Föreläsning 1, Matematisk statistik +E · 2014. 11. 4. · I 5 obligatoriska dator ovningar (2 i...

Introduktion Sannolikhetsteori Beroende

Forelasning 1, Matematisk statistik Π + E

Soren Vang Andersen

4 november 2014

Soren Vang Andersen - [email protected] FMS012 F1 1/26

Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Tillampningar Praktiska detaljer

Matematisk statistik – slumpens matematik

Sannolikhetsteori: Hur beskriver man slumpen?

Statistikteori: Vilka slutsatser kan man dra av ett datamaterial?



Slumpmassig Variation

I Inom population

I Matosakerhet



Vad kan vi veta om slumpmassig variation?

Inte exakt vad som ska handa, men hur ofta olika saker hander.

Vad vi kan saga ar hur sannolika olika handelser ar.



Tillampningar for matematisk statistik

I MiljoI Ozonlagret bild

I Vaghojd bild

I EkonomiI Aktiedata bild

I Forsakringar bild

I SignalbehandlingI EEG/EKG bild

I Hitta sprangamnen bild



Tillampningar for matematisk statistik (forts)

I Mobil kommunikation

I Elmarknad

I Forsakringar

I Spel/Lotterier

I Biologi

I Geologi

I osv



Praktiska detaljer

I Kursen gar over 2 lasperioder

I 1+ forelasning i veckan (2 i vecka 2 & 5).

I 1 rakneovning i veckan

I 5 obligatoriska datorovningar (2 i LP2, 3 i LP3).

I Frivillig dugga fredagen den 19/12 13–15.

I Kurshemsida:www.maths.lth.se/matstat/kurser/fms012/pie/

I Forelasare: Soren Vang Andersen, MH244


www.maths.lth.se/matstat/kurser/fms012/pie/

Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Wenn Ex Kolmogorov Frekvens

Grundlaggande sannolikhetsteori

Grundlaggande begrepp

I Utfall – resultatet av ett slumpmassigt forsok.Bet. ω1,ω2, . . .

I Handelse – en samling av ett eller flera utfall.Bet. A,B, . . .

I Utfallsrum – mangden av mojliga utfall. Bet Ω



Exempel: Tarningskast

Ex. Kasta en tarning.

I Utfallsrum Ω = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a, 6:a}I En handelse A : ”Minst 4:a” = {4:a, 5:a, 6:a}I B : ”Hogst 5:a” = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a}I C : ”3:a” = {3:a}

Ex. Kasta tva tarningar.Ej uppenbart hur man skall valja utfallsrum. T.ex.

I Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 6)}. Totalt 36 utfall.I Om man bara ar intresserad av summan:Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. 11 utfall.



Handelser Wenn-diag. Mangdlara

Utfallsrummet Ω Grundmangden

Handelsen A;

A intraffarDelmangden A

Komplementhandelsen.

A∗ till A; A intraffar ejKomplementet {A till A

Unionhandelsen A ∪ B;

A eller B eller bada intraffarUnionen A ∪ B

Snitthandelsen A∩B = AB;

bade A och B intraffarSnittet A ∩ B

A och B oforenliga hndlser;

kan ej intraffa samtidigtA och B disjunkta



Exempel (kasta en tarning rep, forts)

I A : ”Minst 4:a” = {4:a, 5:a, 6:a}I B : ”Hogst 5:a” = {1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a}I C : ”3:a” = {3:a}

Nagra exempel pa snitt och union

I A ∩ B = {4:a, 5:a}I A ∪ B = Ω

I B ∩ C = C = {3:a}I A ∩ C = {} = ∅. Kan inte intraffa, eftersom A och C ar

oforenliga.



Sannolikhet

Sannolikheten att en handelse A skall intraffa bet. P(A)En sannolikhet maste uppfylla foljande,Kolmogorovs axiomsystem:• 0 ≤ P(A) ≤ 1 En sannolikhet ar ett tal mellan 0 och 1

• P(Ω) = 1 Sannolikheten att nagot skall handa ar 1

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Om och endast om A och B ar oforenliga

Harur foljer aven t.ex.

Komplementsatsen P(A∗) = 1− P(A).Om det ar slh 1/100 att vinna pa ett lotteri ar slh99/100 att inte vinna.

