1

+"1h(UiVih & m&F ,

puisque les sommes sont finies. D’ou le resultat.


CHAPITRE 3

UNE GENERALISATION EN K-THEORIEDU THEOREME D’INDICE L2 D’ATIYAH

Soit 2M un revetement galoisien de groupe ! d’une variete compacte M . Le theoremed’indice L2 d’Atiyah ([A]) a"rme que le !-indice d’un operateur di#erentiel elliptique!-equivariant sur 2M est egal a l’indice de l’operateur di#erentiel elliptique associesur la base. Dans ce chapitre, nous demontrons une generalisation abstraite de cetheoreme en K-theorie. Le !-indice d’Atiyah s’identifie en e#et a l’accouplement entre&! et l’element de K0(C!(!)) associe a l’operateur elliptique par l’application deBaum-Connes. Un theoreme abstrait (cf. [H]) a"rme que (%!)! et (&!)! coıncident surl’image de l’application de Baum-Connes dans K0(C!(!)), pour tout groupe discretsans torsion. Nous montrons en fait que l’on obtient un theoreme plus general avecdes coe"cients dans une C!-algebre munie d’une trace densement definie sci ; enparticulier, on obtient des theoremes d’indice L2 « en famille ».

3.1. La conjecture de Baum-Connes

Apres avoir fait quelques rappels rappels succincts sur KKG(A, B) et sur la conjec-ture de Baum-Connes, nous montrons que dans le cas d’un groupe discret sans torsion,les groupes de K-theorie topologique et geometrique coıncident.

3.1.1. Rappels concernant KKG(A, B). — Soit G un groupe localement com-pact, A et B deux G-algebres. On designe par EG(A, B) l’ensemble des couples (E, F )ou E = E+ + E" est un C0(X)- A, G-bimodule equivariant gradue et F & L(E) unoperateur impair, tel que :

– ( a & A, on a [a, F ] & K(E), a(F 2 - 1) & K(E), a(F - F !) & K(E)– l’application qui a g & G associe gFg"1 - F & K(E) est continue– ( a & A, g & G, a(gFg"1 - F ) & K(E)

On munit EG(A, B) d’une structure de monoıde (pour la somme directe). On de-signe par KKG(A, B) l’espace des classes d’equivalence d’homotopie d’elements de

48 CHAPITRE 3. UNE GENERALISATION DU THEOREME D’INDICE L2 D’ATIYAH

EG(A, B); la structure de monoıde sur EG(A, B) induit une structure de groupe abe-lien sur KKG(A, B). Quand G est le groupe trivial, on note simplement E(A, B) (resp.KK (A, B)) les groupes EG(A, B) (resp. KKG(A, B)). Etant donne T & L(E1, E2) ouE1, E2 sont deux A, B - G-bimodules hilbertiens equivariants,

E = E1 + E2 et F =& 0 T !

T 0

',

tels que (E, F ) est un element de EG(A, B), on dira que l’operateur T definit ourepresente l’element (E, F ) de EG(A, B) ainsi que sa classe dans KKG(C0(X), A)note [T ]. Rappelons encore que si T # verifie les memes hypotheses que T et si on a deplus ( a & A, a(T - T #) & K(E), alors [T ] = [T #].

3.1.2. La conjecture de Baum-Connes. — Nous faisons ici quelques rappelssuccincts sur l’application de Baum-Connes. Pour les details et les demonstrations, lelecteur est renvoye a [B-C-H] et [B-C].

Soit G un groupe localement compact, dg sa mesure de Haar a gauche, & sonmodule. Soit X un espace localement compact sur lequel agit G a droite de faconpropre. On munit CC(X) d’une structure de pre-CC(X * G)-module hilbertien (oul’on considere CC(X * G) comme sous-algebre involutive de C0(X) " G) en posant,( #, ' & CC(X), ( f & CC(X * G) :

"#, '#(x, g) = #(x)'(xg)&(g)"1/2

et#f(x) =

3#(xg"1)f(xg"1, g)&(g)"1/2dg.

Lemme 3.1.1. — Si # & CC(X), alors "#, ## & (C0(X) " G)+.

Demonstration. — Il existe (cf. [Tu]) c & C(X) fonction cut-o#, i.e. une fonction avaleurs dans [0, 1] telle que pour tout compact K, l’intersection de son support avecle sature de K est compact, et telle que

!c · g dg = 1. Soit ( : CC(X) ! CC(X * G)

qui a f & CC(X) associe ((f) & CC(X * G) definie par

( (x, g) & X * G, ((f)(x, g) = c(x)1/2#(xg)&(g)"1/2.

Alors on a :

((f)!((f)(x, g) =3

((f)(xg1, g"11 )&(g1)"1((f)(xg1, g

"11 g)dg1

= f(x)(3

c(xg1)1/2&(g1)1/2&(g1)"1f(xg)c(xg1)1/2&(g1)1/2dg1)&(g)"1/2

= "f, f#(x, g)

D’ou le resultat.

Soit PX,G le C0(X)"G-module hilbertien obtenu en separant et completant. Si enoutre X est G-compact, le C!-module PX,G est projectif de type fini. En e#et, soit


3.1. LA CONJECTURE DE BAUM-CONNES 49

() : CC(X * G) ! CC(X) qui a # & CC(X * G), associe ()(#) & CC(X * G) definiepar

()(#)(x) =3

c(xg"1)f(xg"1, g)&(g)"1/2dg, x & X.

On a

( # & CC(X * G), ' & CC(X), "()(#), '# = "#, ((')# et (() = p

ou p & CC(X * G) est le projecteur defini par

( (x, g) & X * G, p(x, g) = c(x)1/2c(xg)1/2&(g)"1/2.

Donc ( s’etend en un isomorphisme de PX,G sur pC0(X " G).

Soit A une G-algebre, et X un G-espace propre G-compact, on definit :

µAX,G : KKG(C0(X), A) ! K!(A " G)

comme l’application qui a F & KKG(C0(X), A) associe [PX,G] 2C0(X)!G JG(F ).Soit X et Y deux G-espaces propres G-compacts et f : X ! Y une application

continue G-equivariante. Soit A une G-algebre. On noteraf! : KKG(C0(X), A) -! KKG(C0(Y ), A)

f! : KK (C0(X) " G, A " G) -! KK (C0(Y ) " G, A " G)et

les applications induites.

Lemme 3.1.2. — µAY,G ' f! = µA

X,G : KKG(C0(X), A) -! K!(A " G).

Demonstration. — Soit F & KKG(C0(X), A). Alors par fonctorialite du morphismede descente, jG(f!(F )) = f!(jG(F )). Il su"t donc de montrer que f![PY,G] = [PX,G].Soit cY une fonction cut-o# pour Y ; la composee cX = cY ' f est une fonction cut-o# pour X . Soit pY et pX les projecteurs associes dans C0(Y ) " G, et C0(X) " Grespectivement. Alors (f! " G)(pY ) = pX et donc

pY C0(Y ) " G 2f!!G C0(X) " G = pXC0(X) " G.

D’ou le resultat.

Un G-espace propre EG est appele exemple universel ou classifiant des actionspropres de G si pour tout G-espace propre Y , il existe une application f : Y ! EG,G-equivariante unique a G-homotopie pres. Rappelons qu’un tel espace existe toujourset qu’on a la caracterisation suivante ([B-C-H], p. 247) :

Proposition 3.1.3. — Un G-espace propre Y est classifiant des actions propres pourG ssi :

(1) (H sous-groupe compact de G, 0 p & Y , tel que p · H = p.(2) Considerons Y * Y comme muni de l’action diagonale de G, et /i (i = 1, 2),

les deux projections : alors /1 et /2 sont G-homotopes.



Corollaire 3.1.4 ([B-C-H], p. 247). — Si H est un sous-groupe ferme de G, alorstout classifiant des actions propres pour G est classifiant des actions propres pour H.

Definition 3.1.5. — Soit A une G-algebre, on definit K!top(G, A) comme

limY $C

KKG(C0(Y ), A)

ou C designe l’ensemble filtrant des parties G-compactes de EG et l’application deBaum-Connes a coe"cient :

µAG = lim

Y $CµA

Y,G : Ktop! (G, A) ! K!(A " G).

La conjecture de Baum-Connes concerne µAG,r = !! ' µA

G ou ! : A " G ! A "r G

est le morphisme canonique ; elle a"rme que µAG,r est un isomorphisme. Notons que

par definition de EG l’image de µAG contient pour tout G-espace propre G-compact

X , l’image de µAX,G.

3.1.3. K-theorie geometrique. — On designera par K!g (G, A) le sous-groupe de

K!top(G, A) forme des elements de la forme f!(x) ou X est un G-espace propre cocom-

pact muni d’une structure de variete C& preservee par l’action de G, f : X ! EGest une application classifiante et x & KKG(C0(X), A).

Lemme 3.1.6. — Soit ! un groupe discret et X un !-espace propre !-compact. Alorsil existe un complexe simplicial ' sur lequel agit ! tel que l’action de ! sur la realisa-tion geometrique |'| de ' soit propre et cocompacte et une application !-equivariante( : X ! |'|.

Demonstration. — Soit c & CC(X) une fonction cut-o#. Soit

A = {+ & ! | 0x & X, c(x)c(x+) .= 0}.

Alors A est fini. Soit 'A le complexe simplicial de dimension n = |A| - 1 dont lessommets sont les elements de ! et dont les simplexes de dimension 0 " p " n sont lesp + 1-uplets (+0, . . . , +p) & !p+1 tels que

( i, j & {0, . . . , p}, +i+"1j & A.

Le groupe opere par translation a droite sur ' et l’action induite sur la realisationgeometrique |'A| de 'A est propre et cocompacte. On identifie |'A| a l’espace desmesures de probabilite dont le support est de cardinal " n+1 telles que (x, y & ! telsque µ(x) µ(y) > 0 on a xy"1 & A, muni de la topologie de la convergence simple. Pourtout x & X , soit ((x) & |'A| defini par ( + & !, ((x)(+) = c(x+). Alors l’application( : X ! |'A| qui a x & X associe ((x) est continue !-equivariante. D’ou le resultat.

Proposition 3.1.7. — Soit ! un groupe discret sans torsion et A une !-algebre.Alors K!

g (!, A) = K!top(!, A).


3.2. REPRESENTANTS SOMMABLES ET SUPPORT 51

Demonstration. — Il su"t de montrer que si X est un !-espace propre !-cocompact,alors il existe un !-espace propre !-cocompact N muni d’une structure de varietepreservee par l’action de ! et une application continue equivariante de X dans N .

