HETEROSCEDASTICITY (Heteroskedastisitas)

-Sering terjadi dlm data “cross section”misal: Hubungan pendapatan & pengeluaran RT, Perusahaan

-Biasanya tdk terjadi dlm data “ Time Series”

-Jika Var (εi) , E (εi2)=σi

2, penduga koefisien OLS tetap tak biasdan konsisten, tapi tidak efisien, bahkan Var( )OLS berbias

Dlm model linear sederhana:

-Sering terjadi dlm data “cross section”misal: Hubungan pendapatan & pengeluaran RT, Perusahaan

-Biasanya tdk terjadi dlm data “ Time Series”

-Jika Var (εi) , E (εi2)=σi

2, penduga koefisien OLS tetap tak biasdan konsisten, tapi tidak efisien, bahkan Var( )OLS berbias

Dlm model linear sederhana:

2

)(

i

iii

x

xx

2

^

i

ii

x

yx

)1980,()(

)(

)Var( ; )(

)(

22

22

2222

2

2

2

2

Whiteecx

xcVar

x

xc

xx

xEE

ii

i

iiii

i

ii

i

OLS

i

ii

Tetapi tetap inefisien dibandingkan penduga tak bias berikut ini :

Mis. , ki: konstanta yg tdk harus samaii k22

2

2

2

2

22

22

)ˆ(i

ii

ii

ii

x

kx

xx

kxVar

1

2

2

i

ii

x

kxJika Maka underestimate dan thit overestimate OLSVar ̂

Mendeteksi Heteroskedastisitas

• Metode grafik diplotkan.• Uji Heteroskedastisitas :

Ho :H1 : tergantung pendugaan yang dianggap akan menghasilkan

koreksi heteroskedastisitas yang paling diinginkan.

1. UJI PARK (Econometrica, vol 34, No. 4, 1966)menganjurkan fungsi :

)e(x,atau ),( 22

ieY

22

2

2

1 ... N

• Metode grafik diplotkan.• Uji Heteroskedastisitas :

Ho :H1 : tergantung pendugaan yang dianggap akan menghasilkan

koreksi heteroskedastisitas yang paling diinginkan.

1. UJI PARK (Econometrica, vol 34, No. 4, 1966)menganjurkan fungsi :

vi?polamasalah ? signifikan 22

vi

ii ex

2

i

2

i edengan Plot

2. UJI GLEJSER (seperti uji Park)

Fungsi Linear |ei| terhadap :

3. UJI Korelasi Pangkat SPEARMAN (urutan ei dan Xi)

,...1

,1

,,ii

iixx

xxFungsi Linear |ei| terhadap :

3. UJI Korelasi Pangkat SPEARMAN (urutan ei dan Xi)

)2(22

2

1

2

)1(61

n

s

si

s tr

nrt

nn

dr

4. UJI GOLDFELD-QUANDT (JASS, Vol 60, 1965)

Cara : 1. Urutkan data peubah bebas x.

2. Keluarkan d pengamatan di tengah (jika tidak ada `natural break`) misal : d=

3. Hitung 2 model regresi terpisah tersebut, dengan

dbe=(N-d-2k)/2

4. Hitung JKS1 dan JKS2

5. Dengan asumsi masing-masing εi ~Normal,

Note : - Jika k>2, urutkan pengamatan berdasarkan salah satu peubah bebasnya

- Supaya kuasa uji tinggi (salah jenis II lebih keci), harus dengan restriksi dimana kedua model regresi tersebut mempunyai parameter koefisien yang sama

22

1 : ii cxH

N5

1

Cara : 1. Urutkan data peubah bebas x.

2. Keluarkan d pengamatan di tengah (jika tidak ada `natural break`) misal : d=

3. Hitung 2 model regresi terpisah tersebut, dengan

dbe=(N-d-2k)/2

4. Hitung JKS1 dan JKS2

5. Dengan asumsi masing-masing εi ~Normal,

Note : - Jika k>2, urutkan pengamatan berdasarkan salah satu peubah bebasnya

- Supaya kuasa uji tinggi (salah jenis II lebih keci), harus dengan restriksi dimana kedua model regresi tersebut mempunyai parameter koefisien yang sama

),(

1

2

1 dbedbeFJKS

JKS

5. UJI BREUSCH-PAGAN ( Econometrica, Vol 47, 1979 )

Misal Model : Yi=α + β xi + εidengan asumsi umum: z dapat merupakan peubah bebas x atau suatu kelompok peubah

bebas selain x.> gunakan

> Lakukan Regresi:

> Jika εi ~Normal, merupakan statistik uji yang cocok.

