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1

MATEMTICA

QUESTO 01 Sejam dados os conjuntos, X e Y, e a operao , definida por = ( ) ( )X Y X Y Y X . Pode-se afirmar que

a) = ( ) ( )X Y X Y b) = ( ) ( )X Y X Y c) = ( ) ( )X Y Y X d) =( ) ( )X Y X Y X e) =( ) ( )X Y Y X X

Resoluo Alternativa A Em um diagrama de Venn, X Y representada como segue:

X Y Y X

X Y

Por outro lado, X Y representado da seguinte forma:

X Y

X Y

Portanto, = ( ) ( )X Y X Y Analiticamente:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

X Y X Y X Y Y X X Y

X Y X Y Y X X Y

= = = = =

Note que as demais alternativas esto incorretas, pois: b) ( ) ( )X Y X Y X Y = c) ( ) ( )X Y Y X Y X = d) ( ) ( )X Y X Y X Y = (representado no primeiro diagrama) e) ( ) ( )X Y Y X X Y = (representado no primeiro diagrama)

QUESTO 02 Seja = iz e um nmero complexo onde e so, respectivamente, o mdulo e o argumento de z e i a unidade imaginria. Sabe-se que = 2 cosa , onde a uma constante real positiva. A representao de z no plano complexo a)

b)

c)

d)

e)

Resoluo Alternativa A

Do enunciado, = iz e e = 2 cosa . Como, = +cosie i sen , temos:

( ) ( ) ( ) = + = +22 cos . cos 2cos 2 cosz a i sen a i sen Note que: ( ) =2 2 cossen sen e ( ) = =2 2cos 2 cos sen

( ) ( ) = = = +2 2 2 2cos 1 cos 2cos 1 2cos cos 2 1 Da segue que,

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) = + + = + +cos 2 1 2 cos 2 2z a i sen a a i sen Assim o grfico uma circunferncia de raio a e centro deslocado de a unidades no eixo x no sentido positivo, em relao origem.

QUESTO 03 Seja A uma matriz quadrada inversvel de ordem 4 tal que o resultado da soma +4 3( 3 )A A uma matriz de elementos nulos. O valor do determinante de A a) 81 b) 27 c) 3 d) 27 e) 81

Resoluo Alternativa E + = = = 4 3 4 3 4 34 4 4 43 0 0 3 3x xA A A A A A

Aplicando determinante aos dois lados da igualdade e usando as propriedades de determinante.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

= =

=

4 344 3det det 3 det 3 . det

det 0

A A A A

A

( ) ( )

= =4

,

det 3 81

pois A inversvel

ou

A

QUESTO 04

Seja =log5 m , =log2 p e = 35

1562,51252

N . O valor de 5log N , em

funo de m e p,

a) +75 615m p

m b) 70 6

15m p

m c) 75 6

15m p

m

d) +70 615m p

m e) +70 6

15m p

p

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Resoluo Alternativa B Para aplicar o logaritmo de N na base 10, primeiro vamos fatorar N:

52

314

31.

56

35

335 6

533

533

5

2

5

2

552

5522

312552

5,1562125N ===== .

Aplicando o logaritmo de N na base 5, encontra-se:

2log52

3142log5log

2

5logNlog 556

5314

5

56

314

55 === .

Aplicando mudana de base no log52 para a base 10, temos:

log52= mp

5log2log= .

Assim:

m15p6m70

mp.

52

314Nlog5

==

QUESTO 05

Sabe-se que ( )2

cos 22 2 ,2 1 4

x

sen xy x+=

+. Uma outra expresso para y

a) 2 b) 2

2 sen x c) 222 sen x d)

2cos2 x e) 22cos2 x

Resoluo Alternativa C

( )( )( )

( )2

22 2

cos 2 1cos 2 2

22

2 1 22 2 1 21 22 1 4 2 1 2

xx sen x

sen xsen x sen xy

++ +

= = =++ +

Substituindo =222 sen x a e =

22 12 sen xa

, segue que

++ +

= = = = + + +

11 11 .1 1 1 11

aa a ay a

a aa a

. Logo, =222 sen xy

QUESTO 06

Um tringulo ABC apresenta lados a, b e c. Sabendo que B e C so,

respectivamente, os ngulos opostos aos lados b e c, o valor de tgBtgC

a) 2 2 2

2 2 2

a b c ca b c b

++

b) 2 2 2

2 2 2

a b ca b c

+ +

c) 2 2 2

2 2 2

a b ca b c

++

d) 2 2 2

2 2 2

a b c ca b c b

+ +

e) bc

Resoluo Alternativa B Construindo um tringulo ABC, temos:

A

c h b

B x H a x C

.1xa

xxa

xahxh

CtgBtg

=

=

=

Aplicando pitgoras nos tringulos ABH e ACH, temos:

==+=

+= 2222222222

222aax2bc)xa(xbc

)xa(hbxhc .

Assim, temos que x=a2

cba 222 + .

Portanto,

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

21 1tgB a a a b c

x a b c a b ctgC+

= = = + +

.