D’apres le lemme qui precede, on peut supposer que X est la realisation d’uncomplexe simplicial. Soit ' = X/! qui est alors la realisation d’un complexe simplicialfini, et q : X ! ' l’application quotient. On peut plonger (simplicialement) ' dans Rn

ou n est le nombre de sommets de '. Identifions ' a son image par son plongement.Comme ' est un espace ANR (cf. [Sp] p. 149), c’est un retracte d’un voisinage Upar une retraction r. Soit f & C&(Rn, R) telle que f|# ! 3/4 et f|UC " 1/4. Soitx & ]1/4, 3/4[ une valeur reguliere de f et M la variete a bord f"1([x, +$[). Alors' , M , U . Soit 2M = {(m, s) & M * X | r(m) = q(s)}. Alors 2M est un revetementde M et en tant que tel est muni d’une structure de variete a bord. L’action naturellede ! sur 2M (induite par celle sur X) preserve cette structure, et donc le double D(2M)de 2M est muni d’une action de ! propre et cocompacte qui preserve sa structure devariete. La composition de l’inclusion de X dans 2M et de celle 2M dans son doubleconvient. D’ou le resultat.

3.2. Representants sommables et support

3.2.1. Notion de support. — Soit A une C!-algebre, X un espace localementcompact, E un A-module hilbertien muni d’une representation non degeneree " deC0(X) dans E.

Definition 3.2.1. — Soit T & L(E). On appelle support de T et on note Supp(T ) lecomplementaire de l’ensemble des couples (x, y) & X*X tels qu’il existe f, g & Cb(X)tels que f(x)g(y) .= 0 et "(f)T"(g) = 0. On dira qu’un operateur est propre si larestriction a son support des deux projections de X * X sur X est propre.

Notons que le support d’un operateur est toujours ferme. Rappelons les notationssuivantes. Soit G un groupoıde topologique. On note G(0) sa base, r, s les applicationsbut et source, G(2) = {(g, g#) & G|s(g) = r(g#)}, m : G(2) ! G la multiplication, et onconsiderera G(0) comme un sous-espace ferme de G. Soit X1, X2, X , G, Y , G(0),on notera

X1X2 = {g & G | 0 g1 & X1, g2 & X2, g = g1g2}X"1 = {g & G | g"1 & X}X.Y = r(XY ) et Y · X = s(Y X).

On considerera X*X comme muni de sa structure canonique de groupoıde de base X .

Lemme 3.2.2

(1) Si Supp(T ) = # alors T = 0.(2) Supp(T !) = Supp(T )"1.



(3) Soit f & Cb(X), T & L(E), alors

Supp("(f)T ) = {(x, y) & Supp(T )|f(x) .= 0} , Supp(T ) ) r"1(Supp(f)).

En particulier, si ( (x, y) & Supp(T ), on a f(x) = 0 alors "(f)T = 0.

Demonstration(1) En e#et, T = 0 1 ( f, g & CC(X), fTg = 0. Soit K1 et K2 les supports de

telles f et g. Si Supp(T ) = 0, il existe (fi)i=1,...,n et (gj)j=1,...,m telles que#n

i=1 f2i

(resp.#m

j=1 g2j ) est strictement positive sur K1 (resp. sur K2) et "(fi)T"(gj) = 0.

D’ou "(f)T"(g) = 0.(2) En e#et, ( f, g & Cb(X), "(f)T"(g) = 0 1 "(g)T !"(f ) = 0.(3) Si f, g, h & Cb(X) et T & L(E), "(g)T"(h) = 0 implique "(gf)T"(h) = 0

donc Supp("(f)T ) , Supp(T ). Par ailleurs, si x /& Supp(f) alors 0 g & CC(X) telleque gf = 0 et g(x) .= 0 donc Supp("(f)T ) , r"1(Supp(f)). Donc Supp("(f)T ) ,Supp(T ) ) r"1(Supp(f)). Donc Supp("(f)T ) , r"1(Supp(f)) ) Supp(T ).

Supposons que {(x, y) & Supp(T ) | f(x) .= 0} = #. Alors ( % > 0, il existel & Cb(X) a support dans {x & X | f(x) .= 0} avec %(1- l)f% " %. Alors d’apres ce quiprecede, Supp("(l)T ) = # donc "(l)T = 0, et donc %"(f)T % = %"(f(1- l))T % " %%T %et donc "(f)T = 0.

Dans le cas general, soit (x, y) /& {(x, y) & Supp(T ) | f(x) .= 0}. Alors il existeg, h & CC(X) tels que g(x)h(y) .= 0 tel que

Supp(g) * Supp(h) ) {(x, y) & Supp(T ) | f(x) .= 0} = #.

Comme Supp("(g)T"(h)) , (Supp(g) * Supp(h)) ) Supp(T ), on a

{(x, y) & Supp(T"(h)) | fg(x) .= 0} = #.

Reciproquement, soit x, y & X , g, h & CC(X) tel que g(x)h(y) .= 0 et f(x) .= 0et "(g)("(f)T )"(h) = 0. Alors "(gf)T"(h) = 0 et (gf)(x)h(y) .= 0 donc{(x, y) & Supp(T ) | f(x) .= 0} et par consequent son adherence sont inclus dansSupp("(f)T ).

Proposition 3.2.3. — Soit T, T1, T2 & L(E)(1) Supp(T1T2) , Supp(T1) · Supp(T2).(2) soit (Tn)n$N une suite d’elements de L(E) qui converge fortement vers T et F

un ferme de X * X tel que (n & N. Supp(Tn) , F . Alors Supp(T ) , F .(3) Soit F , X * X un ferme contenant X tel que F = F"1 et F 2 = F . Alors

{T & L(E) | Supp(T ) , F} est une sous-algebre involutive fortement fermee de L(E).

Demonstration(1) Soit V1 (resp. V2) un compact de X . La restriction a r"1(V1) (resp. s"1(V2))

de la premiere (resp. seconde) projection est propre et en particulier fermee. DoncV1 · Supp(T1) (resp. Supp(T2) · V2) est ferme. Soit (x, y) /& Supp(T1) · Supp(T2). Ilexiste alors V1 (resp. V2) voisinage compact de x (resp. y) tel que si F1 = V1 ·Supp(T1)



et F2 = Supp(T2) · V2, on a F1 ) F2. Ainsi, F1 et F2 sont deux fermes disjoints de X .Soit f1 et f2 deux fonctions continues a support respectivement dans V1 et V2 tellesque f1(x) .= 0 et f2(y) .= 0. Soit f & CC(X) a support dans un compact K. Soit pouri = 1, 2, Ki = K ) Fi. Soit h1 et h2 des fonctions a support disjoint valant 1 sur K1

et K2 respectivement. D’apres le lemme qui precede,

"(f1)T"(f) = "(f1)T"(h1f) et "(f)T"(f2) = "(fh2)T"(f2),

donc"(f1)T1"(f2)T2"(f2) = "(f1)T1"(h1f

2h2)T2"(f2) = 0.

Comme c’est vrai pour toute f & CC(X), "(f1)T1T2"(f2) = 0.(2) Soit (x, y) /& F . Soit f, g & CC(X), tels que

f(x)g(y) .= 0 et Supp(f) * Supp(g) ) F = #.

Pour tout n & N, on a Supp("(f)Tn"(g)) = #, donc "(f)Tn"(g) = 0, donc"(f)T"(g) = 0 et finalement (x, y) /& Supp(T ).

(3) Cela decoule aisement de ce qui precede.

3.2.2. Le cas des varietes compactes

Definition 3.2.4. — Soit A une algebre de Banach. On appellera ideal de Banachde A un ideal I muni d’une norme %%I telle :

(1) %%I fait de I un espace de Banach.(2) (x & I, ( a, b & A on a %axb%I " %x%I%a%%b% et (x & I, %x% " %x%I .

Proposition 3.2.5. — Soit y & A. Alors {x & A | [x, y] & I} est une sous-algebrestable par calcul fonctionnel holomorphe.

Demonstration. — Soit B = {x & A | [x, y] & I}. C’est une sous-algebre de A. Poureviter les confusions, notons %%A la norme de la C!-algebre A. Posons pour x & B,%x%B = %x%A + %[y, x]%I . On verifie aisement que %%B est une norme d’algebre surB. Montrons que B est complet pour cette norme. Soit (xn)n$B une suite de Cauchydans B. Soit x sa limite dans A et z la limite dans I de la suite ([xn, y])n$N. Alors[x, y] = limA

n%+&[xn, y] = z. Donc x & B et comme limIn%+&[xn, y] = [x, y], on a

limBn%+& xn = x. Il su"t alors de montrer que le spectre d’un element x & B est le

meme dans $B et $A. Soit ! /& SpA(x). Alors

[(! + x)"1, y] = -(! + x)"1[x, y](! + x)"1 & I.

Donc ! /& SpB(x). D’ou le resultat.

Rappelons que si & est une trace densement definie sci sur une C!-algebre A, etp ! 1, on note Lp(A) l’ensemble des x & A tel que &(|x|p) < +$. Comme l’applicationqui a x & Lp(A) associe (&(|x|p))1/p est une norme (cf. [Gro]), il en est de memede celle notee %%p qui a x & Lp(A) associe %x% + (&(|x|p))1/p et cette norme munit



Lp(A) d’une structure d’ideal de Banach. Rappelons encore (cf. [Gro]) que si p, q ! 1,x & Lp(A), y & Lq(A), r = (1/p + 1/q)"1, alors xy & Lr(A).

Proposition 3.2.6. — Soit A, B, C trois C!-algebres, A et C etant munies de tracesdensement definies sci, et Y un espace localement compact. Soit F & E(C0(Y )2B, C)represente dans un C!-module hilbertien E et a support dans W , Y * Y . Soitp ! 1. On suppose que 1 - F 2 & Lp(K(E)) et que la sous-algebre B de B formeedes elements de B dont le commutateur avec F est dans Lp(K(E)) est dense dansB. Soit p & Mn(B 2 A) un projecteur et soit x = [p] 2B [F ] & KK (C0(Y ), C 2 A).Alors il existe G & E(C0(Y ), C 2 A) represente dans E# a support dans W tel que1 - G2 & Lp(K(E#)).

Demonstration. — Soit Fn,A = 1Cn 2 F 2 1A & L(Cn 2 E 2 A). Comme

[Mn 4 B 4 Lp(A), Fn,A] , Lp(K(Cn 2 E 2 A)),

Bn,A = {y & Mn 2 B 2 A | [y, Fn,A] & Lp(K(Cn 2 E 2 A))}est une sous-algebre pleine de Mn 2 B 2 A. Donc il existe q & Bn,A tel que [p] = [q].Alors G = qFn,Aq convient.

Corollaire 3.2.7. — Soit A une C!-algebre possedant une unite approchee formeede projecteurs et & une trace densement definie sci sur A. Soit Y une variete compactede dimension n. Alors pour tout voisinage W de Y dans Y * Y , pour tout p > n/2,et tout element x de KK (C(Y ), A), il existe F & L(E) representant x a support dansW tel que 1 - F 2 & Lp(K(E)) pour p > n/2.

