PROCEDURA DI SOLUZIONE DI PROBLEMI SULL’INTERFERENZA DI DUE ONDE

Prof. Silvano Natalizi - 15 dicembre 2013

PROBLEMA TIPICO INTERFERENZA DUE ONDE

Un osservatore sta in piedi davanti a due altoparlanti che producono un suono della medesima frequenza e lunghezza d’onda, ma sono sfasati di π.

(Ciò significa che l’interferenza è costruttiva quando d=(2n+1)ϒ/2 e distruttiva quando d=nϒ).

Inizialmente la distanza dell’osservatore dagli altoparlanti è la medesima. Non appena egli si muove di lato, l’intensità del suono cambia gradualmente. Quando la distanza x nel disegno diventa 0.92m, c’è una interferenza costruttiva. Usando i dati mostrati nel disegno, determina la frequenza del suono proveniente dagli altoparlanti.

PROCEDIMENTO DI SOLUZIONE, RICERCA DELLE RELAZIONI TRA L’INCOGNITA E I DATI NOTI.

La incognita del problema è la frequenza emessa dagli altoparlanti (una sola frequenza)

Dobbiamo cercare di impostare una equazione con I dati noti del problema:

La teoria ci dice che V=ϒf e quindi f=v/ϒ, ma la lunghezza d’onda ϒ è incognita, invece

conosciamo la velocità del suono nell’aria v=343m/s

RICERCA DI ULTERIORI RELAZIONI TRA LE INCOGNITE E I DATI NOTI DEL PROBLEMA

Siccome nel punto dove è posto l’osservatore, esso rileva interferenza costruttiva (Quando la distanza x nel disegno diventa

0.92m, c’è una interferenza costruttiva. ) Dalla teoria sappiamo che, in questo

caso, d=(2n+1)ϒ/2

Osserviamo che la lunghezza d’onda ϒ possiamo calcolarla una volta che siano noti d e n

COME FACCIAMO A DETERMINARE D

d è la differenza di cammino percorso dalle due onde.

d=l1-l2 l1=sqrt(sqr(4)+sqr(1.50+0.92)

)= 4.68m l2=sqrt(sqr(4)+sqr(1.50-

0.92))= 4.04m

pertanto d=l1-l2=4.68-4.04=0.64m

In generale applichiamo il teorema di Pitagora.

COME FACCIAMO A DETERMINARE N ? Per determinare il numero naturale n, bisogna fare

un ragionamento che spesso si presenta sempre al medesimo modo:

Osservando il disegno, con la sua geometria, vediamo che, se l’osservatore si sposta sempre più a destra, d aumenta, infatti l1 aumenta l2 diminuisce e quindi la differenza d=l1-l2 aumenta.

Ma il testo dice: “Inizialmente la distanza dell’osservatore dagli altoparlanti è la medesima. Non appena egli si muove di lato, l’intensità del suono cambia gradualmente. Quando la distanza x nel disegno diventa 0.92m, c’è una interferenza costruttiva. “

Pertanto ne deduciamo che quella posizione è la prima alla quale si osserva l’interferenza costruttiva e quindi è anche quella per cui la differenza di cammino d è minima! Perchè dopo spostandomi a destra d aumenta.

In virtù della legge d=(2n+1)ϒ/2 ne consegue che per avere d minimo, n deve essere il più piccolo valore possibile, ossia n=0

IL CICLO È CHIUSO

Riepilogando f dipende da ϒ, ϒ dipende da d e n

d dipende dalla geometria del sistema n dipende dalla regole dell’interferenza e da d

In sequenza calcoliamo d, Determiniamo n Calcoliamo ϒ Infine risolviamo il problema calcolando la frequenza f

SISTEMA DI EQUAZIONI MATEMATICHE v=fϒ d=(2n+1)ϒ/2 Le incognite sono 4 : f, ϒ, d, n Con due sole equazioni non è risolvibile, occorrono

altre due equazioni nelle medesime incognite. Una ulteriore equazione ci è fornita dal teorema di

Pitagora che ci permette di calcolare d Un’ulteriore relazione ci è fornita da considerazioni

di minimo di d che ci permette di determinare n.

