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Identificação das Matrizes de Estado

Adolfo BauchspiessENE/UnB

Identificação de Sistemas Dinâmicos – Caixa Cinza - idGrey

Consideração preliminar:

Representar as equações de Estado como x(k) = Regressores * Parâmetros

)𝐸𝑚 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑜𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑚: 𝑦 𝑘 = )𝜓(𝑘 − 1 3𝜃 + 𝑒(𝑘

𝒙 𝑘 = Φ𝒙 𝑘 − 1 + Γ𝒖 𝑘 − 1 + 𝒆(𝑘)

𝒙 𝑘 = Φ Γ𝒙(𝑘 − 1)𝒖(𝑘 − 1)

𝒙 𝑘 = Δ3𝒎(𝑘 − 1)𝑻

𝒙 𝑘 3 = 𝒎(𝑘 − 1)Δ

𝒙 𝑘 3 = 𝒙(𝑘 − 1)3 𝒖(𝑘 − 1)3 Φ3

Γ3

(𝑦 𝑘 = 𝜓(𝑘 − 1)3𝜃 + 𝑒(𝑘))

Para N instâncias desta equação:

𝒙 1 𝑻

𝒙 2 𝑻

⋮𝒙 𝑁 𝑻

=

𝒎(0)𝒎(1)⋮

𝒎(𝑁 − 1)

Δ

𝑋𝑵 = 𝑀Δ

Δ pode ser obtida resolvendo-se a pseudo-inversa: FΔGH= [𝑀𝑻𝑀]KL𝑀𝑻𝑋𝑵

Ou de forma recursiva:

𝐾N =OPQR𝒎(NKL)S

LT𝒎(NKL)OPQR𝒎(NKL)S

FΔN = FΔNKL + 𝐾N 𝒙 𝑘 3 −𝒎(𝑘 − 1)FΔNKL

𝑃N = 𝑃NKL −OPQR𝒎(NKL)S𝒎(NKL)OPQR

S

LT𝒎(NKL)OPQR𝒎(NKL)S

Identificação Caixa Cinza

Adolfo BauchspiessENE/UnB

Identificação de Sistemas Dinâmicos

Estimação Caixa Cinza

• Conhecimento à priori • estrutura, • leis físicas, • princípios fundamentais

• Informação auxiliar

Ex.1 – Processo Térmico

6500 7000 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 11000

42

44

46

48

50

52

54

t/[seg]

ºC

Identificação Processo Térmico - Filtro de Kalman

medidoestimadosimulado

Ex.: Modelo a ParâmetrosConcentrados de climatização

Analogia: Capacitor elétrico - Capacitância TérmicaResistor – transmitância térmicaCorrente – fluxo de calor q

q = K(Tiv-To); qv = Kv(Tv - Tiv) - ”condução”

- Princípio Fundamental: fluxo de calor é proporcional à diferença de temperaturas

Forma Modal – desacoplamento entre modos

- Expanção em frações- ssest/n4sid

sys2=n4sid(ze,2,'Form','modal','InputDelay',5);

%% x(k+1)=phi*x(k)+gama*u(k)% y(k) = H*x(k) + J*u(k)

phi=[exp(-1/40) 0 0 0 0 0 00 exp(-1/270) 0 0 0 0 0 (1-exp(-1/40))*0.0364 (1-exp(-1/270))*0.0521 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0];

gama=[1 141 140 00 00 0 0 00 0];

Hr=[0 0 0 0 0 0 1];

Y(z)*z5 = G1(z)*U1(z) + G2(z)*U2(z)

u2 - Tamb

[tid uid]

u1 - PWM

simd

To WS

25

Z-5

-K-

exp(-1/40)

-K-

exp(-1/270)

14

x2x2

x1

Modelo Princípios Fundamentais

%Modelo discreto do processo térmico no espaço de estados% x(k+1)=phi*x(k)+gama*u(k)% y(k) = C*x(k) phi=[exp(-1/30) 0 0 0 0 0 0

(1-exp(-1/30))*4*0.001 1 0 0 0 0 -5*0.0010 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0]

gama=[1 10 0.0010 00 00 0 0 00 0]

H=[0 0 0 0 0 0 1];

qp = K (TP - To)

qa = Ka (Ta - T)

Capacitancia Termica LM35

Modelo do Processo PWM

ZOH

TransportDelay

.

25

1s

1s

[tid uid]

WS

4

0.001

1/30

1/30

q fluxode calor

qa qa

qp

Tp

Ta Ta

T

T

MQR – MQ com Restrições

θc

ξξ

ξθy

SparâmetrosossobrerestriçõesnCustodeFunçãoaminimizar

r

T

=

+= ˆy

Ex. MQR – Característica Estática

Característica Estática

Identificação EE com parametrização Estruturada

u2 - Tamb

Pto Operação


Pto Operação


Pto Operação

Caminho direto -> zero na F.T.

