KBANTOMHXANIKHpmoiras.weebly.com/uploads/4/2/4/0/42405031/kβαντομηχανική.pdf · Η...

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ | Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778

ΣΟΛΩΜΟΥ 29 - ΑΘΗΝΑ 6932 946778

www.pmoiras.weebly.com

Συγγραφή – Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας

KBANTOMHXANIKH

ΘΕΩΡΙΑ




Αρχή κυματοσωματιδιακού δυϊσμού

Σχέσεις Einstein – De Broglie

Η κβαντομηχανική του Schrödinger και ο φορμαλισμός που εισήχθει από τον Heisenberg

αποτελούν τη βάση αυτού που είναι γνωστό ως Σύγχρονη Φυσική, με τις θεωρίες της

οποίας αντικαταστάθηκε ή επεκτάθηκε με επιτυχία η κλασική μηχανική σε όλη την

περιοχή της φυσικής σε ατομικό και μοριακό επίπεδο. Το κεφάλαιο αυτό ασχολείται μόνο

με την κυματομηχανική του Schrödinger και τον τρόπο με τον οποίο αναδεικνύει τη δυϊκή

κυματο-σωματιδιακή φύση της ύλης.

Η δυϊκή αυτή φύση θεμελιώθηκε πρώτα για την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία με την

παραδοχή του Planck και ολοκληρώθηκε με την υπόθεση των φωτονίων του Einstein.

Σύμφωνα με την παραδοχή του Planck η ενέργεια ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος δεν

μπορεί να κατέχει οποιαδήποτε τιμή, αλλά μόνο ορισμένες διάκριτες τιμές (κβάντωση

ενέργειας) και συγκεκριμένα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της ποσότητας hν. Δηλαδή:

,...,, 21nνnhEn (8-1)

όπου 3410636h , Joule sec είναι η σταθερά του Planck, ν είναι η συχνότητα και η

ποσότητα hν ονομάζεται κβάντουμ ενέργειας.

Στη συνέχεια ο Einstein με την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας ερμήνευσε τη διάδοση

της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας όχι μέσω κυμάτων, αλλά σωματιδίων που τα

ονόμασε φωτόνια. Τα σωματίδια αυτά έχουν ενέργεια E=hν, διαδίδονται με την ταχύτητα

του φωτός, έχουν μηδενική μάζα ηρεμίας και ορμή :

λ

hp

c

νh

c

Ep

Δηλαδή συνδέθηκαν τα κυματικά χαρακτηριστικά συχνότητα και μήκος κύματος με τα

σωματιδιακά χαρακτηριστικά ενέργεια και ορμή του φωτονίου.

Οι παραπάνω σχέσεις μπορούν να γραφούν σε μια πολύ πιο κομψή μορφή αν περιγραφούν

τα κυματικά χαρακτηριστικά του φωτονίου μέσω της κυκλικής συχνότητας ω=2πν και του

κυματάριθμου k=2π/λ, τα οποία είναι πολύ πιο βολικά για τη μαθηματική περιγραφή των

κυμάτων. Δηλαδή:

kkπ2

hpκαιωω

π2

hE π2hπουό / (8-2)

Οι σχέσεις (8-2) αποτελούν τις σχέσεις Einstein, οι οποίες συνδέουν τα κυματικά με τα

σωματιδιακά χαρακτηριστικά του φωτονίου και επιβεβαιώνουν τον κυματοσωματιδιακό

δυϊσμό του φωτός.




Αργότερα ο de Broglie αντιστρέφοντας την υπόθεση του Einstein, με σκοπό να εξηγήσει

την κβάντωση των ενεργειακών καταστάσεων των ηλεκτρονίων μέσα στα άτομα, θεώρησε

ότι ένα υλικό σωμάτιο μάζας m, ενέργειας Ε και ορμής p αντιστοιχεί σε κύμα, που

ονομάζεται υλικό κύμα de Broglie συχνότητας ν=E/h και μήκους κύματος λ=h/p.

Παρατηρείται ότι για λ=2π/k, ν=2π/ω και π2h / οι παραπάνω σχέσεις οδηγούν στις

(8-2).

Άρα σύμφωνα με τα προηγούμενα θεμελιώνεται η αρχή του κυματοσωματιδιακού

δυϊσμού, η οποία εκτείνεται σε όλη τη φυσική πραγματικότητα και εκφράζεται ποσοτικά

από τις σχέσεις Einstein – De Broglie:

kpκαιωE (8-3)




Εφαρμογή

Να υπολογιστεί η φασική και η ομαδική ταχύτητα των υλικών κυμάτων de Broglie

σύμφωνα με τη Νευτώνεια Μηχανική και σύμφωνα με τη θεωρία της Σχετικότητας.

Λύση

Από τις σχέσεις Einstein – De Broglie είναι /Eω και /pk

Σύμφωνα με τη Νευτώνεια Μηχανική

Η φασική ταχύτητα είναι:

p

E

p

E

k

ωυph

/

/

Αλλά: m2pE 2 / οπότε : 2

υυ

m2

υm

m2

p

p

m2pυ ph

2

ph /

Δηλαδή η φασική ταχύτητα είναι το μισό της ταχύτητας του σωματιδίου.

