Gabarito Completo - IME TESTES 2008 - MAT-FIS-QUI · PDF fileO ELITE RESOLVE IME 2009 - TESTES...

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    O ELITE RESOLVE IME 2009 - TESTES

    1

    MATEMTICA

    QUESTO 01 Sejam dados os conjuntos, X e Y, e a operao , definida por = ( ) ( )X Y X Y Y X . Pode-se afirmar que

    a) = ( ) ( )X Y X Y b) = ( ) ( )X Y X Y c) = ( ) ( )X Y Y X d) =( ) ( )X Y X Y X e) =( ) ( )X Y Y X X

    Resoluo Alternativa A Em um diagrama de Venn, X Y representada como segue:

    X Y Y X

    X Y

    Por outro lado, X Y representado da seguinte forma:

    X Y

    X Y

    Portanto, = ( ) ( )X Y X Y Analiticamente:

    ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    X Y X Y X Y Y X X Y

    X Y X Y Y X X Y

    = = = = =

    Note que as demais alternativas esto incorretas, pois: b) ( ) ( )X Y X Y X Y = c) ( ) ( )X Y Y X Y X = d) ( ) ( )X Y X Y X Y = (representado no primeiro diagrama) e) ( ) ( )X Y Y X X Y = (representado no primeiro diagrama)

    QUESTO 02 Seja = iz e um nmero complexo onde e so, respectivamente, o mdulo e o argumento de z e i a unidade imaginria. Sabe-se que = 2 cosa , onde a uma constante real positiva. A representao de z no plano complexo a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    Resoluo Alternativa A

    Do enunciado, = iz e e = 2 cosa . Como, = +cosie i sen , temos:

    ( ) ( ) ( ) = + = +22 cos . cos 2cos 2 cosz a i sen a i sen Note que: ( ) =2 2 cossen sen e ( ) = =2 2cos 2 cos sen

    ( ) ( ) = = = +2 2 2 2cos 1 cos 2cos 1 2cos cos 2 1 Da segue que,

    ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) = + + = + +cos 2 1 2 cos 2 2z a i sen a a i sen Assim o grfico uma circunferncia de raio a e centro deslocado de a unidades no eixo x no sentido positivo, em relao origem.

    QUESTO 03 Seja A uma matriz quadrada inversvel de ordem 4 tal que o resultado da soma +4 3( 3 )A A uma matriz de elementos nulos. O valor do determinante de A a) 81 b) 27 c) 3 d) 27 e) 81

    Resoluo Alternativa E + = = = 4 3 4 3 4 34 4 4 43 0 0 3 3x xA A A A A A

    Aplicando determinante aos dois lados da igualdade e usando as propriedades de determinante.

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

    = =

    =

    4 344 3det det 3 det 3 . det

    det 0

    A A A A

    A

    ( ) ( )

    = =4

    ,

    det 3 81

    pois A inversvel

    ou

    A

    QUESTO 04

    Seja =log5 m , =log2 p e = 35

    1562,51252

    N . O valor de 5log N , em

    funo de m e p,

    a) +75 615m p

    m b) 70 6

    15m p

    m c) 75 6

    15m p

    m

    d) +70 615m p

    m e) +70 6

    15m p

    p

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    O ELITE RESOLVE IME 2009 - TESTES

    2

    Resoluo Alternativa B Para aplicar o logaritmo de N na base 10, primeiro vamos fatorar N:

    52

    314

    31.

    56

    35

    335 6

    533

    533

    5

    2

    5

    2

    552

    5522

    312552

    5,1562125N ===== .

    Aplicando o logaritmo de N na base 5, encontra-se:

    2log52

    3142log5log

    2

    5logNlog 556

    5314

    5

    56

    314

    55 === .

    Aplicando mudana de base no log52 para a base 10, temos:

    log52= mp

    5log2log= .

    Assim:

    m15p6m70

    mp.

    52

    314Nlog5

    ==

    QUESTO 05

    Sabe-se que ( )2

    cos 22 2 ,2 1 4

    x

    sen xy x+=

    +. Uma outra expresso para y

    a) 2 b) 2

    2 sen x c) 222 sen x d)

    2cos2 x e) 22cos2 x

    Resoluo Alternativa C

    ( )( )( )

    ( )2

    22 2

    cos 2 1cos 2 2

    22

    2 1 22 2 1 21 22 1 4 2 1 2

    xx sen x

    sen xsen x sen xy

    ++ +

    = = =++ +

    Substituindo =222 sen x a e =

    22 12 sen xa

    , segue que

    ++ +

    = = = = + + +

    11 11 .1 1 1 11

    aa a ay a

    a aa a

    . Logo, =222 sen xy

    QUESTO 06

    Um tringulo ABC apresenta lados a, b e c. Sabendo que B e C so,

    respectivamente, os ngulos opostos aos lados b e c, o valor de tgBtgC

    a) 2 2 2

    2 2 2

    a b c ca b c b

    ++

    b) 2 2 2

    2 2 2

    a b ca b c

    + +

    c) 2 2 2

    2 2 2

    a b ca b c

    ++

    d) 2 2 2

    2 2 2

    a b c ca b c b

    + +

    e) bc

    Resoluo Alternativa B Construindo um tringulo ABC, temos:

    A

    c h b

    B x H a x C

    .1xa

    xxa

    xahxh

    CtgBtg

    =

    =

    =

    Aplicando pitgoras nos tringulos ABH e ACH, temos:

    ==+=

    += 2222222222

    222aax2bc)xa(xbc

    )xa(hbxhc .

    Assim, temos que x=a2

    cba 222 + .

    Portanto,

    2 2 2 2

    2 2 2 2 2 2

    21 1tgB a a a b c

    x a b c a b ctgC+

    = = = + +

    .