[tid y]

u3

[tid uid]

u1 - PWM

ysfp

To WS

q fluxos de calor

25

Z-5p(4)

p(1)

Scope2

p(5)

p(2)

um(2)

um(1)ym

p(3)

x1

x3-x7q

q_amb normalizado

q_pwmx2

Idss com parametrização Estruturada

u2 - Tamb

Pto Operação


Pto Operação


Pto Operação


[tid y]

u3

[tid uid]

u1 - PWM

ysfp

To WS

q fluxos de calor

25

Z-5p(4)

p(1)

Scope2

p(5)

p(2)

um(2)

um(1)ym

p(3)

x1

x3-x7q

q_amb normalizado

q_pwmx2

gs.Structure.a.Free=...[1 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];

gs.Structure.b.Free=...[0 0;1 1;0 0;0 0;0 0;0 0;0 0];

gs.Structure.c.Free=[0 0 0 0 0 0 0 ];

gs.Structure.d.Free=0;

set(gs,'Ts',Ts); % modelo contínuo

gss=ssest(ze,gs);

greyest com parametrização Estruturada

u2 - Tamb

Pto Operação


Pto Operação


Pto Operação


[tid y]

u3

[tid uid]

u1 - PWM

ysfp

To WS

q fluxos de calor

25

Z-5p(4)

p(1)

Scope2

p(5)

p(2)

um(2)

um(1)ym

p(3)

x1

x3-x7q

q_amb normalizado

q_pwmx2

function [A,B,C,D,K,x0] = myFirst_id3 (par,Ts,aux)A = [par(1) 0 0 0 0 0 0

par(2)*par(3)*par(4) 1 0 0 0 0 -(par(3)+1)*par(4)0 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0];

B = [1 0par(3)*par(4)*par(5) par(4)

% 0 par(4)0 00 00 0 0 00 0];

C=[0 0 0 0 0 0 1];D = zeros(1,2);K = zeros(7,1);x0 =[0; 0; 0; 0; 0; 0; 0];

greyest com parametrização Estruturada

u2 - Tamb

Pto Operação


Pto Operação


Pto Operação


[tid y]

u3

[tid uid]

u1 - PWM

ysfp

To WS

q fluxos de calor

25

Z-5p(4)

p(1)

Scope2

p(5)

p(2)

um(2)

um(1)ym

p(3)

x1

x3-x7q

q_amb normalizado

q_pwmx2par=[exp(-1/40) 0.1 2.5 .001 1]; %I.C,

gr=idgrey('myFirst_id3',par,'cd',aux,Ts);ggr=greyest(ze,gr);

% Simula sistema identificadox0=[0 0 25 25 25 25 25]'-ym;gn=ss(phi,gama,Hr,0,1);

yr=lsim(ggr,u-um,t,x0)+ym;

Greyest- First Principles

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5104

-10

0

10

20

30

40

50

60Fit Processo Termico,% GreyEst =85.6%% GreyEstZ =90.8%

2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3104

44

46

48

50

52

54

56Fit Processo Termico,% GreyEst =85.6%% GreyEstZ =90.8%

y-processyr-greyestyrZ-greyest

Greyest- First Principles

u2 - Tamb

Pto Operação


Pto Operação


Pto Operação


[tid y]

u3

[tid uid]

u1 - PWM

ysfp

To WS

q fluxos de calor

25

Z-5p(4)

p(1)

Scope2

p(5)

p(2)

um(2)

um(1)ym

p(3)

x1

x3-x7q

q_amb normalizado

q_pwmx2

phi (inicial) =

0.9753 0 0 0 0 0 00.0001 1.0000 0 0 0 0 -0.0050

0 1.0000 0 0 0 0 00 0 1.0000 0 0 0 00 0 0 1.0000 0 0 00 0 0 0 1.0000 0 00 0 0 0 0 1.0000 0

ggr.a =

0.9763 0 0 0 0 0 0-0.0000 1.0000 0 0 0 0 -0.0029

0 1.0000 0 0 0 0 00 0 1.0000 0 0 0 00 0 0 1.0000 0 0 00 0 0 0 1.0000 0 00 0 0 0 0 1.0000 0

Gama(inicial) =

0.0714 1.00001.0000 0.1000

0 00 00 00 00 0

ggrz.b =

1.0000 00 0.00080 00 00 00 00 0

p =

-0.97430.22522.48100.00311.0000

Ex. 2 Levitação Magnética


Processo Compensador em avanço

121 s21+s

p sz+s )(

+=

+=sD

2223

2

mf1)-(K s 1)-(K ps s

z)(sK- (s)Grr

r

www

+++

+=(K=Ganho de malha)

Diagrama de blocos simplificado

Diagrama de blocos em um dos canais

Ex. 2 idss ze{i}=iddata(y-mean(y),u-mean(u),T);

gtf{i}=tfest(ze{i},3,1); % Id. Caixa Preta – estrutura: 3 pólos 1 zero

% idss (fixa pólo em comp. Avnaço em -121) - 4 par. livres.par=[-2e5;-7500;-1.3e4;-220]; % valores iniciais ~gtf