Η ομαδική ταχύτητα είναι:

υυm

υm

m

p

m2

p2

m2

p

dp

d

dp

dE

pd

Ed

dk

ωdυ g

2

g

)/(

)/(

Σύμφωνα με τη θεωρία της Σχετικότητας

Η φασική ταχύτητα είναι:

p

E

p

E

k

ωυph

/

/

Αλλά: 2οcmγE και υmγp ο , όπου 22 cυ11γ // οπότε:

cυ

cυ

υmγ

cmγυ

2

ph

o

2o

ph (αφού υ<c)

Η ομαδική ταχύτητα είναι: dp

dE

pd

Ed

dk

ωdυg

)/(

)/(

Αλλά: 42o

22 cmcpE οπότε:

υυcmγ

cυmγ

E

pc

cmcp2

pc2cmcp

dp

dυ g2

o

2o

2

42o

22

242

o22

g

)(

Δηλαδή η ομαδική ταχύτητα ενός υλικού κύματος de Broglie αντιστοιχεί στη σωματιδιακή

ταχύτητα υ σύμφωνα και με την Κλασική Μηχανική και με τη Σχετικότητα.




Θεωρία Bohr

Η θεωρία του Bohr εξηγεί τα υδρογονοειδή, δηλαδή τα συστήματα εκείνα των οποίων ο

πυρήνας αποτελούμενος από Ζ πρωτόνια έλκει ένα και μόνο ένα ηλεκτρόνιο. Ο Bohr

ερμήνευσε κλασικά τη συμπεριφορά τους εισάγοντας τρεις αυθαίρετες παραδοχές:

α) Το ηλεκτρόνιο κινείται με διάκριτες κυκλικές τροχιές γύρω από τον ακλόνητο πυρήνα.

Κάθε τέτοια τροχιά χαρακτηρίζεται από την αντίστοιχη κβαντισμένη ενέργεια.

β) Ακτινοβολία εκπέμπεται ή απορροφάται μόνο κατά τις μεταπτώσεις από τη μία

ενεργειακή στάθμη στην άλλη, δηλαδή η αντίστοιχη συχνότητα είναι:

h

ν

(8-4)

γ) Η στροφορμή του ηλεκτρονίου είναι επίσης κβαντισμένη, δηλαδή :

,...,, 21nnrυmL (8-5)

Από τη σχέση (8-5) προκύπτει:

λnrπ2p

hnrπ2

π2

hnprnrυm

Δηλαδή η περιφέρεια μιας στάσιμης τροχιάς αποτελεί ένα σύστημα στάσιμων κυμάτων και

περιέχει ένα ακέραιο πλήθος n μηκών κύματος de Broglie λ.

Με βάση τις τρεις παραπάνω παραδοχές και θεωρώντας ως κεντρομόλο την ελκτική

δύναμη Coulomb 22 reF / ο Bohr υπολόγισε τις επιτρεπόμενες τροχιές και ενέργειες

ως:

mZe

nr

2

22

n

και ,...,, 21n

n2

emZE

22

42

n

(8-6)

Για n=1 και Ζ=1 προκύπτει η πρώτη ακτίνα του Bohr 50mer 221 ,/ Å και η πρώτη

ενεργειακή στάθμη eV6132meE 241 ,/ .

Η αναζήτηση μιας γενικότερης συνθήκης, που θα ήταν εφαρμόσιμη και για διαφορετικού

τύπου περιοδικές κινήσεις (όπως ελλειπτικές τροχιές ή απλές αρμονικές ταλαντώσεις)

οδήγησε στην ακόλουθη γενικευμένη συνθήκη κβάντωσης του Bohr:

Επιτρεπόμενες είναι μόνο εκείνες οι περιοδικές τροχιές που η δράση τους είναι ακέραιο

πολλαπλάσιο της σταθεράς του Planck h. Η δράση μιας περιοδικής τροχιάς είναι το

φασικό ολοκλήρωμα pdq , όπου q είναι μια γενικευμένη συντεταγμένη της κίνησης και p

η αντίστοιχη γενικευμένη ορμή.

Δηλαδή: ,...,, 21nnhpdq (8-7)




Κύμα πιθανότητας – Αρχή αβεβαιότητας του Heisenberg

Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να

είναι εντοπισμένο και αδιαίρετο αφενός και εκτεταμένο και διαιρετό αφετέρου,

ερμηνεύτηκε από τον M. Born με την πιθανοκρατική ερμηνεία των υλικών κυμάτων.

Σύμφωνα με αυτή το κύμα που περιγράφει την κίνηση ενός σωματιδίου στο χώρο δεν

αντιπροσωπεύει μια μετρήσιμη φυσική διαταραχή (όπως ένα ηλεκτρομαγνητικό,

ακουστικό ή οποιοδήποτε άλλο μηχανικό κύμα), αλλά είναι μια καθαρά μαθηματική

οντότητα που περιγράφει απλώς την πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο στη μια ή την

άλλη περιοχή του χώρου. Δηλαδή πρόκειται για ένα κύμα πιθανότητας.

Έτσι όπου το κύμα είναι ισχυρό, η πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο είναι μεγάλη και

αντιστρόφως, όπου το κύμα είναι ασθενές, η πιθανότητα να βρεθεί εκεί το σωματίδιο είναι

αντίστοιχα μικρή.

Αν ),,,( tzyx είναι η κυματοσυνάρτηση ενός υλικού κύματος (κύματος πιθανότητας) σε

μια ορισμένη χρονική στιγμή, τότε η πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί το σωματίδιο στο

στοιχειώδη όγκο γύρω από το σημείο (x,y,z) είναι:

*),,,(2

tzyxdV

dP (8-8)

όπου * είναι η μιγαδική συζυγής της Ψ όταν αυτή είναι εκφρασμένη μιγαδικά.

