Popis formula iz Elektrotehnike

ISTOSMJERNA ANALIZA

1. Kirchhoffov zakon (strujni) - algebarski zbroj svih struja u jednom čvorištu električne mreže jednak

je nuli. 01

=∑=

n

kkI , n-ukupan broj strujnih grana povezanih čvorištem.

2. Kirchhoffov zakon (naponski) - algebarski zbroj svih napona duž zatvorene petlje u električnoj mreži

jednak je nuli. 01

=∑=

n

kkV , n-ukupan broj padova napona u zatvorenoj petlji

Ohmov zakon:

RVI = [A] , I-struja [A], V-napon [V], R- otpor [Ω]

Unutrašnji otpor vodiča:

Al

Ruρ

= [Ω]

ρ-specifični otpor materijala vodiča [Ωmm2/m], l-duljina vodiča [m], A-površina presjeka vodiča [mm2] Gustoća struje:

AIJ = [A/m2] , A-poprečni presjek vodiča [m2], I-struja koja protječe kroz poprečni presjek [A]

Jakost električnog polja u vodiču:

lVE = [V/m] , V-napon na krajevima vodiča [V], l-duljina vodiča

PRIJELAZNE POJAVE

Struja nabijanja kondenzatora:

( ) ( )td

tvdCti c

c = [A] , C-kapacitet kondenzatora [F], vc- napon na kondenzatoru [V], t-vrijeme [s]

Pad napona na zavojnici:

( ) ( )tdtid

Ltv LL = [V] , iL-struja kroz zavojnicu [A], L-induktivitet zavojnice [H]

RC mreža

Pražnjenje kondenzatora preko otpornika:

( ) τt

Mc eVtv−

⋅= , vc- napon na kond. [V], VM-početni napon na kond.[V], t-vrijeme [s]

CRτ ⋅= , τ-vremenska konstanta, R-vrijednost otpora [Ω], C-kapacitet kondenzatora [F] Punjenje kondenzatora preko otpornika (uvjet: kondenzator je inicijalno prazan tj. vc(0)=0):

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅−=−τt

Sc eVtv 1 , vc- napon na kond. [V], VS-napon izvora [V], t-vrijeme [s]

RL mreža

Pretvaranje magnetske energije zavojnice u induciranu struju koja prolazi kroz otpornik:

( ) τt

ML eIti−

⋅= , iL- struja na zavojnici [A], IM-početna struja kroz zavojnicu [A], t-vrijeme [s]

RLτ = , τ-vremenska konstanta, R-vrijednost otpora [Ω], L-induktivitet zavojnice [H]

Protok struje iz izvora kroz zavojnicu i preko otpornika (uz iL(t=0)=0):

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅−=−τt

ML eIti 1 , iL- struja na zavojnici [A], IM-početna struja kroz zavojnicu [A], t-vrijeme [s]

RV

I sM = , VS-napon izvora [V]

Tablica Laplace-ovih transformacija

f(t) F(s) 1 1 s

1

2 t 21s

3 tn1

!+ns

n

4 e-atas +

1

5 te-at2)(

1as +

6 sin(ωt) 22 ω

ω

+s

7 cos(ωt) 22 ω+ss

8 eatsin(ωt) 22)( ω

ω

++ as

9 eatcos(ωt) 22)( ω++

+

asas

10 dt

tdf )( )0()( +− fssF

11 2

2 )(

dt

tfd dt

dfsfsFs )0()0()(2 −−

12 ∫t

dttf0

)( ssF )(

13 )( τ−tf )(sFe sτ−

Prijenosna funkcija

( ) ( )( ) ( )sX

P.U.sXsYsH += ili ( )

011

1011

1

011

1

.....

...

