HMY 429: Εισαγωγή στην Ε ξ ί Ψ φ ώΕπεξεργασία Ψηφιακών 

ΣημάτωνΣημάτων

Διάλεξη 1: ΕισαγωγήΔιάλεξη 1: ΕισαγωγήΣήματα διακριτού χρόνου

Γενικές πληροφορίεςΔιδάσκων: Γεώργιος ΜήτσηςΓ φ ί 401 Π ά ΆλΓραφείο: 401 Πράσινο Άλσος Ώρες γραφείου: Οποτεδήποτε (κατόπιν επικοινωνίας)Ηλ. Ταχ.: gmitsis@ucy.ac.cy

Πρόγραμμα Διδασκαλίας:Τρίτη και Παρασκευή, 10:30‐12:00, Αίθουσα: ΧΩΔ02‐117

Ιστοσελίδα Μαθήματος: στοσελίδα αθήματος:

http://www.eng.ucy.ac.cy/gmitsis/ece429/

Βιβλιογραφία Μαθήματος

• A.V. Oppenheim and R.W. Schafer "Discrete‐time Signal Processing", 3rd ed., Pearson Education, 2007.

• J.G. Proakis, and D.K. Manolakis, "Digital Signal Processing", 4th Ed., Pearson Education, 2006.

• Γ Β Μουστακίδης "Βασικές Τεχνικές Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων" Εκδόσεις Τζιόλα 2004Γ. Β. Μουστακίδης,  Βασικές Τεχνικές Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων , Εκδόσεις Τζιόλα 2004.

• Α. Αντωνίου, “Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος: Σήματα, Συστήματα και Φίλτρα», Εκδόσεις Τζιόλα2009.

• S.K. Mitra, "Digital Signal Processing: A computer based approach", 2nd Ed., McGraw‐Hill.

• J. H. McClellan, R. W. Schafer, M. A. Yoder, "DSP First Approach", Matlab Curriculum series, Prentice Hall.

• V.K. Ingle and J.G. Proakis. Digital Signal Processing Using MATLAB. Thomson‐Engineering.

Περιγραφή ΜαθήματοςΠεριγραφή Μαθήματος• Επισκόπηση σημάτων και συστημάτων διακριτού χρόνου• Τυχαία/ Στοχαστικά σήματα και ΓΧΑ συστήματαΤυχαία/ Στοχαστικά σήματα και ΓΧΑ συστήματα

• Μετασχηματισμός Ζ

• Δειγματοληψία και ανακατασκευή ψηφιακών σημάτων• Ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων διακριτού χρόνου• Ψηφιακά φίλτρα IIR και FIR 

• Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT)

• Αλγόριθμοι υπολογισμού DFT, γρήγορος μετασχηματισμός Fourier(FFT)(FFT)

• Εφαρμογές επεξεργασίας ψηφιακών σημάτων• Προχωρημένες τεχνικές επεξεργασίας ψηφιακών σημάτων ρ χ ρημ ς χ ς ξ ργ ς ψηφ ημ(φασματογράφημα, Μετασχηματισμός Fourier μικρής διάρκειας, προσαρμοζόμενα φίλτρα, κυμάτια (wavelets))

Αξιολόγηση και ΒαθμολόγησηΑξιολόγηση και Βαθμολόγηση• Τελική Εξέταση 50 %

• Ενδιάμεση Εξέταση 35 % (προκαταρκτική ημερομηνίαΕνδιάμεση Εξέταση 35 % (προκαταρκτική ημερομηνία 

• Σειρές Ασκήσεων και προγραμματιστικές ασκήσεις (Matlab) 15 %

ΕισαγωγήΕισαγωγήΣήμα: Το σύνολο των τιμών που μπορεί να λάβει μια φυσική ποσότηταη

Μαθηματικά: Συνάρτηση ή ακολουθία μιας (μονοδιάστατο σήμα) η περισσότερων (δισδιάστατο κλπ) ανεξάρτητων μεταβλητών (χρόνος ή ώ )ή χώρος)

x(t): Σήμα συνεχούς χρόνου

x[n]: Σήμα διακριτού χρόνουx[n]: Σήμα διακριτού χρόνου

x[m,n]: Δισδιάστατο σήμα

Τα σήματα είναι συναρτήσεις (ακολουθίες) ανεξάρτητων μεταβλητών που μεταφέρουν πληροφορία

