Gliederung - wiwi.uni-sb.de · (ln ) ² σ µ πσ E(X) =eµ ... 158 Gammaverteilung Dichtefunktion...

154

1. Grundkenntnisse zur Simulation

2. Einführung in ProModel

3. Grundbausteine von ProModel

4. Path Networks

5. Variablen und Counter

6. User Distributions

7. Attribute

8. Uhrzeitabhängiges Routing und Schichtkalender

9. Statistische Auswertung der Simulationsdaten

10.Statistische Verteilungen

11.Aufbereitung empirischer Daten

12.Arbeiten mit ProActive X, Kosten

13.Fallstudie

Gliederung

155

10. ProModel – Statistische Verteilungen

156

Normalverteilung

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

f(x)

µ = 0; σ = 1µ = 0; σ = 2µ = 1; σ = 1,5

Dichtefunktion Erwartungswert / Varianz Bedeutung:

µ=)(XE2)( σ=XV

10. Statistische Verteilungen

-Unterschiedliche Fehlertypen

-Mengen, die die Summe einer großen Anzahl anderer Mengen sind (Erkenntnis des

zentralen Grenzwertsatzes)

157

Logarithmische Normalverteilung


>

=

−−

sonst

xfürexxf

x

,0

0,2

1

)(

²2

)²(ln

σµ

σπ2/2

)( σµ+= eXE

)1()(222 −= + σσµ eeXV

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

f(x)

µ = 0; σ = 0,5µ = 0; σ = 2µ = 1; σ = 1


-Zeit um Aufgaben auszuführen

-Mengen, die das Produkt einer großen Anzahl anderer Mengen sind

158

Gammaverteilung


≥

Γ=

−−−

sonst

xfürexxf

x

,0

0,)()(

/1 βαα

αβ αβ=)(XE

2)( αβ=XV


0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

f(x)

α = 1; β = 0,5α = 2; β = 2α = 2; β = 1

-Zeit um Aufgaben fertig zu stellen (z.B.: Kundenservice, Maschinenreparatur)

159

Exponentialverteilung


0,)( ≥= − xfürexf xλλ

2

1)(

1)(

λ

λ

=

=

XV

XE


0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

f(x)

λ = 0,5λ = 1λ = 2

-Zwischenankunftszeiten von Kunden in eine konstanten System

-Lebensdauer eines Objektes

160

Erlangverteilung


0,)!1(

)()(

1

≥−

=−

− xfürn

xexf

nx λλ λ

2)(

)(

λ

λn

XV

nXE

=

=


-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

f(x)

λ = 1; η= 1λ = 1; η = 2λ = 2; η =1

-Zeitdauer zwischen Telefonanrufen


-Warteschlangentheorie: Dauer zwischen zwei Ereignissen

161

Weibullverteilung


0,0,0,)( 1 >>>= −− βαβαβαβ xfürexxf x

+Γ= − 11

)( /1

βα βXE

+Γ−

+Γ= −

2

/2 11

12

)(ββ

α βXV


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

f(x)

α = 1; β = 4α = 1; β = 1α = 3; β = 5

-Zeit um Aufgaben fertig zu stellen


162


Dreiecksverteilung


≤≤−−⋅

−

≤≤−−⋅

−

=

sonst

bxHfürHb

xb

ab

HxafüraH

ax

ab

xf

,0

,2

,2

)(18

)²())(()²()(

3)(

aHaHababXV

HbaXE

−+−−−−=

++=

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

f(x)

a=2; b=6; H=4

Wenn nur wenige Daten vorliegen, hilfreich sich der Realität anzunähern

163


Poissonverteilung

Funktion Erwartungswert / Varianz Bedeutung:

Anzahl von Ereignissen, die in einem bestimmten Zeitintervall mit einem konstanten Abstand auftreten

)()( XVXE == λ

>≥

><=

∑=

−x

i

i

xwenni

e

xwennxF

0

0,0,!

0,0,0)( λλ

λλ

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

λ=1

λ=2

λ=3

164


165

Arrivals• occurences• frequency

Bearbeitungszeiten

Transportzeiten


166


Es hat sich gezeigt, dass die Bearbeitungszeiten der Maschine 2 und der Mill nicht 100% konstant sind. Aufgrund der Maschinenbediener schwankt die Bearbeitungszeit normalverteilt um den Mittelwert 10 mit einer Varianz von 4.Nachdem diese Verteilung innerhalb der Simulation implementiert ist, soll überprüft werden, ob über 30 Simulationsläufe auch die erwarteteBearbeitungszeit verwendet wird. Dokumentieren Sie die Bearbeitungszeit jedes einzelnen Entities und bilden Sie über alle 30 Simulationsläufe den Mittelwert.

Gemeinsames Beispiel „Schreinerei XIV“

167


Auf Grund der Komplexität der Erkrankung der Patienten schwankt die Behandlungsdauer durch den Arzt und kann durch eine Weibullverteilungmit den Parametern shape = 3,4935187 und scale = 61,9485900 abgebildet werden.Nachdem diese Verteilung innerhalb der Simulation implementiert ist, soll auch hier wieder über die 30 Simulationsläufe die Untersuchungsdauer jedes einzelnen Patienten dokumentiert werden und über alle 30 Simulationsläufe den Mittelwert ermittelt werden.

Übung „Röntgenpraxis XIV“

168


Aufgrund externer Effekte wird nicht jeden Tag dieselbe Anzahl an Entitiesim Warehouse angeliefert. Die Warenanlieferung erfolgt der Anzahl nach normalverteilt mit einem Mittelwert von 70 und einer Standardabweichung von 7. Ebenso sind die Zwischenankunftszeiten nicht weiterhin deterministisch, sondern können durch eine Poissonverteilung mit dem Parameter 10 beschrieben werden.Implementieren Sie diese Verteilungen und überprüfen Sie wie bei den vorangegangenen Beispielen, ob die Simulation die richtigen Werte verwendet.

Gemeinsames Beispiel „Schreinerei XV“

169


Übung „Röntgenpraxis XV“

In der Praxis wird nicht jeden Tag dieselbe Anzahl an Patienten untersucht. Obwohl die Praxis Termine mit den Patienten vorab vereinbart, werden diese jedoch oft nicht eingehalten, wodurch die Ankunftszeiten stochastischen Charakter aufweisen. Die Anzahl der Ankünfte ist normalverteilt mit einem Mittelwert von 30 und einer Varianz von 9. Die Zwischenankunftszeiten können ebenso durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert 20 und einer Standardabweichung von 5 beschrieben werden.Implementieren Sie diese Verteilungen und überprüfen Sie wie bei den vorangegangenen Beispielen, ob die Simulation die richtigen Werte verwendet.

170


Gemeinsames Beispiel „Schreinerei XVI“

Es hat sich gezeigt, dass die Transportzeiten der Gabelstapler ebenfalls stocha-stischen Charakter haben. Die Werte innerhalb der Path Networks sind gemäß folgender Graphik anzupassen. In der Graphik nicht aufgeführte Pfade sind mit dem ursprünglichen deterministischen Wert beizubehalten!

171


Übung „Röntgenpraxis XVI“

Die Patienten der Röntgenpraxis unterscheiden sich durch unterschiedliche Fitness. Daher benötigen die MTRA unterschiedliche Zeiten, um die Patienten auf den jeweiligen Wegen durch die Praxis zu begleiten.Die Begleitzeiten durch die MTRA sind gemäß folgender Abbildung zu implementieren.

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