...

asasasaUP

asasasa

bsbsbsbsH

nn

nn

nn

nn

mm

mm

+++++

++++

++++=

−−

−−

−−

gdje su: H(s)-prijenosna funkcija, s-kompleksni broj, Y(s)-izlazna (tražena veličina), X(s)-ulazna (poremećajna) veličina, m-stupanj polinoma u brojniku (numerator), n-stupanj polinoma u nazivniku (denominator), P.U. - početni uvjeti traženih veličina

Varijable prostora stanja ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ttt

tttDuCxyBuAxx

+=+=

gdje su: -vektor derivacija varijabli prostora stanja, x(t)-vektor varijabli pr.st., u(t)-vektor ulaza sustava, y(t)-vektor izlaza sustava, t-vrijeme, A,B,C,D-matrice konstanti sustava.

( )tx

IZMJENIČNA ANALIZA

Efektivna vrijednost napona (rms-root mean square):

∫=T

rms dttvT

V0

2 )(1 , za )cos()( Vm tVtv ϑω += ⇒ 2m

rmsV

V = [V]

gdje su: Vrms-efektivna vrijednost napona, v(t)-trenutna vr., Vm-maksimalna vr., θV-fazni pomak napona Efektivna vrijednost struje:

∫=T

rms dttiT

I0

2 )(1 , za )cos()( Im tIti ϑω += ⇒ 2m

rmsI

I = [A]

gdje su: Irms-efektivna vrijednost struje, i(t)-trenutna vr., Im-maksimalna vr., θI-fazni pomak struje Srednja snaga:

∫=T

dttitvT

P0

)()(1 ,

za )cos()( Vm tVtv ϑω += , )cos()( Im tIti ϑω += je )cos()cos( ϕϑϑ rmsrmsIVrmsrms IVIVP =−= [W] Snaga na otporniku:

RIR

VIVP rmsR

rmsRrmsRrmsRR

22

=== [W]

Trokut snage:

rmsrms IVQPS =+= 22 [VA] Reaktivna (jalova) snaga:

)sin()sin( ϕϑϑ rmsrmsIVrmsrms IVIVQ =−= [VAr]

Ukupna (kompleksna) snaga:

jQPS += ili [ ])sin()cos( IVIVrmsrms jIVS ϑϑϑϑ −⋅+−= Faktor snage:

rmsrmsIV IV

P=− )cos( ϑϑ ili ))(cos(arctan)cos(

PQ

IV =−ϑϑ

FIZIKA POLUVODIČA

Intrinsični poluvodiči

Koncentracija elektrona (ili šupljina) u intrinstičnom poluvodiču: ( )[ ]kTgE

i eATn −= 5.1 [elektrona/cm3 ]

T-apsolutna temperatura [K], Eg- širina zabranjenog procijepa (Eg=1.21 [eV] za Si pri 0[K], Eg=1.1 [eV] za Si pri 300[K]), k-Boltzmann-ova konstanta (k=1.38⋅10-23 [J/K] ili 8.62⋅10-5 [eV/K]), A-konstanta:

( )43

0

*

0

*43

0322

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

m

m

mm

kmh

A pnπ , h-Planck-ova konstanta (h=6.62⋅10-34 [Js] ili 4.14⋅10-15 [eV]),

m0- masa elektrona u mirovanju, mn*-efektivna masa elektrona u materijalu, mp

*-efektivna masa šupljina u materijalu Vodljivost intrinsičnog poluvodiča:

( )pinii pnq µµσ += [S/cm] q-električni naboj (1.6⋅10-19 [C]), pi-koncentracija šupljina [elektrona/cm3 ] , µn-pokretljivost elektrona [cm2/(Vs) ], µp-pokretljivost šupljina [cm2/(Vs) ]

Ekstrinsični poluvodiči Zakon o akciji mase: p⋅n=ni

2 , p-koncentracija šupljina , n-koncentracija elektrona Uvjet nabojske neutralnosti: p+ND=n+NA , ND- koncentracija donora [cm-3], NA- koncentracija akceptora [cm-3] Fermijeva razina:

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+=

*

*ln

34

21

p

nVCF

m

mkTEEE [eV ili J]