A = [0 1 0; 0 0 1; par(1) par(2) -121]; B = [0; 0; 1];C = [par(3) par(4) 0];D = zeros(1,1);gs=idss(A,B,C,D);

gs.Structure.a.Free=[0 0 0; 0 0 0;1 1 0];gs.Structure.b.Free=[0; 0; 0];gs.Structure.c.Free=[1 1 0];gs.Structure.d.Free=0;set(gs,'Ts',0); % modelo contínuo

%gss = ssest(ze,gss,ssestOptions('Display','on'));gss{i}=ssest(ze{i},gs);

Ex. 2 idgrey

par=[-2e5;-7500;-1.3e4];aux=21; % posição do zero - fixa!Ts=0; % modelo contínuogr=idgrey('myLevi',par,'c',aux,Ts)

ggr{i}=greyest(ze{i},gr)

function [A,B,C,D,K,x0] = myLevi(par,Ts,aux)A = [0 1 0; 0 0 1; par(1) par(2) -121]; B = [0; 0; 1];C = [par(3)*aux par(3) 0];D = zeros(1,1);K = zeros(3,1);x0 =[0; 0; 0];

% Forma Canonica Controlável% b1 s + b0% ----------------------------------% s^3 + a2 s^2 + a1 s + a0%%A=[0 1 0;% 0 0 1;% -a0 -a1 -a2]%B=[0;0;1];%C=[b0 b1 0]


20 20.2 20.4 20.6 20.8 21 21.2 21.4 21.6 21.8 22-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4i=3 arq.=dados\6-19+9-52-38_1 ms.txt

y adqyt tfestyg greyestu*.01

2.05e05 s 1.164e04 s 121 s21) (s 1019.6- gr(s) 23 +++

+=

1.13e05 s 8560 s 67.46 s17.11)+(s 726.9- tf(s) 23 +++

=

Ex. Predial

Climatização Híbrida - Temperatura

Forro PVC

Serpentina + VentiladorEvaporativo

Reservatório de água

Grelhas de saída de arGrelha entrada de ar externo

Damper -Misturador

de ar

Compressor(externo)

Teto

Duto

Evaporador

T & UR

idgrey

function [A,B,C,D,K,x0] = myfunc5(par,Ts,aux)

A = [par(1) par(2) par(3) par(4) par(5) par(6) par(7); 0 par(8) 0 0 0 0 0; 0 0 par(9) 0 0 0 0; 0 0 0 par(10) 0 0 0; 0 0 0 0 par(11) par(12) par(13); 0 0 0 0 0 par(14) 0; 0 0 0 0 0 0 par(15)];

B = [par(16) par(17) par(18) par(19) par(20); (1-par(8)) 0 0 0 0; 0 (1-par(9)) 0 0 0; 0 0 (1-par(10)) 0 0; 0 0 0 par(21) par(22); 0 0 0 par(23) 0; 0 0 0 0 (1-par(15))];

C = [1 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1 0 0];D = zeros(2,5);K = zeros(7,2);

x0 =[par(24);par(25);par(26);par(27);par(28);par(29);par(30)];

Matrizes – Princípios Fundamentais

;;)(

/10000000/100000

/000/10000000/10000000/10

1511

555554535251

151511

aa

a

aaaa

uvsutcve

uv

u

s

c

v

e

sutcve

KKKKaKKKKa

aa

aKaaaaaa

aa

aKKKaKKKKKKa

A

=++-

=

úúúúúúúúúú

û

ù

êêêêêêêêêê

ë

é

--

--

--

--

=

aaa

aauvstusctusv

tusecvetus

KKaKKKKaKKKKa

KKKKaKKKKKKa

-=

-=

-=

-=

++=

555453

5251

;;

;;)(

úúúúúúúúú

û

ù

êêêêêêêêê

ë

é

=

uv

uu

c

v

e

aaK

aa

a

B

/100000/0000000000/100000/100000/100000

úû

ùêë

é=

00100000000001

C

Predial - Sinais

Umidade relativa da sala de reuniões (uo), do ambiente externo (ue), sala vizinha (uv) e pós-evaporativo (up).

Temperatura da sala de reuniões (to), do ambiente externo (te), vizinhança (tv) e pós-evaporativo (tp).

Resultado da Identificação

i u uv ue um s

ai 168,5 164,9 80,82 171,7 -

Ki 2,19 3,77 0,151 -0,003 0,029

Redução de Ordem

Utilização de Coeficientes de Agrupamento•Modelo ARMAX

Candidatos a Modelo

Considerando: pequenas períodos de amostragem

Estimação dos Parâmetros

Redução de Ordem

• Encontrar o “joelho”acréscimo de termo é irrelevante:

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