QUESTO 07 Os centros das faces de um tetraedro regular so os vrtices de um tetraedro interno. Se a razo entre os volumes dos tetraedros interno e

original vale mn

onde m e n so inteiros positivos primos entre si, o

valor de +m n a) 20 b) 24 c) 28 d) 30 e) 32

Resoluo Alternativa C Por hiptese, temos os tetraedros indicados como na figura.

Como os vrtices do tetraedro interno so os centros das faces do tetraedro original (por exemplo, o ponto E) e as faces desse tetraedro so tringulos eqilteros, temos que a distncia de cada vrtice do tetraedro interno (no caso, o segmento EH) base de cada tringulo,

face do tetraedro original, 31 da altura da face (aptema do

tetraedro, que no caso, o segmento VH). Como essa relao vale para as alturas de cada tetraedro e chamando de Ho e Hi de altura dos tetraedros original e interno, respectivamente, temos:

nm

271

VV

31

HH

o

i

o

i === . Assim, temos que m=1 e n=27, concluindo

que m+n=28.

QUESTO 08 Os raios dos crculos circunscritos aos tringulos ABD e ACD de um

losango ABCD so, respectivamente, 252

e 25. A rea do losango

ABCD a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500

Resoluo Alternativa D Do enunciado, podemos construir a seguinte figura:

Sabendo que a rea de um tringulo inscrito em uma circunferncia

dada por R4

abc , onde a, b e c so os lados do tringulo e R o raio da

circunferncia, temos:

AABCD = 2AADB = 2AACD BD2AC25.4AC.L

225.4

BD.L 22== , onde L o

lado do losango.

H

E

V

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Logo, a rea do losango : 2)BD(2BD.AC

= .

Seja F o centro da circunferncia circunscrita ao tringulo ABD, assim: 2

2 2 2 2( ) ( )2

BDFD DP PF PA R = + = +

(pitgoras)

Como FD=R=2

25 e 2

ACPA BD= = , temos:

20BDBD254

)BD(5)BD(R.BD.2R4

BDR2

222

2 ==++=

Portanto, a rea do losango : 2)BD(2BD.AC

= =202=400.

QUESTO 09

Seja A ( ),a b o ponto da cnica =2 2 27x y mais prximo da reta + =4 2 3 0x y . O valor de +a b

a) 9 b) 4 c) 0 d) -4 e) -9

Resoluo Alternativa E

Fazendo os grficos da hiprbole 127y

27x 22

= e da reta

4x 2y + 3 = 0 em um mesmo sistema de eixos, temos:

Como a hiprbole centrada na origem, seus dois ramos so simtricos com relao ao eixo y. Assim, o ponto da reta mais prximo da hiprbole um ponto no terceiro quadrante, j que a reta est esquerda da origem do plano cartesiano. Portanto, as coordenadas do ponto mais prximo so negativos. Se A ( ),a b um ponto da cnica, ento a2 b2 = 27

2b27a += . A distancia de tal ponto reta dada por:

dP,r = 2

2 2

4 27 2 34 2 3204 2

b ba b + + +=

+. Para que a distancia seja

mnima, a derivada de 3b2b274 2 ++ deve ser nula. Sendo assim, temos:

i) derivada de 3b2b274 2 ++ em relao a b:

( )1

2 2

2 2

14 27 2 3 4. .2 4.2 2 227 27

b b b bddb b b

+ + = =

+ +.

ii) Igualando a derivada a zero, temos:

2

4. 227

bb

+=0 3b9bb27b2 22 ==+= , pois b

pertence ao terceiro quadrante.

Portanto, 6ab27a 2 =+= (a tambm pertence ao terceiro quadrante). Assim, a+b= 3 6 = 9.

QUESTO 10 Seja o sistema de equaes lineares dadas por

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

6 10

6 20

6 40

6 80

6 160

y y y y y

y y y y y

y y y y y

y y y y y

y y y y y

+ + + + =

+ + + + = + + + + = + + + + = + + + + =

. O valor de 1 57 3y y+

a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 60

Resoluo Alternativa D Enumerando as equaes:

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

6 10 (I)6 20 (II)

6 40 (III)6 80 (IV)

6 160 (V)

y y y y yy y y y yy y y y yy y y y yy y y y y

+ + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + =

Somando as cinco equaes do sistema, temos:

1 2 3 4 510 10 10 10 10 310y y y y y+ + + + =

1 2 3 4 5 31 (VI)y y y y y+ + + + = Fazendo a subtrao (VI) (I):

1 1

215 21

5y y= =

Fazendo a subtrao (VI) (V):

5 5

1295 129

5y y= =

Assim:

1 5

21 129 147 387 2407 3 7 3

5 5 5 5y y

++ = + = =

1 57 3 48y y+ =

QUESTO 11 Uma urna contm cinco bolas numeradas de 1 a 5. Retiram-se, com reposio, 3 bolas desta urna, sendo o nmero da primeira bola, o da segunda e o da terceira. Dada a equao quadrtica + + =2 0x x , a alternativa que expressa a probabilidade das razes desta equao serem reais

a) 19125

b) 2360