Κβαντική Κβαντομηχανική...

University of IoanninaUniversity of IoanninaDepartment of Materials Science & EngineeringComputational Materials Science

Κβαντική Θεωρία της ΎληςΚβαντική Θεωρία της Ύλης

∆ιδάσκων: Λευτέρης ΛοιδωρίκηςΠ1, 7146, [email protected]/elidorik

στασ

ηΜία

∆ιάσ

ανική σε

Μ

Κβαντομηχανική σε

αντομηχα Κβαντομηχανική σε

ί δ ά

Ύλης:

Κβα μία διάσταση

ρία της Ύ

κή Θεω

ρΚβαντι

Στατιστική ερμηνεία κυματοσυνάρτησης

στασ

ηΜία

∆ιάσ

• Max Born (1925):– η κυματοσυνάρτηση εμπεριέχει όλες τις πληροφορίες

σχετικά με το σωματίδιο (εν γένει συνάρτηση του χώρου

ανική σε

Μ σχετικά με το σωματίδιο (εν γένει συνάρτηση του χώρου και του χρόνου)

– η πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο στο απειροστό διάστημα dx γύρω απο το x

αντομηχα διάστημα dx γύρω απο το x

dxtxdxtxP 2|),(|),(

Ύλης:

Κβα

|),(|),(

*2||

ρία της Ύ

– δεν μπορούμε να μετρήσουμε το Ψ, μόνο το μέτρο του στο τετράγωνο, που εκφράζει πυκνότητα πιθανότηταςη Ψ πρέπει να είναι ομαλή και μονότιμη Το ίδιο και η

κή Θεω

ρ – η Ψ πρέπει να είναι ομαλή και μονότιμη. Το ίδιο και η παράγωγός της

Κβαντι

Κανονικοποίηση

στασ

η • Το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων είναι μονάδα– το σωματίδιο κάπου πρέπει να βρίσκεται

Μία

∆ιάσ το σωματίδιο κάπου πρέπει να βρίσκεται

1|)(| 2

dxtx συνθήκη α ο ο οίη ης

ανική σε

Μ 1|),(|

dxtx κανονικοποίησης

αντομηχα • Πιθανότητα να βρίσκεται στο διάστημα a < x < b

b

Ψ ί

Ύλης:

Κβα

aab dxtxP 2|),(| η Ψ εννοείται

κανονικοποιημένη

ρία της Ύ

– εαν δεν είναι κανονικοποιημένηb

κή Θεω

ρ

dxtxP

b

aab

2|),(|

Κβαντι

dxtxPab

2|),(|

Παράδειγμα 5.1στασ

η

Έστω η κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου

Μία

∆ιάσ • Έστω η κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου

0/||e)0,( xxCx

ανική σε

Μ

– απεικονίστε την γραφικά

αντομηχα

Ύλης:

Κβα – κανονικοποιήστε την (βρείτε τo C)

ρία της Ύ

1e1|)0,(| 0/||222

dxCdxx xx

κή Θεω

ρ

0/||2

2 11

0x

dC

xx

1C

Κβαντι 0/||2e 0 dxxx

0x

C

Παράδειγμα 5.1

στασ

η

• Υπολογισμός ολοκληρώματος

Μία

∆ιάσ

0

/2/||2 00 e2e dxdx xxxx

ανική σε

Μ

– αντικατάσταση

0

2xy

αντομηχα 0x

y

xx

Ύλης:

Κβα

2 ,

200 xdydxxyx

ρία της Ύ

00

0000/2 )ee()e(e

22e2 0 xxxdyxdx yyxx

κή Θεω

ρ 000000

)()(2

y

/||2

Κβαντι

0/||2 0e xdxxx


στασ

η

• Στο προηγούμενο παράδειγμα, ποιά η θ ό ίδ β ί

Μία

∆ιάσ πιθανότητα το σωματίδιο να βρίσκεται σε

00 xxx

ανική σε

Μ

0

0

02

/||2 e1|(x)|x

xxx

dxdxP

αντομηχα

00 0

e|(x)|xx

dxx

dxP

Ύλης:

Κβα

0

0

0

/2

0

e2 xxx dx

xP

ρία της Ύ

)ee(e2

2 022

0 dyxx

P y

κή Θεω

ρ 2 00x

Κβαντι

%47.868647.0e1 2 P

Κβαντική vs Κλασική

στασ

ηΜία

∆ιάσ

• Κλασική μηχανική– χρονική εξέλιξη: νόμος

• Κβαντική μηχανική• Κυματοσυνάρτηση: εξίσωση

ανική σε

Μ Νεύτωνα

• θέση

Schrödinger (χρονοανεξάρτητη)

)(tx )0,(x

αντομηχα • θέση

• ταχύτητα• Χρονική εξέλιξη: εξίσωση

Schrödinger

)(tx

)()( txt Ύλης:

Κβα

• επιτάχυνση

g

)()( txta ),( tx

ρία της Ύ

κή Θεω

ρΚβαντι

Ελεύθερο σωματίδιο στασ

ηΜία

∆ιάσ

• Ελεύθερο σωματίδιο δεν ασκείται καμία δύναμη– σταθερή ορμή

k 222

ανική σε

Μ

θ ή έ

kp mk

mpE

22

222

αντομηχα – σταθερή ενέργεια

E mk

2

2

Ύλης:

Κβα

• Η λύση ένα απλό επίπεδο κύμα με

m2

ρία της Ύ

η μ μ– χωρική συχνότητα k– χρονική συχνότητα ω

κή Θεω

ρ

)(e),( tkxik Atx

Κβαντι

)(sin)(cos),( tkxiAtkxAtxk

Ελεύθερο σωματίδιο

στασ

η

• Πυκνότητα πιθανότητας

Μία

∆ιάσ – το σωματίδιο έχει ισόποση πιθανότητα να βρεθεί οπουδήποτε

22)(2 |||e||),(| AAtxP tkxik

ανική σε

Μ

• Απροσδιοριστία στην θέση

|||||),(| k

αντομηχα • Απροσδιοριστία στην θέση

x

Ύλης:

Κβα

ή ί

ρία της Ύ • Ορμή σωματιδίου

kp

κή Θεω

ρ

• Απροσδιοριστία στην ορμή

Κβαντι

0p

Ελεύθερο σωματίδιο στην πράξη

στασ

η

• Ένα επίπεδο κύμα είναι αφύσικη λύσηί ύ ώ έ ίδ έ ά

Μία

∆ιάσ – εκτείνεται παντού, ενώ ένα σωματίδιο έχει κάποιον

εντοπισμό

• Χρησιμοποιούμε μια επαλληλία επίπεδων κυμάτων

ανική σε

Μ

λ ύθ ίδ όλ k έ

k

ikxkax e)0,(

αντομηχα – σε ελεύθερο σωματίδιο όλα τα k επιτρέπονται, το

άθροισμα γίνεται ολοκλήρωμα

dkk ikxe)()0(

Ύλης:

