Guia Electromagnetism o

download Guia Electromagnetism o

of 262

  • date post

    26-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    57
  • download

    4

Embed Size (px)

Transcript of Guia Electromagnetism o

Mario CosenzaElectromagnetismo

Notas de Clase - Versin A-12

ElectromagnetismoVersin A-12

Y Dios dijo:

E = 4 E+ 1 B = 0 c t B = 0 B 4 1 E = J, c t c

y se hizo la luz.

Frmulas vectorialesA

(B C) = (A B) C = C (A B) = (C A) B = B (C A) (A B) (C D) = (A C)(B D) (A D)(B C)A

(B C) = B(A C) C(A B) A) + (A A) + (B )B + (B )A (A )A )B B)

(A B) = A (

B) + B ( B) B(

(A B) = A(

(A B) = B ( (A) = (

A) A (

A) A ( ) A) + A

(A) = (

() = + ( A) = ( ( A) 2A

A) = 0 ( ) = 0

[f (r)] = 0 r r=0 r=3 (V 2

(V

2

) d3 r =S

( ) n daA

Teorema de Green

A) d 3 r =S

n da

Teorema de Gauss (divergencia)

(S

A) n da =C

A

dl

Teorema de Stokes

A d3 r =V S

n

A da dlC

nS

( ) da = d3 r =V S

n da

Contenido

1

Electrosttica.

1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Ecuaciones de Maxwell. Campo electrosttico.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 6 17 27 35 39 40 45 48 5357

Potencial escalar elctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expansin multipolar del potencial elctrico. . . . . . . . . . . . . . . . Interaccin de una distribucin de carga con un campo externo. . . . . Ecuaciones de Poisson y de Laplace. Energa electrosttica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Potencial y campo elctrico en conductores.

Capacitancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.10 Problemas.2

Problemas de frontera en Electrosttica

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

Teorema de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funcin de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mtodo de imgenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones ortogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuacin de Laplace en coordenadas cartesianas. Ecuacin de Laplace en coordenadas polares. Problemas de frontera con simetra azimutal. Armnicos esfricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 60 65 75 78 83 87 91

Ecuacin de Laplace en coordenadas esfricas. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 . . . . . . 105

2.10 Expansin de la funcin de Green en coordenadas esfricas. 2.12 Problemas.

2.11 Aplicaciones de la expansin esfrica de la funcin de Green. . . . . . . 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 v

3

Campos elctricos en la materia

125

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.64

Polarizabilidad molecular.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Modelos estadsticos de polarizabilidad molecular. . . . . . . . . . . . . 128 Electrosttica en medios dielctricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Problemas de frontera con dielctricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Energa electrosttica en medios dielctricos. . . . . . . . . . . . . . . . 144 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148149

Magnetosttica

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.65

Ecuaciones de la Magnetosttica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Ley de Biot-Savart y Ley de Ampre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Expansin multipolar del potencial vector. . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Momento magntico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Magnetosttica en medios materiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178181

Campos electromagnticos dependientes del tiempo.

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.96

Ley de Faraday y ecuaciones de Maxwell.

. . . . . . . . . . . . . . . . 181

Transformaciones de calibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Energa del campo magntico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Conservacin de energa del campo electromagntico. . . . . . . . . . . 194 Momento del campo electromagntico. Ondas electromagnticas. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 . . . . . . . . . . . . . 200 . . . . 210 Momento angular del campo electromagntico.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Polarizacin, reexin y refraccin de ondas electromagnticas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217221

Transformaciones relativistas de campos electromagnticos.

6.1 6.2 6.3 6.4

Revisin de Relatividad Especial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Corrimiento Doppler relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Transformaciones de campos electromagnticos. . . . . . . . . . . . . . 241 Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Captulo 1Electrosttica.

1.1 Ecuaciones de Maxwell.Los fenmenos electromagnticos macroscpicos estn descritos por las ecuaciones de Maxwell,

E 1 B E+ c t B 1 E B c tunidades

= 4 = 0 = 0 4 = J. c

(1.1) (1.2) (1.3) (1.4)

Estas ecuaciones corresponden a fuentes y campos en el vaco, en el sistema de

cgs

. En medios materiales, aparecen algunos factores adicionales, pero la

forma de las ecuaciones es la misma. Las cantidades fsicas que aparecen en las ecuaciones de Maxwell y sus unidades en el sistema

cgs

son campo elctrico [statvolt/cm], campo magntico [Gauss], densidad de carga elctrica [Coulomb/cm ], densidad de corriente elctrica [Ampre/cm ], velocidad constante de la luz en el vaco [cm/s]. 1

E: B: : J: c:

3

(1.5)

2

2

CAPTULO 1.

