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Institut National AgronomiqueInstitut National AgronomiqueDDéépartement du Gpartement du Géénie Ruralnie RuralSection Hydraulique AgricoleSection Hydraulique Agricole

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tWQ

Débit d’écoulement Q ?

Volume W

Temps t

m3

ssm /3

Courant liquide de densité ρ

Section d’écoulement A

Vitesse d’écoulement VAVQ

QAVQm

x2m sm

3mKg x s

m 3 sKg /

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Ecoulement d’eau

Liquide Coloré

crVV crVV crVV

Avec : Avec : VVcrcr = Vitesse d= Vitesse d’é’écoulement critiquecoulement critique

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- Q : Débit d’écoulement (m3/s)- A : Section d’écoulement (m2)

VDRe

-V : Vitesse d’écoulement (m/s )- D : Diamètre de la section d’écoulement ( m )- ν : Viscosité cinématique du fluide ( m2/s )

12

1

smxmms -Re adimensionnel !

VDRe

VDRe AQV

AQDRe

- ρ : Densité massique du fluide (Kg/m3)- µ : Viscosité dynamique du fluide (Kg/m.s)

Section des conduites : Circulaire !

4

2DA

D

QRe4

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11 V ; ASection Vitesse

22 V ; ASection Vitesse

Q écoulementd' Débit

L’équation de continuité exprime le fait que le débit reste constant d’uneSection à une autre ( Ecoulement permanent ) :

steCVAVAQ 2211

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Plan de Référence

Charge totale

2Z1Z1

2

gP

2 gP

1

gV2

22

gV2

21

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L’équation de Bernoulli exprime que , tout le long d’un filet liquide en mouvement permanent , l’énergie totale du courant liquide reste constante .D’après le schéma , on peut donc écrire l’égalité suivante pour les 2 sections :

steCHg

Vg

PZg

Vg

PZ 22

222

2

211

1 Cette équation s’écrit donc dans le cas général :

steCHg

Vg

PZ 2

2

Equation de Bernoulli pour une fluide parfait

Avec : Z

gP

gV2

2

) L (position deHauteur

) L ( quepiézomètriHauteur

) L ( cinétiqueHauteur

gV

gPZ

2

2

) L ( taleHauteur to

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Section

Débit

Pression

Vitesse

Conclusion : PVA

PVA

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Plan de Référence

Charge totale

2Z1Z1

2

gP

2

gP

1gV2

22

gV2

2112h

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Contrairement au fluide parfait non visqueux , la charge totale pour un fluide réel visqueux diminue dans la direction de l’écoulement . Ceci est du à la nature visqueuse du fluide qui dissipe une partie de l’énergie: cette perte d’énergie est appelée ‘’Perte de charge ‘’ et notée hw .

L’équation de Bernoulli , pour un liquide réel , devient donc ( voir schéma ) :

12

222

2

211

1 22 whg

vg

PZg

vg

PZ

hw12 : Perte de charge totale entre les sections 1 et 2 .

sr hhh

sh rh Perte de charge primaire ou répartie

Perte de charge secondaire , locale ou singulière

Equation de Bernoulli pour une fluide réel

Avec :

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Causes écoulementd'section la de fluidedu

RugositéViscosité

● Les Pertes de charge réparties :

● Notion de Rugosité des Conduites

Contrairement à une surface lisse , une surface rugueuse implique un état de surface dont les irrégularités ont une action directe sur les forces de frottements .Une surface rugueuse peut être considérée comme étant constituée par une

série de protubérances élémentaires caractérisées par une hauteur , notées k , et appelées ‘’ Rugosité ‘’ :

kDk

Rugosités

Conduite

Afin de comparer la rugosité par rapport au diamètre de la conduite , on utilise le rapport :

Dk

Rugosité relative

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La perte de charge répartie se calcule par la formule de Darcy – Weisbach :

gV

DLhr 2

2

frottement det Coefficien λ ) m ( conduite la deLongueur

L

Plusieurs formules sont proposées pour le calcul de λ . Ces formules dépendent dutype de régime d’écoulement donc du nombre de Reynolds Re :

1.- En cas de régime laminaire : Re < 2000 :eR

64

2.- En cas de régime transitoire et turbulent : Re > 2000 :

Dans ce cas , plusieurs formules sont proposées dont les plus utilisées sont celle deColebrook - White et celle de Blasisus .