Demonstration. — Soit B = Cli#(Y ) qui est K-dual de C(Y ) et 0 & KK (C(Y ) 2B, C) la classe de l’operateur de Dirac. Par dualite de Poincare, tout element deKK (C(Y ), A) est de la forme x 2B 0 pour un element x & K0(B 2 A). On peutrepresenter 0 par un operateur pseudodi#erentiel D d’ordre 0 classique a supportdans W . Alors 1 - D2 & Lp et [C&(Y ), D] & Lp puisque ce sont des operateurspseudodi#erentiels classiques d’ordre -1. Comme B2A possede une unite approcheeformee de projecteurs, le sous-groupe engendre par les classes de projecteurs dansles matrices a coe"cients dans B 2 A est K0(B 2 A). Il su"t donc d’appliquer laproposition precedente.

3.2.3. Equivalence de Morita. — Soit ! un groupe discret agissant de faconlibre, propre et cocompacte sur un espace X . Soit A une !-algebre triviale, E unC0(X) - A,!-bimodule hilbertien equivariant. Par equivalence de Morita, lui est as-socie un C(X/!)-A-bimodule hilbertien note E!. Nous faisons le lien entre les ope-rateurs de L(E)! a support tres proche de la diagonale et ceux L(E/!) a support tresproche de la diagonale. Cette partie technique nous permettra ensuite de deduire de lapartie precedente un resultat de representabilite des elements de KK!(C0(X), A) pardes elements sommables avec des conditions de support donnees, quand X peut etre



d’une structure de variete !-equivariante, etape essentielle de notre generalisation dutheoreme d’indice L2.

Soit X un espace localement compact sur lequel agit a droite un groupe discret! de facon propre, et PX,! le C0(X) " !-module hilbertien construit dans la sectionprecedente. Soit q : X ! X/! l’application quotient.

Proposition 3.2.8. — Il existe un isomorphisme canonique

" : C0(X/!) -! K(PX,!).

Quand l’action de ! sur X est en outre libre, alors PX,! est un C!-module plein ; enparticulier, celui-ci realise une equivalence de Morita entre C0(X/!) et C0(X) " !.

Demonstration. — Posons pour f & Cb(X/!) et # & CC(X), "(f)(#) & CC(X) definipar

(x & X, "(f)(#)(x) = f(q(x))#(x).

Soit g = (%f%2 - ff)1/2. Alors (x & CC(X), on a

""(f)(#),"(f)(#)# + ""(g)(#),"(g)(#)# = %f%2"#, ##

et donc %"(f)(#)% " %f%%#%. Donc " s’etend en une representation unitale de Cb(X/!)dans L(PX,!). Pour montrer que "(C0(X/!)) , K(X!), il su"t de montrer que( f & CC(X/!)+, on a "(f) & K(X!). Soit donc f & CC(X/!)+. Soit c & C(X) unefonction cut-o#. Soit # = (f ' q)1/2c1/2 & CC(X). Alors "(f) = (",". D’ou l’assertion.

Munissons le CC(X/!)-module CC(X) d’une structure de CC(X/!)-module pre-hilbertien en posant

( #, ' & CC(X), (x & X/!, "#, '#(x) =0

x$q#1(x)

#(x)'(x)

et soit H le C0(X/!)-module hilbertien obtenu en separant-completant, qui est munitd’une structure naturelle de C0(X) "!-module. Il est immediat que l’application qui( #1, . . . , #n & CC(X), ( f1, . . . , fn & CC(X), (x & X/!, associe a

#i=1 fi 2 #i la

fonction sur X/! qui (x & X/!, associe a x & X/!,#

x$q#1(x) fi(x)#i(x), induit unisomorphisme de PX,! 2C0(X)!! H sur C0(X/!). En particulier, " est injectif. Soitf & CC(X) et soit g & CC(X/!) la fonction telle que g ' q =

#($! f(f · +). Alors

"(g) = (f,f . Donc " est egalement surjectif. Il est aise de voir que PX,! est pleinquand l’action est en outre libre (cf. [M-Re-W] pour un resultat plus general).

Supposons dorenavant que l’espace X est !-compact. Soit E un C0(X) - A, !-bimodule hilbertien equivariant non degenere. Quelle que soit la fonction cut-o#, l’es-pace des vecteurs a support compact est CC(X)E et sera note E ; le A " !-modulehilbertien obtenu en le separant-completant (cf. theoreme 2.3.4) sera note E!. QuandE = C0(X), on le notera plus simplement X!.



Lemme 3.2.9. — On a un isomorphisme naturel E! 3 PX,! 2C0(X)!! (E " !), d’ouune action naturelle de C(X/!) sur E!.

Demonstration. — Posons ( f1, . . . , fn & CC(X), ( #1, . . . , #n & E, ( g1, . . . , gn &CC(!),

((n0

i=1

fi 4 #i 4 gi) =n0

i=1

0

($!+"1(fi#i)gi(+).

On verifie immediatement que cette application induit une application preservantle produit scalaire de X! 2C0(X)!! (E " !) dans E!. Comme cette application esttrivialement d’image dense, c’est un isomorphisme. L’action naturelle de C(X/!) estalors celle induite par l’action sur PX,!.

Notons j : E ! E! l’application canonique.

Lemme 3.2.10. — Soit U un ouvert de X/!. La restriction a CC(q"1(U)E) de jinduit un isomorphisme de (C0(q"1(U))E)! sur C0(U)E!.

Demonstration. — Soit f & CC(q"1(U)) et # & E. Il existe g & CC(U) tel que(g ' q)f = f . Alors

j(f#) = "(g)(j(f#)) & C0(U)E!.

Donc Im(j) , C0(U)E!. Reciproquement soit # & E, f & CC(X) et g & CC(U), alorsfg ' q & CC(q"1(U)) et j(fg ' q#) = "(g)j(f#). Donc Im(j) = C0(U)E!. D’ou leresultat.

Supposons dorenavant que A est une !-algebre triviale. Le morphisme idA 2% :A2maxC!(!) ! A sera note simplement %. Soit E/! = E!2'A muni de la structure deC0(X/!), A-bimodule hilbertien induite par la structure de C0(X/!), A 2max C!(!)-bimodule hilbertien de E!. On notera % : E! ! E/! l’application induite ; on a

( f & CC(X/!), ( # & E , %((f ' q)#) = f%(#).

Pour T & L!P (E), on notera T/! ou encore %(T ) l’operateur T! 2' 1.Soit U un ouvert de X/!. On appellera trivialisation sur U , une section s : U ! X

d’image ouverte telle que l’application de U * ! dans X qui a (x, +) associe s(x)+soit un homeomorphisme sur son image. On notera ( + & !, U·( = s(U) · + , X ,s( : U ! U·( la section d’image incluse dans U·( et ( f & CC(U), - · + & CC(s(U) · +)la fonction telle que - · + = - ' q.

Lemme 3.2.11

(1) Soit s une trivialisation sur un ouvert U . Alors j(CC(s(U))) , C0(U)E! et lacomposee % ' j|CC(s(U)) induit un isomorphisme s! : C0(s(U))E ! C0(U)E/! tel que

( f & C0(s(U)), ( # & C0(s(U))E, s!(f#) = s!(f)s!(#).



(2) Soit T & L!P (E). Soit s# : U # ! X une trivialisation sur un ouvert U #. Soit- & CC(U) et -# & CC(U #). Alors

-#T/!- =0

($F

(s#()!(-# · +)T (- · e)(s!)"1 & L(C0(U)E/!, C0(U #)E/!)

(la somme est finie).

Demonstration(1) En e#et, ( # & CC(s(U))E, "#, ## & A , CC(!, A) et donc

"s!(#), s!(#)# = "#, ## & A.

Le reste est trivial.(2) On montre que

-#(T! 2' 1)-s! =0

($F

(s#()!(-# · +)T (- · e) & L(C0(s(U))E, C0(U #)E/!)

ou F est une partie finie de ! telle que

(+ & !, Supp(-# · +) * Supp(() ) Supp(T ) .= #) =5 + & F.

Soit # & CC(s(U)). On a

-#T/!-s!(#) = -#T/!-%(#)

= -#T/!%((- ' q)#)

= -#T/!%((- · e)#)= -#%(T ((- · e)#))= %((-# ' q)T (- · e)#)=

0

($F

(s# · +)!(-# · +)T (- · e)#

Lemme 3.2.12. — Soit & une trace densement definie sur A, &!E la trace associee surL(E)!. Soit T & m&!

E. Supposons

(x & X, ( + & ! \ {e}, (x, x+) /& Supp(T ),

alors(&E/!)#(T/!) = &!E(T ).

Demonstration. — Comme T est propre, r(Supp(T )) et s(Supp(T )) sont fermes. Doncquitte a remplacer X par r(Supp(T ))/ s(Supp(T )), on peut supposer que l’action de! sur X est libre. Soit x & X/! et x & X, q(x) = x. Soit s : U ! X une trivialisationsur un voisinage U de x telle que s(x) = x et V , Ue un voisinage compact de x & X .Soit B une base de voisinages compacts de x inclus dans V et pour W & B on pose

KW = ((/($!\{e}W · +) * W ) ) Supp(T ).



On a clairement )W$BKW = # et comme Supp(T ) ) s"1(V ) est compact, il existeW & B tel que KW = 0. Fixons un tel W et une fonction - & Cq(W )(X/!) telle que-(x) > 0. Alors -T/!- = s!- · eT- · e(s!)"1. Comme X/! est compact, il existe unnombre fini de telles fonctions -i, i = 1, . . . , n avec

#ni=1 -2

i = 1. Alors#n

i=1 -i · e2

est une fonction cut-o#. D’ou

(&E/!)#(T/!) =n0

i=1

& #E/!(-iT!-i) =n0

i=1

& #E(-i·eT-i·e) = (&!E)#(T ).

On suppose dorenavant que l’action de ! sur X est libre. Etant donne un recou-vrement U = (Ui)n

i=1 par des ouverts trivialises, si : Ui ! X les sections associees,on notera ZU = /n

i=1 /($! Ui·( * Ui·( , X * X .

Lemme 3.2.13. — Soit V un voisinage !-invariant de X , X * X. Alors il existeun recouvrement ouvert U = (Ui)n

i=1 de X/! par des ouverts trivialises tel que ZU

soit !-compact et contenu dans V .

Soit x & X/!. Choisissons x & q"1(x). Il existe un voisinage compact W de x dansX tel que W *W , V (et donc /($!W ·+*W ·+ , V ) et donc un voisinage U , X/!de x, s : U ! X une trivialisation d’image incluse dans W . Par compacite, on peutrecouvrir X/! par un nombre fini de tels U . D’ou l’assertion.

Notons $q : X*X ! (X*X)/! l’application quotient. Celle-ci induit une bijectionentre les voisinages !-invariants de X dans X * X et les voisinages de la diagonaledu groupoıde G = (X * X)/!.

Proposition 3.2.14. — Soit G un groupoıde topologique a base compacte. Alors(U , G voisinage de G(0) dans G, il existe un voisinage V de G(0) dans G telque V = V "1 et V 2 , U .