Εισαγωγήγ γή• Μονοδιάστατα σήματα: Μια ανεξάρτητη 

μεταβλητή (συνήθως χρόνος – x(t) x[n])μεταβλητή (συνήθως χρόνος  x(t), x[n])– Ηλεκτρικά σήματα (τάση, ρεύμα σε κύκλωμα RC)

– Ακουστικά/Ηχητικά σήματα (φωνή)

• Δισδιάστατα/ Πολυδιάστατα σήματα– Εικόνες/Video (ανεξάρτητες μεταβλητές –

χώρος, χώρος και χρόνος)• Ασπρόμαυρη εικόνα [2d, i(x,y)]

• Έγχρωμο Video [3x3d, i{r(x,y,t), g(x,y,t), b(x,y,t)}]

ΕισαγωγήΕισαγωγή• Οικονομετρικά σήματα(Χ ό δ ί )(Χρηματιστηριακός δείκτης)

• Βιολογικά σήματα (Εγκεφαλογράφημα,  Καρδιογράφημα, μικροσυστοιχίες)

• …

Εισαγωγή• Σήματα συνεχούς χρόνου (Continuous Time signals) ‐ x(t), t: συνεχής 

μεταβλητή

γ γή

μεταβλητή– Συνεχούς πλάτους (Αναλογικά)

– Διακριτού πλάτους

• Σήματα διακριτού χρόνου – Discrete Time signals ‐ x[n] ή x[nT], n: ακέραιος αριθμόςακέραιος αριθμός– Συνεχούς πλάτους

– Διακριτού πλάτους (Ψηφιακά)

• Τα περισσότερα φυσικά σήματα είναι αναλογικά

• Η αναπαράσταση ενός σήματος στον υπολογιστή γίνεται ψηφιακά• Η αναπαράσταση ενός σήματος στον υπολογιστή γίνεται ψηφιακά

• Η ανάλυση ψηφιακών σημάτων και σημάτων διακριτού χρόνου ακολουθεί τις ίδιες γραμμές

Εισαγωγή• Ιστορικά Στοιχεία

– Πριν από τη δεκαετία του 50 ί ώ ά

γ γή

Φυσικά Σήματαεπεξεργασία αναλογικών σημάτων με ηλεκτρονικά κυκλώματα ή μηχανικές συσκευές

– Δεκαετία 50  προσομοιώσεις πριν την 

Φυσ ά ήμα α

Μορφομετατροπείς (transducers)

Π χ μικρόφωνα

Συσκευές Εξόδου (Output Devices)

Π χ Μεγάφωνακατασκευή του αναλογικού επεξεργαστή

– 1965  Fast Fourier Transform (FFT) από τους Cooley and Tukey δίνει τη δυνατότητα επεξεργασίας πραγματικού χρόνου

ΑναλογικάΣήματα

Π.χ. μικρόφωνα Π.χ. Μεγάφωνα

ξ ργ ς ρ γμ χρ

– Δεκαετία του 80  Ολοκληρωμένα κυκλώματα για επεξεργασία σημάτων

Σήματα

Αναλογο-Ψηφιακός Μετατροπέας

(Analog-to-Digital

Ψηφιο-Αναλογικός Μετατροπέας

(Digital-to-Analog

ΨηφιακάΣήματα

(Analog-to-Digital Converter ADC)

(Digital-to-Analog Converter DAC)

Εισαγωγή• Στο μάθημα θα ασχοληθούμε με μεθοδολογίες ανάλυσης σημάτων διακριτού χρόνου, αλλά 

θα εξετάσουμε ποιες είναι οι συνέπειες της κβαντοποίησης του πλάτους του σήματος

γ γή

• Εφαρμογές– Ανάλυση ομιλίας

• Βελτίωση, αφαίρεση θορύβου

• ΚωδικοποίησηΚωδικοποίηση

• Σύνθεση ομιλίας από κείμενο ( text‐to‐speech synthesis)