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♦ Formule de Colebrook – White :

eRDkLog 51,2

71,321

- Si λ = f ( k/D ) : Régime hydrauliquement rugueux :

kDLog

DkLog 71,32

71,321

- Si λ = f ( Re ) : Régime hydrauliquement lisse :

51,2251,221

e

e

RLogR

Log

On voit que λ dépend de la rugosité k et du nombre de Reynolds Re

♦ Formule de Blasius : 25,0316,0

eR

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DIAGRAMME DE MOODY

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- Autre formule de calcul de hr : Formule de Chézy :La formule de chézy est obtenue par transformation de la formule de Darzy-Weisbach :

LKQhr 2

2

Avec : K = Module de débit = f ( k , D ) [ L/s ou m3/s ]

Remarque : Pour calcul de la perte de charge totale hw , on peut tenir compte des pertes de charge singulières en ajoutant 10 % de l’expression précédente

rrrsr hhhhhh 1,11,0

Et donc : LKQh 2

2

1,1

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écoulementd'section la de physique nature la de brusqueon Modificati

Causes

conduite une dans vannede Présence

● Les Pertes de charge singulières :

... Etc

écoulementd'section la de brusquement Rétrecisse

) coude ( écoulementd'direction la de Changement écoulementd'section la de brusqueent Elargissem

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L’expression générale de la perte de charge singulière s’écrit :

gVh ss 2

2

Avec : ξs = Coefficient qui dépend de la nature de la déformation

1.- Elargissement brusque de la section :

d1 d2

2

22

21

2

2

1 11

dd

AA

eb

gV

dd

heb 21

21

2

22

21

4 ;

4

22

2

21

1dAdA

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- Cas particulier d’une sortie vers un réservoir :

1ors

Dans ce cas , la section A2 devient trop grande par rapport à A1 et le rapportA1/A2 tend vers zéro , ce qui donne :

gV

gVh sorors 22

22

RESERVOIR

V

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1.- Rétrécissement brusque de la section :

d1 d2

gV

h rbrb 2

22

0,140,240,41ξrb

0,70,50,1A1/A2avec

- Cas particulier d’une entrée à partir d’un réservoir :

RESERVOIRV g

Vh enen 2

2

avec 50,en

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Applications Particulières de l’Equation de Bernoulli

1.- Cas d’un Ecoulement à travers un Orifice : Formule de Torricelli

2

2

1 1

H

V

orifice

O O’Application de l’équation de Bernoulli entre les sections 1-1 et 2-2 par rapportà l’axe de référence O-O’ :

- Section 1-1 :* Z1 = H* P1 = Patm* V1 = 0

- Section 2-2 :* Z2 = 0* P2 = Patm* V2 = V

watmatm h

gV

gP

gP

H 2

002

Si nous négligeons les pertes de charge : hw = 0 :

gVH2

2

et donc : gHV 2 Formule de Torricelli

Problème : Déterminer le débit Q passantà travers l’orifice

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Si nous passons au débit d’écoulement à travers l’orifice :

VAQ ' avec A’ = Section contractée de l’ écoulement

gHAQ 2'

m = Coefficient de contraction de l’écoulement

gHmAgHAQ 22'

En posant mAA ' AAm '

avec

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Cas d’un Ecoulement à travers un tube de Venturi

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12

H

Référence

gP

1 gP

2

1V

2V

z1 z2

Q

Section rétrécie

Le débitmètre de Venturi est un appareil qui utilise l’équation de Bernoulli pour mesurer le débit Q dans les conduites , et ce à l’aide d’une simple mesure des pressions P1 et P2 .

