ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL FORTINO VELA PEÓN

UAM-X 10-P 1

INTERVALOS DE CONFIANZA

Para construir intervalos de confianza de los parámetros de la regresión,

necesitamos suponer también que los errores tienen una distribución de

probabilidad normal, lo que nos permitirá establecer que las distribuciones

muestrales de 0β y 1β son normales. De hecho, dentro de los supuestos planteados

para elaborar el modelo se tenia que para cada valor fijo de X, los errores se

suponían ser cantidades aleatorias, independientes y distribuidas normalmente

con media cero y varianza común σ2. Consecuentemente, el intervalo de confianza

al (1-α) 100% para 0β esta dado por

)ˆ(ˆ0

2/0 ββ α eet kn ⋅± −

donde 2/αknt − es el porcentil (1-α/2) de una distribución t con n-k grados de libertad

y )ˆ( 0βee es el error estándar de 0β .

De manera semejante, el intervalo de confianza al (1-α)100% para 1β esta dado

por

)ˆ(ˆ1

2/1 ββ α eet kn ⋅± −

La interpretación del intervalo de confianza para 1β , por ejemplo, es la siguiente: si

tomáramos muestras repetidas con los mismos tamaños y los mismos valores de X

y se construyeran 100 intervalos de confianza, 95 de estos intervalos para el

parámetro de la pendiente, 1β , serían iguales al obtenido, o bien, con una

probabilidad del 95%, el verdadero valor de 1β es encuentra dentro del intervalo

apuntado.

Observe que los límites de confianza señalados se construyen para cada uno de los

parámetros 0β y 1β , por separado. Esto no significa que una región de confianza

simultánea (común) para los dos parámetros sea rectangular. Realmente, la región

de confianza simultánea es elíptica. Esta región se da para el caso general de la

regresión múltiple en el apéndice de estas notas, donde la región de confianza

simultánea para 0β y 1β es un caso especial.

PREDICCIÓN

La ecuación de regresión ajustada se puede utilizar para realizar predicción. Se

distinguen dos tipos de predicciones:

1. La predicción del valor de la variable de respuesta, Y, que corresponde

a cualquier valor elegido de la variable predictora, X,

2. La estimación de la respuesta media, µ0, cuando X=x0 (esto es,

µ=)\( 0xYE ).

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UAM-X 10-P 2

a) Predicción del valor y0

Para el primer caso, el valor predecido de y0 esta dado por

0100ˆˆˆ xy ββ += (1)

El error estándar de esta predicción es

∑=

−

−++=n

ii xx

xx

nyee

1

2

20

0

)(

)(11ˆ)ˆ( σ (2)

Por lo tanto, los límites de confianza para el valor de la predicción con un

coeficiente de confianza (1-α) se da por

)ˆ(ˆ 02/

0 yeety kn ⋅± −α (3)

b) Estimación de µµµµ0

Para el segundo caso, la respuesta media es estimada por

0100ˆˆˆ xββµ += (4)

El error estándar de esta estimación es1

∑=

−

−+=n

ii xx

xx

nee

1

2

20

0

)(

)(1ˆ)ˆ( σµ (5)

de cuál se sigue que los límites de confianza para 0µ con un coeficiente de

confianza (1-α) están dados por

)ˆ(ˆ 02/

0 µµ α eet kn ⋅± − (6)

Observe que la estimación puntal de 0µ es idéntica a la respuesta predecida, 0y .

Esto puede ser visto comparando (1) con (4). El error estándar de 0µ es, sin

embargo, más pequeño que el error estándar de 0y , y puede ser considerado

comparando (2) con (5). Intuitivamente, esto tiene sentido. Hay mayor

incertidumbre (variabilidad) en predecir una observación (la observación

siguiente) que en el cálculo de la respuesta media cuando X=x0. Haciendo un

1 Algunos autores como Bowerman et. al. (2007:109) le denominan al término

∑=

−

−+n

ii xx

xx

n

1

2

20

)(

)(1

valor de distancia, denominación debida a que es una medida de la distancia entre x0 y el

promedio de los valores x observados.

ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL FORTINO VELA PEÓN

UAM-X 10-P 3

promedio implica que la respuesta media reduce la variabilidad y la incertidumbre

asociadas a la estimación. Esto es, nótese que el intervalo de predicción media es

mayor que el intervalo de confianza para la estimación individual debido a que se

presenta una mayor incertidumbre acerca del término de error.

Para distinguir entre los límites señalados en (3) y (6), los límites dentro (3) se

refieren en ocasiones como los límites de predicción o de pronóstico, mientras que

los límites dados por (6) se llaman los límites de confianza.

____________________________________________________________________________________________

Ejemplo: datos sobre ventas vs publicidad ____________________________________________________________________________________________

Si se consideran los resultados obtenidos para el caso del modelo entre las ventas y

la publicidad, se puede observar que el intervalo al 95% de confianza para 1β esta

dado por

3.25 ± (2.228) (0.8979142) = (1.2494472, 5.2505528)

Source | SS df MS Number of obs = 12 -------------+------------------------------ F( 1, 10) = 13.10 Model | 507 1 507 Prob > F = 0.0047 Residual | 387 10 38.7 R-squared = 0.5671 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.5238 Total | 894 11 81.2727273 Root MSE = 6.2209 --------------------------------------------------- --------------------------- ventas | Coef. Std. Err. t P>| t| [95% Conf. Interval] -------------+------------------------------------- --------------------------- publicidad | 3.25 .8979142 3.62 0.0 05 1.249322 5.250678 _cons | 33.75 8.27836 4.08 0.0 02 15.30466 52.19534 --------------------------------------------------- ---------------------------

La interpretación de este intervalo de confianza es la siguiente: con un 95% de

probabilidad, por cada peso que aumentan los gastos en publicidad, el incremento

en las ventas se encuentra entre 1.25 y 5.25 pesos. El cálculo del intervalo de

confianza para 0β en este ejemplo se deja como ejercicio para el lector.

Si continuamos con el ejemplo de las ventas en función de los gastos de publicidad,

se puede buscar predecir el valor individual (o particular) de las ventas cuando

los gastos de publicidad asciendan a 5 (valor no observado dentro de la muestra).

De esta manera, se tiene

50)5(25.375.33ˆ0 =+=y

con error estándar de

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UAM-X 10-P 4

97.4043520148

161.08332209.6

48

)95(

12

112209.6

)(

)(11ˆ)ˆ(

2

1

2

20

0 =+=−++=−

−++=∑

=

n

ii xx

xx

nyee σ

Note que si se calculan los diferentes intervalos de confianza para todos los valores

observados en la muestra y se presentan gráficamente, se llega a una gráfica como

la que se muestra a continuación. graph twoway (lfitci ventas publicidad) (scatter ve ntas publicidad, mlabel(t) ), yline(63) xline(9) title("Ventas vs Pu blicidad") ytitle("Ventas") legend(ring(0) order(2 "Ajuste lin eal" 1 "IC del 95% "))

1

2

3

45

6

7

8

9

10

11

12

4050

6070

80V

enta

s

6 8 10 12publicidad

Ajuste lineal IC del 95%

Ventas vs Publicidad

Por otra parte, si el departamento de producción puede desear estimar el valor esperado de las ventas (media) cuando los gastos de publicidad asciendan a 5, se

utilizaría (4) y (5), respectivamente. Denotando por µ0 a las ventas promedio

previstas para cuando los gastos de publicidad son 5, es decir, X=5, se tiene:

50)5(25.375.33ˆ0 =+=y

con un error estándar de

34.0155736848

160.08332209.6

48

)95(

12

12209.6

)(

)(1ˆ)ˆ(

2

1

2

20

0 =+=−+=−

−+=∑

=

n

ii xx

xx

nee σµ

___________________________________________________________________________________________

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UAM-X 10-P 5

Con los errores estándar señalados en las expresiones (3) y (6), se pueden

construir los intervalos de confianza elegidos apropiadamente.

Adicionalmente, como puede observarse de (2), el error estándar de la predicción

individual incrementa la predicción en la medida que se consideran valores más

lejanos al valor de la media muestral, el cual representa el centro de las

observaciones. Por lo tanto, debe tenerse cuidado al predecir el valor Y (las ventas

en este caso) para aquellos valores de X (gastos en publicidad) muy alejados a los

observados en la muestra.