Demonstration. — Soit m : G(2) ! G la multiplication. Comme m(G(0)) , G(0) ilexiste un voisinage ouvert V1 de G(0) dans G(2) tel que m(V1) , U . Soit V2 un ouvertde G*G tel que V2)G(2) = V1 et soit V # = V2/((G*G)\G(2)). Alors V #)G(2) = V1

et G(0) *G(0) , V #. Comme G(0) est compact, il existe W , G ouvert contenant G(0)

tel que W*W , V #. Alors W 2 = m((W*W ))G(2)) , U . Le voisinage V = W)W"1

convient donc.

Lemme 3.2.15. — Il existe un recouvrement fini U = (Ui)ni=1 de X/! par des ouverts

trivialises tel que ( (i, j) & {1, . . . , n}2, on a |{+ & ! | Ui·e ) Uj·( .= #}| " 1.

Demonstration. — Soit V un voisinage !-equivariant de la diagonale de X tel que(x & X , ( + .= e, (x, x+) .& V . D’apres la proposition 3.2.14 et le lemme 3.2.13, on peutchoisir un recouvrement par des ouverts trivialises U = (Ui)n

i=1 tel que (ZU )2 , V .Alors si x & Ui·e ) Uj·(1 , y & Ui·e ) Uj·(2 , on a (x, y) & ZU et (y, x+"1

1 +2) & ZU d’ou(x, x+"1

1 +2) & Z2U , V . Donc +1 = +2. Donc ce recouvrement convient.



Lemme 3.2.16. — Soit U = (Ui)ni=1 un recouvrement comme dans le lemme 3.2.15.

(1) Soit (i, j) & {1, . . . , n}2 et + & ! tel que ( +# & ! \ {+}, Ui·e ) Uj·(" = #. Alorssi·e induit un isomorphisme de C0(Ui )Uj)E/! sur C0(Ui·e )Uj·()E ainsi que sj·( etces deux isomorphismes coıncident.

(2) Soit (*i)ni=1 et (-i)n

i=1 une famille de fonctions a support dans Ui respective-ment et telles que (-i)n

i=1 est une partition de l’unite et ( i & {1, . . . , n}, -i*i = -i.Soit T & L(E/!) tel que ( i & {1, . . . , n}, -iT*i = -iT et *iT-i = T-i. Soit

$T =n0

i=1

M!(si·e*iTs"1i·e-i·e) & L!P (E).

Alors ( i & {1, . . . , n}, et pour toute fonction -e a support inclus dans celui de -i·e,on a, en notant - = -e ' si·e :

$Tsi·e- = si·eT-

s"1i·e -e

$T = -Ts"1i·e*i·e.

En particulier, si [T, C(X/!)] & K(E/!), $T est une connexion pour T (ou l’on identifieE a E1 2! E/!, E1 designant le bimodule canonique d’equivalence de Morita entreC0(X) " ! et C(X/!)).

Demonstration(1) Si Ui ) Uj = #, il n’y a rien a demontrer. Sinon, Ui·e ) Uj·( .= #. Comme

si·e commute a l’action de C(X/!), si·e induit un isomorphisme de C0(Ui ) Uj)E/!

sur C0(Ui·e ) /("$!Uj·(")E = C0(Ui·e ) Uj·()E. De meme, pour sj·( . Les isomor-phismes induits coıncident puisque leur reciproque coıncident sur le sous-espace denseCC(Ui·e ) Uj·().

(2) Soit j & {1, . . . , n}, tel que Ui ) Uj .= #, et + & ! l’unique element de ! telque Ui·e ) Uj·( .= #. Soit . (resp. .e) la fonction continue telle que .|.| = - (resp..e|.e| = -e).

M!(sj·e*jTs"1j·e-j·e)si·e- = sj·(*jTs"1

j·(-j·(.esi·e|.|

= sj·(*jTs"1j·(-j·(-esi·e = sj·(*j*iT-j-

= si·e*j*iT-j- = si·eT-j-

d’ou la premiere egalite en sommant sur j = 1, . . . , n.

s"1i·e -eM!(sj·e*jTs"1

j·e-j·e) = s"1i·e -esj·(*jTs"1

j·(-j·( = s"1i·e -e*j·(sj·(Ts"1

j·(-j·(

= -*jT*is"1j·(-j·( = -*jT-js

"1i·e *i·e

= -T-js"1i·e *i·e

d’ou la seconde egalite en sommant sur j = 1, . . . , n.



Montrons que si [T, C(X/!)] , K(E/!), alors $T est une connexion pour T . Ils’agit de montrer que ( # & CC(X) (sous-espace dense de E1), T"T - $TT" & K etT !"

$T - TT !" & K. Par linearite et comme $T est !-invariant, il su"t de le montrer

pour # a support dans le support d’un -i·e (en remplacant # par #-i·e). Soit donc #e

a support dans Ui·e et # = #e ' si·e. Alors

T"eT - $TT"e = si·e#T - $Tsi·e#

= si·e(#T - T #) & K

T !"e

$T - TT !"e = s"1

i·e #e$T - Ts"1

i·e #e

= (#T - T #)s"1i·e *i·e & K

D’ou le resultat.

Lemme 3.2.17. — Soit U1, . . . , Un et V1, . . . , Vn des ouverts de X/! tels que ( i =1, . . . , n, Ui , Vi. Alors il existe un voisinage compact W de la diagonale de X/!dans X/!* X/! tel que W · Ui , Vi.

Demonstration. — Il su"t de prendre W = X/!* X/! \ (/ni=1(X/! \ Vi) * Ui).

Soit & trace densement definie sci sur A.

Proposition 3.2.18. — Supposons que (x & KK (C(X/!), A) et pour tout voisinageW de X/! il existe un bimodule gradue E = E1 + E2, F = ( 0 T!

T 0 ) & L(E) quirepresente x et Q & L(E2, E1) tel que :

(1) [F ] = x(2) Les supports de F et Q sont inclus dans W .(3) 1 - TQ & m&E2

et 1 - QT & m&E1

Alors (x & KK!(C0(X), A), et pour tout voisinage W !-equivariant de la diagonalede X, il existe un bimodule E = E1 +E2 gradue, !-equivariant, F = ( 0 T!

T 0 ) & L!(E)qui represente x et Q & L(E2, E1)! tels que :

(1) [F ] = x(2) Les supports de F et Q sont inclus dans W .(3) 1 - QT & m&!

E1et 1 - TQ & m&!

E2.

Demonstration. — Soit 2W un voisinage de la diagonale de X !-equivariant. SoitU = (Ui)n

i=1 un recouvrement comme dans le lemme 3.2.15 tel que ZU , 2W . Soit(.i)n

i=1 une partition de l’unite subordonnee a ce recouvrement et ()i)ni=1 des fonctions

a support dans les Ui respectivement et telle que ( i & {1, . . . , n} )i = 1 sur unvoisinage Vi du support de .i. Pour tout x & X/!, on peut trouver un voisinage Ux

d’adherence contenu dans Wi(x) ou ( i & {1, . . . , n}, Wi = {y & X/!,.i(x) > 1/2n}.Soit (U #

j)mj=1 un sous-recouvrement fini de (Ux)x$X/! et -j une partition de l’unite

subordonnee a ce recouvrement fini (on se fixe i : {1, . . . , m} ! {1, . . . , n} tel que


3.3. THEOREME D’INDICE L2 EN K-THEORIE 61

( j & {1, . . . , m}, U #j , Wi(j) et ( j & {1, . . . , m}, on fixe comme trivialisation sj sur

U #j la restriction de si(j) a U #

j). Pour tout j & {1, . . . , m}, soit *j & CC(U #j) valant 1 sur

un voisinage V #j du support des -j . Enfin, soit W un voisinage compact de la diagonale

de X/! tel que ( i & {1, . . . , n}, ( j & {1, . . . , m}, W ·Supp.i , Vi, W · Supp-j , V #j .

Soit x & KK!(C0(X), A) 3 KK (C(X/!), A). Soit F = ( 0 T!

T 0 ) & L(E#) ou E#

est un bimodule gradue, qui represente x et Q tels que dans l’enonce pour W . Enparticulier, ( i & {1, . . . , n}, on a Q.i = )iQ.i et ( j & {1, . . . , m}, on a T-j = *jT-j .Soit E un bimodule !-equivariant (gradue) tel que E/! = E#. Posons

$T =m0

j=1

M!(sj·e*jTs"1j·e-j) & L(E)!

$Q =n0

i=1

M!(si·e)iQs"1i·e .i) & L(E)!

et

et $F = ( 0 Q

T 0). Alors $F est a support dans ZU donc dans W et comme $F est une

connexion pour F d’apres le lemme 3.2.16, $F & E!(C0(X), A) et [ $F ] = [F ]. Soitm! = m&!

E.

Or d’apres lemme 3.2.16, ( j & {1, . . . , m} :$Q $T-j·e = $Qsj·e*jTs"1

j·e-j·e

= $Q.i(j)·esj·e*j/.i(j)Ts"1j·e-j·e

= si(j)·e)i(j)Qs"1i(j)·e.i(j)·esj·e*j/.i(j)Ts"1

j·e-j·e

= si(j)·eQT-js"1j·e

Comme -j·e = si(j)·e-js"1j·e , $Q$T-j·e - -j·e & m&E" . En sommant sur j, il s’ensuit que

1 - $Q $T & m!. Quitte a refaire l’operation en partant des -j , on obtient $Q# & L(E)!

a support dans 2W tel que 1 - $T $Q# & m!. D’ou $Q - $Q# & m! et donc 1 - $T $Q & m!.D’ou l’assertion.

3.3. Theoreme d’indice L2 en K-theorie

Soit X un espace localement compact muni d’une action a droite de ! libre, propreet cocompacte et q : X ! X/! l’application quotient. Soit A une C!-algebre muniede l’action triviale de ! et E un C0(X) - A,!-bimodule hilbertien equivariant. Onnotera %A : A 2max C!(!) ! A l’application idA 2%.

Proposition 3.3.1. — Soit W un voisinage propre !-equivariant de la diagonale deX tel que (x & X, ( + & ! \ {e}, (x, x+) /& W 2. Soit F = ( 0 T!

T 0 ) & L(E1 + E2)! asupport dans W definissant un element x & KK!(C0(X), A). Soit Q & L(E2, E1)! asupport dans W tel que 1 - QT & m! et 1 - TQ & m!. Alors :

&! ' (%A)! ' µ!A(x) = (& 2 &!)! ' µ!A(x).



Demonstration. — D’apres la proposition 2.3.9 µ!A(x) = [T!] ou T! : (E1)! ! (E2)!.Comme 1 - TQ, 1 - QT & L!P (E) ) m!, d’apres la proposition 2.3.11,

1 - T!Q!, 1 - Q!T! & m&E!

et d’apres le lemme 3.2.12 :

(& 2 &!)!([T!]) = (& 2 &!)(E1)!(1 - Q!T!) - (& 2 &!)(E2)!(1 - T!Q!)

= &!E1(1 - QT )- &!E2

(1 - TQ)

= &(E1)/!(%(1 - QT ))- &(E2)/!(%(1 - TQ))

= &!%!(x)

D’ou le resultat.

