GERAK PELURU

� Teori Singkat :

Y Vy = 0

Vy = Vo sin α Vo hmaks

α

Vx = Vo cos α X

Xmaks

� Gerak parabola terdiri dari dua

komponen gerak yaitu :

A. Gerak horisontal berupa GLB

B. Gerak vertikal berupa GLBB

A.Gerak horisontal (searah sumbu-x)

berupa GLB

B.Gerak vertikal (searah sumbu-y) berupa

GLBB

• Tanda positif jika gerakan benda

menuju ke bawah

• Tanda negatif jika gerakan benda

menuju ke atas

� Catatan :

1. Kecepatan dititik tertinggi :

• Vy = 0

• Vx = Vo cos α (tetap)

Secara umum :

V V V 2

y

2

x +=

Vy = 0

Y V = Vx = Vo cos α Vy V Vx

Vx Vy V

X

- g + g

2. Dari perumusan :

Vty2 = Vo

2 sin

2 α – 2 g h, di titik tertinggi

kita dapatkan Vty = 0, maka diperoleh :

h = hmaks

hmaks = tinggi maksimum

3. Dari perumusan :

Vty = Vo sin α – g t, di titik tertinggi Vy =

0, maka didapat :

padahal txmaks = 2 thmaks, sehingga :

Jika nilai txmaks ini dimasukkan ke

dalam nilai t pada X = Vo cos α t, maka

akan diperoleh :

Xmaks = Jauh maksimum

4. Energi kinetik pada titik tertinggi :

Ek = ½ m Vx2 = ½ m ( Vo cos α )

2

5. Energi potensial pada titik tertinggi :

Ep = mghmaks = m g g 2

sinVo 22 α

6. Perbandingan antara Xmaks dan hmaks adalah :

αα

α

ctg 4

g 2

sin Vo

g

2sin Vo

h

X22

2

maks

maks ==

X = Vx t → X = Vo cos α t

dengan Vx = Vo cos α

Vty = Vo sin α ± g t

Vty2 = Vo

2 sin

2 α ± 2 g h

h = Vo sin α t ± ½ g t2

Ep = Eko sin2 α

Ek = Eko cos2 α

thmaks = g

αsin Vo =

g

h 2 maks

txmaks = g

αsin Vo 2 = 2

g

h 2 maks

Xmaks = g

α2sin Vo 2

α ctg 4h

X

maks

maks =

g

Vh o

maks2

sin22 α=

7. Dua benda yang menjalani lintasan parabola

akan jatuh tepat berimpit pada jarak terjauh

yang sama jika jumlah sudut elevasi

keduanya 900. Pada gambar di bawah α + β

= 900

Y

α berimpit

β

X

=====O0O=====

GERAK MELINGKAR

� Teori Singkat :

Gerak melingkar dibagi menjadi 2 :

1. GMB

2. GMBB

Sebelum membahas lebih jauh perumusan

gerak melingkar, perlu diingat terdapat

konversi awal hubungan antara gerak lurus

(linear) dengan gerak melingkar (rotasi)

� Keterangan :

ω = Kecepatan sudut / anguler (rad/det)

α = Percepatan sudut (rad/s2)

θ = Jarak lintasan sudut (rad)

1. GMB

(Gerak Melingkar Beraturan)

Perumusan GMB mirip GLB, sehingga

diperoleh persamaan sebagai berikut :

1. Dari GLB → S = V t, maka :

θ R = ω R t, diperoleh :

2. Dari GLB → V = tetap, maka :

ω R = tetap, diperoleh :

3. Dari GLB → a = 0, maka

α R = 0 diperoleh :

� Catatan :

1. Gerak Melingkar Beraturan (GMB)

adalah gerak yang lintasannya berupa

lingkaran dengan kelajuan konstan

( konstan=v )