Κβα

λά (k) β ί θ ί λ λ ά

dkkax ikxe)()0,(

ρία της Ύ – τα πλάτη a(k) βρίσκονται απο την θεωρία ολοκληρωμάτων

Fourier

dxxka ikxe)()(

κή Θεω

ρ

Κβαντι

• Χρονική εξέλιξη

dkkatx tkkxi })({e)(),(

θεωρία ολοκληρωμάτων Fourier

στασ

η

• Αρχική εξίσωση:

dkkax ikxe)()(

Μία

∆ιάσ

Π λλ λ άζ λ λ ώ όλ ώ

)()(

xki

ανική σε

Μ • Πολλαπλασιάζουμε με και ολοκληρώνουμε σε όλο τον χώρο

dxdkkadxx xkkixki )(e)(e)(

xkie

αντομηχα

dxdkkadxx )(e)(e)(Ύλης:

Κβα • Στο δεξί μέρος εκτελούμε πρώτα την ολοκλήρωση κατά χ, και μετά κατά k.

)()()()( )( kdkkkkdkdk xkki

ρία της Ύ

– Η συνάρτηση δ(y) του Dirac: είναι μη-μηδενική μόνο για y0

)()()(e)( )( kadkkkkadkdxka xkki

κή Θεω

ρ Η συνάρτηση δ(y) του Dirac: είναι μη μηδενική μόνο για y0

ik

Κβαντι

• Τελικό αποτέλεσμα:

dxxka ikxe)()(

Εξίσωση Schrödingerστασ

η • Erwin Schrödinger (1926)

22

Μία

∆ιάσ

ttxitxxU

xtx

m

),(),()(),(

2 2

22

ανική σε

Μ

• Η συνάρτηση U(x) είναι η δυναμική ενέργειαΗ δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο είναι

dUF

αντομηχα – Η δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο είναι

• Η εξίσωση Schrodinger είναι μια έκφραση του νόμου διατήρησης ενέργειας

dxF

Ύλης:

Κβα

ξ η g μ φρ η μ ήρη ης ργ ς– για επίπεδο κύμα )(e),( tkxi

k tx

)(2)(2

e)(e tkxitkxi ik )()( e)(e tkxitkxi i

ρία της Ύ

– η εξίσωση Schrödinger γίνεται

)()(2 e)(e

xik

e)(e

ti

κή Θεω

ρ

)()()(22

e)(ee)(2

tkxitkxitkxi iiUikm

Κβαντι

EUm

pUmk

22

222

Τελεστές ορμής και ενέργειας

στασ

η

• Ορίζουμε τον τελεστή της ορμής δ ά ά έ ί δ ύ x

i

p

Μία

∆ιάσ – η δράση του πάνω σε ένα επίπεδο κύμα

)()()()()( eee)(ex

eˆ tkxitkxitkxitkxitkxi pkikii

p

ανική σε

Μ

• Ορίζουμε τον τελεστή της ολικής ενέργειας δ ά ά έ ί δ ύ t

i

E

αντομηχα – η δράση του πάνω σε ένα επίπεδο κύμα t

)()()()()( eee)(et

eˆ tkxitkxitkxitkxitkxi Eiii

E

Ύλης:

Κβα

• Ορίζουμε τον τελεστή της κινητικής ενέργειαςη δράση του πάνω σε ένα επίπεδο κύμα

t

2

22

2ˆ

xm

K

ρία της Ύ – η δράση του πάνω σε ένα επίπεδο κύμα 2 xm

)()(22

)(22

)(2

22)( ee

2e)(

2e

2eˆ tkxitkxitkxitkxitkxi K

mkk

mxm

K

κή Θεω

ρ

• Ορίζουμε τον τελεστή της Χαμιλτονιαλής

222 mmxm

)(2

ˆˆˆ2

22

xUxm

UKH

Κβαντι

• Εξίσωση Schrödinger ),(ˆ),(ˆ txtx EH2 xm

Λύση χρονικής εξέλιξης

στασ

η

• Έστω οτι η είναι γνωστή. Πως βρίσκουμε την ;)0,(x ),( tx

Μία

∆ιάσ

η γ ή ς ρ μ η ;– γνωρίζοντας την παράγωγο (κλίση) ως πρός την χρόνο (ανάπτυγμα Foyrier)

),( ),(

ttxttt

),()()(

ανική σε

Μ tt

txttx

),(),(),(

)(1)( 22 txtx

αντομηχα

),()(),(2

1),(2 txxU

xtx

mittx

Ύλης:

Κβα

– μετά απο κάθε βήμα, ξανα-υπολογίζουμε την παράγωγο ως πρός χρόνο

ρία της Ύ

λ ό λί ό

υπολογιστική μεθοδολογία

κή Θεω

ρ υπολογισμός κλίσης στον χρόνο tπροσδιορισμός νέας κυματοσυνάρτησης στον t+δt

Κβαντι

Υπολογισμός ιδιοσυναρτήσεων

στασ

η

• Χωρισμός μεταβλητών: )()(),( txtx

Μία

∆ιάσ

ttxitxxU

xtx

m

)]()([)]()()[()]()([2 2

22

ανική σε

Μ txm 2

txitxxUtx

)()()()()()()(22

αντομηχα t

xitxxUtxm

)()()()()(2 2

t )(1)(1 22

Ύλης:

Κβα

tt

tixU

xx

xm

)()(

1)()()(

12 2

22

ρία της Ύ

ExUx

)()()(

12 2

22 Eti

)()(

1

κή Θεω

ρ

• Χρονο-ανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger

xxm )(

)(2 2 tt )(

22

Κβαντι

)()()()(2 2

22

xExxUdx

xdm

)()( tEdt

tdi

Υπολογισμός ιδιοσυναρτήσεωνστασ

η

• Χρονική εξέλιξη dtiEdtE

dttdi

)()(

Μία

∆ιάσ idt

dtEidtEi ln titEi

)(

ανική σε

Μ dti

ti

ln tit ee)(

αντομηχα • Χρονοανεξάρτητη κυματοσυνάρτηση ψ(x)

– ομαλή, πεπερασμένη, μονοσήμαντη, με συναχή παράγωγο

Ύλης:

Κβα

• για μηδέν δυναμικό (μηδέν δυνάμεις, ελεύθερα σωματίδια)

2)(22 mExd

ρία της Ύ 02)()(

2 22

mExEdx

xdm

2

κή Θεω

ρ

02 k ikxx e)( 2

2

mEk

Κβαντι

– επίπεδα κύματαtiikx

kk txtx ee)()(),(

Ιδιοσυναρτήσεις: στάσιμες καταστάσεις

στασ

η

Ιδιοσυνάρτηση: η λύση ψ(χ) της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger

Μία

∆ιάσ • Ιδιοσυνάρτηση: η λύση ψ(χ) της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger

• Η πυκνότητα πιθανότητας για μια ιδιοσυνάρτηση – όταν δηλαδή είναι σε μορφή χωρισμού μεταβλητών

ανική σε

Μ η ή μ ρφή ρ μ μ η

2222 |)(||e||)(||),(| xxtx ti

αντομηχα

στις ιδιοσυναρτήσεις δεν μεταβάλλεται η κατανομή πιθανοτήτωνά ύ ( ά ά)

Ύλης:

Κβα - στάσιμα κύματα (π.χ. ατομικά τροχιακά)

ρία της Ύ

κή Θεω

ρΚβαντι

Σωματίδιο σε κουτί

στασ

ηΜία

∆ιάσ • Ελεύθερο σωματίδιο περιορισμένο στον χώρο

– η κλασική εικόνα:• ελεύθερη κίνηση μέσα στο κουτί

ανική σε

Μ ρη η η μ• ελαστική ανάκλαση στα τοιχώματα• κανένας περιορισμός για την ενέργεια του

σωματιδίου (μπορεί να γίνει και μηδέν)

αντομηχα

– Η κβαντική εικόνα• αρχή της απροσδιοριστίας

Ύλης:

Κβα

• αρχή της απροσδιοριστίας• κβάντωση ενέργειας

έ ό ό ά

ρία της Ύ • Απλουστευμένο πρόβλημα: απειρόβαθο πηγάδι

– ή απειρόβαθο ορθογώνιο φρέαρ δυναμικού– V

κή Θεω

ρ V – U(x) = 0 για 0<x<L– U(x) = για x<0 και x>L

το σωματίδιο ΔΕΝ μπορεί να υπάρξει έξω απο το

Κβαντι • το σωματίδιο ΔΕΝ μπορεί να υπάρξει έξω απο το

κουτί

Απειρόβαθο ορθογώνιο φρέαρ δυναμικού

στασ

η

• Ψάχνουμε για σταθερές λύσεις (ιδιοσυναρτήσεις, στάσιμες λύσεις)λύ ξά ξί

Μία

∆ιάσ – λύνουμε την χρονο-ανεξάρτητη εξίσωση

• Εξίσωση Schrödinger

)(22 xd

ανική σε

Μ )()()()(2 2 xExxU

dxxd

m

αντομηχα • Μέσα στο πηγάδι U(x)=0

)()(22

xExd Ύλης:

Κβα

• Έξω απο το πηγάδι U(x)= ψ(χ) = 0

)(2 2 xE

dxm

ρία της Ύ Έξω απο το πηγάδι U(x) ψ(χ) 0

– συνοριακές συνθήκες:

0)0( 0)( L

κή Θεω

ρ 0)0( 0)(L

Κβαντι

Κβάντωση: βρείτε τις επιτρεπτές ενέργειες Ε και κυματοσυναρτήσεις

Απειρόβαθο ορθογώνιο φρέαρ δυναμικούστασ

η • Xρονο-ανεξάρτητη εξίσωση (μέσα στο κουτί)

Μία

∆ιάσ

)()(2 2

22

xEdx

xdm

ανική σε

Μ

02 k 22 2

mEk

αντομηχα

• Πιθανές λύσεις της χρονο-ανεξάρτητης εξίσωσης

Ύλης:

Κβα )cos()( kxx

)sin()( kxx

Κάθε μια ικανοποιεί την εξίσωση Schrödinger

Ποιά όμως διαλέγουμε ως λύση;

ρία της Ύ

)sin()( kxxikxx e)(

μ ς γ μ ς η;Με τί κριτίριο επιλέγουμε;

Επιλέγουμε έναν γραμμικό συνδιασμό πιθανών λύσεων

κή Θεω

ρ

ikxx e)( Επιβάλουμε τις συνοριακές συνθήκες

0)0( 0)( L

Κβαντι

• Η κβάντωση προκύπτει λόγω των συνοριακών συνθηκών


στασ

η • Γενική λύση– με στάσιμα κύματα

Μία

∆ιάσ με στάσιμα κύματα

)cos()sin()( kxBkxAx

ανική σε

Μ – ή με επίπεδα κύματαikxikx BAx ee)(

αντομηχα – και τα δύο είναι ισοδύναμα, καθώς

ikxikxkx ee)cos(2

Ύλης:

Κβα

• Λύση: βρείτε τις σταθερές Α Β που ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες

ikxikxkxi ee)sin(20)0( 0)( L

ρία της Ύ • Λύση: βρείτε τις σταθερές Α, Β που ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες

– με τα στάσιμα κύματα είναι πιο εύκολο

)cos()sin()( kxBkxAx κή Θεω

ρ )cos()sin()( kxBkxAx

00)0( B

kLL 0)(

LxnAx sin)(

Κβαντι

• Η κβάντωση προκύπτει λόγω των συνοριακών συνθηκών nkLL 0)(

n: οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος


στασ

η

• Συνθήκη κβάντωσηςn Ln 22

Μία

∆ιάσ

LnknkL

nL

Ln 22

ανική σε

Μ

• Με απλά λόγια:2nL

στάσιμα κύματα όπου ακέραιος αριθμός μισών μηκών κύματος χωρούν στο κουτί

αντομηχα οι πιθανότητες του που θα βρεθεί το

σωματίδιο δεν είναι ισοκατανεμημένες

Ύλης:

Κβα

ρία της Ύ

κή Θεω

ρΚβαντι


στασ

η

• Ιδιοσυναρτήσεις

Μία

∆ιάσ

ρ ή ς

LxnAkxAx sinsin)(

ανική σε

Μ • Κανονικοποίηση

1sin|| 22

L

dxxnA 1sin|| 22 n

dyyLAαντομηχα 1sin||

0

dx

LA 1sin||

0

dyy

nA

nL 2 xn2

Ύλης:

Κβα

LAn

nLA 21

2|| 2

Lxn

Lxn

sin2)(

ρία της Ύ • Ενέργειες

kE22 222nE

κή Θεω

ρ

mE

2 22mL

En

Κβαντι

• κβαντισμένες (διακριτές) ενέργειες• ελάχιστη ενέργεια για n=1 (δεν υπάρχει κατάσταση με ενέργεια μηδέν

Ενεργειακές ιδιοτιμές στασ

η

• Ενέργεια θεμελιώδους κατάστασης

Μία

∆ιάσ – επίσης ονομάζεται ενέργεια μηδενικού σημείου

22

E

ανική σε

Μ

21 2mLE

αντομηχα • Ενεργειακές ιδιοτιμές:

12EnE

Ύλης:

Κβα

• Κβαντική φύση της ύλης: ένα περιορισμένο σωματίδιο δεν μπορεί να έχει

1EnEn

ρία της Ύ – ένα περιορισμένο σωματίδιο δεν μπορεί να έχει

μηδενική ενέργεια– θα μπορούσαμε να προσεγγίσουμε την

θεμελιώδη ενέργεια απλά χρησιμοποιώντας την

κή Θεω

ρ θεμελιώδη ενέργεια απλά χρησιμοποιώντας την αρχή της απροσδιοριστίας;

px22

Κβαντι

LpLx

2

22

22 mLE

mpE


στασ

η • Σε ένα απλοποιημένο μοντέλο ατόμου υποθέτουμε το άτομο ως φρέαρ δυναμικού Εάν η ακτίνα του

Μία

∆ιάσ το άτομο ως φρέαρ δυναμικού. Εάν η ακτίνα του

ατόμου είναι 0.2 nm– πόση ενέργεια απαιτείται για διέγερση απο την

θεμελιώδη στην πρώτη διεγερμένη στάθμη;

ανική σε

Μ μ η η ρ η γ ρμ η μη;– Σε τι μήκος κύματος φωτονίου αντιστοιχεί αυτή η

ενέργεια;22

E

αντομηχα 21 2mL

E

s)J10545701()141593( 2-342

Ύλης:

Κβα J 105059.1

)m 10kg)(0.2 1011.9(2s)J 1054570.1()14159.3( 18

29-311

E

ρία της Ύ

eV 40.9C 10602.1J 105059.1

19

18

1

E

κή Θεω

ρ

eV 6.374 12 EE nm 44eV228

nmeV 1240

Κβαντι

eV 2.28E

eV 2.28


στασ

η

• Ένα μικρό αντικείμενο μάζας 1 mg είναι περιορισμένο ανάμεσα σε δύο τοιχώματα με L=1 cm

Μία

∆ιάσ τοιχώματα με L=1 cm.

– ποιά η ελάχιστη ενέργεια του σωματιδίου;

)J10545701()141593( 234222

ανική σε

Μ

J 1049.5)m kg)(10 10(2

s)J 1054570.1()14159.3( 5822-6

2-342

1

E2

22

1 2mLE

αντομηχα

– ποιά η ελάχιστη ταχύτητά του;

J)10495(21 58

Ύλης:

Κβα m/s 1031.3

kg) 10(J) 1049.5(2

21 26

612

Em

ρία της Ύ – σε πόσο χρόνο θα διανύσει την απόσταση L;

s103m 01.0 23Lt

κή Θεω

ρ s 103m/s 1031.3 26

t

s103 1623

Κβαντι

years 10606024365

s 103 16

t


στασ

η

• Ένα μικρό αντικείμενο μάζας 1 mg είναι περιορισμένο ανάμεσα σε δύο τοιχώματα με L=1 cm

Μία

∆ιάσ τοιχώματα με L=1 cm.

– Εάν η ταχύτητά του είναι 3 cm/s, σε ποιόν κβαντικό αριθμό αντιστοιχεί;

J1054/ )k )(0 0310(11 10262 E

ανική σε

Μ

10 J10504

J 105.4m/s) kg)(0.0310(22

10262 mEn

αντομηχα

ά ή β λή έ ό άλ β ύ θ ύ

23581

2 1005.9J 1049.5J 1050.4

nEnEnΎλης:

Κβα – ποιά η σχετική μεταβολή ενέργειας σε τόσο μεγάλους κβαντικούς αριθμούς;

2412

12

1 10212)1(

nEnEnEE nn

ρία της Ύ 2

12 10

nnEnEn

κή Θεω

ρΚβαντι


η

• Έστω σωματίδιο σε φρέαρ δυναμικού L, στην θεμελιώδη κατάσταση

Μία

∆ιάσ θεμελιώδη κατάσταση.

– ποιά η πιθανότητα το σωματίδιο να εντοπιστεί στο κεντρικό ήμισυ του φρέατος L/4 < x < 3L/4

ανική σε

Μ

Lx

Lx sin2)(1

αντομηχα LL

4/3

24/3

2 i2|)(|LL

dxdP

4/32 )(i2

dL

Ύλης:

Κβα

4/

2

4/

21 sin|)(|

LL

dxLL

dxxP 4/

2 )(sin

dyyL

ρία της Ύ

4/3

2)2cos(12

dyyLL

4/34/3

)2sin(41

212

y

κή Θεω

ρ

4/ 2L

4/4/ 42

Κβαντι

11412

443

212

%8.81818.01

21


στασ

η

• Έστω σωματίδιο σε φρέαρ δυναμικού L, στην θεμελιώδη κατάσταση

Μία

∆ιάσ θεμελιώδη κατάσταση.

– πως αλλάζει αυτή η πιθανότητα σαν συνάρτηση του n;

ανική σε

Μ

Lxn

Lxn

sin2)(

αντομηχα LL

4/3

24/3

2 sin2|)(|LL

dxxndxxP 4/3

2 )(sin2 n

dyyL

Ύλης:

Κβα

4/4/

sin|)(|LL

n dxLL

dxxP 4/

)(sin n

dyynL

ρία της Ύ

4/3

2)2cos(12

n

dyynL

L

4/34/3

)2sin(41

212

nn

yn

κή Θεω

ρ

12312

4/ 2 nnL

4/4/ 42 nnn

1

Κβαντι

)1(412

443

212 O

nnn

n

%50

21

Πεπερασμένο φρέαρ δυναμικού

στασ

η • Στην πράξη, δεν έχουμε ποτέ απειρόβαθα πηγάδια δυναμικού

Μία

∆ιάσ πηγάδια δυναμικού

– πιο συνηθισμένα: πηγάδια που δημιουργούνται μεταξύ διαφορετικών ημιαγωγώνπολύ χρήσιμα σε laser LED αισθητήτες

ανική σε

Μ – πολύ χρήσιμα σε laser, LED, αισθητήτες

• Δυναμική ενέργεια:κβαντικό πηγάδι GaAs/AlGaAsLxxU 0όταν0)(

αντομηχα

ηγ

LxxUxULxxU

,0 όταν )(

0 όταν 0)(

Ύλης:

Κβα

ρία της Ύ

κή Θεω

ρΚβαντι

Πεπερασμένο φρέαρ δυναμικού

στασ

η

• Λύση εξίσωσης Schrödinger στις περιοχές Ι, ΙΙ, ΙΙΙ

Μία

∆ιάσ – ξεχωριστή γενική λύση σε κάθε περιοχή Ι, ΙΙ, ΙΙΙ

• εφαρμογή συνοριακών συνθηκών:– συνέχεια της κυματοσυνάρτησης στο χ=0 χ=L

ανική σε

Μ συνέχεια της κυματοσυνάρτησης στο χ=0, χ=L– συνέχεια της πρώτης παραγώγου της κυματοσυνάρτησης στο χ=0, χ=L

αντομηχα • Αποτέλεσμα: ενεργειακές ιδιοτιμές και κυματοσυναρτήσεις

– για Ε>U: ελεύθερα σωματίδια, μπορούν να βρεθούν παντούγια Ε<U: δέσμια σωματίδια μπορούν να είναι μόνο μέσα στο πηγάδι