Theoreme 3.3.2. — Soit ! un groupe discret dans torsion. Soit A une C!-algebremunie d’une trace & densement definie sci et de l’action triviale de !. Soit %A =1A 2 % : A 2max C!(!) ! A et & 2 &! la trace associee sur A 2max C!(!).

&! ' (%A) 6 'µA! = (& 2 &!)! ' µA

! .

Demonstration. — D’apres [D1], il existe une representation " : A ! L(H) nondegeneree et & # une trace normale semifinie sur "(A)## telle que & # ' " etend & . Alorsm& " contient une unite approchee formee de projecteurs. Donc quitte a composer par", on peut supposer que A possede une unite approchee formee de projecteurs. D’apresla proposition 3.1.7, il su"t de demontrer que

&! ' %! ' µAM,! = (& 2 &!)! ' µA

M,!

pour tout !-espace propre cocompact M muni d’une structure de variete preservee parl’action de !. Soit n la dimension de la variete, p > n/2 entier, W un voisinage de ladiagonale ferme tel que (x & M , ( + & ! \ {e}, (x, x+) /& W 2p. D’apres la propositionprecedente, il su"t de montrer que (x & KK!(C0(M), A), il existe un representant dex et Q tel que dans la proposition precedente pour W . D’apres la proposition 3.2.18, ilsu"t de montrer que pour tout voisinage W1 de la diagonale de M/!, les hypothesesde la proposition 3.2.18 sont verifiees. Soit W2 un voisinage compact de la diagonalede M/! tel que W 2p"1

2 , W1 et x & KK (C(M/!), A). D’apres le corollaire 3.2.7, onpeut representer x par un operateur F = ( 0 T!

T 0 ) a support W1. Soit P & Z[X ], telque XP (X) = 1 - (1 - X)p. Alors Q = TP (TQ) convient. D’ou le resultat.

Lemme 3.3.3. — Soit 01 et 02 deux actions de ! sur A equivalentes, soit u : ! !M(A) un cocycle tel que ( + & !, a & A, on a : 02(+)(a) = u(+)01(+)(a)u(+)!. Soit( : A"*1! 3 A"*2! l’isomorphisme tel que si a & A et + & !, ((a4U() = au(+)4U(.Alors il existe un isomorphisme canonique (top : K!

top(!, A)*2 3 K!top(!, A)*1 tel que :

(! ' µ!A,*1= µ!A,*2

' (top.


3.3. THEOREME D’INDICE L2 EN K-THEORIE 63

Demonstration. — Soit A1 = A consideree comme !-algebre pour l’action de 01 etA2 = A consideree comme !-algebre pour l’action de 02. Soit E = A considereecomme A - A-bimodule hilbertien. On definit une action de ! sur E qui le munitd’une structure de A1 - A2,!-bimodule hilbertien equivariant en posant pour + & !,U(+)(a) = 01(+)(a)u(+)!. Alors E realise une equivalence de Morita equivarianteentre A1 et A2; d’ou le resultat.

Theoreme 3.3.4. — Soit ! un groupe discret sans torsion. Soit A une C!-algebre ;soit u : ! ! M(A) un morphisme de ! dans les unitaires de M(A). Soit 0 l’actionde ! sur A definie par si + & ! et a & A, + · a = u(+)a(u(+))!. Soit & une tracedensement definie sci sur A, qui est necessairement !-invariante. Soit (& 2* &!) latrace sci densement definie sur A"r ! associee et soit id2* % le morphisme de A"!dans A qui a a 4 U( associe au(+). Alors :

(& 2* &!)! ' µ!A,* = &! ' (id2*%)! ' µ!A,*.

Demonstration. — Soit ( : A "* ! 3 A 2max C!(!) l’isomorphisme defini par lelemme precedent. Comme (id2*%) = (id2%) ' (, et & 2* &! = & 2 &! ' (, on a, ennotant t l’action triviale de ! sur A :

(& 2* &!)! ' µ!A,* = (& 2 &!)! ' (! ' µ!A,*

= (& 2 &!)! ' µ!A,t

= &! ' (%A)! ' µ!A,t

= &! ' (id2*%)! ' (("1)! ' µ!A,t

= &! ' (id2*%)! ' µ!A,*

Corollaire 3.3.5. — On conserve les hypotheses et les notations du theoreme pre-cedent. Soit en outre $ : ! ! U(N) une representation de dimension finie de !. Soit$$ : A "* ! ! A 2 MN le morphisme verifiant $(a 4 U() = au(+) 4 $(+) pour touta & A et + & !. Alors (en identifiant K0(A 2 MN) et K0(A) :

&! ' ($$)! ' µ!A(x) = N(& 2* &!)! ' µ!A(x).

Demonstration. — Soit B = A 2 MN et uB : ! ! M(B) le morphisme defini par( + & !, uB(+) = u(+) 2 $(+). On munit B de la structure 1 de !-algebre associee.Soit & : A ! A 2 MN le morphisme defini par ( a & A, &(a) = a 2 1. Le morphisme& est !-equivariant et l’on a (idA(MN 2+%) '& " ! = $$. Soit &N la trace canoniquesur MN non normalisee (&N (1) = N). Quand on identifie K0(A 2 MN) a K0(A), lesapplications (& 2 &N )! : K0(A 2 MN ) ! C et &! : K0(A) ! C coıncident. De plus,((& 2 &N ) 2+ &!) ' (& " !) = N(& 2* &!) et on obtient, en appliquant le theoreme



precedent a A 2 MN :

&! ' $$! ' µ!A = (& 2 &N )! ' $$! ' µ!A

= (& 2 &N )! ' (id2+%)! ' (& " !)! ' µ!A

= ((& 2 &N ) 2+ &!)! ' (& " !)! ' µ!A

= N(& 2* &!)! ' µ!A

D’ou le resultat.


CHAPITRE 4

PROPRIETES DE FONCTORIALITEPOUR LES SOUS-GROUPES DISCRETS COCOMPACTSET THEOREME A LA LANGLANDS EN K-THEORIE

Dans ce chapitre, nous formulons et demontrons un theoreme a la Langlands enK-theorie (theoreme 4.4.1) qui decoule du theoreme 3.3.4, et de l’etude pour G groupelocalement compact, et H sous-groupe ferme de deux types de proprietes de foncto-rialite : d’une part, la fonctorialite de la trace si G et H sont unimodulaires, et d’autrepart, la fonctorialite de l’application de Baum-Connes si H est cocompact dans G.Nous montrerons au chapitre suivant comment deduire de ce theoreme a la Langlands,des generalisations des formules de Langlands.

4.1. Traces associees aux groupes localement compacts unimodulaires

On prend les notations de [D2] concernant les algebres hilbertiennes. Soit Gun groupe localement compact unimodulaire. Fixons une mesure de Haar dg. L’al-gebre A(G) = CC(G) munie du produit scalaire donne par la mesure dg est unealgebre hilbertienne et U(A(G)) = V N(G). Notons n(G) l’algebre hilbertienneachevee i.e. l’ensemble des elements T & V N(G) tels qu’il existe # & L2(G) tel que( ' & CC(G), T (') = # 6 '. Un tel # est alors unique, d’ou une application injective% : n(G) ! L2(G). De plus,

(T & n(G), ( ' & L2(G), T (') = %(T ) 6 '

([D1] 13.10.3). Si T & n(G), S & V N(G), alors ST, TS & n(G) avec

%(ST ) = S(%(T )) et %(TS) = (S!(%(T )!))!.

On notera tG ou plus simplement t : V N(G)+ ! R+/{+$} la trace normale semifiniefidele associee, mG son ideal de definition qui coıncide avec (n(G))2. Sa restriction aC!

r (G) notee egalement tG ou simplement t est densement definie et sci et c’est ([D1]6.6.1, 6.6.6, et 17.2.5) l’unique trace semicontinue inferieurement densement definiesur C!

r (G) telle que si f & L1(G) ) L2(G), t(f!f) = %f%22.

66 CHAPITRE 4. PROPRIETES DE FONCTORIALITE

Proposition 4.1.1. — Soit - & CC(G) une fonction reelle telle que!

G -2 ·g dg = 1.Alors (T & V N(G)+, on a tG(T ) = Tr(-T-).

Demonstration. — Soit T & n(G) et soit # = %(T ). Alors T- est Hilbert-Schmidt et

%T-%2HS =

3|#(g1g

"12 )|2-2(g2)dg1dg2

=3

|#(g1)|2-2(g2)dg1dg2

= %#%2

D’ou tG(T !T ) = Tr(-T !T-). Si T & V N(G)+ est tel que tG(T ) = +$, comme tG

est semifinie, il existe une suite d’elements de mG, (Tn)n$N telle que 0 " Tn " Tet limn%+& tG(Tn) = +$. D’apres ce qui precede, tG(Tn) = Tr(-Tn-) et comme(n & N, Tr(-T-) ! Tr(-Tn-), on a egalement Tr(-T-) = +$. D’ou le resultat.

Le theoreme suivant qui decoule du lemme 2.1.2 et de la proposition qui precede,generalise la notion de !-trace au cas des groupes unimodulaires :

Theoreme 4.1.2

(1) Soit G un groupe localement compact unimodulaire denombrable a l’infini, Hun espace de Hilbert muni d’une representation unitaire de G fortement continue eth & (L(H))+ tel que

!G ghg"1dg converge strictement vers 1. Alors l’application qui

a T & (L(H)G)+ associe Tr(h1/2Th1/2) est une trace independante du choix d’un telh notee TrG

H .(2) Soit E un C!

r (G)-module hilbertien denombrablement et H = E2%G L2(G) munide l’action de G par translation a droite. Alors il existe h & (L(H))+ tel que

!ghg"1dg

converge strictement vers 1 et l’on a (T & L(E)+, TrGH (T 2%G 1) = (tG)E(T ).

4.2. Fonctorialite de la trace

Soit G un groupe localement compact et H un sous-groupe ferme de G. Notons , lecomodule de H , i.e. le caractere (&G)H/&H . Soit E = CC(G), A = CC(H), #, ' & E ,f & CC(H).

On pose

"#, '#(h) = ,(h)1/2

3#(g)'(gh)d!G(g)

et(#f)(g) =

3#(gh"1)f(h),(h)"1/2&H(h)"1d!H(h).

On a ( # & E , 0 " "#, ## & C!(H) et on note EGH le C!(H)-module hilbertien obtenu en

completant. L’action de C0(G/H) par multiplication et G par translation a gauche surE s’etend en une representation covariante " de C0(G/H), G dans EG

H . Le theoremesuivant est du a M.A. Rie#el ([R]).


4.2. FONCTORIALITE DE LA TRACE 67

Theoreme 4.2.1. — EGH (resp. (EG

H)r = EGH 2%H C!

r (H)) est un bimodule d’impri-mitivite entre C0(G/H) " G (resp. C0(G/H) "r G) et C!(H) (resp. C!

r (H)).