Οπότε η πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο μέσα σε ένα πεπερασμένο όγκο V προφανώς

είναι:

V

2dxdydztzyxP ),,,( (8-9)

Ενώ επειδή το σωματίδιο πρέπει πάντοτε να βρίσκεται κάπου στο χώρο, αν το

ολοκλήρωμα επεκταθεί σε όλο το χώρο, η πιθανότητα γίνεται βεβαιότητα, δηλαδή ισούται

με τη μονάδα και ισχύει:

1dxdydztzyx2

),,,( (8-10)

Η σχέση (8-10) ονομάζεται συνθήκη κανονικοποίησης και εκφράζει τη διατήρηση της

ολικής πιθανότητας.

Άρα με την πιθανοκρατική ερμηνεία των υλικών κυμάτων η αντίφαση σωματίδιο-κύμα

αίρεται αυτόματα. Το σωματίδιο δεν είναι πια υποχρεωμένο να αρνηθεί τη σωματιδιακή

του υπόσταση και να απλωθεί σε όλο τον όγκο του κύματος που συνοδεύει την κίνησή

του, γιατί το κύμα περιγράφει απλώς την πιθανότητα να βρεθεί αυτό εδώ ή εκεί, αλλά ποτέ

εδώ και εκεί ταυτόχρονα.

Μια άμεση συνέπεια της αρχής του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού και της πιθανοκρατικής

του ερμηνείας είναι μια θεμελιώδης αρχή της Κβαντομηχανικής, η αρχή της




αβεβαιότητας του Heisenberg. Σύμφωνα με αυτή στα πλαίσια της Κβαντομηχανικής, σε

αντίθεση με την Κλασική Φυσική, δεν είναι δυνατόν να μετρηθούν ταυτόχρονα με

απόλυτη ακρίβεια η θέση και η ορμή ενός σωματιδίου. Δηλαδή:

px (8-11)

Διαπιστώνεται έτσι ότι η ταυτόχρονη γνώση της θέσης και της ορμής ενός κβαντικού

σωματιδίου είναι αδύνατη. Έτσι αν ένα σωματίδιο έχει απόλυτα καθορισμένη ορμή (Δp=0)

τότε η θέση του θα είναι τελείως απροσδιόριστη ( x ) , ενώ αντίθετα αν η θέση του

σωματιδίου είναι απόλυτα καθορισμένη (Δx=0) τότε η αβεβαιότητα της ορμής του γίνεται

άπειρη ( p ).

Επίσης ισχύει η σχέση αβεβαιότητας ενέργειας – χρόνου, σύμφωνα με την οποία η

απροσδιοριστία της ενέργειας ΔΕ σε μια μέτρηση που διαρκεί χρονικό διάστημα Δt

επαληθεύει την ανισότητα:

tE (8-12)

Δηλαδή αν ένα σωματίδιο παραμένει μόνιμα σε κάποια ενεργειακή στάθμη, τότε η

ενέργειά του είναι πλήρως καθορισμένη (ΔΕ=0), ενώ ο χρόνος ζωής της στάθμης είναι

απροσδιόριστος ( t ). Αντίθετα αν το σωματίδιο εκτελεί μεταπτώσεις σε ενεργειακές

στάθμες (Δt=0) τότε υπάρχει πλήρης αδυναμία εντοπισμού του σε μια στάθμη ( E ).

Παρατήρηση:

Πολύ συχνά κάνοντας χρήση της αρχής της αβεβαιότητας, πραγματοποιείται εκτίμηση για

την τάξη μεγέθους της θεμελιώδους στάθμης διάφορων κβαντικών συστημάτων,

θεωρώντας ότι στη θεμελιώδη κατάσταση ισχύει η προσέγγιση:

px (8-13)




Κυματική εξίσωση Schrödinger

Για την εξαγωγή της κυματικής εξίσωσης Schrödinger που περιγράφει τη συμπεριφορά

ενός σωματιδίου θεωρείται ότι το σωματίδιο περιγράφεται από ένα υλικό κύμα ενέργειας

ω , ορμής kp και ταχύτητας dkωdυg / . Το υλικό αυτό κύμα αν είναι

μονοδιάστατο περιγράφεται μαθηματικά από την κυματοσυνάρτηση:

/)()(),( Etpxitωkxi AeAetx (8-14)

της οποίας το τετράγωνο 2

tx ),( παριστάνει την πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο στο

σημείο x.

Η ολική ενέργεια ενός σωματιδίου μάζας m και ορμής p μέσα σε ένα συντηρητικό πεδίο

δυναμικού V δίνεται από τη σχέση:

)( VEm2pVm2

pEVE 2

2

(8-15)

Παραγωγίζοντας την Ψ(x,t) προκύπτει:

),()(),(

),(),( )(

txVEm2

x

txtx

p

x

tx22

2158

2

2

2

2

0txVEx

tx

m2 2

22

),()(

),( (8-16)

Αν τώρα γραφεί tωiexψtx )(),( και αντικατασταθεί στην παραπάνω, τότε

απαλείφεται ο κοινός παράγοντας tωie και προκύπτει:

0xψVEx

xψ

m2 2

22

)()(

)( (8-17)

Η σχέση (8-17) αποτελεί τη χρονικά ανεξάρτητη κυματική εξίσωση Schrödinger και

δίνει καταστάσεις σταθερής συχνότητας, δηλαδή σταθερής ενέργειας.

