INFINITOS EQUIVALENTES

Diremos que f es un infinito para x→ α si y sólo si: )(lím )( −∞+∞=

→xf

x α

Definición: Dos infinitos f y g son equivalentes para x → α si y sólo si: 1)()(

lím =→xgxf

x α

Anotamos: f(x) ∼ g(x) para x → α. Ejemplo:

1) +∞=+++∞→

)442( 2lím xxx

; +∞=+∞→

22lím xx

; 1lím2

2

2442

=++

+∞→x

xx

x

(verifícalo)

Entonces: 2x2 + 4x + 4 ∼ 2x2 para x → +∞ 2) Complete: Para x →+∞ ; -3x3 + 4x –10 ∼ ....... ; x – 3 ∼ ........ ; 3x + 6 ∼ ............ Justifique cada respuesta. Teorema

H) f es un infinito para x → α. T)

∞−∞+=

→

b

xgxhx

)().(límα

Existe )(lím xgx α→

∞−∞+=

→

b

xgxfx

)().(límα

f(x) ∼ h(x) para x→α 1 b; +∞; -∞. Demostración:

∞−∞+==

→→

bxhxf

xfxh

xgxhx

x)().(.

)()(

)().( límlím

αα

En forma análoga, se puede demostrar un teorema similar para sustituir en un cociente. Ejercicios

1) Calcula:

)12).(3()23).(232(

2

2lím

+++−++

+∞→xx

xxx

x

; 2) Demuestre que para x → -∞ ; 2x3 + 4x2 –5 ∼ 2x3

ORDENES DE INFINITOS. Hemos manejado en el curso ideas como esta: “esta función crece más rápido que esta otra” o “ este es un infinito mayor que este otro”.

Por ejemplo x2 y x son infinitos para x → +∞, pero +∞=

+∞→x

x

x

2lím , por lo tanto la primer expresión crece más rápido

que la segunda. Diremos que: “El orden de x2 es mayor que el de x para x → +∞” Ejercicio: Realiza un gráfico comparando ambas. Definición: f y g son infinitos para x →α.

Orden (f(x)) = Orden (g(x)) ⇔ kxgxf

x

=→)()(

lím

α

; k ≠ 0 .

Orden (f(x)) > Orden (g(x)) ⇔ )(lím

)()(

−∞∞+=→xgxf

x α

.

Orden (f(x)) < Orden (g(x)) ⇔ 0lím)()(=

→xgxf

x α

.

Ejercicio: Comprueba que: orden( x3) > orden(x2), cuando x → +∞. Observemos que dos infinitos equivalentes son del mismo orden. Enunciaremos un teorema que nos será muy útil para el cálculo de límites. TEOREMA. H) f y g son infinitos para x → α. T) a) f(x) + g(x) es un infinito para x → α. Orden(f(x) > Orden(g(x)). b) f(x) + g(x) ∼ f(x) para x → α. Demostración: +∞(-∞) 1

a) )(límlím ))()(1).(()()( −∞+∞== ++

→→ xf

xgxfxgxfx

xα

α

Entonces (f(x) + g(x)) es un infinito para x → α.

b) 1límlím)()(1

)()()(

== ++

→→xfxg

xfxgxf

xx αα

entonces, f(x) + g(x) ∼ f(x) cuando x →α. INFINITOS LOGARÍTMICO, POTENCIAL Y EXPONENCIAL. Sabemos que para x → +∞ Orden (x) < Orden (x2) < Orden (x3) Realizaremos las gráficas de las funciones: f: f(x) = ex g: g(x) = Lx h: h(x) = x2 • Observa sus comportamiento para x →+∞. • A partir del número 10 compara las imágenes para los mismos valores de x. Admitiremos que:

( )

; 0; 0; 1

m p uOrd L u Ord u Ord a

u m p a

< < → +∞ > > >

Ejemplo1

Calcular, )(lím xex

x−+∞→

+∞=+∞→

xex

lím y −∞=−+∞→x

xlím . Orden (ex) > Orden (x) ⇒ ex – x ∼ ex con x →+∞

+∞==+∞→+∞→

− xx exexx

límlím )(

Ejemplo 2

Calcularemos el siguiente límite: 21límlím

222==

+∞→+∞→+++

x

x

x

x

ee

exLxxe

xx

INFINITÉSIMOS Diremos que f es un infinitésimo para x→ α si y sólo si: lim ( ) 0

xf x

α→=

Ejemplos: 1) f: f(x)= x2 - 2x + 1 es un infinitésimo para x → 1 2) g:g(x) = 1/(x – 2) es un infinitésimo para x →+∞ Definición:

Dos infinitésimos f y g son equivalentes para x → α si y sólo si: ( )lim 1( )x

f xg xα→

=

Ejemplo:

0lím )( 2

0

=+→xx

x

y 0lím0=

→x

x ; 1límlímlím )1()1.(

000

2=== +++

→→→

xx

xxxxx

xxx

por lo tanto, para x →0, x + x2 ∼ x . Realiza las gráficas de las funciones f: f(x) = x + x2 y g: g(x) = x, observa que ocurre para valores de x próximos a 0. Podemos probar teoremas análogos a los que demostramos para infinitos, los cuales nos permiten sustituir un infinitésimo, por otro equivalente tanto en un producto como en un cociente. Ejemplo:

0

00

2 1 1lím lím lim4 4

( 1)( )( 1)44 x

xx

xx xx x xxx →

→→

+= = =

++ +

ALGUNOS INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES. TEOREMA 1 Si x→0 entonces: L(1 + x) ∼ x Realiza el gráfico de las funciones: f:f(x) = L(1 + x) y g:g(x) = x. • Observa que son tangentes en (0;0). • ¿Qué interpretas al observar los gráficos? Aplicaciones.

Calcula los siguientes límites:

0 0

2lím lím

(1 ) (1 )3 3x z

L x L zx z→ →

+ +

TEOREMA 2 Si z →1 entonces: L(z) ∼ z – 1. Ejemplos:

1) ...1

11 22

11

límlím =−−

−→→

=

xx

xLx

xx

2) )21(.lím

−+

+∞→xxLx

x

TEOREMA 3 Si a ∈ R+ y x →0 entonces: ax – 1 ∼ x.La Nota: Si tomamos a = e, como Le = 1, tenemos: ex – 1 ∼ x, para x → 0 Realiza las gráficas de f: f(x) = ex – 1 y g: g(x) = x. Observa que ocurre. Ejercicios:

0 0

22lím lím

3

1 16 3x x

x xe ex x

+→ →

− −