whg

Vg

PZg

Vg

PZ 22

222

2

211

1

Problème : Calculer Q

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Si nous négligeons les pertes de charge : hw = 0 :

HZg

Pg

PZZg

Vg

V

21

21

21

22

22

Comme l’équation de continuité nous permet d’écrire que :

21

212211 V

AAVVAVA

Et donc : HZAA

gVHZ

gV

AA

gV

2

1

22

22

2

2

1

22

2 1222

ZHg

AA

V

2

1

12

1

2

2

Et comme 22VAQ ZHg

AA

AQ

2

12

1

2

2

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Remarque

Dans la plupart des cas , le débitmètre de Venturi est placé horizontalement ce qui fait que Z1 = Z2 et donc : ∆Z = 0 et la formule précédente se simplifie :

Hg

AA

AQ

2

12

1

2

2

et si on introduisait les diamètres d1 et d2 des 2 sections : 4

2dA

Hg

dd

dQ

2

144

1

2

22

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Section d’écoulementAVQ

4

2dA VdQ

4

2

d

sm /3

VdRe

AQV

dQRe

4

dQRe

4

2000eR

40002000 eR

4000eR

Vitesse d’écoulement

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d1d2QQ

4

21

1dA

4

22

2dA

1

21

11 4VdVAQ

2

22

22 4VdVAQ

steCVAVAQ 2211

21

22

1

2

2

1

dd

AA

VV

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Section 1

Choisir : - 2 sections d’écoulement- - Un axe de référence

1

1

1

VPZ

Section 2

2

2

2

VPZ 12

222

2

211

1 22 whg

Vg

PZg

Vg

PZ

Perte de charge totalePerte de charge répartie Perte de charge singulière

gVh ss 2

2

g

VdLhr 2

2

Transformation

LKQhr 2

2

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eRDkLog 51,2

71,321

gV

dLhr 2

2

Coefficient de frottement

Régime laminaire : Re < 2000 :eR

64

Régime transitoire et turbulent : Re > 2000 :

Régime turbulent lisse : λ =f( Re ) :

kDLog 71,321

51,221

eRLog

Régime turbulent rugueux : λ =f( k ) :

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gVh ss 2

2

Coefficient de perte de charge singulière

gV

ddheb 2

12

1

2

22

21

Elargissement brusque d1

d2V1

Sortie vers un réservoir

gV

hsor 2

2

d2d1 V1Rétrécissement brusque

eb

gVh rbrb 2

21

0,140,7

0,240,5

0,410,1

ξrbA1/A2

Entrée à partir d’un réservoir

VRéservoir

V Réservoir

gV

hen 25,0

2

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Pertes de charge hwconnues

Calcul de la vitesse Vd’écoulement

Calcul du débit Qd’écoulement

gV

DL

2

2

AVQ

Section A et débit Qd’écoulement connus

Donc vitesse V d’écoulementconnue

AQV

Calcul de la pertede charge hw

gV

DL

2

2

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Q

RéférenceO O’

sm /10 x 1,13 2-6

ÉÉcriture de lcriture de l’é’équation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 par rapport quation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 par rapport àà OOOO’’ ::

h

gV

gPZ

gV

gPZ

22

222

2

211

1

Calcul : - Vitesse V- Débit Q

Z1=850m

Z2=700m

Section 1

Section 2

L=10 kms ; d=300 mm ; k=0,03 mm

P1=P2=Patm

V1=V2 (même diamètre)

21 ZZh

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hZZ 21

gV

dLhh r 2

2

212121 ZZg

dL

gh

dL

V

eRdkLog 51,271,3

21

Résolution par la Méthode des approximations successives

Fonction implicite

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eRdkLog 51,271,3

21

Choix initiale

1

1er calcul

2

2ème calcul

33ème calcul

Les 2 valeurs de λdeviennent EGALES

ou très proches

… Calculs arrêtés …

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Application numérique :