VB

VA ≠ VB

R VA = VB

θ � ω

S R

VA

Kecepatan pada GMB tidak sama di

setiap lintasannya, sebab kecepatan

adalah besaran vektor yang

mensyaratkan adanya besar (magni-

tude) dan arah. Namun lajunya tetap

2. Penyebab gerak melingkar adalah

percepatan sentripetal (asp) atau

percepatan radial (ar) yang arahnya

menuju ke pusat lingkaran

3. Gaya Sentripetal :

4. 1 putaran = 3600 = 2 π radian

� Keterangan :

V = Kecepatan linear (m/s)

S = Jarak (m)

asp = Percepatan sentripetal / radial

(m/s2)

aT = Percepatan tangensial(m/s2)

a = Percepatan linear / total(m/s2)

Fsp = Gaya sentripetal (N)

2. GMBB

(Gerak Melingkar Berubah Beraturan)

Perumusan GMBB mirip dengan GLBB, dan

dengan konversi sebagaimana yang terdahulu

diperoleh persamaan sebagai berikut :

1. Vt = Vo ± a t, dikonversi menjadi :

V = ω R

a = α R

S = θ R

θ = ω t

ω = tetap

α = 0

asp = ar = RR

V 22

ω=

Fsp = RmR

Vm

22

ω=

ωt = ωo ± α t

2. Vt2 = Vo

2 ± 2 a S, dikonversi menjadi :

3. S = Vo t ± ½ a t2, dikonversi menjadi :

� Catatan : 1. Gerak Melingkar Berubah Beraturan

(GMBB) adalah gerak yang lintasannya

berupa lingkaran dengan percepatan

sudut konstan (α = konstan)

2. Percepatan linear total (at) adalah

merupakan resultan percepatan

tangensial (aT) dan percepatan

sentripetal (asp)

R

θ � ω a

asp

aT

Secara vektor :

Secara skalar :

at = 22

spT aa + , karena

asp = R2ω dan aT = α R, maka

at = 2422RR ωα +

=====O0O=====

Aplikasi Gerak Melingkar

1. (Benda diputar vertikal)

1

T

mg

T

θ 3

T θ mg cos θ 2 mg

mg

� Ketentuan :

1. Gaya berat selalu berarah ke bawah

2. Gaya tegangan tali selalu menuju pusat

lingkaran

3. Dalam perumusan, arah gerak ke pusat

lingkaran di beri tanda positif, sedang

gaya yang menjauhi pusat negatif.

Dari persamaan : ∑Fsp = Rm 2ω

1. Kondisi di titik tertinggi :

2. Kondisi di titik terendah :

3. Kondisi di titik yang membentuk sudut θ terhadap vertikal

2. (Benda bergerak di luar bola)

N

1 2 N

mg

θ θ

mg cos θ

mg

� Catatan :

Persamaan untuk kondisi ini sesuai dengan

persamaan untuk benda diputar vertikal dengan

mengganti T dengan N (gaya normal)

Dari persamaan : ∑Fsp = Rm 2ω

T + W = m ω2 R

T - W cos θ = m ω2 R

T - W = m ω2 R

ωt2

= ωo2

± 2 α θ

θ = ωo t ± ½ α t2

at = R 42 ωα +

aspaaaT

rrr+=

gRV =

• Kondisi pada nomor 1.

mg – N = m ω2 R

• Kondisi pada nomor 2.

mg cos θ – N = m ω2 R

3. (Benda bergerak di dalam bola)

1

N

mg

N 2

N

mg cos θ

3

mg

Dari persamaan : ∑Fsp = Rm 2ω

• Kondisi pada nomor 1.

mg + N = m ω2 R

• Kondisi pada nomor 2.

N - mg cos θ = m ω2 R

• Kondisi pada nomor 3.