Si F est un C!(H)-B bimodule hilbertien, EGH2C!(H)F est un C!(G)-B-bimodule

hilbertien qu’on appelle bimodule induit, et qu’on note IndGH(F ). En particulier, si F

est un espace de Hilbert, muni d’une representation unitaire fortement continue deH , la representation de G dans IndG

H(F ) est la representation induite au sens usuelde la theorie des representations.

Lemme 4.2.2. — On a un isomorphisme naturel (EGH)r 2%H L2(H) 3 L2(G) qui

commute a l’action de G par translation a gauche et a l’action de H par translationa droite.

Demonstration. — Un calcul direct montre que l’application qui ( f1, . . . , fn &CC(G), ( g1, . . . , gn & CC(H) associe a

#ni=1 fi 4 gi & (EG

H)r 4 L2(H) la fonctionf & CC(G) , L2(G) telle que :

( g & G, f(g) =n0

i=1

3fi(gh"1)gi(h)&G(h)"1/2&H(h)"1/2dh

induit un isomorphisme entre (EGH)r 2%H L2(H) et L2(G) qui convient.

On notera

$G/H : C!(G) -! M(C0(G/H) " G) = L(EGH)

$rG/H : C!

r (G) -! M(C0(G/H) "r G) = L((EGH)r)

et

les morphismes canoniques. Adoptons la convention 0 * +$ = 0.

Theoreme 4.2.3. — Soit G un groupe localement compact unimodulaire denom-brable a l’infini, et H un sous-groupe ferme unimodulaire. Alors

(T & C!r (G)+, (tH)(EG

H)r' $r

G/H(T ) = vol(G/H)tG(T ).

Demonstration. — Soit - & C(G, [0, 1]) une fonction cut-o# pour l’action de H partranslation a droite sur L2(H). On a le diagramme commutatif suivant :

C!r (G)+ !!

=""

L((EGH)r)+

(tH)(EGH)r

!!

""

R+ / {+$}

=""

C!r (G)+ !! L(L2(G))H

Tr(-1/2 · -1/2)!! R+ / +$

Notons q : G ! G/H l’application quotient. Soit (Kn)n$N une suite croissante decompacts de mesure non nulle de G/H d’union G/H et (n & N, .n & CC(G/H, [0, 1])



telle que (.n)Kn = 1 et .n " .n+1. Alors

Cn =3

G-(x).n ' q(x)dx

=3

G/H.n(x)(

3-(xh)dh)dx

=3

G/H.n(x)dx

qui tend vers vol(G/H). Notons que C"1n -(.n ' q) est une fonction cut-o# pour

l’action de G par translation a droite. Par ailleurs, par convergence monotone,!G -(x).n ' q(x)dx tend vers

!G -(x)dx. Il en resulte que si H est de covolume

fini, alors (vol(G/H))"1- est une fonction cut-o# pour l’action de G par translationa droite et le resultat decoule immediatement du diagramme precedent et de laproposition 4.1.1. Si H est de covolume infini, la suite Cn tend vers +$ et donc(T & C!

r (G)+ \ {0},

(tH)(EGH)r

' $rG/H(T ) = Tr(-1/2T-1/2)

! Tr((.n ' q)1/2-1/2T-1/2(.n ' q)1/2)

= CntG(T )

qui tend vers +$ puisque tG(T ) > 0. D’ou le resultat.

Corollaire 4.2.4. — Supposons de plus que H est un sous-groupe cocompact deG de sorte que $r

G/H : C!r (G) ! C(G/H) "r G 3 K((EG

H)r) induit ($rG/H)! &

Hom(K0(C!r (G)), K0(C!

r (H))). Alors (tH)! ' ($rG/H)! = vol(G/H)(tG)!.

4.3. Fonctorialite de l’application de Baum-Connes pour les sous-groupescocompacts

Soit G un groupe localement compact, H un sous-groupe ferme de G. Soit A uneH-algebre ; rappelons que A(G)H designe la sous-C!-algebre de Cb(G, A) engendreepar les fonctions f continues de G dans A a support H-compact telles que f(gh) =h"1(f(g)). C’est une G-algebre pour l’action de G par translation a gauche. Soit Bune autre H-algebre. Dans [K], G. Kasparov construit un foncteur :

IndGH : KKH(A, B) ! KKG(A(G)H , B(G)H).

PosonsEG

H(A) = EGH 2C!(H) A " H

qui est muni d’une structure de C0(G/H)"G-C!(H)-bimodule hilbertien. Notons quesi K est un compact de G, (fn)n$N une suite d’elements de CC(G)4A, a support dansK qui converge uniformement vers f & CC(G, A) et si h & CC(H), alors (fn4h)n$N &


4.3. FONCTORIALITE DE L’APPLICATION DE BAUM-CONNES 69

EGH(A) est de Cauchy et de limite ne dependant que de f et de h, de sorte qu’on peut

considerer CC(G, A) 4 CC(H) comme sous-espace de EGH(A). Soit

(#k)mk=1 & CC(G, A)m, (hk)m

k=1 & CC(H)m et f & A(G)H .

Soit g = (%f%2& - f!f)1/2 & A(G)H . Alors

4 m0

k=1

f#k 4 hk,m0

k=1

f#k 4 hk

5+

4 m0

k=1

g#k 4 hk,m0

k=1

g#k 4 hk

5

= %f%2&

4 m0

k=1

#k 4 hk,m0

k=1

#k 4 hk

5

de sorte que ( f & A(G)H , l’endomorphisme de CC(G, A) 4 A qui ( (#k)mk=1 &

CC(G, A)m, (hk)mk=1 & CC(H)m, associe a

#mk=1 #k 4 hk

#mk=1 f#k 4 hk induit un

element note "(f) de L(EGH(A)). On definit ainsi un morphisme G-equivariant "A de

A(G)H dans L(EGH(A)). Soit (EG

H)"1 le bimodule inverse de EGH au sens de Morita,

etEG

H(A)"1 = (EGH)"1 2C0(G/H)!G (A(G)H ) " G

muni de sa structure de C!(H) - (A(G)H) " G bimodule hilbertien ; on verifie dememe que l’on peut munir EG

H(A)"1 de facon naturelle d’une structure de A " H -(A(G)H) " G-bimodule hilbertien telle que l’isomorphisme

EGH(A) 2A!H EG

H(A)"1 3 (A(G)H ) " G

soit un isomorphisme de (A(G)H ) " G- (A(G)H ) " G bimodule et telle que l’isomor-phisme

EGH(A)"1 2A!H EG

H(A) 3 A " H

soit un isomorphisme de A"H-A"H bimodule. Ces structures passent aux produitscroises reduits d’ou le theoreme suivant qui est un cas particulier du theoreme 3.15p. 247 de [K] :

Theoreme 4.3.1. — Le morphisme "A induit un isomorphisme entre A(G)H "G etK(EG

H(A)) qui descend en un isomorphisme entre A(G)H"rG et K(EGH(A)2%A"rH).

Ainsi A(G)H " G (resp. A(G)H "r G) est Morita-equivalent a A" H (resp. A"r H).

Etant donne une H-algebre A, on notera E(A) & KK (A(G)H " G, A " H) l’ele-ment inversible associe a l’equivalence de Morita ci-dessus. Nous pouvons maintenantenoncer ([K] corollaire p. 247) :

Theoreme 4.3.2. — Soit A et B deux H-algebres et F & KKH(A, B). Alors :

jG(IndGH(F )) 2B(G)H!G E(B) = E(A) 2A!H jH(F ).

Remarque. — On a un enonce analogue avec les produits croises reduits.



Supposons maintenant que A soit une G-algebre. Soit

.A : C0(G/H) 2 A -! A(G)H

l’application definie par

( f & C0(G/H) 2 A = C0(G/H, A), ( g & G, .A(f)(g) = g"1(f(g)).

Alors .A est un isomorphisme G-equivariant entre C0(G/H)2A (ou G agit diagona-lement) et A(G)H .

Par (.A)!, on designera l’element induit dans KKG((C0(G/H) 2 A), A(G)H ) par.A et

E#(A) = jG((.A)!) 2 E(A) & KK ((C0(G/H) 2 A) " G, A " H).

Theoreme 4.3.3 (theoreme p. 169 [K]). — Soit A et B deux G-algebres et F &KKG(A, B). On a :

(.A)! 2 IndGH(rG

H(F )) 2 (.B)"1! = $C0(G/H)(F ).

Supposons dorenavant que H est un sous-groupe cocompact de G et A une G-algebre, de sorte qu’on a un G-morphisme $A

G/H : A ! C(G/H) 2 A.

Corollaire 4.3.4. — Soit A et B deux G-algebres et F & KKG(A, B). On a lediagramme commutatif suivant :

KKG(A, B)jG

!!

jH ' rGH

""

KK (A " G, B " G)

($BG/H " G)!

""

KK (A " H, B " H)

E#(A)2""

KK (A " G, (B 2 C(G/H)) " G)

2E#(B)""

KK ((A 2 C(G/H)) " G, B " H)($A

G/H)!2!! KK (A " G, B " H)

Demonstration. — Soit x & KKG(A, B). Alors

jG(x) 2 ($BG/H " G)! 2 E#(B)

= ($AG/H " G)! 2 jG($C0(G/H)(x))! 2 E#(B)

= ($AG/H " G)! 2 jG((.A)! 2 IndG

H(rGH(x)) 2 (.B)"1

! ) 2 E#(B)

= ($AG/H " G)! 2 jG((.A)!) 2 E(A) 2 jH(rG

H(x))

= ($AG/H " G)! 2 E#(A) 2 jH(rG

H(x))

D’ou le resultat.


4.3. FONCTORIALITE DE L’APPLICATION DE BAUM-CONNES 71

Soit X un G-espace propre, G-compact. Alors pour l’action induite de H , X estH-propre et H-compact. Soit µX,G,H la composition

KKG(C0(X), A)rGH !! KKH(C0(X), A) !! K!

top(H, A).

Soit Y un G-espace propre G-compact, et f : X ! Y une application continue G-equivariante. Alors µX,G,H = µY,G,H ' f! d’ou l’existence d’une application induitenotee rG

H(A) : K!top(G, A) ! K!

top(H, A). On peut maintenant enoncer le resultat defonctorialite de l’application de Baum-Connes.

Theoreme 4.3.5. — Soit G un groupe localement compact et H un sous-groupe co-compact. Soit A une G-algebre. Alors le diagramme suivant est commutatif :

K!top(G, A)

($AG/H " G)! ' µA

G!!

rGH(A)

""

K!((A 2 C(G/H)) " G)

E#(A)""

K!top(H, A)

µAH !! K!(A " H)

Demonstration. — Il su"t de montrer que pour X un G-espace propre G-compact,on a

µAX,H ' rG

H = ($AG/H " G)! ' µA

X,G : KKG(C0(X), A) -! K!(A " G).