• Αναγνώριση

– Ανάλυση Εικόναςλ ί δ ί ώ• Βελτίωση, κωδικοποίηση, αναγνώριση

– Επεξεργασία πολυμέσων• Μετάδοση σημάτων

• Ψηφιακή τηλεόραση

• Τηλεδιάσκεψη

– Τηλεπικοινωνίες

– Βιοϊατρική Τεχνολογία – Ανάλυση ιατρικών εικόνων και σημάτων

Αναγνώρι η ρο ύ ων (pattern recognition)– Αναγνώριση προτύπων (pattern recognition)

– Πλοήγηση, ραντάρ, GPS

– Έλεγχος, ρομποτική, συστήματα μηχανικής όρασης (machine vision)…

Εισαγωγή• Σύστημα: Κάθε οντότητα που δρα σε ένα σήμα (είσοδος) και το μετατρέπει σε 

ένα άλλο σήμα (έξοδος)

Εισαγωγή

• Μαθηματικά: Ο μετασχηματισμός Sπου μετατρέπει το σήμα εισόδου xστο σήμα εξόδου yy=S[x]

S yx

y S[x]• Συστήματα συνεχούς χρόνου: x,y

σήματα συνεχούς χρόνου• Συστήματα διακριτού χρόνου: x,y

ή δ ύ όσήματα διακριτού χρόνου• Ο μετασχηματισμός S μπορεί 

να λάβει διάφορες μορφές όπως– Διαφορικές εξισώσεις ή εξισώσεις διαφορών– Κρουστική απόκριση (συνεχής ή διακριτός χρόνος)– Μη γραμμικοί τελεστές (συνεχής ή διακριτός χρόνος)

• Όταν τα S, x είναι γνωστά και ζητούμενο είναι το y: ανάλυση, προσομοίωσησυστημάτων (analysis, simulation)συστημάτων (analysis, simulation)

• Όταν το S είναι άγνωστο και τα x,y γνωστά: αναγνώριση συστημάτων(identification)

ΕισαγωγήΕισαγωγή

• Ηλεκτρικά κυκλώματα(κύκλωμα RLC)

• Στοιχεία κυκλωμάτων

υ(t)

i(t)

υ(t)

i(t)

υ(t)

i(t)

( )

( ) ( )t Ri tυ =

( )

( )( ) di tt Ldt

υ =

υ(t)

1( ) ( )t

t i dC

υ τ τ−∞

= ∫1( ) ( )

t

dt

i t dL

υ τ τ−∞

= ∫( )( )

Cd ti t C

dtυ

=

ΕισαγωγήΕισαγωγή

• Αλγόριθμοι μετασχηματισμούεικόνων (edge detection) –ΗΜΥ478ΗΜΥ478

• Τηλεπικοινωνιακά• Τηλεπικοινωνιακά συστήματα – ΗΜΥ359

Εισαγωγή

• Φυσιολογικά/ Βιολογικά ήσυστήματα,

– Σύστημα ρύθμισης πίεσης στον ανθρώπινο οργανισμόΠ λλά ή ά– Πολλά συστήματα που συναντάμε στη φύση μπορούν να αναλυθούν σε απλούστερα υποσυστήματαΑκόμη και εξαιρετικά πολύπλοκα– Ακόμη και εξαιρετικά πολύπλοκα βιολογικά φαινόμενα (π.χ. η λειτουργία του εγκεφάλου) μπορούν να μελετηθούν με βάση τη θεωρίανα μελετηθούν με βάση τη θεωρία σημάτων και συστημάτων! 