Jika nyata (heteroskedastisitas), koreksinya menggunakan peubah z

)(2

ii zf

N

i

i

22

menghitunguntuk

ii

i

i vz

2

2

Misal Model : Yi=α + β xi + εidengan asumsi umum: z dapat merupakan peubah bebas x atau suatu kelompok peubah

bebas selain x.> gunakan

> Lakukan Regresi:

> Jika εi ~Normal, merupakan statistik uji yang cocok.

Jika nyata (heteroskedastisitas), koreksinya menggunakan peubah z

N

i

i

22

menghitunguntuk

ii

i

i vz

2

2

)(2

2p

JKR

6. WHITE TEST (Econometrica, Vol. 48, 1980)

• Tidak perlu asumsi kenormalan seperti B-test.• Dengan asumsi umum :

dengan R2 sebagai ukuran `goodness of fit`.Jika homoskedastisitas,

Note : Misal σi2=σ2 ki ,,, ki : konstanta yang tidak harus sama.

jika underestimate dan t overestimate

,2

iii vz

2

)(

2

pNR

• Tidak perlu asumsi kenormalan seperti B-test.• Dengan asumsi umum :

dengan R2 sebagai ukuran `goodness of fit`.Jika homoskedastisitas,

Note : Misal σi2=σ2 ki ,,, ki : konstanta yang tidak harus sama.

jika underestimate dan t overestimate

2

2

2

2

22

22

)()(

i

ii

ii

ii

x

kx

xx

kxVar

OLS

i

ii

x

kx)Var( 1

2

2

CARA MENGATASI (MENGOREKSI) HETEROSKEDASTISITAS

a) Jika σ2 diketahui Weighted Least Squares (MKT tertimbang); kasus khusus dari GLS, yg dpt

diturunkan dari fungsi kemungkinan maximum.Note :

simpangan (pengamatan) ekstrim dpt timbangan kecil

22

2)()(

1

i

iiii

i

xYxYJKS

*

**

/

/22

2

i

ii

ii

iii

x

yx

x

yx

i

ii

i

ii

yy

xx

*dan * dimana

*

**

/

/22

2

i

ii

ii

iii

x

yx

x

yx

i

ii

i

ii

yy

xx

*dan * dimana

|1

x| ...i

221

ikikii xxY

i

i

i

kik

i

i

ii

i xxY

...

1 221

**...*** 2211 ikikii xxxY

1)(1

*)(2

i

i

i VarVar

Cara Transformasi Model:

b. Jika σi2 tidak diketahui sering menggunakan asumsi tentang σi

2

Misal Asumsi : Var(εi)=C X2i2 lakukan seperti di atas dengan

transformasi: x (X2i)-1

i

i

i

kik

i

i

ii

i

xx

x

x

x

xx

Y

222

332

2

1

2

...1

cVar i *)( cVar i *)(

252.7F ; 93.0R ; 237.089.0 2

ii xY

c. Dapat dengan Transformasi Log (memperkecil skala) kadangkala dapat masalah baru, seperti Spurious correlation, kolinearitas.

Teladan : Dengan OLS : (4.4) (15.9) statistik t

Dengan WLS :

58.7F ; 76.0R ; 1

7529.0249.0

*1

**

2

ii

i

i

ii

i

xx

Y

xx

Y

58.7F ; 76.0R ; 1

7529.0249.0

*1

**

2

ii

i

i

ii

i

xx

Y

xx

Y

(21.3) (7.7)R2

WLS < R2OLS jangan dianggap sebagai indikasi bahwa koreksi

heteroskedastisitas kurang baik karena prosedur WLS melibatkantransformasi peubah tak bebas (Y*)

Dengan indikator :

2)249.07529.0( RXY iii 1-0 harus tidak 1 JKT

JKS

ii YY

riY