Fixons un tel espace X . Il su"t de montrer que

PX,G 2 ($C0(X)G/H " G)! 2 E#(C(X)) = PX,H ,

puisqu’alors d’apres le corollaire qui precede, on a (T & KKG(C0(X), A) :

µAX,G(T ) 2 ($A

G/H")! 2 E#(A) = PX,G 2 jG(T ) 2 ($AG/H " G)! 2 E#(A)

= PX,G 2 ($C0(X)G/H " G)! 2 E#(C0(X)) 2 jH(rG

H(T ))

= PX,H 2 jH(rGH(T ))

= µAH(rG

H(T ))

Pour montrer que PX,G2($C0(X)G/H "G)!2E#(C0(X)) = PX,H , commencons par de-

crire la composition E#(C0(X)) de .(C0(X)) et de l’equivalence de Morita E(C0(X)).Le bimodule est CC(G, C0(X)) que l’on considerera dans les formules comme sous-algebre de C(X*G) (de meme dans les formules, on considerera CC(H, C0(X)) commesous-algebre de C(X*H)). Le produit scalaire est donne par ( #, ' & CC(G, C0(X)) :

"#, '#(x, h) = ,(h)1/2

3#(x, g)'(xh, gh)dg.

L’action a droite de f & CC(H, C0(X)) , C(X * H) est :

#.f(x, g) =3

#(xh"1, gh"1)f(xh"1, h),(h)"1/2&H(h)"1dh



et l’action de s & CC(X * G) , (C0(X) 2 C(G/H)) " G est donnee par :

s · #(x, g) =3

s(xg"1, g0)#(x, g"10 g)dg0.

Alors ( #1, #2 & CC(X * G) et ( )1, )2 & CC(X), on a :

"#2,")2, )1##1#(x, h)

= ,(h)1/2

3#2(x, g)(")2, )1##1)(xh, gh)dg

= ,(h)1/2

3#2(x, g)")2, )1#(xg"1, g0)#1(xh, g"1

0 gh)dg0dg

= ,(h)1/2

3#2(x, g))2(xg"1))1(xg"1g0)&G(g0)"1/2#1(xh, g"1

0 gh)dg0dg

= &H(h)1/2

3#2(x, g))2(xg"1))1(xh(g#)"1)&G(g#)"1/2&G(g)"1/2#1(xh, g#)dg#dg

= "(()2, #2), (()1, #1)#(x, h)

ou l’on definit ( : CC(X)*CC(X*G) ! CC(X) par ( ) & CC(X), ( # & CC(X*G) :

((), #)(x) =3

)(xg"1)#(x, g)&G(g)"1/2dg.

Donc l’application qui ( )1, . . . , )n & CC(X), ( #1, . . . , #n & CC(X * G), associe a#ni=1 )i 4 #i la fonction

#ni=1 (()i, #i) & PX,H s’etend par continuite en une isometrie

surjective de PX,G 2!), E(C0(X)) sur PX,H . D’ou le resultat.

4.4. Theoreme a la Langlands en K-theorie

Theoreme 4.4.1. — Soit G un groupe localement compact, ! un sous-groupe discretsans torsion cocompact. Soit $ une representation unitaire de ! de dimension N . Larepresentation induite IndG

! ($) de G est liminaire ; soit (IndG! ($))! : K0(C!(G)) !

K0(K) 3 Z le morphisme induit. Alors on a :

(IndG! ($))! ' µG = N vol(G/!) * (tG)! ' µG.

Remarques

(1) Comme G possede un sous-groupe discret cocompact, G est unimodulaire.(2) La representation IndG

! ($) est liminaire puisqu’elle s’identifie a $G/! 2- 1 ou$G/! : C!(G) ! K(EG

! ) et $ : C!(!) ! L(CN ) = K(CN ).(3) Nous verrons au chapitre suivant pourquoi la formule est une formule a la

Langlands.


4.4. THEOREME A LA LANGLANDS EN K-THEORIE 73

Demonstration. — Notons ($G/!)! : K!(C!(G)) ! K!(C(G/!) " G) 3 K!(C!(!))le morphisme induit par $G/!. Considerons le diagramme suivant :

K!top(G)

rG! !!

µG

""

K!top(!)

µ!""

K!(C!(G))($G/!)!

!!

(tG)!""

K!(C!(!))

($)!""

C*N vol(G/!)

!! C

D’apres le paragraphe precedent, le carre du haut est commutatif. D’apres le corollaire3.3.5 et le corollaire 4.2.4, le carre du bas est commutatif sur l’image de µG. Enfin,($)! ' (&G/!)! = (IndG

! )!. D’ou le resultat.


CHAPITRE 5

CONJECTURE DE BOSTET FORMULE DE LANGLANDS

Soit G un groupe localement compact et ! un sous-groupe discret cocompact sanstorsion. Nous montrons dans ce chapitre, comment le theoreme 4.4.1 permet de cal-culer la multiplicite des series discretes dans L2(G/!) a partir de renseignements surl’application de Baum-Connes pour la K-theorie de la C!-algebre pleine de G. Enparticulier, nous montrons que la conjecture de Bost sur la K-theorie de l’algebre deBanach L1(G) implique les formules de Langlands pour les series discretes integrables.Grace aux resultats de V. La#orgue ([L], [L2]) sur la conjecture de Bost, ceci permetde demontrer des generalisations des resultats de Langlands, valides en particulierpour tout groupe reductif G sur un corps p-adique.

5.1. Series discretes

5.1.1. Series discretes et dimension formelle. — Soit G un groupe localementcompact unimodulaire, de mesure de Haar dg. On a la proposition suivante ([D1]14.1.1, 14.1.3, 14.3.2) :

Proposition 5.1.1. — Soit " une representation unitaire irreductible de G dans unespace de Hilbert H!. Les assertions suivantes sont equivalentes :

(1) " est equivalente a une sous-representation de L2(G).(2) 0 # & H! tel que la fonction g ! "#, g## est dans L2(G).(3) ( # & H!, la fonction g ! "#, g## est dans L2(G).

On dit d’une telle representation qu’elle appartient a la serie discrete et on note"Gd l’ensemble de ces classes de representations.

Theoreme 5.1.2 ([D1] 14.3.3). — Soit " & "Gd. Il existe une constante d! > 0 appe-lee dimension formelle de la representation, telle que pour tous x, x#, y, y# & H!, on a :

3

G"y#, gx##"y, gx#dg = (d!)"1"y, y##"x#, x#.

Les formules precedentes sont appelees relations d’orthogonalite de Schur.

76 CHAPITRE 5. CONJECTURE DE BOST ET FORMULE DE LANGLANDS

Liens avec la mesure de Plancherel. — La dimension formelle s’interprete facilementdans le cas ou G est de type I. Soit G un groupe localement compact unimodulairequ’on suppose dans ce paragraphe seulement de type I. Il existe alors une uniquemesure µ sur "G appelee mesure de Plancherel telle que ( f & L1(G) ) L2(G), on at(xx!) =

!Tr()(x))(x!))dµ()). De plus, (x & C!

r (G)+, on a ([D1] 18.8.1) t(x) =!Tr()(x))dµ()) et ([D1] 18.8.5) :

Proposition 5.1.3. — Soit ) & "G. Alors ) est dans la serie discrete ssi µ({)}) > 0et dans ce cas µ({)}) = d$ .

Par la suite, nous ne ferons plus l’hypothese que G est de type I.

5.1.2. Coe!cients de matrices et projecteurs minimaux

Soit U = V N(G) et U # son commutant. Soit H! , L2(G) l’espace d’une sous-representation irreductible ", E le projecteur minimal de U # associe. On notera ega-lement " & "Gd la classe de la representation. Soit F le support central de E dansU ) U # et K = F (L2(G)). Pour tous #, ' & H!, soit -#," & L2(G) definie par :

( g & G, -#,"(g) = "',"(g)##.

Notons encore ( ) & L2(G), ") & L2(G) l’element tel que pour presque tout g & G,")(g) = )(g"1).

Le theoreme suivant est demontre dans [D1] (14.2.2, 14.2.3, 14.3.5, 14.3.6, 14.4.2) :

Theoreme 5.1.4

(1) F est un projecteur minimal de U ) U # et toute sous-representation de L2(G)equivalente a " est une sous-representation de F (L2(G)).

(2) K , %(n(G)).(3) ( #, ' & H!, 6-#," = # 6 '! & K.(4) Il existe un unique isomorphisme d’espaces de Hilbert ( : H! 2 H! ! K tel

que ((# 2 ') = d1/2!

6-#,". De plus, ( entrelace (", ") et (!, /).(5) En identifiant H! 2 H! a l’espace des operateurs d’Hilbert-Schmidt sur H!,

on a :((u!) = ((u)!, ((uv) = d1/2

! ((u) 6 ((v).

(6) Soit f & n(G). On a :

%F (f)%22 = d! Tr("(f)"(f!)).

D’apres la derniere assertion du theoreme, "(C!(G)) , K(H!) ; en particulier, {"}est ferme dans "G. De plus, ( # & H! avec %#%2 = 1, on a d!6-"," & K , %(n(G)). Soitp" & n(G) tel que %(p") = d!6-",".

Lemme 5.1.5. — L’element p" de n(G) est un projecteur minimal de V N(G).


5.2. FORMULES DE MULTIPLICITES 77

Demonstration. — D’apres la cinquieme assertion du theoreme, p" est un projecteuret d’apres la sixieme "(p") est de rang un. Soit ' & K*, p"(') = # 6 #! 6 ' & K ) K*

puisque K (et donc K*) est biinvariant. Donc p"(') = 0. D’ou le resultat. En fait,"(p") est le projecteur orthogonal sur #. En e#et, ( ' & H!,

"', p"(#)# = d!

3"g#, ##"g#, '#dg

= "', ##

On en deduit, avec les memes notations :

Proposition 5.1.6. — " est ouvert dans "Gr ssi p" & !(C!r (G)).

Demonstration. — Si " est ouvert dans "Gr, comme {"} est ferme, alors on a un iso-morphisme ( : C!

r (G) ! K(H!)+Jr! ou Jr

! est le noyau de " vu comme representationde C!

r (G). Modulo cette identification, si ("," est le projecteur orthogonal sur # dansH!, alors !(("1((","+ 0)) = p". La reciproque resulte de la premiere partie du lemmesuivant avec H = L2(G) et H # = K*.

Lemme 5.1.7. — Soit A une C!-algebre et / une representation fidele de A dans unespace de Hilbert H.

(1) Soit " & "A telle que {"} est ferme dans "G et 0 .= x & A. On suppose que / sedecompose en H = H! 2 K + H# et que l’on a /|H"(x) = 0 et /|H!(K = " 2 1K. Alors{"} est ouvert dans "G.

(2) Si " & "A est telle que {"} est ouvert dans "A et si A est separable, alors il existeune sous-representation irreductible de / dont la classe est ".

Demonstration(1) Soit I = Ker("). Alors (/|H")|I est injective. Pour tout i & I, /|H"(ix) = 0 donc

/(ix) = 0 et ix = 0. Donc ( ) & "I, )(x) = 0. Comme " est fermee, "I = "A \ {"} et parailleurs, "(x) .= 0. Donc {"} = {) & "G | )(x) .= 0} est ouvert.