ΕισαγωγήΗΜΥ324: Τυχαία

Σήματα και Συστήματα

ΗΜΥ359: Εισαγωγή στα Συστήματα

Τηλεπικοινωνίας

ΗΜΥ220: Σήματα και Συστήματα Ι

ΗΜΥ320: Σήματα και Συστήματα ΙI

ΗΜΥ429: Ψηφιακή επεξεργασία σήματος

ΗΜΥ478, 476: Επεξεργασία

ψηφιακής εικόνας, Βιοϊατρική

ΗΜΥ102: Ανάλυση Hλεκτρικών

Κυκλωμάτων & Δ ύ

ΗΜΥ422, 428: Δυναμικά συστήματα

και έλεγχος,,Ε ή

ΗΜΥ340: Συστήματα

Ηλεκτρικής Ισχύος

Βιοϊατρική απεικόνιση

Δικτύων Εργαστήριο αυτομάτου ελέγχου

Σήματα διακριτού χρόνου

• Σήμα διακριτού χρόνου: Ακολουθία αριθμών

{ }[ ] 6

8

Discrete-Time Signal

mV

)

{ }[ ] -[ ]

x x n nx n= ∞ < < +∞

0

2

4

6

Am

plitu

de (

m

n: ακέραιος

• Περιοδική δειγματοληψία (sampling) αναλογικού σήματος

0 2 4 6 8 10

0

Sample NumberSampling of Analog Signals

T: περίοδος δειγματοληψίας

[ ] (nT) -ax n x n= ∞ < < +∞0

0.5

1

tude

(m

V)

(sampling period)

f=1/T: συχνότητα δειγματοληψίας (sampling frequency) 0 5 10 15

-1

-0.5

S l N b

Am

plit

16

Sample Number

Σήματα διακριτού χρόνου

• Παράδειγμα: Σήμα ομιλίας

17

Σήματα διακριτού χρόνου

• Βασικές πράξεις– Πρόσθεση, πολλαπλασιασμός σημάτων  δείγμα με δείγμα

[ ] [ ] [ ]+

[ ] [ ] [ ]y n x n x n=

1 2

1 2 1 2

[ ] [ ] [ ][0] [0] [0], [1] [1] [1]...

y n x n x ny x x y x x etc

= += + = +

– Καθυστέρηση (delay) ή μετατόπιση (shift) ενός σήματος

1 2

1 2 1 2

[ ] [ ] [ ][0] [0] [0], [1] [1] [1]...

y n x n x ny x x y x x etc

== =

όπου n0 ακέραιος0[ ] [ ]y n x n n= −

1818

Σήματα διακριτού χρόνουUnit Impulse

• Βασικά σήματα διακριτού χρόνου

• Κρουστική συνάρτηση διακριτού  χρόνου 

(discrete time impulse) 0.4

0.6

0.8

1

Unit Impulse

( p )

• Κάθε ακολουθία/σήμα διακριτού χρόνου μπορεί να αναπαρασταθεί ως

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

0.2

Sample Number

1 0[ ]

0 0n

nn

δ=⎧

= ⎨ ≠⎩• Κάθε ακολουθία/σήμα διακριτού χρόνου μπορεί να αναπαρασταθεί ως 

μια σειρά από κλιμακωμένες και μετατοπισμένες κρουστικές συναρτήσεις

[ ] [ 1] [ 1] [0] [ ] [1] [ 1]x n x n x n x nδ δ δ= + + + + + [ ] [ ] [ ]x n x k n kδ∞

∑• Βηματική συνάρτηση διακριτού χρόνου (step sequence)

[ ] ... [ 1] [ 1] [0] [ ] [1] [ 1] ...x n x n x n x nδ δ δ= + − + + + − + [ ] [ ] [ ]k

x n x k n kδ=−∞

= −∑

1 0[ ]

nu n

≥⎧= ⎨[ ]

0 0u n

n⎨ <⎩

0 4

0.6

0.8

1

Unit Step Sequnce

[ ] [ ] [ 1] [ 2] [ 3] ....u n n n n nδ δ δ δ∞ ∞

= + − + − + − +

19-6 -4 -2 0 2 4 6

0

0.2

0.4

Sample Number

…

0

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ 1]k k

u n u k n k n k

n u n u n

δ δ

δ

∞ ∞

=−∞ =

= − = −

= − −

∑ ∑

Σήματα διακριτού χρόνου• Βασικά σήματα διακριτού χρόνου

• Πραγματικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου (real discrete‐time exponential)

[ ] , ,nx n Aa A a= ∈

1a > 1 0a− < <

[ ] , ,

1a >

1 0[ ]

