Il rischio di un portafoglio - unipr.it CB 2010/slides per sito... · allora lo SQM è inferiore...

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a·a·σA·σA·ρAA a·b·σA·σB·ρABA

B

BAcovarianza

coefficiente di correlazioneb·b·σB·σB·ρBB

Come si combinano in un portafoglio i rischi di 2 titoli ?

dipende dai pesi e dal valore delle covarianze AB BA AA BB

σ²p = a²·σ²A + b²·σ²B + 2·a·b·σA·σB·ρAB

assume valori compresi tra 1 e -1

a·b·σA·σB·ρAB

= covAB / σA · σB

A

B

BA

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Il rischio di un portafoglio

σ²p = a²·σ²A+b²·σ²B+2·a·b·σA·σB·ρAB

• Il rischiorischio del portafoglio (p), formato dai titoli A e B (con pesi a e b) è dato dalla varianza σ²p

• Solo in un caso particolare lo SQM di un portafoglio èpari alla media ponderata degli SQM dei singoli titoli

• Il rendimento di un portafoglio è sempre pari alla media ponderata dei rendimenti dei singoli titoli

• Ciò si verifica quando il coefficiente di correlazione èuguale ad 1

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Il coefficiente di correlazione

• Il coefficiente di correlazione esprime il grado in cui due titoli si muovono congiuntamente

• Esprime valori compresi tra -1 e 1• Il coefficiente di correlazione è pari ad 1 quando se un

titolo aumenta, anche l’altro titolo aumenta• Il coefficiente di correlazione è pari a -1 quando se un

titolo aumenta l’altro diminuisce• Il coefficiente di correlazione è pari a zero quando i due

titoli non hanno nessun legame (ad aumenti dell’uno possono corrispondere sia incrementi, sia decrementi dell’altro)

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La covarianza

• Dipende dal coefficiente di correlazione e dalle volatilitàdei due titoli

• E’ la componente di volatilità del portafoglio dovuta al movimento congiunto dei due titoli


• Se il coefficiente di correlazione è pari ad uno:

σ²p = a²·σ²A+b²·σ²B+2·a·b·σA·σB· 1

allora lo SQM è pari alla media ponderata delle rispettive volatilità

σp = a·σA+ b·σB

= (a·σA+b·σB)2

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La covarianza

• Dipende dal coefficiente di correlazione e dalle volatilitàdei due titoli

• E’ la componente di volatilità del portafoglio dovuta al movimento congiunto dei due titoli


• Se il coefficiente di correlazione è inferiore ad uno:

σ²p = a²·σ²A+b²·σ²B+2·a·b·σA·σB·

allora lo SQM è inferiore alla media ponderata delle rispettive volatilità

es. = 0 il terzo addendo assume valore zero es. = -1 il terzo addendo assume valore negativo

ρAB

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E’ possibile costruire una pluralità di portafogli combinando i due titoli

σ

E (R)

A

B

• Se la correlazione tra i titoli A e B èperfetta (pari ad 1)i portafogli si dispongono su una retta

• Il rendimento del portafoglio è la media ponderata dei rendimenti

• Il sigma del portafoglio è la media ponderata dei sigma dei due titoli

Molto titolo A, poco titolo B

50%titolo A, 50% titolo B

Molto titolo B, poco titolo A

Solo titolo A

Solo titolo B

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Con la costruzione di portafogli gli investitori aumentano la propria utilità

• L’investitore X, molto avverso al rischio, non sceglie più un portafoglio composto dal solo titolo A, ma uno nel quale ècompresa una quota del titolo B

• Coerentemente con la propria avversione al rischio sceglie un portafoglio composto soprattutto da A (titolo poco rischioso)

σ

E (R)

A

B

X

• Questa scelta gli consente di ottenere una maggior utilità (può raggiungere una curva di indifferenza posta più in alto)

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Con la costruzione di portafogli gli investitori aumentano la propria utilità

• Anche Y, poco avverso al rischio, sceglie un portafoglio composto sia dal titolo A, sia dal titolo B

• Coerentemente con la propria minor avversione, il portafoglio ècomposto soprattutto da B (titolo più rischioso ma con maggior rendimento atteso)

σ

E (R)

A

BY

• Questa scelta gli consente di ottenere una maggior utilità (consente di raggiungere una curva di indifferenza posta più in alto)

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Se la correlazione è inferiore ad uno