Για τις καταστάσεις που δεν έχουν σταθερή ενέργεια πρέπει να διατηρηθεί η χρονική

εξάρτηση στην εξίσωση Schrödinger και αυτό επιτυγχάνεται αν ληφθεί υπόψη ότι:

t

txi

t

tx

itxEtx

iE

t

tx

),(),(),(),(

),(




Αντικαθιστώντας την παραπάνω στην (8-16) προκύπτει η χρονικά εξαρτημένη κυματική

εξίσωση Schrödinger:

t

txitxV

x

tx

m2 2

22

),(),(

),(

(8 – 18)

Παρατήρηση:

Στο βιβλίο αυτό θα θεωρηθούν μόνο καταστάσεις σταθερής ενέργειας, οπότε θα γίνεται

χρήση μόνο της χρονικά ανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger. Στις τρεις διαστάσεις αυτή

έχει τη μορφή:

0ψVEψm2

0ψVEz

ψ

y

ψ

x

ψ

m2

22

2

2

2

2

2

22

)()(

Στον ακόλουθο πίνακα παρουσιάζεται η ιστορική πορεία θεμελίωσης της

Κβαντομηχανικής.




ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΟ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

Χρονολο

γία

Όνομα

Ερευνητή Ανακάλυψη

1900 Planck Ακτινοβολία του μέλανος σώματος

Η ενέργεια ενός φωτεινού κύματος είναι ακέραιο

πολλαπλάσιο της ποσότητας Ε=hν.

1905 Einstein Φωτοηλεκτρικό Φαινόμενο

Το φως έχει ταυτόχρονα και σωματιδιακή υφή, με

σωματιδιακό φορέα τα φωτόνια.

1913 Bohr Άτομο του υδρογόνου – Θεωρία των κβαντωμένων

τροχιών

Το ηλεκτρόνιο μπορεί να κινείται μόνο σε εκείνες

τις τροχιές των οποίων η στροφορμή είναι ακέραιο

πολλαπλάσιο της ποσότητας π2h / .

1923 Compton Φαινόμενο Compton

Αναμφίβολη πειραματική απόδειξη της

σωματιδιακής φύσης του φωτός. Εκτός από

ενέργεια E=hν τα φωτόνια έχουν και ορμή p=h/λ.

1923 De Broglie Η υπόθεση των υλικών κυμάτων

Κάθε σωματίδιο ενέργειας Ε και ορμής p

συμπεριφέρεται ως κύμα συχνότητας ν και μήκους

κύματος λ ίσων με ν=E/h και λ=h/p.

1924 Pauli Απαγορευτική αρχή

Δεν είναι δυνατό να τοποθετηθούν στο ίδιο άτομο

περισσότερα από ένα ηλεκτρόνια με τα ίδια φυσικά

χαρακτηριστικά.

1925 Heisen-

berg

Μηχανική των μητρών

Εισαγωγή των μητρών για την περιγραφή των

φυσικών μεγεθών.

1926-27

Schröding-

er

Κυματομηχανική –

Η εξίσωση των υλικών κυμάτων

Η κυματοσυνάρτηση ψ(x,y,z) ενός υλικού κύματος

ικανοποιεί την εξίσωση :

0ψz)y,x,VEm2

z

ψ

y

ψ

x

ψ22

2

2

2

2

2

]([

Born Η πιθανοκρατική ερμηνεία των υλικών κυμάτων

Το τετράγωνο της κυματοσυνάρτησης ενός υλικού

κύματος παριστάνει την πιθανότητα να βρεθεί το

σωματίδιο σε μια ορισμένη περιοχή του χώρου.

Heisen-

berg

Η αρχή της αβεβαιότητας

Το γινόμενο των αβεβαιοτήτων θέσης και ορμής

ενός σωματιδίου δεν μπορεί να γίνει μικρότερο από

τη σταθερά του Planck. Δηλαδή: .hpx




Davisson

Germer

Πειραματική επιβεβαίωση της κυματικής

συμπεριφοράς των ηλεκτρονίων.

Απειρόβαθο μονοδιάστατο πηγάδι δυναμικού

Θεωρείται η περίπτωση ενός σωματιδίου που είναι περιορισμένο να κινείται σε μια περιοχή

μεταξύ του x=0 και x=L στην οποία το δυναμικό είναι V=0. Στα x=0 και x=L τα τοιχώματα

του δυναμικού έχουν άπειρο ύψος. Αυτό αποτελεί μια εξιδανικευμένη μορφή του δυναμικού

που βλέπει ένα ηλεκτρόνιο στις χαμηλές ενεργειακές στάθμες κοντά στον πυρήνα ενός

ατόμου. Συνεπώς το απλό αυτό κβαντομηχανικό πρόβλημα περιγράφει την κίνηση

σωματιδίου υπό την επίδραση του δυναμικού:

0xκαιLxγια

Lx0για0

xV

,

,

)(

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης δυναμικού

φαίνεται στο Σχήμα 8.1.