Existen dos tipos de riesgos en tales predicciones. Primero, hay una substancial

incertidumbre debido a que el error estándar es más grande. Otro elemento, quizás

más importante es que la relación lineal que se ha estimado no puede sostenerse

fuera de la gama de datos observados. Por lo tanto, debe tenerse mucho cuidado al

emplear la línea de regresión ajustada para una predicción muy distante de las

observaciones utilizadas en el ajuste del modelo. En nuestro ejemplo, no

utilizaríamos la ecuación ajustada para predecir las ventas cuando los gastos en

publicidad asciendan a 100. Este valor esta demasiado alejado de la gama existente

de datos observados de la variable gastos de publicidad. En otras palabras, entre

más alejado del valor medio es x0, mayores son los intervalos de confianza y de

predicción, y por lo tanto más factible es incurrir en una imprecisión.

1

2

3

45

6

7

8

9

10

11

12

40

50

60

70

80

Ven

tas

6 8 10 12publicidad

Ajuste lineal IC del 95%

Ventas vs Publicidad

______________________________________________________________________________________________

Cálculo de los intervalos de confianza en Stata para el ejemplo de Ventas vs

Publicidad ______________________________________________________________________________________________

Vamos a considerar la construcción de los intervalos de confianza tanto para la

predicción del valor y0 como para la estimación de µ0 en Stata. De esta manera,

una vez que se ajustado el modelo mediante

ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL FORTINO VELA PEÓN

UAM-X 10-P 6

regress ventas publicidad

el paso siguiente será obtener el valor de las ventas estimadas para cada valor de

los gastos en publicidad observados en la muestra, esto es, iy , lo cual en Stata se

logra utilizando el comando

predict ventashat, xb

El Cuadro 1 presenta las diferentes opciones que pueden emplearse con el

comando predict así como los resultados que estás opciones ofrece

Cuadro 1. Comandos en Stata para la predicción2

Comando lo qué hace

predict varname1, xb Calcula el valor y lo almacena

en una nueva variable llamada varname1.

predict varname2, r

Calcula el residual para cada

observación, y lo guarda en una nueva

variable llamada varname2.

predict varname3, stdp

Calcula el error estándar de la predicción media

para cada observación, y la guarda en una nueva variable llamada varname3 (expresión (5)).

predicit varname4, stdf Calcula el error estándar del pronóstico particular

para cada observación, y lo guarda en una nueva variable llamada varname4 (expresión (2)).

Nota: varname es un nombre seleccionado por el usuario.

Puede suceder que nos encontremos preocupemos porque nuestra predicción sea

inexacta al querer formar un intervalo de confianza razón por la que quizás sea

más conveniente pronosticar las ventas promedio. Sabemos que la fórmula para

construir intervalos de confianza parte de:

)(S ZY y/2i α±

donde yS es el error estándar de la predicción media (dada por la expresión (5)).

Se puede entonces considerar que Stata calcule el error estándar de la predicción

media a través de la sintaxis:

predict syhat, stdp

2 Los nombres de las variables pueden ser cualquier pero las opciones xb , r , stdp y stdf

necesitan ser indicadas tal y como se encuentran en el Cuado 1.

x10iˆˆy ββ +=

iii yye ˆˆ −=

yS

y-yS

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UAM-X 10-P 7

La opción “, stdp ” le indica a Stata que se desea encontrar el error estándar de la

predicción media ; con tal fin, para el ejemplo de ventas vs gastos en publicidad

se crea una nueva variable llamada syhat para este valor (observe nuevamente

que este nombre puede ser cualquiera). El intervalo de confianza al 95% estaría

dado por los límites inferior (LI) y superior (LS) de la forma siguiente:

gen liestventas = ventashat – 1.96 * syhat gen lsestventas = ventashat + 1.96 * syhat

Es posible entonces visualizar los rangos de intervalo de confianza si graficamos

considerando las siguientes instrucciones3:

order publicidad label variable ventashat “ventas estimadas” label variable liestventas “LI del pronostico medio ” label variable lsestventas “LS del pronostico medio ” label variable publicidad “gastos en publicidad” graph twoway (scatter ventas publicidad) (line vent ashat publicidad) (line liestventas publicidad) (line lse stventas publicidad)