CALCOLO NUMERICO

d=0.64m n=0 ϒ=2d/(2n+1)=2*0.64/(0+1)=1.28m f=v/ϒ=343/1.28=268Hz

SOLUZIONE LETTERALE

v=fϒ d=(2n+1) ϒ/2 ϒ=v/f d=(2n+1) v/2f f=(2n+1)v/2d, n=0, d=0.64m, v=343m/s Sostituendo questi valori noti nell’equazione esplicita di f si ha:

f=343/1.28=268Hz.

TESTIAMO IL PROCEDIMENTO SU DI UN’ALTRO PROBLEMA

Il disegno mostra due altoparlanti A e B, e un punto C dove è posizionato un ascoltatore.

Entrambi A e B vibrano in fase e con la stessa frequenza di 68.6Hz e lunghezza d’onda. v=343m/s.

Quale è la distanza minima tra A e B affinchè l’ascoltatore in C senta un’interferenza distruttiva ?

PROCEDIMENTO DI SOLUZIONE

L’incognita del problema è la distanza minima tra A e B. Chiamiamola AB=x

Da chi dipende x ? Ossia quale relazione possiamo

impostare tra x e I dati noti del problema ?

CHE COSA SAPPIAMO

Sappiamo che in C deve esserci una interferenza distruttiva, quindi d=(2n+1)ϒ/2

Conosciamo la frequenza f Conosciamo la velocità di propagazione delle due

onde uscenti da A e B: v=343m/s Sappiamo che v=fϒ Pertanto conosciamo anche ϒ la lunghezza d’onda.

CHE COSA NON SAPPIAMO

Non conosciamo ancora n Non abbiamo ancora esaminato le

relazioni geometriche che ci possono consentire di collegare d all’incognita x.

RELAZIONI GEOMETRICHE

x=x1+x2 del triangolo

rettangolo AHC conosco l’ipotenusa AC e gli angoli ad essa adiacente.

Pertanto posso calcolare x1 e l’altezza y.

Non conosco d2 e x2

UN ULTERIORE INFORMAZIONE DETERMINANTE

Non abbiamo ancora sfruttato il fatto che x deve essere minimo.

Osserviamo che in un triangolo qualsiasi, avente fisso un lato ed un angolo ad esso adiacente, se diminuiamo la lunghezza del secondo lato adiacente al medesimo angolo, allora anche la lunghezza del terzo lato diminuisce

Applicando questa regola al nostro triangolo ABC, ne consegue che se rendiamo minimo x, risulta minimo anche d2 e quindi anche la differenza del cammino d=d2-d1

Ancora una volta un problema di minimo d !

CADE N E CADE D

Abbiamo dedotto precedentemente che d deve essere minimo !

d=(2n+1)ϒ/2 Quindi n deve essere il minimo ossia n=o Ma conosciamo ϒ, Quindi d=ϒ/2

RISOLVIAMO X

X1=AC*cos60 Y=Ac*sin60 d=d2-d1 quindi

d2=d+d1 X2=sqrt(sqr(d2)-

sqr(Y)) X=x1+x2

IL CICLO È CHIUSO

d dipende da x x minimo implica d minimo n dipende da d d minimo implica n minimo => n=0 (prima

incognita determinata) ϒ dipende da f e v , ϒ=v/f d=ϒ/2 (seconda incognita calcolata) d2=d+d1 X=x1+x2 X2 lo ricavo con il teorema di Pitagora !

CALCOLO NUMERICO

n=0 ϒ=v/f=343/68.6=5m d=ϒ/2=2.5m X1=AC*cos60=1*0.5=0.5m Y=AC*sin60=1*0.866=0.866m D2=d+d1=2.5 +1=3.5m X2=sqrt(sqr(d2)-sqr(Y))=sqrt(sqr(3.5)-

sqr(0.866))=sqrt(12.25-0.750)=sqrt(11.5)=3.39m X=x1+x2=0.5+3.39=3.89m