Το γεγονός ότι το δυναμικό είναι άπειρο έξω από το

πηγάδι, σημαίνει ότι το σωματίδιο δεν έχει καμία

πιθανότητα να ξεφύγει από το διάστημα 0<x<L και

επομένως η κυματοσυνάρτηση θα είναι μηδέν παντού

έξω από το πηγάδι και θα έχει μη μηδενικές τιμές

μόνο μέσα σε αυτό. Συνεπώς για να υπάρχει συνέχεια των τιμών της ψ(x) μέσα και έξω

από το διάστημα 0<x<L θα πρέπει να ισχύουν οι συνοριακές συνθήκες:

ψ(x=0)=ψ(x=L)=0 (8-19)

Επειδή όμως για Lx0 είναι V(x)=0 η χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger (8-

17) δίνει:

2

22

2

2

22

2 mE2kπουό0ψk

x

ψ0ψ

mE2

x

ψ

, (8-20)

Η γενική λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης ως γνωστό είναι:

kxBkxAxψ cossin)( (8-21)

Οπότε επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες (8-19) στην (8-21) προκύπτει:

0B00B0A00xψ218

cossin)()(

Σχήμα 8.1

V(x)=0

V(x) V(x)

x=0 x=L

x




Δηλαδή: kxAxψ sin)( (8-22)

και

0kL0kLA0Lxψ228

sinsin)()(

,...,, 21nL

πnkπnkL n (8-23)

Άρα από τις (8-20) και (8-23) προσδιορίζονται οι ενεργειακές ιδιοτιμές ως:

,...,, 21nEnmL2

πnE

L

πnmE21

2

2

222

n2

22

2

n

(8-24)

όπου 2221 mL2πE / είναι η ενέργεια της θεμελιώδους στάθμης.

Επίσης οι ιδιοτιμές της ορμής είναι:

,...,,)(

21nL

πnpkp n

238

n

(8-25)

Δηλαδή παρατηρείται ότι σε ένα άπειρο πηγάδι δυναμικού, ένα σωματίδιο δεν μπορεί να

έχει μια αυθαίρετη τιμή ενέργειας, αλλά θα πρέπει να πάρει μόνο τις κβαντισμένες τιμές

Εn.

Οι ιδιοσυναρτήσεις του σωματιδίου σύμφωνα με τις (8-22) και (8-23) είναι:

,...,,sin)( 21nxL

πnAxψn (8-26)

όπου η σταθερά Α υπολογίζεται από τη συνθήκη κανονικοποίησης ως:

L

0

L

0

L

0

2222

n dxkx212

1A1kxdxA1dxxψ )cos(sin)(

L

2A10L

2

Aπn2

k2

1L

2

AkL2

k2

1L

2

A 2222

)(sinsin

L

2A

Άρα οι κανονικοποιημένες ιδιοσυναρτήσεις είναι:

,...,,sin)( 21nxL

πn

L

2xψn (8-27)




Στο ακόλουθο σχήμα φαίνεται η μορφή των τεσσάρων πρώτων ιδιοσυναρτήσεων:

n=4

ψ4(x)

n=3

n=2

n=1

x=0 x=L

ψ3(x)

ψ2(x)

ψ1(x)

E4=16E

1

E3=9E

1

E2=4E

1

2221 mL2πE /

x

Σχήμα 8.2

Παρατηρήσεις:

Από το παραπάνω σχήμα διαπιστώνεται ότι:

α) Οι ιδιοσυναρτήσεις είναι εναλλάξ άρτιες και περιττές ως προς το κέντρο του φρέατος

δυναμικού και αυτό είναι γενικό χαρακτηριστικό όλων των δυναμικών V(x) που είναι

συμμετρικά ως προς κάποιο σημείο, δηλαδή είναι άρτια (κατοπτρικά) δυναμικά V(x)=V(-

x).

β) Όσο περισσότερο διεγερμένη είναι μια στάθμη, τόσο περισσότερους κόμβους εμφανίζει

η αντίστοιχη κυματοσυνάρτηση. Η ιδιότητα αυτή είναι γενική, ισχύει για όλα τα κβαντικά

συστήματα και είναι γνωστή ως κομβικό θεώρημα.




Βήμα δυναμικού

Έστω ένα σωματίδιο μάζας m το οποίο προσπίπτει από τα αριστερά στο δυναμικό:

0xγιαV

0xγια0

xV

ο ,

,

)( , όπου οV θετική σταθερά

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής δυναμικού φαίνεται στο Σχήμα 8.3.

x=0

V(x)=0 xIII

V(x)=Vo

E>Vo

E<Vo

V(x)

Σχήμα 8.3

Το κβαντομηχανικό αυτό σύστημα αντιστοιχεί σε ένα πείραμα σκέδασης μιας δέσμης

σωματιδίων στην επιφάνεια ενός μετάλλου (ορθογώνιο σκαλοπάτι δυναμικού). Δηλαδή αν

σταλεί ένα σωματίδιο από τα αριστερά θα βρεθεί η πιθανότητα να ανακλαστεί στο

μέταλλο και να επιστρέψει και η πιθανότητα να περάσει το σκαλοπάτι. Ένα δυναμικό με

αυτή τη μορφή δεν μπορεί προφανώς να συγκρατήσει το σωματίδιο σε δέσμια κατάσταση

και επομένως το φάσμα θα είναι συνεχές σε όλη την ενεργειακή περιοχή Ε>0.

Είναι απαραίτητο να μελετηθούν ξεχωριστά οι δύο περιπτώσεις όπου η ολική ενέργεια του

σωματιδίου είναι Ε>Vo και Ε<Vo, όπου )(/ xVm2pE 2 .