N – mg = m ω2 R

4. (Hubungan roda-roda)

1. Roda A dan roda B sesumbu :

ωA

ωB

2. Roda A dan roda B bersinggungan :

ωB

ωA

RA RB

3. Roda A dan roda B dihubungkan tali

ωB

ωA RA

RB

4. (Kecepatan di sepanjang Lingkaran)

B

R

A

� Keterangan :

•) VA = Kecepatan minimum agar benda

dapat bergerak satu kali

lingkaran penuh

•)VB = Kecepatan di titik tertinggi

sedemikian sehingga gaya

normal / gaya tegang tali nol

•) Bukti R g=VB

Σ Fsp = m V2/R

W – N = m V2/R → mg = m V

2/R

•) Bukti R g 5=VA , dapat diperoleh

sebagai berikut :

Dari hukum kekekalan energi :

EpA + EkA = EpB + EkB

2

B

2

A V m 1/2 +h g m=V m 1/2 + 0

Dengan mengingat hB = 2 R, maka :

R g 5 R g (2R) g 2V2

A =+=

5. (Benda di putar horizontal / ayunan

konis)

θ θ

T T cos θ

l

T sin θ

R Fsf

R = l sin θ W = mg

•) Gaya pada arah sumbu –x :

R

Vm=θsin T

2

...............................(1)

ωA = ωB

B

B

A

A

R

V=

R

V

VA = VB

ωA RA = ωB RB

VA = VB

ωA RA = ωB RB

R g=VB

R g 5=VA

R g 5VA =

•) Gaya pada arah sumbu –y :

g m=θ cos T ..................................(2)

•) Persamaan (1) jika dibagi persamaan (2) :

R g

V tg

2

=θ →

6. (GMB pada bidang datar kasar)

Fsp m Fges

•) Fges = gaya gesekan, berfungsi sebagai

gaya sentrifugal (menjauhi pusat)

R

V mF

2

sp = , dan Fges = µ N = µ mg

Dari skema diperoleh Fsp = Fges, maka

diperoleh hubungan :

R

V m2

= µ mg →

=====O0O=====

� Contoh Soal dan Pembahasan :

1. Terhadap koordinat x horisontal dan y

vertikal, sebuah benda yang bergerak

mengikuti gerak peluru mempunyai

komponen-komponen kecepatan yang :

A. Besarnya tetap pada arah x dan berubah-

ubah pada arah y

B. Besarnya tetap pada arah y dan berubah-

ubah pada arah x

C. Besarnya tetap baik pada arah x maupun

pada arah y

D. Besarnya berubah-ubah baik pada arah x

maupun pada arah y

E. Besar dan arahnya terus-menerus

berubah-ubah terhadap waktu

Jawaban : A

Vx = Vo cos α (tetap)

Vy = Vo sin α – g t (berubah-ubah

tergantung waktu)

2. Bila besar sudut antara horisontal dan arah

tembak suatu peluru 450, maka

perbandingan antara jarak tembak dalam

arah datar dan tinggi maksimum peluru

adalah :

A. 8 D. 0,25

B. 4

E. 0,125

C. 1

Jawaban : B

(Lihat catatan no.6)

4=45 ctg 4=hmaks

Xmaks0

3. Peluru A dan B ditembakkan dari senapan

yang sama dengan sudut elevasi yang

berbeda. Peluru A dengan sudut 300 dan

peluru B dengan sudut 600. Perbandingan

antara tinggi maksimum yang dicapai

peluru A dan B adalah :

A. 1 : 2 D. 1 : √3

B. 1 : 3

E. √3 : 1

C. 2 : 1

Jawaban : B

3

1

60 sin

30 sin

hmaks.B

hmaks.A2

2

==

4. Sebuah peluru bergerak mengikuti lintasan

parabolik seperti tergambar. Sumbu tegak h

menyatakan tinggi sedangkan sumbu

mendatar s jarak yang ditempuh peluru

dalam arah horisontal. Pada kedudukan A

dan B masing-masing :

(1) Energi potensial peluru sama besar

(2) Laju peluru sama besar

(3) Energi total peluru sama besar

(4) Besar momentum peluru sama

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja

B. 1 dan 3 E. Semuanya

C. 2 dan 4

h

A B

α // h // h

S

Jawaban : (semua benar) → E

Dua titik dengan lintasan parabolik pada

posisi yang berbeda, namun memiliki

ketinggian sama, akan mempunyai nilai

yang sama untuk :