Additionssatsen P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)



Frekvenstolkning av sannolikhet

Upprepa ett slumpmassigt forsok n ganger

Antal ggr A intraffar

n→ P(A), n→∞

Ex Kasta tre tarningar 100 000 ggr och rakna ut relativafrekvensen treor i varje kast for var och en av tarningarna

100

101

102

103

104

105

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Relativa frekvensen av antal treor

Antal tärningskast

Rel

ativ

frek

vens

1/6?



Den klassiska sannolikhetsdefinitionen

Om ett forsok kan utfalla pa m mojliga satt som alla ar likasannolika (har vi en likformig sannolikhetsfordelning) och enhandelse A intraffar vid g st av dessa galler

P(A) =g

m

Ex Dra ett kort ur en kortlek. Vad ar sannolikheten att det arett hjarter?Lsg Det finns m = 52 kort varav g = 13 ar hjarter saP(♥) = 13/52 = 1/4Ex Dra tva. Vad ar sannolikheten att bada ar hjarter?Lsg Med lite kombinatorik blir det lite mer komplicerat

P(bada ♥) =Antal satt att valja tva ♥

Antal satt att valja tva kort=

(132

)(522

) =78

1326=

1

17


Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Bayes Oberoende Flera handelser

Betingad sannolikhet

Ex. For en tarning har vi P(Etta) = 1/6, men om vi vet attutfallet ar udda far vi P(Etta om udda utfall) = 1/3.Def. Den betingade sannolikheten att A skall intraffa om vi vetatt B intraffat bet. P(A | B) och definieras som

P(A | B) =P(A ∩ B)

P(B)

Ur detta (och P(B | A)) far vi tva rakneregler for P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = P(A | B)P(B) = P(B | A)P(A)

Ex (igen) Dra tva kort.Vad ar sannolikheten att bada ar hjarter?



Betingad risk



Satsen om total sannolikhet

Om vi har n st handelser H1, . . . ,Hn som ar

I Parvis oforenliga, dvs Hi ∩Hj = ∅, i 6= j

I Tillsammans tacker utfallsrummet, dvs

n⋃i=1

Hi = Ω

galler for varje handelse A

P(A) =

n∑i=1

P(A | Hi)P(Hi)

samt ”Konsten att vanda en betingad sannolikhet” eller Bayessats

P(Hi | A) =P(Hi ∩A)

P(A)=

P(A | Hi)P(Hi)

P(A)



Oberoende handelser

Om det visar sig att P(A | B) = P(A), paverkas inte A av att Bintraffat eller ej, de ar oberoende. Detta kan med definitionenav betingad sannolikhet skrivas om som P(A ∩ B) = P(A)P(B).Def. Handelserna A och B ar oberoende av varandra

⇐⇒P(A ∩ B) = P(A)P(B)

Obs. Skilj mellan oberoende och oforenliga.

Kan tva oberoende handelser vara oforenliga?



Exempel: Oberoende

Kasta tva tarningar och lat

A = Forsta tarningen visar sexa

B = Summan ar sju

C = Summan ar atta

Vilka av A,B, A,C och B,C ar oberoende av varandra?

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

Tärning 1

Tär

ning

2

ABC



Alla, ingen och nagon

Om vi har n st oberoende handelser A1, . . . ,An kan vi rakna utsannolikheten att

I alla intraffar

P(A1 ∩ · · · ∩An) = P(A1) · . . . · P(An)

I ingen intraffar, dvs alla intraffar inte

P(A∗1 ∩ · · · ∩A∗

n) = P(A∗1) · . . . · P(A∗

n) =

= [1− P(A1)] · . . . · [1− P(An)]

I nagon intraffar, dvs minst en, eller ”inte ingen”

P(A1 ∪ · · · ∪An) = 1− P(A∗1 ∩ · · · ∩A∗

n) =

= 1− [1− P(A1)] · . . . · [1− P(An)]



Ozon i Dobson enheter

Tillbaka



Vaghojd

Tillbaka



OMXS30 aktieindex

Tillbaka

1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009

200

400

600

800

1000

1200

1400

OMXS30



Kostnad stormskador

Tillbaka



EKG och R-R variation

Tillbaka



Detektion av sprangamne

Tillbaka


Föreläsning 1, Matematisk statistik +E · 2014. 11. 4. · I 5 obligatoriska dator ovningar (2 i...

Documents

Transcript of Föreläsning 1, Matematisk statistik +E · 2014. 11. 4. · I 5 obligatoriska dator ovningar (2 i...