30003,0

dk

300,010000

dL mZZ 15070085021

Calculs

)(2121 ZZg

dL

V

VdRe

014,02 020,01

eRdkLog 51,271,3

21

sm / 101,2

51058,5 x

014,0

sm / 514,2

51068,6 x

014,0

014,0

/sm 178,04

3

2

VdAVQ

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Données :

sm

Q

/10 x 1,1 mm 0,06 k m 500 Lmm 150 dL/s 30

26-

Calcul :- Perte de charge hw

231500101,1

15,0698,16 x

xVdR e

gV

dLhh r 2

2

m/s 698,1)15,0(14,3

030,04422

xx

dQ

AQV

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Utilisation de la formule de C-W :

eRdkLog 51,271,3

21

Essai 1 : λ1 = 0,0174Calcul 1 : λ = 0,0181

Essai 2 : λ2 = 0,0181Calcul 2 : λ = 0,0180

Essai 3 : λ3 = 0,0180Calcul 3 : λ= 0,0180

La valeur de λ converge donc vers 0,0180

23150051,2

15071,306,021x

Log

Données de l’exercice

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0180,0

gV

DLh

2

2

8,881,92)698,1(

15,05000180,0

2

x

xxh

m 8,8h

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Les paramètres d’écoulement intervenant dans les différentes équations de ladynamique des fluides sont :

conduite la de Llongueur la et d diamètre Le V écoulementd' vitesse La

fluide du massique densité La fluide du ecinématiqu viscosité La

k conduite la de rugosité La frottement de tcoefficien Le

On distingue 3 types de problèmes les plus souvent posés :

321

DemandéDonnéesTypeQ,,k,L,d, h,,k,L,d,

Q,h,,k,L,

hQd

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A B C D

H = 15 mO O’

Section 2

Section 1

0,0152503000CD

0,0202002500BC

0,0153002000AB

Coeff. λDiamètre d ( mm )Longueur L ( m )Conduite

000

2

1

22

11

V ; P ; V ; P ;

atm

atm

PZ

PHZ

Problème : Calculer le débit Q du systèmeProblème : Calculer le débit Q du système

L’équation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 par rapport à OO’ :

hH

Q

h

gV

gPZ

gV

gPZ

22

222

2

211

1 h

gP

gPH atmatm 000

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A B C DQ

Bilan des pertes de charge : hw = hr + hs

1rh2rh 3rh

gV

dL

hr 2

21

1

111

gV

dL

hr 2

22

2

222

gV

dL

hr 2

23

3

333

enh rbh sorhebh

gV

h rbrb 2

22

gV

h enen 2

21

gV

h ebeb 2

22

gV

h sorsor 2

23

Pertes de charge réparties Pertes de charge singulières

V1 V2 V3

Entrée d’une conduite

Rétrécissement brusque

Sortie d’une conduite

Elargissement brusque

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gV

dLh r 2

21

1

111

22 6,12923 Qhr

23 3,3811 Qhr

De la même façon on trouve :

211

14dQ

AQV

gdQ

dL

gV

dLhr 2

162 4

12

2

1

11

21

1

111

21 1,1021 Qhr A.N

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gVh enen 2

21

gVh sorsor 2

23

5,0en 24

124

12

221 4

2165,0

25,0 Q

gdgdQ

gVhen

21,5 Qhen A.N

gVh rbrb 2

22

25,0rb2

42

242

2

222 2

21625,0

225,0 Q

gdgdQ

gVhrb

29,12 Qhrb A.N

gVh ebeb 2

22

2

23

221

dd

eb27,6 Qheb A.N

gdQ

ddheb 2

161 42

2

22

23

22

1sorgd

Qg

Vh sor 2

162

1 43

2

223

22,21 Qhsor A.N

Page 45: Institut National Agronomique Département du Génie … · 1.- Cas d’un Ecoulement à travers un Orifice : Formule de Torricelli 2 2 1 1 H V orifice O O ...

22,217,69,121,53,38116,129231,1021 QhH

29,17801 QH

smH

Q /,,,

302908817801

158817801

Revenons à l’équation de Bernoulli :

sQ /L 29

hH