• 1η περίπτωση: Ε > Vo

Για τον προσδιορισμό της πλήρης λύσης της ψ(x) για το βήμα δυναμικού πρέπει να λυθεί

η εξίσωση Schrödinger στις ξεχωριστές περιοχές x<0 (περιοχή Ι) και x>0 (περιοχή ΙΙ).

Οπότε στην περιοχή Ι είναι V(x)=0 και η χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger δίνει:

2

211

212

12

122

12

mE2kπουό0ψk

x

ψ0ψ

mE2

x

ψ

,

η γενική λύση της οποίας είναι:

xikxik

111 BeAexψ

)( (8-28)




Παρατηρείται ότι ο όρος xik1Ae είναι η κυματική περιγραφή ενός προσπίπτοντος

σωματιδίου που κινείται προς τα δεξιά, ενώ ο όρος xik1Be παριστάνει ένα ανακλώμενο

σωματίδιο που κινείται προς τα αριστερά.

Στην περιοχή ΙΙ είναι οVxV )( και η εξίσωση Schrödinger δίνει:

0ψkx

ψ0ψ

VEm2

x

ψ2

222

22

22

ο

2

22

)(

0VEm2

kπουό2

ο22

)(

επειδή 0VEVE οο και η γενική λύση της είναι:

xikxik

222 DeCexψ

)( (8-29)

Η οριακή συνθήκη σκέδασης είναι D=0, λόγω του ότι δεν υπάρχει αίτιο ανάκλασης στην

περιοχή ΙΙ. Έτσι οι άγνωστες σταθερές Α, Β, C προσδιορίζονται από τις οριακές συνθήκες

συνέχειας (συνθήκες συναρμογής) στο x=0:

CBA0xψ0xψ 21 )()(

CikBikAikx

ψ

x

ψ211

0x

2

0x

1

Λύνοντας το παραπάνω σύστημα προσδιορίζονται οι συντελεστές Β, C ως:

Akk

kkB

21

21

και A

kk

k2C

21

1

Άρα οι (8-28) και (8-29) γίνονται:

xik

21

21xik1

11 Aekk

kkAexψ

)( και xik

21

12

2Aekk

k2xψ

)( (8-30)

όπου η σταθερά Α υπολογίζεται από τη συνθήκη κανονικοποίησης:

1dxxψ2

)(




Παρατηρείται ότι το 2

1ψ και 2

2ψ δίνει την πυκνότητα πιθανότητας ή την ένταση του

σωματιδίου να βρεθεί στην περιοχή Ι και ΙΙ αντίστοιχα.

Οι πειραματικά ενδιαφέρουσες ποσότητες σε ένα πείραμα μονοδιάστατης σκέδασης είναι

οι συντελεστές ανάκλασης R και διέλευσης Τ, που ορίζονται από τις σχέσεις:

2

2

12

12

2

2

k

k

ςήπεριοχριθμοάκυματπτοντοςίπροσπτοςάπλ

ςήπεριοχριθμοάκυματμενουώανακλτοςάπλR

||

||

||

||

2

21

21

kk

kkR

(8-31α)

12

22

2

2

kC

k|C

ςήπεριοχριθμοάκυματπτοντοςίπροσπτοςάπλ

ριθμοάκυματT

||

|περιοχήςυδιερχόμενοπλάτος

1

221

221

kkk

kk4

)(2

21

21

kk

kk4T

)( (8-31β)

Από τις σχέσεις (8-31) εύκολα φαίνεται ότι R+T=1, επειδή το σωματίδιο ή ανακλάται ή

διέρχεται.

• 2η περίπτωση: Ε <Vo

Στην περιοχή Ι (x<0), όπως και πριν, επειδή V(x)=0 η εξίσωση Schrödinger δίνει:

2

211

212

12

122

12

mE2kπουό0ψk

x

ψ0ψ

mE2

x

ψ

,

και η γενική λύση αυτής είναι: xikxik

111 BeAexψ

)( (8 – 32)

Ενώ στην περιοχή ΙΙ (x>0) είναι οVxV )( και η εξίσωση Schrödinger δίνει:

0ψkx

ψ0ψ

VEm2

x

ψ2

222

22

22

ο

2

22

)(

0VEm2

kπουό2

ο22

)(




αφού 0VEVE οο και η γενική λύση της είναι:

xkxk2

22 DeCexψ

)(

Επειδή η λύση )(xψ2 πρέπει να μην απειρίζεται όταν )( ex προκύπτει ότι

D=0. Άρα : xk

22Cexψ

)( (8-33)

Οι οριακές συνθήκες συνέχειας στο x=0 δίνουν τις τιμές για τις σταθερές Α, Β, C:

CBA0xψ0xψ 21 )()(

CkBikAikx

ψ

x

ψ211

0x

2

0x

1

Λύνοντας το παραπάνω σύστημα προκύπτει:

Aikk

ikkB

21

21

και A

ikk

k2C

21

1

Άρα οι κυματοσυναρτήσεις (8-32) και (8-33) για τις ξεχωριστές περιοχές γράφονται:

xik

21

21xik1

11 Aeikk

ikkAexψ

)( και xk

21

12

2Aeikk

k2xψ

)( (8-34)

όπου η σταθερά Α υπολογίζεται από τη συνθήκη κανονικοποίησης

1dxxψ2

)(

Οι συντελεστές ανάκλασης R και διέλευσης Τ τώρα είναι:

1Rikk

ikk

k

kR

2

21

21

2

2

12

12

||

||

||

||

και 0TR1T

Δηλαδή παρατηρείται ότι για κάθε ενέργεια oVE προκύπτει ολική ανάκλαση του

σωματιδίου (όπως και στην κλασική περίπτωση), ακόμα και για εκείνα τα σωματίδια που

διεισδύουν στην κλασικά απαγορευμένη περιοχή x>0, όπου η )(xψ2 δεν είναι μηδενική.