EC - energija vodljivog pojasa [eV ili J], EV - energija valentnog pojasa [eV ili J] EF =Ei ≈ 0.5(EC+EV) [eV ili J] , Ei- intrinsična Fermijeva razina Ukupna gustoća elektrona u n-tipu poluvodiča:

( ) ( )[ ]kTiEFEienn −= [cm-3]

Ukupna gustoća šupljina u p-tipu poluvodiča:

( ) ( )[ ]kTFEiEienp −= [cm-3]

Ukupna gustoća drift struje u ekstrinsičnom poluvodiču:

( )EpnqJ pn µµ += [A/cm2] ,E- električno polje [V/cm] Gustoća struje uslijed difuzije šupljina u x-smjeru:

dxdp

qDJ pp −= [A/cm2] ,Dp-difuzijska konstanta šupljina [cm2/s] (Dp=13 [cm2/s], za silicij)

Gustoća struje uslijed difuzije elektrona u x-smjeru:

dxdnqDJ nn = [A/cm2] ,Dn-difuzijska konstanta elektrona [cm2/s] (Dn=200 [cm2/s], za silicij)

Einstein-ova relacija za povezanost difuzijske konstante i konstante pokretljivosti:

qkTDD

p

p

n

n ==µµ

PN-spoj: kontaktni potencijal, struja spoja

Kontaktni potencijal:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

p

p

nC p

p

qkT

nn

qkTV lnln [V]

pp-koncentracija šupljina u p-tipu [cm-3], pn-koncentracija šupljina u n-tipu [cm-3], np-koncentracija elektrona u p-tipu [cm-3], nn-koncentracija elektrona u n-tipu [cm-3]

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

2ln

i

DAC

n

NNq

kTV [V] , ND- koncentracija donora [cm-3], NA- koncentracija akceptora [cm-3]

Struja pn-spoja:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

1kTsqV

s eII [A] ,Vs-priključeni napon na pn-spoju [V], q-naboj elektrona [C], T-apsolutna

temperatura [K], k-Boltzman-ova konstanta [eV/K], Is-reverzna struja zasićenja [A] Reverzna struja zasićenja pn-spoja:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

n

pn

p

nps L

nD

L

pDqAI [A] , A-prijelazno područje diode [cm2], Lp ,Ln-difuzijske dužine šupljina i

elektrona [cm], pn ,np- ravnotežne koncentracije manjinskih nosilaca [cm-3], Dp ,Dn-difuzijski koeficijenti šupljina i elektrona [cm2/s]

ppp DL τ= , nnn DL τ= [cm]

τp ,τn - vrijeme života manjinskih nositelja šupljina i manjinskih nositelja elektrona [s]

DIODA

Karakteristika diode

Odnos struje i napona diode u propusnom i nepropusnom području:

( )( )[ ]1−= TnVvs eIi [A] , v-pad napona na diodi [V], n-empirička konstanta između 1 i 2, Is-reverzna

struja zasićenja [A] , VT-termički napon [V]: Termički napon (na sobnoj temperaturi 25°C je VT=25.7 [mV]):

qkTVT = [V] ,q-naboj elektrona (1.6⋅10-19 [C]), T-apsolutna temperatura [K], k-Boltzman-ova

konstanta (1.38⋅10-23 [J/K]) Dinamički otpor diode u propusno polariziranom području:

D

T

DVvd I

nVdidvr ==

= [Ω] , napon VD [V] i struja ID [A] u nekoj radnoj točki

Reverzna struja zasićenja kao funkcija temperature:

( ) ( ) ([ 1212ttsk

ss etItI −= )] [A] ,ks-0.072 [/°C], t2 ,t1- dvije različite temperature [°C]

TRANZISTOR Bipolarni tranzistor

Ebers-Moll-ov model tranzistora:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−= 1TV

BEV

ESF eII [A], ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−= 1TV

BCV

CSR eII [A], RFFC III −= α [A], FRRE III −=α [A],

( ) ( ) RRFFB III αα −+−= 11 [A], SESFCSR III ==αα [A], AJI SS = [A], B

inS Q

nqDJ

2= [A/cm2]