Ύλης:

Κβα – για Ε<U: δέσμια σωματίδια, μπορούν να είναι μόνο μέσα στο πηγάδι

ρία της Ύ

κή Θεω

ρΚβαντι

Δέσμιες καταστάσεις (Ε<U)στασ

η

• Περιοχή ΙΙ (0 ≤ χ ≤ L)

Μία

∆ιάσ – εξίσωση Schrödinger

IIII E

dd

2

22

2

022 IIII

mE

ανική σε

Μ

– γενική λύση

IIdxm22 2 IIII

αντομηχα )cos()sin( kxDkxCII /2mEk

συνοριακές συνθήκες

)0()0( III

Ύλης:

Κβα

• Περιοχή Ι και ΙΙΙ (χ ≤ 0 και χ ≥ L)– εξίσωση Schrödinger

)0()0( III

III

ρία της Ύ

III EU

dxd

m

2

22

2

0)(22

IIUEm

)()()()(

LLLL

IIIII

IIIII

κή Θεω

ρ

– γενική λύσηxx

I BA ee/)(2 EU 1|| 2

dx

Κβαντι I

/)(2 EUm xx

III FE ee||

Δέσμιες καταστάσεις (Ε<U)

στασ

ηΜία

∆ιάσ

ανική σε

Μαντομηχα

Ύλης:

Κβα

• Προσέγγιση ενεργειακών ιδιοτιμών:– το πρόβλημα είναι παρόμοιο με απειρόβαθο πηγάδι μεγαλύτερού πλάτους

ρία της Ύ

ρ μ ρ μ μ ρ γ μ γ ρ ς– το σωματίδιο εισχωρεί κατά μέσο όρο απόσταση δ: δ=1/α η απόσταση όπου ψ=e-1

2 LL )(1

κή Θεω

ρ

• Αυτοσυνεπή εξίσωση για την ενέργειαΠεπερασμένος αριθμός δέσμιων καταστάσεων

2 LL

2

222

)2(2

Lm

nEn)(2 EUm

Κβαντι • Πεπερασμένος αριθμός δέσμιων καταστάσεων

– τόσες, όσο ικανοποιείται η UEn


στασ

η • Προσεγγίστε την ενέργεια θεμελιώδους κατάστασης ενός ηλεκτρονίου παγιδευμένου σε φρέαρ δυναμικού, εύρους 0.2 nm και βάθους 100 eV.

Μία

∆ιάσ – Προσεγγιστική λύση: θεωρούμε φρέαρ απείρου βάθους, με εύρος L+2δ.

)(2/ EUm

ανική σε

Μ

– Δεν γνωρίζουμε το Ε. Εφαρμόζουμε αυτοσυνεπή επαναλληπτική διεργασία

)(

V4922

E

αντομηχα • πρώτη μαντεψιά

02050sJ 1054570.1 -34

eV 4.92 2 mL

E

Ύλης:

Κβα nm 0205.0

J) 10eV)(1.602 9.4-eV kg)(100 1011.9(2)(2 19-31

EUm

22

ρία της Ύ • δεύτερη μαντεψιά eV47.6

)2(2 2

Lm

E

J10545701 34

κή Θεω

ρ

nm 0202.0J) 10eV)(1.602 6.47-eV kg)(100 1011.9(2

sJ 1054570.1)(2 19-31

-34

EUm

Κβαντι

• τρίτη μαντεψιά eV 51.6)2(2 2

22

Lm

E πραγματική τιμήeV 52.6E

Γενική περίπτωση δυναμικής ενέργειας

στασ

η

• Γενική περίπτωση δυναμικής ενέργειας

Μία

∆ιάσ

ή ρ η μ ής ργ ς– ελάχιστα: σημεία ευσταθούς ισορροπίας

dU 2Ud

ανική σε

Μ 0dxdU

02 dx

Ud

αντομηχα – μέγιστα: σημεία ασταθούς ισορροπίας

0dU

02

Ud

Ύλης:

Κβα 0

dx02

dx

ρία της Ύ Στο σημείο a

για χ=a: 0)( xUF

Στο σημείο b

για χ=b: 0)( xUF

κή Θεω

ρ για χ a:

για χ<a:

0)(xU

0)( xUF

για χ b:

για χ<b:

0)(xU

0)( xUF

Κβαντι

για χ>a: 0)( xUF για χ>b: 0)( xUF

Γενική περίπτωση δυναμικής ενέργειαςστασ

η

• Γενική περίπτωση δυναμικής ενέργειας

Μία

∆ιάσ

ή ρ η μ ής ργ ς– ελάχιστα: σημεία ευσταθούς ισορροπίας

dU 2Ud

ανική σε

Μ 0dxdU

02 dx

Ud

αντομηχα • Γενική μορφή γύρω απο το σημείο a

)()()()()( 32 UUUUU

Ύλης:

Κβα

– για χα:

...)(!3

)(!2

)(!1

)()( 32 axaxaxaUxU

αρμονικός ταλαντωτής

ρία της Ύ για χα:

ά άξ

2))((21)()( axxUaUxU

αρμονικός ταλαντωτήςδυναμική ενέργεια

21)( KxxU

κή Θεω

ρ – μεταφορά του χ άξονα στο a– μεταφορά του y άξονα στο U(a)

δύναμη επαναφοράς

2)( KxxU

dU )(1 Ud 2

Κβαντι

Kxdx

xdUF )(2

21)( KxxU

axdxUdK

2

2

Κλασικός αρμονικός ταλαντωτής

στασ

ηΜία

∆ιάσ

• Κλασικός ταλαντωτής:– σταθερά ελατηρίου Κ K m

ανική σε

Μ

– μάζα m– συχνότητα ταλάντωσης

mK

K

αντομηχα

• Εαν η ολική ενέργεια είναι Ε– το Ε μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή

Ύλης:

Κβα

το μ ορεί να άρει ο οιαδή οτε τιμή– Η μέγιστη κινητική ενέργεια

EmE 21

ρία της Ύ

– Η μέγιστη δυναμική ενέργεια

EmEK max2

κή Θεω

ρ

EKxEU 2max2

1

EE 212

Κβαντι

– Το πλάτος ταλάντωσηςmE

KEx 212

max

Κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής

στασ

η

• Δυναμική ενέργεια11

Μία

∆ιάσ

Εξίσωση Schrödinger

222

21

21)( xmKxxU

ανική σε

Μ • Εξίσωση Schrödinger

)()(21)(

222

2

22

xExxmd

xd

αντομηχα

– συνοριακές συνθήκες

)()(22 2dxm

0)(

Ύλης:

Κβα

• Η θεμελιώδης κατάσταση πρέπει να είναι συμμετρική γύρω απο το χ=0

ρία της Ύ συμμετρική γύρω απο το χ=0

– μια δοκιμαστική κυματοσυνάρτηση είναι2

e)( 0axCx

κή Θεω

ρ

– αντικαθιστούμε στην εξίσωση Schrödinger

e)( 0Cx

2

e2)( axaxCx

Κβαντι e2)( 0 axCx

22

e4e2)( 2200

axax xaCaCx

Θεμελιώδης κατάσταση

στασ

η

• Εξίσωση Schrödinger

Μία

∆ιάσ

)()(21)(

222

2

22

xExxmdx

xdm

ανική σε

Μ

22

e)21(e)24(

2 022

022

2axax CxmECaxa

m

αντομηχα

22222 1)24( xmEaxa

22mΎλης:

Κβα 2

)24(2

xmEaxam

222 2mExm

ρία της Ύ

2222 224

mExmaxa

κή Θεω

ρ

2ma

12

EmE

Κβαντι

maE

2

22

Em

E

Πρώτη διεγερμένη κατάστασηστασ

η • Η πρώτη διεγερμένη θα πρέπει να έχει έναν δεσμό– να είναι αντισυμμετρική στο μηδέν

Μία

∆ιάσ να είναι αντισυμμετρική στο μηδέν

• Δοκιμαστική συνάρτηση2

e)( axxCx

ανική σε

Μ

• Αντικατάσταση στην εξίσωση Schrödinger

e)( 1xCx

αντομηχα

)()(21)(

222

2

22

xExxmdx

xdm

Ύλης:

Κβα

22222

21)64(

2xmEaxa

m

ρία της Ύ

22m

22

22222 264

mExmaxa

κή Θεω

ρ

2ma

33 2

EmE

Κβαντι

maE

2

3

22

Em

E

Καταστάσεις αρμονικού ταλαντωτή

στασ

ηΜία

∆ιάσ

1

ανική σε

Μ ,....2 ,1 ,0 ,21

nnE

αντομηχα

Ύλης:

Κβα

ρία της Ύ

κή Θεω

ρΚβαντι


στασ

η

• Κανονικοποίηση της κυνατοσυνάρτησης της θεμελιώδους κατάστασης του ταλαντωτή

Μία

∆ιάσ ταλαντωτή

2

e)( 00axCx

2ma

ανική σε

Μ )( 002

2222

ax

αντομηχα 1e|)(| 22

02

0

dxCdxx ax

Ύλης:

Κβα

adxax

2

eδίνεται:

ρία της Ύ

4/1222 21e

2

aCCdxC ax

κή Θεω

ρ 000 12

e

Ca

CdxC

4/1

Κβαντι

0

mC


στασ

η • Τα όρια ταλάντωσης για έναν κλασικό ταλαντωτή με ενέργεια αυτή της θεμελιώδους κατάστασης

Μία

∆ιάσ με ενέργεια αυτή της θεμελιώδους κατάστασης

του κβαντικού ταλαντωτή

1E

11 2KA

ανική σε

Μ 2

E 22

2 KA

αντομηχα

mmKA

2Ύλης:

Κβα

– ποιά η πυκνότητα πιθανότητα να βρεθεί ένας κβαντικός ταλαντωτής στο χ=Α;

2

ρία της Ύ 222

02 e|)(| aACAP

m 24/1

m

κή Θεω

ρ

2ma

mA

2

2/1

0

mC

Κβαντι

1e

mP


η • Ποια η πιθανότητα ο κβαντικός ταλαντωτής να βρεθεί στην μη κλασική περιοχή;

A

Μία

∆ιάσ

A

A

dxxdxxP 22 |)(||)(|

ανική σε

Μ

A

dxxP 2|)(|2

αντομηχα A

2ma A

24/1

0

mC

Ύλης:

Κβα

xm dxmP /

2/12

e2

2 m 0

ρία της Ύ

m

dxP/

e2

m

κή Θεω

ρ

2

xmy

θέτουμε:

Κβαντι

16%)(~ 157.0e2

1

2

dyP y


στασ

η

• Η κβάντωση ενέργειας ταλαντωτή στο κλασικό όριο. Έστω μια μάζα m=0.01

Μία

∆ιάσ η ργ ς ή ρ μ μ ζ

kg σε ελατήριο σταθεράς K=0.1 N/m. Μπορούμε να παρατηρήσουμε την κβαντική συμπεριφορά;

Ποια η διαφορά μεταξύ των ενεργειακών σταθμών;

ανική σε

Μ – Ποια η διαφορά μεταξύ των ενεργειακών σταθμών;

E

αντομηχα

rad/s 16.3kg 01.0

N/m 1.0

mK

Ύλης:

Κβα

eV 102.08rad/s) s)(3.16eV 10582.6( -1516 E

ρία της Ύ

– εαν ταλαντώνεται με πλάτος Α=1cm, σε τι κβαντικό αριθμό αντιστοιχεί;

)/ )((11 622A

κή Θεω

ρ J 105m) N/m)(0.01 1.0(21

21 622 KA

6 J)105(

Κβαντι 28

15-19 105.1eV) 10J/eV)(2.08 10602.1(

J) 105(

n

Μέση τιμή μετρήσεων

στασ

η • ‘Εστω οτι εκτελούμε πολλές μετρήσεις θέσης σε ένα κβαντικό σύστημα– οι τιμές που λαμβάνουμε έχουν σχέση με την κατανομή πιθανοτήτων |ψ(χ)|2

Μία

∆ιάσ οι τιμές που λαμβάνουμε έχουν σχέση με την κατανομή πιθανοτήτων |ψ(χ)|

– τι συμεράσματα μπορούμε να βγάλουμε;ύ ά ή άλ ή

ανική σε

Μ – μπορούμε αν κάνουμε στατιστική ανάλυση των μετρήσεων;

• Έστω οι παρακάτω μετρήσεις θέσης:

αντομηχα

Έστω οι παρακάτω μετρήσεις θέσης:

A/A τιμή A/A τιμή A/A τιμή1 2 7 8 13 4

Ύλης:

Κβα

8 32 4 8 6 14 93 1 9 4 15 64 8 10 5 16 7

ρία της Ύ 5 6 11 7 17 5

6 5 12 3 18 5

κή Θεω

ρ

– μέση τιμή

1 N

Κβαντι

28.511

i

ixN

x

Μέση τιμή μετρήσεων

στασ

η • Πως μπορούμε να υπολογίσουμε τον μέσο όρο αλλοιώς;A/A τιμή A/A τιμή A/A τιμή

Μία

∆ιάσ

– στο παραπάνω παράδειγμα:1 2 7 8 13 42 4 8 6 14 93 1 9 4 15 64 8 10 5 16 7

ανική σε

Μ 5 6 11 7 17 56 5 12 3 18 5

αντομηχα – το γράφουμε ισοδύναμα ως: xxPx

τιμή συχνότητα πιθανότητα

1 xPΎλης:

Κβα τιμή

θέσηςσυχνότητα εμφάνισης

πιθανότητα εμφάνισης Px

1 1 1/182 1 1/18 στο συνεχές

ρία της Ύ 2 1 1/18

3 1 1/184 3 3/185 4 4/18

ς

dxxxPx )(

κή Θεω

ρ 5 4 4/186 3 3/187 2 2/188 2 2/18

1)( dxxP

Κβαντι 8 2 2/18

9 1 1/1810 0 0/18

Αναμενόμενες τιμέςστασ

η

• Στην κβαντική, η μέση τιμή της μέτρησης μιας ποσότητας ονομάζεται «αναμενόμενη» τιμή και συμβολίζεται με

Μία

∆ιάσ «αναμενόμενη» τιμή και συμβολίζεται με

– αναμενόμενη τιμή της θέσης

ανική σε

Μ

dxtxxx 2|),(|

αντομηχα

• εν γένει η αναμενόμενη τιμή είναι συνάρτηση του χρόνου• για ιδιοκαταστάσεις (στάσιμες) η αναμενόμενη τιμή είναι σταθερή

Ύλης:

Κβα

– αναμενόμενη τιμή μιας οποιαδήποτε συνάρτησης του χ

ρία της Ύ

dxtxxff 2|),(|)(

κή Θεω

ρ

– για παράδειγμα

2222222 111

Κβαντι

dxtxxmxmxmU 2222222 |),(|21

21

21

Υπολογισμός αβεβαιότητας θέσης

στασ

η

• Η αβεβαιότητα θέσης σχετίζεται με την τυπική απόκλιση

Μία

∆ιάσ

Nxxi

2)(

ανική σε

Μ N

xxxxxxxxxx 2)2()( 22222

αντομηχα

Nxx

Nx

Nx

Nxxxx

Nxx iiiii

2)2()(

Ύλης:

Κβα

22

xxi 22

ρία της Ύ

222 1xx

xN

22 xx

κή Θεω

ρ

2

2

2 xxx

xNN

ii

22 xxx

κβαντική αβεβαιότητα θέσης

Κβαντι 222 x

Nx

Nii xxx


στασ

η • Υπολογίστε την μέση θέση <χ> και την αβεβαιότητα Δχ για σωματίδιο σε απειρόβαθο πηγάδι που βρίσκεται στην θεμελιώδη κατάσταση

Μία

∆ιάσ απειρόβαθο πηγάδι που βρίσκεται στην θεμελιώδη κατάσταση

L

dxLxx

Ldxxx 22 sin2||

ανική σε

Μ LL 0

42sin2 2

22

2

2 LydyyLL

x 2Lx

αντομηχα 420

2 y yy

L 2

L2

Ύλης:

Κβα

L

dxLxx

Ldxxx

0

22222 sin2||

ρία της Ύ

232

12sin2 3

3

222

3

32

LydyyLL

x2

222

23 LLx

κή Θεω

ρ 2320 L 23

1112

Κβαντι

LLxxx 181.041

21

31

222

Φυσικά μεγέθη και τελεστές

στασ

η

• Φυσικό μέγεθος είναι οποιαδήποτε μετρήσημη ιδιότητα του σωματιδίου

Μία

∆ιάσ • Φυσικό μέγεθος είναι οποιαδήποτε μετρήσημη ιδιότητα του σωματιδίου

– π.χ. θέση, ορμή, ενέργεια, κτλ– σε κάθε φυσικό μέγεθος αντιστοιχίζεται ένας τελεστής

ανική σε

Μ

• Η αναμενόμενη τιμή για ένα φυσικό μέγεθος

αντομηχα

dxQ Q*Ύλης:

Κβα

• Αβεβαιότητα στην μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους

22

ρία της Ύ 22 QQQ

κή Θεω

ρΚβαντι

Σαφή μεγέθηστασ

η • Σαφή μεγέθη:– π χ ενέργεια στάσιμων καταστάσεων ορμή επίπεδων κυμάτων

0Q

Μία

∆ιάσ π.χ. ενέργεια στάσιμων καταστάσεων, ορμή επίπεδων κυμάτων

• Για ένα σαφές μέγεθος, η κυματοσυνάρτηση είναι ιδιοσυνάρτηση του

ανική σε

Μ αντίστοιχου τελεστή – π.χ. η Χαμιλτονιανή για στάσιμα κύματα φρέατος

αντομηχα

)(sin22

sin22

sin2ˆ2

222

2

22

xELxn

LLn

mLxn

dxd

LmLxn

L nn

H

Ύλης:

Κβα

nnnnnn EdxEdxE

**H

ρία της Ύ nnnnnn

2*2*2 ˆˆ EdEdE

HH

κή Θεω

ρ 222nnnnnn EdxEdxE

HH

Κβαντι

02222 nn EEEEE

Ασαφή μεγέθη

στασ

η

• Ασαφή μεγέθη: θέ ή ά ά

0Q

Μία

∆ιάσ – π.χ. θέση, ορμή στάσιμων κυμάτων

)(cos2sinsin2ˆ xnnixndixn

p

ανική σε

Μ )(cossinsin xpLLL

iLdx

iLL nn

p

αντομηχα

0cossin2ˆ*

dxL

xnLxn

Lnidxp nn

p

Ύλης:

Κβα LLL

2222

2222*2 |)(|ˆ ndnd

p

ρία της Ύ 2

22

22 |)(|L

dxxL

dxp nnn

p

κή Θεω

ρ

Lnppp

22

Κβαντι

στο παραπάνω, το είναι ασαφές, ενώ το είναι σαφέςp 2p

Πρόβλημα 5.1

στασ

η • Ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο έχει κυματοσυνάρτηση (το χ σε μέτρα)

)105i ()( 10A

Μία

∆ιάσ

– α) το μήκος κύματος de Broglie

)105sin()( 10 xAx

ανική σε

Μ

-110 m 105k nm 126.0m 105

2m 105210

1-10

αντομηχα

– β) η ορμή του ηλεκτρονίου

105

Ύλης:

Κβα m/skg 1028.5)m 105(s)J 1054570.1( 24-110-34 kp

ρία της Ύ – η ενέργεια του ηλεκτρονίου σε eV

J105261m/s)kg 1028.5( 172242

pE

κή Θεω

ρ J 10526.1kg) 1011.9(2

)g(2 31

mpE

J105261 17

Κβαντι

eV 25.95J/eV 10602.1

J 10526.119

17

E


στασ

η

• Σε μια περιοχή του χώρου, ένα σωματίδιο με μηδενική ενέργεια έχει κυματοσυνάρτηση 22 / L

Μία

∆ιάσ κυματοσυνάρτηση

– βρείτε την δυναμική ενέργεια σαν συνάρτηση της θέσης

22 /e)( LxAxx

ανική σε

Μ

0)()()(2 2

22

xxUdx

xdm

2

22 )()(

12

)(dx

xdxm

xU

αντομηχα 2 dxm )(2 dxxm

2222 /2

/ e2e)( LxLx xAxΎλης:

Κβα

2 ee)(L

Ax

2

/3

// 46442 222222 xxxx LLL

ρία της Ύ

42/

4/

2/

2

46)(e4e4e2)(222222

Lx

Lx

Lx

Lx

LxAx LxLxLx

κή Θεω

ρ

64)(22 xxU 23)0(U

ελάχιστο ενέργειας

Κβαντι

62

)( 22 LmLxU

2

3)0(mL

U

Πρόβλημα 5.6στασ

η • Έστω οτι το πυρηνικό δυναμικό προσεγγίζεται απο ορθογώνιο απειρόβαθο φρέαρ δυναμικού, πλάτους L=10-5 nm.