0 0n

u nn≥⎧

= ⎨ <⎩

0 1a< < 1a < −

0 0n <⎩

20

Εκθετικά σήματα (exponential signals)

• Μιγαδικό εκθετικό σήμα με φανταστικό εκθέτη:

Η δέ ( i id l) ή δ ό ό

00 0[ ] cos( ) sin( )j nx n e n j nω ω ω= = +

• Ημιτονοειδές (sinusoidal) σήμα σε διακριτό χρόνο:

ω0: rad ή rad/sample

• Γενικά: [ ] , ,nx n Ca C a= ∈0[ ] cos( )x n A nω ϕ= +

0 ,

j

j0

C C e

a a e

ϕ

ω ω ϕ

=

= ∈

(exponentially weighted sinusoidal signal)

0 0[ ] = cos( sin(n nnx n Ca C a n+ )+ j C a n+ )ω ϕ ω ϕ=

1a > 1a <

Εκθετικά σήματα (exponential signals)

Το εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου με φανταστικό εκθέτη είναι περιοδικό για κάθε τιμή του ω0 και η συχνότητά του αυξάνεται όσο αυξάνεται το ω0

0( ) j tx t e ω=

το ω0

Αντίθετα, για το αντίστοιχο σήμα διακριτού χρόνου                     ισχύουν τα εξής:

• η τιμή του σήματος στο ω0+2π (ή γενικά στο ω0±2rπ) είναι ακριβώς η ίδια με την τιμή στο ω

0[ ] j nx n e ω=

την τιμή στο ω0.

• ως συνέπεια του παραπάνω, αρκεί να θεωρήσουμε συχνότητες στο διάστημα π<ω ≤π (ή ισοδύναμα 0<ω ≤2π) και η μέγιστη συχνότητα ταλάντωσης

0 0 0( 2 ) 2[ ] j r n j n j nrnx n Ae Ae e Aeω π ω ωπ+= = =

–π<ω0 ≤π (ή ισοδύναμα 0<ω0 ≤2π) και η μέγιστη συχνότητα ταλάντωσης προκύπτει για ω0 =π

• είναι περιοδικό με περίοδο Ν μόνο για τιμές του ω0 για τις οποίες

καθώς πρέπει: 0 2N kω π=

0 0 0( )0[ ] ( ) 1 2 ,j n N j n j Nx n N x n e e e N k kω ω ω ω π++ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∈

Με άλλα λόγια πρέπει το ω0 να είναι τέτοιο ώστε ο λόγος ω0/2π να είναι ρητός αριθμός

Εκθετικά σήματα (exponential signals)

• Τα ίδια ακριβώς ισχύουν και για ημιτονοειδή σήματα διακριτού χρόνου. 

Θ έ 0( ) ( ) 2 ή kA A N N k ωφ φ0cos( )A nω φ+

• Θα πρέπει:

• Πως βρίσκουμε την (ελάχιστη) περίοδο? Παράδειγμα:

00 0 0 0cos( ) cos( ) 2 ή

2A n A n N N k

Nω φ ω ω φ ω π

π+ = + + ⇒ = =

2[ ] cos 8 k=1kx n n Nπ π⎛ ⎞= ⇒ = =⎜ ⎟1

2

[ ] cos 8 ,k 14 / 43 2x [ ] cos 16 ,k=38 3 / 8

x n n N

kn n N

ππ π

π

= ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

3

8 3 / 83 2[ ] cos 8 ,k=34 3 / 4

2

kx n n N

k

ππ π

π

⎝ ⎠⎛ ⎞= ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )42x [ ] cos 2 , δεν υπάρχει k

2kn n N π

= ⇒ =

Εκθετικά σήματα (exponential signals)

0 20 40 60 80 100 120-1

0

1

π/320 20 40 60 80 100 120

-1

0

1

π/8

0 20 40 60 80 100 120

1

0

1

π

0 20 40 60 80 100 120-1

0

1

15π/8

0 20 40 60 80 100 120-1

0

1

63π/32

0 20 40 60 80 100 120-1