IF-unaprijedna struja u modelu, IR-reverzna struja u modelu, IES , ICS - struje zasićenja od baze-emiter odnosno baze-kolektor, αR ,αF-reverzno i unaprijedno pojačanje spoju zajedničke baze, IS-struja zasićenja, A- površina emitera, JS-gustoća struje zasićenja, Dn-srednja efektivna difuzijska konstanta elektrona, ni-intrinsična koncentracija elektrona, QB-broj atoma dopiranih u bazu po jediničnoj površini, VT-termički napon, VBE- napon baza-emiter, VBC- napon baza-kolektor, IC-kolektorska struja, IE-struja emitera, IB- struja baze Unaprijedno aktivno područje:

TVBEV

SC eII = [A] , TVBEV

F

SE e

II

α−

= [A] , ( )ECB III +−= [A] ,

TVBEV

F

SB e

II

β= [A] ,

F

FF α

αβ

−=

1 , BFC II β= [A] , βF-strujno pojačanje u spoju zajedničkog emitera

R

RR α

αβ

−=

1 βR-reverzno strujno pojačanje u spoju zajedničkog emitera

Reverzno aktivno područje:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

T

BCSE V

VII [A] , TV

BCV

R

SB e

II

β= [A] , BRE II β= [A]

MOSFET

Triodno područje:

( )[ ]22 DSDSTGSnD VVVVkI −−= [A] , L

WCL

Wt

k oxn

ox

oxnn 22

µεεµ== [A/V2]

µn-površinska pokretljivost elektrona [cm2/(Vs)], ε-dielektrična konstanta vakuuma (8.85⋅10-14 [F/cm]), εox-relativna dielektrična konstanta SiO2 , tox-debljina oksida [cm], L,W-duljina i širina kanala, VT-napon okidanja [V]

RAČUNSKO POJAČALO Izlazni napon idealnog pojačala:

( 120 VVAV −= ) [V] , V0-izlazni napon iz pojačala [V], (V2-V1)-razlika napona na ulazu pojačala [V], A-pojačanje pojačala

Invertirajuća konfiguracija

Računsko pojačalo u invertirajućoj zatvorenoj petlji:

1

20ZZ

VV

IN−= , VIN-naponski ulaz [V], Z1-impedancija na ulazu [Ω], Z2-impedancija u povratnoj vezi [Ω]

11

ZI

VZ IN

IN == [Ω]

Integrator:

CRjZZ

VV

IN ω1

1

20 −=−= , R-otpor otpornika [Ω], C-kapacitet kondenzatora [F], ω-kružna frekvencija [rad/s]

( ) ( ) ( )010

00 VdttV

RCtV

t

IN +−= ∫ [V] , V0(0)-izlazni napon u trenutku t=0

Derivator:

CRjZZ

VV

INω−=−=

1

20 , ( ) ( )dt

tdVCRtV IN−=0

Težinsko zbrajalo (sumator):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−= n

n

FFF VRR

VRR

VRR

V ...22

11

0 [V]

RF-otpor u povratnoj vezi [Ω], R1,…,Rn-otpori na ulazu [Ω]

Neinvertirajuća konfiguracija

Računsko pojačalo u neinvertirajućoj zatvorenoj petlji:

1

20 1ZZ

VV

IN+=

MAGNETIZAM

Magnetske veličine

Gustoća magnetskog toka (magnetska indukcija):

AB Φ= [T] , Φ-magnetski tok [Wb], A-površina okomita na smjer magnetskog toka [m2]

Zakon protjecanja (Amperov zakon):

∑∫ = IdlHl

, H-jakost magnetskog polja [A/m], I-jakost struje [A]

Jakost magnetskog polja izvan ravnog vodiča:

rIHπ2

= [A/m] , r-polumjer udaljenosti silnica od ruba vodiča

Jakost magnetskog polja unutar ravnog vodiča:

