HMY 429: Εισαγωγή στην Ε ξ ί Ψ φ ώΕπεξεργασία Ψηφιακών 

ΣημάτωνΣημάτων

Διάλεξη 14: Ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων (ΙI)Διάλεξη 14: Ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων (ΙI)

Απόκριση συχνοτήτων σε ρητή μορφήH( jω) Υ (ejω)Χ (ejω)

• Είδαμε ότι (όταν υπάρχει) η απόκριση συχνοτήτων

μπορεί να γραφτεί ως ρητή συνάρτηση του jω:

H(ejω) Υ (e )Χ (e )

ή ισοδύναμα στη μορφή ( ) με πόλους και μηδενικά:

• Μέτρο: Φάση:

Καθυστέρηση ομάδος

2

Απόκριση συχνοτήτων σε ρητή μορφήH( jω) Υ (ejω)Χ (ejω)

• Μέτρο σε dB: 

H(ejω) Υ (e )Χ (e )

• Φάση:

• Απόκριση συχνοτήτων συστημάτων πρώτης τάξης

Έστω ότι έχουμε πόλο η μηδενικό  άρα έχουμε όρο της μορφής

Μέτρο:

Φάση: 

Καθυστέρηση ομάδος: 

Στις παραπάνω σχέσεις: + μηδενικό, ‐ πόλος

3

Συστήματα πρώτης τάξης

• Για ένα μηδενικό με r=0.9

4

Συστήματα πρώτης τάξης

• Για ένα μηδενικό με θ=π

5

Σύστημα δεύτερης τάξης• Δύο συζυγείς πόλοι 

• Για r=0.9, θ=π/4

6

Σχέση μεταξύ πλάτους και φάσης• Γενικά το πλάτος δεν παρέχει πληροφορία για τη φάση και αντίστροφα

• Όταν όμως έχουμε περιγραφή με εξίσωση διαφορών, δηλ. έχουμε ρητή συνάρτηση του jω για την απόκριση συχνοτήτων, υπάρχουν κάποιοι περιορισμοί 

ί ά ( ά ) ό ό / ώ άΑν γνωρίζουμε το πλάτος (φάση) και τον αριθμό των πόλων/μηδενικών υπάρχουν περιορισμένες επιλογές για τη φάση (πλάτος). Αν το σύστημα είναι επιπλέον ελάχιστης φάσης (minimum phase) οι επιλογές περιορίζονται σε μία. 

Άρα:

Αν η Η(z) έχει πόλο στο , η C(z) έχει πόλο και στο

Παρόμοια αν η Η(z) έχει μηδενικό στο η C(z) έχει μηδενικό και στοΠαρόμοια αν η Η(z) έχει μηδενικό στο , η C(z) έχει μηδενικό και στο

Στα παραπάνω ζεύγη, αν ο ένας πόλος (μηδενικό) βρίσκεται εντός του μοναδιαίου κύκλου, ο άλλος πόλος (μηδενικό) θα βρίσκεται εκτός

7

Σχέση μεταξύ πλάτους και φάσης• Αν γνωρίζουμε ότι το σύστημά μας είναι 

αιτιατό και ευσταθές – όλοι οι πόλοι εντός 

του μοναδιαίου κύκλου, όλοι οι πόλοι μπορούν

να προσδιοριστούν από τους πόλους του 

πλάτους C(z), όχι όμως και τα μηδενικά

• Αυτά μπορούν να προσδιοριστούν μοναδικά 

μόνο για ένα σύστημα ελάχιστης φάσης (γιατί?)

• Παράδειγμα:

8

Συστήματα διέλευσης (all‐pass systems)• Το ευσταθές σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς

έχει απόκριση συχνοτήτων

άρα και το σύστημα «αφήνει» όλες τις συχνότητες να περνάνε (σύστημα διέλευσης/all‐pass).

• Μπορούμε να έχουμε και συνδυασμό όρων της παραπάνω μορφής, δηλ: 

πραγματικοί πόλοι μιγαδικοί  πόλοι

Κάθε πόλος αντιστοιχεί σε ένα μηδενικό το οποίο είναι ο αντίστροφος συζυγής του

Αν το σύστημα είναι αιτιατό και ευσταθές: 

• Παράδειγμα

9

Συστήματα διέλευσης (all‐pass systems)• Παράδειγμα: Συστήματα με έναν πραγματικό (0.9) και δύο μιγαδικούς πόλους (0.9e±jπ/4)

‐ Η φάση (unwrapped phase) 

για ένα all‐pass σύστημα 

είναι μη θετική από 0‐π

‐ Η καθυστέρηση ομάδος

είναι πάντα θετική

‐ Γιατί μας ενδιαφέρουν τέτοια

συστήματα?

Αντιστάθμιση 

παραμόρφωσης φάσης ή

καθυστέρησης ομάδος

Συστήματα ελάχιστης 

φάσης (θεωρία)

Σχεδιασμός φίλτρων Πάντα +

10

Συστήματα ελάχιστης φάσης (minimum‐phase systems)

• Ορισμός: Ένα σύστημα για το οποίο ισχύει ότι τόσο το ίδιο όσο και το αντίστροφό του είναι ευσταθή και αιτιατά συστήματα.  Με άλλα λόγια τόσο οι πόλοι και τα μηδενικά του πρέπει να βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου

• Τα συστήματα ελάχιστης φάσης μπορούν να προσιοριστούν μοναδικά από το διάγραμμα πόλων‐μηδενικών του κέρδους τους

• Κάθε ευσταθές και αιτιατό σύστημα με ρητή συνάρτηση μεταφοράς H(z) μπορεί να φ ί ό ό ή λά φά ό ήγραφτεί ως γινόμενο ενός συστήματος ελάχιστης φάσης και ενός συστήματος 

διέλευσης (minimum‐phase and all‐pass decomposition), δηλ: (1)

• Π.χ. έστω ένα σύστημα H(z) με ένα μηδενικό εκτός του μοναδιαίου κύκλου στο z=1/c* (|c|<1) και όλα τα υπόλοιπα μηδενικά/πόλους εντός του κύκλου. Τότε:(|c|<1) και όλα τα υπόλοιπα μηδενικά/πόλους εντός του κύκλου. Τότε:

Minimum Phase All Pass

• Γενικεύοντας, μπορούμε να γράψουμε κάθε σύστημα H(z) με την (1) όπου η Ηmin(z) περιλαμβάνει:1. όλους τους πόλους/μηδενικά εντός του μοναδιαίου κύκλου μαζί με 

Minimum Phase All-Pass

2. μηδενικά  τα οποία είναι συζυγή και αντίστροφα με τα μηδενικά της H(z) εκτός του μοναδιαίου κύκλου και

• η Ηap(z) περιλαμβάνει:• όλα τα μηδενικά της H(z) εκτός του μοναδιαίου κύκλου μαζί με πόλους που ακυρώνουν τα μηδενικά του (2)

11

Συστήματα ελάχιστης φάσης (minimum‐phase systems)

• Παράδειγμα:

• Μηδενικό: ‐3 (εκτός του μοναδιαίου κύκλου). η ( ς μ )

Άρα

καικαι 

• οπότε

12