Μία

∆ιάσ φρέαρ δυναμικού, πλάτους L 10 nm.

– ποιό μήκος κύματος εκπέμπεται όταν πρωτόνιο μεταπίπτει απο την πρώτη διεγερμένη στην θεμελιώδη κατάσταση;

ανική σε

Μ

2

222

2mLnEn

αντομηχα 2mL

s)J1054570.1( 6132-342

Ύλης:

Κβα eV1005.2J1028.3

m) 10(kg) 106726.1(2s)J 1054570.1( 613

214271

E

ρία της Ύ

eV 1015.63 61 EE

κή Θεω

ρ

nm 000202.0V10156

nmeV 12406

E

hc

Κβαντι eV 1015.6 6E


στασ

η • Ένα ηλεκτρόνιο βρίσκεται ορθογώνιο απειρόβαθο φρέαρ δυναμικού, πλάτους L=0.1 nm, στην κατάσταση n=4

Μία

∆ιάσ πλάτους L 0.1 nm, στην κατάσταση n 4

– Ποιά μήκη κύματος θα εκπεμφθούν κατά την αποδιέγερσή του σε χαμηλότερες στάθμες;

222

ανική σε

Μ

2

222

2mLnEn

αντομηχα

eV 6.37J 10024.6m)10(kg)10119(2

s)J 1054570.1( 1821031

2-342

1

E

Ύλης:

Κβα m) 10(kg) 1011.9(2

)12()13()23()14()24()34( 222222222222 EEEEEEE

ρία της Ύ )12( ),13( ),23( ),14( ),24( ),34( 22

122

122

122

122

122

1 EEEEEEE

111111 3 ,8 ,5 ,15 , 12 ,7 EEEEEEE

κή Θεω

ρ

hchchchchchc

111111 ,,,,,

Κβαντι

3 ,

5 ,

7 ,

8 ,

12,

15 111111 EEEEEE


στασ

η • Ηλεκτρόνιο περιγράφεται απο την κυματοσυνάρτηση

00 2

Μία

∆ιάσ

0

0)e1(e

0)(

xx

Cx xx

2|)(| x

ανική σε

Μ

– σχεδιάστε την

κανονικοποιήστε την

αντομηχα – κανονικοποιήστε την

1)e2e(e1|)(| 34222

dxCdxx xxx

Ύλης:

Κβα

)(|)(|00

111

ρία της Ύ 1e

312e

41e

21

0

3

0

4

0

22

xxxC

κή Θεω

ρ

12132

41

212

CC

Κβαντι 342


στασ

η • Ηλεκτρόνιο περιγράφεται απο την κυματοσυνάρτηση

00

2|)(| x

Μία

∆ιάσ

0

0)e1(e

0)(

xx

Cx xx

ανική σε

Μ

– Ποιά η πιο πιθανή θέση του ηλεκτρονίου;

0)e2e(e 342 xxxd0e6e42e 342 mmm xxx

αντομηχα

)(dx

0e3e21 2 mm xx 24-93e mx 2/1e mx

Ύλης:

Κβα 4

693.0)2ln( mx

ρία της Ύ

– Ποιά η μέση θέση του ηλεκτρονίου

3422 )e2e(e dxxCx xxx2

1e dxx ax

χρησιμοποιούμε

κή Θεω

ρ 0

)e2e(e dxxCx

211

20 a

οταν η κυματοσυνάρτηση

Κβαντι 0834.1

92

161

4112

x δεν είναι συμμετρική:

maxxx

Πρόβλημα 5.28στασ

η

• Βρείτε το Δχ για έναν κβαντικό ταλαντωτή στην θεμελιώδη του κατάσταση

Μία

∆ιάσ

2

e)( 00axCx

2ma

4/1

0

mC

ανική σε

Μ

dax

2

e 0e2

dax dax 1e22

δίνονται:

αντομηχα a

dxax

e 0e

dxx ax

aadxx ax

2e2

Ύλης:

Κβα

0e||222

02

0

dxxCdxxx ax

ρία της Ύ

mdxxCdxxx axe||2222

02

022

κή Θεω

ρ

mmmdxxCdxxx

22e|| 00

Κβαντι

mxxx

222


στασ

η

• Βρείτε το Δp για έναν κβαντικό ταλαντωτή στην θεμελιώδη του κατάσταση 2 m 4/1

Μία

∆ιάσ 2

e)( 00axCx

2ma 0

mC

δίνονται:

ανική σε

Μ

adxax

2

e 0e2

dxx ax

aadxx ax

21e

22

δίνονται:

αντομηχα

0e2eeˆ 222 220

20

*0

*0

dxxaCidxdxd-iCdxp axaxax p

Ύλης:

Κβα

dx

dxxaaCdxdCdxp axaxax 222 222222

22*2*2 )e42(eeˆ p

ρία της Ύ

dxxaaCdxdx

-Cdxp 02000 )e42(ee p

122222222 2 m

κή Θεω

ρ

22414

22)e42( 22

022222

02 2 m

aaa

aaCdxxaaC ax

Κβαντι

222 mppp


στασ

η

• Χρησιμοποιώντας τα δύο παραπάνω προβλήματα, πως εκφράζεται η αρχή της απροσδιοριστίας για τον αρμονικό ταλαντωτή στη θεμελιώδη του

Μία

∆ιάσ της απροσδιοριστίας για τον αρμονικό ταλαντωτή στη θεμελιώδη του

κατάσταση;

ανική σε

Μ

222

m

mpx

αντομηχα

– Αυτό είναι το μισό απο οτι είχαμε θεωρήσει μέχρι τώρα. Από μια αυστηρότερη θεώρηση της αρχής της απροσδιοριστίας προκύπτει οτι η ελάχιστη δυνατή τιμή

Ύλης:

Κβα του γινομένου ΔχΔp είναι ακριβώς το και αυτή η ελάχιστη τιμή

εμφανίζεται πράγματι στον αρμονικό ταλαντωτή2/

ρία της Ύ

κή Θεω

ρΚβαντι

Κβαντική Κβαντομηχανική...

Documents

Transcript of Κβαντική Κβαντομηχανική...