Η πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο στην περιοχή ΙΙ είναι:

(8 – 35)




xk22

22

21

21

2

xk

21

12

xk2

2222 eA

kk

k4Ae

ikk

k2CexψxP

)()(

Έτσι αφού ο εκθετικός συντελεστής 2k εξαρτάται από τη oV , όσο μεγαλύτερη είναι η

οV , τόσο γρηγορότερα η κυματοσυνάρτηση )(xψ2 τείνει στο μηδέν στην περιοχή ΙΙ, για

ορισμένη ενέργεια οVE .

Επίσης παρατηρείται ότι όταν οV , δηλαδή στην περίπτωση του άπειρου φρέατος

δυναμικού, η )(xψ2 γίνεται μηδενική και δεν υπάρχει διείσδυση στην κλασικά

απαγορευμένη περιοχή.

Στο ακόλουθο σχήμα παριστάνονται οι γραφικές παραστάσεις των συντελεστών R και Τ

συναρτήσει της ενέργειας, τόσο στην κβαντομηχανική όσο και στην κλασική περίπτωση.

Κβαντομηχανικά

Κλασσικά

R

1

E0

0

1

E

T

T

1

1

0E

0E

Vo

Vo

Vo

Vo

R

Σχήμα 8.4




Τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού

Έστω ένα σωματίδιο με ενέργεια οVE που κινείται στο τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού

με εύρος L του Σχήματος 8.5. Μέσα στο πηγάδι το δυναμικό είναι μηδέν και η τιμή οV

του ύψους του δυναμικού είναι πεπερασμένη. Δηλαδή το κβαντομηχανικό αυτό πρόβλημα

περιγράφει την κίνηση σωματιδίου υπό την επίδραση του δυναμικού:

0xκαιLxγιαV

Lx0για0

xV

0 ,

,

)(

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής δυναμικού φαίνεται στο Σχήμα 8.5.

V(x)=Vo V(x)=V

o

V(x)=0

x=0 x=L

I IIIII

E<Vo

x

Σχήμα 8.5

Γράφοντας την χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger για κάθε μια από τις τρεις

περιοχές προκύπτει:

• Για την περιοχή Ι (x<0):

0ψkx

ψ0ψ

VEm2

x

ψ1

212

12

12

ο

2

12

)(

0VEm2

kπουό2

ο21

)(

επειδή 0VEVE οο και η γενική της λύση είναι:

xkxk1

11 BeAexψ

)(




Για να παραμείνει πεπερασμένη η )(xψ1 καθώς x (συνθήκη κανονικοποίησης)

πρέπει Β=0, οπότε:

xk

11Aexψ )( (8-36)

• Για την περιοχή ΙΙ L)x0 ( :

2

222

222

22

222

22

mE2kπουό0ψk

x

ψ0ψ

mE2

x

ψ

,

και η γενική λύση αυτής είναι:

xkDxkCxψ 222 sincos)( (8-37)

• Για την περιοχή ΙΙΙ (x>L):

0ψkx

ψ0ψ

VEm2

x

ψ3

212

32

32

ο

2

32

)(

0VEm2

kπουό2

ο21

)(

και η γενική λύση της είναι: xkxk3

11 GeFexψ

)(

Επειδή η λύση )(xψ3 πρέπει να μην απειρίζεται, αλλά να είναι πεπερασμένη, όταν

x πρέπει F=0, οπότε:

xk3

1Gexψ

)( (8-38)

Οι οριακές συνθήκες συνέχειας, δηλαδή ότι οι ψ(x) και xψ / πρέπει να είναι συνεχείς,

στα σημεία x=0 και x=L δίνουν:

Στο x=0: CA0xψ0xψ 21 )()(

DkAkx

ψ

x

ψ21

0x

2

0x

1

Στο x=L: Lk

22321GeLkDLkCLxψLxψ

sincos)()(




Lk

12222

Lx

3

Lx

2 1GekLkDkLkinCskx

ψ

x

ψ

cos

Για να ικανοποιείται το παραπάνω σύστημα πρέπει να επιβληθούν ορισμένες συνθήκες

στα 1k και 2k , δηλαδή στην τιμή της Ε. Επομένως επιτρέπονται μόνο ορισμένες τιμές για

την Ε, οι οποίες προκύπτουν αν διαιρεθούν κατά μέλη οι πρώτες δυο και οι δεύτερες δύο

εξισώσεις του προηγούμενου συστήματος:

1

2

k

k

D

C (1) και

)(

cossin

sincos 1

1222

2

12222

22

k

1

kLnkαtD

Ck

LnkαtD

C

k

1

LkDkLkCk

LkDLkC

1

222

1

22

2

1

2

122

1

22

2

1

2

k

kLnkαt

k

kLnkαt

k

k

k

1

kLnkαtk

kk

Lnkαtk

k

1

222

1

21

22

1

222

1

22

k

k2Lnkαt

k

kk

k

k2Lnkαt1

k

k21

22

212

kk

kk2Lnkαt

Ή αντικαθιστώντας τις τιμές των 21 kk , προκύπτει:

ο

ο

VE2

EVE2mE2nLαt

)(

(8-39)

Συνεπώς επιτρεπόμενες ενεργειακές καταστάσεις προκύπτουν μόνο για εκείνες τις τιμές της

ενέργειας Ε που ικανοποιούν την εξίσωση (8-39) και οι τιμές αυτές μπορούν να υπολογιστούν

με αριθμητικές ή γραφικές μεθόδους. Οι κυματοσυναρτήσεις ψ(x) του τετραγωνικού πηγαδιού

έχουν την ίδια γενική μορφή με εκείνες του απειρόβαθου πηγαδιού (Σχήμα 8.2), μόνο που τώρα

δεν μηδενίζονται στα άκρα x=0 και x=L, αλλά έχουν και εκθετικά φθίνουσες ουρές που

εκτείνονται στην κλασικά απαγορευμένη περιοχή x<0 και x>L. Η κυματοσυνάρτηση της

θεμελιώδους στάθμης είναι άρτια χωρίς κανένα κόμβο, η αμέσως επόμενη περιττή με ένα κόμβο

στο x=L/2 κ.ο.κ. Στο ακόλουθο σχήμα παριστάνονται οι τρεις πρώτες κυματοσυναρτήσεις για

ένα σωματίδιο σε τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού με τις τρεις χαμηλότερες επιτρεπόμενες

ενέργειες Ε1,Ε2 και Ε3.




x=0 x=L

Vo

Vo

E3

E2

E1

x

Σχήμα 8.6




Αρμονικός ταλαντωτής

Στις προηγούμενες παραγράφους εξετάστηκαν προβλήματα όπου το δυναμικό λάμβανε

σταθερή τιμή ανά περιοχή. Σαν τελευταίο παράδειγμα και ένα από τα σημαντικότερα

κβαντομηχανικά συστήματα, όπου το δυναμικό δεν έχει σταθερή τιμή, είναι το πρόβλημα

του αρμονικού ταλαντωτή, όπου μελετάται η συμπεριφορά σωματιδίου μάζας m υπό την

επίδραση του δυναμικού:

22xωm2

1xV )(

όπου ω είναι η σταθερή κυκλική συχνότητα του ταλαντωτή.

Το σύστημα αυτό βρίσκει άμεση αξιοποίηση στη μελέτη της ταλαντωτικής κίνησης των

μορίων και η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής δυναμικού αποδίδεται στο

ακόλουθο σχήμα.

0

x

E

V(x)

22xωm

2

1V(x)

Σχήμα 8.7

Η εξίσωση Schrödinger (8-17) για το σύστημα αυτό δίνει:

ψx)ψV

x

ψ

m20ψV(x)

x

ψ

m2 2

22

2

22

(

)()()(

xψExψxωm2

1

x

xψ

m2

22

2

22

(8-40)




Η γενική λύση της (8-40) σε ότι αφορά στις κυματοσυναρτήσεις )(xψn και στις

ενεργειακές ιδιοτιμές En είναι πολύπλοκη και απαιτεί τη λύση της διαφορικής εξίσωσης

του Hermite, πράγμα το οποίο είναι έξω από τα πλαίσια αυτού του βιβλίου. Συνοπτικά τα

αποτελέσματα είναι τα ακόλουθα:

,...,,, 210nω2

1nEn

(8-41)

ενώ οι τρεις πρώτες ιδιοσυναρτήσεις είναι:

2xα

41

o

2

eπ

αxψ /

/

)(

2xα21

41

1

2

xeα2π

αxψ //

/

)()(

, όπου /ωmα

2xα223

41

2

2

e2xα42π

αxψ //

/

)()(

Οι κυματοσυναρτήσεις ψ(x) για τις τρεις πρώτες ενεργειακές στάθμες του αρμονικού

ταλαντωτή φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα.

0

x

V(x)

ψ2(x)

ψ1(x)

ψο(x)

2ω52 /

2ω31 /

2ωο /

Σχήμα 8.8 Παρατηρείται ότι οι ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή, λόγω της συμμετρίας του

δυναμικού είναι εναλλάξ άρτιες (όταν n άρτιος) και περιττές (όταν n περιττός). Επίσης

παρατηρείται ότι, ενώ ένας κλασικός αρμονικός ταλαντωτής δεν μπορεί ποτέ να ξεπεράσει

το μέγιστο πλάτος απομάκρυνσης, ένα σωματίδιο που υπακούει σε μια κυματομηχανική

περιγραφή έχει μια πεπερασμένη πιθανότητα να βρεθεί πέρα από το όριο αυτό και αυτό

φαίνεται από τις εκθετικά φθίνουσες ουρές των κυματοσυναρτήσεων που εκτείνονται στην

κλασικά απαγορευμένη περιοχή.

KBANTOMHXANIKHpmoiras.weebly.com/uploads/4/2/4/0/42405031/kβαντομηχανική.pdf · Η...

Documents

Transcript of KBANTOMHXANIKHpmoiras.weebly.com/uploads/4/2/4/0/42405031/kβαντομηχανική.pdf · Η...