• Si riduce la covarianza– es. se il coeff. = 0,5 il terzo addendo si dimezza– es. se il coeff. = 0 il terzo addendo si annulla– es. se il coeff. = - 0,5 il terzo addendo si dimezza e si

sottrae• Il rischio del portafoglio non è più pari alla media

ponderata delle volatilità dei singoli titoli, ma è inferiore• Si realizza l’effetto diversificazione di portafoglio• La costruzione di un portafoglio di titoli con rendimenti non

perfettamente correlati consente di ridurre il rischio complessivo rispetto alla media ponderata dei rischi

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Se i titoli non sono perfettamente correlati èpossibile ridurre il rischio sfruttando l’effetto

diversificazione

σ

E (R)

A

B

• L’insieme dei portafogli per i quali non si può fare una scelta secondo il criterio media-varianza(ma si deve ricorrere alle curve di indifferenza) èdetto frontiera efficiente dei portafogli possibili σ²p = a²·σ²A+b²·σ²B+2·a·b·σA·σB· ρAB

con ρAB < 1

a parità di rendimento il rischio si riduce

con ρAB< 1

con ρ AB

= 1

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diversificazione

σ

E (R)

A

B

• Per ogni singolo portafoglio costruibile con i titoli A e B si riduce il rischio a parità di rendimento

• L’insieme dei portafogli possibili si sposta verso sinistra (a paritàdi rendimento atteso, minor rischio)

σ²p = a²·σ²A+b²·σ²B+2·a·b·σA·σB· ρABcon ρAB < 1

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diversificazione

σ

E (R)

A

B

• La semi-curva diventa la nuova frontiera efficiente

• A nord non esistono portafogli; a sud esistono portafogli dominati


CD

D domina C

E

FF domina E

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diversificazione

σ

E (R)

A

B

• La semi-curva diventa la nuova frontiera efficiente

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diversificazione

σ

E (R)

A

B

X’

X

• Per l’investitore Xcambia la scelta del portafoglio che consente di massimizzare l’utilità

• Coerentemente con la propria avversione, sceglie un portafoglio che consente la riduzione del rischio e l’aumento del rendimento


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diversificazione• Anche per

l’investitore Ycambia la scelta del portafoglio che consente di massimizzare l’utilità

• Y sceglie un portafoglio che consente la riduzione del rischio e l’incremento del rendimento atteso

σ

E (R)

A

B

Y’

Y


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Se i titoli hanno correlazione nulla o inferiore a zero l’effetto di diversificazione è molto forte

• Quando il coefficiente di correlazione diventa nullo o negativo si riduce fortemente il rischio a parità di rendimento: quando un titolo va male, l’altro va bene

• L’effetto della covarianza sul rischio da incrementativodiventa decrementativo

σ

E (R)

A

B

Frontiera Efficiente

σ²p = a²·σ²A+b²·σ²B - 2·a·b·σA·σB· ρAB

con ρAB < 0

con ρAB< 0

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La La composizionecomposizione di di portafogliportafogli efficientiefficienticon 3 con 3 titolititoli

Ipotesi : tre titoli A, B, C

AB: Frontiera efficiente titoli A e B.

BC: Frontiera efficiente titoli B e C.

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•A

•B

•C

σ

µ


Consideriamo ora il portafoglio D costituito

dai titoli A e B

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• D

•A

•B

•C

σ

µ


Consideriamo ora il portafoglio D costituito

dai titoli A e B

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• Se si considera il portafoglio D del tratto AB, è possibile costruire un’altra frontiera efficiente DC tra il titolo C e il portafoglio D.

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• D

•A

•B

•C

σ

µ


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• Gli archi di curva costruiti in base a tutte le possibili combinazioni di titoli e portafogli danno vita alla frontiera AC relativa ai tre titoli.

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• D

•A

•B

•C

σ

µ


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Iterando il precedente processo di costruzione N volte, si ottiene la frontiera efficiente della regione delle opportunità ad N titoli, i cui punti hanno coordinate (µ,σ²) individuate dalle seguenti formule

E(Rp) = ∑i E(Ri) · Xi

σ²p= ∑i Xi²·σ²(Ri)+∑i ∑j Xi·Xj·σ(Ri)·σ(Rj)· ρi,j

con i,j=1, 2, …..n

La La composizionecomposizione di di portafogliportafogli efficientiefficienticon N con N titolititoli

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maggiore è il numero di titoli, maggiore è il vantaggio della diversificazione: si riduce la varianza dei portafogli poiché le correlazioni non perfette fra i titoli riducono le covarianze

Rischio (σ)

Ren

dim

ento

0

La La composizionecomposizione di di portafogliportafogli efficientiefficienticon N con N titolititoli

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