ELECTROSTTICA.

Las ecuaciones de Maxwell describen leyes de la naturaleza descubiertas experimentalmente en una serie de trabajos monumentales debidos a Oersted, Coulomb, Faraday, Ampre, Biot, Savart y otros grandes fsicos. La Ec. (1.1) tambin se conoce como la ley de Gauss para el Electromagnetismo, y es consecuencia de la ley de Coulomb para las fuerzas entre cargas elctricas. La Ec. (1.2) corresponde a la ley de induccin de Faraday. La Ec. (1.3) describe la ausencia de cargas (monopolos) magnticas, mientras que la Ec. (1.4) contiene la ley de Ampre para el campo magntico producido por una corriente elctrica, es decir, por cargas elctricas en movimiento. Maxwell di forma matemtica a estas leyes e introdujo una notacin conveniente. La inclusin del trmino

1 E c t (denominado

corriente de desplazamiento )

en

la Ec. (1.4), mediante un requerimiento de simetra en relacin con la Ec. (1.2), constituye la contribucin fundamental de Maxwell al Electromagnetismo. electromagntica, es decir, de una ecuacin de propagacin de onda para de stos con sus fuentes Con la adicin de este trmino, las ecuaciones de Maxwell pemitieron la prediccin de ondas Las ecuaciones de Maxwell expresan la relacin fsica entre los campos

E y B. E y B,

y

y J.

Desde el punto de vista matemtico, las ecuaciones de

Maxwell son un conjunto de seis ecuaciones diferenciales acopladas, en derivadas parciales de primer orden con respecto al espacio y al tiempo, para las seis componentes los campos vectoriales

E(r, t)

y

B(r, t);

dadas las fuentes

(r, t)

y

J(r, t).

Para aplicar estas ecuaciones en situaciones fsicas se requiere un sistema de coordenadas (cartesianas, esfricas, cilndricas, etc.) apropiado para el problema considerado.

Figura 1.1:

Campos E(r, t) y B(r, t) en un sistema de coordenadas cartesianas.

En coordenadas cartesianas, el vector de posicin en el espacio tridimensional con respecto a un origen dado

O

es

r = (x, y, z) = (x1 , x2 , x3 ),

y el campo elctrico (o

1.1.

ECUACIONES DE MAXWELL.

3

magntico) en el punto

r

y en el instante

t

es (1.6)

E(r, t) = (Ex (r, t), Ey (r, t), Ez (r, t)) ,donde

sianas

Ex (r, t) = Ex (x, y, z, t), etc. En general, escribimos las componentes carteEi (r, t) = Ei (x1 , x2 , x3 , t), i = 1, 2, 3. El vector unitario en la direccin xi se denota por xi . Los operadores diferenciales vectoriales en las ecuaciones de Maxwell, en coordenadas cartesianas, son: Gradiente:

(x, y, z) =Divergencia:

, , x y z

.

(1.7)

E=Rotacional:

Ex Ey Ez + + x y z

.

(1.8)

x y z E = Ex Ey Ez = x y z

Ey Ez z y

x+

Ez Ex x z

y+

Ex Ey y x

. z

(1.9) Derivada temporal:

E = t

Ex Ey Ez , , t t t

.

(1.10)

Una consecuencia inmediata de las ecuaciones de Maxwell es la conservacin de la carga elctrica. Para ver esto, consideremos la siguiente derivada parcial con respecto a

t,

tomando en cuenta que las coordenadas de

r

y t son independientes,

( t

E) = = =

Ex Ey Ez + + t x y z 2E 2E 2E x y z + + xt yt zt E . t

(1.11)

4

CAPTULO 1.

ELECTROSTTICA.

Derivando parcialmente la Ec. (1.1) con respecto a

t,

tenemos

Sustituyendo el trmino

E t

= 4