(2) Soit I l’ideal de A tel que "I = {"} qui est separable. Alors I 3 K(H!). Lemorphisme /|I est non trivial et la restriction de / a IH est un multiple de /.

Remarque. — Si G est localement compact unimodulaire presque connexe, P. Greena demontre (cf. [G]) qu’une representation " dans la serie discrete est toujours isoleedans le dual reduit.

5.2. Formules de multiplicites

Soit G un groupe localement compact unimodulaire, ! un sous-groupe discret sanstorsion cocompact de G, et soit $ une representation unitaire de dimension N de!. Comme IndG

! ($) est liminaire, elle se decompose en une somme directe de re-presentations irreductibles de G. Etant donne / & "G, le probleme des multiplicites



consiste alors a calculer m(/,!,$) la multiplicite de / dans IndG! ($) qui est finie. En

particulier, les formules de Langlands concerne le calcul de m(",!,$) pour " & "Gd.Soit donc " & "Gd. Supposons que " est isolee dans "Gr (resp. dans "G). Alors on a

un isomorphisme canonique C!r (G) 3 K(H!) + Jr

! (resp. C!(G) 3 K(H!) + J!) ouJr! (resp. J!) est le noyau de " vu comme representation de C!

r (G) (resp. C!(G)).Soit x! & K0(C!

r (G)) (resp. p! & K0(C!(G))) l’element de K-theorie associe. Enparticulier, si " est isolee dans "G, alors !!(p!) = x!.

Lemme 5.2.1. — (tG)!(x!) = d!.

Demonstration. — Fixons # un vecteur unitaire dans H! et p" & C!r (G) le projecteur

associe. Alors [p"] = x! donc

(tG)!(x!) = tG(p")

= %p"%22

= d!.

Theoreme 5.2.2. — Soit G un groupe localement compact unimodulaire, " une seriediscrete de G isolee dans "Gr, et x! & K0(C!

r (G)) l’element associe. Soit ! un sous-groupe discret cocompact de G et $ une representation unitaire de ! de dimension Nfinie. Soit C! & K!

top(G) tel que µG,r(C!) = x!. Soit µ! = µG(C!). On a :

(IndG! ($))!(µG(C!)) = N vol(G/!)d!.

Supposons de plus, " est isolee dans "G et soit p! & K0(C!(G)) l’element associe. SiµG(C!) = p!, alors on a :

m(",!,$) = N vol(G/!)d! .

Demonstration. — Compte tenu du lemme precedent, la premiere assertion est sim-plement le theoreme 4.4.1 applique a C! . La seconde resulte immediatement du faitque m(",!,$) = (IndG

! ($))!(p!).

Remarques

(1) L’existence (et son unicite) d’un tel element C! est postulee par la conjecturede Baum-Connes sans coe"cients pour G. Cette conjecture est maintenant demontreepour une vaste classe de groupes : les groupes de Lie reductifs (A. Wassermann), lesgroupes reductifs sur un corps p-adique (V. La#orgue) et les groupes moyennables(N. Higson, G. Kasparov). Signalons egalement que l’injectivite de µr

G,A est connuepour une tres vaste classe de groupes en particulier, pour tous les sous-groupes fermesdes groupes presque-connexes et des groupes reductifs p-adiques.

(2) La representation " peut etre isolee dans "Gr sans l’etre dans "G (ceci se produitdeja pour G = SL2(R)). Le theoreme precedent fournit neanmoins une formule a laLanglands pour toutes les series discretes des groupes localement compact presqueconnexes verifiant la conjecture de Baum-Connes. Cette formule ne permet pas de


5.3. CAS DES REPRESENTATIONS INTEGRABLES 79

calculer directement la multiplicite m(",!,$) mais la relie aux multiplicites d’autresrepresentations (non faiblement contenues dans la representation reguliere). En par-ticulier, on obtient une explication geometrique des formules pour les series discretesnon integrables des groupes SO(n, 1).

Theoreme 5.2.3. — Soit G un groupe localement compact unimodulaire moyennable(ou T -moyennable) et " une serie discrete isolee dans "G, alors :

m(",!,$) = N vol(G/!)d! .

Demonstration. — N. Higson et G.Kasparov ont demontre la conjecture de Baum-Connes pour les groupes T -moyennables et montre qu’ils sont K-moyennables. Enparticulier, µG est un isomorphisme donc il existe un unique C! & K!

top(G) tel queµG(C!) = p! auquel on peut appliquer le theoreme precedent. D’ou le resultat.

Remarques

(1) Dans le cas des groupes nilpotents, ce resultat est du a C.C. Moore et J.A. Wolf([M-W]).

(2) Ce resultat implique que l’ensemble des dimensions formelles des series dis-cretes d’un groupe localement compact moyennable possedant un sous-groupe discretcocompact sans torsion, est discret dans R (cf. [Co-M] pour un exemple de groupede Lie nilpotent dont l’ensemble des dimensions formelles des series discretes n’estpas discret). Rappelons que si G est un groupe lineaire, et ! est un sous-groupe detype fini, alors ! possede un sous-groupe d’indice fini sans torsion, et que tout reseaucocompact d’un groupe localement compact presque-connexe est de type fini, puisquece sont des groupes fondamentaux de varietes compactes. Ainsi l’ensemble des dimen-sions formelles d’un groupe lineaire localement compact moyennable possedant unreseau cocompact est discret.

5.3. Cas des representations integrables

5.3.1. Integrabilite d’une representation. — Soit G un groupe localement com-pact unimodulaire.

Proposition 5.3.1. — Soit " une serie discrete isolee dans le dual reduit. Les as-sertions suivantes sont equivalentes :

(1) 0x & L1(G) tel que "(x) est de rang fini non nul et /(x) = 0, ( / & "G \ {"}.(2) 0 p & L1(G) tel que "(p) est un projecteur de rang 1 et /(p) = 0, ( / & "G\{"}.(3) 0 # & H!, %#% = 1 tel que la fonction g ! "#,"(g)## est integrable.Si la representation verifie l’une des assertions equivalentes, on dit qu’elle est in-

tegrable.



Demonstration. — Trivialement, l’assertion 2 implique l’assertion 1. Pour montrerla reciproque, soit x & L1(G) tel que dans l’assertion 1. Soit j : L1(G) ! C!(G)l’inclusion canonique et B la sous-algebre involutive j(x)C!(G)j(x!) de C!(G). AlorsB est de dimension finie et " induit un isomorphisme entre B et "(B) = L("(x!)H).De plus, ( / & "G \ {"}, on a /(B) = 0. Soit b in B tel que "(b) soit un projecteur derang un. Comme j(xL1(G)x!) = B (puisque B est de dimension finie), b & j(L1(G)).D’ou l’assertion 2. D’apres ce qui precede, l’assertion 3 implique l’assertion 2, puisquesi # & H! est de norme 1 et tel que g ! "#, g## & L1(G), alors p & L1(G) defini par( g & G, p(g) = d!"g#, ## verifie les hypotheses de l’assertion 2. Pour la reciproque,soit p tel qu’en 2. Soit # de norme 1 tel que # & Im("(p)). Alors p" = !(p). Soitf & L2(G) la fonction qui a g & G associe d!"#, g##. On a : ( ), ' & CC(G),

") 6 "', f# = "), p"(')#= "),!(p)(')#

=3

() 6 "')(g)p(g)dg

ce qui implique l’egalite presque sure des fonctions p et f . D’ou le resultat.

Lemme 5.3.2. — Soit " une serie discrete isolee dans "Gr.

(1) S’il existe un projecteur p de L1(G), et une homotopie de projecteurs dansC!

r (G) entre !(p) et un projecteur p" pour # & H! de norme 1, alors " est integrable.(2) S’il existe p & L1(G) projecteur tel que [!(p)] = x!, et si G est liminaire, alors

" est encore integrable.

Demonstration. — On a un isomorphisme C!r (G) 3 K(H!) + Jr

!, ou Jr! est le noyau

de la representation " de C!r (G). La composante de p" (# & H!) dans J! est nulle, et

donc c’est egalement le cas pour tout projecteur qui lui est homotope ; soit p un telprojecteur. Alors "(p) est de rang 1 et donc verifie l’assertion 2 du theoreme precedent.Donc " est integrable.

Dans le cas, ou G est liminaire, un projecteur non trivial de Jr! a toujours une

classe non triviale en K-theorie ; donc dans ce cas, tout projecteur p de C!r (G) qui

definit la meme classe qu’un p" a egalement une composante nulle dans Jr! et par

ailleurs le rang de "(p) est "!(p) = "!(x!) = 1. Donc p verifie encore l’assertion 2 et" est integrable.

Soit j : L1(G) ! C!(G) l’application canonique.

Lemme 5.3.3. — Soit # & H! de norme 1 tel que la fonction p definie par ( g & G,p(g) = d!"g#, ## est dans L1(G). Soit f & CC(G), on a l’egalite suivante dans L1(G)

p 6 f 6 p = "#,"(f)##p.

La serie discrete est isolee dans le dual plein et p! = [j(p)].


5.3. CAS DES REPRESENTATIONS INTEGRABLES 81

Demonstration. — Comme ! : L1(G) ! V N(G) est injective, il su"t de le verifierdans V N(G). Or !(p") est un projecteur minimal dans V N(G). Donc il existe cf & C,tel que !(pfp) = cfp. On a

cf = cf "#,"(p)##= "#,"(pfp)##= "#,"(f)##

D’ou la formule. Il s’ensuit que j(p)C!(G)j(p) = Cj(p) et donc j(p) est un projecteurminimal de C!(G) et donc " est isolee dans "G (cf. [V2]).

5.3.2. Les travaux de V. La"orgue sur la conjecture de Bost et les multipli-cites des series discretes integrables. — Soit G un groupe localement compact.On peut construire (cf. [L]) une fleche de Baum-Connes pour l’algebre L1(G) :

µ1 : K!top(G) ! K!(L1(G))

telle que µ = j! 'µ1. La conjecture de Bost a"rme que µ1 est un isomorphisme. Danssa these, V. La#orgue a introduit une vaste classe C# de groupes localement compacts(stable par sous-groupe ferme) qui comprend tous les groupes de Lie semisimples, lesgroupes reductifs sur les groupes p-adiques, et les groupes moyennables.

Theoreme 5.3.4 (V. La#orgue). — Si G est dans la classe C#, alors G verifie laconjecture de Bost.

En particulier, si G est dans la classe C#, l’image de µ contient (et est egal a) l’imagede j!. Ainsi si " est une serie discrete integrable, p! (et donc x!) est dans l’image deµ (resp. µr). Par ailleurs, pour les groupes dans la classe C#, µr est injective.

En conjuguant le theoreme de V. La#orgue et le theoreme 5.2.2, on obtient :

Theoreme 5.3.5. — Soit G un groupe localement compact unimodulaire, ! un sous-groupe discret cocompact sans torsion dans la classe C#, " une representation integrablede G, $ une representation unitaire de dimension N de !. Alors on a la formule desmultiplicites :

m(",!,$) = N vol(G/!)d! .


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