4050

6070

80

6 8 10 12publicidad

ventas Linear predictionliestventas lsestventas

3 Las instrucciones completas para el ejemplo de Ventas vs Publicidad son las siguientes regress ventas publicidad predict ventashat, xb predict syhat, stdp gen liestventas = ventashat - 1.96 * syhat gen lsestventas = ventashat + 1.96 * syhat sort ventashat graph twoway (scatter ventas publicidad) (line vent ashat publicidad) (line liestventas publicidad) (line lsestventas pub licidad) graph twoway (lfitci ventas publicidad) (scatter v entas publicidad)

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UAM-X 10-P 8

Observe que esta gráfica es la misma que se obtiene mediante la instrucción

graph twoway (lfitci ventas publicidad) (scatter v entas publicidad)

como se muestra a continuación:

4050

6070

80

6 8 10 12publicidad

95% CI Fitted valuesventas

Podemos también obtener los límites inferior y superior del intervalo de confianza

al 95% para las ventas de cualquier valor especifíco de los gastos en publicidad.

Para hacer esto escribimos en la ventana de comandos:

summ liestventas lsestventas if publicidad==10

La salida que se obtienes es la siguiente:

Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max -------------+------------------------------------- ------------------- liestventas | 2 62.31472 0 62.31472 62.31472 lsestventas | 2 70.18528 0 70.18528 70.18528

Finalmente, si deseamos obtener una gama de “resultados probables” para los

valores individualmente observados, es decir, construir un intervalo para el

pronóstico, la fórmula para ello es:

)(S ZY y-y/2i α±

donde y-yS está el “error estándar del pronóstico” (expresión (2)). Tenemos una

fórmula para esto, pero Stata puede también generarla por nosotros:

predict syminusyhat1, stdf

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Ahora se puede construir un intervalo de confianza al 95% para las ventas

individuales observadas:

gen lifventas= ventashat - 1.96 * syminusyhat1 gen lufventas = ventashat + 1.96 * syminusyhat1

Generemos entonces una gráfica que muestre las bandas para todos los valores de

los gastos de publicidad:

order publicidad graph twoway (scatter ventas publicidad) (line vent ashat publicidad) (line lifventas publicidad) (line lufve ntas publicidad)

4050

6070

8090

6 8 10 12publicidad

ventas Linear predictionlifventas lufventas

Se pueden entonces etiquetar las variables para obtener un gráfico más adecuado.

label variable ventashat “ventas estimadas” label variable lifventas “banda inferior del pronos tico” label variable lufventas “banda superior del pronos tico” label variable publicidad “gastos en publicidad” graph twoway (scatter ventas publicidad, ytitle("ve ntas")) (line ventashat publicidad) (line lifventas) (line lufventas)

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UAM-X 10-P 10

5060

7080

90ve

ntas

6 8 10 12gastos en publicidad

ventas ventas esperadasbanda inferior del pronostico banda superior del pronostico

La comparación de los dos tipos de intervalos (predicción media y predicción individual) se muestra a continuación

Order publicidad label variable lifventas "LI pred. indiv." label variable lufventas "LS pred. indiv." label variable liestventas "LI pred. media" label variable lsestventas "LS pred. media" graph twoway (scatter ventas publicidad, mlabel(t) ytitle(ventas)) (line ventashat publicidad) (line l ifventas publicidad) (line lufventas publicidad) (line liest ventas publicidad) (line lsestventas publicidad)

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UAM-X 10-P 11

Bibliografía y referencias

Bowerman, Bruce, Richard T. O´Connell y Anne B. Kholer (2007). Pronósticos, series

de tiempo y regresión, 4ª. ed., CENGAGE Learning, México.

Chatterjee , Samprit y Ali S. Hadi (2006). Regression Analysis by Example, 4ª. ed.,

John Wiley & Sons, New Jersey.

Gujarati, Damodar y Dawn C. Porter (2010). Econometría, 5ª. ed., McGraw-Hill,

México.

Kutner, Michael H., Christopher J. Nachtsheim, John Meter y William Li (2005).