202 R

rIH

π

⋅= [A/m] , R0-vanjski polumjer vodiča [m], r-proizvoljni polumjer unutar vodiča [m]

Gustoća magnetskog toka:

HHB r 0µµµ == [T] , µ-permeabilnost materijala [Vs/(Am)], µr-relativna permeabilnost, µ0-permeabilnost vakuuma ( [Vs/(Am)]) 7

0 104 −= πµ

Magnetski krug Magnetski tok:

∑∑===

mRMMS

Al

INAB

µ

Φ1

[Wb]

N-broj zavoja uzbudne zavojnice, I-jakost struje kroz uzbudnu zavojnicu [A], l-ukupna duljina srednjeg opsega magnetskih silnica [m], A-poprečni presjek feromagnetske jezgre [m2], MMS-magnetomotorna sila (MMS=N⋅I), Rm-magnetski otpor ili reluktancija (Rm=l/(µA)).

Magnetsko polje Sila na naboj:

( ) ( )αsinQvBQ =×= BvF [N] Sila na vodič kojim teče struja (vodič postavljen okomito na magnetske silnice):

lIBF = [N] Sila između dva ravna vodiča kroz koje teče struja:

dlII

Fπ

µ2

2101 = [N] , I1-jakost struje kroz vodič 1 [A], I2-jakost struje kroz vodič 2 [A], d-udaljenost između

vodiča [m], l-duljina vodiča [m], µ0-permeabilnost vakuuma [Vs/(Am)]

Elektromagnetska indukcija

Inducirani napon u vodiču: ( )Bvle ×= [V] , l-duljina vodiča [m], v-brzina gibanja vodiča okomito na magnetsko polje [m/s]

Faraday-ev zakon (elektromagnetske indukcije):

dtde Φ

−= [V] , e-inducirani napon u vodiču [V]

Induciranje harmoničkog napona:

( ) ( )tEtNBAe M ωωω sinsin == [V] N-broj zavoja žice, B-magnetska indukcija [T], A-površina koju omeđuju zavoji žice [m2], ω-kutna brzina zavoja žice u magnetskom polju [rad/s], EM-amplituda induciranog napona [V]

Tf ππω 22 == [rad/s]

ω- kutna brzina zavoja žice u magnetskom polju [rad/s], f-frekvencija [Hz], T-period [s] Samoindukcija:

dtdiLes −= [V] , es-inducirani napon samoindukcije [V], L-induktivitet zavojnice [H], i-struja [A]

lANL

2µ= [H]

A-površina presjeka prostora omeđenog zavojima žice (presjek prstenaste feromagnetske jezgre) [m2] l-duljina srednjeg opsega silnica magnetskog toka (srednji opseg prstenaste feromagnetske jezgre) [m] Međuindukcija:

dtdi

Mdtdi

lANN

e 11212 −=−=

µ [V]

e2-inducirani napon u zavojnici 2 [V], M-međuinduktivitet [H] , N1 , N2-broj zavoja prve odnosno druge zavojnice, i1-jakost struje u zavojnici 1 [A], A-površina presjeka jezgre [m2], l-duljina srednjeg opsega silnica magnetskog toka [m]

21LLkM = [H] , M-međuinduktivitet [H], k-faktor magnetskog vezanja, L-induktivitet zavojnice 1 [H], L-induktivitet zavojnice 2 [H] Veza induciranih napona primara i sekundara (transformator):

2

1

2

1NN

ee

=

Energija magnetskog polja

2

2iLW = [J]

ELEKTRIČNI STROJEVI

Osnove električnih strojeva

Stupanj iskoristivosti realnog stroja:

2

1

PP

=η , P1-dobivena snaga [W], P2-dovedena snaga [W]

Prazni hod: FePP ≅= 0,0η [W] , P0-snaga praznog hoda [W], PFe-snaga koja se troši uslijed gubitaka u željezu [W]

Kratki spoj:

RIPP kCuk2,0 =≅=η [W] , Pk-snaga kratkog spoja [W], PCu-snaga koja se troši uslijed gubitaka u bakru