    QUESTO 07 Os centros das faces de um tetraedro regular so os vrtices de um tetraedro interno. Se a razo entre os volumes dos tetraedros interno e

    original vale mn

    onde m e n so inteiros positivos primos entre si, o

    valor de +m n a) 20 b) 24 c) 28 d) 30 e) 32

    Resoluo Alternativa C Por hiptese, temos os tetraedros indicados como na figura.

    Como os vrtices do tetraedro interno so os centros das faces do tetraedro original (por exemplo, o ponto E) e as faces desse tetraedro so tringulos eqilteros, temos que a distncia de cada vrtice do tetraedro interno (no caso, o segmento EH) base de cada tringulo,

    face do tetraedro original, 31 da altura da face (aptema do

    tetraedro, que no caso, o segmento VH). Como essa relao vale para as alturas de cada tetraedro e chamando de Ho e Hi de altura dos tetraedros original e interno, respectivamente, temos:

    nm

    271

    VV

    31

    HH

    o

    i

    o

    i === . Assim, temos que m=1 e n=27, concluindo

    que m+n=28.

    QUESTO 08 Os raios dos crculos circunscritos aos tringulos ABD e ACD de um

    losango ABCD so, respectivamente, 252

    e 25. A rea do losango

    ABCD a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500

    Resoluo Alternativa D Do enunciado, podemos construir a seguinte figura:

    Sabendo que a rea de um tringulo inscrito em uma circunferncia

    dada por R4

    abc , onde a, b e c so os lados do tringulo e R o raio da

    circunferncia, temos:

    AABCD = 2AADB = 2AACD BD2AC25.4AC.L

    225.4

    BD.L 22== , onde L o

    lado do losango.

    H

    E

    V

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    3

    Logo, a rea do losango : 2)BD(2BD.AC

    = .

    Seja F o centro da circunferncia circunscrita ao tringulo ABD, assim: 2

    2 2 2 2( ) ( )2

    BDFD DP PF PA R = + = +

    (pitgoras)

    Como FD=R=2

    25 e 2

    ACPA BD= = , temos:

    20BDBD254

    )BD(5)BD(R.BD.2R4

    BDR2

    222

    2 ==++=

    Portanto, a rea do losango : 2)BD(2BD.AC

    = =202=400.

    QUESTO 09

    Seja A ( ),a b o ponto da cnica =2 2 27x y mais prximo da reta + =4 2 3 0x y . O valor de +a b

    a) 9 b) 4 c) 0 d) -4 e) -9

    Resoluo Alternativa E

    Fazendo os grficos da hiprbole 127y

    27x 22

    = e da reta

    4x 2y + 3 = 0 em um mesmo sistema de eixos, temos:

    Como a hiprbole centrada na origem, seus dois ramos so simtricos com relao ao eixo y. Assim, o ponto da reta mais prximo da hiprbole um ponto no terceiro quadrante, j que a reta est esquerda da origem do plano cartesiano. Portanto, as coordenadas do ponto mais prximo so negativos. Se A ( ),a b um ponto da cnica, ento a2 b2 = 27

    2b27a += . A distancia de tal ponto reta dada por:

    dP,r = 2

    2 2

    4 27 2 34 2 3204 2

    b ba b + + +=

    +. Para que a distancia seja

    mnima, a derivada de 3b2b274 2 ++ deve ser nula. Sendo assim, temos:

    i) derivada de 3b2b274 2 ++ em relao a b:

    ( )1

    2 2

    2 2

    14 27 2 3 4. .2 4.2 2 227 27

    b b b bddb b b

    + + = =

    + +.

    ii) Igualando a derivada a zero, temos:

    2

    4. 227

    bb

    +=0 3b9bb27b2 22 ==+= , pois b

    pertence ao terceiro quadrante.

    Portanto, 6ab27a 2 =+= (a tambm pertence ao terceiro quadrante). Assim, a+b= 3 6 = 9.

    QUESTO 10 Seja o sistema de equaes lineares dadas por

    1 2 3 4 5

    1 2 3 4 5

    1 2 3 4 5

    1 2 3 4 5

    1 2 3 4 5

    6 10

    6 20

    6 40

    6 80

    6 160

    y y y y y

    y y y y y

    y y y y y

    y y y y y

    y y y y y

    + + + + =

    + + + + = + + + + = + + + + = + + + + =

    . O valor de 1 57 3y y+

    a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 60

    Resoluo Alternativa D Enumerando as equaes:

    1 2 3 4 5

    1 2 3 4 5

    1 2 3 4 5

    1 2 3 4 5

    1 2 3 4 5

    6 10 (I)6 20 (II)

    6 40 (III)6 80 (IV)

    6 160 (V)

    y y y y yy y y y yy y y y yy y y y yy y y y y

    + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + =

    Somando as cinco equaes do sistema, temos:

    1 2 3 4 510 10 10 10 10 310y y y y y+ + + + =

    1 2 3 4 5 31 (VI)y y y y y+ + + + = Fazendo a subtrao (VI) (I):

    1 1

    215 21

    5y y= =

    Fazendo a subtrao (VI) (V):

    5 5

    1295 129

    5y y= =

    Assim:

    1 5

    21 129 147 387 2407 3 7 3

    5 5 5 5y y

    ++ = + = =

    1 57 3 48y y+ =

    QUESTO 11 Uma urna contm cinco bolas numeradas de 1 a 5. Retiram-se, com reposio, 3 bolas desta urna, sendo o nmero da primeira bola, o da segunda e o da terceira. Dada a equao quadrtica + + =2 0x x , a alternativa que expressa a probabilidade das razes desta equao serem reais

    a) 19125

    b) 2360