Applied Linear Statistical Models, 5ª. ed., McGraw-Hill, Estados Unidos.

310

78

12

1

5 4

6

11

9

2

4050

6070

8090

vent

as

6 8 10 12publicidad

ventas ventas estimadasLI pred. indiv. LS pred. indiv.LI pred. media LS pred. media

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ANEXOS

ztable Areas between 0 & Z of the Standard Normal Di stribution .00 .01 .02 .03 .04 | .05 . 06 .07 .08 .09 0.00 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 | 0.0199 0. 0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.10 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 | 0.0596 0. 0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.20 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 | 0.0987 0. 1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.30 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 | 0.1368 0. 1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.40 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 | 0.1736 0. 1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.50 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 | 0.2088 0. 2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.60 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 | 0.2422 0. 2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.70 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 | 0.2734 0. 2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.80 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 | 0.3023 0. 3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.90 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 | 0.3289 0. 3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.00 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 | 0.3531 0. 3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.10 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 | 0.3749 0. 3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.20 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 | 0.3944 0. 3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.30 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 | 0.4115 0. 4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.40 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 | 0.4265 0. 4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.50 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 | 0.4394 0. 4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.60 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 | 0.4505 0. 4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.70 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 | 0.4599 0. 4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.80 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 | 0.4678 0. 4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.90 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 | 0.4744 0. 4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.00 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 | 0.4798 0. 4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.10 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 | 0.4842 0. 4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.20 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 | 0.4878 0. 4881 0.4884 0.4887 0.4890 2.30 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 | 0.4906 0. 4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.40 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 | 0.4929 0. 4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.50 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 | 0.4946 0. 4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.60 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 | 0.4960 0. 4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.70 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 | 0.4970 0. 4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.80 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 | 0.4978 0. 4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.90 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 | 0.4984 0. 4985 0.4985 0.4986 0.4986 3.00 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 | 0.4989 0. 4989 0.4989 0.4990 0.4990 3.10 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 | 0.4992 0. 4992 0.4992 0.4993 0.4993 3.20 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 | 0.4994 0. 4994 0.4995 0.4995 0.4995 3.30 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 | 0.4996 0. 4996 0.4996 0.4996 0.4997 3.40 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 | 0.4997 0. 4997 0.4997 0.4997 0.4998 3.50 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 | 0.4998 0. 4998 0.4998 0.4998 0.4998

ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL FORTINO VELA PEÓN

UAM-X 10-P 13

ttable Critical Values of Student's t .10 .05 .025 .01 .005 .000 5 1-tail df .20 .10 .050 .02 .010 .001 0 2-tail 1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 636.61 9 2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 31.59 9 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 12.92 4 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 8.61 0 5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6.86 9 6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.95 9 7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 5.40 8 8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 5.04 1 9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.78 1 10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.58 7 11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.43 7 12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 4.31 8 13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 4.22 1 14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 4.14 0 15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 4.07 3 16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 4.01 5 17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.96 5 18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.92 2 19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.88 3 20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.85 0 21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.81 9 22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.79 2 23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.76 8 24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.74 5 25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.72 5 26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.70 7 27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.69 0 28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.67 4 29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.65 9 30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.64 6 35 1.306 1.690 2.030 2.438 2.724 3.59 1 40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.55 1 45 1.301 1.679 2.014 2.412 2.690 3.52 0 50 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 3.49 6 55 1.297 1.673 2.004 2.396 2.668 3.47 6 60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.46 0 65 1.295 1.669 1.997 2.385 2.654 3.44 7 70 1.294 1.667 1.994 2.381 2.648 3.43 5 75 1.293 1.665 1.992 2.377 2.643 3.42 5 80 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639 3.41 6 85 1.292 1.663 1.988 2.371 2.635 3.40 9 90 1.291 1.662 1.987 2.368 2.632 3.40 2 95 1.291 1.661 1.985 2.366 2.629 3.39 6 100 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626 3.39 0 120 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 3.37 3 140 1.288 1.656 1.977 2.353 2.611 3.36 1 160 1.287 1.654 1.975 2.350 2.607 3.35 2 180 1.286 1.653 1.973 2.347 2.603 3.34 5 200 1.286 1.653 1.972 2.345 2.601 3.34 0