[W], Ik-struja kratkog spoja, R-otpor namota [Ω]

Sinkroni strojevi Brzina vrtnje sinkronog stroja:

pfns = [s-1] , f-frekvencija [Hz], p-broj pari polova

Frekvencija induciranog napona sinkronog generatora:

60pn

f⋅

= [Hz] , n-brzina vrtnje rotora [min-1]

Ukupni inducirani napon jedne faze sinkronog generatora:

NfE ⋅⋅⋅= Φ44.4 [V] Moment sinkronog stroja s neizraženim polovima:

( )βsinprMM −= [Nm] , Mpr-prekretni moment [Nm], β-kut između tokova polova i rezultantnog toka

Asinkroni strojevi

Inducirana struja u rotoru asinkronog motora:

22

22

2

2

22

XR

EZE

I+

== [A] , E2-inducirani napon namota rotora [V], Z2-impedancija rotorskog namota [Ω],

R2-omski otpor rotorskog namota [Ω], X2-induktivni otpor rotorskog namota [Ω] Okretni moment rotora asinkronog motora:

( 22 cos )ϕΦ ⋅⋅⋅= IKM [Nm] , K-konstanta, cos(ϕ2)-faktor snage Klizanje asinkronog motora:

s

sn

nns

−= , ns-brzina vrtnje okretnog magnetskog polja [min-1], n-brzina vrtnje rotora [min-1]

( ) ( spfsnn s −=−= 1601 ) [min-1] , f-frekvencija [Hz], p-broj pari polova, s-klizanje

sff ⋅= 12 [Hz] , f1 ,f2 -frekvencija statorske odnosno rotorske struje [Hz]

Snaga, moment i brzina vrtnje asinkronog motora:

s

okrm PPM

ωω== [Nm] , Pm-snaga motora [W] , Pokr-snaga okretnog magnetskog polja [W], ω-kutna brzina

rotora [rad/s], ωs-kutna brzina okretnog magnetskog polja [rad/s] Pokretanje kaveznih motora preklopkom zvijezda-trokut:

3∆

ΥU

U = [V] , -napon pojedine faze u spoju zvijezda [V], -napon pojedine faze u spoju trokut [V] ΥU ∆U

3∆

Υk

kI

I = [A] , -struja kratkog spoja pojedine faze u spoju zvijezda [A], -struja kratkog spoja

pojedine faze u spoju trokut [A] ΥkI ∆kI

3∆

Υp

pM

M = [Nm] , -potezni moment pojedine faze u spoju zvijezda [Nm], -potezni moment

pojedine faze u spoju trokut [Nm] ΥpM ∆pM

Strojevi istosmjerne struje Iznos induciranog napona istosmjernog stroja:

nKE E ⋅⋅= Φ [V] Generatorski rad-opterećenje istosmjernog stroja:

čAA URIEU ∆−−= [V] , U-iznos napona na stezaljkama [V], IA-struja kroz armaturni namot rotora [A], ∆Uč-pad napona na četkicama [V] Motorski rad-opterećenje istosmjernog stroja:

čAA URIEU ∆++= [V] Ukupni moment istosmjernog stroja:

AM IKM ⋅⋅= Φ [Nm] Motori istosmjerne struje:

AM IKM ⋅⋅= Φ [Nm], AARIEU += [V], nKE E ⋅⋅= Φ [V] Nezavisno uzbuđen motor (zalet):

kMpA

k IKMRUIEn ⋅⋅=→=→=→= Φ00

Magnetski tok serijskog motora:

IK ⋅= ΦΦ [Wb] , I-struja tereta [A] Moment serijskog motora:

2IKKM M ⋅⋅= Φ [Nm] Brzina vrtnje serijskog motora:

( ) 'KIK

KKRR

IKKU

KRRIU

KEn

E

MA

EE

MAA

E−=

⋅+

−⋅⋅

=⋅+−

=⋅

=ΦΦΦΦ

[min-1]

'K

MKUn −= [min-1]