Freie Universitat Berlin Dr. Barbara BaumeisterFB Mathematik und Informatik Jurgen SchutzSommersemester 2007 Matthias Lenz

2. Ubung zur Vorlesung

Graphentheorie

Ausgabe: 24. April 2007

Abgabe: 3. Mai 2007

Aufgabe 1

Es sei G ein Graph auf n Ecken. Zeige:

a. Ist δ(G) >n−1

2, so ist G zusammenhangend.

b. Diese Schranke ist scharf.

c. Ist δ(G) = bn

2c − 1 und ∆(G) = dn

2e, so ist G zusammenhangend.

Aufgabe 2

Es seien ganze Zahlen d1, . . . , dn > 0 gegeben. Zeige, dass (d1, . . . , dn) genau dann dieGradfolge eines Baumes ist, wenn

∑di = 2n − 2 ist.

Aufgabe 3

Ein Graph G = (V,E) heißt Intervallgraph, wenn es eine Familie von Intervallen (Iv)v∈V

in R gibt, so dassIu ∩ Iv 6= ∅ ⇐⇒ uv ∈ E

fur alle u, v ∈ V gilt.Ein Baum T heißt Tausendfußler, wenn es in T einen Weg gibt, der von jeder Kante

von T mindestens eine Endecke enthalt.Zeige: Ein Baum T ist genau dann ein Intervallgraph, wenn T ein Tausendfußler ist.

Aufgabe 4

Der Algorithmus von Prim konstruiert einen minimalen aufspannenden Baum in einemgewichteten Graphen, indem beginnend bei einer Ecke iterativ die leichteste Kante zwi-schen einer bereits erreichten Ecke zu einer noch nicht erreichten Ecke hinzugefugt wird.

Beispiel.

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5

3 3 3

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4

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3

3

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3

3

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5

3

3

Beweise, dass der Algorithmus von Prim tatsachlich einen minimalen aufspannendenBaum berechnet.

Zusatzaufgabe

In dieser Aufgabe werden unendliche Graphen betrachtet, das heißt, sowohl die Ecken- alsauch die Kantenmenge darf unendlich sein. Zeige: Die Aussage

”Jeder zusammenhangen-

de Graph enthalt einen aufspannenden Baum.“ ist aquivalent zum Auswahlaxiom.