- Energi potensial - Laju

- Energi total - momentum

6. Sebuah peluru ditembakkan dengan arah

horisontal dengan kecepatan V pada

ketinggian h dari permukaan tanah. Jika

R g υ=V

θ tgR gV =

gesekan udara diabaikan, jarak horisontal

yang ditempuh peluru tergantung pada :

Vo

h

x

1. Kecepatan awal V

2. Ketinggian h

3. Percepatan gravitasi

4. Massa peluru

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja

B. 1 dan 3 E. Semuanya

C. 2 dan 4

Jawaban : (1, 2, dan 3 benar) → A

(Lihat catatan no. 3)

Jarak horisontal yang dapat ditempuh

peluru pada posisi hmaks adalah :

X = V t → X = V g

h 2 maks

6. Setiap benda yang bergerak secara

beraturan dalam suatu lintasan bentuk

lingkaran ...

A. vektor kecepatannya tetap

B. vektor percepatannya tetap

C. gaya radialnya tetap

D. momentum linearnya tetap

E. semua jawaban diatas salah

Jawaban : E

Pilihan A,B,C dan D merupakan besaran

vektor, sedang besaran vektor mensyaratkan

adanya besar (magnitude) dan arah. Pada

pilihan A,B,C,D besar/magnitude nya tetap,

namun arah pada gerak melingkar berubah-

ubah sehingga pilihan tersebut semua salah.

7. Suatu benda bergerak melingkar beraturan,

maka :

1. Benda mendapat gaya yang besarnya

sebanding dengan lajunya

2. Kecepatan benda tetap

3. Benda mempunyai percepatan radial

yang besarnya sebanding dengan

lajunya

4. Benda mempunyai percepatan radial

menuju pusat lingkaran

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja

B. 1 dan 3 E. Semuanya

C. 2 dan 4

Jawaban : (4 saja benar) → D

Analisa :

1. (salah, lihat perumusan GMB) Gaya

sebanding kuadrat lajunya

Σ Fsp = m V2/R

1. (salah, lihat catatan 3) kecepatan tidak

tetap, karena besaran vektor yang

arahnya berubah-ubah

2. (salah, lihat perumusan GMB) besar

percepatan radial sebanding dengan

kuadrat lajunya asp = V2/R

3. (benar. lihat catatan 1) percepatan

sentripetal arahnya selalu menuju ke

pusat lingkaran

8. Sebuah benda bermassa 5 kg bergerak

secara beraturan dalam lintasan yang

melingkar dengan kelajuan 2 m/s. Bila jari-

jari lingkaran itu 0,5 m, maka :

1. Waktu putarnya adalah 0,5 π detik

2. Percepatan sentripetalnya 8 m/s2

3. Gaya sentripetalnya 40 Newton

4. Vektor kecepatannya tidak tetap

Pernyataan yang benar ...

A. 1,2 dan 3 D. 4 saja

B. 1 dan 3 E. Semuanya

C. 2 dan 4

Jawaban : (1,2,3,4 benar) → E

(Lihat teori singkat soal no.51, perumusan

GMB)

Analisa :

1. (benar) Rumus kecepatan :

V = 2 π R / T → sπ5,0=2

(0,5) π 2 = T

2. (benar) rumus percepatan :

asp = V2/R → asp = (2)

2/0,5 = 8 m/s

2

3. (benar) Rumus gaya sentripetal :

Σ Fsp = m asp → Σ Fsp = (5) (8) = 40 N

4. (benar) vektor kecepatannya tak tetap,

karena arahnya berubah-ubah

9. Dari keadaan diam, benda tegar melakukan

garak rotasi dengan percepatan sudut 15

rad/s2. Titik A berada pada benda tersebut,

berjarak 10 cm dari sumbu putar. Tepat

setelah benda berotasi selama 0,4 sekon, A

mengalami percepatan total (dalam m/s2)

sebesar :

A. 1,5 D. 3,9

B. 2,1

E. 5,1

C. 3,6

Jawaban : D

•) α = 15 rad/s2, t = 0,4 dt, ωo = 0 (diam)

•) ωt = ωo + α t → ωt = α t → ωt = 6 rad/s

•) asp = ω2 R → asp = 3,6 m/s

2

•) aT = α R → aT = 1,5 m/s2

•) 2

sp

2

Ttotal )a(+)a(=a

•) 2222

total m/s 3,9=m/s)3,6(+)1,5(=a

10. Sebuah batu dengan massa 2 kg diikat

dengan tali dan diputa, sehingga lintasannya

berbentuk lingkaran vertikal dengan jari-jari

0,5 m. Jika kecepatan sudut batu 6 rad/s dan

g = 10 m/s2, maka tegangan tali pada saat

batu di titik tertinggi adalah :

A. 36 N D. 124 N

B. 144 N

E. 56 N

C. 16 N

Jawaban : C

Pada kondisi di titik tertinggi :

T = m ω2 R – mg

T = (2) (6)2 (0,5) –(2) (10) N = 16 N

=====O0O=====

� Soal-soal :

1. Sebuah benda dijatuhkan dari pesawat

terbang yang sedang melaju horisontal 720

km/jam pada ketinggian 490 m. Benda itu

akan jatuh pada jarak horisontal sejauh

...meter (diketahui g = 9,8 m/s2)

A. 1000 D. 2900

B. 2000

E. 4000

C. 2450

2. Pada tendangan bebas suatu permaian

sepakbola, lintasan mencapai titik tertinggi

45 m di atas tanah. Berapa lama harus

ditunggu sejak bola ditendang sampai bola

kembali di tanah. Abaikan gesekan udara

dan ambil g = 10 m/s2

A. 3 detik D. 9 detik

B. 4,5 detik

E. 10 detik

C. 6 detik

3. Sebuah peluru ditembakkan dengan

kecepatan awal tertentu, maka jarak tembak

yang sama akan dihasilkan oleh pasangan

sudut :

A. 300 dan 45

0 D. 53

0 dan 37

0

B. 450 dan 60

0 E. 60

0 dan 35

0

C. 750 dan 25

0

4. E (Joule)

400

Ek

300

Ep

t detik

Grafik hubungan antara energi terhadap

waktu dari gerak parabola seperti pada

gambar. Dari grafik tersebut dapat

disimpulkan bahwa sudut elevasi

penembakan adalah :

A. 300 D. 90

0

B. 450

E. 600

C. 750

5. Agar suatu lemparan sebuah bola dapat

mencapai jarak terjauh, maka besar sudut

lemparan terhadap bidang horisontal

sebesar ...

A. 300 D. 90

0

B. 450

E. 600

C. 750

6. Tentukan besar tan α bila benda tiba di B

setelah 2 detik Vo = 50 m/s

A

α B

A. 0,2 D. 0,5

B. 0,3

E. 0,6

C. 0,4

7. Pada tendangan bebas suatu permainan

sepakbola, bola ditendang melayang di

udara selama 4 detik. Jika gesekan udara

diabaikan dan g = 10 m/s2, maka bola

mencapai tinggi sebesar ...

A. 12 m D. 30 m

B. 16 m

E. 48 m

C. 20 m

8. Sebuah bola ditendang dengan kecepatan

awal 20 m/s dengan sudut elevasi 300. Jika

g = 10 m/s2 jarak mendatar terjauh yang

dicapai bola adalah ...

A. 20 √3 m D. 10 m

B. 20 m

E. 5 m

C. 10 √3 m

9. Sebuah peluru ditembakkan sedemikian

rupa sehingga jarak tembakannya sama

dengan tiga kali tinggi maksimum. Jika

sudut elevasi α, maka besar tan α adalah ...

A. 4/3 D. 2

B. 3/4

E. 1/4

C. 1/2

10. Sebuah peluru bermassa 10 gram dan

kecepatan 100 m/s mengenai dan

menembus sebuah balok dengan massa 10

kg yang diam di atas bidang datar tanpa

gesekan. Ternyata kecepatan balok setelah

tumbukan 0,05 m/s dan jatuh sejauh Xb =

0,2 m dari titik 0. Berapa jauh peluru tiba di

tanah ?.

0 Xb Xp

A.100 m D. 250 m

B. 200 m

E. 275 m

C. 225 m

11. Sebuah benda dengan massa 5 kg diikat

dengan tali berputar dalam satu bidang

vertikal. Lintasan dalam bidang itu adalah

satu lingkaran dengan jari-jari 1,5 m. Jika

kecepatan sudut tetap 2 rad/s, dan g = 10

m/s2, maka tegangan tali pada saat benda itu

ada pada titik terendah adalah :

A. 30 N D. 70 N

B. 40 N

E. 80 N

C. 50 N

12. Akibat rotasi bumi, keadaan Hasan yang

bermassa a dan ada di Bandung, dan David

yang bermassa a dan ada di London, akan

sama dalam hal :

A. laju linearnya

B. kecepatan linearnya

C. gaya gravitasi buminya

D. kecepatan angulernya

E. percepatan sentripetalnya

13. Seorang anak duduk di atas kursi pada roda

yang berputar vertikal. Jika g = 10 m/s2 dan

jari-jari roda 2,5 m, maka laju maksimum

roda agar anak tidak terlepas dari tempat

duduknya ...m/s

R

A. 8 D. 4

B. 6

E. 2

C. 5

14. Sebuah benda dengan massa 10 kg diikat

dengan tali dan diputar sehingga lintasan

berbentuk lingkaran vertikal dengan jari-jari

1 meter. Gaya tegang maksimum yang

dapat ditahan tali 350 N. Jika g = 10 m/s2,

kecepatan benda maksimum ...m/s

A. 4,5 D. 6

B. 5

E. 6,5

C. 5,5

15. Pada gerak melingkar beraturan, bila ω =

kecepatan sudut, f = frekuensi dan T =

periode, maka hubungan antara ω, f dan T

adalah …

A. f

2 dan

T

1 f

πω ==

B. T π 2 = ωdan T

1 = f

C. f π2= ωdan T

1 = f

D. T π 2 = ωdan f

1 = T

E. f

π 2 = ωdan

f

1 = T

16. Sebuah benda yang melakukan gerak

melingkar beraturan mempunyai …

A. Kecepatan yang konstan

B. Percepatan yang konstan

C. Sudut simpangan yang konstan

D. Kelajuan yang konstan

E. Gaya sentripetal yang konstan

17. Sebuah benda bermassa m diikatkan di

ujung seutas tali, lalu diayunkan di bidang

vertikal. Agar benda dapat melakukan gerak

melingkar penuh, maka di titik terendah

gaya sentripetal maksimum haruslah :

A. 5 mg D. 2 mg

B. 4 mg

E. 1 mg

C. 3 mg

18. Sebuah sepeda motor membelok pada

tikungan berbentuk busur lingkaran dengan

jari-jari 5 meter. Jika koefisien antara roda

dan jalan 0,5 dan g = 10 m/s2 , maka

kecepatan motor terbesar yang diizinkan

adalah :

A. 5 m/s D. 2,0 m/s

B. 3,0 m/s

E. 1,5 m/s

C. 2,5 m/s

19. Sebuah batu massanya 1 kg diputar

mendatar di atas kepala dengan seutas tali

yang panjangnya 1 meter. Gaya tegang tali

maksimum 500 N. Jika tinggi batu dari

tanah 2 meter dan tiba-tiba tali putus

(seperti pada gambar), maka jarak mendatar

terjauh yang dapat ditempuh batu adalah :

h = 2m

X = ? X = ?

A. 20 m D. 21 m

B. 14 m

E. 8,5 m

C. 15 m

20. Sebuah benda 100 gram diikat dengan tali

sepanjang 50 cm digantung dan diputar

pada suatu ayunan konis. Tentukan kelajuan

ayunan tersebut jika sin θ = 0,6

A. 1,3 m/s D. 1,6 m/s

B. 1,4 m/s

E. 1,8 m/s

C. 1,5 m/s

=====O0O=====